相似原理和量纲分析
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相似原理与量纲分析
前已指出，两流动动力相似要求对应点处液体 质点所受各种力大小成比例。液体质点所受力有粘 性力、重力、动水压力等，都是企图改变运动状态 的力；而惯性力是液体质点企图维持原有运动状态 所表现出来的一种力，流动的变化就是惯性力与其 他各种力相互作用的结果。因此，应以惯性力为一 方，其他各种力为另一方，来相互比较，以找出各 比尺之间的约束关系。
CC 2
压强比尺 C p
C Cl
CC 2Cl 2
功能比尺 CW
功率比尺 CN
C Cl4 CCl7 / 2
CC 2Cl CC 3Cl 1
9.3 模型实验(Model Test)
二、模型的设计
在模型设计中通常是根据实验场地和模型制作 的条件先定出长度比例尺Cl，再以选定的Cl缩小原型 的几何尺寸，得出模型流动的几何边界。在一般情 况下模型流动采用与原型流动相同的液体，即Cρ 、 Cν为1。然后按所选用的相似准则确定速度比尺Cu和 流量比尺CQ，从而定出模型流动的流量。
二、几何相似
几何相似是指两个流动流场的几何形状相似，即 模型和原型中的对应长度成比例、对应角相等。
如以 l 表示某一长度，以下标m表示模型的量， 以下标p表示原型的量，则有
长度比尺
Cl
lp lm
面积比尺
CA
Ap Am
l
2 p
lm2
Cl2
体积比尺
CV
Vp Vm
l
3 p
lm3
Cl3
9.1 Basic Theory of Similitude
9.3 Dimensional Analysis
一、量纲的概念 导出量纲
速度 加速度 密度 力
CC 2
压强比尺 C p
C Cl
CC 2Cl 2
功能比尺 CW
功率比尺 CN
C Cl4 CCl7 / 2
CC 2Cl CC 3Cl 1
9.3 模型实验(Model Test)
二、模型的设计
在模型设计中通常是根据实验场地和模型制作 的条件先定出长度比例尺Cl，再以选定的Cl缩小原型 的几何尺寸，得出模型流动的几何边界。在一般情 况下模型流动采用与原型流动相同的液体，即Cρ 、 Cν为1。然后按所选用的相似准则确定速度比尺Cu和 流量比尺CQ，从而定出模型流动的流量。
二、几何相似
几何相似是指两个流动流场的几何形状相似，即 模型和原型中的对应长度成比例、对应角相等。
如以 l 表示某一长度，以下标m表示模型的量， 以下标p表示原型的量，则有
长度比尺
Cl
lp lm
面积比尺
CA
Ap Am
l
2 p
lm2
Cl2
体积比尺
CV
Vp Vm
l
3 p
lm3
Cl3
9.1 Basic Theory of Similitude
9.3 Dimensional Analysis
一、量纲的概念 导出量纲
速度 加速度 密度 力
5 量纲分析和相似原理
5.2.2 π定理（布金汉定理，Bucking ham）
由美国物理学家Bucking ham提出。若某一物 理过程包含n个物理量，即 f (q1q2q3 qn ) 0 其中有m个基本量（量纲独立，不能互相导出）， 则该物理过程可由n个物理量构成的n-m个无量纲 项所表达的关系式来描述，即 F (1 nm ) 0 由于无量纲项用π表示，因此叫作π定理。
5.1.2 无量纲量
当量纲公式中α=0、β=0、γ=0时, 物理量q 为无量纲量。 vd Re 如 雷诺准数
LT 1L dim Re dim( ) 2 1 1 LT vd
无量纲量的特点： 客观性 不受运动规模的影响 可进行超越函数运算
5.1.3 量纲和谐原理
量纲和谐原理：凡正确反映客观规律的物理 方程，其各项的量纲一定是一致的。 如粘性流体总流的柏努利方程
4)量纲分析法是沟通流体力学理论与实验之 间的桥梁。
5.3 相似理论基础
5.3.1 相似概念
几何相似：两个流动流场（原型和模型）的 几何形状相似，即相应的线段长度成比例、 夹角相等。 以p表示原型 (prototype) ， m表示模型 (model) ，有
l p1 lm1 l p2 lm2 lp lm l
I m mlm2vm 2 lmvm Tm mlmvm m
即
l pvp
p
lmvm
m
(Re) p (Re)m
lv
