数列大题
数列大题专题(含解析)
{ n} 1 1数列大题训练一、解答题1.设数列{ a n }的前 n 项和为 S n .已知 S 2 =4， a n +1 =2 S n +1， n ∈ N ∗ . （1）求通项公式 a n ；（2）求数列{| a n − n − 2 |}的前 n 项和.2.已知 a , a , a ,⋅⋅⋅, a为正整数且 a > a > a>⋅⋅⋅> a > 1 ，将等式 (1 − 1 ) + (1 − 1 ) + (1 − 1) +⋅⋅0 12n12na 1a 2a 3⋅ +(1 − 1 ) = 2(1 − 1) 记为 (∗) 式.a na 0（1）求函数 f (x ) = 1 − 1x， x ∈ [2, +∞) 的值域；（2）试判断当 n = 1 时（或 2 时），是否存在 a 0 ， a 1 （或 a 0 ， a 1 ， a 2 ）使 (∗) 式成立，若存在，写出对应 a 0 ， a 1 （或 a 0 ， a 1 ， a 2 ），若不存在，说明理由；（3）求所有能使 (∗) 式成立的 a i （ 0 ≤ i ≤ n ）所组成的有序实数对 (a 0, a 1, a 2,⋅⋅⋅, a n ) . 3.已知函数 f (x ) = log 3(x +1)(x > 0) 的图象上有一点列 P (x, y )(n ∈ N ∗)，点P在 x 轴上的射影是x +1n n nnQ n (x n , 0) ， 且 x n = 3x n−1 + 2 ( n ≥ 2 且 n ∈ N ∗ )，x 1 = 2 .（1）求证： {x n + 1} 是等比数列，并求出数列 {x n } 的通项公式；21 （2）对任意的正整数 n ，当 m ∈ [−1,1] 时，不等式 3t − 6mt + > y n 恒成立，求实数 t 的取值范3围.（3）设四边形 P Q QP1 1 的面积是 S ，求证： ++ ⋯ +1< 3 . n n n +1 n +1nS 1 2S 2nS n4.已知 n 为正整数，数列{a }满足 a ＞0， 4(n + 1)a2− na2= 0 ，设数列{b }满足 b= a n 2nnnn +1nnt na n （1）求证：数列 为等比数列；√（2）若数列{b n }是等差数列，求实数 t 的值；（3）若数列{b n }是等差数列，前 n 项和为 S n ， 对任意的 n ∈N * ， 均存在 m ∈N * ， 使得 8a 2S n ﹣ a 4n 2=16b m 成立，求满足条件的所有整数 a 1 的值． a 2n5.已知数列 {a n } 和 {b n } 满足： a 1 = λ ,数， n 为正整数．n +1 = 3 a n + n − 4, b n = (−1)(a n − 3n + 21) 其中 λ 为实（1）对任意实数 λ ，证明数列 {a n } 不是等比数列； （2）对于给定的实数 λ ，试求数列 {b n } 的前 n 项和 S n ；（3）设 0 < a < b ，是否存在实数 λ ，使得对任意正整数 n ，都有 a < S n < b 成立？若存在，求 λ 的取值范围；若不存在，说明理由．6.已知数列 {a n } 满足 a 1 = 1，a n +1 = 1 − 14a n，其中 n ∈ N ∗ .1 1+a +1Ⅲ 3) （1）设 b n = 22an −1，求证：数列 {b n } 是等差数列，并求出 [a n } 的通项公式 ；（2）设 c n = 4a n n +1 ，数列 {c n c n +2 } 的前 n 项和为 T n ，且存在正整数 m ，使得 T n < 1 c m +1 对 于 n ∈ N ∗ 恒成立，求 m 的最小值.7.设各项均为正数的等比数列 {a n } 中， a 1 + a 3 = 10 ， a 3 + a 5 = 40 ，数列 {b n } 的前 n 和 S n =n 2+7n ．2（1）求数列 {a n } 、 {b n } 的通项公式；（2）若 c 1 = 1 ， c n +1 = c n + b n −3a n，求证： c n< 3 ．1（3）是否存在整数 k ，使得 a −b的最大值，若不存在，说明理由．+1a 2−b 2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +1a n −b n>k 10对任意正整数 n 均成立？若存在，求出 k8.已知数列 {a } 的各项均为非零实数，其前 n 项和为 S，且S n a n .n（1）若 S 3=3 ，求 a 3 的值；nS n 1 = a n +2（2）若 a 2021=2021a 1 ，求证：数列 {a n } 是等差数列；（3）若 a 1=1 ， a 2=2 ，是否存在实数 λ ，使得 |2a n − 2a m | ≤ λ|a 2 − a 2 | 对任意正整数 m ，n 恒成立，若存在，求实数 λ 的取值范围，若不存在，说明理由. a 2 −a+2anm9.已知数列 {a n } 和 {b n } , a 1 = 1, a 2 = 3 , a n +1= nn−1nn−1 ,( n ∈ N ∗且n ≥ 2 ), b n =1og 2(a n +1)2−5a n +1(I) 求 a 3, a 4 ;, (n ∈ N ∗) .(Ⅱ)猜想数列 {a n } 的通项公式,并证明;( )设函数 f (x ) = x + 1 x +2, 若 |f (b n ) − t | ≤ 16 35 对任意 n ∈ N ∗恒成立,求 t 的取值范围.210.已知数列 {a n } 满足： a 1 = − 3 , a n +1 =−2a n −3 (n ∈ N ∗ ）.3a n+4（1）证明：数列 { 1} 是等差数列，并求 {a} 的通项公式；a n +1n（2）若数列 {b n } 满足： b n = 2 (a n + 1)(n ∈ N ），若对一切 n ∈ N ∗ ，都有 (1 − b 1)(1 − b 2). . . (1 −b n ) ≤λ√2n +1 成立，求实数 λ 的最小值.11.已知数列 {x n } ，如果存在常数 p ，使得对任意正整数 n ，总有 (x n +1 − p )(x n − p ) < 0 成立，那么我们称数列 {x n } 为“p -摆动数列”．（Ⅰ） 设 a n = 2n − 1 ， b n = (− 由；1 n2， n ∈ N ∗ ，判断 {a n } 、 {b n } 是否为“p -摆动数列”，并说明理 （Ⅱ）已知“p -摆动数列” {c n} 满足 c n +1 = 1cn +1， c 1= 1 ，求常数 p 的值；∗} 1 2 （Ⅲ）设 d n = (−1)n ⋅ (2n − 1) ，且数列 {d n } 的前 n 项和为 S n ，求证：数列 {S n } 是“p -摆动数列”， 并求出常数 p 的取值范围．12.等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n .（1）求证：数列S n{ n }是等差数列；（2）若 a 1= 1, {√S n 是公差为 的等差数列，求使 S k +1⋅S k +2S k 2为整数的正整数 k 的取值集合；（3）记 b = t a n ( t 为大于 0 的常数)，求证：b 1+b 2+⋯…+b n≤b 1+b 2.nn213.已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，且 S n = 2a n − 2 ． （1）求 {a n } 的通项公式；（2）在 a n 与 a n +1 之间插入 n 个数，使这 n + 2 个数组成一个公差为 d n 的等差数列，在数列 {d n } 中是否存在 3 项 d m ， d k ， d p （其中 m ， k ， p 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的 3 项；若不存在，请说明理由．14.已知递增的等比数列 {a n } 满足 a 2 + a 3 + a 4 = 28 ，且 a 3 + 2 是 a 2 ， a 4 的等差中项. （1）求 {a n } 的通项公式；（2）若 b n = a n log 1a n ， S n =b 1 + b 2 + b 3 + ⋯ + b n 求使 S n + n ⋅ 2n +1 > 30 成立的 n 的最小值. 15.已知数列 {a n } 中，已知 a 1 = 1 ， a 2 = a ， a n +1 = k (a n + a n +2) 对任意 n ∈ N ∗ 都成立，数列{a n }的前 n 项和为 S n ．（1）若 {a n } 是等差数列，求 k 的值； （2） 若 a = 1 ， k = − 12 ， 求 S n ；（3）是否存在实数 k ，使数列 {a n } 是公比不为 1 的等比数列，且任意相邻三项 a m ， a m +1 ， a m +2 按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有 k 的值；若不存在，请说明理由．16.一列火车从重庆驶往北京，沿途有 n 个车站（包括起点站重庆和终点站北京）．车上有一邮政车厢，每停靠一站便要卸下火车已经过的各站发往该站的邮袋各 1 个，同时又要装上该站发往以后各站的邮袋各 1 个，设从第 k 站出发时，邮政车厢内共有邮袋 a k 个（k=1，2，…，n ）．（1）求数列{a k }的通项公式；（2）当 k 为何值时，a k 的值最大，求出 a k 的最大值．17.已知等比数列 {a n } 的公比 q > 1 ， a 2 ， a 3 是方程 x 2 − 6x + 8 = 0 的两根． （1）求数列 {a n } 的通项公式； （2）求数列 {2n ⋅ a n } 的前 n 项和 S n ．18.设数列 {a n } 满足 a n 2 = a n +1a n−1 + λ(a 2 − a 1)2 ，其中 n ⩾ 2 ，且 n ∈ N ， λ 为常数. （1）若 {a n } 是等差数列，且公差 d ≠ 0 ，求 λ 的值；（2）若 a 1 = 1, a 2 = 2, a 3 = 4 ，且存在 r ∈ [3,7] ，使得 m ⋅ a n ≥ n − r 对任意的 n ∈ N ∗ 都成立，求m 的最小值；（3）若 λ ≠ 0 ，且数列 {a n } 不是常数列，如果存在正整数 T ，使得 a n +T = a n 对任意的 n ∈ N ∗均成立.求所有满足条件的数列{an } 中 T 的最小值.19.已知等差数列 {a n } 满足 a 2 = 5 ， a 4 + a 5 = a 3 + 13 .设正项等比数列 {b n } 的前 n 项和为 S n ， 且 b 2b 4 = 81 ， S 3 = 13 .（1）求数列 {a n } 、 {b n } 的通项公式；（2）设 c n = a n b n ，数列 {c n } 的前 n 项和为 T n ，求 T n .20.公差不为零的等差数列 {a n } 中， a 1 ， a 2 ， a 5 成等比数列，且该数列的前 10 项和为 100，数列{b n } 的前 n 项和为 S n ，且满足 S n = 2b n − 1, n ∈ N ∗ ．( Ⅰ ) 求数列 {a n } ， {b n } 的通项公式；( Ⅱ ) 令 c n = 1+a n4b n，数列 {c n } 的前 n 项和为 T n ，求 T n 的取值范围．21.已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ， 且 S n +a n =4，n ∈N * ． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）已知 c n =2n+3（n ∈N *），记 d n =c n +log C a n （C ＞0 且 C≠1），是否存在这样的常数 C ，使得数列{d n }是常数列，若存在，求出 C 的值；若不存在，请说明理由． （3）若数列{b }，对于任意的正整数 n ，均有 b a +b a +b a+…+b a =（）n ﹣ n +2成立，求证：数n列{b n }是等差数列．1 n2 n ﹣13 n ﹣2n 1 2 222.已知数列 {a n } 满足 a 1 = 1, a n +1 = 1 −14a n,其中 n ∈ N ∗ .（1）设 b n = 22an −1,求证:数列 {b n } 是等差数列,并求出 {a n } 的通项公式;（2）设 c n = 4a nn +1 ,数列 {c n c n +2 } 的前 n 项和为 T n .23.已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ， 且满足 12S n ﹣36=3n 2+8n ，数列{log 3b n }为等差数列，且 b 1=3，b 3=27． （Ⅰ）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（Ⅱ）令c =（﹣1）n (a − 5) + b ，求数列{c }的前 n 项和 T ． nn12n n n24.已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数，设集合 M ＝{0，1，2，…，q －1}，集合 A ＝{x|x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1 ， x i ∈M ，i ＝1，2，…，n}．（1）当 q ＝2，n ＝3 时，用列举法表示集合 A.（2）设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1， t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n－1， 其中a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n.