内蒙古赤峰市2020届高三5.20模拟考试试题理科数学试题及答案

绝密★启用前赤峰市高三5·20模拟考试试题理科数学2020.5本试卷共23题，共150分，共8页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号码填写清楚，将条形码粘贴在条形码区域内.2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚.3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须黑色字迹的签字笔描黑.5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}|0A x x =<，{}11B x Z x =∈-<≤，则R C A B （）=A．()1,-+∞B．(]1,0-C．{}0,1D．{}1,1-2．已知复数()1a iz a R i+=∈-，则复数z 在复平面内对应的点不可能在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相生关系的概率为A．12B．23C．25D．154．若()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(1)1f =，(4)()f x f x +=，则(1)(8)f f -+=A．2-B．0C．1-D．15．被称为计算机第一定律的摩尔(Moore)定律表明，集成电路芯片上所集成的电路的数目，每隔18个月就翻一番并且性能也将提升一倍。

这说明电子产品更新换代之迅速。

由于计算机与掌上智能设备的升级，以及电动汽车及物联网行业的兴起等新机遇，使得电子连接器行业增长呈现加速状态.对于汽车领域的连接器市场规模，中国产业信息发布了2010～2018年之间统计折线图，根据图中信息，得到了下列结论：①2010～2018年市场规模量逐年增加；②增长额度最大的一年为2015～2016年；③2018年比2010年增长了约67%；④与2010～2013年每年的市场规模相比，2015～2018年每年的市场规模数据方差更小，变化更加平稳，其中正确命题的序号为A.①④B.②③C.②③④D.③④6．已知R b a ∈,,则“b a 2121log log <”的一个必要不充分条件是A．ba ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛3141B．ba 11>C．0)ln(>-b a D．13<-b a7．已知圆22:12M x y +=与抛物线2:4N y x =交于,A B 两点（A 在B 的上方），与抛物线N 的准线交于,C D 两点（C 在D 的上方），则四边形ABDC 的面积为A．6+311B．62+311C．2+211D．6+7118．设双曲线1:2222=-by a x C （0,0>>b a ），,M N 是双曲线C 上关于坐标原点对称的两点，P 为双曲线C 上的一动点，若=4PM PN k k ⋅，则双曲线C 的离心率为A．235D．59．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。

在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（右图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果。