无量纲数 Re 称为雷诺准数(Reynolds number)，表示惯性力与粘滞力之比。两流动 的雷诺准数相等，粘滞力相似。
此式为管道压强损失计算公式，称为达西-魏 斯巴赫（Darcy-Weisbach）公式。
流体力学相似原理和量纲分析
称为不可压缩流体定常流动的力学相似准则。
11
四、马赫数
当考虑流体压缩性时，弹性力起主要作用 F=EA
在因次上 [F ] [E][A] El2
代入（4 —10）中的 F 时，则
Enln2
nln2Vn2
Emlm2
mlm2Vm2
即 En Em
nVn2 mVm2
对可压缩流体，音速a
E
, 因此
E
1 a2
欲使雷诺数相等，将有 n lm vn m ln vm
1
1
欲使弗劳德数相等，将有
n m
ln lm
2
gn gm
2
v l
l
1 2
v
l 32
这在技术上很难甚至不可能做到。实际中，常常要对所研 究的流动问题作深入的分析找出影响流动问题的主要作用力， 满足一个主要力的相似而忽略其它次要力的相似。
15
例：对于管中的有压流动及潜体绕流等，只要流动的雷 诺数不是特别大，一般其相似条件依赖于雷诺准则数。
m gmlm3
mlm
2 2 m
简化后得
2 n
m2
（4—14）
式中
2
Fr
gnln gmlm
，称为弗劳德 Froude 数。
gl
物理意义：
惯性力与重力之比。
9
三、欧拉数
研究淹没在流体中的物体表面上的压力或压强分布时，
起主要作用的力为压力 F pA 。
在因次上为
F pA Pl 2
将其代替式（4—10）中的F时，则
纲数之间的函数式（4—22），这就是泊金汉 E.Buckingham
定理。因为经常用 表示无量纲数，故又简称 定理。
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析相似原理和量纲分析是物理学中常用的分析方法。
这两个方法都可以帮助我们简化和理解复杂的物理问题，并从中得到有用的结论。
相似原理是指在某些情况下，两个或多个物理系统在某些方面具有相似性。
通过找到这些相似性，我们可以将一个物理问题转化为另一个更简单的问题，并从中得到有关原问题的信息。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理问题的方法。
在量纲分析中，我们将物理量表示为其单位的乘积，例如长度（L）、质量（M）和时间（T）。
通过对物理方程中各项的量纲进行分析，我们可以得到物理问题的量纲关系。
现在让我们更详细地讨论这两种方法。
首先，我们来看看相似原理。
相似原理的核心思想是，如果两个物理系统具有相似的形状、相似的流动条件和相似的物理特性，那么它们在某些方面具有相似性。
这种相似性可以通过无量纲参数来描述。
无量纲参数是一个相对于单位的比率或比值，因此在不同的物理系统中具有相同的值。
通过选择适当的无量纲参数，我们可以把一个复杂的问题转化为一个简单的问题。
例如，假设我们想研究飞机的气动性能。
我们可以选择无量纲参数如升力系数（Cl）、阻力系数（Cd）和升阻比（Cl/Cd），来描述飞机的飞行特性。
通过比较不同飞机的这些无量纲参数，我们可以得出有关它们性能优劣的结论。
相似原理的应用非常广泛。
它常用于流体力学、热传导和振动等领域的问题研究。
通过利用相似原理，我们可以设计模型实验来研究某一问题，从而避免对真实系统进行复杂和昂贵的实验。
接下来，我们来谈谈量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理问题的方法。
在物理方程中，各个物理量的量纲必须相等。
这就是说，物理方程中各项的量纲必须保持平衡。
通过量纲分析，我们可以得到物理问题的一些量纲关系。
这些量纲关系可以帮助我们推导出物理方程中的无量纲参数，并进一步简化问题。
例如，假设我们要研究物体自由落体的运动规律。
我们可以通过对物理量的量纲进行分析，得到物体自由落体的无量纲形式。
传热学第九讲相似原理及量纲分析
de0 1ac f 0 e f 1 0 1e f 0
ba1
cea d e f 1e
2 a b 2c f 3d 0
2021/5/1
5
h k ua d a1 ea 1e ce e
k ud a d 1 c e
k Rea Pr e
d
Nu hd k Rea Pr e
f 8Re1000Pr f
1 12.7
