《直角三角形的边角关系》专题复习课件
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北师大版九年级下册数学《利用三角函数测高》直角三角形的边角关系教学说课复习课件
解：过点 A 作 AM⊥EF 于 M，过点 C 作 CN⊥EF 于 N，∴MN＝0.25 m，∵∠EAM＝45°， ∴AM＝ME，设 AM＝ME＝x m，则 CN＝(x＋6)m，EN＝(x－0.25)m，∵∠ECN＝30°，∴tan ∠ECN＝CENN＝x－x＋0.625＝ 33，解得：x≈8.8，则 EF＝EM＋MF≈8.8＋1.5＝10.3(m)．答：旗杆 的高 EF 为 10.3 m
• 如图，要测量物体MN的高度，可按下列步骤进行：
M
1、在测点A处安置测倾器，测 得此时M的仰角∠MCE=α；
C αD β
E
AB
N
ME ME b, MN ME a
tan tan
2、在测点A与物体之间B处安置 测倾器，测得此时M的仰角 ∠MDE=β；
3、量出测倾器的高度 AC=BD=a，以及测点A,B之间 的距离AB=b.根据测量数据,可 求出物体MN的高度。
2 米
第一章 直角三角形的边角关系
利用三角函数测高
课件
学习目标
1.能够设计活动方案、自制测倾器和运用测倾器进行 实地测量以及撰写活动报告的过程； 2.能够对所得的数据进行整理、分析和矫正；(重点) 3.能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际 问题．(难点)
导入新课
情境引 入
如果不告诉你这些高楼大厦的高度，你能想到办法 测出它们的高度吗？通过这节课的学习，相信你就行.
讲授新课
解：如图，作EM垂直CD于M点,
根据题意，可知
∠DEM=30°,BC=EM=30m,
M
CM=BE=1.4m 在Rt△DEM中，
DM=EMtan30°≈30×0.577 =17.32(m)，
CD=DM+CM=17.32+1.4≈18.72(m).
• 如图，要测量物体MN的高度，可按下列步骤进行：
M
1、在测点A处安置测倾器，测 得此时M的仰角∠MCE=α；
C αD β
E
AB
N
ME ME b, MN ME a
tan tan
2、在测点A与物体之间B处安置 测倾器，测得此时M的仰角 ∠MDE=β；
3、量出测倾器的高度 AC=BD=a，以及测点A,B之间 的距离AB=b.根据测量数据,可 求出物体MN的高度。
2 米
第一章 直角三角形的边角关系
利用三角函数测高
课件
学习目标
1.能够设计活动方案、自制测倾器和运用测倾器进行 实地测量以及撰写活动报告的过程； 2.能够对所得的数据进行整理、分析和矫正；(重点) 3.能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际 问题．(难点)
导入新课
情境引 入
如果不告诉你这些高楼大厦的高度，你能想到办法 测出它们的高度吗？通过这节课的学习，相信你就行.
讲授新课
解：如图，作EM垂直CD于M点,
根据题意，可知
∠DEM=30°,BC=EM=30m,
M
CM=BE=1.4m 在Rt△DEM中，
DM=EMtan30°≈30×0.577 =17.32(m)，
CD=DM+CM=17.32+1.4≈18.72(m).
《直角三角形的边角关系》复习课件
(1)2 3 2 0 2sin 30 3
2
题型2 解直角三角形
1∠.如AD图E4=，a，在且矩c形osAαB=CD3 中，DE⊥A B ）
A．3
B．16
3
C. 20 3
D.16 5
2.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标
如图5所示，它是由四个相同的直角三角形与中
间的小正方形拼成的一个大正方形． 若大正方形
的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形 的较长直角边为a，较短直角边为b，
则a+b的值为（ B ）
A．35 B．43 C．89 D．97
题型3 解斜三角形
1.如图所示，已知：在△ABC中，∠A=60°， ∠B=45°，AB=8， 求△ABC的面积（结果可保留根 号）．
AC=12，则cosA等于（ D ）
A. 2 , B. 5 , C.12 , D.12 12 13 5 13
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB =90°， CD⊥AB于点D，已知AC= 5 ，
BC=2，那么sin∠ABC=（ A ）
A． 5
B. 2
C. 2 5
D. 5
3
3
5
2
5．计算：
．
|- 2 |+（cos60°-tan30°）+ 8
3.已知∠A，b. 解直角三角形
4. 已知∠A，c. 解直角三角形
【热点试题归类】
题型1 三角函数 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4， 则sinA的值为_______． 2. 在Rt△ABC中，∠C =90°，BC=4，AC=3， 则cosA的值为______． 3. 如图，在△ABC中，∠C =90°，BC=5，
九年级数学下册 直角三角形边角关系(同步+复习)精品串讲课件
1. 求tanA的值。 2. 求AB的长。
C
A
D
B
【典例2】△ABC中，AB=AC，2AB=3BC， 求∠B的三个三角函数值。 A
A的对边 A的邻边
B
斜边 ∠A的对边 A ┌ ∠A的邻边 C
一．正切的概念
1. 2. 复习：直角三角形边边关系；角角关系—— 正切的概念
