第四章相似原理与量纲分析
合集下载
第四章 量纲分析与相似原理
第四章量纲分析与相似原理前面几章阐述了液流运动的基本方程，求解这些方程是解答水力学的问题的一个基本途径。
但由于液流问题的复杂性，求解这些方程在数学上常常会遇到难以克服的困难，因而不得不采用其他分析途径和试验方法来解答水力学问题。
量纲分析和相似原理就是指导分析和试验的重要方法。
通过量纲分析和相似原理可以合理地正确地组织、简化试验及整理成果。
对于复杂的流动问题，量纲分析和相似原理还可以帮助寻求物理量之间的联系，建立关系式的结构。
所以，在学习了流动的基本原理以后，先介绍这个在分析流动问题上的有力工具，为以后分析各种流动问题作准备。
但是，要正确运用这个方法，还必须对流动现象有一定的分析能力。
因此，也只有在学习以后各章的各种流动的知识之后，才能逐步加深掌握这一章的内容。
4-1 量纲分析的概念(一)量纲和单位在水力学(或流体力学)研究中需用密度、粘滞系数、长度、速度、时间和力等物理量来表述水流现象及其运动规律。
这些物理量按其性质的不同而分为各种类别，各类别可用量纲(或因次)来标志，如长度[L]、时间[T]、质量[M]、力[F]等。
量度各种物理量数值大小的标准，称为单位。
如长度为1米的管道，可用100厘米、3市尺或3.28英尺等不同的单位来表示1。
所选用的单位不同，数值也不同。
但上述单位均属长度类，即所有测量长度的单位(米、厘米、英尺等)均具有同1世界上大多数国家已采用统一的国际单位制（Systeme Internationaled’ Unites）,简称SI。
我国目前正在推广中，原使用的公制等单位还要同时使用，作为过渡。
一量纲，以[L]表示。
量纲可分为基本量纲和诱导量纲。
基本量纲必须具有独立性，即一个基本量纲不能从其它基本量纲推导出来，也就是不依赖于其它基本量纲，如[L]、[T]和[M]是相互独立的，不能从[L]、[T]中得出[M]，也不能从[T]、[M]中得出[L]。
但[L][T]和速度的量纲[v]就不是互相独立的，因为[v]= [LT]。
第四章 量纲分析与相似原理
二、运动相似
原型和模型的流速场相似，即流场中各对应点的 流速大小成比例，方向相同。 •流速比尺：
u
up um
ap
v
vp / t p
v 2 •加速度比尺： a am vm / t m l
t l
v
三、动力相似
原型和模型对应点所受的同名力方向相同，大小 成比例。
F
P
( pA) p ( pA) m
p l
2
故得欧拉准则方程：
p v
2
p p 1 or ( 2 ) p ( 2 ) m v v
即要保证原型流动和模型流动的动压力相似，则要求两 者对应的欧拉数 Eu p /( v 2 ) 必须相等。
几点说明：
•弗劳德准则、雷诺准则和欧拉准则是工程流体力学的常用准则。 •一般弗劳德准则、雷诺准则为独立准则，而欧拉准则为导出准则。
§4-5 相似原理的应用
一、模型律的选择
•从理论上讲，流动相似应保证所有作用力都相似，但难 实现。
•实际应用时，通常只保证主要力相似。
一般情况下： 有压管流、潜体绕流： 明渠流动、绕桥墩流动： 选雷诺准则
选弗劳得准则
二、模型设计
•定长度比尺 l ，确定模型流动的几何边界；
•选介质 ，一般采用同一介质：
•相似准则：雷诺准则、弗劳得准则、欧拉准则
•模型实验设计方法
§4-1
量纲分析的基本概念和原理
一、单位与量纲
•单位：表征物理量数值大小的标准。如长度单位 m、cm、mm；时间单位小时、分、秒等。
•量纲：表征各物理量单位的种类。如m、cm、 mm等同属于长度类，用L表示；小时、分、秒 等同属于时间类，用T表示；公斤、克等同属 于质量类，用M表示。 •量纲的符号表示：据GB3101-93，在物理量的 代表符号前面加“dim”表示量纲。
4相似原理和量纲分析
§4.2 量纲分析与定理
影响某种流动现象的物理量可以有很多。当这些物理量间不能 用微分方程表示时，通过量纲分析确定出有关相似准则间的定性 关系。再通过实验进一步确定其定量关系。
定理
如果一个物理过程涉及到 n个物理量和r个基本量纲，则这个
物理过程可以由n个物理量组成的n-r个无量纲量（相似准则数i）
解：这是物体绕流，应该主要考虑粘性力相似和压力相似。
由雷诺数相等： lu lu （空气的粘度不变）
Kl
l l
u u
62.5 3600 5 45000
由欧拉数相等： p p
或
u 2 u2
p
u
2
p
u
R
pA
u
2 pA
u
2
R
A
u
2
l
2
R
R
500
u
u R u l
§4.2 量纲分析与定理
第四章 相似原理和量纲分析
§7.1 相似原理与模型实验 §7.2 量纲分析与π定理
§4.1 相似原理与模型实验
一、流动相似的概念
(1)如何把特定条件下的实验结果推广到其它流动中?