证明：若 a n ＜b n ， 则 s ＜t. ∗25.已知数列 {a n } 的首项 a 1 = a (a > 0) ，其前 n 项和为 S n ，设 b n = a n + a n +1(n ∈ N ) . （1）若 a 2 = a + 1 ， a 3 = 2a 2 ，且数列 {b n } 是公差为 3 的等差数列，求 S 2n ； （2）设数列 {b n } 的前 n 项和为 T n ，满足 T n = n 2 . ①求数列 {a n } 的通项公式； ②若对 ∀n ∈ N ∗，且n ≥ 2 ，不等式 (a n−1 − 1)(a n +1 − 1) ≥ 2(1 − n ) 恒成立，求 a 的取值范围.12 Ⅱ26.是否存在一个等比数列{a }同时满足下列三个条件：①a +a =11 且 a a =；②a ＞a （n ∈N *）；n163 49 n+1n③至少存在一个 m （m ∈N *且 m ＞4），使得 2a， a 2 ， a + 4依次构成等差数列？若存在，求出通项公式；若不存在，说明理由．3m ﹣1mm+1927.设 {a n } 是等差数列， a 1 = −8 ，且 a 2 + 8 ， a 3 + 6 ， a 4 + 4 成等比数列. （1）求 {a n } 的通项公式；（2）求 {a n } 的前 n 项和 S n 的最小值；（3）若 {b n } 是等差数列， {b n } 与 {a n } 的公差不相等，且 b 5 = a 5 ，问： {a n } 和 {b n } 中除第 5 项外，还有序号相同且数值相等的项吗？（直接写出结论即可） 28.已知数列 {a } 满足 1a ≤ a≤ 3a ， n ∈ N ∗ ， a= 1 .n3 n n +1n1（1）若 a 2 = 3 ， a 3 = x ， a 4 = 6 ，求 x 的取值范围；（2）若 {a } 是公比为 q 的等比数列， S= a + a+ ⋯ + a ， 1S ≤ S≤ 3S ， n ∈ N ∗ ， 求 qn的取值范围；n12n3 nn +1（3）若 a 1, a 2, ⋯ , a k 成等差数列，且 a 1 + a 2 + ⋯ + a k = 2020 ，求正整数 k 的最大值. 29.若数列 {a n } 是公差为 2 的等差数列，数列 {b n } 满足 b 1＝1，b 2＝2，且 a n b n ＋b n ＝nb n ＋1. （1）求数列 {a n } , {b n } 的通项公式；（2）设数列 {c n} 满足 c n= a n +1 b n +1，数列 {c n } 的前 n 项和为 T n ，若不等式 (－1)n λ < T n+ n 2n−1对一切 n ∈N *恒成立，求实数 λ 的取值范围.30.设 T n 是数列 {a n } 的前 n 项之积，且满足 T n = 3 − a n ， n ∈ N ∗ .（1）求证：数列 { 13−a n1− } 是等比数列，并写出数列 {a n } 的通项公式；（2）设 S 是数列 {a } 是前 n 项之和，证明： n + 1 − 1< S< n + 2 − 2.nnT nnT n31.已知数列{a n }满足 a n+1+a n =4n ﹣3，n ∈N * （1）若数列{a n }是等差数列，求 a 1 的值； （2）当 a 1=﹣3 时，求数列{a n }的前 n 项和 S n ； （3）若对任意的n ∈N *， 都 有a n 2+a n +1 2a n +a n +1≥5 成立，求 a 1的取值范围．32.ΔABC 中，内角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ，已知 a , b , c 成等比数列，且B = 3．（Ⅰ）求1tan A+1tan B的值；cos 4（ ）设 B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗A ⃗⃗⃗ ⋅ B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C ⃗⃗⃗ = 3 2，求 a + c 的值． 33.已知数列 {a n } 的前 n 和为 S n ，且满足 λS n = a n − 1 ，其中 λ ≠ 0 且 λ ≠ 1 . （1）证明：数列 {a n } 是等比数列；（2）当 λ = 12，令 c n= (n + 1)a n ，数列 {a n } 的前 n 项和为 T n ，若需 Tn> 2019 恒成立，求正整n数 n 的最小值.321+a 2 n a 2 n)34.已知数列 {a n} 满足 a 1 = 1 ， a n +1=a n n， n ∈ N ∗， 记Sn， T n分别是数列 {a n} ， {a 2} 的前 n 项和，证明：当 n ∈ N ∗ 时，（1）a n +1 < a n ；（2）T n = 1n +1− 2n − 1 ；（3）√2n − 1 < S n < √2n .35.设 q 为不等于 1 的正常数， {a n } 各项均为正，首项为 1 ，且 {a n } 前 n 项和为 S n ，已知对任意的正整数 n , m ，当时 n > m ， S n − S m = q m · S n−m 恒成立. （1）求数列 {a n } 的通项公式；（2）若数列 {t n } 是首项为 1 ，公差为 3 的等差数列，存在一列数 k 1, k 2, ⋯ , k n , ⋯ ：恰好使得 t k 1 = a 1, t k 2 = a 2, ⋯ , t k n = a n , ⋯, 且 k 1 = 1, k 2 = 2 ，求数列 {k n } 的通项公式；（3）当 q = 3 时，设 b n = na n ，问数列 {b n} 中是否存在不同的三项恰好成等差数列？若存在，求出所 有这样的三项，若不存在，请说明理由36.已知数列 {a} 满足aa− 3 （ n ≥ 2 ， 且 n ∈ N ∗）， 且 a= − 3， 设 b n + 2 = 3log 1(a n +n4 n = n−1 1441) ， n ∈ N ∗，数列{c n } 满足 c n = (a n + 1)b n .（1）求证：数列 {a n + 1} 是等比数列并求出数列 {a n } 的通项公式； （2）求数列 {c n } 的前 n 项和 S n ； （3）对于任意 n ∈ N ∗，t ∈ [0,1]， cn⩽ tm 2 − m − 12恒成立，求实数 m 的取值范围.37.已知 {a n } 是递增的等差数列， a 2 ， a 4 是方程 x 2－5x ＋6＝0 的根. （1）求 {a n } 的通项公式； a（2）求数列 {2n } 的前 n 项和.38.已知数列 {a } 的满足 a = 1 ，前 n 项的和为 S，且 a n +1−a n = 2 (n ∈ N *) .n1（1）求 a 2 的值；na n an +1 4S n−1（2）设 b n = a na n +1−a n ，证明：数列 {b n} 是等差数列；（3）设 c n = 2b n ⋅ a n ，若 1 ≤ λ ≤ √2 ，求对所有的正整数 n 都有 2λ2 − kλ + 3√2 < c n 成立的 k 的取值范围.39.数列 {a n } 是首项与公比均为 a 的等比数列（ a > 0 ，且 a ≠ 1 ），数列 {b n } 满足 b n = a n ⋅ lg a n ． （1）求数列 {b n } 的前 n 项和 T n ； （2）若对一切 n ∈ N ∗都有b n < b n +1 ，求 a 的取值范围．40.等差数列{a n }中，其前 n 项和为 S n ， 且S n = (a n +1)22，等比数列{b n }中，其前 n 项和为 T n ， 且 T n =(b n +1 2 ，（n ∈N *）2（1）求a n ，b n ； （2）求{a n b n }的前 n 项和 M n ．n +1 41.已知函数 f （x ） = log 3（ax + b ） 的图象过点 A （2，1） 和 B （5，2 ）记 a n = 3f （n ） ， n ∈ N * ．（1）求数列{ a n }的通项公式．（2）设 b n = a n2n ， T n = b 1 + b 2 + ⋯ b n ， T n< m （ m ∈ Z ），求 m 的最小值．42.已知公比 q > 0 的等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，且 a 1 = 1, S 3 = 13 ，数列 {b n } 中， b 1 = 1, b 3 = 3 ．（1）若数列 {a n + b n } 是等差数列，求 a n , b n ； （2）在（1）的条件下，求数列 {b n } 的前 n 项和 T n ．43.已知数列{b n }是首项 b 1=1，b 4=10 的等差数列，设 b n +2=3 log 1 4a n （n ∈n *）．（1）求证：{a n }是等比数列；（2）记 c n =1 b n b n +1，求数列{c n }的前 n 项和 S n ；（3）记 d n =（3n+1）•S n ， 若对任意正整数 n ，不等式的最大值．1n +d 1 1+ n +d 2 +…+ 1n +d nm＞ 24 恒成立，求整数 m 44.已知各项均不相等的等差数列 {a n } 的前五项和 S 5 = 20 ，且 a 1, a 3, a 7 成等比数列；（1）求数列 {a n } 的通项公式； （2）若 T n 为数列 { 1a n a n +1} 的前 n 项和，且存在 n ∈ N ∗，使得T n− λa n≥ 0 成立，求实数 λ 的取值范围。
高考数学《数列》大题训练50题含答案解析整理版
高考数学《数列》大题训练50题1 ．数列{}的前n 项和为，且满足，.n a n S 11a =2(1)n n S n a =+（1）求{}的通项公式； （2）求和T n =.n a 1211123(1)na a n a ++++L 2 ．已知数列，a 1=1，点在直线上.}{n a *))(2,(1N n a a P n n ∈+0121=+-y x （1）求数列的通项公式；}{n a （2）函数，求函数最小值.)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且 )(n f 3 ．已知函数(a ，b 为常数)的图象经过点P （1，）和Q （4，8）x ab x f =)(81(1) 求函数的解析式；)(x f (2) 记a n =log 2,n 是正整数，是数列{a n }的前n 项和，求的最小值。
)(n f n S n S 4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15．求＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式．n S 5 ．设数列的前项和为，且，其中是不等于和0的实常数.{}n a n n S 1n n S c ca =+-c 1-（1）求证: 为等比数列；{}n a （2）设数列的公比，数列满足，试写出 的{}n a ()q f c ={}n b ()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭通项公式，并求的结果.12231n n b b b b b b -+++L 6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量与向量共线，且1+n n A A n n C B 点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15，求数列{a n }中的最小项.7 ．已知数列的前三项与数列的前三项对应相同，且…对任意的{}n a {}n b 212322a a a +++12n n a -+8n =∈n N*都成立，数列是等差数列．1{}n n b b +-（1）求数列与的通项公式；{}n a {}n b （2）问是否存在N *，使得？请说明理由．k ∈(0,1)k k b a -∈8 ．已知数列),3,2(1335,}{11 =-+==-n a a a a nn n n 且中（I ）试求a 2，a 3的值；（II ）若存在实数为等差数列，试求λ的值.}3{,nn a λλ+使得9 ．已知数列的前项和为，若，{}n a n n S ()1,211++=⋅=+n n S a n a n n（1）求数列的通项公式;{}n a （2）令，①当为何正整数值时，：②若对一切正整数，总有，求的n nn S T 2=n 1+>n n T T n m T n ≤m 取值范围。
数列大题训练50题及答案
数列大题训练50题及答案本卷含答案及知识卡片，同学们做题务必认真审题，规范书写。
保持卷板整洁。