① 直角三角形中，一个锐角的大小一旦确定，它所 对的边与邻边的比值是一个确定的值。 ② 文 直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比值叫 做这个角的正切（值）。——是一个比值。 ③ 符 Rt△ABC中，锐角A确定，其对边与邻边的比值 也确定，这个比值叫做∠A的正切，记作： c B a a ∠A的对边 tanA= ———— =— b C b A ∠A的邻边 ④ 正切是对锐角定义的，是一个确定的比值，没有 单位，且与所在的直角三角形大小无关； tanA 是一个完整的符号，如果角用一个字母表示，角 的符号可以省略不写，如果角用三个字母表示， 角的符号不可省略； tanA＞0；变式使用： a=b a tanA或者：b= —— tanA
①
α的对边 α的邻边 α的对边 α的斜边 α的邻边 α的斜边
角定值定 角变值变 角死值死
确定一个角的三个比值：一定角二定比三定值。 三值与角与比是对应的。 ② 都与三角形大小无关，只与角的大小对应的比值。 ③ 每个定义都是三个公式：一求比（角）二求两边。 ④ 0＜ sin α ＜1； 0＜ cos α ＜1； tan α任意大 ⑤ 平方： sin2 α= (sin α)2 ，而sin α2 则无意义。
┌
C
四．三角函数的概念及锐角三角函数的关系
1. 用函数的观点看： tan α 、sin α、 cos α 都是角α的函数。即：y= tan α、 y= sin α、 y= cos α 分别是锐角α的正切、正弦、余弦 函数。自变量取值范围：0＜ α＜90° 对于任意锐角α，各三角函数之间的关系
C
A
D
B
【典例2】△ABC中，AB=AC，2AB=3BC， 求∠B的三个三角函数值。 A
A的对边 A的邻边
B
斜边 ∠A的对边 A ┌ ∠A的邻边 C
一．正切的概念
1. 2. 复习：直角三角形边边关系；角角关系—— 正切的概念
① 直角三角形中，一个锐角的大小一旦确定，它所 对的边与邻边的比值是一个确定的值。 ② 文 直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比值叫 做这个角的正切（值）。——是一个比值。 ③ 符 Rt△ABC中，锐角A确定，其对边与邻边的比值 也确定，这个比值叫做∠A的正切，记作： c B a a ∠A的对边 tanA= ———— =— b C b A ∠A的邻边 ④ 正切是对锐角定义的，是一个确定的比值，没有 单位，且与所在的直角三角形大小无关； tanA 是一个完整的符号，如果角用一个字母表示，角 的符号可以省略不写，如果角用三个字母表示， 角的符号不可省略； tanA＞0；变式使用： a=b a tanA或者：b= —— tanA
①
α的对边 α的邻边 α的对边 α的斜边 α的邻边 α的斜边
角定值定 角变值变 角死值死
确定一个角的三个比值：一定角二定比三定值。 三值与角与比是对应的。 ② 都与三角形大小无关，只与角的大小对应的比值。 ③ 每个定义都是三个公式：一求比（角）二求两边。 ④ 0＜ sin α ＜1； 0＜ cos α ＜1； tan α任意大 ⑤ 平方： sin2 α= (sin α)2 ，而sin α2 则无意义。
┌
C
四．三角函数的概念及锐角三角函数的关系
1. 用函数的观点看： tan α 、sin α、 cos α 都是角α的函数。即：y= tan α、 y= sin α、 y= cos α 分别是锐角α的正切、正弦、余弦 函数。自变量取值范围：0＜ α＜90° 对于任意锐角α，各三角函数之间的关系
直角三角形的边角关系课件
相等
(3)如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3 )呢?
类似三角形的对应2 C1
思考：由此你得出什么结论?
直角三角形中，锐角大小确定后，对应的对边和邻边的比 值也就确定了
在Rt△ABC中,如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的 比便随之确定，这个比叫做∠A的正切,记作tanA,即
解析：∵∠ACB＝90°，坡度为1∶3，
BC 1 . AC 3
∵BC＝2米，∴AC＝3BC＝3×2＝6(米)．
AB AC2 BC2 36 4 2 10.
典例精析
例4.如图，李佳怡和王慧珍将两根木棒分别斜靠在墙上，其中 AB=10 cm，CD=6 cm，BE=6 cm，DE=2 cm，你能判断出哪根木棒 更陡吗？说明理由.
A
E
B
C
F
D
问题2 如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡 当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡
乙 甲
问题3 如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度与水平宽度的比相等时，梯子一样陡 E A
6m 4m
B 2m C
F
3m D
问题4 你有几种方法比较梯子AB和EF哪个更陡？ 当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡. 倾斜角越大，梯子越陡.
A1
B2
生活中的梯子
梯子与地面的夹角∠ABC称为倾斜角. 斜边
A 从梯子的顶端A到墙角 铅 C的距离，称为梯子的 直 高 铅直高度. 度
B 水平宽度 C 从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度.