(2)如何将实物(或原型)缩小或放大制成模型，并通过 模型的实验结果推知原型中的流动？
(3)要使两流动现象相似，必须满足力学相似条件，即 几何相似、运动相似和动力相似。
3
v d 3 3 3
4
p
v d 4 4 4
其中，待定系数 , , 由量纲的一致性原则确定。
§4.2 量纲分析与定理
1
l d
2
d
3
vd
1 Re
无量纲准则方程为：
l 1 p F1( d , d , Re , v2 ) 0
相似原理与量纲分析
CF 1（无量纲数） 可以写成： 2 2 C C L Cu
1
Fp / Fm
p L2p u 2 p 2 2 m Lm um
Fm 2 2 2 2 m Lm um p Lp u p
Fp
F L2u 2
牛顿数： N e
( Ne ) p Ne m
若两个水流不仅几何相似，而且是动力相似的，则他们的牛顿数 必须相等；反之亦然，称为牛顿相似准则。
AP L2 2 P 2 CL 面积比尺： C A Am Lm
VP L3 3 P C C 体积比尺： V L Vm L3 m
LP （原型） Lm （模型）
§4-1相似的基本概念
⑵运动相似 （运动状态相似，速度、加速度必须平
行且具有同一比例）： 速度相似比尺： Cu
up
um
Gp M pgp
CG C F 重力与惯性力之比值为同一常数
则：
C C C g C C C
3 L 2 L
2 u
u C 1 也可写成 得： C g CL g p L p g m Lm
2 u
u
2 p
2 m
(Fr)p=(Fr)m
Fr 表明了惯性力与重力之比
（佛汝德数）
§4-2相似准则
§4-3相似原理的应用
对同时受重力和粘性力作用的液体，应当同时满足Re和Fγ 准则，才能保证流动相似， 但Fr准则要求 Cu CL 而Re准则要求 则有：
二者不能同时满足
Cu 1 / CL
2 Cu 1 和 C g CL
解决的办法是采用不同的流体进行实验，同时满足Fr和Re准则
C L Cu 1 C
第四章 相似理论与量纲分析
27
应该测量哪 些物理量?
实验结果 如何应用?
例题1
如图所示，已知d 250mm, q p 140 L ，模型实验 s lm 1 的长度比例尺为（ ), 模型实验时，在水箱自由 5 lp 5 表面出现旋涡孔时的水头 为hmin M 60mm. 试求：模型实验时的流 量qm和实际出现旋涡孔 时的水头h min ?