一.解答题(共50题),2a n+1a n+a n+1−a n=0.1. (2019•全国)数列{an}中, a1=13(1)求{aₙ}的通项公式 ;(2)求满足a1a2+a2a3+⋯+a n−1a n<1的n的最大值 .72.( 2019•新课标Ⅰ )记 Sn为等差数列{aₙ}的前 n项和 .已知Sg= -a₅.(1)若 a₃=4,求{aₙ}的通项公式 ;(2)若 a₁>0, 求使得Sₙ≥aₙ的n的取值范围 .3.( 2019·新课标Ⅱ)已知数列aₙ和bₙ满足a₁=1,b₁=0,4aₙ₊₁=3aₙ−bₙ+4,4bₙ₊₁=3bₙ−aₙ−4.( 1) 证明 : aₙ+bₙ是等比数列，aₙ−bₙ是等差数列；(2)求{aₙ}和bₙ的通项公式 .4.( 2019•新课标Ⅱ)已知{ aₙ}是各项均为正数的等比数列， a₁=2,a₃=2a₂+16.(1)求{aₙ}的通项公式 ;(2)设bₙ=log₂aₙ,求数列bₙ的前n项和 .5.(2018•新课标Ⅱ)记 Sn为等差数列aₙ}的前 n项和 , 已知a₁= - 7 , S₃= -15 .(1)求{ aₙ}的通项公式；(2)求Sₙ,并求Sₙ，的最小值 ..6 .( 2018•新课标Ⅰ )已知数列{ aₙ满足a₁=1,naₙ₊₁=2(n+1)aₙ,设b n=a nn(1)求b₁,b₂,b₃;( 2) 判断数列{bₙ}是否为等比数列，并说明理由；(3)求{aₙ}的通项公式 .7.( 2018•新课标Ⅲ ) 等比数列{aₙ}中 ,a₁=1,a₅=4a₃·(1)求{aₙ}的通项公式 ;(2)记 Sn为{aₙ}的前 n项和 .若Sₙ=63,求m..8.(2017•全国)设数列{bₙ}的各项都为正数 , 且b n+1=b nb n+1}为等差数列；( 1) 证明数列{1b n(2)设 b₁=1,求数列{ bₙbₙ₊₁的前n项和Sₙ.9 .( 2017•新课标Ⅱ )已知等差数列{aₙ}的前 n项和为 Sₙ,等比数列{bₙ}的前 n项和为Tₙ,a₁=−1,b₁=1,a₂+b₂=2(1)若 a₃+b₃=5,又求{bₙ}的通项公式 ;(2)若 T₃=21, 求 S₃.10 .( 2017•新课标Ⅰ )记. Sₙ，为等比数列{aₙ}的前 n项和 .已知 S₂=2,S₃=-6.(1)求{aₙ}的通项公式 ;(2)求Sₙ,并判断Sₙ₊₁,Sₙ,Sₙ₊₂是否成等差数列 .11 .( 2017•新课标Ⅲ)设数列{aₙ}满足a1+3a2++(2n−1)a n=2n.(1)求{an}的通项公式 ;}的前 n项和 .(2)求数列{a n2n+112.( 2016·全国) 已知数列aₙ}的前 n项和Sₙ=n².( Ⅰ )求{aₙ}的通项公式 ;,求数列{bₙ}的前 n项和 .(Ⅱ)记b n=√a n+√a n+113 .( 2016•新课标Ⅲ ) 已知数列aₙ}的前n项和Sₙ=1+λaₙ,其中λ≠0.(1) 证明{aₙ}是等比数列，并求其通项公式；,求λ .(2)若S5=313214 .( 2016•新课标Ⅰ ) 已知{aₙ}是公差为 3 的等差数列 , 数列{ bₙ满足b₁=1,,a n b n+1+b n+1=nb n.b2=13( Ⅰ )求{aₙ}的通项公式 ;(Ⅱ)求{bₙ}的前n项和.15 .( 2016•新课标Ⅲ) 已知各项都为正数的数列aₙ满足a1=1,a n2−(2a n+1(1)aₙ−2aₙ₊₁=0.(1)求 a₂, a₃;(2)求{aₙ}的通项公式 .16 .( 2016•新课标Ⅱ ) 等差数列{aₙ}中 ,a₃+a₄=4,a₅+a₇=6.( Ⅰ )求{aₙ}的通项公式 ;数列全国高考数学试题 参考答案与试题解析一 . 解答题(共50 小题)1.( 2019•全国)数列{a ₙ}中 , a 1=13,2a n+1a n +a n+1−a n =0.(1)求{a ₙ}的通项公式 ;( 2)求满足 a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n−1a n <17的n 的最大值 .【解答】解:(1) ∵2a n+1a n +a n+1−a n =0.∴1a n+1−1a n=2,∴a 1a 2+a 2a 3++a n−1a n =12[(13−15)+(15−17)+⋯+(12n−1−12n+1)]=12(13−12n+1),∵a 1a 2+a 2a 3++a n−1a n <17,∴12(13−12n+1)<17, ∴4n +2<42,∴n <10,∵n ∈N ∗, ∴n 的最大值为9.【点评】本题考查了等差数列的定义 ，通项公式和裂项相消法求出数列的前 n【分析】(1)由 2aₙ₊₁aₙ+aₙ₊₁−aₙ=0可得−=2,可知数列 {}是等差数列 ，求出- 的通项公式可得 an ；(2)由(1)知1a a =1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)(n ≥2),然后利用裂项相消法求出 a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n−1a n 再解不等式可得n 的范围，进而得到n 的最大值 . 又1a =3,∴数列 {}是以3为首项 ，2 为公差的等差数列 ， ∴1a =2n +1,∴a n =12n+1;(2)由(1)知 , a n−1a n =1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)(n ≥2),。
数列大题30题学生(含答案)
1．如下图，一个等腰直角三角形的硬纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，CD是斜边上的高沿CD把△ABC折成直二面角．（1）如果你手中只有一把能度量长度的直尺，应该如何确定A，B的位置，使二面角A－CD－B是直二面角？证明你的结论．（2）试在平面ABC上确定一个P，使DP与平面ABC内任意一条直线都垂直，证明你的结论．（3）如果在折成的三棱锥内有一个小球，求出小球半径的最大值．2．如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为3，侧棱长为4，连结A1B，过A作AF⊥A1B 垂足为F，且AF的延长线交B1B于E。
（Ⅰ）求证：D1B⊥平面AEC；（Ⅱ）求三棱锥B—AEC的体积；（Ⅲ）求二面角B—AE—C的大小.3．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1，点M在BC上，△AMC1是以M为直角顶点的等腰直角三角形.（I）求证：点M为BC的中点；（Ⅱ）求点B到平面AMC1的距离；（Ⅲ）求二面角M—AC1—B的正切值.A BC第1题图ABCD第1题图AB CA1B1C1M第3题图4．如图，已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，三角形ACD 是正三角形，且AD=DE=2，AB=1，F 是CD 的中点．（Ⅰ）求证：AF ∥平面BCE ； （Ⅱ）求多面体ABCDE 的体积； （Ⅲ）求二面角C-BE-D 的正切值．5．已知：ABCD 是矩形，设PA=a ，PA ⊥平面ABCD.M 、N 分别是AB 、PC 的中点.（Ⅰ）求证：MN ⊥AB ；（Ⅱ）若PD=AB ，且平面MND ⊥平面PCD ，求二面角P —CD —A 的大小； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥D —AMN 的体 6．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 、M 、N 分别为棱DD 1、AB 、BC 的中点。
（I ）求二面角B 1—MN —B 的正切值； （II ）证明：PB ⊥平面MNB 1；（III ）画出一个正方体表面展开图，使其满足 “有4个正方形面相连成一个长方形”的条件， 并求出展开图中P 、B 两点间的距离。
高中数学《数列》100题(问题+答案)
数列一、单选题1．在ABC 中，AB，45C =︒，O 是ABC 的外心，若OC AB CA CB ⋅+⋅的最大值是m ，数列{}n a 中，11a =，12n n a ma +=+，则{}n a 的通项公式为n a =（）A ．1231n -⋅-B ．1322n -⋅-C ．32n -D ．1544n -⋅-2．将等比数列{}n b 按原顺序分成1项，2项，4项，…，12n -项的各组，再将公差为2的等差数列{}n a 的各项依次插入各组之间，得到新数列{}n c ：1b ，1a ，2b ，3b ，2a ，4b ，5b ，6b ，7b ，3a ，…，新数列{}n c 的前n 项和为n S ．若11c =，22c =，3134S =，则S 200=（）A ．3841117232⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦B ．3861113032⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦C ．3861117232⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦D ．38411302⎛⎫- ⎪⎝⎭3．在ABC 中，AB =，45C =︒，O 是ABC 的外心，若21OC AC ⋅-的最大值是m ，数列{}n a 中，11a =，12n n a ma +=+，则{}n a 的通项公式为n a =（）．A ．1231n -⋅-B ．1322n -⋅-C ．32n -D ．1544n -⋅-4．设数列{}n a 的通项公式为()()()*121cos 1N 2nn n a n n π=--⋅+∈，其前n 项和为n S ，则120S =（）A ．60-B ．120-C ．180D ．2405．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足190S >，200S <，若数列{}n a 满足10m m a a +⋅<，则m ＝（）A ．9B ．10C ．19D ．206．已知数列{}n a 的首项11a =，函数()()41cos 221n n f x x a x a +=+-+有唯一零点，则通项n a =（）A ．13n -B ．12n -C ．21n -D ．32n -7．等差数列{}n a 的首项为正数，其前n 项和为n S .现有下列命题，其中是假命题的有（）A ．若n S 有最大值，则数列{}n a 的公差小于0B ．若6130a a +=，则使0n S >的最大的n 为18C ．若90a >，9100a a +<，则{}n S 中9S 最大D ．若90a >，9100a a +<，则数列{}n a 中的最小项是第9项8．已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，存在两项m a ，n a使得14a =，则122n m n+++的最小值为（）A．118+B ．2615C ．74D ．28159．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()2*12n n na S n N a +=∈，则下列说法正确的是（）A ．202120221a a ⋅<B ．202120221a a ⋅>C．2022a <-D．2022a >10．数列{}n a 满足11a =，且对于任意的*N n ∈都有11n n a a a n +=++，则122015111a a a +++= （）A ．10071008B ．20151008C ．1007504D ．2015201611．在数列{}n a 中，12a =，22a =且21(1)(N )nn n a a n ++-=+-∈，100S =（）A ．0B ．1300C ．2600D ．265012．童谣是一种民间文学，因为常取材于现实生活，语言幽默风趣、朗朗上口而使少年儿童易于接受，从而成为了重要的传统教育方式.有一首童谣中唱到:“玲珑塔上琉璃灯，沙弥点灯向上行.首层掌灯共三盏，明灯层层更倍增（意为:每上一层，灯的数量增加一倍).小僧掌灯到塔顶，心中默数灯几重.玲珑塔上灯火数，三百八十一盏明.灯映湖心点点红，但问塔顶几盏灯?”童谣中的玲珑塔的顶层灯的盏数为（）A ．96B ．144C ．192D ．23113．已知无穷等比数列{}n a 中12a =，22a <，它的前n 项和为n S ，则下列命题正确的是（）A ．数列{}n S 是递增数列B ．数列{}n S 是递减数列C ．数列{}n S 存在最小项D ．数列{}n S 存在最大项14．已知等差数列{}n a 中，前4项为1，3，5，7，则数列{}n a 前10项的和10S =（）A ．100B ．23C ．21D ．1715．已知等差数列{}n a 中，其前5项的和525S =，等比数列{}n b 中，1132,8,b b ==则37a b =（）A ．54-或54B ．54-C ．45D ．5416．在等比数列{}n a 中，已知对*n N ∈有1221n n a a a ++⋯+=-，那么22212n a a a ++⋯+=（）A ．2(21)n -B ．21(21)3n -C ．41n -D ．1(41)3n-17．设等比数列{}n a 的各项均为正数，已知237881a a a a =，则267a a a +的最小值为（）AB．C．D．18．已知等差数列{}n a 满足13512a a a ++=，10111224a a a ++=，则{}n a 的前13项的和为（）A ．12B ．36C ．78D ．15619．设()n a Ω表示落在区间[],n n a 内的偶数个数.在等比数列{}n a n -中，14a =，211a =，则()4a Ω=（）A ．21B ．20C ．41D ．4020．已知数列1，12-，14，18-，…．则该数列的第10项为（）A ．1512-B ．1512C ．11024-D ．1102421．有一个非常有趣的数列1⎧⎫⎨⎬⎩⎭n 叫做调和数列，此数列的前n 项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式．某数学探究小组为了探究调和数列的性质，仿照“杨辉三角”．将1，12，13，14， (1)，…作为第一行，相邻两个数相减得到第二行，依次类推，得到如图所示的三角形差数列，则第2行的前100项和为（）A ．100101B ．99100C ．99200D ．5010122．