1 正切的定义 —
问题1 梯子AB和CD哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断
九年级(下册)直角三角形的边角关系 复习课件
数学·新课标（BS）
第1章复习 ┃ 知识归类
┃知识归纳┃
1．锐角三角函数 ∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作 tanA，即 tanA＝ ∠A的对边 ； ∠A的邻边 ∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sinA，即 sinA＝ ∠A的对边 ； 斜边 ∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作 cosA，即 cosA＝ ∠A的邻边 . 斜边
数学·新课标（BS）
第1章复习 ┃ 考点攻略
方法技巧 在生活实际中，特别在勘探、测量工作中，常需了解或确定某 种大型建筑物的高度或不能用尺直接量出的两地之间的距离等， 而 这些问题一般都要通过严密的计算才可能得到答案， 并且需要先想 方设法利用一些简单的测量工具，如：皮尺，测角仪，木尺等测量 出一些重要的数据， 方可计算得到． 有关设计的原理就是来源于太 阳光或灯光与影子的关系和解直角三角形的有关知识．
数学·新课标（BS）
第1章复习 ┃ 考点攻略
数学·新课标（BS）
第1章复习 ┃ 考点攻略
[解析] 过点 A 作 AD⊥BC 于点 D， 根据∠CAD＝45° ，可得 BD＝BC－CD＝200－AD. AD 在 Rt△ABD 中 ， 根 据 tan∠ABD ＝ ， 可 得 AD ＝ BD BD· tan∠ABD＝(200－AD)· tan60° 3(200－AD)，列方程 AD＋ ＝ 3AD＝200 3，解出 AD 即可．
数学·新课标（BS）
第1章复习 ┃ 知识归类 2．30°，45°，60°角的三角函数值
三角函数
角α
30°
sinα
cosα
tanα
45° 60°
1 2 2 2 3 2
3 2 2 2 1 2
3 3
第1章复习 ┃ 知识归类
┃知识归纳┃
1．锐角三角函数 ∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作 tanA，即 tanA＝ ∠A的对边 ； ∠A的邻边 ∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sinA，即 sinA＝ ∠A的对边 ； 斜边 ∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作 cosA，即 cosA＝ ∠A的邻边 . 斜边
数学·新课标（BS）
第1章复习 ┃ 考点攻略
方法技巧 在生活实际中，特别在勘探、测量工作中，常需了解或确定某 种大型建筑物的高度或不能用尺直接量出的两地之间的距离等， 而 这些问题一般都要通过严密的计算才可能得到答案， 并且需要先想 方设法利用一些简单的测量工具，如：皮尺，测角仪，木尺等测量 出一些重要的数据， 方可计算得到． 有关设计的原理就是来源于太 阳光或灯光与影子的关系和解直角三角形的有关知识．
数学·新课标（BS）
第1章复习 ┃ 考点攻略
数学·新课标（BS）
第1章复习 ┃ 考点攻略
[解析] 过点 A 作 AD⊥BC 于点 D， 根据∠CAD＝45° ，可得 BD＝BC－CD＝200－AD. AD 在 Rt△ABD 中 ， 根 据 tan∠ABD ＝ ， 可 得 AD ＝ BD BD· tan∠ABD＝(200－AD)· tan60° 3(200－AD)，列方程 AD＋ ＝ 3AD＝200 3，解出 AD 即可．
数学·新课标（BS）
第1章复习 ┃ 知识归类 2．30°，45°，60°角的三角函数值
三角函数
角α
30°
sinα
cosα
tanα
45° 60°
1 2 2 2 3 2
3 2 2 2 1 2
3 3
直角三角形的边角关系三角函数的计算讲课课件
B c a A b ┌ C
互余两角之间的三角函数关系: sinA=cosB,tanA*tanB=1.
同角之间的三角函数关系:
sin2A+cos2A=1.
sin A tan A . cos A
特殊角300,450,600角的三角函数值.
例1 小山顶上有一电视塔，在 山脚C处测得塔顶A、塔底B的 仰角分别为45°和30°. 若塔高AB = 40m，则山高BD ≈ m（精确到1m)；
第一章 直角三角形的边角关系
1.3.1 三角函数的有关计算
回顾与思考
直角三角的边角关系
直角三角形三边的关系: 勾股定理 a2+b2=c2. A+B=900. 直角三角形两锐角的关系:两锐角互余
a sin A cos B , c
直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数
b cos A sin B , c
a sin A , c b cos A , c a tan A , b
a c sin A. b c cos A.
a b tan A.
a c . sin A b c . cos A a b . tan A
A
作业布置
习题1.4 1,2题;
A
B
C 图1-13
D
1 如图,根据图中已知数据,求△ABC其余各 边的长,各角的度数和△ABC的面积.
A
4cm
450 300
B
C
2 如图,根据图中已知数据,求△ABC其余 各边的长,各角的度数和△ABC的面积.
