苏教版2019版高考数学(理科)一轮复习优化探究练习第九章 第七节 双曲线 Word版含解析
高中数学一轮复习(含答案) 9.7 双曲线
第七节 双曲线一、基础知识1．双曲线的定义 平面内到两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ❶(2a ＜|F 1F 2|)的点P 的轨迹叫做双曲线❷.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．❶当|PF 1|－|PF 2|＝2a (2a ＜|F 1F 2|)时，点P 的轨迹为靠近F 2的双曲线的一支.当|PF 1|－|PF 2|＝－2a (2a ＜|F 1F 2|)时，点P 的轨迹为靠近F 1的双曲线的一支.❷若2a ＝2c ，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线；若2a ＞2c ，则轨迹不存在；若2a ＝0，则轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线.2.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．3．双曲线的几何性质二、常用结论(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a，也叫通径．(2)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．(3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(4)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .考点一 双曲线的标准方程[典例] (1)(2018·石家庄摸底)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( )A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x 223＝1 (2)(2018·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1 [解析] (1)法一：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎨⎧4a 2－9b 2＝1，ba ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1；当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的标准方程是y 2a 2－x2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎨⎧9a 2－4b 2＝1，ab ＝3，无解．故该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，选C. 法二：当其中的一条渐近线方程y ＝3x 中的x ＝2时，y ＝23＞3，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程是x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎨⎧4a 2－9b 2＝1，ba ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C. 法三：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即y 3＝±x ，所以可设双曲线的方程是x 2－y 23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C. (2)法一：如图，不妨设A 在B 的上方，则A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a . 又双曲线的一条渐近线为bx －ay ＝0，则d 1＋d 2＝bc －b 2＋bc ＋b 2a 2＋b 2＝2bcc ＝2b ＝6，所以b ＝3.又由e ＝c a ＝2，知a 2＋b 2＝4a 2，所以a ＝ 3. 所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1.法二：由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a 2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C. [答案] (1)C (2)C[题组训练]1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，若|PF 1|－|PF 2|＝4b ，且双曲线的焦距为25，则该双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 2＝1 B.x 23－y 22＝1 C ．x 2－y 24＝1 D.x 22－y 23＝1 解析：选A 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝4b ，c 2＝a 2＋b 2，2c ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，则该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，离心率为 5，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 216＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D ．x 2－y 26＝1 解析：选A 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的实轴长为4，所以a ＝2，由离心率为5，可得ca ＝5，c ＝25，所以b ＝c 2－a 2＝20－4＝4，则双曲线的标准方程为x 24－y 216＝1.3．经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为____________．解析：设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为所求双曲线经过点P (3,27)，Q (－62，7)，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝125.故所求双曲线方程为y 225－x 275＝1.答案：y 225－x 275＝1考点二 双曲线定义的应用考法(一) 利用双曲线的定义求双曲线方程[典例] 已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 22－y 214＝1(x ≥ 2) B.x 22－y 214＝1(x ≤－2) C.x 22＋y 214＝1(x ≥ 2) D.x 22＋y 214＝1(x ≤－2) [解析] 设动圆的半径为r ，由题意可得|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2，所以|MC 1|－|MC 2|＝22＝2a ，故由双曲线的定义可知动点M 在以C 1(－4,0)，C 2(4,0)为焦点，实轴长为2a ＝22的双曲线的右支上，即a ＝2，c ＝4⇒b 2＝16－2＝14，故动圆圆心M 的轨迹方程为x 22－y 214＝1(x ≥ 2)．[答案] A[解题技法] 利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．考法(二) 焦点三角形问题[典例] 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 由双曲线的方程得a ＝1，c ＝2，由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，即(22)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|＝22＋|PF 1|·|PF 2|，解得|PF 1|·|PF 2|＝4. [答案] B [解题技法] 在双曲线中，有关焦点三角形的问题常用双曲线定义和解三角形的知识来解决，尤其是涉及|PF 1|，|PF 2|的问题，一般会用到双曲线定义．涉及焦点三角形的面积问题，若顶角θ已知，则用S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin θ，|||PF 1|－|PF 2|＝2a 及余弦定理等知识；若顶角θ未知，则用S △PF 1F 2＝12·2c ·|y 0|来解决．[题组训练]1．已知点F 1(－3,0)和F 2(3,0)，动点P 到F 1，F 2的距离之差为4，则点P 的轨迹方程为( ) A.x 24－y 25＝1(y >0) B.x 24－y 25＝1(x >0) C.y 24－x 25＝1(y >0) D.y 24－x 25＝1(x >0) 解析：选B 由题设知点P 的轨迹方程是焦点在x 轴上的双曲线的右支，设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(x >0，a >0，b >0)，由题设知c ＝3，a ＝2，b 2＝9－4＝5，所以点P 的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x >0)．2．已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( )A ．48B ．24C ．12D ．6解析：选B 由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10，由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形，因此S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24.考点三 双曲线的几何性质考法(一) 求双曲线的离心率(或范围)[典例] (2018·长春二测)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤53，2B.⎝⎛⎦⎤1，53 C ．(1,2] D.⎣⎡⎭⎫53，＋∞[解析] 由双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4|PF 2|，所以|PF 2|＝2a3，由双曲线上的点到焦点的最短距离为c －a ，可得2a 3≥c －a ，解得c a ≤53， 即e ≤53，又双曲线的离心率e ＞1，故该双曲线离心率的取值范围为⎝⎛⎦⎤1，53，故选B. [答案] B [解题技法] 1．求双曲线的离心率或其范围的方法 (1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2直接求e . (2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．2．求离心率的口诀归纳： 离心率，不用愁，寻找等式消b 求；几何图形寻迹踪，等式藏在图形中． 考法(二) 求双曲线的渐近线方程[典例] (2019·武汉部分学校调研)已知双曲线C ：x 2m 2－y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的离心率与椭圆x 225＋y 216＝1的离心率互为倒数，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±3y ＝0或3x ±4y ＝0D ．4x ±5y ＝0或5x ±4y ＝0 [解析] 由题意知，椭圆中a ＝5，b ＝4，∴椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝35，∴双曲线的离心率为 1＋n 2m 2＝53，∴n m ＝43，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.