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1a ，2020a 满足12020OA a OB a OC =+，其中A 为OBC边BC 上任意一点，则2020S =（）．A ．2020B ．1010C ．1020D ．223．一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，这样的数被称为三角形数.如图，根据前三个点阵图形的规律，第四个点阵表示的三角形数是（）A ．1B ．6C ．10D ．2024．数列{}n a 的前4项为：1111,,,25811，则它的一个通项公式是（）A ．121n -B ．121n +C ．131n -D ．131n +25．已知数列1，3-，5，7-，9，…，则该数列的第10项为（）A ．21-B ．19-C ．19D ．2126．在等差数列{}n a 中，若47101102a a a ++=，则311a a +=（）A ．2B ．4C ．6D ．827．等差数列{}n a 中，若14a =，公差2d =，则5a =（）A ．10B ．12C ．14D ．22二、多选题28．在平面四边形ABCD 中，ABD △的面积是BCD △面积的2倍，又数列{}n a 满足12a =，当2n ≥时，恒有()()1122n nn n BD a BA a BC --=-++ ，设{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A ．{}n a 为等比数列B ．2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减数列C ．{}n a 为等差数列D ．()152210n n S n +=--29．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n n S S a +=++，数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为*,n T n N ∈，则下列选项正确的为（）A ．数列{1}n a +是等差数列B ．数列{1}n a +是等比数列C ．数列{}n a 的通项公式为21nn a =-D ．1n T <30．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，若10911S S S <<，则（）A ．0d >B ．10a >C ．200S <D ．210S >31．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知342,14a S ==，则（）A ．{}n a 是递增数列B ．18a =C ．523S a a =D ．n S 的最小值为332．已知数列{}n a 中，13a =，()1*11N n na n a +=∈-，下列选项中能使3n a =的n 有（）A ．22B ．24C ．26D ．2833．对任意数列{}n a ，下列说法一定正确的是（）A ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{2}n a 是等比数列B ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{2}n a 是等差数列C ．若数列{}n a 是等比数列，则数列{lg |}|n a 是等比数列D ．若数列{}n a 是等比数列，则数列{lg |}|n a 是等差数列三、填空题34．在数列{}n a 及{}n b 中，1n n n a a b +=++，1n n n b a b +=+，11a =，11b =．设11n n nc a b =+，则数列{}n c 的前2018项和为_________35．已知数列{}n a 的通项为21n a n =-+，等比数列{}n b 的公比q 满足1(2)n n q a a n -=-≥且12b a =，则123...n b b b b ++++=________.36．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，记为{}n F .利用下图所揭示的{}n F 的性质，则在等式()222220221220212022m F F F F F F -++⋅⋅⋅+=⋅中，m =______.37．将公差不为零的等差数列1a ，2a ，3a 调整顺序后构成一个新的等比数列i a ，j a ，k a ，其中{,,}{1,2,3}i j k =，试写出一个调整顺序后成等比数列的数列公比：_____．（写出一个即可）．38．已知()f x 为R 上单调递增的奇函数，在数列{}n a 中，120a =，对任意正整数n ，()()130n n f a f a ++-=，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为___________.39．给定正整数n 和正数b ，对于满足条件211n a a b +-=的所有无穷等差数列{}n a ，当1n a +=________时，1221n n n y a a a +++=+++ 取得最大值．40．在我国南宋数学家杨辉所著作的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形（杨辉三角）解释了二项和的乘方规律，下面的数字三角形可以看做当n 依次取0、1、2、3、L 时()na b +展开式的二项式系数，相邻两斜线间各数的和组成数列{}n a ，例11a =，211a =+，312a =+，L ，设数列{}n a 的前n 项和为n S .若20243a m =+，则2022S =___________.41．已知数列{}n a 的前n 项和343n n nS -=，记n b =，则数列{}n b 的前n 项和n T =_______.42．现有一根长为81米的圆柱形铁棒，第1天截取铁棒长度的13，从第2天开始每天截取前一天剩下长度的13，则第5天截取的长度是______米.43．已知数列{}n a 满足112,,n n a a a n +==-则求100a =___________44．已知等差数列的前n 项和为n S ，且13140,0S S ><，则使n S 取得最大值的n 为__________．45．在等差数列{}n a 中，710132a a =+，则该数列的前7项和为_________．46．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比1q >，且21a +为1a 与3a 的等差中项，314S =.若数列{}n b 满足2log n n b a =，其前n 项和为n T ，则n T =_________.47．已知数列{}n a 是递增数列，且满足121n n a a +=+，且1a 的取值范围是___________.48．已知等比数列{}n a 的公比为2，前n 项和为n S ，则lim nn nS a →∞=__________．49．已知数列{}n a 的首项12a =，且对任意的*n N ∈，都有122nn n a a a +=+，则lim n n a →+∞=______．50．数列{}n a 满足12a =，2111a a =-，若对于大于2的正整数n ，111n n a a -=-，则102a =__________.51．若n a 为()1nx +的二项展开式中2x 项的系数，则2limnn a n →+∞=_________.52．联合国教科文组织将3月14日确定为“国际数学日”，是因为3.14是圆周率数值最接近的数字.我国数学家刘徽首创割圆术，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.步骤是：第1步，计算圆内接正六边形的周长；第2步，计算圆内接正12边形的周长；第3步，计算圆内接正24边形的周长；以此类推，第6步，需要计算的是正______边形的周长.53．已知数列{}n a 满足11n nna a +=+，且46a =，则1a =___________.54．已知无穷数列{}n a 满足12a =，25a =，318a =，写出{}n a 的一个通项公式：______.（不能写成分段函数的形式）55．数列{}n a 的前几项和为n S ，且111,2n n a a a +==，则，4S =__________．56．若等差数列{}n a 满足202220221a a a =+=，则1a 的值为___________.57．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中，能被3除余1且被5整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为__________．58．已知数列{}n a 中，11a =，13n n a a +=-，则5S =_________四、解答题59．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S 满足12311111n n S S S S n +++⋯+=+，*N n ∈．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足22na nb =，记n T 为数列{}n b 的前n 项和，()x Ω表示x 除以3的余数，求()21n T +Ω．60．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，52a ，4a ，64a 成等差数列，且满足2434a a =，数列{}n S 的前n 项之积为n b ，且121n nS b +=．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设21n n n n n b a d b b ++⋅=⋅，若数列{}n d 的前n 项和n M ，证明：71303n M ≤<．61．若有穷数列A ：1a ，2a ，…，()*,3n a n n ∈≥N ，满足()1121,2,,2i i i i a a a a i n +++-≤-=- ，则称数列A 为M 数列．(1)判断下列数列是否为M 数列，并说明理由；①1，2，4，3②4，2，8，1(2)已知M 数列A ：1a ，2a ，…，9a ，其中14a =，27a =，求349a a a +++ 的最小值．(3)已知M 数列A 是1，2，…，n 的一个排列．若1112n k k k a a n -+=-=+∑，求n 的所有取值．62．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且211122n S n n =++，*N n ∈．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足11223113322n n n b b b a a a ++++⋅⋅⋅+=⨯-，*N n ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T ．63．已知数列{}n a 满足12a =，{}n a 的前n 项和为n S ，()()121n n a S n n ++=++∈N ，令1n n b a =+．(1)求证：{}n b 是等比数列；(2)记数列{}n nb 的前n 项和为n T ，求n T ；(3)求证：123111156n a a a a ++++<L ．64．对于有限数列()12:3n A a a a n ≥ ，，，，如果()12121ni a a a a i n n +++<=- ，，，，则称数列A 具有性质P .(1)判断数列1:2323A ，，，和2:3456A ，，，是否具有性质P ，并说明理由;(2)求证：若数列12:n A a a a ，，，具有性质P ，则对任意互不相等的{}12i j k n ∈ ，，，，，，有i j k a a a +>;(3)设数列122022:A a a a ，，，具有性质P ，每一项均为整数，()1122021i i a a i +≠= ，，，，求122022a a a +++ 的最小值.65．已知数列{}n a 满足11a =，1,,2,.n n n a n a a n +⎧=⎨⎩为奇数为偶数(1)令2n n b a =，求1b ，2b 及{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n a 的前2n 项和2n S .66．已知集合（Z 是整数集，m 是大于3的正整数）．若含有m 项的数列{}n a 满足：任意的,i j M ∈，都有i a M ∈，且当i j ≠时有i j a a ≠，当i m <时有12i i a a +-=或13i i a a +-=，则称该数列为P 数列．(1)写出所有满足5m =且11a =的P 数列；(2)若数列{}n a 为P 数列，证明：{}n a 不可能是等差数列；(3)已知含有100项的P 数列{}n a 满足5105100,,,,,(1,2,3,,20)k a a a a k = 是公差为(0)d d >等差数列，求d 所有可能的值67．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足121n n S S n +-=+（N n *∈），且11a =.(1)求证：数列{}1n a +是等比数列；(2)若()22log 1nn n b a =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和nT 68．