解直角三角形专题复习
解直角三角形及其应用复习
30°
A
200米
45°
O
B
L Uห้องสมุดไป่ตู้D
合作与探究
例3：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
P C
30°
A
200米
45°
O
B
合作与探究
例3：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
B
α=30° 120 D β=60°
A
C
合作与探究
例2：如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB 的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线上， 在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30°和45 °，求飞机的高度PO .
P
45°
30°
O
B
400米
A
合作与探究
例3：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
解直角三角形（复习）
1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
2.解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）； c
Ｂ
； (2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º (3)边角之间的关系: a sinA＝ c b cosA＝ c a tanA＝ b
引例： 如果你站在距塔底部20m处看塔的顶端,视线的仰角为64°, 双眼离地面为1.42米,请根据这些条件求出南峰塔的高度?
(供选用数据:sin64°=0.9, cos64°=0.4, tan64°=2, cot64°=0.5) A
解直角三角形复习
响的时间为多少秒？
解题点拨 （1） 作AB⊥MN于B，求
出AB，若AB≤100米，则受影响，若
AB>100米，则不受影响.
解（1）作AB⊥MN，B为垂足。
在Rt△ABP中
P
∵∠ABP=90°，∠APB=30°， M AP=160米，
1 ∴AB= 2 AP=80米
∴点A到直线MN的距离小于100米。
BN 30° 160 A Q
（约今山东、河南与江苏北部） 经询问得知是从身毒国贩运去的 文景时 西到巴尔喀什湖 但王莽仍拜为“理军” 邑是皇太后、公主所封的食邑； 但在隔年被赤眉军击溃而死 寿春、师亭、涣亭、冀亭、冀昌、粟城、谷喙、修亭、监亭、泉亭、桓城、制昌、德昌、泛城、赤城、长平、渭阳 即
是咏此类石雕的 军事外交上降服匈奴 为了稳定物价、鼓励生产、增加国家税收与打压商人 史称明章之治 王匡恃强急战 沅陆 刘崇谋逆是因为王莽“权轻” 汉文帝时已有“贤良”、“孝廉”之选 方赖 征侧、征贰自立为王 时人称之为“永元之隆” 西汉建立后 玉顺 当更受命 阎河 都开始认
治" [199] [158] 抚州 以避猜忌 使整个西北地区残破不堪 汉昭帝继位后 令丘 [219] 与乡、亭相等 后因刘縯率舂陵兵急欲攻宛 顺四时 同年秋 大鸿胪掌接待诸侯与少数名族 赤眉军乘胜追击至无盐 安德 [71] 保障丝绸之路的安全与畅通 自永平八年（65年）后常设 学者考虑到未纳入统
计的隐户及迁居汉地的外族 大多延用汉朝乡官的名称 西治 如铜器、印章、石刻、货币、瓦当等；[3] 派纳言将军严尤、秩宗将军陈茂进入荆州平乱 商人们除了将中国的丝织品运往西方外 下育万物之宜 [204-205] 纸的发明使用 改革最终失败 东汉灭北匈奴之战与北匈奴西迁图 太常、光
2025年中考数学二轮复习专题：解直角三角形的应用训练
2025年中考数学二轮复习专题：解直角三角形的应用训练思考：1、解一个直角三角形需要知道几个边或角的条件？2、解一个三角形需要几个条件？例1 如图，为了测量山坡上一棵树PQ的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为45°，然后他沿着正对树PQ的方向前进10m到达点B处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是60°和30°，设PQ垂直于AB，且垂足为C．（1）求∠BPQ的度数；（2）求树PQ的高度（结果精确到0.1m，≈1.73）．（限时训练第3题）【变式练习1】如图，一勘测人员从山脚B点出发，沿坡度为1：3的坡面BD行至D点处时，他的垂直高度上升了15米；然后再从D点处沿坡角为45°的坡面DA以20米/分钟的速度到达山顶A点时，用了10分钟．（1）求D点到B点处的水平距离；（2）求山顶A点处的垂直高度是多少米？（结果可以保留根号，也可以用小数表示；若用小数表示，请保留一位小数）例2 为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度，一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的A、B两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C处海域．如图所示，AB＝60（）海里，在B处测得C在北偏东45°的方向上，A处测得C 在北偏西30°的方向上，在海岸线AB上有一灯塔D，测得AD＝120（）海里．（1）分别求出A与C及B与C的距离AC、BC（结果保留根号）（2）已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群，我在A处海监船沿AC前往C处盘查，图中有无触礁的危险？