流体力学第三章(相似原理与量纲分析)概论
相似原理与量纲分析
4 相似原理与量纲分析4.0 本章主要内容导读通过第三章的学习，可以看到用数学分析方法研究动量传输问题具有较大的局限性，许多情况下无法得到问题的解析解，此时往往通过实验方法或者数值模拟方法进行研究。
实验方法通常包括直接实验法和模型研究法。
由于实验研究条件的限制，很多时候并不能采用直接实验法研究原始研究对象(原型)，此时往往采用模型研究法，建立一个模型来模拟原型。
模型实验研究的理论指导基础是相似原理，具体实践方法则是量纲分析。
本章对这两部分内容进行讨论，主要内容如图4-1所示。
图4-1 第四章主要内容导读4.1 相似原理4.1.1相似的基本概念遵循同一物理方程的现象称为同类现象。
如果两个同类现象对应物理量成比例(在对应的时空点，各标量物理量的大小成比例，各向量物理量大小成比例、方向相同)，称这两个现象为相似现象。
对于动量传输问题，模型(model)与原型(prototype)之间必须满足如下相似条件才能成为相似现象(图4-2)：(1)几何相似。
几何相似又称为空间相似，要求模型与原型外形完全一样；对应线段成比例；对应夹角相等；有粗糙度时粗糙度相似；(2)运动相似。
要求模型与原型对应流线几何相似；对应点速度大小成比例，方向相同；(3)动力相似。
又称为受力相似，要求模型与原型的两个对应流场受同种外力作用；对应点上对应作用力成比例。
上述三类相似中，几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据，动力相似是决定二个流动相似的主导因素，运动相似则是几何相似和动力相似的表现。
相似的流动一定是同时满足几何相似、运动相似和动力相似的流动。
完全的几何相似一般并不容易达到。
例如，采用小尺寸模型模拟原型时，除非能够将模型表面加工得比原型光滑得多，否则无法按照原型的表面粗糙度成比例缩小而加工出模型的表面粗糙度；在研究沉淀物的传输时，不能将河床上的物质按比例缩小成粉末，因为细微的粉末之间有内聚力，无法模拟砂粒的特性；在研究河流流动时，水平方向的尺寸远大于垂直方向的尺寸，受实验空间的限制必须对水平方向采用较大比例尺进行缩小，如果将同样的比例尺用于垂直方向，有可能产生太浅的流动，导致毛细作用影响明显，而且河床的斜率太小会使流动保持层流。
流体力学第三章(相似原理与量纲分析)概论
c cv ct
1
w1 t1
c cv2 cl
1 u1
c cg 1g1
cp cl
p1 z1
c cv cl 2
1
2w1 x12
2w1 y12
2w1 z12
21
原型流场的运动方程
1
w1 t1
1 u1
w1 x1
v1
w1 y1
w1
w1 z1
对于原型流动，考虑运动方程在z方向的分量形式
1
w1 t1
1 u1
w1 x1
v1
w1 y1
w1
w1 z1
1 g1
p1 z1
1
2w1 x12
2w1 y12
2w1 z12
以上方程反映实际流场的动力性质和过程
20
模型流场，同样遵循流体的运动方程，即：
2
w2 t2
2 u2
w2 x2
v2
w2 y2
C Cv Ct
CCv2 Cl
CCg
Cp Cl
CCv Cl 2
22
c cv ct
c cv2 cl
ccg
cp cl
c cv cl 2
模型流场中其运动方程的各项（各动力学变量）跟原型 流场相比较必须成相同的常数比例，它是动力相似的充 分必要条件。
23
c cv ct
c cv2 cl
ccg
cp cl
特征Re数定义：
Re UL/ =特征惯性力/特征粘性力
42
以垂直运动方程为例:
w u w v w w w 1 p 2w g t x y z z
惯性力项： V •
w
U2
流体力学-相似原理与量纲分析
F v2l2
Rm Rn 1.5kN
21
F 1 v2l2 0.672 1.52 1
第四节 量纲分析法
一、量纲
所有物理量 ＝ 自身的物理属性 + 为量度物理属性 而规定的量度标准（量度单位） 如长度：物理属性是线性几何量，量度标准是 m ， cm，英尺、光年等。 没有任何联系的独立的量纲为基本量纲，可由其导 出的为导出量纲。 原则上基本量纲的选取带随意性，常采用 M-L-T-Θ 为基本量纲系（即质量-长度-时间-温度）。
14
应该测量哪 些物理量?