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13n n a a +=，且3431S S +=．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设()()311log 3n n n b a n a =++，求数列{}n b 的前n 项和n T．69．（1）已知数列{}n a 是正项数列，12a =，且2211122n n n n n n a a a a a a +++-+=+．求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n a 满足12a =，28a =，2143n n n a a a ++=-．求数列{}n a 的通项公式．70．已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式：21n a n =-，2n n b =(1)求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．(2)求数列211n n n n a a a b +++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．71．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且1a ，2a ，4a 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若11n n b S +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：12n T <．72．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()647n n n S a a =-+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1133nn nn n n a a b a a ++-=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .73．已知数列{}{},n n a b 满足111a b ==．数列{}n n a b +是公差为q 的等差数列，数列{}n n a b 是公比为q 的等比数列，,n n a b n *≥∈N ．(1)若1q =，求数列{}n a 的通项公式；(2)若01q <<，证明：12231,1n n qa b a b a b n q*++++<∈-N ．74．已知数列{an }对任意的n ∈N *都满足312233333n n a a a a n ++++= ．(1)求数列{an }的通项公式；(2)令bn ＝3413431log log n n a a -+，求数列{bn }的前n 项和为Tn ．75．已知数列{}n a 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有23333123123()n n a a a a a a a a ++++=++++ .(1)写出数列的前三项（请写出所有可能的结果）；(2)是否存在满足条件的无穷数列{}n a ，使得20172016a =-？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由；(3)记n a 的所有取值构成的集合为n A ，求集合n A 中所有元素之和．（结论不要求证明）76．已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且22b =，34b =，11a b =，851a b +=．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设11n n n a c b ++=，数列{}n c 的前n 项和为n S ，求n S ．77．设各项均不等于零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1114,42n n n a S a a a +=+=.(1)求23,a a 的值，并求数列{}n a 的通项公式；(2)证明：1211121n nS S S a +++<- .78．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且22b =，516b =，112a b =，34a b =．(1)求{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S ．79．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31a =，67S =；数列{}n b 满足11222n n b b b ++++=- ．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记tan()n n n c b a π=⋅，求数列{}n c 的前3n 项和．80．已知数列{an }的前n 项和为n S ，*1(N )22n n a n S -∈=，数列{bn }满足b 1＝1，点P（bn ，bn +1）在直线x ﹣y +2＝0上．(1)求数列{an }，{bn }的通项公式；(2)令n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和Tn ；(3)若0λ>，求对所有的正整数n 都有222nnb k a λλ-+>成立的k 的取值范围．81．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且45656a a a ++=，54a +是4a ，6a 的等差中项．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)数列{}1n n a a λ+-的前n 项和为n S ，若()*21n n S n =-∈N ，求实数λ的值．82．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n n S na =，且246601860S S S S ++++= ，求1a .83．已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-．(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()221n n n S S S n N *++<∈；(3)对任意的正整数n ，设()21132,,,,n nn n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．84．在数列{}n a 中，()*112,21n n a a a n n +==-+∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ．(1)证明：数列{}n a n -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)求n S ．85．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n ，都有23n n S a n =-．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列{(1)}n n a +⋅的前n 项和n T ．86．已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且111a b ==，322b b =，441a b +=．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设11n n n a c b ++=，数列{}n c 的前n 项和为n S ，若不等式12n n nS λ-<+对任意的n *∈N 恒成立，求实数λ的取值范围．87．甲、乙两人同时分别入职,A B 两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：A 公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；B 公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍．(1)分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量（精确到1元）(2)设甲、乙两人入职第n 年的月基础工资分别为n a 、n b 元，记n n n c a b =-，讨论数列{}n c 的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由．88．已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，且124,,a a a 是等比数列{}n b 的前3项.(1)求,n n a b ；(2)设22121n n n n n c b a a ++=+⋅，求{}n c 的前n 项和n S .89．治理垃圾是改善环境的重要举措．A 地在未进行垃圾分类前每年需要焚烧垃圾量为200万吨，当地政府从2020年开始推进垃圾分类工作，通过对分类垃圾进行环保处理等一系列措施，预计从2020年开始的连续5年，每年需要焚烧垃圾量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年需要焚烧垃圾量为上一年的75%（记2020年为第1年）.(1)写出A 地每年需要焚烧垃圾量与治理年数()*n n N∈的表达式；(2)设n A 为从2020年开始n 年内需要焚烧垃圾量的年平均值．．．．，证明数列{}n A 为递减数列．90．已知{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是等比数列111a b ==，22a b =，3342a b a +=.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记,,n n na n cb n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T .91．已知{}n a 是递增的等差数列，13a =，且13a ，4a ，1a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：11156n T ≤<.92．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且126a =-，1215S S =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列{}2nn a -的前n 项和n T .93．设数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S .(1)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求{}n a 的通项公式；①{}11,2n a S =-是等比数列；②233421,61S a S a =+=+.(2)在（1）的条件下，若31n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.94．已知{}n a 是等比数列，0n a >，1329a a a =，12312323a a a ++=．(1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求使得1n n S na +≥的正整数n 的所有取值．95．已知数列{}n a 的通项公式为2n a n n λ=+，若数列{}n a 为递增数列，求λ的取值范围．96．设{}{}n n a b 、是两个数列，()()12122n n n n M A a B n n -⎛⎫⎪⎝⎭,,,,，为直角坐标平面上的点.对*N n n n M A B ∈，、、三点共线.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足:1122212log n nn na b a b a b c a a a +++=+++ ，其中{}n c 是第三项为8，公比为4的等比数列.求证:点列()()()11221,2,,n n P b P b P n b 、、、在同一条直线上;(3)记数列{}{}n n a b 、的前m 项和分别为m A 和m B ，对任意自然数n ，是否总存在与n 相关的自然数m ，使得n m n m a B b A =若存在，求出m 与n 的关系，若不存在，请说明理由.97．已知等差数列{}n a 满足：47a =，1019a =，其前n 项和为.n S (1)求数列{}n a 的通项公式n a 及n S ；(2)若n b ={}n b 的前n 项和n T ．98．在等差数列{}n a 中，已知1210a a +=，34530a a a ++=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n n a b +是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n S ．五、双空题99．