它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年。

若用j i a -表示三角形数阵的第i 行第j 个数，则1003a -=A．5050B．4851C．4950D．500010．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足172,35a S ==,将371115a a a a ，，，中去掉一项后，剩下的三项按原来的顺序恰为等比数列{}n b 的前三项，则数列{}n n a b 的前10项的和10T =A．12102⋅B．1292⋅C．12112⋅D．12122⋅11．设函数x e x f x-=)(，直线b ax y +=是曲线)(x f y =的切线，则b a +的最大值是A.e11-B.1C.1-e D.22-e12．如图,一张纸的长、宽分别为，四条边的中点分别是,,,A B C D ，现将其沿图中虚线折起,使得1234M ,M ,M ,M 四点重合为一点M ,从而得到一个多面体,关于该多面体有下述四个结论：①该多面体是六面体；②点M 到棱AC 的距离为62a ；③BD ⊥平面AMC ；④该多面体外接球的直径为302a ，其中所有正确结论的序号是A．①④B．③④C．②③D．②③④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知,,A B C 是圆O 上的三点，且满足2AO AB AC =+ ，==1AO AB，则AB OA ⋅=.14．设数列{}n a 中1=2a ，若等比数列{}n b 满足1=n n n a a b +，且1010=1b ，则2020=a .15．若正方体1AC 的棱长为1，点P 是面11AA D D 的中心，点Q 是面1111A B C D 的对角线11B D 上一点，且PQ ∥面11AA B B ，则异面直线PQ 与1CC 所成角的正弦值为.16.对于函数sin sin ()22x x f x -=-，有如下结论：①()f x 在R 上是奇函数；②π为()f x 的一个周期；③2π为()f x 的一个极大值点；④()f x 在区间22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增其中所有正确结论的序号是.三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是c b a ,,，且2sin sin()23sin sin 2B aC A C c A +=（1）求角B ；（2）若33ABC S ∆=，3sin sin a c A C +=+，求ABC ∆的周长.18．（12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，222===CD BC AD ,O 是AD 的中点,PO ⊥平面ABCD ,过AB 的平面交棱PC 于点E （异于点C P ，两点）,交PO 于F .（1）求证：EF ∥平面ABCD ；（2）若F 是PO 中点，且平面EFD 与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为33，求PC 与底面ABCD 所成角的正切值.19.（12分）在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求．某学生小组通过问卷调查，随机收集了和该区居民的日常生活习惯有关的六类数据．分别是：（1）卫生习惯；（2）垃圾处理；（3）体育锻炼；（4）心理健康；（5）膳食合理；（6）作息规律．经过数据整理，得到下表：卫生习惯垃圾处理体育锻炼心理健康膳食合理作息规律有效答卷份数380550330410400430习惯良好频率0.60.90.80.70.650.6假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，且各类调查的结果相互独立．（1）从该小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是“垃圾处理”中习惯良好者的概率；（2）从“体育锻炼”和“心理健康”两类中各随机选取一份，估计恰有一份是具有良好习惯的概率；（3）利用上述六类习惯调查的排序，即“卫生习惯”是第一类，“垃圾处理”是第二类……“作息规律”是第六类.用“=1k ξ”表示任选一位第k 类受访者是习惯良好者，“=0k ξ”表示任选一位第k 类受访者不是习惯良好者（=1,2,3,4,5,6k ）．求出方差k D ξ,(1,2,3,4,5,6)k =，并由小到大排序．20.（12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的长轴长为4，过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）若点)2,0(A ,点)0)(,(1111≠y x y x Q 在椭圆C 上，x QM ⊥轴，垂足为M ，直线AM AN ⊥交x 轴于点N ,线段EN 的中点为坐标原点，试判断直线QE 与椭圆C 的位置关系.21．（12分）已知函数()sin 2( 2.71828,,)xf x e a x x b e a b R =--+≈∈.（1）当1a =时，存在(]0,0x ∈-∞，使得0()0f x <成立，求实数b 的取值范围；（2）证明：当11≤≤-a 时，对任意(0,)x ∈+∞，都有()+1(ln 2)xf x b e x x ->-+.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22.（10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线l 的直角坐标方程为0x y +-=.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的极坐标方程；（2）射线()()20,033ππθρθρ=>=>和曲线C 分别交于点,A B ，与直线l 分别交于,D C 两点，求四边形ABCD 的面积.23.（10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|||25|(0)f x x a x a =++->.（1）当2a =时，解不等式()5f x ≥；（2）当[,2]x a a ∈时，不等式()|4|f x x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围.赤峰市高三5·20模拟考试试题理科数学参考答案2020.5说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分题号123456789101112答案CDACBABCBACD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．12-；14.2；15.2；16.①③④.三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(12分)解：（1）由已知及正弦定理得22sin sin sin()2sin sin sin2B R AC A C R C A +=即1cos sin 2B B -=……………………………………2分sin B B ∴+=……………………………………4分3sin 32B π⎛⎫∴+=⎪⎝⎭0B π<< ，3B π∴=………………6分（2）由（1）得3sin 2B =，根据已知及正弦定理得1=sin 32ABC S ac B ∆=，43ac ∴=………………………………8分又由已知及正弦定理得sin sin sin a c b A C B +==+，解得32b =由已知及余弦定理得2222cos b a c ac B=+-………………………………………10分2225()2,2a c a c ac a c ∴+=+-∴+=4a b c ∴++=……………………………………………………12分18.