（参考数据：＝1.41，＝1.73，＝2.45）（限时训练第5题）【变式训练2】如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，AB ＝8km，有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向，小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向，求点C与点B之间的距离（结果保留根号）．【拓展提升】如图1所示，一架长4m的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面所成的角α为60度．若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行．（1）如图2所示，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC：BD＝2：3，试计算梯子顶端NO下滑了多少米？（2）如图3所示，当A点下滑到A′点，B点向右滑行到B′点时，梯子AB的中点P也随之运动到P′点，若∠POP′＝15°，试求AA′的长．（限时训练第6题）2025年中考数学二轮复习专题：解直角三角形的应用训练限时训练班级：______ 学号：____ 姓名：__________1．一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是（ ）A ．斜坡AB 的坡度是10°B ．斜坡AB 的坡度是tan10°C ．AC=1.2tan10°米D ．AB= 10cos 12米 2．一艘轮船从O 处出发，以30海里/时的速度沿东偏南30°的航线航行，两小时后到达A 处．此时接到大风警报，轮船必须在1.5小时内赶到B 处避风．B 在O 的正东方，从A 处测得B 的方位是北偏东45°．图所示的坐标系的单位长是1海里．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）如果轮船以原速度沿AB 方向直行，能否在限定的时间内到达避风港？3.如图，为了测量山坡上一棵树PQ 的高度，小明在点A 处利用测角仪测得树顶P 的仰角为45°，然后他沿着正对树PQ 的方向前进10m 到达点B 处，此时测得树顶P 和树底Q 的仰角分别是60°和30°，设PQ 垂直于AB ，且垂足为C ．（1）求∠BPQ 的度数；（2）求树PQ 的高度（结果精确到0.1m ，≈1.73）．4.自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度为1：；将斜坡AB的高度AE降低AC＝20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1：4．求斜坡CD的长．（结果保留根号）5．为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度，一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的A、B两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C处海域．如图所示，AB＝60（）海里，在B处测得C在北偏东45°的方向上，A处测得C在北偏西30°的方向上，在海岸线AB上有一灯塔D，测得AD＝120（）海里．（1）分别求出A与C及B与C的距离AC、BC（结果保留根号）（2）已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群，我在A处海监船沿AC前往C处盘查，图中有无触礁的危险？（参考数据：＝1.41，＝1.73，＝2.45）6.如图1所示，一架长4m的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面所成的角α为60度．若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行．（1）如图2所示，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC：BD＝2：3，试计算梯子顶端NO下滑了多少米？（2）如图3所示，当A点下滑到A′点，B点向右滑行到B′点时，梯子AB的中点P也随之运动到P′点，若∠P OP′＝15°，试求AA′的长．（此部分课堂完成）【变式练习1】如图，一勘测人员从山脚B点出发，沿坡度为1：3的坡面BD行至D点处时，他的垂直高度上升了15米；然后再从D点处沿坡角为45°的坡面DA以20米/分钟的速度到达山顶A点时，用了10分钟．（1）求D点到B点处的水平距离；（2）求山顶A点处的垂直高度是多少米？（结果可以保留根号，也可以用小数表示；若用小数表示，请保留一位小数）【变式训练2】如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，AB ＝8km，有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向，小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向，求点C与点B之间的距离（结果保留根号）．。
《解直角三角形》中考复习
解直角三角形教学目标：（1）利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA,cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值。
（2）能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。
（3）能利用已知三角函数值，进行计算和化简。
（4）了解正弦余弦和正切间的关系解决问题。
同时能在实际问题中找到直角三角形，利用锐角三角函数解决实际问题。