故选A. [答案] A [解题技法] 求双曲线的渐近线方程的方法：求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ；或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±ab x .反之，已知渐近线方程为y ＝±b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(a ＞0，b ＞0，λ≠0)．[题组训练]1．(2019·潍坊统一考试)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到渐近线的距离为3，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为( )A ．1 B. 3 C ．2D ．2 3解析：选C 由题意知双曲线的焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为bca 2＋b2＝b ＝3，即c 2－a 2＝3，又e ＝ca＝2，所以a ＝1，该双曲线的实轴的长为2a ＝2.2．已知直线l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是直线l 上一点，F 1，F 2是双曲线C 的左、右焦点，若PF 1―→·PF 2―→＝0，则点P 到x 轴的距离为( )A.233B. 2 C ．2 D.263解析：选C 由题意知，双曲线的左、右焦点分别为F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设直线l 的方程为y ＝2x ，设P (x 0，2x 0)．由PF 1―→·PF 2―→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故点P 到x 轴的距离为|2x 0|＝2，故选C.3．(2019·成都一诊)如图，已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，长方形ABCD 的顶点A ，B 分别为双曲线E 的左、右焦点，且点C ，D 在双曲线E 上，若|AB |＝6，|BC |＝52，则双曲线E 的离心率为( )A. 2B.32C.52D. 5解析：选B 根据|AB |＝6可知c ＝3，又|BC |＝52，所以b 2a ＝52，b 2＝52a ，所以c 2＝a 2＋52a ＝9，解得a＝2(舍负)，所以e ＝c a ＝32.4．(2018·郴州二模)已知双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±34xB ．y ＝±43xC ．y ＝±223xD ．y ＝±324x解析：选B 由双曲线y 2m －x 29＝1(m ＞0)的焦点在y 轴上，且在直线x ＋y ＝5上，直线x ＋y ＝5与y轴的交点为(0,5)，有c ＝5，则m ＋9＝25，得m ＝16，所以双曲线的方程为y 216－x 29＝1，故双曲线的渐近线方程为y ＝±43x .故选B.[课时跟踪检测]1．(2019·襄阳联考)直线l ：4x －5y ＝20经过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点和虚轴的一个端点，则双曲线C 的离心率为( )A.53B.35C.54D.45解析：选A 由题意知直线l 与两坐标轴分别交于点(5,0)，(0，－4)，从而c ＝5，b ＝4，∴a ＝3，双曲线C 的离心率e ＝c a ＝53.2．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 29＝1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且|PF 1|＝6，则|PF 2|＝( ) A ．6B ．4C ．8D ．4或8解析：选D 由双曲线的标准方程可得a ＝1，则||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，即|6－|PF 2||＝2，解得|PF 2|＝4或8.3．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( ) A. 2B ．2 C.322D ．2 2解析：选D ∵e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝2，∴ba＝1. ∴双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0. ∴点(4,0)到C 的渐近线的距离d ＝42＝2 2. 4．若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等解析：选D 由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等．5．(2018·陕西部分学校摸底)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1，过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行直线，则该直线与另一条渐近线及x 轴所围成的三角形的面积为( )A.24B.22 C.28D.216解析：选C 设双曲线C 1的左顶点为A ，则A ⎝⎛⎭⎫－22，0，双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，不妨设题中过点A 的直线与渐近线y ＝2x 平行，则该直线的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.联立⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝－24，y ＝12.所以该直线与另一条渐近线及x 轴所围成的三角形的面积S ＝12·|OA |·12＝12×22×12＝28，故选C. 6．(2019·辽宁五校协作体模考)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为5，从双曲线C 的右焦点F 引渐近线的垂线，垂足为A ，若△AFO 的面积为1，则双曲线C 的方程为( )A.x 22－y 28＝1 B.x 24－y 2＝1 C.x 24－y 216＝1 D ．x 2－y 24＝1 解析：选D 因为双曲线C 的右焦点F 到渐近线的距离|F A |＝b ，|OA |＝a ，所以ab ＝2，又双曲线C 的离心率为5，所以 1＋b 2a 2＝5，即b 2＝4a 2，解得a 2＝1，b 2＝4，所以双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1，故选D.7．(2018·北京高考)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a >0)的离心率为52，则a ＝________.解析：由e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2，得a 2＋4a 2＝54，∴a 2＝16.∵a >0，∴a ＝4. 答案：4 8．过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝________. 解析：双曲线的右焦点为F (2,0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入x 2－y 23＝0，得y 2＝12，y ＝±23，故|AB |＝4 3. 答案：4 39．(2018·海淀期末)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，由已知可得两条渐近线互相垂直，由双曲线的对称性可得ba＝1.又正方形OABC 的边长为2，所以c ＝22，所以a 2＋b 2＝c 2＝(22)2，解得a ＝2.答案：210．(2018·南昌摸底调研)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 作圆(x －a )2＋y 2＝c 216的切线，若该切线恰好与C 的一条渐近线垂直，则双曲线C 的离心率为________．解析：不妨取与切线垂直的渐近线方程为y ＝b a x ，由题意可知该切线方程为y ＝－ab (x －c )，即ax ＋by －ac ＝0.圆(x －a )2＋y 2＝c 216的圆心为(a,0)，半径为c4，则圆心到切线的距离d ＝|a 2－ac |a 2＋b 2＝ac －a 2c ＝c 4，又e ＝ca，则e 2－4e ＋4＝0，解得e ＝2，所以双曲线C 的离心率e ＝2. 答案：2 11．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点 M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)求证：MF 1―→·MF 2―→＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．解：(1)∵e ＝2，∴双曲线的实轴、虚轴相等．则可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 26－y 26＝1.(2)证明：不妨设F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则MF 1―→＝(－23－3，－m )，MF 2―→＝(23－3，－m )．∴MF 1―→·MF 2―→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2，∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，∴MF 1―→·MF 2―→＝0. (3)△F 1MF 2的底边长|F 1F 2|＝4 3.由(2)知m ＝±3. ∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝12×43×3＝6.12．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求椭圆和双曲线的方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解：(1)由题知c ＝13，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7·13a＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3.则b ＝6，n ＝2.故椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线为x 29－y 24＝1. (2)不妨设F 1，F 2分别为椭圆与双曲线的左、右焦点，P 是第一象限的交点， 则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4. 又|F 1F 2|＝213， 所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝102＋42－(213)22×10×4＝45.。
2019版高考数学一轮总复习第九章解析几何题组训练65双曲线一理
题组训练 65 双曲线（一）
x2
y2
1．双曲线 36－ m2－ m2＝ 1(0<m<3) 的焦距为 (
)
A． 6
B． 12
C． 36
D． 2 36－ 2m2
答案 B
解析 c2＝ 36－ m2＋ m2＝ 36，∴ c＝ 6. 双曲线的焦距为 12.
答案 2 2＋ 1 解析 设右焦点为 F2，∵ |PF 1| －|PF 2| ＝ 2 2，
∴|PF 1| ＝ |PF 2| ＋ 2 2，∴ |PF 1| ＋|PQ| ＝ |PF 2| ＋ 2 2＋ |PQ|. 当且仅当 Q， P， F2 三点共线， 且 P 在 F2， Q之间时， |PF 2| ＋ |PQ| 最小，且最小值为 F2 到 l 的距离．
B.
5．(2017 ·河北邢台摸底 ) 双曲线 x 2－ 4y2＝－ 1 的渐近线方程为 (
)
A． x± 2y＝0
B． y±2x＝ 0
C． x± 4y＝0
D． y±4x＝ 0
答案 解析
A 依题意，题中的双曲线即
y2 1－
x
2＝
1
，因此其渐近线方程是
4
y2 1－
x
2＝
0，即
x±2y＝ 0，
4
选 A. 6．(2018 ·湖北孝感一中月考
)