3
1、几何相似（空间相似）
几何相似：指两流场几何形状相似，两流动的对应边长 成同一比例，对应角相等，即全流场有一个相同的长度 比例。几何相似还可认为包括流场相应边界性质相同， 如固体壁面，自由液面等。 尺度比例系数：
lm kl const lp
m----模型流动；
p----原型流动。
则面积比例系数KA和体积比例系数KV可分别表示为：
----重力作用下两流动的相似准则
由（4-6）式第（2）项：
v k v 1,即 : k g kl g mlm g pl p
16
2 v
2 m
2 p
即在动力相似中要求：
Frm Frp
v Fr gl
2
Fr代表了流动中惯性力与重力之比，反映了流体流 动中重力所起的影响作用。 若
gm g p
Am 2 kA kl Ap
vm 3 kv kl vp
4
5
2、运动相似（时间相似）
运动相似指两流动对应几 何点上的速度成同一比例。
此时，两流动的迹线和流线几 何相似。 在对应瞬时， 流场速度图相 似，即相应点 速度大小成比 例，方向相同。
6
速度比例系数：
vm kv const vp
p Eu 2 v
Eu准数代表了流体流动中所受的压力与惯性力之比， 反映了流动中压力所起的影响作用。它也是一个无量 纲的量。
应该测量哪 些物理量?
实验结果 如何应用?
例题1
如图所示，已知d 250mm, q p 140 L ，模型实验 s lm 1 的长度比例尺为（ ), 模型实验时，在水箱自由 5 lp 5 表面出现旋涡孔时的水头 为hmin M 60mm. 试求：模型实验时的流 量qm和实际出现旋涡孔 时的水头h min ?
3
1、几何相似（空间相似）
几何相似：指两流场几何形状相似，两流动的对应边长 成同一比例，对应角相等，即全流场有一个相同的长度 比例。几何相似还可认为包括流场相应边界性质相同， 如固体壁面，自由液面等。 尺度比例系数：
lm kl const lp
m----模型流动；
p----原型流动。
则面积比例系数KA和体积比例系数KV可分别表示为：
----重力作用下两流动的相似准则
由（4-6）式第（2）项：
v k v 1,即 : k g kl g mlm g pl p
16
2 v
2 m
2 p
即在动力相似中要求：
Frm Frp
v Fr gl
2
Fr代表了流动中惯性力与重力之比，反映了流体流 动中重力所起的影响作用。 若
gm g p
Am 2 kA kl Ap
vm 3 kv kl vp
4
5
2、运动相似（时间相似）
运动相似指两流动对应几 何点上的速度成同一比例。
此时，两流动的迹线和流线几 何相似。 在对应瞬时， 流场速度图相 似，即相应点 速度大小成比 例，方向相同。
6
速度比例系数：
vm kv const vp
p Eu 2 v
Eu准数代表了流体流动中所受的压力与惯性力之比， 反映了流动中压力所起的影响作用。它也是一个无量 纲的量。
第四章 相似和量纲分析.
Vplp Vmlm VmVpllm p3021 0 060k0m /h 0
难以实现，要改变实验条件
2021/5/30
（2）改用水
水 1 .00 17 6 0 m 2/s 空 气 1.7 5 1 6 0 m 2/s
Vpl p Vmlm
p m
V m V pllm pm p 3 0 2 1 0 1 1 0 .0 .7 5 1 0 1 6 0 7 6 0 3k 8/m h 5
2021/5/30
（3）改变压强（30at），温度不变
等温过程p∝ρ，且μ相同
pVplp mVmlm
p
m
ppVplppmVmlm
V mV pllm pP pm p30 1 2 0 3 0 1 020 k0 m /h
2021/5/30
1、两个流动现象相似应满足的条件？ 2、对于粘性不可压缩流体定常流流动，有 哪些相似准则来反应模型流动与原形流动相 似关系？ 3、模型实验中是否能够保证与问题相关的 所有相似准则都得到满足？