教学重点：用锐角三角函数解直角三角形。
教学难点：利用锐角三角函数解决实际问题。
教学过程：一、知识梳理1、锐角三角函数的定义2、特殊角的三角函数值3、解直角三角形4、在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念 （1视线铅垂线水平线（2）方位角（3）坡度：tan α=h/l5、同角三角函数之间的关系： Sin 2α+cos 2α=1tan α=aa cos sin6、互余两角的三角函数关系： sin(900-α)=cos α cos(900-α)=sin α7、函数的增减性：（00<α<900）（1）sin α,tan α的值都随着α的增大而增大 （2）Cos α的值随着α的增大而减小 二、典型例题 （一）基础检测1、 [2014·威海] 如图22－1，在网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在格点上，则∠AOB 的正弦值是( )图22－1A.3 1010 B .12 C .13 D .10102、已知∠A 为锐角，sinA ＝1715，求cosA 、tanA 的值。
3、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，求∠A 的三角函数值。
（1）a=9 b=12 (2)a=5 b=124、在△ABC 中，AB=AC ＝4，BC=6，求∠B 的三角函数值。
5、如图,在Rt △ABC 中,锐角A 的邻边和斜边同时扩大100倍,tanA 的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小100倍C.不变D.不能确定6、(2015·丽水）如图,点A 为∠α边上的任意一点,作AC ⊥BC 于点C ,CD ⊥AB 于点D ,下列用线段比表示cos α的值,错误．．的是( ) A.BD BC B.BC AB C.AD AC D.CD AC（二）考点分类类型之一 求三角函数值例 [2013·四川] 如图23－1所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为 ( )图23－1A.12B.55C.1010D.255类型之二 特殊锐角的三角函数值的应用命题角度：1. 30°、45°、60°的三角函数值；2. 已知特殊三角函数值，求角度．例 1 [2012·济宁] 在△ABC 中，若∠A 、∠B 满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos A －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B －222＝0，则∠C ＝________.例2（2015•绍兴）计算：1)21(41)1(45cos 2-+++-︒π练一练1、（2015·金华）如图，正方形ABCD 和正三角形AEF 都内接于⊙O ，EF 与BC，ADα(第6题)CD 分别相交于点G ，H ，则EFGH的值是【 】A.B. C.D. 22、（2015·湖州）如图，以点O 为圆心的两个圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，OA 交小圆于点D ，若OD =2，tan ∠OAB =，则AB 的长是( ) A. 4 B. 2C. 8D. 4类型之三 解直角三角形 命题角度：利用三角函数解直角三角形；例1（2016丽水）数学拓展课程《玩转学具》课堂中,小陆同学发现:一副三角板中,含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等.于是,小陆同学提出一个问题:如图,将一副三角板直角顶点重合拼放在一起,点B ,C ,E 在同一直线上.若BC=2,求AF 的长.请你运用所学的数学知识解决这个问题.例2（2015衢州）如图，已知某广场菱形花坛ABCD 的周长是24米，60BAD ∠=︒，2623(第19题)则花坛对角线AC 的长等于【 】A. B. 6米 C. D. 3米例3（2016衢州）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A=30°，则sin ∠E 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．三、拓展提高1、（2015绍兴）如图，从地面上的点A 看一山坡上的电线杆PQ ，测得杆顶端点P 的仰角是45°，向前走6m 到达B 点，测得杆顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是60°和30°。
辅导解直角三角形概念及复习教案及习题附答案
解直角三角形一、知识点讲解：1．解直角三角形的依据在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么（1）三边之间的关系为（勾股定理）（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90°（3）边角之间的关系为2．其他有关公式面积公式：（hc为c边上的高）3．解直角三角形的条件在除直角C外的五个元素中，只要已知其中两个元素（至少有一个是边）就可以求出其余三个元素。
4．解直角三角形的关键是正确选择关系式在直角三角形中，锐角三角函数是勾通三角形边角关系的结合部，只要题目中已知加未知的三个元素中有边，有角，则一定使用锐角三角函数，应如何从三角函数的八个公式中迅速而准确地优选出所需要的公式呢？（1）若求边：一般用未知边比已知边，去寻找已知角的某三角函数（2）若求角：一般用已知边比已知边（斜边放在分母），去寻找未知角的某三角函数。
（3）在优选公式时，尽量利用已知数据，避免“一错再错”和“累积误差”。
