概率论期末考试试题北京大学数学科学学院
概率论期末试题及答案
概率论期末试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 随机事件A的概率为P(A)，则其对立事件的概率为：A. P(A) + 1B. 1 - P(A)C. P(A) - 1D. P(A) / 22. 某校有男女生比例为3:2，随机抽取1名学生，该学生是男生的概率为：A. 1/5B. 3/5C. 2/5D. 5/73. 抛一枚均匀硬币两次，至少出现一次正面的概率是：A. 1/2B. 1/4C. 3/4D. 5/84. 设随机变量X服从二项分布B(n, p)，若n=15，p=0.4，则P(X=7)是：A. C^7_15 * 0.4^7 * 0.6^8B. C^7_15 * 0.6^7 * 0.4^8C. C^7_15 * 0.4^15D. C^8_15 * 0.4^7 * 0.6^85. 若随机变量Y服从泊松分布，λ=2，则P(Y=1)是：A. e^(-2) * 2B. e^(-2) * 2^2C. e^(-2) * 2^1D. e^(-2) * 2^06. 设随机变量Z服从标准正态分布，则P(Z ≤ 0)是：A. 0.5B. 0.25C. 0.75D. 0.337. 若两个事件A和B相互独立，P(A)=0.6，P(B)=0.7，则P(A∩B)是：A. 0.42B. 0.35C. 0.6D. 0.78. 随机变量X服从均匀分布U(0, 4)，则E(X)是：A. 2B. 4C. 0D. 19. 设随机变量X和Y的协方差Cov(X, Y)=-2，则X和Y：A. 正相关B. 负相关C. 独立D. 不相关10. 若随机变量X服从指数分布，λ=0.5，则P(X > 1)是：A. e^(-0.5)B. e^(-1)C. 1 - e^(-0.5)D. 2 - e^(-1)二、填空题（每题3分，共30分）11. 若随机变量X服从参数为θ的概率分布，且P(X=θ)=0.3，P(X=2θ)=0.4，则P(X=3θ)=________。
《概率论》期末考试试题（B卷答案）
《概率论》期末考试试题（B卷答案）《概率论》期末考试试题（B卷答案）考试时间：120分钟（2005年07⽉）班级姓名成绩1.设甲、⼄两⼈在同样条件下各⽣产100天，在⼀天中出现废品的概率分布分别如下：求甲、⼄两⼈⽣产废品的数学期望，⽐较甲、⼄两⼈谁的技术⾼？（）A甲好B⼄好C⼀样好D⽆法确定2.某⼚产品的合格率为96%,合格品中⼀级品率为75％。
从产品中任取⼀件为⼀级品的概率是多少？（）A 0.72B 0.24C 0.03D 0.013. 任⼀随机事件A的概率P(A)的取值在（）A （0，1）B [0,1]C [-1,0]D (0,∞)4.已知P（A）＝1，P（B）＝0，则（）A. A为必然事件，B为不可能事件B. A为必然事件，B不是不可能事件C. A不必为必然事件，B为不可能事件D. A不⼀定是必然事件，B不⼀定是不可能事件5. 设A、B两个任意随机事件，则=AP （）(B)A. P（A）+ P（B）B. P（A）－P（B）+ P（AB）C. P（A）+ P（B）－P（AB）D. P（AB）－P（A）－P（B）6.若已知φA ，且已知P（A）＝0，则（）B=A.A与B独⽴B. A与B不独⽴C.不⼀定D.只有当φ=A ，φ=B 时，A 、B 才独⽴ 7.已知X ～B （n ，p ），则D （X ）＝（）A.npB.p （1－p ）C.n （1－p ）D.np （1－p ） 8.设),(~2σµN X ，将X 转化为标准正态分布，转化公式Z ＝（） A. 2σµ-x B.σµ-x C.σµ+x D.µσ-x9. 设),(~2σµN X ，P (a ≤x ≤b )=( ) A.()()a b φφ- B.??--?-σµφσµφa bC.??? ??-+???-σµφσµφa b D.??--? -σµφσµφb a 10. )1,0(~N X ,P (X ≤2）＝（） A.0.6826 B.0.9545C.0.9973D.0.5 ⼆、多项选择题（3*8=24分）1. 设A 、B 是两个独⽴随机事件，则（） A.)()()(B P A P B A P ?= B. )()|(A P B A P = C. )()|(B P A B P = D. )()()(B P A P B A P += E. )()|()(B P B A P B A P ?=2. 离散型随机变量的概率分布具有性质（）A P {}i x X ==P i ≥0, i=1,2,3，…，n B{}1x XP n1i i ==∑=C X 取某⼀特定值x i 的概率均为0≤P i ≤1D 离散型随机变量的概率分布表⽰它取值某⼀区间的概率E1Pn1i i=∑=3. 连续性随机变量X 具有性质（）A.