四川省成都石室中学高一数学下学期期末考试试题

成都石室中学高2020届2017～2018学年度下期期末考试数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1.已知集合{}|1 2 A x x =-<<， {}2|20 B x x x =+≤，则A B ⋂=（ ）A. {}|0 2 x x <<B. {}|0 2 x x ≤<C. {}|10 x x -<<D. {}|10 x x -<≤ 2.已知,a b R ∈，且a b >，则（ ）A. 22a b > B. 1a b > C. ()lg 0a b -> D. 1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则该数列前11项和11S ＝（ ） A ．58 B ．88 C ．143 D ．1764.设m 是直线，,αβ是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若//,//m m αβ，则//αβ B. 若//,m m αβ⊥，则αβ⊥ C. 若,//m αβα⊥，则m β⊥ D. 若,m αβα⊥⊥，则//m β5.已知直线12:(3)453,:2(5)8l m x y m l x m y ++=-++=平行，则实数m 的值为（ ） A ．7- B ．1- C ．1-或7- D ．1336.已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且13213,,22a a a 成等差数列，8967a a a a +=+（ ）A. 6B. 7C. 8D. 97.某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克， B 原料3千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克， B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在要求每天消耗,A B 原料都不超过12千克的条件下，生产产品甲、产品乙的利润之和的最大值为（ ）A. 1800元B. 2100元C. 2400元D. 2700元 8.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2222S a b c =+-，俯视图主视图1222则tan C （ ）A. 12B. 1229.如图为一几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A. 462+642+682+ D. 862+10.已知正四棱锥P ABCD -(底面四边形ABCD 是正方形，顶点P 在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为10，若该正四棱锥的体积为503，则此球的体积为（ ） A. 18π B. 6π C. 36π D. 323π11.已知a ， b ， c 均为正数，且234a b c ++=，则2ab ac bc c +++的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D.812.如图，平面α与平面β交于直线l ，,C A 是平面α内不同的两点，,B D 是平面β内不同的两点，且,,,A B C D 不在直线l 上，,M N 分别是线段,AB CD 的中点，下列命题中正确的个数为（ ）①若AB 与CD 相交，且直线AC 平行于l 时，则直线BD 与l 也平行; ②若AB ,CD 是异面直线时，则直线MN 可能与l 平行;③若AB ,CD 是异面直线时，则不存在异于AB ,CD 的直线同时与直线,,AC MN BD 都相交；④,M N 两点可能重合，但此时直线AC 与l 不可能相交 A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13.1tan151tan15︒︒+-的值为___________．14.若,x y 满足约束条件20402x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则1y x +的取值范围为___________．15.设数列{}n a 满足*1(1)()2n n n na n a n N n +-+=∈+， 112a =， n a =___________． 16.若函数()f x 满足：对任意一个三角形，只要它的三边长,,abc 都在函数()f x 的定义域内，就有函数值(),(),()f a f b f c 也是某个三角形的三边长.则称函数()f x 为保三角形函数，下面四个函数：①2()(0)f x x x =>；②()0)f x x =>；③()sin (0);2f x x x π=<<④()cos (0);2f x x x π=<<为保三角形函数的序号为___________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）已知直线310mx y m +--=恒过定点A . （Ⅰ）若直线l 经过点A 且与直线250x y +-=垂直，求直线l 的方程； （Ⅱ）若直线l 经过点A 且坐标原点到直线l 的距离等于3，求直线l 的方程.18.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ABC ⊥平面，底面三角形ABC 是边长为2的等边三角形， D 为AB 的中点． （Ⅰ）求证： 11//BC A CD 平面；（Ⅱ）若直线1CA 与平面11A ABB 所成的角为30︒，求三棱锥11B A CD -的体积．