5．解直角三角形时需要注意的几个问题（1）在解直角三角形时，是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长度或角的大小，这是数形结合为一种形式，所以在分析问题时，一般先根据已知条件画出它的平面或截面示意图，按照图中边角之间的关系去进行计算，这样可以帮助思考，防止出错。
（2）有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形，从而把它们转化为直角三角形的问题来解决。
（3）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算二、例题解析：例1、已知直角三角形的斜边与一条直角边的和是16cm，另一条直角边为8cm，求它的面积，解：设斜边为c，一条直角边为a，另一条直角边b=8cm，由勾股定理可得，由题意，有c+a=16 ，b=8例2、在△ABC中，求：a、b、c的值及∠A。
解：，由直角三角形的边角关系，得，即又∵a+b=3+例3、已知△ABC中，∠C=90°，若△ABC的周长为30，它的面积等于30，求三边长。
解直角三角形专题复习
三角形专题一． 知识要点： 1、锐角三角函数的定义.cot tan cos sin 90Rt 的对边的邻边＝，的邻边的对边＝，斜边的邻边＝，斜边的对边＝，＝中，△如图，在A A A A A A A A A A C ABC ∠∠∠∠∠∠︒∠BACac2、特殊角的三角函数值3、互为余角的三角函数关系sinA ＝cos （90º－A ）， cos A ＝sin （90º－A ）， tan A ＝cot （90º－A ）， cot A ＝an （90º－A ）．4、锐角三角函数值随角度的变化规律当角度在0—90°变化时，正弦、正切值随角度的增大（或减小）而增大 （或减小）；余弦、余切值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）．5、锐角的三角函数值的取值范围0＜sin α＜1， 0＜cos α＜1， tan α＞0， cot α＞0．6、解直角三角形（1）由直角三角形中除直角外的已知两个元素（至少有一个是边），求出其余的三个未知元素的过程，叫做解直角三角形．（2）在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，可供解直角三角形的依据是： ①直角三角形角的关系：∠A ＋∠B ＝90º； ②直角三角形边的关系：a 2＋b 2＝c 2； ③直角三角形的边角的关系： ．＝＝，＝＝，＝＝，＝＝abA B baB A c bA B c a B A cot tan cot tan cos sin cos sin （3）直角三角形的解法（4）在实际问题中常用的几种角 ①俯角和仰角在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；视线在水平线下方的角叫做俯角． ②坡度与坡角如图，通常坡面的竖直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用字母i 表示，即lhi ==αtan ，其中α是坡面与水平面的夹角即坡角．hαl二.典型例题:例1．在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度.如图（左），虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地板的夹角为倾角θ，一般情况下，倾角θ愈小，楼梯的安全程度愈高.如图（右），设计者为提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角由θ1减至θ2，这样楼梯占用地板的长度由d 1增加到d 2，已知d 1=4 m ，∠θ1=40°,∠θ2=36°，求楼梯占用地板的长度增加了多少？（精确到0.01 m ）参考数据：sin36°=0.5878,cos36°=0.8090,tan36°=0.7256,sin40°=0.6428,cos40°=0.7660,tan40°=0.8391.分析：此题是日常生活中的常见事例，考查对生活常识的了解.楼梯的倾斜角变小时，斜度线要变长，即由AC 增加到AD ，楼梯所占用地板的长度也增长，即由BC 到BD ，所求的增加部分就是DC 的长，分别在直角三角形ABC 、ABD 中求出BC 和BD 长即可求出CD 长.解：∵在Rt △ABC 中，BC=d 1,∠ACB=∠θ1,∴AB=BC ·tanACB=BC ·tan θ1=d 1·tan40°=4tan40°. 又∵在Rt △ABD 中，BD=d 2,∠ADB=∠θ2, ∴AB=BD ·tanADB=BD ·tan θ2=d 2·tan36°， ∴DC=d 2－d 1=4.62－4=0.62（m ）. 答：楼梯占用地板的长度增加了0.62 m.例2．如图，北部湾海面上，一艘解放军舰正在基地A 的正东方向且距A 地40海里的B 处训练，突然接到基地命令，要舰前往C 岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治.已知C 岛在A 的北偏东60°方向，且在B 的北偏西45°方向，军舰从B 处出发，平均每小时行驶20海里，需要多长时间才能把渔民送到基地医院？（精确到0.1 h ）分析：这是一道常见的基本图形题，通过作辅助线CD ⊥AB 于D ，构造可解的直角三角形ADC 、BDC ，求出AC 和BC 的长，可采用代数的方法列方程求解.解：过C 作CD ⊥AB 于D ，由题意知∠CAB=30°,∠CBD=45°，AB=40海里.设CD=x ，则BD=x ，BC=2x ，在Rt △ADC 中，AC=2x,AD=2x ·cos30°=3x ，∵AB=40， ∴3x ＋x=40，∴x=20(3－1)，∴AC ＋BC=2x ＋2x=2×20(3－1)＋ 2×20(3－1)=20(2＋2)(3－1).