A． 2
6 B. 2
5 C.
2
D． 1
答案 D
解析
因为双曲线的方程为
x2 y2 a2－ 3 ＝1，所以
e
2＝
1
＋
3 a2＝
近年高考数学一轮复习第9章解析几何第7课时双曲线(一)练习理(2021年整理)
2019高考数学一轮复习第9章解析几何第7课时双曲线（一）练习理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019高考数学一轮复习第9章解析几何第7课时双曲线（一）练习理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019高考数学一轮复习第9章解析几何第7课时双曲线（一）练习理的全部内容。
第7课时双曲线（一)1．双曲线错误!－错误!＝1(0〈m〈3)的焦距为（)A．6 B．12C．36 D．2错误!答案B解析c2＝36－m2＋m2＝36,∴c＝6.双曲线的焦距为12.2．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点是（0，3),则k的值是( ）A．1 B．－1C.错误!D．－错误!答案B解析kx2－错误!＝1，焦点在y轴上，c＝3，解得k＝－1.3．已知双曲线错误!－错误!＝1(a>0）的离心率为2，则a＝（）A．2 B。
错误!C。
错误!D．1答案D解析因为双曲线的方程为错误!－错误!＝1，所以e2＝1＋错误!＝4,因此a2＝1,a＝1。
选D。
4．(2017·北京西城期末）mn<0是方程x2m＋错误!＝1表示实轴在x轴上的双曲线的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当mn<0时，分m<0,n〉0和m〉0，n<0两种情况．①当m〈0，n〉0时，方程错误!＋错误!＝1表示焦点在y轴上的双曲线；②当m>0，n〈0时，方程错误!＋错误!＝1表示焦点在x轴上的双曲线．因此，当mn<0时，方程错误!＋错误!＝1不一定表示实轴在x轴上的双曲线．方程错误!＋错误!＝1表示实轴在x轴上的双曲线时，m〉0，n<0，必定有mn〈0。
高考数学一轮复习 第9章 解析几何9.6双曲线练习(含解析)苏教版
高考数学一轮复习 第9章 解析几何9．6双曲线练习（含解析）苏教版一、填空题1．(2012江苏南通高三调研)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线y 2－x 2＝1的离心率为______．2．(2012江苏南通高三期末考试)设F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点，双曲线的两条渐近线分别为l 1，l 2，过F 作直线l 1的垂线，分别交l 1，l 2于A ，B 两点．若OA ，AB ，OB 成等差数列，且向量BF →与FA →同向，则双曲线的离心率e 的大小为__________．3．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM (切点为M )，交y 轴于点P .若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率等于__________．4．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→||MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是__________．5．过双曲线M ：x 2－y 2b2＝1的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 与C ，且AB ＝BC ，则双曲线M 的离心率是__________．6．(2012江苏高考名校名师押题卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则b 2＋13a的最小值为______．7．在直角坐标系中，过双曲线x 2－y 29＝1的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝1的一条切线(切点为T )交双曲线右支于P ，若M 为线段FP 的中点，则OM －MT ＝__________.8．已知点P 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，点I 为△PF 1F 2的内心，若1212IPF IPF IF F S S S ＝＋成立，则λ的值为__________．9．A ，B 是双曲线C 的两个顶点，直线l 与双曲线C 交于不同的两点P ，Q ，且与实轴所在直线垂直．若 PB →·AQ →＝0，则双曲线C 的离心率e ＝__________.二、解答题 10．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．11.(2013届江苏南京月考)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2x 2－y 2＝1. (1)设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点．若MF ＝22，求点M 的坐标；(2)过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积．12．已知点M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足条件 PM －PN ＝22，记动点P 的轨迹为W . (1)求W 的方程；(2)若A 和B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA →·OB →的最小值．参考答案一、填空题1. 2 解析：因为a ＝1，b ＝1，所以c ＝2.从而e ＝ 2.2.523. 2 解析：如图所示，在R t △OPF 中，OM ⊥PF 且M 为PF 的中点，所以△OMF 也是等腰直角三角形． 所以有OF ＝2OM ，即c ＝2a . 所以e ＝c a＝ 2.4.x 29－y 2＝1 解析：由MF 1→·MF 2→＝0，可知MF 1→⊥MF 2→.可设|MF 1→|＝t 1，|MF 2→|＝t 2，则t 1t 2＝2.在△MF 1F 2中，t 21＋t 22＝40，∴|t 1－t 2|＝t 21＋t 22－2t 1t 2＝40－4＝6＝2a . ∴a ＝3.∴所求双曲线方程为x 29－y 2＝1.5.10 解析：因为A (－1,0)，所以l 方程为y ＝x ＋1.与两条渐近线方程y ＝±bx 联立，解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ＋1，b b ＋1，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1，b b －1. 又因为AB ＝BC ，所以B 是线段AC 的中点，所以2b b ＋1＝b b －1，解得b ＝3.所以c 2＝a 2＋b 2＝12＋32＝10，e ＝ca＝10.6.233 解析：由于已知双曲线的离心率是2，即2＝c a＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2，解得b a ＝ 3.所以b 2＋13a 的最小值是233，当a ＝33时，取等号． 7．2 解析：设双曲线右焦点为F ′，连结PF ′，则OM 是△PFF ′的中位线，所以OM＝12PF ′＝12(PF －2)．又OT ⊥PF ，OF ＝10，OT ＝1，所以FT ＝3，从而OM ＝12(2FM －2)＝FM －1＝3＋MT －1＝2＋MT ，所以OM －MT ＝2.8.a a 2＋b 2 解析：设△PF 1F 2内切圆半径为r ，根据已知可得12×PF 1×r ＝12×PF 2×r ＋λ2×2c ×r ，整理可得PF 1＝PF 2＋2λc ，由双曲线的定义可得PF 1－PF 2＝2a ，故2λc ＝2a ⇒λ＝ac＝a a 2＋b 2.9. 2 解析：如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，取其上一点P (m ，n )，则Q (m ，－n )，由PB →·AQ →＝0可得(a －m ，－n )·(m ＋a ，－n )＝0，化简得m 2a 2－n 2a 2＝1，又m 2a 2－n 2b2＝1可得b ＝a ，即此双曲线的离心率为e ＝ 2.二、解答题10．解：(1)因为e ＝2，所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. 因为双曲线过点(4，－10)， 所以16－10＝λ，即λ＝6.所以双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， 所以c ＝2 3.所以F 1(－23，0)，F 2(23，0)． 所以1MF k ＝m 3＋23，2MF k ＝m3－23，1MF k ·2MF k ＝m 29－12＝－m 23. 因为点(3，m )在双曲线上，所以9－m 2＝6，即m 2＝3.故1MF k 1·2MF k ＝－1，所以MF 1⊥MF 2. 所以MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底边F 1F 2＝43，△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，所以S △F 1MF 2＝6.11．解：(1)双曲线C ：x 212－y 2＝1，左焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0，设M (x ，y )，则MF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋622＋y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋222. 由点M 是双曲线右支上一点，得x ≥22，所以MF ＝3x ＋22＝22，得x ＝62. 所以M ⎝⎛⎭⎪⎫62，±2. (2)左顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，渐近线方程为y ＝±2x .过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1，得⎝ ⎛x ＝－24，y ＝12.所以所求平行四边形的面积为S ＝OA ·|y |＝24.12．解：(1)由PM －PN ＝22＜MN 知动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a ＝ 2.又半焦距c ＝2，故虚半轴长 b ＝c 2－a 2＝ 2. 所以W 的方程为x 22－y 22＝1(x ≥2)．(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2，y 1＝－y 2，从而OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 21－y 21＝2.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与W 的方程联立，消去y 得(1－k 2)x 2－2kmx －m 2－2＝0，故x 1＋x 2＝2km 1－k 2，x 1x 2＝m 2＋2k 2－1， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝1＋k 2m 2＋2k 2－1＋2k 2m 21－k 2＋m 2＝2k 2＋2k 2－1＝2＋4k 2－1. 又因为x 1x 2＞0，所以k 2－1＞0.从而OA →·OB →＞2.综上所述，当AB ⊥x 轴时，OA →·OB →取得最小值2.。
高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.7双曲线习题理