(12分)解：（1）连结OC ，,//BC AO BC AD=则四边形ABCO 为平行四边形…………………………………………1分////AB OCAB POC AB POC OC POC ⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭平面平面平面////AB POCAB ABEF AB EF ABEF POC EF ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭ 平面平面平面平面………………………………3分////AB EFEF ABCD EF ABCD AB ABCD ⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭平面平面平面………………………………5分(2)以O 为坐标原点，以OA 为x 轴，过O 在平面ABCD 内作OA 的垂线作的垂线为y ，OP 为z 轴建立如图所示空间直角坐标系…………………………………6分设2(0)OP a a =>，则1313(0,0,),(1,0,0),(0,0,2),,,0,,,2244F a D P a C E a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()11,,1,0,,,24422EF FD a PC a ⎛⎫⎛⎫∴=-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………8分设平面EFD 的法向量为1(,,)n x y z =，则1113004400n EF x y n FD x az ⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩--=⎩ …………9分不妨设1z =，则13,,13n a a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭由题意知，平面ABCD 的法向量(0,0,1)n =……………………………………………………………………10分1122113cos ,313n n n n n n a a ⋅∴<>===⋅++，解得62a =……………11分PO ⊥ 平面ABCD ，PCO ∴∠为PC 与平面ABCD 所成角，tan 6POPCO OC∴∠== ，PC ∴与底面ABCD 所成的角正切值为6………12分19.(12分)解：（1）5500.949599().3805503304104004302500500P A ⨯===+++++………………………………3分（2）()0.80.30.20.70.38.P B =⨯+⨯=………………………………………………6分（3）12=0.60.4=0.24=0.90.1=0.09D D ξξ⨯⨯，………8分3=0.80.2=0.16D ξ⨯，4=0.70.3=0.21D ξ⨯………10分1ξ102ξ10P0.60.4P0.90.13ξ104ξ10P0.80.2P0.70.356=0.650.35=0.2275=0.60.4=0.24.D D ξξ⨯⨯，则234516.D D D D D D ξξξξξξ<<<<=…………………………………12分20.(12分)解：（1）由于222cb a +=…………………………………………1分将)(c x c x -==或代入12222=+b y a x 中得:a b y 2±=即：122=a b …………3分又由42=a ，得：1,422==b a ，故所求方程：1422=+y x ……………5分（2）由题意，M 点坐标为)0,(1x ，此时)2,(1-=x AM ，设)0,(n N ，则)2,(-=n AN ，由于AN AM ⊥,得：041=+n x ………7分位置关系为相切.………………………………………12分5ξ106ξ10P0.650.35P0.60.421.（12分）解：（1）当1a =时，()sin 2xf x e x x b =--+，存在(]0,0x ∈-∞，使得0()0f x <成立，即maxsin 2,(sin 2)x x b x x e b x x e <+-∴<+-令()sin 2,0xg x x x e x =+-≤，则()cos 2xg x x e '=+-…………………2分(][]00,1,cos 21,3x x e x ≤∴∈+∈ ，[)cos 20,3x x e ∴+-∈，()0()g x g x '∴≥∴，在(],0-∞上增函数，max ()(0)1,1g x g b ∴==-∴<-，即实数b 的取值范围为(,1)-∞-…………5分（2）要证()+1(ln 2)xf x b e x x ->-+，只要证ln 1sin x x a x +>即可构造函数()ln 1(0)h x x x x x =+->，则()ln h x x '=………………………6分令()0h x '>，则1x >令()0h x '<，则01x <<，min ()(1)0h x h ∴==，ln 1x x x∴+≥…………………………………8分所以要证：当11≤≤-a 时，对任意(0,)x ∈+∞，ln 1sin x x a x +>成立，只要证：当11≤≤-a 时，对任意(0,)x ∈+∞，sin x a x >成立即可……9分构造函数()sin (0)q x x a x x =->，则()1cos q x a x'=-……………10分[][][]1,1,cos 1,1,cos 1,1()0a x a x q x '∈-∈-∴∈-∴≥ ，()q x ∴在区间(0,)+∞上增函数，()(0)0q x q ∴>=，sin x a x∴>综上所述，当11≤≤-a 时，对任意(0,)x ∈+∞，ln 1sin x x a x +>成立，即当11≤≤-a 时，对任意(0,)x ∈+∞，都有()+1(ln 2)xf x b e x x ->-+成立…………………………………12分22.（10分）选修4－4：坐标系与参数方程解：（1）由cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，消去参数α，得221x y +=，所以曲线C 的普通方程为221.x y +=…………………………………2分由0x y +-=，得22cos sin 422ρθθ⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭，即cos 44πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以直线l 的极坐标方程为cos 44πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭…5分（2）由已知1A B ρρ==，44,5coscos1212C D ρρππ==………………7分11=sin sin 2323OCD OAB C D A B ABCD S S S ππρρρρ∆∆∴-=-四边形116313163363352222244cos cos sin 12126πππ=⋅-⋅=⋅-=…………10分23.（10分）选修4－5：不等式选讲解：（1）当2a =时，()2255f x x x =++-≥，1当2x≤-时，222553x x x ---+≥⇒≤-2x ∴≤-…………2分2当522x -<≤时，22552x x x +-+≥⇒≤22x ∴-<≤3当52x >时，82+2553x x x +-≥⇒≥83x ∴≥所以综合①②③，不等式()5f x ≥的解集为823x x x ⎧⎫≤≥⎨⎩⎭或………………………………………………………5分（2）0a > ()4f x x ∴≤+转化为254x a x x ++-≤+，254x a ∴-≤-19425422404a a a x a x a a +-⎧-≤-≤-≤≤⎧⎪∴⇒⎨⎨->⎩⎪<⎩………………………………………………………………………7分当[,2]x a a ∈时，不等式()|4|f x x ≤+恒成立，必有129192524a a a aaa +⎧≤⎪⎪⇒≤≤-⎨≥⎪⎪<⎩所以实数a 的取值范围为915⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.……………………………………10分。