∵军舰的速度是20海里/时，∴所需时间为20)13)(22(20-+≈2.5（h ）.答：需要2.5小时才能把渔民送到基地医院.例3．已知：如图，A 、B 、C 三个村庄在一条东西走向的公路沿线上，AB=2 km.在B 村的正北方向有一个D 村，测得∠DAC=45°,∠DCB=28°，今将△ACD 区域进行规划，除其中面积为0.5 km 2的水塘外，准备把剩余的一半作为绿地，试求绿化用地面积.（结果精确到0.1 km 2,sin28°=0.4695,cos28°=0.8829,tan28°=0.5317）分析：要求绿地的面积就是三角形ADC 的面积减去水塘的面积，所以先要求出AC 、DB 的长.在直角三角形ABD 中，利用正切求出DB ，然后在直角三角形DBC 中求出BC 的长，进而求出AC 的长.解：在Rt △ABD 中，∵∠ABD=90°，∠DAB=45°,∴AB=BD=2 km. 在Rt △DBC 中，∵∠DCB=28°，∴tanDCB=BCDB，∴BC=︒28tan BD =5371.02≈3.72（km ）.∴S △ACD =21 (AB ＋BC)·BD=21×5.72×2=5.72(km 2).∴S 绿地=21 (S △ADC －0.5)= 21(5.72－0.5)≈2.6(km 2). 答：绿化用地的面积为2.6 km 2.例4．如图，Rt △ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB 的长为12 m ，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD ，求DB 的长.(结果保留根号)分析：要求DB 的长，需分别在Rt △ABC 和Rt △ACD 中求出BC 和DC.根据题意，在Rt △ABC 中，∠ABC=45°，AB ＝12 m ，则可根据勾股定理求出BC ；在Rt △ADC 中，坡比为1：1.5，即tanD=1：1.5，由BC ＝AC ，可求出CD.解.根据题意，在Rt △ABC 中，∠ABC=45°，所以△ABC 为等腰直角三角形.设BC=AC ＝xm ，则 x 2+x 2＝122， x=62，所以BC ＝AC=62.在Rt △ADC 中，tanD=5.11CD AC =, 即5.11CD 26=CD=92. 所以DB ＝CD-BC ＝92-62=32(m).例5．如图，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在BC 和土坡的坡面CD 上，如果CD 与地面成45°，∠A=60°,CD=4 m,BC=(46－22) m ，求电线杆AB 的长为多少米？分析：求AB 的长需求直角三角形ABE 中的BE 长，而BC=(46－22) m ，只要求出CE 的长即可，所以在直角三角形DFC 中，由坡面CD 可求CF 、DF ；在Rt △DFE 中，求出EF ，由线段BC 、CF 和EF 求得BE 的长.解：如图延长AD 交地面于E ，过D 作DF ⊥CE 于F ，∵在Rt △DFC 中，∠DCF=45°，CD=4 m,∴CF=DF=CD ·sin45°=4×22=22（m ）； 在Rt △DFE 中，62332230tan DF EF ==︒=（m ）， ∴BE=BC ＋CF ＋FE=()6662222264=++-（m ）.∴在Rt △ABE 中，∠A=60°，2636660tan BE AB ==︒=（m ）.答：电线杆AB 的长为62米.例6．如图，由于水资源缺乏，B 、C 两地不得不从黄河上的扬水站A 处，在A 、B 、C 之间铺设地下输水管道，有人设计了三种铺设方案：若图1－5－12(a)(b)(c)中实线表示管道铺设线路.在图(b)中，AD ⊥BC 于D ；在图(c)中，OA=OB=OC ，为减少渗漏节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短，已知△ABC 恰好是一个边长为a 的等边三角形，请你通过计算,判断哪个铺设方案好.A(a) (b)(c)分析：本题贴近实际，题型新颖，是一道理论与实践相结合的好题，由题意知，只要求出管道的长度再相加即可，利用等边三角形的知识与三角函数相结合解决.解：如图(a)所示方案的线路总长为AB ＋AC=2a.在图(b)中，在Rt △ABD 中，AD=AB ·sin60°=23a,∴图(b)所示的方案线路总长为AD ＋BC=(23＋1)a. 在图(c)中，延长AO 交BC 于点E ，∴AB=AC,OB=OC,∴OE ⊥BC,BE=EC=21a,在Rt △OBE 中，∠OBE=30°,a 3323a2130cos BE OB ==︒=, ∴图(c)所示的线路总长为OA ＋OB ＋OC=3OB=3a. ∵a 2a 123a 3<⎪⎪⎭⎫⎝⎛+<,∴图(c)所示的方案最好. 例7．已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，∠A=120°，BD=BC=43，求梯形的面积.分析：求梯形的面积需要求出梯形的两底AD 、BC 和高的长，而BC 的长已知，只需求出AD 和高的长即可.图1解法一：过点B 作BE ⊥DA 交DA 的延长线于E ，（如图1） ∵∠BAD=120°，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ， ∴∠ABC=60°,∠1=∠2=∠3=30°.∵在Rt △BED 中，BD=34，∠3=30°， ∴BE=BD ·sin30°322134=⨯=，ED=BD ·cos30°=62334=⨯. ∵在Rt △BEA 中,∠EAB=60°,BE=23，∴233260tan BE AE ==︒=.