A
0 300 45 ┌ B 4cm C D
小结拓展 直角三角形中的边角关系
已知两边求角 已知一边一角 已知一边一角 及其三角函数 求另一边 求另一边 B c ┌ b C a
互余两角之间的三角函数关系: sinA=cosB,tanA*tanB=1.
同角之间的三角函数关系:
sin2A+cos2A=1.
sin A tan A . cos A
特殊角300,450,600角的三角函数值.
例1 小山顶上有一电视塔，在 山脚C处测得塔顶A、塔底B的 仰角分别为45°和30°. 若塔高AB = 40m，则山高BD ≈ m（精确到1m)；
第一章 直角三角形的边角关系
1.3.1 三角函数的有关计算
回顾与思考
直角三角的边角关系
直角三角形三边的关系: 勾股定理 a2+b2=c2. A+B=900. 直角三角形两锐角的关系:两锐角互余
a sin A cos B , c
直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数
b cos A sin B , c
a sin A , c b cos A , c a tan A , b
a c sin A. b c cos A.
a b tan A.
a c . sin A b c . cos A a b . tan A
A
作业布置
习题1.4 1,2题;
A
B
C 图1-13
D
1 如图,根据图中已知数据,求△ABC其余各 边的长,各角的度数和△ABC的面积.
A
4cm
450 300
B
C
2 如图,根据图中已知数据,求△ABC其余 各边的长,各角的度数和△ABC的面积.
A
0 300 45 ┌ B 4cm C D
小结拓展 直角三角形中的边角关系
已知两边求角 已知一边一角 已知一边一角 及其三角函数 求另一边 求另一边 B c ┌ b C a
北师大版九年级下册数学《解直角三角形》直角三角形的边角关系研讨说课复习课件
能求出其他的元素?
知道一个元素行不行？
知道两个角行不行？
A
c
b
C
a
B
合作探究
1.在图中的Rt△ABC中，根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形
的其他元素吗？
能
B
6
BC
sin A
BC AB sin A 6 sin 75
AB
cos A
AC
AC AB cos A 6 cos 75
）
(2)R t△A B C 中,
因为 A B =
6米
AC
= 4 3 米,
sin 60
所以 A D - A B = 12- 4 3 ≈5.1 米.
所以改善后的滑梯会加长 5.1 m .
D
300
600
B
C
拓展探究
如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么称这个三角形
为“好玩三角形”,在Rt△ABC中,∠C=90°,若Rt△ABC是“好玩三角
解直角三角形
九年级下册
课件
学习目标
1
理解解直角三角形的含义。
掌握运用直角三角形的两锐角互余、勾股定
2
3
理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素.
通过利用三角函数解决实际问题的过程，进一步提高学
生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力.
自主学习
直角三角形共6个元素：三条边三个角，那么之间有哪些关系：
25°
∵∠B=25°，∴∠A=65°
b
b
30
71
又∵sinB=
，∴c=
0
sin B sin 25
c
知道一个元素行不行？
知道两个角行不行？
A
c
b
C
a
B
合作探究
1.在图中的Rt△ABC中，根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形
的其他元素吗？
能
B
6
BC
sin A
BC AB sin A 6 sin 75
AB
cos A
AC
AC AB cos A 6 cos 75
）
(2)R t△A B C 中,
因为 A B =
6米
AC
= 4 3 米,
sin 60
所以 A D - A B = 12- 4 3 ≈5.1 米.
所以改善后的滑梯会加长 5.1 m .
D
300
600
B
C
拓展探究
如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么称这个三角形
为“好玩三角形”,在Rt△ABC中,∠C=90°,若Rt△ABC是“好玩三角
解直角三角形
九年级下册
课件
学习目标
1
理解解直角三角形的含义。
掌握运用直角三角形的两锐角互余、勾股定
2
3
理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素.
通过利用三角函数解决实际问题的过程，进一步提高学
生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力.
自主学习
直角三角形共6个元素：三条边三个角，那么之间有哪些关系：
25°
∵∠B=25°，∴∠A=65°
b
b
30
71
又∵sinB=
，∴c=
0
sin B sin 25
c
《三角函数的计算》直角三角形的边角关系PPT课件
5.一个人由山底爬到山顶，需先爬坡角为40°的山坡300 m，
再爬坡角为30°的山 坡100 m，求山高（结果精确到0.1m).
解：如图，过点C作CE⊥AE于点E，
过点B作BF⊥AE于点F，
过点B作BD⊥CE于点D，则BF＝DE.
在Rt△ABF中，BF＝AB sin 40°；
在Rt△CDB中，CD＝BC sin 30°.
BC 10 1
如图，在Rt△ABC中，sinA=
，
AC 40 4
那么∠A是多少度呢?
要解决这个问题，我们可以借助科学计算器.
已知三角函数值求角度，要用到
“sin”、“cos”、“tan”键
的第二功能“sin־¹，cos־¹，
tan־¹ ”和2ndf 键。
以“度”为单位
按键顺序
sinA=0.9816
(4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817.