DC 1B 1A 1CBA19.（本小题满分12分）如图，在ABC V 中，点D 在BC 边上，60ADC ∠=︒，27,4AB BD ==．（Ⅰ）求ABD V 的面积．（Ⅱ）若120BAC ︒∠=，求AC 的长．20.（本小题满分12分）已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--. （Ⅰ）当[0,]2x π∈时,求()f x 的值域；（Ⅱ）若将函数()f x 向右平移(0)ϕϕ>个单位得到函数()g x ，且()g x 为奇函数. (ⅰ)求ϕ的最小值；(ⅱ)当ϕ取最小值时，若(0)y m m =>与函数()g x 在y 轴右侧的交点横坐标依次为12,,x x L ，求1220x x x +++L 的值.21.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足2*12393,()n n a a a n n N +++=∈L . （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，解关于n 的不等式1001272n nS n -<⋅.22.（本小题满分12分）如图1，在长方形ABCD 中，4AB =，2BC =，O 为DC 的中点，E 为线段OC 上一动点．现将AED ∆沿AE 折起，形成四棱锥D ABCE -.（Ⅰ）若E 与O 重合，且AD BD ⊥(如图2). (ⅰ)证明：BE ⊥平面ADE ;(ⅱ)求二面角D AC E --的余弦值.（Ⅱ）若E 不与O 重合，且平面ABD ⊥平面ABC (如图3)，设DB t =，求t 的取值范围.图2图 1图3成都石室中学高2020届2017～2018学年度下期期末考试数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1.已知集合{}|1 2 A x x =-<<， {}2|20 B x x x =+≤，则A B ⋂=（ ）A. {}|0 2 x x <<B. {}|0 2 x x ≤<C. {}|10 x x -<<D. {}|10 x x -<≤ 【答案】D2.已知,a b R ∈，且a b >，则（ ）A. 22a b >B. 1a b >C. ()lg 0a b ->D. 1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D3.在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝ ( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 【解析】B4.设是直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B5.已知直线12:(3)453,:2(5)8l m x y m l x m y ++=-++=平行，则实数m 的值为（ ） A ．7- B ．1- C ．1-或7- D ． 133【答案】A6.已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且13213,,22a a a 成等差数列，8967a a a a +=+（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9 【答案】D7.某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克， B 原料3千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克， B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在要求每天消耗,A B 原料都不超过12千克的条件下，生产产品甲、产品乙的利润之和的最大值为（ ）A. 1800元B. 2100元C. 2400元D. 2700元 【答案】C8.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2222S a b c =+-，则tan C （ ） A.12B. 12 D. 2【答案】D9.如图为一几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 462+642+682+ D. 862+ 【答案】D10.已知正四棱锥P ABCD -(底面四边形ABCD 是正方形，顶点P 在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为10，若该正四棱锥的体积为503，则此球的体积为 （ ）A. 18πB. 6πC. 36πD. 323π 【答案】C11.已知a ， b ， c 均为正数，且234a b c ++=，则2ab ac bc c +++的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D.8 【答案】A12.如图，平面α与平面β交于直线l ，,C A 是平面α内不同的两点，,B D 是平面β内不同的两点，且,,,A B C D 不在直线l 上，,M N 分别是线段,AB CD 的中点，下列命题中正确的个数为（ ）①若AB 与CD 相交，且直线AC 平行于l 时，则直线BD 与l 也平行; ②若AB ,CD 是异面直线时，则直线MN 可能与l 平行; ③若AB ,CD 是异面直线时，则不存在异于AB ,CD 的直线同时与直线,,AC MN BD 都相交；④,M N 两点可能重合，但此时直线AC 与l 不可能相交 A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13.1tan151tan15︒︒+-的值为 .314.