量纲分析与相似原理

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9.3 泊金汉Π定理
• 设一个流动过程涉及n 个变量v1 ， v 2 ， v3 ，···， vn ，其中 v2 ， v3 ，···， vn 是相互独立的自变量，它们是实验中可以控制的量，实 验目的是依次改变其中的一个变量而保持其他变量不变，从而确定它
们各自对变量 v1 的影响； v1 是实验中待确定或测量的量，它是自 变量的函数，称为因变量。如在上节提到的圆球在黏性流体内运动的
• 在流体力学中经常会出现需要处理的与流体流动有关的物理量，可以 用量纲来定性地描述这些物理量的种类和性质，如长度、时间、应力 和速度等，而定量地描述物理量则需要一个数量和一个公认的测量单 位，如长度的单位用m、mm 、ft，时间的单位用h、min 和s等。
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9.1 量纲与单位
• 离开了单位，仅给出某个物理量的数值是没有意义的，因为采用的单 位不同，表示该物理量的数值大小也就不同，但是所有同类物理量均 具有相同的量纲。量纲是物理量“质”的表征，而单位是物理量“量” 的表征。
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9.1 量纲与单位
• 如密度的量纲可写为dimρ ，用基本量纲表示为： • 20 世纪80 年代以前习惯用长度、时间和力作为基本量纲，简称FLT
制（F 表示力的量纲），而将质量作为导出量纲。依据牛顿第二定律， 力等于质量乘以加速度，因此 • FLT 制现已被MLT 制所取代。
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9.2 量纲分析
• 通过量纲分析方法来减少一个物理方程的变量数目对于流体力学实验 研究具有重要意义。考虑一个半径为a 的圆球在密度和黏度分别为ρ 和μ 的流体中以速度U 运动时所受到的阻力 FD 。当雷诺数远小于1 时可பைடு நூலகம்忽略惯性力的作用；又由于惯性力与流体密度ρ 成正比，故 F D与ρ 无关，仅是a 、μ 和U 的函数，即
• 以式（9-16）为例，假设基本量纲数为3，即M、L 和T；经过观察， n 个变量中相互不能形成Π的最大变量个数也是 3，即 j = 3；依据Π 定理，n 个变量可以组成而且只能组成n . j个Π 。选取3 个不能形成Π 的变量，如 v1 、 v2 和 v 3，于是可以用这3 个变量与另外一个变量的 幂次乘积组成一个Π，则n . 3个Π可以分别表示为
• 采用重复变量法确定Π 的步骤如下：
第九章 量纲分析与相似原理
• 9.1 量纲与单位 • 9.2 量纲分析 • 9.3 泊金汉Π 定理 • 9.4 相似原理 • 9.5 模型实验
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9.1 量纲与单位
• 利用连续方程和运动方程求解流体流动问题的理论方法，只能得到一 些简单流动问题的解析解。实际上能够求得解析解的问题非常少，工 程中遇到的绝大多数流体力学问题仍然需要实验和理论相结合的方法 去寻求流动过程的规律。进行实验研究需要解决两个问题：一个是如 何通过一定量的实验得出某一流动现象的基本规律；另一个是如何把 特定条件下的实验结果推广到类似的流体流动过程中去。处理这些问 题的理论基础就是量纲分析和相似原理。
• 式中，T 表示开尔文温度，t 表示摄氏温度。
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9.1 量纲与单位
• 导出量纲的单位可以由上述基本单位推出。力的单位是牛顿，用字母 N 表示，它由牛顿第二定律来定义，即
• 1 N 的力作用在1 kg 质量的物体上产生1 m/s−2 的加速度。在SI 制下 重力加速度等于9.807 m/s−2，通常取9.81 m/s−2。功的单位是焦耳， 以J 表示，它代表1 N 的力沿作用方向移动1 m 距离所做的功，即
例子中，阻力 DF 是实验中要确定的因变量， a 、μ 和U 则是相互独 立的自变量。这里说a 、μ 和U 相互独立，是指它们之间不能用任意
一个或两个来表示另外一个。不是所有的变量都相互独立，比如ρ 、
μ 和v 三个量中只有2 个独立，因为
。
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9.3 泊金汉Π定理
• 实验最终目的是寻求关系式