f
8
Pr
2 f
31
1
d l
2
3
ct
f 1.82lg Re1.642
对液体
ct
Pr f Prw
0.11
(
Pr f Prw
0.05～20)
对气体
ct
Tf Tw
0.45
(
Tf Tw
0.5～1.5)
※适用范围 Pr f 0.6 ～ 105 Re f 2300～ 106
对气体
ct
Tf Tw
n
当气体被加热时 n 0.55
当气体被冷却时 n 0
2021/5/1
对液体
ct
f w
n
当液体被加热时 n 0.11
当液体被冷却时 n 0.25
10
（五）入口效应：
层流 紊流
l 0.05RePr
d l 60
cl
1
d l
0.7
d
2021/5/1
11
二、实验关联式
2021/5/1
6
三、应用
（一）威尔逊法
Nu f Re,Pr
Nu C Ren 或 Nu C Ren Pr m
1. 求 Nu C Ren
lg Nu lg C nlg Re
相似原理和量纲分析
（c） • 一般来说，如果描述某个物理现象的物理量有n个，并且在这n个量中
(在a)光弹性试验含中有， r，个量多半是是无不满量足的纲独要立放的弃，，这就则是独所谓立近似的的纯近似数。 有n－r个。
但在必光须 弹使性例模试4型验－梁中满，3足研初，等究弯多弹曲半理是性论不对满体梁足所内的作的的基应要本放假力弃设，σ,即这与就外是所力谓近F似，的力近似矩。 M和尺寸L，材料常数E，μ
1
b h
,
2
Gh4
T
, 3
l
q
4-5 π定理 由于两现象相似，各对应量互成比例，即
如果梁的尺寸不是几何相似，即梁长与梁截面的相似比例数
例4－3 研究弹性体内的应力σ与外力F，力矩M和尺寸L，材料常数E，μ之间的π项。 时，是严格满足静力相似律。
将式(c)代入到式(a)，得
量第纲三分 定析理 • 的：普系把遍统参定的理单与是值物条π定件理理相。现似，象则的系统各为物相似理。量，通过量纲分析，转化为数目较少的无量纲间的 把表第参达四与 某 章物个相• 理物似现理原关表象现理系达的象和各的量式某物方纲。个理程分量式析即物，π理通1过现，量象π纲2分的…析方，…转程这化式为种数做目较法少就的无是量巴纲间肯的汉关系？式π。定理的基本思想。
G e G2 0 （a）
x
对于模型来说，同样满足方程：
m
Gm
em xm
Gm
2m
m
0
（b）
实物和模型要求相似，对应量一一成比例：
C m
CG
G Gm
Ce
e em
x Cx G xm
C
m
（c）
但
1
E
1
2
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析相似原理和量纲分析是科学研究和工程设计中常用的两种方法，它们在不同领域有着广泛的应用。
相似原理是指在某些条件下，两个或多个对象在某些方面具有相似性的原理，而量纲分析则是一种通过对物理量的量纲进行分析，来确定物理现象之间关系的方法。
本文将分别介绍相似原理和量纲分析的基本概念和应用，以期帮助读者更好地理解和应用这两种方法。
首先，我们来介绍相似原理。
相似原理是指在某些条件下，两个或多个对象在某些方面具有相似性的原理。
在流体力学中，相似原理是研究流体流动时的一种重要方法。
根据相似原理，如果两个流体流动问题在某些方面具有相似性，那么它们的流动规律也应该是相似的。
通过建立相似模型，可以通过对模型进行实验来研究真实流体流动问题，这为工程设计和科学研究提供了重要的手段。
在工程设计中，相似原理也有着广泛的应用。
例如，在飞机设计中，通过建立风洞模型来研究飞机在空气中的飞行性能；在建筑设计中，通过建立模型来研究建筑物在风力作用下的受力情况。
相似原理的应用不仅可以帮助工程师更好地理解和预测真实系统的行为，还可以降低实验成本和风险。
接下来，我们来介绍量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析，来确定物理现象之间关系的方法。
在物理学和工程学中，很多物理现象可以通过物理量之间的关系来描述。
通过对这些物理量的量纲进行分析，可以得到物理现象之间的关系，从而简化问题的分析和求解。
在工程设计中，量纲分析也有着重要的应用。
例如，在流体力学中，通过对流体流动中的速度、密度、长度等物理量的量纲进行分析，可以得到无量纲参数，从而简化流体流动问题的分析和求解。