写成量纲式： [ q i] [ q 1 ] a [ q 2 ] b [ q n 1 ] p
根据量纲一致性原理，确定指数a、b、…p,
就20可21/5/得30 出表达该物理过程的方程式。
[例1]求水泵输出功率的表达式。
（1）找出同水泵输出功率N 有关的物理量，
包括单位体积水的重度、流量Q、扬程H，即：
角速度比尺:
m p vvm p//llm p vl
2021/5/30
（3）动力相似
指两个几何相似、运动相似的流动系统 中，对应点处作用的相同性质的力，其方向 相同，大小成一定比例，且比例常数对两个 流场中任意对应点都不变。
p m
2021/5/30
难以实现，要改变实验条件
2021/5/30
（2）改用水
水 1 .00 17 6 0 m 2/s 空 气 1.7 5 1 6 0 m 2/s
Vpl p Vmlm
p m
V m V pllm pm p 3 0 2 1 0 1 1 0 .0 .7 5 1 0 1 6 0 7 6 0 3k 8/m h 5
2021/5/30
（3）改变压强（30at），温度不变
等温过程p∝ρ，且μ相同
pVplp mVmlm
p
m
ppVplppmVmlm
V mV pllm pP pm p30 1 2 0 3 0 1 020 k0 m /h
2021/5/30
1、两个流动现象相似应满足的条件？ 2、对于粘性不可压缩流体定常流流动，有 哪些相似准则来反应模型流动与原形流动相 似关系？ 3、模型实验中是否能够保证与问题相关的 所有相似准则都得到满足？
写成量纲式： [ q i] [ q 1 ] a [ q 2 ] b [ q n 1 ] p
根据量纲一致性原理，确定指数a、b、…p,
就20可21/5/得30 出表达该物理过程的方程式。
[例1]求水泵输出功率的表达式。
（1）找出同水泵输出功率N 有关的物理量，
包括单位体积水的重度、流量Q、扬程H，即：
角速度比尺:
m p vvm p//llm p vl
2021/5/30
（3）动力相似
指两个几何相似、运动相似的流动系统 中，对应点处作用的相同性质的力，其方向 相同，大小成一定比例，且比例常数对两个 流场中任意对应点都不变。
p m
2021/5/30
第四章 相似原理与量纲分析
Cu = CL
2 L 5/ 2 L
= Cu C A = C C L = C CL CL = = CL 时间比尺： C t = Cu CL
流量比尺： CQ
§4-3相似原理的应用
二、考虑粘性阻力起主要作用的粘性力相似准则
要求原、模型的雷诺数相等。
(Re ) p = (Re )m
Lpu p
一般原、模型中的流体性质相同 即
C值用公制和英制就具有不同的结果。
§4-6 量纲分析之一 -----雷立法
§4-6 量纲分析之一 ---- 雷立法
如果根据理论分析和实验得知反映某一物理现象的各 有关因素（变量）的数目
( y, x1 , x2 ⋯ xn )
α1 α2
并假定这一物理过程的方程可以用变量的幂乘积形式来表示 即：
y = Kx1 x 2 ⋯ x n
−1 −3 α1 −1 −1 α2
α3
α1+α2
−3α1−α2 +α3
[T]
−α2
§4-6 量纲分析之一 -----雷立法
由量纲和谐原则得：
[M ]
0 = α1 + α 2
1 = −3α1 − α 2 + α 3
[L ]
[T ]
：
− 1 = −α 2
Vc = Kρ µd
−1 −1
α1 = −1 ⇒ α2 = 1 α 3 = −1
νp
=
Lm um
νm
ν p =νm
Lm = um L p
up
1 Cu = CL
如：若模型比原型缩小20倍，则模型的流速要比原型大20 倍。不易做到。
1 = CL 流量比尺：CQ = Cu C A = C ⋅ CL
第四章 相似原理与量纲分析(新)
第四章 相似原理与量纲分析流体力学中许多工程实际问题由于边界条件复杂，影响因素众多，目前还不能用数学分析方法求出严谨的答案。
即使有少数问题可导出微分方程，但由于它是非线性的，也难以求得精确解。
