2.2.4平面与平面平行的性质

2、2、4 平面与平面平行的性质教案
【教学目标】
1、通过图形探究平面与平面平行的性质定理；
2、熟练掌握平面与平面平行的性质定理的应用；
3、进一步培养学生的空间想象能力,以及逻辑思维能力. 【教学重难点】
重点：通过直观感知, 操作确认, 概括并证明平面和平面平行的性质定理。

难点：平面和平面平行的性质定理的证明和应用。

【教学过程】
1、 教师引导学生借助长方体模型思考、交流得出课前预习学案中的结论 结论：<1>结合长方体模型, 可知：或平行或异面；
<2>直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为：如果一条直线和一个平面平
行, 经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行；
<3>文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线平行；
符号语言：b a b a //,,//⇒=γ⋂β=β⋂αβα；图形语言如图所示：
<4>应用面面平行的性质定理的难点是：过某些点或直线作一个平面.应用线面平
行性质定理的口诀：“见到面面平行, 先过某些直线作两个平面的交线.” 2、思考：如果平面βα//,那么平面α内的直线a 和平面β内的哪些直线平行？怎么找出这些直线？
(教师引导学生借助长方体模型思考、交流得出结论)
结论：过直线a 做平面与平面β相交,则交线和a 平行.
(在教师的启发下, 师生共同概括完成上述结论及证明过程, 从而得到两个平面平行的性质定理)。

3、平面和平面平行平行的性质定理
定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线平行。

符号表示：
b a b a ////⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫
==γβγαβαI I 证明：
==,,a b a b a b a b a b
αγβγαβ
αβ⊂⊂因为∩，∩所以，又因为∥所以没有公共点又因为同在平面γ内所以∥
教师指出：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 4、平面和平面平行的性质定理应用
例1:求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等.
D
C
B
A
β
α
（学生交流讨论形成结果）
→首先要将文字语言转化为符号语言和图形语言：
已知：//αβ, AB CD ∥, ,,,A D B C ααββ∈∈∈∈, 求证：AB CD =。

解析：利用什么定理？（平面与平面平行性质定理）关键是如何得到第三个相交平面。

证明：因为AB ∥CD,
所以过AB 、CD 可作平面γ,且平面γ与平面α、平面β分别交于AD 和BC, 因为α∥β, 所以AD ∥BC
所以四边形ABCD 是平行四边形 所以AB CD =
点评：⇒面面平行线线平行 变式训练1：
判断下列结论是否成立：
① 过平面外一点, 有且仅有一个平面与已知平面平行；（ ） ② αββγαγ若∥，∥，则∥；（ ） ③ 平行于同一个平面的两条直线平行；（ ）
④ 两个平面都与一条直线平行, 则这两个平面平行；（ ）
⑤ 一条直线与两个平行平面中的一个相交, 则必与另一个相交。

（ ） 例题2：已知：如下图, 四棱锥S-ABCD 底面为平行四边形, E 、F 分别为边AD 、SB 中点 求证：EF ∥平面SDC 。

解析：证线面平行, 需证线线平行
证明：方法一
5、课堂小结：
面面平行的性质定理及其它性质（//,//a a αβαβ⊂⇒）；转化思想. 【板书设计】
一、平面与平面平行的性质定理 二、例题 例1 变式1 例2 变式2
【作业布置】
习题2.2A 组第6、7、题, B 组第2题；
2、2、4平面与平面平行的性质
课前预习学案
一、预习目标：
通过图形探究平面与平面平行的性质定理
二、预习内容：
阅读教材第66—67页内容, 然后回答问题
（1）利用空间模型探究：如果两个平面平行, 那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系？
（2）请同学们回忆线面平行的性质定理, 然后结合模型探究面面平行的性质定理；
（3）用三种语言描述平面与平面平行的性质定理；
（4）应用面面平行的性质定理的难点在哪里？应用面面平行的性质定理口诀是什么？
三、提出疑惑
疑惑点疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
1、通过图形探究平面与平面平行的性质定理；
2、熟练掌握平面与平面平行的性质定理的应用；
3、进一步培养学生的空间想象能力,以及逻辑思维能力.
学习重点：通过直观感知, 操作确认, 概括并证明平面和平面平行的性质定理。