在热力学中，通过对热量、温度、热容等物理量的量纲进行分析，可以得到无量纲参数，从而简化热力学问题的分析和求解。
总之，相似原理和量纲分析是科学研究和工程设计中常用的两种方法，它们在不同领域有着广泛的应用。
通过对相似原理和量纲分析的理解和应用，可以帮助工程师和科研人员更好地理解和解决实际问题，从而推动科学技术的发展和进步。
相似原理与量纲分析
8
一个物理现象往往包含许多影响因素，这些影响因 素并非彼此孤立，其间关系由描述该现象的微分方程 规定。各物理量的相似倍数之间必定存在特定的制约 关系——准数（相似准则）。 物理相似：影响物理现象的所有物理量场分别相似的总 和。 必须是同类现象才能相似； 受描述现象的微分方程式的制约，物理量场的相似倍 数间有特定的制约关系——准数 ； 物理量的时间性和空间性——对应瞬间、对应空间点 。
17
前面三个问题的答案 （1）实验时测量各相似准数中包含的全 部物理量； （2）将实验结果整理成准数关联式； （3）实验结果可以推广应用到与模型相 似的系统。
设计模型实验时，为使实验设备与实际设备中的现象 相似，必须保证模型与原型现象的定解条件相似，且 同名的已定准数值相等。
18
1.3.6 三种传递过程的类比分析
第一章 流体力基础
——相似理论和量纲分析
西安建筑科技大学 粉体工程研究所
1
1.3.5 相似理论和量纲分析
• • • • • • 引言 物理相似的基本概念 量纲分析 相似准数 量纲分析优点 相似原理
2
引言
实验既是发展理论的依据又是检验理论的准绳， 解决科技问题往往离不开实验手段的配合。 流体力学中的实验主要有两种： a、工程性的模型实验。目的在于预测即将建造 的大型机械或水工结构上的流动情况； b、探索性的观察实验。目的在于寻找未知的流 动规律，指导这些实验的理论基础就是相似原理和 量纲分析。
du 1 2 ρ ρFb P μ u μ u d 3
能量传递
de q k 2 P T- u d de 2 ρ k T-P u μφ q d
质量传递
一个物理现象往往包含许多影响因素，这些影响因 素并非彼此孤立，其间关系由描述该现象的微分方程 规定。各物理量的相似倍数之间必定存在特定的制约 关系——准数（相似准则）。 物理相似：影响物理现象的所有物理量场分别相似的总 和。 必须是同类现象才能相似； 受描述现象的微分方程式的制约，物理量场的相似倍 数间有特定的制约关系——准数 ； 物理量的时间性和空间性——对应瞬间、对应空间点 。
17
前面三个问题的答案 （1）实验时测量各相似准数中包含的全 部物理量； （2）将实验结果整理成准数关联式； （3）实验结果可以推广应用到与模型相 似的系统。
设计模型实验时，为使实验设备与实际设备中的现象 相似，必须保证模型与原型现象的定解条件相似，且 同名的已定准数值相等。
18
1.3.6 三种传递过程的类比分析
第一章 流体力基础
——相似理论和量纲分析
西安建筑科技大学 粉体工程研究所
1
1.3.5 相似理论和量纲分析
• • • • • • 引言 物理相似的基本概念 量纲分析 相似准数 量纲分析优点 相似原理
2
引言
实验既是发展理论的依据又是检验理论的准绳， 解决科技问题往往离不开实验手段的配合。 流体力学中的实验主要有两种： a、工程性的模型实验。目的在于预测即将建造 的大型机械或水工结构上的流动情况； b、探索性的观察实验。目的在于寻找未知的流 动规律，指导这些实验的理论基础就是相似原理和 量纲分析。
du 1 2 ρ ρFb P μ u μ u d 3
能量传递
de q k 2 P T- u d de 2 ρ k T-P u μφ q d
质量传递
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Vp
第五章 相似原理和量纲分析
2.运动相似（时间相似）
运动相似是指：模型与原型的流场中所有对应点上 对应时刻的流速方向相同，且对应流速的大小的比 例相等，即它们速度场相似。
原型
模型
第五章 相似原理和量纲分析
速度比例系数： 时间比例系数：
vm kv C vp
tm kt tp
vm t m kv ka v p t p kt
第五章 相似原理和量纲分析 三、其它的相似准则数
①弹性力相似准则