连续性随机变量通常研究它某⼀特定值的概率B.连续性随机变量X 的取值在（0，1）范围之内C.密度函数f （x ）的曲线与实数轴所围成的⾯积等于1D.?∞-=xdx x f X F )()( （－∞＜x ＜∞）E.P{a ＜x ＜b}＝F （b ）－F （a ）＝?badx x f )(4. 离散型随机变量X 的⽅差D （X ）＝（）A.i ni i p X E x 2)]([∑-B.dx x f X E x )()]([2+∞∞--C.E[X －E （X ）]2D.E （X 2）－[E （X ）]2E. E[X 2－E （X ）] 25. 贝努⼒试验是满⾜下列哪些条件的随机试验（） A 每次试验都有两种可能结果B 试验结果对应于⼀个离散型随机变量C 试验可以在相同条件重复进⾏D 每次试验“成功”的概率p 不变，“失败”的概率1－p 也不变E 各次试验的结果相互独⽴6. ⼆项分布的概率分布为P{X ＝x}＝C xn p x (1－p) x 其中（）A.n 为试验次数B.p 为⼀次试验“成功”的概率C. ⼀次试验“失败”的概率为1－pD.x 为n 次试验“成功”的次数E.C xn 表⽰从n 个元素中抽取x 个元素的组合7. 已知X ～B （n ，p ），n ＝6，p ＝0.6，则P{X ＞3}＝（） A. 1－P{X ≤3} B. 1－P{X ＜3}C. P{X ＝4}＋P{X ＝5}＋P{X ＝6}D. 1－∑=--30)1(x xn x x n p p CE.0666155624464.06.04.06.04.06.0C C C ++8. 如果向上抛⼀枚硬币100次，出现正⾯10次，反⾯90次，说明（） A 硬币的质量不均匀 B 出现正⾯的概率为0.1C 出现正⾯的概率⼩于出现反⾯的D 出现反⾯的频率为0.9E 不能说明任何问题三、填空题（1*6=6分）1. ⼀批产品共10个，其中6个是合格品，4个次品，从这批产品任取3个，其中有次品的概率为___________。
概率论期末复习题库答案
概率论期末复习题库答案一、选择题1. 某随机事件的概率为0.6，那么它的对立事件的概率为：A. 0.4B. 0.5C. 0.6D. 无法确定答案：A2. 假设事件A和事件B是互斥的，且P(A) = 0.3，P(B) = 0.2，那么P(A∪B)等于：A. 0.5B. 0.4C. 0.3D. 0.2答案：B3. 如果一个骰子连续投掷两次，求至少出现一次6的概率：A. 1/6B. 5/6C. 2/3D. 1/3答案：B二、填空题1. 随机变量X服从标准正态分布，那么P(X ≤ 0) = _______。
答案：0.52. 如果随机变量X的期望值为2，方差为4，那么P(X = 4) =_______。
答案：无法直接给出，需要更多信息3. 事件A发生的概率为0.3，事件B发生的概率为0.4，且P(A∩B) = 0.1，那么事件A和B是________。
答案：既不互斥也不独立三、简答题1. 什么是条件概率？请给出条件概率的公式。
答案：条件概率是指在已知一个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率的公式为：\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]其中，\( P(A|B) \) 是在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，\( P(A \cap B) \) 是事件A和事件B同时发生的概率，\( P(B) \) 是事件B发生的概率。
2. 什么是大数定律？请简要说明其含义。
答案：大数定律是概率论中的一个基本概念，它描述了随机事件在大量重复试验中表现出的稳定性。
具体来说，大数定律指出，随着试验次数的增加，随机事件的相对频率会越来越接近其真实概率。
四、计算题1. 假设有一个装有红球和蓝球的袋子，其中红球有5个，蓝球有3个。
如果从袋子中随机抽取一个球，求抽到红球的概率。
答案：抽到红球的概率 \( P(\text{红球}) \) 可以通过以下公式计算：\[ P(\text{红球}) = \frac{\text{红球的数量}}{\text{总球数}} = \frac{5}{5+3} = \frac{5}{8} \]2. 假设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，求X=2的概率。
概率论期末考试试题 - 北京大学数学科学学院