议一议
当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200m，缆车由点B到点D
的行驶路线与水平面的夹角为∠β=42°
，由此你还能计算什么?
想一想
为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10m高的天桥两端
修建了40m长的斜道.这条斜道的倾斜角是多少?
故选A．
)
2.下列各式中一定成立的是（ A ）
A.tan75°﹥tan48°﹥tan15°
B. tan75°﹤tan48°﹤tan15°
C. cos75°﹥cos48°﹥cos15°
D. sin75°﹤sin48°<sin15°
3．某款国产手机上有科学计算器，依次按键： = ，显示
合作学习
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
直角三角形的边角关系复习课件
┃善于总结是学习的前提条件┃
1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联
的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过 作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅 助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善 于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角 关系。 2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系， 所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作 为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。注 意把实际问题转化为数学问题，建立数学模型。
D
┃走进中考┃
（2015•泰安）如图，轮船从B处以每小时60海里的速度 沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏 东50°方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C处观测灯 塔A位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是（ ）
A、20海里 B、40海里
C、
海里
D、
海里
┃练一练┃
1．（2015•铜仁市）如图，一艘轮船航行到B处时， 测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继 续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A 在船的北偏东30°的方向．己知在小岛周围170海 里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试 问轮船有无触礁的危险？（ ≈1.732）
B
α=30° 120 A β=60°
D
B
C
C
A
┃走进中考┃
（2012•泰安）如图，为测量某物体AB的高度，在D点 测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到 达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度 为（ ）
┃练一练┃
1、（2014山东青岛20，8分） 如图，小明想测山高和索道的长度．他在B处仰望山顶A，测 得仰角∠B＝31°，再往山的方向（水平方向）前进80m至索 道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE＝39°． （1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）； （2）求索道AC的长（结果精确到0.1m）． 1 （参考数据：tan31° ≈ 3 ，sin31° ≈ ， tan39° ≈ ， 9 5 7 2 sin39 ° ≈ ） 11 11
青岛版九年级数学中考复习：直角三角形的边角关系应用复习(青岛市公开课)18张PPT
精确到1米，参考数据：sin35 14，cos35 4，tan35 7 ，sin 67 12，cos67 5 ，tan 67 12
25
5
10
13
13
5
B1E
B
35°
A M 18
67°
F C1 D A
35°
67°
D
C
17
变式二
如图是青岛胶州湾大桥引申出的部分平面图， AB、AE是
两条拉索，等高的两根立柱DE、 BC 相距17m,小明在点A
520 67°
D
？
）
变式练习
如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，已知B地位
于A地北偏东67°方向，距离A地520km，D地位于B地的正
东方向50km处，在D处测得C地位于D地南偏东30°方向,
若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，则A地到C地之间
高铁线路的长为______km.
B50kmD
67°
35°
67°
A
D
C
17
反思提高
BE
B
A
F CD
35°
67°
A
D
C
17
平行线也能构造RT△。 把图形转化为常见模型，有利于分析线段关系。
）
典型例题
如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地 需要绕行B地，已知B位于A地北偏东67°方向，距离A地 520km，C地位于B地南偏东30°方向，若打通穿山隧道， 建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长 . （结果保留整数.参考数据：
E
D
500
840
E
感悟与收获
通过本节课的复习，你认为遇到解直角三角 形的实际问题应如何解决？
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A 30° 西 东
O 45°
B 南
相互交流,合作探究
B c
1、直角三角形中的边角关系： a 2＋b2＝c2（勾股定理） ┌ （1）三边关系：a___________ ； A C b A＋ ∠ B＝ 90 º （2）两锐角关系：∠ ___________ ； a b a （3）边、角间的关系sinA=___cosA=_____;tanA=_____ b c c 2、同角三角函数关系： 2 2 1 ； （1）平方关系：sinA+ cosA =_____ sin A （2）商数关系：tanA=____________ ． cos A 3、互余两角的三角函数关系 90°- A ）=sinA 90°- A）=cosA sin（_______ cos（_______ 0 ＜sinA＜___ 1 ； 4、锐角三角函数的范围：___ 0 ＜cosA＜____ 1 ； tanA＞____ 0 ， ___
2、作高线可以把平行四边形、梯形转化为含直角三角形的图形.