对于可压缩流体的模型试验，由压缩引起的 弹性力场相似。（Ca——柯西数 Ma——马赫数， 惯性力与弹性力的比值）。
②非定常相似准则
对于非定常流动的模型试验，模型与原型的 流动随时间的变化必相似。（Sr—— 斯特劳哈尔 数，当地惯性力与迁移惯性力的比值）。
同时还有,如质量量纲[M]，力的量纲[F]等。 基本量纲-----相互独立，不相互依赖，如[M]， [L]，[T]等。 导出量纲-----由基本量纲导出,如
密度：dim =ML-3 压强：dim p =ML-1T-2 速度：dim v =LT-1 -2 加速度：dim a =LT 2 -1 运动粘度：dim =L T -2 力：dim F =MLT 表面张力：dim =MT-2 体积模量：dim K =ML-1T-2 动力粘度：dim =ML-1T-1 2 -2 -1 比定压热容：dim c L T 2 -2 -1 比定容热容：dim c L T 2 -2 -1 气体常数：dim R = L T
第五章 相似原理和量纲分析
3.应用举例
采用模型中流体与原型中相同，模型中流 速为50m/s，则原型中流速为多少？
查看答案
1）如果模型比例尺为1:20，考虑粘滞力相似，
第五章 相似原理和量纲分析 解：由粘滞力相似准则知模型与原型中的雷诺 数应相等： Re m Re p
雷诺数：
vm lm
m
v pl p
油池的最小油深为
hmin h'min 5 50 250 （mm） Cl
第四节 近似模拟试验
完全相似和不完全相似
动力相似可以用相似准则数表示，若原型和 模型流动动力相似，各同名相似准数应均相等， 如果满足则称为完全的动力相似。但是事实上， 不是所有的相似准数之间都是相容的，满足了 甲，不一定就能满足乙。所以通常考虑主要因 素忽略次要因素，只能做近似的模型实验。
在粘滞力作用下相似的流动，其粘滞力场相似。 Fm m dv m d ym Am kF k kv k l Fp p dv p d yp Ap
kF 1 代入 2 2 k k l kv
vm l m v p l p kv k l 1 Re m p ku k Re－雷诺数，惯性力与粘滞力的比值。
第五章 相似原理和量纲分析
相似原理的提出
流体力学理论的检验依赖于流体力学试验； 流体力学的模型实验：工程实际需要的流体力
学试验一般很难在实物上进行。
飞机风洞试验 水利大坝试验 汽车风洞试验 ห้องสมุดไป่ตู้船水洞试验
第五章 相似原理和量纲分析
怎么做模型试验？
1. 如何根据实物正确的设计和布置模型实验？ 2. 模型实验的结果如何推广到原型上去，并 进行推广应用？
几何相似是指模型与原型的全部对应线性长度成比 例，且对应的特征角度相等。
lm C 长度比例系数： kl lp
模型流动用下标 模型流动用下标 m 表示 m 表示 原型流动用下标 p 原型流动用下标 p 表示 表示
面积比例系数： k A
Am kl2 Ap
体积比例系数： kV Vm kl3
第五章 相似原理和量纲分析
第二节 动力相似准则
什么是相似准则？
bP aP am
bm
两个矩形要相似必满足：
aP bP am bm
aP am * L bP bm
相似准 则数
第五章 相似原理和量纲分析 动力相似准则的推导
流体的运动必须符合牛顿第二律 F ma ，对模 型和原型流场中的流体微团应用牛顿第二定律，并 根据动力相似，各种力大小的比例相等，可得：
kv kl kt1 ka kl kt2
加速度比例系数：
由上述比例系数可推出：
第五章 相似原理和量纲分析
3.动力相似
动力相似是指模型与原型的流场所有对应点上作用在 流体微团上的各种力彼此方向相同，且它们大小的比 例相等，即它们的动力场相似。 力比例系数： 也可写成：
Fm kF C Fp
以相似原理为基础的模型实验方法，按照流体流 动相似的条件，可设计模型和安排试验。这些条件 是几何相似、运动相似和动力相似。 前两个相似是第三个相似的充要条件，同时满足 以上条件为流动相似，模型试验的结果方可用到原 型设备中去。
在工程实际中的模型试验，好多只能满足部分相似准 则，即称之为局部相似。如上面的粘性不可压定常流动 的问题，不考虑自由面的作用及重力的作用，只考虑粘 性的影响，则定性准则只考虑雷诺数Re，因而模型尺寸 和介质的选择就自由了。 有压粘性管流中，当雷诺数大到一定数值时，继 续提高雷诺数，管内流体的紊乱程度及速度剖面几乎 不再变化，沿程能量损失系数也不再变化，雷诺准则 已失去判别相似的作用。称这种状态为自模化状态， 称自模化状态的雷诺数范围为自模化区。