实验结果 如何应用?
在相似的条件下进行实验： 完全相似 例如 难于做到 严格地要求四个相似准数都相同
Frn Frm
g 相同
vn l n vm lm
vn lm vm ln
流 体 力 学
1
u l
Ren Rem
相同
u
l
可见粘性和重力相似条件产生矛盾，除非改变 g 和。但改 变 g 是不大可能的（由此可知为什么有些实验要在航天飞机上 做），改变 的可能性也不大，因为流体力学实验可供选择的 流体种类是很少的。通常我们只能抓主要矛盾，保证起决定作 用的那个相似准数相等，称为部分相似(局部相似)。
----- 韦伯准数
F El 2
3
v2
l I l 2 l 2v2 ----- 马赫准数 t v FT l 2 lv ( Re)n ( Re)m Re l l ----- 雷诺准数 I l 3 2 l 2v 2 12 t
Mn Mm
2. 由动力相似定义推导
ln lm un t n um t m
2 2 vn vm g nln g mlm
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析相似原理和量纲分析是物理学中常用的分析方法。
这两个方法都可以帮助我们简化和理解复杂的物理问题，并从中得到有用的结论。
相似原理是指在某些情况下，两个或多个物理系统在某些方面具有相似性。
通过找到这些相似性，我们可以将一个物理问题转化为另一个更简单的问题，并从中得到有关原问题的信息。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理问题的方法。
在量纲分析中，我们将物理量表示为其单位的乘积，例如长度（L）、质量（M）和时间（T）。
通过对物理方程中各项的量纲进行分析，我们可以得到物理问题的量纲关系。
现在让我们更详细地讨论这两种方法。
首先，我们来看看相似原理。
相似原理的核心思想是，如果两个物理系统具有相似的形状、相似的流动条件和相似的物理特性，那么它们在某些方面具有相似性。
这种相似性可以通过无量纲参数来描述。
无量纲参数是一个相对于单位的比率或比值，因此在不同的物理系统中具有相同的值。
通过选择适当的无量纲参数，我们可以把一个复杂的问题转化为一个简单的问题。
例如，假设我们想研究飞机的气动性能。
我们可以选择无量纲参数如升力系数（Cl）、阻力系数（Cd）和升阻比（Cl/Cd），来描述飞机的飞行特性。
通过比较不同飞机的这些无量纲参数，我们可以得出有关它们性能优劣的结论。
相似原理的应用非常广泛。
它常用于流体力学、热传导和振动等领域的问题研究。
通过利用相似原理，我们可以设计模型实验来研究某一问题，从而避免对真实系统进行复杂和昂贵的实验。
接下来，我们来谈谈量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理问题的方法。
在物理方程中，各个物理量的量纲必须相等。
这就是说，物理方程中各项的量纲必须保持平衡。
通过量纲分析，我们可以得到物理问题的一些量纲关系。
这些量纲关系可以帮助我们推导出物理方程中的无量纲参数，并进一步简化问题。
例如，假设我们要研究物体自由落体的运动规律。
我们可以通过对物理量的量纲进行分析，得到物体自由落体的无量纲形式。
相似原理与量纲分析
型。 例如，我们正在建设中的汽车气动－声学风洞，在试验段，从喷口到
收集口之间的气体流动规律还不清楚，至今无法建立起流场的空气动力分 析模型，导致了风洞中出现的低频颤振现象无法准确地进行描述和解释， 为控制这种现象增加了难度。
算方法。这种方法的问题是，对于复杂的流体力学问题，它的计 算准确度、精度不能完全保证，计算结果的合理性还需要实验结 果进行验证。所以， CFD还有待进一步发展和成熟。
3）实验研究方法： 实验研究历来都是科学研究中的一种非常重要和有效的研究
手段。对于流体力学问题，由于解析方法、数值计算方法一方面 自身存在缺陷，另一方面他们的一些研究结果还有待实验检验， 再加上实验研究结果直观、真实、可靠等，所以，实验研究在解 决流体力学问题中就显得更为重要。
1、几何相似 2、运动相似 3、动力相似
§5.2 相似概念和相似定理
高速列车 模型
风洞试验
运动相似：
对试验流 场的要求
几何相似：
对试验对 象的要求
动力相似：
对试验对象 和流场相互 作用的要求
缩尺比例：1：8 原型长度：27m/节 三车编组