• 量纲一致性原理 一个正确和完整地描述物理规律的方程式，其左右 两侧的量纲必须一，而且所有相加的项的量纲也必须相同，否则就意 味着让不同的物理量相等或相加，这样的方程是毫无意义的。
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9.1 量纲与单位
• 比如伯努利方程 • 式中，z 是高度，量纲为L；p 是压强，量纲为ML−1T−2；V 是速度，
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9.3 泊金汉Π定理
• 泊金汉Π定理可表述如下：如果一个量纲一致的方程中包含n 个变量， 则这一方程可以表示成k 个量纲为1 的组合量或Π 之间的关系式，变 量数的减少数 j = n − k 是相互不能组合成量纲为 1 的组合量或Π的最 大变量个数的， j总是等于或小于描述这些变量所需的最小基本量纲 数。
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9.2 量纲分析
• 与阻力 FD 的量纲一致，式（9-14）两侧同时除以μUa使等式量纲为 一化，即
• 使上式右侧成为一个量纲为 1 的组合量的唯一可能是使函数 f (a,μ ,U) 等于μUa 与一个常数的乘积，于是
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9.2 量纲分析
• 式（9−15）只含一个量纲为1 的组合量，且该量纲为一个组合量等于 一个量纲为1 的常数。为了确定这一常数，不再需要分别改变流体种 类、流动速度和圆球半径，只需要采用同一圆球和同一种流体，改变 圆球运动速度（即改变量纲为1 的组合量/ FD μUa的数值）以测量阻 力即可确定等式右侧常数 c1 的数值。由理论分析我们知道式（9−15） 中的常数等于6。
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9.2 量纲分析
• 欲使组合
量纲为 1，必然有
应等于 gh与一个常数的乘积，于是
，即函数 f
• 上文中，仅利用量纲一致性原理就确定了式（9-12）的具体函数关系； 同时式（9-12）改写为式（9-13）后，变量数由4 减少为1。
• 这种根据量纲一致性原理，通过合理地组合物理量使其成为量纲为1 的组合量，从而减少与一个物理现象有关的变量数目的分析方法称为 量纲分析。由上述事例还可以看出，有时仅依据对相关变量量纲的分 析便可确定物理量之间的函数关系，特别是当涉及的变量较少时。
• 基本量纲和导出量纲 量纲分为基本量纲和导出量纲。基本量纲，如 质量、长度、时间和温度，彼此相互独立，不能用来相互测量；导出 量纲则可以用基本量纲的组合来表示，如密度的量纲可表示为质量除 以长度的立方。在流体力学中采用的基本量纲是质量、长度、时间和 温度，分别表示为M、L、T 和Θ，对于绝大多数流体力学问题，只涉 及M、L 和T 3 个基本量纲，称MLT 制。一个量的量纲，可在表示这 一物理量的文字或符号前加“dim”来表示，
量纲是LT−1；ρ和g 分别是密度和重力加速度，它们的量纲分别是 ML−3 和LT−2。读者容易验证方程左右两侧及每一项的量纲都是L。 • 有时方程中会出现常数，如自由落体运动方程可表示为
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9.1 量纲与单位
• 对上式做量纲检查可知，若要满足量纲一致性原理，则式中的常数 4.904 的量纲必须是LT-2。通常自由落体运动方程写为
• 将重力加速度g = 9.807 m/s2代入，即得式（9−10）。式（9−11）对 任意单位制都成立，而式（9−10）只适用于m 和s 的单位制。
• 虽然一个量纲一致的方程不一定是正确的方程，但一个量纲不一致的 方程则一定是错误的方程。因此检查量纲常常可以帮助我们发现运算 结果的错误，或者检查一个方程是否书写正确。量纲一致性原理是量 纲分析的基础，量纲分析将在第9.2 节讨论。
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9.2 量纲分析
• 考虑到上式有3 个独立变量a 、μ 和U，如果要通过实验来确定每一 个独立变量对阻力 FD的影响，则需保持其中两个不变，只改变其中 的一个：首先保持a 和μ 不变，在不同的速度U 测量圆球阻力FD ，以 确定速度U 对FD 的影响；然后保持μ 和U 不变，采用具有不同直径 的圆球进行实验以确定FD 随a 的变化规律；最后保持U 和a 不变，采 用具有不同μ 的流体进行实验以确定FD 与μ 的函数关系。这是一件耗 费资金，也耗时耗力的工作。利用量纲分析的方法，式（9−14）可 以得到简化，考虑到
