《数列》竞赛知识小结

【不动点法】一阶分式型递推数列()10n n n ax b x ad bc cx d++=-≠+以及给定1a的统一求法：对于函数)(x f ，满足)(00x f x =的点))(,(00x f x 称作函数)(x f 的不动点.而我们称满足dcy b ay y ++=的y 为具有递推公式dcx b ax x n n n ++=+1的数列的不动点.（1）当d cx bax x n n n ++=+1有两个不动点21,y y 时，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧--21y x y x n n 成等比数列，且11111222n n n n x y x y a cy x y a cy x y ++---=⋅---. （2）当d cx bax x n n n ++=+1只有有一个不动点y 时，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-y x n 1成等差数列.且1121n n c x y a d x y+=+-+-. 【特征根法】一般地，我们称由初始值12k a a a ⋯，，，及递推关系()1122n k n k n k k n a c a c a c a f n ++-+-⋯=++++所确定的数列为k 阶常系数线性递归数列，其中1c ，2c ，…，k c 为常数，且0k c ≠．当()0f n =时，称为常系数齐次线性递归数列（又称为k 阶循环数列）．我们把对应于常系数齐次线性递归数列1122n k n k n k k na c a c a c a ++-+-⋯=+++①的方程1212k k k kx c x c x c --⋯=+++②称为其特征方程，方程的根称为{}n a 的特征根．下面不加证明地引进两个定理．定理1 若递推关系①对应的特征方程②有k 个不同的单根1x ，2x ，…，k x ，那么1122n n nn k k a A x A x A x ⋯=+++，其中1A ，2A ，…，k A 是待定系数，可由初始值确定．定理2 若递推关系①对应的特征方程②有不同的特征根1x ，2x ，…，()s x s k <，其中()1i x i s ≤≤是②的i t 重根，12s t t t k ⋯+++=，那么()()()1122n nn n s s a A n x A n x A n x ⋯=+++，《数列》竞赛知识总结其中()()()()112s i i i i t i t A n B B n B n -⋯=+++，12i =，，…，s ．这里的()1i B ，()2i B ，()i it B （12i =，，…，s ）是待定系数，可由初始值确定．二阶线性递推数列n n n qa pa a +=++12,（1.1）以及给定初始项21,a a 的统一求法：我们称方程q px x+=2为具有递推形式n n n qa pa a +=++12的二阶线性递推数列n n n qa pa a +=++12的特征方程.(1)若(1.1)的特征方程有两个不同的根βα,，则nnn y x a βα⋅+⋅=，式中的y x ,由n=1,2时给定的21,a a 确定;(2)若特征方程有两个相同的根α，则令nn y xn a α)(+=，其中y x ,由给定的21,a a 确定; (3)特征方程有两个虚根，则.【数学归纳法】⑴第一数学归纳法设()P n 是一个与正整数有关的命题，如果①当00()n n n =∈N 时，()P n 成立；②假设(,)n k k n k =≥∈N 成立，由此推得1n k =+时，()P n 也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，()P n 成立．⑵第二数学归纳法设()P n 是一个与正整数有关的命题，如果①当00()n n n =∈N 时，()P n 成立；②假设(,)n k k n k ≤≥∈N 成立，由此推得1n k =+时，()P n 也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，()P n 成立． 【求和公式法】1.等差数列求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+⋅，即前n 项和为中间项乘以项数。

这个公式在很多时候可以简化运算；2.等比数列求和公式：（1）1q =，1n S na =；（2）1q ≠，()111n n a q S q-=-，特别要注意对公比的讨论；3.可转化为等差、等比数列的数列；4.常用公式:（1）1nk k ==∑12123(1)n n n ++++=+；（2）21n k k ==∑222211631123(1)(21)()(1)2n n n n n n n ++++=++==++；（3）31nk k ==∑33332(1)2123[]n n n +++++=；（4）1(21)nk k =-=∑2135(21)n n ++++-=.【倒序相加法】如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法.【错位相减法】适用于差比数列（如果{}n a 等差，{}n b 等比，那么{}n n a b ⋅叫做差比数列）即把每一项都乘以{}n b 的公比q ，向后错一项，再对应同次项相减，即可转化为等比数列求和.【裂项相消法】即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。

这是分解与组合思想（分是为了更好地合）在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 适用于1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭，其中{}n a 是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。

其基本方法是()()1n a f n f n =+-. 常见裂项公式： （1）111(1)1n n nn ++=-，1111()()n n k k nn k++=-；111111()n n n n a a d a a ++=-⋅（{}n a 的公差为d ）；（21d=.（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和）； （3）1111(1)(1)2(1)(1)(2)[]n n n n n n n -++++=-；（4）1111()(21)(21)22121n a n n n n ==--+-+；)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n ； （5）nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则； （6）nn n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+； （7）11(1)!!(1)!n n n n ++=-；（8）常见放缩公式：212=.nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 111)1(111)1(11111211212)12)(12(4144441111121)1)(1(1111222222--=-<⋅=<+=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-+=-<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-+=-<（9）()1!!!n n n n ⋅+-=（10）()()()1112n n n n n =⋅+--⋅()()()()()()1121131n n n n n n n n =⋅+⋅+--⋅⋅+⋅+()()()()()()()()()1123112412n n n n n n n n n n n =⋅+⋅+⋅+--⋅⋅+⋅+⋅+⋅+（11）()()2arccot1arctan 1arctan nn n n++=+-（12） （13） （14） （15）2221cos sin 2cos cos2sin 2sin 2sin 2ααααααα+-==cos cos 2cot cot 2sin sin 2αααααα=-=-111c o t c o t 2s i n 2s i n 4s i n 2n n x x x x x ⋯+++=-，n 是正整数，实数π2k x λ≠（012k n λ⋯=，，，，，是整数）， （16）()()cos 12cos cos cos 1l l l αααα+=⋅--（17）()()2sin sin 21cos 22cos2x k x k x kx-=--【分组求和法】有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列， 可把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 【几种常见类型的周期数列】形如()111n n a n N a ++=-∈+；形如111n na a +=-()n N +∈；形如()21n n n a a a n N +++=-∈；形如()111nn na a n N a +++=∈-；形如()11n n a a n N ++=-∈（等和数列）【斐波那契数列】11n n n f ++⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦【无穷级数等式,欧拉常数】22116n n π∞==∑【无穷等比数列求和】无穷等比数列{}n a 首项为1a ，公比为()1q q <，则无穷项之和11a S q=-. 212n n-<；221n n >-11(1)()n a b a a b -≤>≥-；1n na b -11(1).()n a b a a b -≤>≥-1n a b-。