§5.2 相似概念和相似定理
1、几ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ相似
若两个物体对应的角度相同（包括方位或姿态角）、而且对应的全部
相似原理与量纲分析
相似原理和量纲分析
§5.1 相似原理与量纲分析的提出 §5.2 相似概念和相似定理 §5.3 相似准则 §5.4 模型试验方法 §5.5 量纲分析
§5.1 相似原理与量纲分析的提出
1、流体力学问题的研究方法
目前，解决流体力学问题的方法很多，可归纳为三类： 解析方法，计算流体力学方法（CFD），实验研究方法
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析相似原理和量纲分析是科学研究和工程设计中常用的两种方法，它们在不同领域有着广泛的应用。
相似原理是指在某些条件下，两个或多个对象在某些方面具有相似性的原理，而量纲分析则是一种通过对物理量的量纲进行分析，来确定物理现象之间关系的方法。
本文将分别介绍相似原理和量纲分析的基本概念和应用，以期帮助读者更好地理解和应用这两种方法。
首先，我们来介绍相似原理。
相似原理是指在某些条件下，两个或多个对象在某些方面具有相似性的原理。
在流体力学中，相似原理是研究流体流动时的一种重要方法。
根据相似原理，如果两个流体流动问题在某些方面具有相似性，那么它们的流动规律也应该是相似的。
通过建立相似模型，可以通过对模型进行实验来研究真实流体流动问题，这为工程设计和科学研究提供了重要的手段。
在工程设计中，相似原理也有着广泛的应用。
例如，在飞机设计中，通过建立风洞模型来研究飞机在空气中的飞行性能；在建筑设计中，通过建立模型来研究建筑物在风力作用下的受力情况。
相似原理的应用不仅可以帮助工程师更好地理解和预测真实系统的行为，还可以降低实验成本和风险。
接下来，我们来介绍量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析，来确定物理现象之间关系的方法。
在物理学和工程学中，很多物理现象可以通过物理量之间的关系来描述。
通过对这些物理量的量纲进行分析，可以得到物理现象之间的关系，从而简化问题的分析和求解。
在工程设计中，量纲分析也有着重要的应用。
例如，在流体力学中，通过对流体流动中的速度、密度、长度等物理量的量纲进行分析，可以得到无量纲参数，从而简化流体流动问题的分析和求解。
在热力学中，通过对热量、温度、热容等物理量的量纲进行分析，可以得到无量纲参数，从而简化热力学问题的分析和求解。
总之，相似原理和量纲分析是科学研究和工程设计中常用的两种方法，它们在不同领域有着广泛的应用。
通过对相似原理和量纲分析的理解和应用，可以帮助工程师和科研人员更好地理解和解决实际问题，从而推动科学技术的发展和进步。
009量纲分析与相似原理
量纲分析与相似原理在一些流动问题的研究中，单纯采用理论分析的方法难以解决问题，必须借助实验手段来研究流体运动规律的物理本质。
工程流体力学中的实验主要有两种：一种是探索性的观察实验；另一种是工程性的模型实验。
实验研究与理论分析、数值计算一样都是求解流体力学问题必不可少的手段，实验既是发展理论的依据也是检验理论的准绳。
借助相似理论，我们既可以采用水和空气进行实验，而把实验结果应用于一些不便进行实验的流体，如氢气，水蒸汽，油等；也可以按照实际流动尺寸制作缩小或放大模型进行模型实验，从而减少实验费用。
而借助量纲分析方法可以对某一流动现象中若干变量进行组合，选择能方便操作和测量的变量进行实验，这样可以大幅度减少实验工作量，而且使实验数据的整理和分析变得比较容易。
因此相似理论和量纲分析不仅在流体力学实验有许多应用，而且也广泛地应用于其他工程领域的研究中。
一、量纲分析一、量纲分析基本概念物理量单位的种类称为量纲，表示物理量的本质属性，用dim 表示。
一个物理量可以用不同的单位度量，但量纲却是唯一的。
例如长度、宽度、高度、厚度、深度都可以用米、英尺等长度单位来度量，但是它们的量纲都是长度量纲L 。
由于许多物理量的量纲之间都有一定的联系，在量纲分析时选少数几个物理量的量纲作为基本量纲，其他物理量的量纲都可以由这些基本量纲导出，称为导出量纲。
基本量纲是相互独立的，而不能由其他量纲的组合来表示，在工程流体力学中常用质量、长度、时间（M 、 L 、T ）作为基本量纲。