§9.7 双 曲 线1．双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的________等于常数2a (2a ______|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．※(2)另一种定义方式(见人教A 版教材选修2－1 P59例5)：平面内动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数e (e >1)的轨迹叫做双曲线．定点F 叫做双曲线的一个焦点，定直线l 叫做双曲线的一条准线，常数e 叫做双曲线的________．(3)实轴和虚轴相等的双曲线叫做________．“离心率e ＝2”是“双曲线为等轴双曲线”的______条件，且等轴双曲线两条渐近线互相______．一般可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．焦点在x 轴上 焦点在y 轴上(1)图形(2)标准 方程y 2a 2－x2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0)(3)范围 x ≥a 或x ≤－ay ≥a 或y ≤－a(4)中心 原点O (0，0)(5)顶点 A 1(－a ，0)， A 2(a ，0)(6)对称轴 x 轴，y 轴(7)焦点F 1(0，－c )，F 2(0，c )(8)焦距 2c ＝2a 2＋b 2(9)离心率※(10)准线 x ＝±a 2cy ＝±a 2c(11)渐近线 方程y ＝±a bx自查自纠1．(1)绝对值 ＜ 焦点 焦距 (2)离心率 (3)等轴双曲线 充要 垂直2．(2)x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)(5)A 1(0，－a )，A 2(0，a )(7)F 1(－c ，0)，F 2(c ，0) (9)e ＝c a(e ＞1) (11)y ＝±b ax(2015·安徽)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C.y 24－x 2＝1D ．y 2－x 24＝1解：A ，B 选项中双曲线的焦点在x 轴上，C ，D 选项中双曲线的焦点在y 轴上，又令y 24－x 2＝0，得y ＝±2x ，令y 2－x 24＝0，得y ＝±12x .故选C .(2015·广东)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1D.x 23－y 24＝1 解：c ＝5，e ＝c a ＝5a ＝54，得a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝52－42＝9，双曲线方程为x 216－y 29＝1.故选C .(2013·湖北)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1的( ) A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等D ．离心率相等解：易知双曲线C 1实轴长为2cos θ，虚轴长为2sin θ，焦距为2，离心率为1cos θ；双曲线C 2实轴长为2sin θ，虚轴长为2sin θtan θ，焦距为2tan θ，离心率为1cos θ，又0<θ<π4，所以sin θ≠cos θ，tan θ≠1，综上知两双曲线只有离心率相等．故选D .已知曲线方程x 2λ＋2－y 2λ＋1＝1，若方程表示双曲线，则λ的取值范围是________________．解：∵方程x 2λ＋2－y 2λ＋1＝1表示双曲线，∴(λ＋2)(λ＋1)＞0，解得λ＜－2或λ＞－1.故填(－∞，－2)∪(－1，＋∞)．(2015·福建)若双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于____________．解：由题意知点P 在双曲线E 的左支上，根据双曲线的定义，|PF 2|－|PF 1|＝|PF 2|－3＝6，得|PF 2|＝9.故填9.类型一 双曲线的定义及标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)经过点(－5，2)，焦点为(6，0)；(2)对称轴为坐标轴，经过点P (3，27)，Q (－62，7)； (3)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．解：(1)∵焦点坐标为(6，0)，焦点在x 轴上，∴可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵双曲线过点(－5，2)，∴25a 2－4b 2＝1，得a 2＝25b2b 2＋4.联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝25b 2b 2＋4，a 2＋b 2＝c 2＝6，解得a 2＝5，b 2＝1，故所求双曲线方程为x 25－y 2＝1.(2)依题意知，所求双曲线方程为标准方程，但不知焦点在哪个轴上，故可设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)，∵所求双曲线经过P (3，27)，Q (－62，7)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋28B ＝1，72A ＋49B ＝1，解得A ＝－175，B ＝125.故所求双曲线方程为y 225－x 275＝1.(3)解法一：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，易求c ＝25，∵双曲线过点(32，2)，∴（32）2a 2－4b 2＝1，得a 2＝18b 2b 2＋4.联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝18b 2b 2＋4，a 2＋b 2＝c 2＝20，解得a 2＝12，b 2＝8.故所求双曲线的方程为x 212－y 28＝1.解法二：设双曲线方程为x 216－k －y 24＋k＝1，将点(32，2)代入得k ＝4，所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.【点拨】(1)求双曲线的标准方程一般用待定系数法；(2)当双曲线焦点的位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，常设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(A ·B ＜0)，这样可以简化运算．(1)(2014·北京)设双曲线C 的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1，0)，则C 的方程为________．解：根据已知条件可判断双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，c ＝2，a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝1，∴C 的方程为x 2－y 2＝1.故填x 2－y 2＝1.(2)(2015·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1D.x 24－y 23＝1 解：由题意可得b a ＝32，c ＝7，又c 2＝7＝a 2＋b 2，解得a 2＝4，b 2＝3，故双曲线的方程为x 24－y 23＝1.故选D .类型二 双曲线的离心率(1)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(b ＞a ＞0)的半焦距为c ，直线l 经过(a ，0)，(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，则双曲线的离心率为________． 解：直线l 的方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到直线l 的距离d ＝ab a 2＋b2＝34c ，得3c 4＝16a 2b 2＝16a 2(c 2－a 2)，即3c 4－16c 2a 2＋16a 4＝0，有3e 4－16e 2＋16＝0，解之得e 2＝4或e 2＝43.∵b ＞a ＞0，∴b 2＞a 2，即c 2－a 2＞a 2，e 2＞2. ∴e 2＝4，e ＝2.故填2.(2)(2015·湖北七市联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，若双曲线上存在一点P 使sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝ac，则该双曲线的离心率的取值范围是____________．解：在△PF 1F 2中，由正弦定理知|PF 2|sin ∠PF 1F 2＝|PF 1|sin ∠PF 2F 1，又sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝ac ，∴|PF 2||PF 1|＝a c， ∴点P 在双曲线右支上． 设P (x 0，y 0)， ∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a2c －a.由双曲线的几何性质知|PF 2|＞c －a ，则2a 2c －a＞c －a ，即e 2－2e －1＜0，又e >1， ∴1＜e ＜1＋ 2.故填(1，1＋2)．【点拨】(1)要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于a ，c 的齐次式，进而求解．(2)要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征||PF 1＋||PF 2≥2c 的运用(变式2(2))．(1)(2014·重庆)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D ．3解：考虑双曲线的对称性，不妨设P 在右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，而|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，两式左右两边平方后相减，得|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a 24，又由已知|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，∴94ab ＝9b 2－4a 24，得b a ＝43(舍去负值)．∴该双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝53.故选B .(2)设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右两焦点，P 为双曲线上一点，若|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率e 的取值范围是________．解：∵|PF 1|＝2|PF 2|，∴P 点在双曲线的右支上． 又由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .∵|PF 1|＋|PF 2|≥2c ，∴6a ≥2c ，即c a≤3. ∵e ＞1，∴1＜e ≤3.故填(1，3]．类型三 双曲线的渐近线(1)(2013·全国课标Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1()a >0，b >0的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB. y ＝±13xC. y ＝±12xD. y ＝±x解：根据双曲线的性质可知e ＝c a ＝52，c 2＝a 2＋b 2，联立可得b 2＝a 24，即b a ＝12，故C的渐近线方程为y ＝±12x .