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自我国古代典籍《庄子·天下》，其中蕴含着等比数列的相关知识.已知长度为4的线段AB ，取AB 的中点C ，以AC 为边作等边三角形（如图①），该等边三角形的面积为1S ，在图①中取CB 的中点1C ，以1CC 为边作等边三角形（如图②），图②中所有的等边三角形的面积之和为2S ，以此类推，则3S =___________；1nii iS==∑___________.100．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[]2.32=，[]1.72-=-．在数列{}n a 中，[]lg n a n =，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2022a =______；2022S =______．参考答案：1．A 【解析】【分析】先由正弦定理得到2sin b B =，02b <≤2211122a b =+-，由向量数量积的几何意义，得22122b AC OC AC =⋅= ，22122CB OC CB a ⋅=-=- ，进而计算出3m =，再使用构造法求解通项公式【详解】设BC a =，AC b =，AB c =，则在ABC 中，由正弦定理sin sin c bC B=及c 45C =︒，得2sin b B =，∵0180B ︒<<︒，∴0sin 1B <≤，∴02b <≤.在ABC 中，由余弦定理及2222cos c a b ab C =+-及c =45C =︒，2211122a b =+-.因为O 是ABC 的外心，所以O 在线段AC ，CB 上的射影为相应线段的中点，由向量数量积的几何意义，得22122b AC OC AC =⋅=，22122CBOC CB a ⋅=-=- ，()OC AB CA CB OC AC CB CA CB OC AC OC CB CA CB⋅+⋅=⋅++⋅=⋅+⋅+⋅ 222222211111111222222b a b a a b b =-+=-++-=-.∵02b <≤，∴2113b -<-≤，所以OC AB CA CB ⋅+⋅的最大值为3.即3m =.由132n n a a +=+，得()1131n n a a ++=+.所以数列{}1n a +是首项112a +=，公比为3的等比数列.所以1123n n a -+=⨯，即1231n n a -=⨯-.故选：A 【点睛】构造法求解数列的通项公式，是经常考查的知识点，要结合递推数列的结构特点，选择合适的方法进行构造，常见的构造类型有()11n n a pa q p +=+≠和()11nn n a pa q p +=+≠等.2．A 【解析】【分析】由已知求得等比数列的首项和公比，以及等差数列的首项，再求得数列{}n c 的前200项中含有数列{}n a 的前7项，含有数列{}n b 的前193项，运用分组求和的方法可求得答案.【详解】解：由已知得11b =，12a =，2331214b c S c c ==--=，等比数列{}n b 的公比14q =．令21122221nn n T -=++++=- ，则663T =，7127T =，8255T =所以数列{}n c 的前200项中含有数列{}n a 的前7项，含有数列{}n b 的前193项，故()()20012181292S b b b a a a =+++++++ 1933841176112472172123214⎛⎫- ⎪⎡⎤⨯⎛⎫⎝⎭=++⨯=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⨯．故选：A ．3．A 【解析】【分析】设AC b =，AB c =，由正余弦定理可得2sin b B =，结合三角形外心性质、向量数量积的几何意义求得21OC AC ⋅-的最大值为3，进而可得()1131n n a a ++=+，利用等比数列的定义写出通项公式.【详解】设AC b =，AB c =，在ABC 中，由sin sin c bC B=及c =45C =︒，得2sin b B =，∵0180B ︒<<︒，则0sin 1B <≤，∴02b <≤．因为O 是ABC 的外心，所以O 在线段AC ，CB 上的射影为相应线段的中点，由向量数量积的几何意义，得222111OC AC AC b ⋅-=-=- ，而2113b -<-≤，所以21OC AC ⋅-的最大值为3．即3m =．由132n n a a +=+，得()1131n n a a ++=+．所以数列{}1n a +是首项112a +=，公比为3的等比数列．所以1123n n a -+=⨯，即1231n n a -=⨯-．故选：A 4．D 【解析】【分析】分别取43n k =-，42k -，41k -和4k ，*k N ∈，可验证出43424148k k k k a a a a ---+++=，利用周期性可验算得到结果.【详解】当43n k =-，*N k ∈时，cos 02n π=，431k a -=；当42n k =-，*N k ∈时，1os 2c n π=-，()()4224211186k a k k -=⨯--⨯-+=-+⎡⎤⎣⎦；当41n k =-，*N k ∈时，cos 02n π=，411k a -=；当4n k =，*N k ∈时，cos12n π=，424118k a k k =⨯-+=.()4342414186188k k k k a a a a k k ---∴+++=+-+++=，12012082404S ∴=⨯=.故选：D 5．B 【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列的前n 项和结合等差数列性质，求出异号的相邻两项即可作答.【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则1191910191902a a S a +=⨯=>，有100a >，1202010112010()02a a S a a +=⨯=+<，有11100a a <-<，显然数列{}n a 是递减的，且10110a a ⋅<，因10m m a a +⋅<，所以10m =.故选：B 6．C 【解析】【分析】由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数，由此可确定唯一零点为0x =，从而得到递推关系式；利用递推关系式可证得数列{}1n a +为等比数列，由等比数列通项公式可推导得到n a .【详解】()()()()()()4411cos 221cos 221n n n n f x x a x a x a x a f x ++-=-+--+=+-+= ，()f x ∴为偶函数，图象关于y 轴对称，()f x ∴的零点关于y 轴对称，又()f x 有唯一零点，()f x ∴的零点为0x =，即()()10210n n f a a +=-+=，121n n a a +∴=+，即()1121n n a a ++=+，又112a +=，∴数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，12n n a ∴+=，则21n n a =-.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查函数与数列的综合应用问题；解题关键是能够根据奇偶性的性质确定函数的唯一零点为0x =，从而结合零点确定数列的递推关系式，由递推关系式证得数列{}1n a +为等比数列.7．B 【解析】【分析】由n S 有最大值可判断A ；由6139100a a a a +=+=，可得90a >，100a <，利用91018182+=a a S 可判断BC ；90a >，9100a a +<得90a >，991010a a a a =<-=，可判断D.【详解】对于选项A ，∵n S 有最大值，∴等差数列{}n a 一定有负数项，∴等差数列{}n a 为递减数列，故公差小于0，故选项A 正确；对于选项B ，∵6139100a a a a +=+=，且10a >，∴90a >，100a <，∴179=170S a >，910181802a a S +=⨯=，则使0n S >的最大的n 为17，故选项B 错误；对于选项C ，∵90a >，9100a a +<，∴90a >，100a <，故{}n S 中9S 最大，故选项C 正确；对于选项D ，∵90a >，9100a a +<，∴90a >，991010a a a a =<-=，故数列{}n a 中的最小项是第9项，故选项D 正确.故选：B.8．B 【解析】【分析】根据等比数列的知识求得,m n 的关系式，结合基本不等式求得122n m n+++的最小值.【详解】因为7652a a a =+，所以2q =或1q =-，又0n a >，所以2q =.14a =14a =，所以6m n +=，则()28m n ++=，()2121212112282m n n m n m n m n +++⎛⎫+=++=⋅++ ⎪+++⎝⎭()22121822m m n n m n m n +⎡⎤+=+++⎢⎥++⎣⎦()22113131828m n m n ⎛+⎛⎫ =+++≥++ ⎪ +⎝⎭⎝118+=，由()222m nm n+=+可得取等号时)2n m =+，但,m n *∈N ，无解；又6m n +=，经检验1m =且5n =时有最小值2615.故选:B 9．A 【解析】【分析】根据()2*1n n na S n N a +=∈求出1a 的值，判断数列{}2n S 是等差数列，求出n S 的通项公式，再求出n a ，然后逐个分析判断即可【详解】因为数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()2*12n n na S n N a +=∈，所以当1n =时，()211*112a S n N a +=∈，解得11a =或11a =-，当2n ≥时，()2111112n n n n n n n n n a S a S S a a S S --+==+=-+-，整理得2211n n S S --=，所以数列{}2nS 是以1为公差的等差数列，当11a =±时，21(1)n S n n =+-=，所以=n S 或n S=所以1-=-=n n n a S S 11a =满足此式，或1n n n a S S -=-=11a =-满足此式，所以2022a =或2022a =，所以CD 错误，当=n a20212022a a ⋅=1<，当n a =20212022a a ⋅=1<，所以A 正确，B 错误，故选：A 10．B 【解析】【分析】先利用累加法求得数列{}n a 的通项公式，再利用裂项相消法去求122015111a a a +++ 的值.【详解】由11a =，11n n a a a n +=++，可得11n n a a n +-=+则2n ≥时，()()11232211()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+ ()1321(1)2nn n n =+-++++=+ 又11122a ==⨯，则数列{}n a 的通项公式为(1)2n n a n =+则()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭则122015111a a a +++ 1111111201522112232015201620161008⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎣=⎭⎦ 故选：B 11．D 【解析】【分析】分n 为奇数和n 为偶数两种情况讨论，再利用分组求和法及等差数列前n 项和的公式，即可得出答案.【详解】解：当n 为奇数时，20n n a a +-=，所以数列{}n a 的奇数项是以0为公差的等差数列，当n 为偶数时，22n n a a +-=，所以数列{}n a 的偶数项是以2为公差的等差数列，所以2,,n n a n n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以()()10050210025024610010026502S +=⨯+++++=+=L .故选：D.12．C 【解析】【分析】由条件可得玲珑塔的灯盏数从首层到顶层为等比数列，由条件列方程求玲珑塔的顶层灯的盏数.【详解】由题意可得玲珑塔的灯盏数从首层到顶层为等比数列，设其首层为1a ，公比q ，顶层为n a ，前n 项和为n S 由已知可得13a =，2q =，381n S =，由等比数列的前n 项和公式可得132********n nn a a q a a q --==-=--，所以192n a =．故玲珑塔的顶层灯的盏数为192，故选：C.13．C 【解析】【分析】对AB ，举公比为负数的反例判断即可对CD ，设等比数列{}n a 公比为q ，分0q >和0q <两种情况讨论，再得出结论即可【详解】对AB ，当公比为12-时，2311,,2a a =-=此时12332,1,2S S S ===，此时{}n S 既不是递增也不是递减数列；对CD ，设等比数列{}n a 公比为q ，当0q >时，因为22a <，故22q <，故01q <<，此时()2122111n nn q q S qq q-==----，易得n S 随n 的增大而增大，故{}n S 存在最小项1S ，不存在最大项；当0q <时，因为22a <，故22q -<，故10q -<<，2211nn q S q q =---，因为1q <，故当n 为偶数时，2211nn q S q q =---，随着n 的增大而增大，此时222111nn q S q q q =-<---无最大值，当2n =时有最小值222S q =+；当n 为奇数时，2211nn q S q q=+--，随着n 的增大而减小，故222111nn q S q q q=+>---无最小值，有最大值12S =.