p v
2、方程量纲一致性 一个合理的物理方程等号两端的量纲必须相 同。
1 2 s V0t at 2
L L LT 1T L LT 2 T 2 L
-----方程两端具有相同量纲
量纲式中各基本量纲指数均为零-----无量纲量。
二、瑞利法
1.定义： 根据量纲量一致性原则，确定相关 量的函数关系。 假定物理量y是x1、x2等的函数。则
Fr-弗劳得数，惯性力与重力的比值。
第五章 相似原理和量纲分析
压力相似准则
在压力作用下相似的流动，其压力场相似。 F pm Pm Am 2 kF k p kl F pp Pp Ap
代入
kF 1 2 2 k kl k v
kp k k
2 v
1
pp pm Eu 2 2 m vm p v p Eu-欧拉数，压力与惯性力的比值。
m p
p
vm l p 1 v p lm kl
因为：
kl 1
20
vm 50m / s
所以：
v p 2.5m / s
返回
第五章 相似原理和量纲分析 2）设模型比例尺为1:100，符合重力相似准则， 如果模型流量为100 cm3/s ，则原型流量为多 少 cm3/s ? A：0.01 C：10 答案: c B：1000 D：10000
模型实验主要解决的问题 ：
1．根据物理量所组成的相似准则数相等的原则去设计模 型，选择流动介质； 2．在实验过程中应测定各相似准则数中包含的一切物理量； 3．用数学方法找出相似准则数之间的函数关系，即准则方程 式。该方程式便可推广应用到原型及其他相似流动中去。
【例】 如图所示，为防止当通过油池底部的管道向外输油时， 因池内油深太小，形成油面的旋涡将空气吸入输油管。需要通 过模型实验确定油面开始出现旋涡的最小油深 hmin 。已知输油管 内径 d=250mm，油的流量 qv=0.14m3/s，运动粘度 7.5 10 5 m 2 s 。 倘若选取的长度比例尺 C 1 5 ，为了保证流动相似，模型输出管 的内径、模型内液体的流量和运动粘度应等于多少？在模型上 测得 h' min 50mm ，油池的最小油深 hmin 应等于多少？
1
油池模型
【解】按长度比例尺得模型输出管内径
d ' Cl d 250 50 （mm） 5
在重力场中 g ' g ， 由弗劳德数相等可得模型内液体的流 速和流量为
h' v' h
1 2
1 v 5
1 2
v
1 q 'V d ' v' 4 4 5 5
2
d
2
1 2
1 v 5
5 2
qV
0.14 0.0025 （m 3 s） 55.9
由雷诺数相等可得模型内液体的运动粘度为
v' d ' 1 v' v vd 5
3 2
7.5 10 5 6 v 6.708 10 （ m 2 s） 11.18
第五章 相似原理和量纲分析
第一节 流动的力学相似
一、流动相似的概念
一个流动某点的运动参数由另一个流动相应点
的同名参数乘以对应点均相同的因子得到，称两 流动相似。 A vA kv A’
A
B 原型
vB
模型
kvB B’
具体的说两流动相似应满足几何相似、运动相似和动 力相似三个条件。
第五章 相似原理和量纲分析 1.几何相似
k kv k l
第五章 相似原理和量纲分析
二、 重力相似准则
在重力作用下相似的流动，其重力场相似。
kF
Fgm Fgp
mVm gm 3 k kl k g pV p g p
kF 1 代入 2 2 k k l kv
kv 1 12 kl k g
vp vm 12 1 2 Fr g m l m g p l p
Ne
Ne称为牛顿数， 它是作用力与惯 性力的比值。
Ne称为牛顿数，它是某种作用力与惯性力的比值， 是无量纲数。由此可知，模型与原型的流场动力相似， 它们的牛顿数必相等。 作用在流体微团上的作用力有各种性质的力，如重 力、粘滞力、压力等，根据上式可导出单项力相似准 则。
第五章 相似原理和量纲分析
2.运动相似（时间相似）
运动相似是指：模型与原型的流场中所有对应点上 对应时刻的流速方向相同，且对应流速的大小的比 例相等，即它们速度场相似。
原型
模型
第五章 相似原理和量纲分析
速度比例系数： 时间比例系数：
vm kv C vp