故选C .(2)(2015·北京)已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝____________．解：∵双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的渐近线方程是y ＝±1a x ，∴1a ＝3，解得a ＝33.故填33.【点拨】本例考查双曲线中a ，b ，c 的关系，以及双曲线的渐近线等知识．渐近线方程可以看作是把双曲线方程中的“1”用“0”替换而得到的两条直线方程．(2015·重庆)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－2，0)∪(0，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解：由题意知BC 为双曲线的通径，∴|BC |＝2b 2a ，|BF |＝b2a.又|AF |＝c －a ，BD ⊥AC ，AB ⊥CD ，AD ⊥BC 且AD 平分BC ，∴点D 在x 轴上，由Rt △BFA ∽Rt △DFB ，得|BF |2＝|AF |·|FD |，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＝(c －a )|FD |，∴|FD |＝b 4a 2（c －a ），则由题意知b 4a 2（c －a ）<a ＋a 2＋b 2，即b 4a 2（c －a ）<a ＋c ，∴b 4<a 2(c －a )(a ＋c )，即b 4<a 2(c 2－a 2)，即b 4<a 2b 2，∴0<b 2a 2<1.解得0<b a<1，而双曲线的渐近线斜率为±ba，∴双曲线的渐近线斜率的取值范围是(－1，0)∪(0，1)．故选A .1．对双曲线的学习可类比椭圆进行，应着重注意两者的异同点．2．在双曲线的定义中，当||MF 1＞||MF 2时，动点M 的轨迹是双曲线的一支，当||MF 1＜||MF 2时，轨迹为双曲线的另一支，而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中强调“差的绝对值”．3．定义中|F 1F 2|＞2a 这个条件不可忽视，若|F 1F 2|＝2a ，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若|F 1F 2|＜2a ，则轨迹不存在．4．在椭圆的两种标准方程中，焦点对应“大分母”，即标准方程中，x 2，y 2谁的分母较大，则焦点就在哪个轴上；而在双曲线的两种标准方程中，焦点的位置对应“正系数”，即标准方程中，x 2，y 2谁的系数为正(右边的常数总为正)，则焦点就在哪个轴上．5．在椭圆中，a ，b ，c 满足a 2＝b 2＋c 2，即a 最大；在双曲线中，a ，b ，c 满足c 2＝a 2＋b 2，即c 最大．6．在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容．对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数．7．已知双曲线的标准方程，只要令双曲线的标准方程中右边的“1”为“0”就可得到渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线方程．8．求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似．因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax 2＋By 2＝1的形式，当A ＞0，B ＞0，A ≠B 时为椭圆，当A ·B ＜0时为双曲线．9．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．10．双曲线的几个常用结论：(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的双曲线系方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．(2)双曲线上的点P (x 0，y 0)与左(下)焦点F 1或右(上)焦点F 2之间的线段叫做双曲线的焦半径，分别记作r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，则①x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若点P 在右支上，则r 1＝ex 0＋a ，r 2＝ex 0－a ；若点P 在左支上，则r 1＝－ex 0－a ，r 2＝－ex 0＋a .②y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若点P 在上支上，则r 1＝ey 0＋a ，r 2＝ey 0－a ；若点P 在下支上，则r 1＝－ey 0－a ，r 2＝－ey 0＋a .1．双曲线x 24－y 2＝1的离心率是( )A. 5B.32C.52D. 3解：在双曲线x 24－y 2＝1中，a 2＝4，b 2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝5，双曲线的离心率是e ＝ca ＝52.故选C . 2．(2013·广东)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3，0)，离心率等于32，则C的方程是( )A.x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1D.x 22－y 25＝1 解：由题意知c ＝3，e ＝c a ＝3a ＝32，∴a ＝2.∴b 2＝c 2－a 2＝32－22＝5.∴C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B .3．(2014·广东)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等解：由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，且25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线焦距相等．故选D .4．(2015·全国Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233解：由题知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∵M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，∴x 202－y 20＝1，则MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3＝3y 20－1<0，解得－33<y 0<33.故选A . 5．(2015·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为F (2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( )A.x 29－y 213＝1B.x 213－y 29＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1 解：∵双曲线右焦点F (2，0)与圆心重合，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，∴右焦点到渐近线y ＝±b ax 的距离b ＝3，又a 2＋b 2＝c 2，∴a ＝1，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.故选D .6．(2015·湖北)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )A ．对任意的a ，b ，e 1>e 2B ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2C ．对任意的a ，b ，e 1<e 2D ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2解：由题意，双曲线C 1：c 21＝a 2＋b 2，e 1＝c 1a ＝a 2＋b 2a，双曲线C 2：c 22＝(a ＋m )2＋(b ＋m )2，e 2＝（a ＋m ）2＋（b ＋m ）2a ＋m.∴e 21－e 22＝（b －a ）（2abm ＋bm 2＋am 2）a 2（a ＋m ）2，∴当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2.故选D .7．(2014·北京)设双曲线C 经过点(2，2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为__________；渐近线方程为__________．解：设与双曲线y 24－x 2＝1有相同渐近线的双曲线方程为y 24－x 2＝k ，将点(2，2)代入，得k ＝－3.∴双曲线C 的方程为x 23－y 212＝1，其渐近线方程为2x ±y ＝0.故填x 23－y 212＝1；2x±y ＝0.8．(2015·全国Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0，66) ，当△APF 周长最小时，该三角形的面积为____________．解：依题意，双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点为F (3，0)，实半轴长a ＝1，左焦点为M (－3，0)，∵P 在C 的左支上，∴△APF 的周长l ＝|AP |＋|PF |＋|AF |≥|PF |＋|AF |＋|AM |－|PM |＝|AF |＋|AM |＋2a ＝15＋15＋2＝32，当且仅当A ，P ，M 三点共线且P 在A ，M 中间时取等号，此时直线AM 的方程为x －3＋y66＝1，与双曲线的方程联立得P 的坐标为(－2，26)，此时，△APF 的面积为12×6×66－12×6×26＝12 6.故填126.9．已知双曲线的两焦点坐标分别为F 1(0，－2)，F 2(0，2)，以及双曲线上一点P 的坐标为(3，－2)，求双曲线的方程、顶点坐标、渐近线方程以及离心率．解：由题意知双曲线的焦点在y 轴上，可设为y 2a 2－x 2b2＝1，2a ＝|PF 2|－|PF 1|＝（3－0）2＋（－2－2）2－3＝2，即a ＝1，b ＝c 2－a 2＝22－12＝3，∴双曲线的方程为y 2－x 23＝1，顶点坐标为(0，±1)，渐近线方程为y ＝±33x ，离心率e ＝ca＝2. 10．已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)相交于B ，D 两点，且BD 的中点为M (1，3)，求C 的离心率．解：易求得直线l 的方程为y ＝x ＋2， 代入C 的方程，并化简，得 (b 2－a 2)x 2－4a 2x －4a 2－a 2b 2＝0.设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4a2b 2－a 2，由M (1，3)为BD 的中点知x 1＋x 22＝1，∴12×4a 2b 2－a2＝1，有b 2＝3a 2.∴c ＝a 2＋b 2＝2a . ∴C 的离心率e ＝c a＝2.11．