若,x y 满足约束条件20{40 2x y x y y -+≥+-≤≥，则1yx +的取值范围为__________．【答案】2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦15.设数列{}n an a =__________．16.若函数()f x 满足：对任意一个三角形，只要它的三边长,,a b c 都在函数()f x 的定义域内，就有函数值(),(),()f a f b f c 也是某个三角形的三边长.则称函数()f x 为保三角形函数，下面四个函数：①2()(0)f x x x =>；②()0)f x x =>；③()sin (0);2f x x x π=<<④()cos (0);2f x x x π=<<为保三角形函数的序号为 .【答案】②③三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）已知直线310mx y m +--=恒过定点A .（Ⅰ）若直线l 经过点A 且与直线250x y +-=垂直，求直线l 的方程； （Ⅱ）若直线l 经过点A 且坐标原点到直线l 的距离等于3，求直线l 的方程. 【解析】直线310mx y m +--=可化为(3)10m x y -+-=， 由3010x y -=⎧⎨-=⎩可得31x y =⎧⎨=⎩，所以点A 的坐标为(3,1).………………2分（Ⅰ）设直线l 的方程为20x y n -+=，将点A (3,1)代入方程可得1n =-，所以直线l 的方程为210x y --=..………………5分 （Ⅱ）①当直线l 斜率不存在时，因为直线过点A ，所以直线方程为3x =， 符合原点到直线l 的距离等于3. ..………………7分②当直线l 斜率不存在时，设直线l 方程为31y kx k =-+，即310kx y k --+=因为原点到直线的距离为33=，解得43k =-所以直线l 的方程为43150x y +-=综上所以直线l 的方程为3x =或43150x y +-=..………………10分18.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中， 1AA ABC ⊥平面，底面三角形ABC 是边长为2的等边三角形， D 为AB 的中点． （Ⅰ）求证： 11//BC A CD 平面；（Ⅱ）若直线1CA 与平面11A ABB 所成的角为30︒，求三棱锥11B A CD -的体积．【解析】（Ⅰ）连接1AC 交1A C 于E 点，连接DE ． 因为D E ，分别为1AB AC ，的中点，所以1//DE BC ， 又11BC ACD ⊄平面， 1DE A CD ⊂平面， 所以11//BC A CD 平面． ..………………6分 （Ⅱ）等边三角形ABC 中， CD AB ⊥，1AA ABC ⊥Q 平面， 1AA CD ∴⊥，且1AB AA A ⋂=， 11CD A ABB ∴⊥平面．则1CA 在平面11A ABB 的射影为1DA ，故1CA 与平面11A ABB 所成的角为1CA D ∠． ...………………8分 在1Rt A DC ∆中， 1=30CA D ∠︒， =3CD 1=3tan30CDDA =︒，2211=22AA A D AD ∴-=， ...………………10分1111111126223333B A CDC A BD A B D V V S CD --==⨯⨯=⨯⨯=V ...………………12分19.（本小题满分12分）如图，在ABC V 中，点D 在BC 边上， 60ADC ∠=︒，27,4AB BD ==．（Ⅰ）求ABD V 的面积．（Ⅱ）若120BAC ︒∠=，求AC 的长． 【解析】（Ⅰ）由题意，120BDA ∠=︒ 在ABD V 中，由余弦定理可得2222120AB BD AD BD AD cos =+-⋅⋅︒即2281642AD AD AD =++⇒=或-6AD =（舍）...………………4分 ∴ABD V 1134223222S DB DA sin ADB =⋅⋅⋅∠=⨯⨯⨯=...………………6分（Ⅱ）在ABD V 中，由正弦定理得AD ABsinB sin BDA=∠， 代入得21sin B B 为锐角，故57cos B =………………8分 所以21sin sin(60)sin 60cos cos60sin C B B B ︒︒︒=-=-=...………………10分 在ADC V 中，由正弦定理得sin AD ACC sin CDA=∠， ∴221372AC=，解得7AC =．...………………12分 20.（本小题满分12分）已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--. （Ⅰ）当[0,]2x π∈时,求()f x 的值域；（Ⅱ）若将函数()f x 向右平移(0)ϕϕ>个单位得到函数()g x ，且()g x 为奇函数. (ⅰ)求ϕ的最小值；(ⅱ)当ϕ取最小值时，若(0)y m m =>与函数()g x 在y 轴右侧的交点横坐标依次为12,,x x L ，求1220x x x +++L 的值.