tm kt tp
vm t m kv ka v p t p kt
第五章 相似原理和量纲分析 三、其它的相似准则数
①弹性力相似准则
对于可压缩流体的模型试验，由压缩引起的 弹性力场相似。（Ca——柯西数 Ma——马赫数， 惯性力与弹性力的比值）。
②非定常相似准则
对于非定常流动的模型试验，模型与原型的 流动随时间的变化必相似。（Sr—— 斯特劳哈尔 数，当地惯性力与迁移惯性力的比值）。
同时还有,如质量量纲[M]，力的量纲[F]等。 基本量纲-----相互独立，不相互依赖，如[M]， [L]，[T]等。 导出量纲-----由基本量纲导出,如
密度：dim =ML-3 压强：dim p =ML-1T-2 速度：dim v =LT-1 -2 加速度：dim a =LT 2 -1 运动粘度：dim =L T -2 力：dim F =MLT 表面张力：dim =MT-2 体积模量：dim K =ML-1T-2 动力粘度：dim =ML-1T-1 2 -2 -1 比定压热容：dim c L T 2 -2 -1 比定容热容：dim c L T 2 -2 -1 气体常数：dim R = L T
第五章 相似原理和量纲分析
3.应用举例
采用模型中流体与原型中相同，模型中流 速为50m/s，则原型中流速为多少？
查看答案
1）如果模型比例尺为1:20，考虑粘滞力相似，
第五章 相似原理和量纲分析 解：由粘滞力相似准则知模型与原型中的雷诺 数应相等： Re m Re p
雷诺数：
vm lm
m
v pl p
油池的最小油深为
hmin h'min 5 50 250 （mm） Cl
第四节 近似模拟试验
完全相似和不完全相似
动力相似可以用相似准则数表示，若原型和 模型流动动力相似，各同名相似准数应均相等， 如果满足则称为完全的动力相似。但是事实上， 不是所有的相似准数之间都是相容的，满足了 甲，不一定就能满足乙。所以通常考虑主要因 素忽略次要因素，只能做近似的模型实验。
在粘滞力作用下相似的流动，其粘滞力场相似。 Fm m dv m d ym Am kF k kv k l Fp p dv p d yp Ap
kF 1 代入 2 2 k k l kv
vm l m v p l p kv k l 1 Re m p ku k Re－雷诺数，惯性力与粘滞力的比值。
第五章 相似原理和量纲分析
相似原理的提出
流体力学理论的检验依赖于流体力学试验； 流体力学的模型实验：工程实际需要的流体力
学试验一般很难在实物上进行。
飞机风洞试验 水利大坝试验 汽车风洞试验 ห้องสมุดไป่ตู้船水洞试验
第五章 相似原理和量纲分析
怎么做模型试验？
1. 如何根据实物正确的设计和布置模型实验？ 2. 模型实验的结果如何推广到原型上去，并 进行推广应用？
几何相似是指模型与原型的全部对应线性长度成比 例，且对应的特征角度相等。
lm C 长度比例系数： kl lp
模型流动用下标 模型流动用下标 m 表示 m 表示 原型流动用下标 p 原型流动用下标 p 表示 表示
面积比例系数： k A
Am kl2 Ap
体积比例系数： kV Vm kl3
第五章 相似原理和量纲分析
第二节 动力相似准则
什么是相似准则？
bP aP am
bm
两个矩形要相似必满足：
aP bP am bm
aP am * L bP bm
相似准 则数
第五章 相似原理和量纲分析 动力相似准则的推导
流体的运动必须符合牛顿第二律 F ma ，对模 型和原型流场中的流体微团应用牛顿第二定律，并 根据动力相似，各种力大小的比例相等，可得：
kv kl kt1 ka kl kt2
加速度比例系数：
由上述比例系数可推出：
第五章 相似原理和量纲分析
3.动力相似
动力相似是指模型与原型的流场所有对应点上作用在 流体微团上的各种力彼此方向相同，且它们大小的比 例相等，即它们的动力场相似。 力比例系数： 也可写成：
Fm kF C Fp
以相似原理为基础的模型实验方法，按照流体流 动相似的条件，可设计模型和安排试验。这些条件 是几何相似、运动相似和动力相似。 前两个相似是第三个相似的充要条件，同时满足 以上条件为流动相似，模型试验的结果方可用到原 型设备中去。