综上，当0q <时，因为22221q q +<<-，故当2n =时有最小值222S q =+，当1n =时有最大值12S =综上所述，数列{}n S 存在最小项，不一定有最大项，故C 正确；D 错误故选：C 14．A 【解析】【分析】先求出公差，再由等差数列求和公式求解即可.【详解】设公差为d ，则312d =-=，则1010910121002S ⨯=⨯+=.故选：A.15．D 【解析】【分析】由等差数列求和公式求出35a =，由等比数列通项公式基本量计算得到公比，进而求出6714b b q ==，从而求出结果.【详解】由题意得：()155355252a a S a +===，解得：35a =，设等比数列{}n b 的公比是q ，因为1132,8b b ==，所以1228q =，解得：124q =，显然60q >，所以62q =，所以6714b b q ==，所以3754a b =故选：D 16．D 【解析】【分析】利用“1n =时，11a S =；当2n时，1n n n a S S -=-”即可得到n a ，进而得到数列2{}n a 是等比数列，求出公比和首项，再利用等比数列的前n 项和公式即可得出．【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，1221n n n S a a a =++⋯+=- ，∴当2n 时，1112121n n n S a a a ---=++⋯+=-，111222n n n n n n a S S ---∴=-=-=．∴2122221(2)4(2)n n n n a a ---==，当1n =时，11211a =-=，21221a a +=-，解得22a =，22214a a =．也符合2214n n a a -=，∴数列2{}n a 是等比数列，首项为1，公比为4．∴22212411(41)413n n na a a -++⋯+==--．故选：D 17．C 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，根据题意得到2673339q a a qa +=+，结合基本不等式，即可求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，因为23784581a a a a a ==，所以53a =，又因为235553326739,a a a a a q a q q q q===⋅=，所以3267339q a a q a +=+≥=当且仅当3339q q =时，即613q =时，等号成立，所以267a a a +的最小值为.故选：C.18．C 【解析】【分析】利用已知等式可求得等差数列的公差d 和首项1a ，由等差数列求和公式可求得结果.【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，13512a a a ++= ，10111224a a a ++=，()1011121352412a a a a a a d ∴++-++==，解得：12d =，135********a a a a d a ∴++=+=+=，解得：13a =，{}n a ∴的前13项的和为11312131213397824a d ⨯⨯+=+=.故选：C.19．C 【解析】【分析】设{}n a n -的公比为q ，根据1a 和2a 求出q ，从而得n a 和4a ，再根据()n a Ω的定义可求出结果.【详解】设{}n a n -的公比为q ，则2121123141a q a --===--，所以111(1)(41)33n n n n a n a q---=-⋅=-⋅=，则3n n a n =+，所以445438a =+=.所以落在区间[]4,85内的偶数共有41个，故()441a Ω=.故选：C 20．A 【解析】【分析】根据规律可得数列通项，再求其中的项即可.【详解】通过观察可知该数列的通项公式为()1112n n n a +--=，所以()11109112512a -==-．故选：A 21．A 【解析】【分析】利用裂项相消法求和即可；【详解】解：由题可知，第2行的前100项和10011111261210012010S +++++⨯= 1111111100122334100101101=-+-+-++-= ．故选：A 22．B 【解析】【分析】根据三点共线可得120201a a +=，结合等差数列的前n 项和公式求解．∵,,A B C 三点共线且12020OA a OB a OC =+，则120201a a +=∴()120202020202010102a a S +==故选：B ．23．C 【解析】【分析】根据规律求得正确答案.【详解】根据规律可知，第四个点阵表示的三角形数为：123410+++=.故选：C 24．C 【解析】【分析】根据规律可得结果.【详解】将1111,,,25811可以写成1111,,,311321331341⨯-⨯-⨯-⨯-，所以{}n a 的通项公式为131n -；故选:C 25．B 【解析】【分析】由数列的前几项可得数列的一个通项公式，再代入计算可得；【详解】解：依题意可得该数列的通项公式可以为()()1121n n a n +=-⋅-，所以1019a =-.故选：B 26．D 【解析】根据等差数列的下标和性质即可解出．【详解】因为4710771110222a a a a a +=+=+，解得：74a =，所以311728a a a +==．故选：D ．27．B 【解析】【分析】根据等差数列的性质直接计算即可.【详解】由等差数列的性质可知：51444212a a d =+=+⨯=；故选：B.28．BD 【解析】【分析】连AC 交BD 于E ，根据面积关系推出2AE EC =，根据平面向量知识推出BE = 1233BA BC +，结合()()1122n n n n BD a BA a BC --=-++ ，推出1122(2)n n n n a a --+=-，11222nn n n a a ---=-，求出232nn a n =-+，(23)2n n a n =-+⋅，根据等比数列的定义可判断A ；根据等差数列的定义可判断C ，根据数列的单调性可判断B ；利用错位相减法求出n S ，可判断D.【详解】如图，连AC 交BD 于E ，则1sin 21sin 2ABD BD AE AEB S S BD EC CED ⋅⋅=⋅⋅△△BCD ÐÐ=2AEEC=，即2AE EC =，所以2AE EC =，所以()2BE BA BC BE -=- ，所以BE = 1233BA BC +，设BD tBE =(1)t >，因为当2n ≥时，恒有()()1122n nn n BD a BA a BC --=-++ ，所以()()111122n nn n BE a BA a BC t t--=-++ ，()()1111231223n n n na t a t--⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以当2n ≥时，恒有1122(2)n n n n a a --+=-，所以11222n n n n a a --=-，即11222n n n n a a ---=-，又12a =，所以112a =，所以12(1)232nn a n n =--=-+，所以(23)2n n a n =-+⋅，因为11(21)242(23)223n n n n a n n a n n ++-+⋅-+==-+⋅-+不是常数，所以{}n a 不为等比数列，故A 不正确；因为11(21)(23)2022n n n n a a n n ++-=-+--+=-<，即1122n n n n a a ++<，所以2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减数列，故B 正确；因为1n n a a +-=1(21)2(23)2n n n n +-+⋅--+⋅=(21)2n n --⋅不是常数，所以{}n a 不为等差数列，故C 不正确；因为12312(1)2(3)2(23)2nn S n =⨯+-⋅+-⋅++-+⋅ ，所以2341212(1)2(3)2(23)2n n S n +=⨯+-⋅+-⋅++-+⋅ ，所以12341122(2222)(23)2n n n S n +-=⨯-++++--+⋅ ，所以114(12)22(23)212n n n S n -+--=-⨯--+⋅-110(52)2n n +=--⋅，所以1(52)210n n S n +=-⋅-，故D 正确.故选：BD 29．BCD【解析】【分析】由题知121n n a a +=+，进而得数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，再结合通项公式和裂项求和求解即可.【详解】由121n n n S S a +=++得1121n n n n a S S a ++=-=+，即121n n a a +=+所以112(1)n n a a ++=+，由111S a ==，所以数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，故A 错误，B 正确；所以12nn a +=，即21n n a =-，故C 正确；又1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，所以22311111111111212*********n n n n T ++=-+-+⋯+-=-<------，故D 正确.故选：BCD 30．AD 【解析】【分析】对AB ，根据通项n a 与n S 的关系可得100a <，110a >即可判断；对CD ，根据等差数列前n 项和的公式，结合等差数列的性质判断即可【详解】因为109S S <，1011S S <，所以109100S S a -=<，1110110a S S =>-，故等差数列首项为负，公差为正，所以0d >，10a <，故A 正确，B 错误；由911S S <，可知11910110S S a a -=+>，所以()()20120101110100S a a a a =+=+>，故C 错误；因为110a >，所以2111210S a =>，故D 正确．故选：AD 31．BCD 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，再根据n S 与n a 的公式可得d ，进而求得n S 与n a 的通项公式，再逐个判定即可【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则11224614a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得183a d =⎧⎨=-⎩，故311n a n =-+，()()311819232n n n S n n ==-+-.故{}n a 是递减数列，A 错误；18a =，B 正确；()535191250S -⨯==，235210a a =⨯=，故C 正确；()1932n n n S =-，当1,2,3...6n =时，()1932n n n S -=，因为函数()193y x x =-的对称轴为196x =，开口向下，故当6n =时，n S 取得最小值()66193632S -⨯==；当7,8,9...n =时，()3192n n n S -=，函数()319y x x =-的对称轴为196x =，开口向上，故当7n =时，nS 取得最小值()77371972S ⨯-==，综上有n S 的最小值为3，故D 正确；故选：BCD 32．AD 【解析】【分析】由递推公式可得数列为周期数列，即得答案.【详解】解：因为13a =，()1*11N n na n a +=∈-，所以23412,,323a a a =-==，所以数列{}n a 是周期为3的数列，所以132(N )n a a n *-=∈，故122283a a a ===.故选：AD.33．AD 【解析】【分析】根据等差数列和等比数列的定义逐一判断可得选项.【详解】。
数列常见大题(含答案)
Tn 3 2 2 (22 23 2n ) (2n 1)2n1
2 22 23 2n1 (2n 1)2n1
2(2n1 1) (2n 1)2n1 (2n 1)2n1 2
Tn (2n 1)2n1 2
（12 分）
4．
已知数列{an } 满足：
1 a1
2 a2
n 3 (32n 1), n N *. an 8
8da1 4d
12d 2
16
，解得
ad1
8, 2,
或
ad1
8 2
因此 Sn 8n nn 1 nn 9，或Sn 8n nn 1 nn 9
9.设等差数列an 满足 a3 5 ， a10 9 。
（Ⅰ）求an 的通项公式； （Ⅱ）求an 的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值。
①当1 n 11时,
an 0| a1 | | a2 | | a3 |
| an | a1 a2 a3
an
n(10
11 2
n)
n(21 2
n)
②当12 n 时,
an 0| a1 | | a2 | | a3 | | an | a1 a2 a3 a11 (a12 a13 an )
所以Tn 3 7 2 11 22 ... 4n 1 2n1 ，
2Tn 32 722 1123 ... 4n 1 2n ，
2Tn Tn 4n 1 2n [3 4(2 22 ... 2n1)]
(4n 5)2n 5
Tn (4n 5)2n 5，n∈N﹡.