• 从上述两个实例可以看出量纲分析方法在流体力学实验研究中的重要 指导作用：将物理量组成量纲为1 的组合式的形式，可以减少与流动 问题相关的变量数目，即量纲分析方法不但能最终给出变量间的具体 函数形式，还可以提供该函数形式的重要信息，从而使实验工作大为 简化。对于一个具体的流动问题，可以减少的变量数则由Π 定理确定。
• 依据量纲一致性原理，上式一定可以表示成量纲为1 的形式，量纲为 1 的关系式中量纲为1 的组合量数将少于原式中的变量数。
• 泊金汉Π 定理 将式（9−16）改变为量纲为1 的形式的方法有多种， 这里介绍1914 年由泊金汉（E. Buckingham）提出的方法，称为泊 金汉Π 定理。在数学上，大写希腊字母Π 表示变量的乘积，由于量纲 为1 的组合量总是以物理量的幂次乘积形式出现，所以习惯上将量纲 为 1 的组合量表示为Π1，Π2，Π3，···。
9.1 量纲与单位
• 国际单位制 在实际使用上有很多种单位制，本书采用的是国际单位 制（InternationalSystem of Units），简称SI 制。在国际单位制中， 质量的单位是kg（千克），长度的单位是m（米），时间的单位是s （秒），温度的单位是K（开尔文）。需特别说明的是，虽然摄氏温 度本身不在国际单位制中，但书中在使用温度的单位时仍然常用摄氏 温度，摄氏温度与开尔文温度的关系为
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9.2 量纲分析
• 在前面一节讨论了量纲一致性原理，或量纲齐次性原理、量纲和谐原 理。量纲一致性原理要求，凡是正确反映客观规律的物理方程，其各 项的量纲必须是一致的。从量纲一致性原理可以得到一个重要推论： 一个正确反映客观规律的物理方程必然可以写成量纲为1 的形式。
• 在前面一节中讨论过自由落体运动，现在假设我们并不清楚物体在自 由降落过程中距离与落地速度及重力加速度之间的函数关系。设物体 的释放高度为h ，物体落地速度为V ，从物理常识出发，V 应该与物 体的质量m 、重力加速度g 和h 有关，即
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9.2 量纲分析
• 由量纲一致性原理可知，上式两侧的量纲是相同的，即 • 由伯努利方程可知，gh与V 2 /2有相同的量纲，于是给式（9−12）两
侧同除以 ，得
• 则上式两侧都应该是量纲为1 的。等式右侧的m 的量纲M 在变量g 和 h 中都未出现（ g 和h的量纲只包含L 和T），因此m 不可能与g 和h 组成一个量纲为1 的组合量，应从右侧的变量中删去；
• 功率的单位是瓦，以W 表示，即
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9.1 量纲与单位
• 一些流体力学中的常用物理量中MLT 制下的量纲和SI 单位制下的单 位在表9−1 中给出由于历史的原因，西方国家推行国际单位制的同时 仍然在使用英制单位，所以在阅读一些科技文献或是教科书时可能会 遇到ft（英尺）、lb（磅）、℉（华氏度）等单位，通常英文的流体 力学教科书都会有这些单位与国际单位制的换算表供参阅。例如：
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9.3 泊金汉Π定理
• 以上各式中，添加的变量的幂指数都随意写为1，实际上也可选用其 他非零指数。令等式两侧的幂指数相等，即可求出使每一个Π 成为量 纲为1 的组合量的a、b、c。这样确定的Π是相对独立的，因为只有 Π1包含v 4 ，只有Π2包含 5 v ，等等。通常称上述确定Π 的方法为重 复变量法。
• 在上节提到的圆球运动的例子中包含 FD 、a、μ 和U 4 个变量，即n = 4；描述这 4 个变量时基本量纲有 3 个，即 M、L 和 T，于是 j≤3。 依据Π定理， j = n . k≥1，这与我们在上节的推理结果是一致的。
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9.3 泊金汉Π定理
• 泊金汉Π 定理的第二部分告诉我们如何确定这k 个量纲为1 的组合量： 首先确定j，然后选取j 个相互不能组成Π 的变量，每一个Π 都可以用 这j 个变量与另外一个变量的幂次乘积组成，如此得出的每一个Π 都 是独立的。