有些由解析方法求解的，也要做相当的简化和假定，以致结论与实际情况不完全相符。
这就必须借助实验，而且实际中很多公式和系数就是实验的总结。
根据已有的科学知识，进行船舶、飞机和水力机械等的设计是否符合实际需要和流体力学原理，要由实践来证实，因为经济和技术上的原因，不可能直接作出实物实验。
但是，实验必须有理论指导，否则将带有很大的局限性和盲目性，而相似原理和量纲分析就是指导和分析实验的理论依据。
通过相似原理和量纲分析可以正确和合理地制订实验方案和设计模型，获得符合实际的结果。
§ 4-1 相似原理和相似判据一、 相似原理相似概念最早出现于几何学。
如果两个几何图形的对应夹角相等，对应边成比例，那么这两个几何图形是相似的。
这一概念可被推广于一般的物理过程。
所谓两个系统是相应的，就是假定一个系统的一个点和瞬时(ｘp ，ｙp ，ｚp ，ｔp)可以和另一系统的唯一的一个点和瞬时(X Ｍ，Y Ｍ，Z Ｍ，ｔＭ）相对应，并且假定连续性条件适用于这两个系统中的任何两个相邻点。
所谓同名物理量即两个系统中表示同一物理属性的量。
例如，一个系统中某点的速度和另一系统中相应点的速度是两个系统中的同名物理量。
当两个相应系统中进行着同一的物理过程(例如都是机械运动)，而所有相应点的同名物理量的方向相同，其大小之间保持着同一比例关系，那么这两个系统就是物理相似的。
在流体力学中，两个流动系统中相应点的各种向量物理量彼此之间相互平行，并且向量或标量物理量互相成一定比例，则称两个流场是力学相似的。
要实现力学相似，两个流场必须具备以下几个条件：①几何相似；②运动相似；③动力相似；④边界条件和起始条件相似。
(一)几何相似如果两个流场几何形状相同，它们所有相应线段长度之比为同一常数，那么这两个流场是几何相似的。
第四章 相似原理与量纲分析
图 4-2 几何相似、运动相似与动力相似
为了同时满足上述几类相似，原型与模型的相应物理量之间必须满足一定的约束条件。以匀速运动 为例，原型与模型之间必须首先满足
v p / vm Cv
l p / lm Cl p / m C
公式中的 Cv、Cl、Cτ 称为速度、位移和时间的相似常数。 根据匀速运动的特点，要保证原型与模型之间相似，上述相似常数必须满足
在热量传输研究中需要加上第四个基本量纲——温度量纲 Θ。
除了量纲量之外还存在无量纲量(nondimensional variable)，即没有量纲的物理量。无量纲量有两种， 一种是自然无量纲量，例如常数；另一种是由一定物理量组合而成，例如各种相似准数。
无量纲物理量具有以下性质：客观性、不受运动规模的影响、清楚反映问题实质、可进行超越函是判断模型与原型是否相似的关键。因此，如何获得所研究问题相关的 相似准数是研究相似现象的必要步骤。常用的相似准数确定方法主要包括量纲分析法、方程分析法(包括 相似转换法和积分类比法)和定律分析法。本课程只介绍量纲分析法(dimensional analysis)。 4.2.1 量纲与单位 任何物理量都包括大小和种类两方面。物理量的大小可以用相应的单位(unit)来表示；物理量所属的 种类则用量纲(dimension，又称为因次)来表示，例如长度就是一种量纲。量纲与单位有以下区别：量纲 是物理量的测量尺度，反映物理量的物理属性，不含有数值；单位是一种分配数值给量纲的方法。同一 量纲可以用多种单位表示，例如长度可以用米、毫米、微米、纳米等单位来表示。 量纲可以分为基本量纲(fundamental/basic dimension)和导出量纲(nonprimary dimension)。基本量纲是 具有独立性的量纲，在动量传输领域中有三个基本量纲：长度量纲 L、时间量纲 T、质量量纲 M。导出 量纲由基本量纲组合而成，例如速度量纲由长度量纲和时间量纲组合而成。
第四章 相似原理和量纲分析
三、平面弯曲问题 对于高次超静定平面框架，可以用模型试验 解决， 如下图：