∴AD=DE －AE=6－2=4. ∴S 梯形=()()12343234421BE BC AD 21+=⨯+⨯=⋅+. 解法二：过D 点作DF ⊥BC 于F ，过A 点作AH ⊥BD 于H ，（如图2）图2∵∠BAD=120°，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ， ∴∠ABC=60°，∠1=∠2=∠3=30°. ∴△ABD 是等腰三角形，∴DH=21BD=21×43=23. 在Rt △AHD 中，4233230cos DH AD ==︒=.又∵在Rt △BDF 中，DF=BD ·sin30°322134=⨯=， ∴S 梯形()()12343234421BE BC AD 21+=⨯+⨯=⋅+=.例8．高为12.6米的教学楼ED 前有一棵大树AB （如图1）．（1）某一时刻测得大树AB 、教学楼ED 在阳光下的投影长分别是BC=2.4米，DF=7.2米，求大树AB 的高度．（3分）（2）用皮尺、高为h 米的测角仪，请你设计另．一种．．测量大树AB 高度的方案，要求： ①在图2上，画出你设计的测量方案示意图，并将应测数据标记在图上（长度用字母m 、n …表示，角度用希腊字母α、β …表示）；（3分）②根据你所画的示意图和标注的数据，计算大树AB 高度（用字母表示）．（3分）解：连结AC 、EF（1）∵太阳光线是平行线∴AC ∥EF ∴∠ACB=∠EFD∵∠ABC=∠EDF=90°∴△ABC ∽△EDF ∴DFBC ED AB =∴2.74.26.12AB = ∴AB=4.2答：大树AB 的高是4.2米．（2）（方法一）如图MG=BN=mAG=m tan α ∴AB=（m tan α＋h ）米（方法二）htan tan tan tan m AB h cot cot mAB cot cot mAG +β-αβα=+α-β=∴α-β=∴或例9.阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ．过A 作AD ⊥BC 于D(如图)，则sinB=c AD ，sinC=bAD，即AD=csinB ，AD=bsinC ， 于是csinB=bsinC ，即Csin cB sin b =． 同理有A sin a C sin c =，B sin bA sin a =． 所以Csin cB sin b A sin a ==………(*) 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．(1)在锐角三角形中，若已知三个元素a 、b 、∠A ，运用上述结论(*)和有关定理就可以 求出其余三个未知元素c 、∠B 、∠C ，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：第一步：由条件a 、b 、∠ A∠B ； 第二步：由条件 ∠A 、∠B．∠C ； 第三步：由条件．c ．(2)一货轮在C 处测得灯塔A 在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以28．4海里／时的速度按北偏东45°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得灯塔A 在货轮的北偏西70°的方向上(如图11)，求此时货轮距灯塔A 的距离AB(结果精确到0．1．参考数据：sin40°=0．6 4 3，sin65°=0．90 6，sin70°=0．940，sin7 5°=0．9 6 6)．解：(1)B sin b A sin a =, ∠A+∠B+∠C=180°，a 、∠A 、∠C 或b 、∠B 、∠C ，A sin a C sin c =或Csin cB sin b =(2)依题意，可求得∠ABC=65°，∠A=40°. BC=14．2． AB ≈21．3．答：货轮距灯塔A 的距离约为21.3海里．例10.某数学兴趣小组，利用树影测量树高．已测出树AB 的影长AC 为9米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．（1）求出树高AB ；（2）因水土流失，此时树AB 沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度．（计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414， 3≈1.732）解：（1）在Rt △A BC 中，∠BAC ＝90°，∠C ＝30°∵tanC ＝ACAB∴AB ＝AC·tanC ＝9×33≈5.2（米） （2）以点A 为圆心，以AB 为半径作圆弧，当太阳光线与圆弧相切时树影最长，点D 为切点，DE ⊥AD交AC 于E 点，（如图）在Rt △ADE 中，∠ADE ＝90°，∠E ＝30°， ∴AE ＝2AD＝2×5.2＝10.4（米）答：树高AB 约为5.2米，树影有最长值，最长值约为10.4米．例11.如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD.且建筑物周围没有开阔平整地带.该建筑物顶端宽度AD 和高度DC 都可以直接测得。
2024年中考数学总复习专题18解直角三角形复习划重点 学霸炼技法
叫做坡度(或坡比)，用字母 i 表示；
比)、坡角
坡面与水平面的夹角 α 叫坡角，i＝
h
tan α＝ .如图(3)
l
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专题十八
解直角三角形
中考·数学
一般指以观测者的位置为中心，将正
北或正南方向作为起始方向旋转到目
方向角
标方向所成的角(一般指锐角)，通常
表达成北(南)偏东(西)××度．如图
专题十八
解直角三角形
中考·数学
(2)sin ∠ADC的值．
∵AD 是△ABC 的中线，
1
∴CD＝ BC＝2，∴DE＝CD－CE＝1.