【解析】（Ⅰ）4422()cos 2sin cos sin cos sin sin 2f x x x x x x x x =--=--cos 2sin 22)4x x x π=-=+………………3分52[0,],2[,],cos(2)[]24444x x x πππππ∈+∈+∈-Q ，()[2,1]f x ∴∈- ………………5分（Ⅱ）()()22)4g x f x x πϕϕ=-=-+，由()g x 为奇函数，故2,4228k k k Z ππππϕπϕ-+=+⇒=--∈，由0ϕ>， 故ϕ的最小值为38π. ………………7分(ⅱ)此时())22g x x x π=-=，故m ∈时满足题意. ………………8分当m =*322(1)()24n n x n x n n N ππππ=-+⇒=-∈，{}n x 是以4π为首项，π为公差的等差数列，120122020()1952x x x x x π++++==L . ………………10分当m ∈时,由对称性，112()2((n 1))22n n n n x x x x n ππππ+++=⨯+-⇒+=-，其中n 为奇数，故1{}n n x x ++（n 为奇数）是以2π为首项，2π为公差的等差数列. 故122012341920()()()95x x x x x x x x x π+++=++++++=L L .综上：当m 时，1220195x x x π+++=L ，当m ∈时，122095x x x π+++=L . ………………12分21.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足2*12393,()n n a a a n n N +++=∈L .（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，解关于n 的不等式1001272n n S n -<⋅.【解析】（Ⅰ）由题意2*12393,()n n a a a n n N +++=∈L故1=n 时，111313a a =⇒=……………………1分 当2≥n 时，12121393(1),n n a a a n --+++=-L2213(1)21(21)()3n n n n a n n n a n =--=-⇒=-……3分 经检验 1=n 时，上式也成立故数列{}n a 的通项公式1(21)()()3n n a n n N *=-⋅∈……………………4分 （Ⅱ）121111()3()(21)()333n n S n =⋅+⋅++-⋅L 左右两边同乘以13， 得231111111()3()(23)()(21)()33333n n n S n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅L ……6分 两式相减得2312111112[()()()](21)()333333n n n S n +=++++--⋅L图2 图 2 图3 211111()1()1121332(21)()2(1)()1333313n n n n n -++⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⋅--⋅=-+- 所以11(1)()3n n S n =-+（*∈N n ）………………8分 由110021001(1)()(1)()3327272n n n n S n n n n -=+<⇒+<⋅………………9分 设2(1)(),3n n d n n =+则112(1)(2)(),3n n d n n ++=++ 11222(4)(1)(2)()(1)()(1)(),3333n n n n n n d d n n n n n ++--=++-+=+Q 故4n <时，1n n d d +>，数列{}n d 单调递增；故4n =时，543201008127d d ==>； 故4n >时，1n n d d +<，数列{}n d 单调递减；………………11分 又332100927d =<，689610024327d =< 故3n ≤或6n ≥且*n N ∈. ………………12分22.（本小题满分12分）如图1，在长方形ABCD 中，4AB =，2BC =，O 为DC 的中点，E 为线段OC 上一动点．现将AED ∆沿AE 折起，形成四棱锥D ABCE -.（Ⅰ）若E 与O 重合，且AD BD ⊥(如图2).(ⅰ)证明：BE ⊥平面ADE ;(ⅱ)求二面角D AC E --的余弦值.（Ⅱ）若E 不与O 重合，且平面ABD ⊥平面ABC (如图3)，设DB t =，求t 的取值范围.【解析】（Ⅰ）(ⅰ)由E 与O 重合，则有,AD DE AE BE ⊥⊥,因为AD BD ⊥，,AD DE BD DE D AD ⊥=⇒⊥I 平面BDE ,AD BE ∴⊥,………………1分 ,,BE AD BE AE AD AE A ⊥⊥=Q I ,所以BE ⊥平面ADE . ………………3分(ⅱ)由BE ⊥平面ADE ，BE ⊂平面ABC ，故平面ADE ⊥平面ABC ，作DG AE ⊥于G ,作GH AC ⊥于H ，连接DH .因为DG AE ⊥，平面ADE ⊥平面ABC ，AE 为交线，故DG ⊥平面ABC ，故DG AC ⊥，又GH AC ⊥Q ，故AC ⊥平面DGH ,所以DHG ∠为所求角.………………5分 易求得2,DG 在AEC V 中，可求得5GH =55DH =, 11cos GH DH θ∴==. ………………7分（Ⅱ） 如图，作DF AB ⊥于F ,作FI AE ⊥于I ，连接DI .由平面ABD ⊥平面ABC 且DF AB ⊥可得DF ⊥平面ABC ,故DF AE ⊥,由FI AE ⊥可得AE ⊥平面DIF ,故在平面图形中，,,D I F 三点共线且AE DF ⊥. ………………10分 设(2,4]DE x =∈，由4ADE FAD AF x ⇒=V :V ，故44BF x =-, 2222164DF DA AF x =-=-，所以2222241632(4)420(4,12]DB DF BF x x x=+=-+-=-∈， (2,23]t BD =∈ ………………12分备注：本题各问利用其它方法酌情分步给分.。