《概率论》期末考试试题1. 一本书共有1,000,000个印刷符号, 排版时每个符号被排错的概率为0.0001, 校对时每个排版错误被改正的概率为0.9, 求在校对后错误不多于15个的概率.2. 某赌庄有资产100,000元. 另有一赌徒拥有无穷大的赌资, 试图使该赌庄破产. 他每次压注1000元, 每次赢钱的概率为0.49而输钱的概率为0.51. 问该赌徒能使赌庄破产的概率为多大?3. 考虑[0,∞]上的Poisson过程, 参数为λ. T是与该Poisson过程独立的随机变量,服从参数为μ的指数分布. 以表示[0,T]中Poisson过程的增量, 求的概率分布.4. 设ξ1ξ2……ξn是独立同分布随机变量, 且三阶中心矩等于零,四阶矩存在，求和的相关系数.5. 设X是连续型随机变量,密度函数f X(x)= (1/2)exp(-|x|), -∞<x < ∞.a. 证明特征函数φX(t) = 1/(1+t2).b. 利用上述结果和逆转公式来证明6. 设随机变量序列ξn依概率收敛于非零常数a, 而且ξn≠0. 证明1/ξn依概率收敛于1/a.7. 假设X与Y是连续型随机变量.记Var[Y|X=x]为给定X=x的条件下Y的方差. 如果E[Y|X=x]=μ与X无关, 证明EY=μ而且VarY=.8. 设{ξn}为独立随机变量序列, 且ξn服从( -n, n)上的均匀分布, 证明对{ξn}中心极限定理成立.9. 设X,Y和Z的数学期望均为0, 方差均为1. 设X与Y的相关系数为ρ1, Y与Z的相关系数为ρ2, X与Z的相关系数为ρ3. 证明.10. 用概率方法证明如下Weierstrass定理:对区间[0,1]上任何连续函数f(x), 必存在多项式序列{b n(x)}, 使在区间[0,1]上一致地有b n(x) →f(x).附: 常用正态分布函数值: Φ(1.28)= 0.9, Φ(2)= 0.977, Φ(2.33)= 0.99,Φ(2.58)= 0.995Φ(1.64)= 0.95, Φ(1.96)= 0.975,。
概率论期末试题答案
概率论期末试题答案一、选择题1. 概率论中的“概率”是指：A. 事件发生的可能性B. 事件发生的频率C. 事件发生的必然性D. 不确定性的度量答案：A2. 若事件A和B相互独立，则以下哪项正确？A. P(A ∪ B) = P(A) + P(B)B. P(A ∩ B) = P(A) + P(B)C. P(A ∩ B) = P(A) × P(B)D. P(A | B) = P(A)答案：C3. 标准正态分布的数学期望和方差分别是：A. 0和1B. 1和0C. 1和1D. 0和0答案：A4. 若随机变量X服从参数为λ的指数分布，其概率密度函数为：A. f(x) = λe^(-λx), x ≥ 0B. f(x) = λe^(-x/λ), x ≥ 0C. f(x) = 1/λe^(-x/λ), x ≥ 0D. f(x) = 1/λe^(-λx), x ≥ 0答案：B5. 以下哪个不是中心极限定理的内容？A. 独立同分布的随机变量之和趋于正态分布B. 独立同分布的随机变量之差的平方和趋于卡方分布C. 独立同分布的随机变量之和的均值趋于正态分布D. 独立同分布的随机变量之和的标准差趋于正态分布答案：D二、填空题1. 事件A和B相互独立，则P(A ∩ B) = _______ 。
答案：P(A) × P(B)2. 若随机变量X服从均匀分布U(a,b)，则其概率密度函数为f(x) =_______ 。
答案：1/(b-a), a ≤ x ≤ b3. 二项分布的期望值E(X)和方差Var(X)分别为np和np(1-p)，其中n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率。
若n=10, p=0.5，则E(X) = _______ ，Var(X) = _______ 。
答案：5；2.54. 设随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，则其概率密度函数为f(x) = _______ 。
答案：(1/(σ√(2π))) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))5. 条件概率P(A|B)是指在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，其计算公式为P(A|B) = _______ 。
北京大学数学期末考试卷
北京大学数学期末考试卷一、选择题（本题共10分，每小题1分）1. 以下哪个数是实数？A. iB. πC. eD. √(-1)2. 直线方程 y = 2x + 3 与 x 轴的交点坐标是：A. (1, 5)B. (-3, 0)C. (0, 3)D. (3, 0)3. 以下哪个不是二次方程？A. x^2 + 2x + 1 = 0B. y^2 - 4 = 0C. z^3 - 2z^2 + z - 2 = 0D. 2x^2 - 3x + 1 = 04. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)5. 以下哪个极限不存在？A. lim (x→0) (sin(x)/x)B. lim (x→0) (1 - cos(x))/x^2C. lim (x→∞) (1/x)D. lim (x→∞) (e^x - x)二、填空题（本题共20分，每空2分）6. 若函数 f(x) = 3x^2 + 2x - 5 的顶点坐标为 (1, a)，则 a 的值为______。