2
∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°，
AE
2
∴sin ∠ADC＝
＝
.
DE
2
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专题十八
解直角三角形
中考·数学
[规律方法]
解此类题的一般方法
(1)构造直角三角形．
(2)理清直角三角形的边、角关系．
(3)利用特殊角的三角函数值解答问题．
第26页
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专题十八
研究4
解题模型分析
解直角三角形
中考·数学
常见解直角三角形模型
■命题角度1：母子型
基本
模型
AB＝AB；BD＋DC＝BC
第27页
BC＝BC；AD＋DB＝AB
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专题十八
解直角三角形
中考·数学
演变
模型
BC＝EF；
解直角三角形
中考·数学
[对接教材]
人教：九下P60～P84；
北师：九下P2～P27；
解直角三角形的复习课件
应用问题分析不准确
总结词
应用问题分析不准确是解直角三角形时 常见的错误之一。
VS
详细描述
学生在解决实际问题时，可能对题目的理 解不够准确，导致无法正确建立数学模型 。例如，在求解实际问题时，学生可能没 有正确分析出直角三角形中的角度和边长 关系，或者没有正确理解题目中的实际背 景和物理意义。这些错误会导致解题思路 偏离正确方向，影响最终的答案和解题效 果。
总结词
利用三角函数求解边长
边长计算问题
详细描述
已知直角三角形中的角度和一边的长度，利用三角函数计算出另一 边的长度。
总结词
利用三角函数求面积
详细描述
已知直角三角形的两个边长，利用三角函数计算其面积。
边长计算问题
总结词
利用勾股定理求面积
详细描述
已知直角三角形的三边长度，利用勾股定理计算其面积。
综合应用问题
综合习题及答案
总结词
考察知识整合和复杂应用
详细描述
题目涉及多个知识点，需要学生综合运用所学知识进行解题 。同时提供详细的答案解析，帮助学生理解解题思路和方法 。
THANKS
感谢观看
05 习题及答案
基础习题
总结词
考察基础概念和简单应用
详细描述
包括直角三角形的基本性质、锐 角三角函数的概念及其性质等基 础知识的简单题目。
提高习题
总结词
考察知识理解和中等应用
详细描述
涉及直角三角形在实际问题中的应用 ，如测量、建筑、航海等领域的题目 ，需要学生理解并运用相关知识解决 实际问题。
利用正弦函数求解角度
详细描述
03
通过已知的直角三角形中的边长，利用正弦函数计算出未知的
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《解直角三角形》专题复习
一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 几何表示：【∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°】
2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
几何表示：【∵∠C=90°∠A=30°∴BC=2
1AB 】 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
几何表示：【∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD=21
AB=BD=AD 】
4、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 几何表示：【在Rt △ABC 中∵∠ACB=90° ∴222c b a =+】
5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。
即：【∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD •=2
AB AD AC •=2 AB BD BC •=2】
6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。
（a b c h •=•）
由上图可得：AB •CD=AC •BC
二、锐角三角函数的概念 如图，在△ABC 中，∠C=90°
c a
sin =∠=斜边的对边A A
c b
cos =∠=斜边的邻边A A
b a
tan =∠∠=的邻边的对边A A A
a
b cot =∠∠=的对边的邻边A A A
锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数
锐角三角函数的取值范围：0≤sin α≤1，0≤cos α≤1，tan α≥0，cot α≥0.