3、解直角三角形应用的解题思路：
构建
简单实际问题
数学模型
解
直角三角形
从组合直角三角形中寻找公共边是解决问题的关键;方程是解 决问题的有效方法。
1、（2010年怀化市）在Rt△ABC中∠C=90°sinA=
4 A、 3
3 B、 4
3 C、 5
视线
提纲导学,自主学习
②坡角与坡度：坡面与水平面的夹角叫做___ 坡 铅直高度h和 角，图中的 α 是坡角；坡面的____ 水平 距离l的比叫坡度。 _____
h 即：i=______=_______ l
tan
i
α
h
l
┌
提纲导学,自主学习
③方位角与方向角： 北 方向沿____ 从某点的指____ 顺 时针方向旋转到目 标方向所形成的角叫做方位角． 北 方向或指___ 南 方向到目标方向所形成的 从指___ 小于____ 90 °的角叫做方向角．通常表示成北 （南）偏东（西）××度. 北
当堂训练,巩固提高
考法一：注重对锐角三角函数定义的考查
4 1、（2010年怀化市）在Rt△ABC中∠C=90°sinA= 5
则cosB的值等于（
3 A、 5
C
）
5 B、 5
4 C、 5
3 D、 4
B c A
┌
方法一：根据互为余角两个锐角的正余弦的关 系 4
cos B sin A
abC来自 sin A 2 2 2 2
60°
3 2
sinα
cosα
1 2
tanα
1
3
提纲导学,自主学习
3、运用三角函数解决与直角三角形有关的实际 问题： ①仰角与俯角：在进行测量时，从下往上看，视 仰 角；从上往下看，视 线与水平线的夹角叫做___ 俯 角.如图. 线与水平线的夹角叫做_____
视线 铅 直 线
仰角
俯角
水平线
分析：分别作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E、F
BE 12 在RtAEB中 , AE 5 设BE 12x, AE 5 x, ( x 0)
E
F
根据勾股定理 AB AE2 BE 2 13x 13
x 1, BE 12
由四边形BEFC为矩形得CF=BE=12米
AD AD x 3 在RtADB中 t anABD ， BD x BD t an60 3 3
在RtADC中 DAC ACB 45， CD AD x
3 BC BD CD x x 24 8 3 3
D
3 3 x 8(3 3 )，解得：x 24 3
AD AF 2 DF 2 22 12 5 DF 1 5 sin AD 5 5
考法二：注重对特殊角的三角函数值的考查
1、（2011湖北黄冈）cos30°=（ C ）
1 A、 2 2 B、 2 3 C、 2 D、3
2、（2010年怀化市）在Rt△ABC中,∠C=90°， sinA= 则∠A=______ 30
直角三角形的边角关系 专题复习
提纲导学,自主学习
复习指导。
1.什么是锐角三角函数？与斜坡（或梯子）的倾斜 度有何关系？ 2.理解仰角、俯角、方向角、坡角、坡度的含义。 3.熟记30°、45°、60°角的三角函数值，
提纲导学,自主学习 1、锐角三角函数： 在Rt△ABC中，∠C是直角，如图
a 作sinA，即sinA= _____ ； c
PC x 3 , BC x（海里） BC tan60 3 3 AC BC AB 12， 3x x 12，解得 : x 6 3, PC 6 3海里 3 在RtACP中 tanPBC
PC x , AC 3 x（米） AC tan30
6 3 6 6,渔船不改变航向有触礁 危险。
H
A
B C
D α n β
M
G
方案1图a
H
A γ B
m
D α
n C 方案2图b
M
G
H
A
B
γ
m
Dα n β C
M
G
方案3图c
H
A B
D α n C
M β G 图d
H
A B
m
D n C 图e β
M
γ
G
知识梳理
锐角三角函数
A
特殊角的三角函数
c
b C a
B
解直角三角形
简单实际问题
1、本节例题学习以后，我们可以得到解直角三角形的基本图形：
3、（2008年郴州市）计算：
1 2 ( ) 2
3 2 2 sin 30 3
0
1 解：原式 4 - 1 2 3 7 2
考法三：重点考查锐角三角函数在实际问题中的应用
1、如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD,BC‖AD， 迎水坡AB长13米，且迎水坡AB的坡度为12:5，∠D= 30 则背水坡CD的长为_______ 24 米。
提纲导学,自主学习
锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、 锐角 三角函数． 正切都叫做∠A的______
大 ，梯子越陡； 正切值越_____ 正弦值越_____ 大 ，梯子越陡； 余弦值越_____ 小 ，梯子越陡；
提纲导学,自主学习
2、特殊角三角函数值
角 度
三角函数
30°
1 2
3 2 3 3
45°
4．（2010湖北省咸宁市）如图，已知直l1‖l2‖l3‖l4相邻 两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD
5 的四个顶点分别在四条直线上，则sinα=_____ 5 。 分析：分别作BE⊥l1，DF⊥l1，垂足分别为E、F 易证：△DFA≌△AEB E F
∴AF=BE=2 在Rt△DFA中由勾股定理得：
分组讨论 ,合作交流
3、如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且 建筑物周围没有开阔平整地带．该建筑物顶端宽度AD和高度 DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H．可供使 用的测量工具有皮尺、测倾器． 请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶 端到地面高度HG的方案．具体要求如下： ①测量数据尽可能少； ②在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标 记在图形上（如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间 距离，用n表示；如果测角，用α、β、γ表示）．
4 D、 5
4 则tanB的值等于（ B ） 5
2、（2011山东烟台）如果△ABC中，sinA=cosB= ，则下列最 确切的结论是（ C ） A. △ABC是直角三角形 B. △ABC是等腰三角形 C. △ABC是等腰直角三角形 D. △ABC是锐角三角形
3 60° 3、(20011江苏镇江)∠α的补角是120°,则∠α=______,sinα=______ 2 .