在一般的力学问题中，任意一个物理量B 的量纲都可以用M ， L ，T 这三个基本量纲的指数乘积来表示dim B =M αL βT γ在量纲分析中，有一些物理量的量纲为1 ，称为无量纲量，用M 0L 0T 0表示。
无量纲量就是一个数，但可以把它看成由几个物理量组合而成的综合表达。
例如雷诺相似准数的量纲dim Re = dim （υvl）=000121T L M T L L LT =-- 为一个无量纲的量。
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析在物理学和工程学领域中，相似原理和量纲分析是两个非常重要的概念。
它们可以帮助我们理解和解决各种复杂的问题，从流体力学到结构力学，从热传导到电磁场，都可以用相似原理和量纲分析来进行分析和研究。
首先，让我们来看看相似原理。
相似原理是指在某些条件下，两个物体或系统在某些方面具有相似性质。
这种相似性质可以是几何形状、运动状态、流动特性等。
通过相似原理，我们可以将一个复杂的问题简化为一个相似的简单问题，从而更容易地进行分析和解决。
例如，在流体力学中，我们可以利用相似原理将实际的飞机机翼模型缩小到实验室中进行风洞测试，从而得到与实际飞机飞行状态相似的流场特性。
接下来，让我们来了解一下量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理现象的方法。
在自然界中，存在着很多不同的物理量，它们之间可能存在着某种关系。
通过量纲分析，我们可以找到这些物理量之间的关系，并且可以得到一些重要的结论。
例如，在热传导问题中，通过量纲分析可以得到热传导方程中的无量纲参数，从而可以简化和统一热传导问题的分析和解决方法。
相似原理和量纲分析在工程实践中有着广泛的应用。
例如，在设计新型飞机时，我们可以利用相似原理来进行风洞测试，从而验证飞机的飞行性能；在设计新型建筑结构时，我们可以利用量纲分析来研究结构的受力特性，从而优化结构设计。
这些方法不仅可以帮助我们更好地理解和解决实际工程中的问题，还可以节约时间和成本，提高工程设计的效率和质量。
总之，相似原理和量纲分析是物理学和工程学中非常重要的概念，它们可以帮助我们简化复杂问题，找到物理量之间的关系，从而更好地理解和解决各种实际问题。
在工程实践中，我们可以充分利用这些方法来提高工程设计的效率和质量，推动科学技术的发展。
希望大家能够深入学习和理解这些方法，将它们运用到实际工程中，为社会发展做出更大的贡献。
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§1连续方程(3种形式）
§2作用于流体的力、应力张量 （1）质量力和表面力； （2）应力张量； （3）广义的牛顿粘性假设
1
§3运动方程 （1）Navier—Stokes方程； （2）欧拉方程； （3）静力方程；
§4能量方程 （1）动能方程； （2）伯努利方程
§5简单情况下的N-S方程的准确解
uQ2 uQ1
vQ2 vQ1
wQ2 wQ1
此时，两个流场称之为是流场 相似或运动相似的。流场相似 也就是在两流场对应点的速度 的大小、方向成常数比例。
Q P
9
动力相似
动力相似:要求在两流场相应点上各动力学变量 成同一常数比例。 例如原型流场和模型流场在运动过程中受到的 质量力、粘性力等动力学变量成正比。
上式要求所有对应点均成立 （场的观点，要求任意对应点均成立）
17
模型流动中的时间变化过程并不要求与原型流动以相 同的时间变化率进行（过程加速或延缓），但要求两 流场的所有对应点上均按同一常数值的时间变化加速 和延缓，即要求满足
时间相似常数 ct t2 / t1
注意：t f (l, v) ，通常 ct 可以是不独立的，决定于
a2 a1
b2 b1
c2 c1
ac b
7
时间相似
时间相似:要求模型流场跟原型流场的所有对应点上均 按同一常数值的时间变化加速或延缓，即满足：
Ct
t2 t1
8
运动相似
运动相似（流场相似）:要求模型流场和原型流场在任意 选取的对应点上，流速分量满足：
uP2 uP1
vP2 vP1
wP2 wP1
对于原型流动，考虑运动方程在z方向的分量形式
1
w1 t1
1 u1
w1 x1
v1
w1 y1
w1
w1 z1
1 g1
p1 z1
1
2w1 x12
2w1 y12
2w1 z12
以上方程反映实际流场的动力性质和过程
20