一般来说，模型形状应做成几何相似，各截面处的弯矩 M 正比于 Fl ，
Fl 3 挠度正比于 ，故弯矩和挠度的比例数各为： EI CM M Fl C F Cl M m Fm l m
W 3 Em I m CW C F Cl Wm EI C x Cl , CqC x C y C C l
CG
G Gm
Ce
e em
Cx G
但
C
（c） m m m Em （d） 1 m 1 2 m
1 1 2
E
故
由此比要求
m
称为泊松模型律（e）
C C E （f）
把（c）代入（a）
C m
CG Gm
∵ C C E
CF Cl2
∴ 如果模型材料被选定： C E 已被确定。 则荷载比例数 C F 和长度比例数只能任选其一。
• • • • • • •
例4-I 矩形(b×h)截面简支梁受线分布载荷q，梁长l，以梁 内正应力公式为例，导出模型与实梁的相似条件。 解：梁内任意位置处的正应力公式为 qx (a)
• 一般来说，如果描述某个物理现象的物理量有n个，并且在这n个量中 含有r个量是无量纲独立的，则独立的纯数有n－r个。 例4－3 研究弹性体内的应力σ与外力F，力矩M和尺寸L，材料常数E，μ 之间的π项。 取r=2, n=6. π的个数为6－2=4个
(1 , 2 ,......) 0
1
C e e m
CG Gm
2 m
2
C m 0
要求
C C e CG Ce CG C （g） Cx Cx C x2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
求原型对应的水头Hp为多少？ 解： 主要受重力作用，应为Fr相等.
u
2 p
um2
g p Lp gm Lm
∵ u 2gH
um Lm
up
Lp
Hm HP
um2
u
2 p
Cu CL
CH Cu2 CL
∵ Q uA
§4-3相似原理的应用
CQ
Qm Qp
um Am u p Ap
CuC
2 L
CL
C
2 L
C5/2 L
第四章 相似原理与量纲分析
§4-1相似的基本概念
§4-1相似的基本概念
相似系统：模型与原型之间必须具有：
⑴外形必须几何相似。
⑵运动状态、力的作用情况必须相似。 ⑶表征同类物理性质的量必须具有同一比值。
⑴外形必须几何相似：模型和原型的任何相应的线
性长度具有同一比例。
长度比尺（缩小倍数）： CL
LP（原型） Lm（模型）
QP=12L/s
Qm
4
12 0.4
0.0758L / S
0.0101
2、用空气做实验：vm=0.17cm2/s,
Qm
12 4 0.4
1.275L / S
0.17
§4-3相似原理的应用
例二：水流自坝顶下泄，流量Qp=1000m3/s, 如取模型与原型
尺度比
CL
1 40
,求模型对应的流量为多少?若模型水头Hm=8.4cm
1
或： p p
p
u
2 p
pm
m um2
(Eu)p=(Eu)m 欧拉数反映了压力与惯性力的比值
若两个流动同时受粘性力、重力和压力作用，要同 时满足Re、Fr、Eu准则，才能实现动力相似。
§4-3相似原理的应用
§4-3相似原理的应用
一、考虑重力起主要作用的重力相似准则即是Fr数
相等（原型和模型）
Fr
Lp
一般原、模型中的流体性质相同
u
p
p
Lmum
m
即 p m
u p Lm um Lp
Cu
1 CL
如：若模型比原型缩小20倍，则模型的流速要比原型大20
倍。不易做到。
流量比尺：CQ
CuCA
C
2 L
1 CL
CL
时间比尺： Ct
CL Cu
CL 1/ CL
CL2
§4-3相似原理的应用
对同时受重力和粘性力作用的液体，应当同时满足Re和Fγ 准则，才能保证流动相似，
§4-2相似准则
二、雷诺准则（粘滞阻力相似准则）
粘性阻力比尺：
CT
Tp Tm
p Ap m Am
du p dy p dum dym
CCLCu C CCLCu
水流动力相似的必要条件：
粘性阻力的比尺与惯性阻力的比尺为同一相似比尺。
即：CT =CF 则： CCL2Cu2 C C CLCu