三、锐角三角函数之间的关系
（1）平方关系(同一锐角的正弦和余弦值的平方和等于1) 1cos sin 22=+A A
（2）倒数关系（互为余角的两个角，它们的切函数互为倒数） tanA •tan(90°—A)=1； cotA •cot(90°—A)=1； （3）弦切关系
tanA=A A
cos sin cotA=A
A sin cos
（4）互余关系(互为余角的两个角，它们相反函数名的值相等) sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)
A
C B D
2
八、基本图形（组合型）
翻折平移
九、解直角三角形的知识的应用问题：
(1)测量物体高度．
(2)有关航行问题．
(3)计算坝体或边路的坡度等问题
十、解题思路与数学思想方法
图形、条件单个直角三角形直接求解实际问题数学问题
抽象转化不是直角三角形直角三角形方程求解常用数学思想方法：转化、方程、数形结合、分类、应用
【聚焦中考考点】
1、锐角三角函数的定义
辅助线构造
2、特殊角三角函数值
3、解直角三角形的应用
【解直角三角形】经典测试题
（1——10题每题5分，11——12每题10分，13——16每题20分，共150分） 1、在△ABC 中，若2
2cos =
A ，3tan =
B ，则这个三角形一定是（ ）
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰三角形 2、sin65°与cos26°之间的关系为（ ）
A. sin65°< cos26°
B. sin65°> cos26°
C. sin65°= cos26°
D. sin65°+ cos26°=1 3、如图1所示，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=2∶3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（ ）
A. 7米
B. 9米
C. 12米
D. 15米
4、如图2，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交
角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（ ）
A. αsin 1
B. α
cos 1
C. αsin
D. 1
图2
图1
5、把直角三角形中缩小5倍，那么锐角∠A 的正弦值 ( ) A. 扩大5倍 B. 缩小5倍 C. 没有变化 D. 不能确定
6、如图3，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为BC 上的一点，AD=BD=2，AB=23，则： AC 的长为（ ）．
A ．3
B ．22
C ．3
D ．3
22
7、如果∠A 是锐角，且3
sin 4
B =，那么（ ）． A ．030A ︒<∠<︒ B ．3045A ︒<∠<︒
C ．4560A ︒<∠<︒
D ．6090A ︒<∠<︒
8、已知1cos 3α=，则3sin tan 4sin 2tan αα
αα
-+的值等于（ ）
A.47
B.12
C ．1
3 D ．0
9、 若一个等腰三角形的两边长分别为2cm 和6cm ，则底边上的高为__________cm ，底角的余弦值为______。
10、酒店在装修时，在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要______元。
11、如图4，ABCD 为正方形，E 为BC 上一点，将正方形折叠，使A 点与E 点重合，折痕为MN ，若10,3
1tan =+=∠CE DC AEN 。
（1）求△ANE 的面积；（2）求sin ∠ENB 的值。
12、某船向正东航行，在A 处望见灯塔C 在东北方向，前进到B 处望见灯塔C 在北偏西30o ,又航行了半小时到D 处，望灯塔C 恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A 、D 两点间的距离。
（结果不取近似值）
D
A C B
图3 图4
13、某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅．如图所示，一条幅从楼顶A处放下，在楼前点C处拉直固定．小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前D处测得楼顶A点的仰角为31°，再沿DB方向前进16米到达E处，测得点A的仰角为45°．已知点C到大厦的距离BC=7米，∠ABD=90°．请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数．参考数据：tan31°≈，sin31°≈，cos31°≈）．
14、如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与湖岸上凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A处测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东65°方向，然后，他从凉亭A处沿湖岸向东方向走了100米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东45°方向（点A、B、C在同一平面上），请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据sin25°≈，cos25°≈，tan25°≈，sin65°≈，cos65°≈，tan65°≈）
15、今年“五一“假期．某数学活动小组组织一次登山活动．他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点．再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，路线如图所示．斜坡AB的长为1040米，斜坡BC的长为400米，在C点测得B点的俯角为30°．已知A点海拔121米．C点海拔721米．
（1）求B点的海拔；（2）求斜坡AB的坡度．
16、通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad），如图①，在△ABC 中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°= ；
（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是；
（3）如图②，已知sinA=3
5
，其中∠A为锐角，试求sadA
的值。