在工程实际中的模型试验，好多只能满足部分相似准 则，即称之为局部相似。如上面的粘性不可压定常流动 的问题，不考虑自由面的作用及重力的作用，只考虑粘 性的影响，则定性准则只考虑雷诺数Re，因而模型尺寸 和介质的选择就自由了。 有压粘性管流中，当雷诺数大到一定数值时，继 续提高雷诺数，管内流体的紊乱程度及速度剖面几乎 不再变化，沿程能量损失系数也不再变化，雷诺准则 已失去判别相似的作用。称这种状态为自模化状态， 称自模化状态的雷诺数范围为自模化区。
p v
2、方程量纲一致性 一个合理的物理方程等号两端的量纲必须相 同。
1 2 s V0t at 2
L L LT 1T L LT 2 T 2 L
-----方程两端具有相同量纲
量纲式中各基本量纲指数均为零-----无量纲量。
二、瑞利法
1.定义： 根据量纲量一致性原则，确定相关 量的函数关系。 假定物理量y是x1、x2等的函数。则
Fr-弗劳得数，惯性力与重力的比值。
第五章 相似原理和量纲分析
压力相似准则
在压力作用下相似的流动，其压力场相似。 F pm Pm Am 2 kF k p kl F pp Pp Ap
代入
kF 1 2 2 k kl k v
kp k k
2 v
1
pp pm Eu 2 2 m vm p v p Eu-欧拉数，压力与惯性力的比值。
m p
p
vm l p 1 v p lm kl
因为：
kl 1
20
vm 50m / s
所以：
v p 2.5m / s
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第五章 相似原理和量纲分析 2）设模型比例尺为1:100，符合重力相似准则， 如果模型流量为100 cm3/s ，则原型流量为多 少 cm3/s ? A：0.01 C：10 答案: c B：1000 D：10000
模型实验主要解决的问题 ：
1．根据物理量所组成的相似准则数相等的原则去设计模 型，选择流动介质； 2．在实验过程中应测定各相似准则数中包含的一切物理量； 3．用数学方法找出相似准则数之间的函数关系，即准则方程 式。该方程式便可推广应用到原型及其他相似流动中去。
【例】 如图所示，为防止当通过油池底部的管道向外输油时， 因池内油深太小，形成油面的旋涡将空气吸入输油管。需要通 过模型实验确定油面开始出现旋涡的最小油深 hmin 。已知输油管 内径 d=250mm，油的流量 qv=0.14m3/s，运动粘度 7.5 10 5 m 2 s 。 倘若选取的长度比例尺 C 1 5 ，为了保证流动相似，模型输出管 的内径、模型内液体的流量和运动粘度应等于多少？在模型上 测得 h' min 50mm ，油池的最小油深 hmin 应等于多少？
1
油池模型
【解】按长度比例尺得模型输出管内径
d ' Cl d 250 50 （mm） 5
在重力场中 g ' g ， 由弗劳德数相等可得模型内液体的流 速和流量为
h' v' h
1 2
1 v 5
1 2
v
1 q 'V d ' v' 4 4 5 5
2
d
2
1 2
1 v 5
5 2
qV
0.14 0.0025 （m 3 s） 55.9
由雷诺数相等可得模型内液体的运动粘度为
v' d ' 1 v' v vd 5
3 2
7.5 10 5 6 v 6.708 10 （ m 2 s） 11.18
第五章 相似原理和量纲分析
第一节 流动的力学相似
一、流动相似的概念
一个流动某点的运动参数由另一个流动相应点
的同名参数乘以对应点均相同的因子得到，称两 流动相似。 A vA kv A’
A
B 原型
vB
模型
kvB B’
具体的说两流动相似应满足几何相似、运动相似和动 力相似三个条件。
第五章 相似原理和量纲分析 1.几何相似
k kv k l
第五章 相似原理和量纲分析
二、 重力相似准则
在重力作用下相似的流动，其重力场相似。
kF
Fgm Fgp
mVm gm 3 k kl k g pV p g p
kF 1 代入 2 2 k k l kv
kv 1 12 kl k g
vp vm 12 1 2 Fr g m l m g p l p
Ne
Ne称为牛顿数， 它是作用力与惯 性力的比值。
Ne称为牛顿数，它是某种作用力与惯性力的比值， 是无量纲数。由此可知，模型与原型的流场动力相似， 它们的牛顿数必相等。 作用在流体微团上的作用力有各种性质的力，如重 力、粘滞力、压力等，根据上式可导出单项力相似准 则。