在RtCFD中 CFD 90，D 30； CD 2CF 24 （米）
2、如图为了测量小河的宽度，在河的岸边选择B、C两 点，在对岸选择一个目标点A，测得∠ABC=60°, ∠ACB=45°，BC=（ 24 8 3 ）米,求小河的宽度。
解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，设小河的宽度AD=x米
B c A
┌
a
b
C
（1）正弦：∠A的____ ____的比叫做∠A的正弦，记 对边 与斜边
邻边 与_____ 斜边 的比叫做∠A的余弦， （2）余弦：∠A的_____
b 记作cosA，即cosA=_______ ； c
对边 与____ 邻边 的比叫做∠A的正切，记 （3）正切：∠A的____
a 作tanA，即tanA=_______； b
┌
C.小于1
D.不一定
a
b
C
a b sin A ，cosA c c a b ab sin A cos A c c c a b c， sin A cos A 1
方法二：特殊值法：
2 2 令A 45 ， sin 45 cos45 2 1 2 2
解：过点P作PC⊥AB，交AB延长线于C点，根据垂线段最短知PC就是最近距离
方法一： PAB BPA 30， BP BA 6 2 12 （海里） 在RtPCB中PC PB sin 60 12 3 6 （海里） 3 2
C
方法二：设PC x米 在RtACP中 tanPAC
解：连接BD，∵E、F分别为AB、AD中点，∴BD=2EF=2×2=4
BD2 CD 2 4 2 32 25 BC 2 BD 4 BDC 90 ; t anC CD 3
O 45°
B 南
相互交流,合作探究
B c
1、直角三角形中的边角关系： a 2＋b2＝c2（勾股定理） ┌ （1）三边关系：a___________ ； A C b A＋ ∠ B＝ 90 º （2）两锐角关系：∠ ___________ ； a b a （3）边、角间的关系sinA=___cosA=_____;tanA=_____ b c c 2、同角三角函数关系： 2 2 1 ； （1）平方关系：sinA+ cosA =_____ sin A （2）商数关系：tanA=____________ ． cos A 3、互余两角的三角函数关系 90°- A ）=sinA 90°- A）=cosA sin（_______ cos（_______ 0 ＜sinA＜___ 1 ； 4、锐角三角函数的范围：___ 0 ＜cosA＜____ 1 ； tanA＞____ 0 ， ___
2、作高线可以把平行四边形、梯形转化为含直角三角形的图形.
3、解直角三角形应用的解题思路：
构建
简单实际问题
数学模型
解
直角三角形
从组合直角三角形中寻找公共边是解决问题的关键;方程是解 决问题的有效方法。
1、（2010年怀化市）在Rt△ABC中∠C=90°sinA=
4 A、 3
3 B、 4
3 C、 5
视线
提纲导学,自主学习
②坡角与坡度：坡面与水平面的夹角叫做___ 坡 铅直高度h和 角，图中的 α 是坡角；坡面的____ 水平 距离l的比叫坡度。 _____
h 即：i=______=_______ l
tan
i
α
h
l
┌
提纲导学,自主学习
③方位角与方向角： 北 方向沿____ 从某点的指____ 顺 时针方向旋转到目 标方向所形成的角叫做方位角． 北 方向或指___ 南 方向到目标方向所形成的 从指___ 小于____ 90 °的角叫做方向角．通常表示成北 （南）偏东（西）××度. 北
当堂训练,巩固提高
考法一：注重对锐角三角函数定义的考查
4 1、（2010年怀化市）在Rt△ABC中∠C=90°sinA= 5
则cosB的值等于（
3 A、 5
C
）
5 B、 5
4 C、 5
3 D、 4
B c A
┌
方法一：根据互为余角两个锐角的正余弦的关 系 4
cos B sin A
abC来自 sin A 2 2 2 2
60°
3 2
sinα
cosα
1 2
tanα
1
3
提纲导学,自主学习
3、运用三角函数解决与直角三角形有关的实际 问题： ①仰角与俯角：在进行测量时，从下往上看，视 仰 角；从上往下看，视 线与水平线的夹角叫做___ 俯 角.如图. 线与水平线的夹角叫做_____
视线 铅 直 线
仰角
俯角
水平线
分析：分别作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E、F
BE 12 在RtAEB中 , AE 5 设BE 12x, AE 5 x, ( x 0)
E
F
根据勾股定理 AB AE2 BE 2 13x 13
x 1, BE 12
由四边形BEFC为矩形得CF=BE=12米
AD AD x 3 在RtADB中 t anABD ， BD x BD t an60 3 3
在RtADC中 DAC ACB 45， CD AD x
3 BC BD CD x x 24 8 3 3
D
3 3 x 8(3 3 )，解得：x 24 3
AD AF 2 DF 2 22 12 5 DF 1 5 sin AD 5 5
考法二：注重对特殊角的三角函数值的考查
1、（2011湖北黄冈）cos30°=（ C ）
1 A、 2 2 B、 2 3 C、 2 D、3
2、（2010年怀化市）在Rt△ABC中,∠C=90°， sinA= 则∠A=______ 30
直角三角形的边角关系 专题复习
提纲导学,自主学习
复习指导。
1.什么是锐角三角函数？与斜坡（或梯子）的倾斜 度有何关系？ 2.理解仰角、俯角、方向角、坡角、坡度的含义。 3.熟记30°、45°、60°角的三角函数值，