7. 微分方程 y'' - 2y' + y = 0 的通解为 y = ______。
8. 圆心在原点，半径为 2 的圆的方程为 ______。
9. 若一个向量 a = (1, 2)，向量 b = (3, 4)，则向量 a 与 b 的点积为 ______。
10. 函数 f(x) = ln(x) 的反函数是 ______。
三、计算题（本题共30分，每题6分）11. 计算定积分∫[1, e] (x^2 - 3x + 2) dx。
12. 解微分方程 y' + 2y = e^x，初始条件 y(0) = 1。
13. 证明：若函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，在开区间 (a, b) 内可导，且 f'(x) > 0，则函数 f(x) 在 (a, b) 内严格递增。
概率论期末试题及解析答案
概率论期末试题及解析答案1. 简答题（每题10分）1.1 什么是概率？概率是描述随机事件发生可能性的数值。
它可以用来衡量某一事件在多次重复试验中出现的频率。
1.2 什么是样本空间？样本空间是指一个随机试验中所有可能结果的集合。
1.3 什么是事件？事件是样本空间中包含的一组可能结果的子集。
1.4 什么是互斥事件？互斥事件是指两个事件不能同时发生。
1.5 什么是独立事件？独立事件是指两个事件的发生与不发生互不影响。
2. 计算题（每题20分）2.1 设一枚硬币抛掷3次，计算至少出现两次正面的概率。
解析：样本空间：{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}至少出现两次正面的事件：{HHH, HHT, HTH, THH}概率 = 事件发生的次数 / 样本空间的次数 = 4 / 8 = 1/22.2 设A、B两个事件相互独立，且P(A) = 0.4，P(B) = 0.6，计算P(A∪B)。
解析：由于A、B事件相互独立，所以P(A∩B) = P(A) * P(B) = 0.4 * 0.6 = 0.24P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 0.4 + 0.6 - 0.24 = 0.763. 应用题（每题30分）3.1 甲乙两个备胎分别拥有10个和15个备用轮胎，轮胎坏掉时甲用2个备用轮胎的概率为0.2，乙用3个备用轮胎的概率为0.15。
现在从甲、乙两个备胎中随机挑选一个备用轮胎，请计算此备用轮胎坏掉的概率。
解析：设事件A为甲备胎的备用轮胎坏掉，事件B为乙备胎的备用轮胎坏掉。
P(A) = 0.2 * 10 / (0.2 * 10 + 0.15 * 15) = 0.2 * 10 / (2 + 2.25) ≈ 0.6667 P(B) = 0.15 * 15 / (0.2 * 10 + 0.15 * 15) = 0.15 * 15 / (2 + 2.25) ≈0.3333由于只能选择甲或乙中的一个备用轮胎，所以备用轮胎坏掉的概率为P(A) + P(B) ≈ 13.2 水果篮子中有5个橙子、3个苹果和2个香蕉，现从篮子中随机挑选两个水果，请计算挑选出的两个水果中至少有一个是橙子的概率。
2020-2021大学《概率论》期末课程考试试卷A1(含答案)
2020-2021大学《概率论》期末课程考试试卷A1适用专业：考试日期：考试时间：120分钟考试方式：闭卷总分100分一、填空题. （每空2分，共22分）1、设为三个事件，用它们表示下列事件（1）发生而不发生可表示为（2）三个事件中至少有一个发生可表示为（3）三个事件中最多有两个发生可表示为2、，则3、设X与Y的联合分布律为YX 1 2 31 1/6 1/9 1/182 1/3 a b若x与y相互独立，则a= ,b=4、设随机变量服从参数为0.5的指数分布，则；5、若服从A上的均匀分布，A由X轴，Y轴及直线所围，则6、设随机变量则7、设每次射击中靶的概率是0.7，某人射击10次，最可能命中炮二、选择题（7小题，每小题2分，共14分）1、袋子中有3个白球，1个黑球，从中不放回的取球，则第3次取到黑球的概率为（）A、B、C、D、2、P（A）=0.5 , P(B)=0.6 , P(B/A)=0.8 