13.【2012 高考重庆文 16】（本小题满分 13 分，（Ⅰ）小问 6 分，（Ⅱ）小问 7 分））
解得 k 6 或 k 1（舍去），因此 k 6 。
数列大题训练20题
数列大题训练20题1 ．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足11a =，2(1)n n S n a =+.（1）求{n a }的通项公式； （2）求和T n =1211123(1)na a n a ++++．2．已知数列{}n a 是首项为114a =，公比14q =的等比数列，设1423log n n b a +=()n *∈N ，数列{}n c 满足n n n c a b =⋅.（Ⅰ）求证：数列{}n b 成等差数列；（Ⅱ）求数列{}n c 的前n 项和nS ；（Ⅲ）若2114n c m m ≤+-对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围．3 ．已知函数x ab x f =)( (,a b 为常数)的图象经过点11,8P ⎛⎫⎪⎝⎭和()4,8Q ．(1) 求函数)(x f 的解析式；(2) 记()2log n a f n =,n 是正整数，n S 是数列}{n a 的前n 项和，求n S 的最小值．4 ．已知()y f x =为一次函数，且(2)f 、(5)f 、(4)f 成等比数列，(8)15f =．求(1)(2)()n S f f f n =++⋅⋅⋅+的表达式．5．已知数列}{n a 的前n 项和)(n f 是n 的二次函数，)(n f 满足),2()2(n f n f -=+且.3)1(,0)4(-==f f（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设数列}{n b 满足21++=n n n a a b ，求}{n b 中数值最大和最小的项．6．已知数列{}n a 中，12a =，且当2n ≥时，1220n n n a a ---=（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若{}n a 的前n 项和为n S ，求n S ．7．正数数列{}n a 的前n 项和n S ，满足1n a =+，试求：（I ）数列{}n a 的通项公式；（II ）设11n n n b a a +=，数列的前n 项的和为n B ，求证：12n B <．8．已知函数)(x f =157++x x ,数列{}n a 中, 11220n n n n a a a a ++-+=，11a =，且0n a ≠，数列}{n b 中，()1n n b f a =- （1）求证：数列{na 1}是等差数列； （2）求数列}{n b 的通项公式； （3）求数列{n b }的前n 项和n S ．9．设正数数列{n a }的前n 项和n S 满足2)1(41+=n n a S ． （I ）求数列{n a }的通项公式； （II ）设11+⋅=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．10．在数列12,2,}{11+==+n nn n a a a a a 已知中 （I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）求证：3)1()1()1(2211<-++-+-n n a a a a a a11．已知数列{n a }满足11=a ，且),2(22*1N n n a a n n n ∈≥+=-且（1）求证：数列{nna 2}是等差数列；（2）求数列{n a }的通项公式； （3）设数列{n a }的前n 项之和n S ，求证：322->n S n n． 12．设数列{}n a 的前n 项和为22n S n =，{}n b 为等比数列，且11a b =，()2211b a a b -=。
数列热考6类大题梳理(解析版)
数列大题考情分析数列是高考数学的热门考点之一，其中等差(比)数列的通项公式，前n项和公式，以递堆数列为命题背景考查等差(比)数列的证明方法，以及等差(比)数列有关的错位相减法和裂项相消法求和是考查的重点内容。
有时也会结合不等式进行综合考查，此时难度较大。
热点题型突破题型一：等差数列与等比数列证明1(2024·云南楚雄·高三统考期末)已知数列a n满足a1=2，a n+1=a n+2n+2n-1.(1)求a2，a3；(2)求a n，并判断a n-(n-1)2是否为等比数列.【答案】(1)a2=5,a3=12；(2)a n=2n+(n-1)2，是等比数列【思路分析】(1)分别令n=1，n=2，计算可得所求值；(2)利用累加法，结合等差数列、等比数列的求和公式，可求数列a n的通项公式，可得a n-(n-1)2=2n，得解．【规范解答】(1)a2=a1+2+2-1=2+3=5，a3=a2+22+4-1=5+7=12(2)因为a n+1=a n+2n+2n-1，所以a n+1-a n=2n+2n-1，所以a2-a1=2+2-1，a3-a2=22+2×2-1，⋯，a n-a n-1=2n-1+2n-3(n≥2)，将以上各式相加得a n-a1=(2+22+⋯+2n-1)+(1+3+⋯+2n-3)=2n-2+(1+2n-3)(n-1)2=2n-2+(n-1)2(n≥2).因为a1=2，所以a n=2n-2+(n-1)2+2=2n+(n-1)2(n≥2)，又a1=2也满足a n=2n+(n-1)2，所以a n=2n+(n-1)2，所以a n-n-12=2n⇒a n+1-n2a n-n-12=2n+12n=2，所以a n-(n-1)2是等比数列，且首项、公比均为2.判断数列是否为等差货等比数列的策略1、将所给的关系进行变形、转化，以便利用等差数列和等比数列的概念进行判断；2、若要判断一个不是等差(等比)数列，则只需说明某连续三项(如前三项)不是等差(等比)数列即可。
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⑴求 的值；
⑵设 ， ，求证：数列 是等比数列，并求出其通项公式；
⑶对任意的 ， ，在数列 中是否存在连续的 项构成等差数列？若存在，写出这 项，并证明这 项构成等差数列；若不存在，说明理由．
3.（海淀·理）已知数列 满足： ， ， ．
⑴求 的值；⑵设 ，试求数列 的通项公式；
⑶对于任意的正整数 ，试讨论 与 的大小关系．
4.（东城·文）
已知数列 ，其中 ，数列 的前 项和 ，数列 满足 ．
⑴求数列 的通项公式；
⑵是否存在自然数 ，使得对于任意 ， ，有 恒成立？若存在，求出 的最小值；
⑶若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
5.（东城·理）已知数列 满足 ， ．
⑴求证： ；⑵求证： ；⑶求数列 的通项公式．
5.有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”
结论显然是错误的，是因为（）
A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误
6.设 ， ，n∈N，则 （）
A. B.－ C. D.－
7．数列1， ， ，。。。前100项的和等于（）
A . B.
8．在等差数列 中， 成立。类比上述性质，在等比数列 中，有
5．（2012江西文）观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4 , |x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8, |x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12 .则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为（ ）
A．76B．80C．86D．92
6．（2012北京文理） 某棵果树前 年得总产量 与 之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,前 年的年平均产量最高, 的值为（ ）
12．一同学在电脑中打出如下图若干个圆（○表示空心圆，●表示实心圆）
○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○……问：到2013个圆中有个实心圆。
一．解答题
13．在各项为正的数列 中，数列的前n项和 满足
（1）求 ；（2）由（1）猜想数列 的通项公式；（3）求
§2.2直接证明与间接证明
一．自主测试
1.分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的条件.
2.若a＞b＞0,则a+ b+ .(用“＞”,“＜”,“=”填空)
3.要证明 + ＜2 ，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（填序号）.
①反证法②分析法③综合法
4.用反证法证明=0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是.
1.（丰台）设集合 由满足下列两个条件的数列 构成：
① ；②存在实数 ，使 ．（ 为正整数）
⑴在只有 项的有限数列 ， 中，其中 ；
；试判断数列 是否为集合 的元素；
⑵设 是各项为正的等比数列， 是其前 项和， ， ，
证 明数列 ；并写出 的取值范围；
⑶设数列 且对满足条件的 的最小值 ，都有 ．
求证：数列 单调递增．
①假设a、b、c都是偶数
②假设a、b、c都不是偶数
③假设a、b、c至多有一个偶数
④假设a、b、c至多有两个偶数
5.设a、b、c∈（0，+∞），P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，则“PQR＞0”是“P、Q、R同时大于零”的条件.
二．典例分析
例1（1）设a,b,c＞0,证明： ≥a+b+c.
A．0B．7C．14D．21
2．（2012四川理）设函数 , 是公差为 的等差数列, ,则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2012上海理）设 , .在 中,正数的个数是（ ）
A．25.B．50.C．75.D．100.
4．（2012课标文）数列{ }满足 ,则{ }的前60项和为（ ）
A．3690B．3660C．1845D．1830
A． B。 C。 D。
一．填空题
9．由数列的前四项: ,1 , , ,……归纳出通项公式 =____.
10.已知f（n＋1）＝f（n） （n∈N*）且f（1）＝1，则f（100）＝______．
11.对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直,那么这两个角相等或互补”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题:“
6.（西城·理）
对于各项均为整数的数列 ，如果 （ =1，2，3，…）为完全平方数，则称数列 具有“ 性质”．
不论数列 是否 具有“ 性质”，如果存在与 不是同一数列的 ，且 同时满足下面两个条件：① 是 的一个排列；②数列 具有“ 性质”，则称数列 具有“变换 性质”．
⑴设数列 的前 项和 ，证明数列 具有“ 性质”；
其中正确命题的序号是.
6.对于任意实数a,b定义运算a*b=（a+1）(b+1)-1,给出以下结论：
①对于任意实数a,b,c，有a*(b+c)=(a*b)+(a*c);
②对于任意实数a,b,c，有a*(b*c)=(a*b)*c;
③对于任意实数a,有a*0=a,则以上结论正确的是.（写出你认为正确的结论的所有序号）
⑵试判断数列1，2，3，4，5和数列1，2，3，…，11是否具有“变换 性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列 ，不具此性质的说明理由；
⑶对于有限项数列 ：1，2，3，…， ，某人已经验证当 时，数列 具有“变换 性质”，试证明：当” 时，数 列 也具有“变换 性质”．
一、选择题
1．（2012四川文）设函数 , 是公差不为0的等差数列, ,则 （ ）
8．（2012江西理）观察下列各式:a+b=1.a²+b2=3,a3+b3=4 ,a4+b4=7,a5+b5=11,,则a10+b10=（ ）
A．28B．76C．123D．199
9．（2012湖北理）定义在 上的函数 ,如果对于任意给定的等比数列 , 仍
是等比数列,则称 为“保等比数列函数”.现有定义在 上的如下函
（2）已知a,b,c为互不相等的非负数.求证：a2+b2+c2＞ ( + + )
例2（1）求证： 。（2）已知a＞0,求证： - ≥a+ -2.
例3若x,y都是正实数，且x+y＞2,求证： ＜2与 ＜2中至少有一个成立
三．巩固练习
1.用反证法证明“如果a＞b,那么 ＞ ”假设内容应是.
2.已知a＞b＞0，且ab=1,若0＜c＜1,p=logc ,q=logc ，则p,q的大小关系是.
3.设S是至少含有两个元素的集合.在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b∈S，对于有序元素对(a,b),在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）.若对任意的a,b∈S,有a*(b*a)=b,则对任意的a,b∈S，下列恒成立的等式的序号是.
①（a*b）*a=a②［a*(b*a)］*(a*b)=a
数:① ;② ;③ ;④ .
则其中是“保等比数列函数”的 的序号为（ ）
A．①②B．③④C．①③D．②④
10．（2012上海文）已知 .各项均为正数的数列 满足 , .若
,则 的值是_________.
11．（2012湖南文）对于 ,将 表示为 ,当 时 ,当 时 为0或1,定义 如下:在 的上述表示中,当 , 中等于1的个数为奇数时, ;否则 。
A.“若 ,则 ”类推出“若 ,则 ”
B.“若 ”类推出“ ”
C.“若 ”类推出“ （c≠0）”
D.“ ”类推出“ ”
4．由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是（）
(A)正方形的对角线相等(B)平行四边形的对角线相等
(C)正方形是平行四边形(D)其它
(1) __;
(2)记 为数列 中第 个为0的项与第 个为0的项之间的项数,则 的最大值是___.
12．（2012新课标理）数列 满足 ,则 的前 项和为_______
13．（2012上海春）已知等差数列 的首项及公差均为正数,令 当 是数列 的最大项时, ____.
14．（2012湖北理）回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个:11,22,33,,99.3位回文数有90个:101,111,121,,191,202,,999.则
7.在△ABC中，三个内角A,B,C的对边分别为a, b, c且A,B,C成等差数列，a, b, c成等比数列，求证△ABC为等边三角形。
8.已知 求证
9.已知a、b、c∈（0，1），求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于 .
(Ⅰ)4位回文数有__________个;
(Ⅱ) 位回文数有_________个.
§2.1合情推理与演绎推理
选择题
1．数列3，5，9，17，33，…的通项公式 等于（）
A． B． C． D．
2．数列2，5，9，14，20， ，35，…中的 等于（）
A．25 B。26 C。27 D。28
3.下面使用类比推理正确的是（）
③b*(b*b)=b④(a*b)*［b*(a*b)］=b
4.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A1B1C1是三角形，△A2B2C2是三角形.（用“锐角”、“钝角”或“直角”填空）
5.已知三棱锥S—ABC的三视图如图所示：在原三棱锥中给出下列命题：
①BC⊥平面SAC；②平面SBC⊥平面SAB；③SB⊥AC.
A．5B．7
C．9D．11
7．（2012浙江理）设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和,则下列命题错误的是（ ）