(2015·湛江模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c ，0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过点A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解：(1)∵双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，∴a ＝b ， ∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，得a 2＝b 2＝2. ∴双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，则直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1， ∴x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ，∴x 0＝32c ，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32c ，12c ， 代入双曲线方程得34c 2a 2－14c 2b2＝1， 即3b 2c 2－a 2c 2＝4a 2b 2.②又∵a 2＋b 2＝c 2，∴将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得 3c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0，∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0，得(3e 2－2)(e 2－2)＝0， ∵e ＞1，∴e ＝2，即双曲线的离心率为 2.直线l ：y ＝3(x －2)和双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，且|AB |＝3，又l 关于直线l 1：y ＝bax 对称的直线l 2与x 轴平行．(1)求双曲线C 的离心率e ； (2)求双曲线C 的方程．解：(1)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过第一、三象限的渐近线l 1：x a －yb＝0的倾斜角为α.∵l 和l 2关于l 1对称，记它们的交点为P ，l 与x 轴的交点为M .高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.7双曲线习题理11 / 11 而l 2与x 轴平行，记l 2与y 轴的交点为Q .依题意有∠QPO ＝∠POM ＝∠OPM ＝α.又l ：y ＝3(x －2)的倾斜角为60°，则2α＝60°，α＝30°，∴tan30°＝b a ＝33. 于是e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋13＝43，∴e ＝233. (2)由于b a ＝33，于是可设双曲线方程为x 23k 2－y 2k2＝1(k ≠0)，即x 2－3y 2＝3k 2. 将y ＝3(x －2)代入x 2－3y 2＝3k 2中，得8x 2－36x ＋36＋3k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝92，x 1x 2＝36＋3k 28， ∴|AB |＝1＋3|x 1－x 2|＝2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2×362－4×8×（36＋3k 2）8＝9－6k 2＝3，解得k 2＝1.故所求双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.。
2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第九章 第七节 双曲线 Word版含解析
一、填空题1．已知点M (－2,0)、N (2,0)，动点P 满足条件|PM |－|PN |＝22，则动点P 的轨迹方程为________．解析：因为|MN |＝4,22<4，所以动点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为22的双曲线靠近点N 的一支，即x 2－y 2＝2，x ≥2.答案：x 2－y 2＝2(x ≥2)2．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为________．解析：双曲线x 24－y 212＝1的渐近线为y ＝±3x ，c ＝4＋12＝4，其焦点坐标为(±4,0)，由点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为431＋(±3)2＝2 3.答案：2 3 3．与双曲线x 29－y 216＝1有公共渐近线且经过点A (－3,23)的双曲线的方程是________．解析：由条件可设所求双曲线方程为x 29－y 216＝k (k >0)，将点A (－3,23)代入得k ＝(－3)29－(23)216＝14，所以所求双曲线方程为4x 29－y 24＝1.答案：4x 29－y 24＝14．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－5,0)和C (5,0)，顶点B 在双曲线x 216－y 29＝1上，则sin B |sin A －sin C |为________． 解析：由题意得a ＝4，b ＝3，c ＝5.A 、C 为双曲线的焦点，∴||BC |－|BA ||＝8，|AC |＝10.由正弦定理得sin B |sin A －sin C |＝|AC |||BC |－|BA ||＝108＝54.答案：545．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝________.解析：如图，设|PF1|＝m ，|PF 2|＝n .则⎩⎪⎨⎪⎧ |m －n |＝2，(22)2＝m 2＋n 2－2mn cos ∠F 1PF 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2mn ＋n 2＝4，m 2－mn ＋n 2＝8.∴mn ＝4. 即|PF 1|·|PF 2|＝4.答案：46．已知点F 1，F 2分别是双曲线的两个焦点，P 为该曲线上一点，若△PF 1F 2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为________．解析：不妨设P 点在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a .∵△PF 1F 2是等腰直角三角形，∴只能是∠PF 2F 1＝90°，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 1|＝2a ＋|PF 2|＝2a ＋2c ，∴(2a ＋2c )2＝2·(2c )2，即c 2－2ac －a 2＝0，两边同除以a 2，得e 2－2e －1＝0.∵e >1，∴e ＝2＋1. 答案：2＋17．若双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a 等于________．解析：由离心率公式，得a 2＋3a 2＝22(a >0)，解得a ＝1.答案：18．A 、F 分别是双曲线9x 2－3y 2＝1的左顶点和右焦点，P 是双曲线右支上任一点，若∠PF A ＝λ·∠P AF ，则λ＝________.解析：特殊值法，取点P 为(23，1)，得∠PF A ＝2∠P AF ，故λ＝2.答案：29．若双曲线x 24－y 2b 2＝1 (b ＞0) 的渐近线方程为y ＝±12x ，则b 等于________．解析：双曲线x 24－y 2b 2＝1的渐近线方程为x 24－y 2b 2＝0，即y ＝±b 2x (b >0)，∴b ＝1.答案：1二、解答题10.如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F1，F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．解析：设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x 0，y 0)．在△PF 1F 2中，由余弦定理，得：|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos π3＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，即4c 2＝4a 2＋|PF 1|·|PF 2|.又∵S △PF 1F 2＝23，∴12|PF 1|·|PF 2|·sin π3＝2 3.∴|PF 1|·|PF 2|＝8.∴4c 2＝4a 2＋8，即b 2＝2.又∵e ＝c a ＝2，∴a 2＝23.∴双曲线的方程为：3x 22－y 22＝1.11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝233，直线l 过A (a,0)，B (0，－b )两点，原点O 到直线l 的距离是32.(1)求双曲线的方程；(2)过点B 作直线m 交双曲线于M 、N 两点，若OM →·ON →＝－23，求直线m 的方程．解析：(1)依题意，l 的方程为x a ＋y －b＝1， 即bx －ay －ab ＝0，由原点O 到l 的距离为32， 得ab a 2＋b 2＝ab c ＝32， 又e ＝c a ＝233，∴b ＝1，a ＝ 3.故所求双曲线方程为x 23－y 2＝1.(2)显然直线m 不与x 轴垂直，设m 方程为y ＝kx －1，则点M 、N 坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是方程组⎩⎨⎧ y ＝kx －1x 23－y 2＝1的解，消去y ，得(1－3k 2)x 2＋6kx －6＝0.①依题意，1－3k 2≠0，由根与系数关系，知x 1＋x 2＝6k 3k 2－1，x 1x 2＝63k 2－1.OM →·ON →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－1)(kx 2－1)＝(1＋k 2)x 1x 2－k (x 1＋x 2)＋1＝6(1＋k 2)3k 2－1－6k 23k 2－1＋1＝63k 2－1＋1.又∵OM →·ON →＝－23，∴63k 2－1＋1＝－23，k ＝±12，经检验知，当k ＝±12时，方程①有两个不相等的实数根，∴方程为y ＝12x －1或y ＝－12x －1.12．A ，B ，C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 正东6 km ，C 在B的北偏西30°，相距4 km ，P 为敌炮阵地，某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于B ，C 两地比A 距P 地远，因此4 s后，B ，C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s ，A 若炮击P 地，求炮击的方位角．解析：如图所示，以直线BA为x轴、线段BA的中垂线为y轴建立直角坐标系，则B(－3,0)，A(3,0)，C(－5,23)．∵|PB|＝|PC|.∴点P在线段BC的垂直平分线上．∵k BC＝－3，BC中点为D(－4，3)，∴直线PD的方程为y－3＝13(x＋4)．①又|PB|－|P A|＝4，故P在以A、B为焦点的双曲线的右支上．设P(x，y)，则双曲线方程为x24－y25＝1(x≥0)．②由①、②解得x＝8，y＝53，所以P(8,53)．因此k P A＝538－3＝ 3.故炮击的方位角为北偏东30°.。
2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第九章 第九节 曲线与方程 Word版含解析