学习难点：平面和平面平行的性质定理的证明和应用。

二、学习过程
1、教师引导学生借助长方体模型思考、交流得出课前预习学案中的结论
结论：<1>结合长方体模型, 可知：或平行或异面；
<2>直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为：如果一条直线和一个平面平行,
经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行；
<3>文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线平行；符
号语言：b
β
=
β
a
α
α；图形语言如图所示：
β
⋂
⋂
a//
b
,
,
=
//⇒
γ
<4>应用面面平行的性质定理的难点是：过某些点或直线作一个平面.应用线面平行性
质定理的口诀：“见到面面平行, 先过某些直线作两个平面的交线.”
α//,那么平面α内的直线a和平面β内的哪些直线平行？怎么
2、思考：如果平面β
找出这些直线？
(教师引导学生借助长方体模型思考、交流得出结论)
结论：过直线a做平面与平面β相交,则交线和a平行.
(在教师的启发下, 师生共同概括完成上述结论及证明过程, 从而得到两个平面平行的性质定理)。

3、平面与平面平行性质定理： 讨论：
① 两个平面平行, 其中一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？ 符号语言表示：
,,__a a αβαβ⊂∥则。

② 当第三个平面和两个平行平面都相交, 两条交线有什么关系？为什么？ 猜想：
a b b αβαγβγ==∥，∩，∩，则a ∥
证明：学生独立完成
通过讨论猜想并证明得到： 平面与平面平行性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线平行。

用符号语言表示性质定理： }
a b
αβ
αγβγ⇒I I ∥＝，＝
4、平面和平面平行的性质定理应用
例1:求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等.
（学生交流讨论形成结果）
→首先要将文字语言转化为符号语言和图形语言： 已知：//αβ, AB CD ∥, ,,,A D B C ααββ∈∈∈∈, 求证：AB CD =。

分析：利用什么定理？（平面与平面平行性质定理）关键是如何得到第三个相交平面。

证明： 变式训练1：
判断下列结论是否成立：
① 过平面外一点, 有且仅有一个平面与已知平面平行；( ) ② αββγαγ若∥，∥，则∥；( )
③ 平行于同一个平面的两条直线平行；( )
④ 两个平面都与一条直线平行, 则这两个平面平行；( )
⑤ 一条直线与两个平行平面中的一个相交, 则必与另一个相交。

( ) 例题2：
已知：如下图, 四棱锥S-ABCD 底面为平行四边形, E 、F 分别为边AD 、SB 中点 求证：EF ∥平面SDC 。

D
C
B
A βα
证明：方法一 方法二： 变式训练2：
11111111ABCD A B C D E F BC C D EF BB D D
-已知：正方体，、分别为棱、中点，求证：∥平面
5、课堂小结：
6、当堂检测：
(1)习题2.2A 组 1、2
(2)、已知平面α∥平面β直线a ∥α, a ⊄β, 求证：a ∥β．
课后练习与提高
一、选择题 1．“α内存在着不共线的三点到平面β的距离均相等”是“α∥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要的条件
2．平面α∥平面β, 直线a ⊂α, P ∈β, 则过点P 的直线中（ ） A ．不存在与α平行的直线 B ．不一定存在与α平行的直线 C ．有且只有—条直线与a 平行 D ．有无数条与a 平行的直线 3．下列命题中为真命题的是（ ） A ．平行于同一条直线的两个平面平行 B ．垂直于同一条直线的两个平面平行 C ．若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等, 则这两个平面平行． D ．若三直线a 、b 、c 两两平行, 则在过直线a 的平面中, 有且只有—个平面与b , c 均
平行．
二、填空题
4．过两平行平面α、β外的点P 两条直线AB 与CD , 它们分别交α于A 、C 两点, 交β于B 、D 两点, 若P A ＝6, AC ＝9, PB ＝8, 则ＢD 的长为__________．
5．已知点A 、B 到平面α的距离分别为d 与3d , 则A 、B 的中点到平面α的距离为________． 三、解答题
6、如图, 平面α∥平面β, A 、C ∈α, B 、D ∈β, 点E 、F 分别在线段A Ｂ、CD 上, 且
FD CF EB AE ＝
, 求证：EF ∥平面β．
参考答案。