提纲导学,自主学习 1、锐角三角函数： 在Rt△ABC中，∠C是直角，如图
a 作sinA，即sinA= _____ ； c
PC x 3 , BC x（海里） BC tan60 3 3 AC BC AB 12， 3x x 12，解得 : x 6 3, PC 6 3海里 3 在RtACP中 tanPBC
PC x , AC 3 x（米） AC tan30
6 3 6 6,渔船不改变航向有触礁 危险。
H
A
B C
D α n β
M
G
方案1图a
H
A γ B
m
D α
n C 方案2图b
M
G
H
A
B
γ
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Dα n β C
M
G
方案3图c
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A B
D α n C
M β G 图d
H
A B
m
D n C 图e β
M
γ
G
知识梳理
锐角三角函数
A
特殊角的三角函数
c
b C a
B
解直角三角形
简单实际问题
1、本节例题学习以后，我们可以得到解直角三角形的基本图形：
3、（2008年郴州市）计算：
1 2 ( ) 2
3 2 2 sin 30 3
0
1 解：原式 4 - 1 2 3 7 2
考法三：重点考查锐角三角函数在实际问题中的应用
1、如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD,BC‖AD， 迎水坡AB长13米，且迎水坡AB的坡度为12:5，∠D= 30 则背水坡CD的长为_______ 24 米。
提纲导学,自主学习
锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、 锐角 三角函数． 正切都叫做∠A的______
大 ，梯子越陡； 正切值越_____ 正弦值越_____ 大 ，梯子越陡； 余弦值越_____ 小 ，梯子越陡；
提纲导学,自主学习
2、特殊角三角函数值
角 度
三角函数
30°
1 2
3 2 3 3
45°
4．（2010湖北省咸宁市）如图，已知直l1‖l2‖l3‖l4相邻 两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD
5 的四个顶点分别在四条直线上，则sinα=_____ 5 。 分析：分别作BE⊥l1，DF⊥l1，垂足分别为E、F 易证：△DFA≌△AEB E F
∴AF=BE=2 在Rt△DFA中由勾股定理得：
分组讨论 ,合作交流
3、如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且 建筑物周围没有开阔平整地带．该建筑物顶端宽度AD和高度 DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H．可供使 用的测量工具有皮尺、测倾器． 请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶 端到地面高度HG的方案．具体要求如下： ①测量数据尽可能少； ②在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标 记在图形上（如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间 距离，用n表示；如果测角，用α、β、γ表示）．
4 D、 5
4 则tanB的值等于（ B ） 5
2、（2011山东烟台）如果△ABC中，sinA=cosB= ，则下列最 确切的结论是（ C ） A. △ABC是直角三角形 B. △ABC是等腰三角形 C. △ABC是等腰直角三角形 D. △ABC是锐角三角形
3 60° 3、(20011江苏镇江)∠α的补角是120°,则∠α=______,sinα=______ 2 .
在RtCFD中 CFD 90，D 30； CD 2CF 24 （米）
2、如图为了测量小河的宽度，在河的岸边选择B、C两 点，在对岸选择一个目标点A，测得∠ABC=60°, ∠ACB=45°，BC=（ 24 8 3 ）米,求小河的宽度。
解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，设小河的宽度AD=x米
B c A
┌
a
b
C
（1）正弦：∠A的____ ____的比叫做∠A的正弦，记 对边 与斜边
邻边 与_____ 斜边 的比叫做∠A的余弦， （2）余弦：∠A的_____
b 记作cosA，即cosA=_______ ； c
对边 与____ 邻边 的比叫做∠A的正切，记 （3）正切：∠A的____
a 作tanA，即tanA=_______； b
┌
C.小于1
D.不一定
a
b
C
a b sin A ，cosA c c a b ab sin A cos A c c c a b c， sin A cos A 1
方法二：特殊值法：
2 2 令A 45 ， sin 45 cos45 2 1 2 2
解：过点P作PC⊥AB，交AB延长线于C点，根据垂线段最短知PC就是最近距离
方法一： PAB BPA 30， BP BA 6 2 12 （海里） 在RtPCB中PC PB sin 60 12 3 6 （海里） 3 2
C
方法二：设PC x米 在RtACP中 tanPAC
解：连接BD，∵E、F分别为AB、AD中点，∴BD=2EF=2×2=4
BD2 CD 2 4 2 32 25 BC 2 BD 4 BDC 90 ; t anC CD 3