一、填空题1．长度为定值a 的线段，两端点分别在x 轴，y 轴上移动，则线段中点P 的轨迹方程是________．解析：设线段在x 轴、y 轴上的端点分别为A (x A,0)，B (0，y B )，线段AB 的中点P 的坐标为(x ，y )，由中点坐标公式，得x ＝x A ＋02，y ＝0＋y B 2，则x A ＝2x ，y B ＝2y ，又|AB |＝a ， 所以(x A －0)2＋(0－y B )2＝(2x )2＋(2y )2＝a ，即x 2＋y 2＝(a 2)2，即线段中点P 的轨迹方程是x 2＋y 2＝(a 2)2.答案：x 2＋y 2＝(a 2)22．已知点F (14，0)，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是________．解析：由已知：|MF |＝|MB |.由抛物线定义知，点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线．答案：抛物线3．已知直线l ：y ＝kx ＋1与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于A 、B 两点，则弦AB 的中点M 的轨迹方程为________．解析：直线l 与y 轴的交点为N (0,1)，圆心C (2,3)，设M (x ，y )，∵MN 与MC 所在直线垂直，∴y －1x ·y －3x －2＝－1(x ≠0且x ≠2)， 当x ＝0时不符合题意，当x ＝2时，y ＝3符合题意，∴AB 中点的轨迹方程为：x 2＋y 2－2x －4y ＋3＝0(7－74<x <7＋74)．答案：x 2＋y 2－2x －4y ＋3＝0(7－74<x <7＋74) 4．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为________． 解析：M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的椭圆．∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y 221＝1.答案：4x 225＋4y 221＝15．已知定点F 1、F 2和动点P 满足|PF 1→－PF 2→|＝2，|PF 1→＋PF 2→|＝4，则点P 的轨迹为________．解析：以F 1F 2所在直线为x 轴，以F 1F 2的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系如图．∵|PF 1→－PF 2→|＝|F 2F 1→|＝2，∴F 1(－1,0)，F 2(1,0)．设P (x ，y )，则PF 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(1－x ，－y )，∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x ，－2y )．∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 2＋4y 2＝4，即x 2＋y 2＝4.∴点P 的轨迹是圆．答案：圆6．在平面直角坐标系xOy 中，点P 到点F (3,0)的距离的4倍与它到直线x ＝2的距离的3倍之和记为d ，当点P 运动时，d 恒等于点P 的横坐标与18之和，则点P 的轨迹C 是____________________________________________．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则d ＝4(x －3)2＋y 2＋3|x －2|，由题设知，d ＝18＋x ，即4(x －3)2＋y 2＋3|x －2|＝18＋x .①当x >2时，由①得(x －3)2＋y 2＝6－12x ，化简得x 236＋y 227＝1.当x ≤2时，由①得(x －3)2＋y 2＝3＋x ，化简得y 2＝12x .故点P 的轨迹C 是由椭圆C 1：x 236＋y 227＝1在直线x ＝2的右侧部分与抛物线C 2：y 2＝12x 在直线x ＝2的左侧部分(包括它与直线x ＝2的交点)所组成的曲线．答案：由椭圆C 1：x 236＋y 227＝1在直线x ＝2的右侧部分与抛物线C 2：y 2＝12x 在直线x ＝2的左侧部分(包括它与直线x ＝2的交点)所组成的曲线7．△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－a 2，0)，C (a 2，0)，且满足条件sin C－sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程是________． 解析：由正弦定理：|AB |2R －|AC |2R ＝12×|BC |2R ，∴|AB |－|AC |＝12|BC |，且为双曲线的右支．∴动点A 的轨迹方程为16x 2a 2－16y 23a 2＝1(x >0且y ≠0)．答案：16x 2a 2－16y 23a 2＝1(x >0且y ≠0)8．平面内与定点(－1,2)和直线3x ＋4y －5＝0的距离相等的点的轨迹是________． 解析：∵(－1,2)在直线3x ＋4y －5＝0上，∴轨迹是过定点(－1,2)且垂直于3x ＋4y －5＝0的直线．答案：直线9．已知定点A (2,0)，它与抛物线y 2＝x 上的动点P 连线的中点M 的轨迹方程是________．解析：设P (x 1，y 1)，M (x ，y )，则y 21＝x 1.①又M 为AP 中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 1＋22y ＝y 12，∴{ x 1＝2x －y 1＝2y 代入①得 (2y )2＝2x －2，即y 2＝12(x －1)．答案：y 2＝12(x －1)二、解答题10．已知抛物线y 2＝2x ，O 为顶点，A 、B 为抛物线上两动点，且满足OA ⊥OB ，如果OM ⊥AB ，垂足为M ，求M 点的轨迹．解析：解法一 设直线OA 的方程为y ＝kx ，则直线OB 的方程为y ＝－1k x .由⎩⎨⎧ y ＝kx ，y 2＝2x ，得k 2x 2＝2x ，则x ＝0或x ＝2k 2，∴A 点坐标为(2k 2，2k )，将A 点坐标中的k 换为－1k ，可得B 点坐标(2k 2，－2k )，则直线AB 的方程为y ＋2k ＝k 1－k2(x －2k 2)， 即y ＝k 1－k 2(x －2)．① 又直线OM 的方程为y ＝k 2－1k x ，②①×②整理得(x －1)2＋y 2＝1(x ≠0)所求轨迹为以(1,0)为圆心，半径为1的圆(去掉原点)．解法二 求直线AB 的方程同解法一．直线AB 过N (2,0)点，因此△OMN 为直角三角形，∴点M 在以ON 为直径的圆上运动，点M 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1(x ≠0)．11．已知曲线C ：y ＝x 2与直线l ：x －y ＋2＝0交于两点A (x A ，y A )和B (x B ，y B )，且x A <x B .记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域(含边界)为D .设点P (s ，t )是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合．若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程． 解析：如图所示，由题意得A (－1,1)，B (2,4)，Q (12，52)，－1<s <2.设线段PQ 的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ s ＋12＝2x ，t ＋52＝2y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ s ＝2x －12，t ＝2y －52，又P (s ，t )在曲线y ＝x 2上，∴t ＝s 2(－1<s <2)．即2y －52＝(2x －12)2(－1<2x －12<2)，整理得y ＝2x 2－x ＋118(－14<x <54)．∴线段PQ 的中点M 的轨迹方程为：y ＝2x 2－x ＋118(－14<x <54)．12．设动圆M 满足条件p ：经过点F (12，0)，且与直线l ：x ＝－12相切．记动圆圆心M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)已知点M 1为轨迹C 上纵坐标为m 的点，以M 1为圆心满足条件p 的圆与x 轴相交于点F 、A (A 在F 的右侧)，又直线AM 1与轨迹C 相交于两个不同点M 1、M 2，当OM 1⊥OM 2(O 为坐标原点)时，求直线M 1M 2的斜率．解析：(1)由题意可知点M 到点F (12，0)的距离与点M 到直线x ＝－12的距离相等，∴点M 的轨迹C 是以点F 为焦点，以l 为准线的抛物线， 故所求轨迹C 的方程为y 2＝2x .(2)∵M 1在抛物线y 2＝2x 上，∴M 1的坐标为(m 22，m )，则点A 的坐标为(m 2－12，0)，又点A 在点F 的右侧，∴必有m 2－12>12，即m 2>1，∴直线AM 1的方程为y ＝2m 1－m 2(x －m 2＋12)． 设M 1(x 1，y 1)，M 2(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝2x y ＝2m 1－m 2(x －m 2＋12)⇒m 1－m 2y 2－y ＋m (1－2m 2)1－m 2＝0，显然Δ>0， ∴y 1＋y 2＝1－m 2m ，y 1y 2＝1－2m 2，∴x 1x 2＝14(y 1y 2)2＝(1－2m 2)24， 当OM 1⊥OM 2时，有OM 1→·OM 2→＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴(1－2m 2)24＋1－2m 2＝(1－2m 2)(1－2m 24＋1)＝0. 又m 2>1，∴m 2＝52，m ＝±102，此时M 1的坐标为(54，±102)，则点A 的坐标为(2,0)，∴直线M 1M 2的斜率为k ＝±10254－2＝±2103.。
2019届高考数学一轮复习第九章平面解析几何9-7双曲线课件文
[答案] 2
3．(2015·北京卷)已知(2,0)是双曲线 x2－by22＝1(b>0)的一个焦 点，则 b＝________.
[解析] 因为(2,0)是双曲线 x2－by22＝1(b>0)的一个焦点，所以 1＋b2＝4，则 b＝ 3.
[答案] A
5．已知 F1、F2 是双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的两个焦
点，P 是 C 上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2 最小内角的
大小为 30°，则双曲线 C 的渐近线方程是( )
A. 2x±y＝0
B．x± 2y＝0
C．x±2y＝0
D．2x±y＝0
[解析] 由题意，不妨设|PF1|>|PF2|，则根据双曲线的定义得， |PF1|－|PF2|＝2a， 又|PF1|＋|PF2|＝6a， 解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a. 在△PF1F2 中，|F1F2|＝2c，而 c>a，所以|PF2|<|F1F2|，
[小题速练] 1．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线ax22－y92＝1(a>0)的一条渐近线方程 为 y＝35x，则 a＝________.
[解析] 因为双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y ＝±bax，所以 a＝5.
[答案] 5
2．(2017·北京卷)若双曲线 x2－ym2＝1 的离心率为 3，则实数 m＝________.
提示：a＝8，b＝6，c＝10，所以||PF1|－|PF2||＝16，又|PF1| ＝17，所以|PF2|＝1 或|PF2|＝33，又 c－a＝2>1，所以|PF2|＝33.