则P（A∪B）的值是（）A、0.6B、0.7C、0.8D、0.93、若X则的密度函数为（）A、B、C、D、4、若X~B（n , p ）且Ex=8 ,Dx=4.8 , 则n= ( )A、10B、15C、20D、255、若x的数学期望Ex存在，则E[E(Ex)]= ( )A、ExB、xC、0D、6、下列函数是某随机变量的分布函数的是（）A、B、C、D、7、设二维随机变量的概率密度函数为，则常数C（）A、0.25B、0.5C、2D、4三、解答题（第1，5题12分，2，3，4，6，7每题8分）1、设随机变量的分布列为：已知，试求（1），，（2）（3） X的分布函数X -1 0 1P2、x 的分布函数为求x 的概率密度及P（x<2）,P(0<x≤3).3、的密度函数为求4、若,求的密度函数5、设随机变量X 的概率密度函数为，试求：（1）常数C （2）6、设等可能在区间上取值，求方程有实根的概率7、设联合概率密度函数为，求的分布函数及密度函数2020-2021大学《概率论》期末课程考试试卷A1答案适用专业： 考试日期：考试时间：120分钟 考试方式：闭卷 总分100分一、填空题. （每空2分，共22分）1 （1）C AB （2）（3）2 0.33、a= 2/9 ,b= 1/94、， 5 165、6、0.57、7二、选择题（5小题，每小题3分，共15分）1、 C2、 B3、 C4、 C5、A6、 D7、 A三、解答题 1 解： 1）++=1 -+ =0.1+=0.9 解得 (6)分2）， ……9分3） ………12分2 解：………………4分……………………………8分3 解：…4分…8分4 解：…………2分………4分对求导………8分5解 ⑴，得到（6分）（2）………(8分) ，所以（12分）-----------------------------------------------------装-------------------------------------------订-----------------------------------------线-----------------------------------------院系 专业班级 姓名 学号6.解：方程有实根等价于，得 (4)又服从上的均匀分布，故所求概率为7.解：………….6分所以……………..8分。
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《概率论》期末考试试题
1. 一本书共有1,000,000个印刷符号, 排版时每个符号被排错的概率
为0.0001, 校对时每个排版错误被改正的概率为0.9, 求在校对后错误不多于15个的概率.
2. 某赌庄有资产100,000元. 另有一赌徒拥有无穷大的赌资, 试图使
该赌庄破产. 他每次压注1000元, 每次赢钱的概率为0.49而输钱的概率为0.51. 问该赌徒能使赌庄破产的概率为多大?
3. 考虑[0,∞]上的Poisson过程, 参数为λ. T是与该Poisson过程
独立的随机变量,服从参数为μ的指数分布. 以表示[0,T]中Poisson过程的增量, 求的概率分布.
4. 设ξ1ξ2……ξn是独立同分布随机变量, 且三阶中心矩等于零,
四阶矩存在，求和的相关系数.
5. 设X是连续型随机变量,密度函数ｆX(x)= (1/2)exp(-|x|), -∞＜
x < ∞．
a. 证明特征函数φX(t) = 1/(1+t2).
b. 利用上述结果和逆转公式来证明
6. 设随机变量序列ξn依概率收敛于非零常数a, 而且ξn≠0. 证明1/
ξn依概率收敛于1/a.
7. 假设X与Y是连续型随机变量.记Var[Y|X=x]为给定X=x的条件下
Y的方差. 如果E[Y|X=x]=μ与X无关, 证明EY=μ而且VarY=.
8. 设{ξn}为独立随机变量序列, 且ξn服从( -n, n)上的均匀分布, 证
明对{ξ
}中心极限定理成立.
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9. 设X,Y和Z的数学期望均为0, 方差均为1. 设X与Y的相关系数为
ρ
, Y与Z的相关系数为ρ2, X与Z的相关系数为ρ3. 证明.
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10. 用概率方法证明如下Weierstrass定理:对区间[0,1]上任何连续函数
f(x), 必存在多项式序列{b n(x)}, 使在区间[0,1]上一致地有b n(x) →
f(x).
附: 常用正态分布函数值: Φ(1.28)= 0.9, Φ(2)= 0.977, Φ(2.33)= 0.99,Φ(2.58)= 0.995
Φ(1.64)= 0.95, Φ(1.96)= 0.975,。