得：CLCu 1 也可写成： Lpu p Lmum
但Fr准则要求 Cu CL
二者不能同时满足
而Re准则要求 Cu 1 / CL
解决的办法是采用不同的流体进行实验，同时满足Fr和Re准则
则有： 则：
Cu2 1 和
CgCL
Cu2 CgCL
CL2Cu2 C2
CLCu 1 C
(Cg 1)
C
C
3/ L
2
§4-3相似原理的应用
p m
CL3/ 2
m
p
Fr
m
u
2 pg p Lp源自um2 gm Lm在地球上gp≈gm
∴ Cu2 CL
Cu CL
流量比尺： CQ CuCA CL2 CL CL5/2
时间比尺： Ct
CL Cu
CL CL
CL
§4-3相似原理的应用
二、考虑粘性阻力起主要作用的粘性力相似准则
要求原、模型的雷诺数相等。
Re p Re m
面积比尺：
CA
AP Am
L2P L2m
CL2
体积比尺：
CV
VP Vm
L3P L3m
CL3
§4-1相似的基本概念
⑵运动相似 （运动状态相似，速度、加速度必须平
行且具有同一比例）：
速度相似比尺：
Cu
up um
dLp dLm
/ dtp / dtm
dLp dt p
/ dLm / dtm
CL Ct
加速度相似比尺：Ca
CCL2Cu2
§4-2相似准则
§4-2相似准则
一、牛顿相似准则
可以写成： 将上式展开：
CF
C
C
2 L
Cu2
1（无量纲数）
Fp / Fm
p m
L2p L2m
u
2 p
um2
1
Fp
p
L2p
u
2 p
Fm
m L2mum2
牛顿数：
Ne
F
L2u 2
(Ne ) p
N
e
m
若两个水流不仅几何相似，而且是动力相似的，则他们的牛顿数 必须相等；反之亦然，称为牛顿相似准则。
解：几何比尺：
CL
dp dm
20 5
4
由雷诺相似准则： Re p Re m
即: u pd p umdm
p
m
Cu
up um
p m
dm dp
C CL1
C CL
CQ
CACu
CL2
C CL
CLC
CL
P m
§4-3相似原理的应用
Qp Qm
CL
P m
Qm
Qp
CL
p m
1、模型用水做实验，20℃ vm=0.0101cm2/s vp=0.4cm2/s,
1
C
3 L
/
2
p
才能同时满足Fr和Re准则。实际要做到这一点几乎是
不可能的
§4-3相似原理的应用
例1 有圆管直径为20cm,输送ν=0.4cm2/s的油液.流量为12L/s. 若在实验室中用5cm直径的圆管作模型实验.假如采用⑴20℃ 的 水.或⑵空气(=0.17cm2/s)作实验流体,则模型中流量各为多 少才能满足粘滞力作用的相似？
ap am
dup / dtp dum / dtm
dup / dum dtp / dtm
Cu Ct
CL Ct2
⑶动力相似 （力的方向必须相互平行，且具有同一比例）
压力比尺：
CF
Fp Fm
F Ma Va
CF
Fp Fm
pVp a p mVm am
C CV Ca
C CL3
CL Ct2
CCL2
CL2 Ct2
Qm
Qp
CL5/ 2
1000
1
5/2
40
0.1
(m3/s)
Hp
Hm CH
8.4 CL
8.4 1 / 40
3.36
u
2 p
um2
CgCL
g p Lp gm Lm
(Fr)p=(Fr)m Fr 表明了惯性力与重力之比 （佛汝德数）
§4-2相似准则
四、欧拉相似准则（总压力P不可忽略时）
CP
PP Pm
pp Ap pm Am
CpCL2
要满足动力相似，必须 CP CF
则: CpCL2 CCL2Cu2
即：
CP C Cu2
C
p
m
雷诺数：Re
uL
Re
p
Re
m
雷诺数反映了惯性力与粘性力之比。
§4-2相似准则
三、佛汝德相似准则（重力相似准则）
CG
Gp Gm
M pgp Mmgm
pVp g p mVm gm
CCL3Cg
CG CF 重力与惯性力之比值为同一常数
则： CCL3Cg CCL2Cu2
得：
Cu2 1 也可写成