模型流场，同样遵循流体的运动方程，即：
2
w2 t2
2 u2
w2 x2
v2
w2 y2
w2
w2 z2
2 g2
பைடு நூலகம்
p2 z2
2
2w2 x22
2w2 y22
2w2 z22
上式则反映实验流场的动力性质和过程。
将相似系数 cl x2 / x1 y2 / y1 z2 / z1
cv u2 / u1 v2 / v1 w2 / w1 ct t2 / t1
代入模型流动方程，可得：
c 2 / 1 c 2 / 1
10
几何相似 时间相似 有比较清晰的关系表达式 运动相似 （可直接观测）
判断什么条件下两流场才满足动力相似？？
★相似判据问题
11
模拟的基本要求（相似的必要性）： 只有在满足以上四个相似之后，模型流动 才能够真实地模拟出原型流动，模拟才具 有实际价值和意义。
12
第二节 相似判据
相似的原则要求满足几何相似、时间相似、运动 相似和动力相似，对于几何相似、时间相似和运 动相似可以较明确地得出其相应的相似性判据 ？问题：满足什么关系时，为动力相似？相对而 言，要确定动力相似的判据则复杂得多。
cg g2 / g1
c cv ct
1
w1 t1
c cv2 cl
1 u1
w1 x1
v1
w1 y1
w1
w1 z1
c cg 1g1
cp cl
p1 z1
c cv cl 2
1
2w1 x12
2w1 y12
2w1 z12
21
原型流场的运动方程
1
w1 t1
1 u1
w1 x1
v1
w1 y1
w1
w1 z1
5
★满足原型流动和模型流动中物理过程的本质 完全一致所进行的模拟，称之为相似。
流体力学的相似通常可分为
①几何相似 ②时间相似 ③运动相似 ④动力相似
6
几何相似
几何相似:要求模型流场跟原型流场的“边界”几何形 状相似，这包括各对应部分的夹角相等，尺寸大小成 常数比例，即满足：
模型物理量 原型物理量
2
第三章 相似原理与量纲分析
主要内容
第一节 流体力学的模型实验和相似概念 第二节 相似判据 第三节 无量纲方程 第四节 特征无量纲数 第五节 量纲分析和π定理
3
理论流体力学（第一、二章）
实验流体力学
普通实验
数值实验
设计实验的基本要求 实验数据的简化处理
4
第一节 流体力学的模型实验和相似概念
流体力学实验通常是在实验室条件下对实际流动或 原型流动进行模拟，即把原型流动模拟成实验室的 模型流动。 实验室的模型流动如何才能代表原型流动呢？
cl 和 cv 。
18
如果模型流体和原型流体是同一种流体（保证流体本身 的物理性质不变），且质量力仅为重力，通常有：
c 2 / 1 1 c 2 / 1 1
cg g2 / g1 1
（需要说明，这是特例，一般不为1）。
19
方程分析法求解动力相似判据
下面以垂直方向运动方程为例推导动力相似判据：
13
通常可以采用两种方法来确定动力相似判据： （一）方程分析法：描述流体的运动方程应该是一致的。 从而得到必须满足的关系式，即相似判据； （二）量纲分析方法：以量纲分析为基础的一种方法。
14
方程分析法
动力相似判据
前提条件：假定原型流场和模型流场是满足几何相似、 时间相似和运动相似的，考虑不可压缩粘性流体的简单 情况。
C Cv Ct
CCv2 Cl
CCg
Cp Cl
CCv Cl 2
22
c cv ct
c cv2 cl
ccg
cp cl
c cv cl 2
模型流场中其运动方程的各项（各动力学变量）跟原型 流场相比较必须成相同的常数比例，它是动力相似的充 分必要条件。
首先，给出有关相似常数的定义：
模型的物理量 相似常数
原型的物理量
15
几何相似 流体的相似可分为
物理相似 物理相似：除几何相似之外，两流场中所有物 理量，诸如流速、时间、温度和压力等彼此间 均各自成常数比例。
16
则根据几何相似和运动相似，满足如下的关系式： 几何相似常数 cl x2 / x1 y2 / y1 z2 / z1 l2 / l1 运动相似常数 cv u2 / u1 v2 / v1 w2 / w1 V2 /V1
1 g1
p1 z1
1
2w1 x12
2w1 y12
2w1 z12
模型流场的运动方程
c cv ct
1
w1 t1
c cv2 cl
1 u1
w1 x1
v1
w1 y1
w1
w1 z1
c cg 1g1
cp cl
p1 z1
c cv cl 2
1
2w1 x12
2w1 y12
2w1 z12
如何判断两流场是否相似？