高考数学(理科)一轮复习双曲线学习型教学案含答案
高考数学（理科）一轮复习双曲线学案含答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案52 双曲线导学目标：1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想．自主梳理．双曲线的概念平面内动点P与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值为常数2a，则点P的轨迹叫________．这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫________．集合P＝{m|||mF1|－|mF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a>0，c>0；当________时，P点的轨迹是________；当________时，P点的轨迹是________；当________时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1y2a2－x2b2＝1图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1，A2顶点坐标：A1，A2渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca，e∈，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b23.实轴长和虚轴长相等的双曲线为________________，其渐近线方程为________，离心率为________．自我检测．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是A．2B．22c．4D．422．已知双曲线x22－y2b2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，其中一条渐近线方程为y＝x，点P在该双曲线上，则PF1→•PF2→等于A．－12B．－2c．0D．43．设直线l过双曲线c的一个焦点，且与c的一条对称轴垂直，l与c交于A，B两点，|AB|为c的实轴长的2倍，则c的离心率为A.2B.3c．2D．34．已知点在双曲线8x2－3y2＝24上，则2m＋4的范围是__________________．5．已知A，F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，P是双曲线右支上的动点，求|PF|＋|PA|的最小值．探究点一双曲线的定义及应用例1 已知定点A，B，c，以c为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．变式迁移1 已知动圆m与圆c1：2＋y2＝2外切，与圆c2：2＋y2＝2内切，求动圆圆心m的轨迹方程．探究点二求双曲线的标准方程例2 已知双曲线的一条渐近线方程是x－2y＝0，且过点P，求双曲线的标准方程．变式迁移2 已知双曲线与椭圆x29＋y225＝1的焦点相同，且它们的离心率之和等于145，则双曲线的方程为____________．探究点三双曲线几何性质的应用例3 已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|•|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．变式迁移3 已知双曲线c：x22－y2＝1.求双曲线c的渐近线方程；已知m点坐标为，设P是双曲线c上的点，Q是点P关于原点的对称点．记λ＝mP→•mQ→，求λ的取值范围．方程思想的应用例过双曲线x23－y26＝1的右焦点F2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点，o为坐标原点，F1为左焦点．求|AB|；求△AoB的面积；求证：|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|.多角度审题要求弦长|AB|需要A、B两点坐标或设而不求利用弦长公式，这就需要先求直线AB；在的基础上只要求点到直线的距离；要充分联想到A、B两点在双曲线上这个条件．【答题模板】解由双曲线的方程得a＝3，b＝6，∴c＝a2＋b2＝3，F1，F2．直线AB的方程为y＝33．设A，B，由y＝33x－3x23－y26＝1，得5x2＋6x－27＝0.[2分]∴x1＋x2＝－65，x1x2＝－275，∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋332•x1＋x22－4x1x2＝43•3625＋1085＝1635.[4分]解直线AB的方程变形为3x－3y－33＝0.∴原点o到直线AB的距离为d＝|－33|32＋－32＝32.[6分]∴S△AoB＝12|AB|•d＝12×1635×32＝1235.[8分]证明如图，由双曲线的定义得|AF2|－|AF1|＝23，|BF1|－|BF2|＝23，[10分]∴|AF2|－|AF1|＝|BF1|－|BF2|，即|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|.[12分]【突破思维障碍】写出直线方程，联立直线方程、双曲线方程，消元得关于x的一元二次方程，利用弦长公式求|AB|，再求点o到直线AB的距离从而求面积，最后利用双曲线的定义求证等式成立．【易错点剖析】在直线和双曲线相交的情况下解题时易忽视消元后的一元二次方程的判别式Δ>0，而导致错解．．区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中a，b，c 的大小关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2；双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈．2．双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程是y＝±bax，y2a2－x2b2＝1的渐近线方程是y＝±abx.3．双曲线标准方程的求法：定义法，根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a、b、c，即可求得方程．待定系数法，其步骤是：①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程；③定值：根据题目条件确定相关的系数．一、选择题．已知m、N，|Pm|－|PN|＝3，则动点P的轨迹是A．双曲线B．双曲线左边一支c．双曲线右边一支D．一条射线2．设点P在双曲线x29－y216＝1上，若F1、F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，则△F1PF2的周长等于A．22B．16c．14D．123．过双曲线x2a2－y2b2＝1的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线Fm，交y轴于点P.若m为线段FP的中点，则双曲线的离心率为A.2B.3c．2D.54．双曲线x2a2－y2b2＝1的左焦点为F1，左、右顶点分别为A1、A2，P是双曲线右支上的一点，则分别以PF1和A1A2为直径的两圆的位置关系是A．相交B．相离c．相切D．内含5．已知双曲线x2a2－y2b2＝1的两条渐近线均和圆c：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆c的圆心，则该双曲线的方程为A.x25－y24＝1B.x24－y25＝1c.x23－y26＝1D.x26－y23＝1二、填空题6．设m是常数，若点F是双曲线y2m－x29＝1的一个焦点，则m＝________.7．设圆过双曲线x29－y216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则此圆心到双曲线中心的距离为______．8．已知以双曲线c的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线c的离心率为________．三、解答题9．根据下列条件，求双曲线方程：与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，且经过点；与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点．10．设圆c与两圆2＋y2＝4，2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．求圆c的圆心轨迹L的方程；已知点m，F，且P为L上动点，求||mP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标．1．已知定点A，F，定直线l：x＝12，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、c两点，直线AB、Ac分别交l于点m、N.求E的方程；试判断以线段mN为直径的圆是否过点F，并说明理由．学案52 双曲线自主梳理．双曲线焦点焦距a<c 双曲线a＝c 两条射线a>c 3.等轴双曲线y＝±x e＝2自我检测．c [∵2x2－y2＝8，∴x24－y28＝1，∴a＝2，∴2a＝4.]2．c3．B [设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为l：x＝c或x＝－c，代入x2a2－y2b2＝1得y2＝b2＝b4a2，∴y＝±b2a，故|AB|＝2b2a，依题意2b2a＝4a，∴b2a2＝2，∴c2－a2a2＝e2－1＝2，∴e＝3.]4．5．解设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义可知|PF|＝2a＋|PF1|＝4＋|PF1|，∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF1|＋|PA|.∴当满足|PF1|＋|PA|最小时，|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图象可知当点A、P、F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，易求得最小值为|AF1|＝5，故所求最小值为9.课堂活动区例1 解题导引求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性．解设F为轨迹上的任意一点，因为A，B两点在以c，F为焦点的椭圆上，所以|FA|＋|cA|＝2a，|FB|＋|cB|＝2a．所以|FA|＋|cA|＝|FB|＋|cB|.所以|FA|－|FB|＝|cB|－|cA|＝122＋92－122＋52＝2.所以|FA|－|FB|＝2.由双曲线的定义知，F点在以A，B为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上．所以点F的轨迹方程是y2－x248＝1．变式迁移1 解设动圆m的半径为r，则由已知得，|mc1|＝r＋2，|mc2|＝r－2，∴|mc1|－|mc2|＝22，又c1，c2，∴|c1c2|＝8.∴22<|c1c2|.根据双曲线定义知，点m的轨迹是以c1、c2为焦点的双曲线的右支．∵a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14.∴点m的轨迹方程是x22－y214＝1．例2 解题导引根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程，但要注意焦点的位置，从而正确选取方程的形式，当焦点不能定位时，则应分两种情况讨论．解决本题的方法有两种：一先定位，避免了讨论；二利用其渐近线的双曲线系，同样避免了对双曲线方程类型的讨论．在共渐近线的双曲线系x2a2－y2b2＝λ中，当λ>0时，焦点在x轴上；当λ<0时，焦点在y轴上．解方法一∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，当x＝4时，y＝2<yp＝3，∴双曲线的焦点在y轴上．从而有ab＝12，∴b＝2a.设双曲线方程为y2a2－x24a2＝1，由于点P在此双曲线上，∴9a2－164a2＝1，解得a2＝5.∴双曲线方程为y25－x220＝1.方法二∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，即x2－y＝0，∴双曲线的渐近线方程为x24－y2＝0.设双曲线方程为x24－y2＝λ，∵双曲线过点P，∴424－32＝λ，即λ＝－5.∴所求双曲线方程为x24－y2＝－5，即y25－x220＝1.变式迁移2 y24－x212＝1解析由于在椭圆x29＋y225＝1中，a2＝25，b2＝9，所以c2＝16，c＝4，又椭圆的焦点在y轴上，所以其焦点坐标为，离心率e＝45.根据题意知，双曲线的焦点也应在y轴上，坐标为，且其离心率等于145－45＝2.故设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1，且c＝4，所以a＝12c＝2，a2＝4，b2＝c2－a2＝12，于是双曲线的方程为y24－x212＝1.例3 解题导引双曲线问题与椭圆问题类似，因而研究方法也有许多相似之处，如利用“定义”“方程观点”“直接法或待定系数法求曲线方程”“数形结合”等．解由16x2－9y2＝144，得x29－y216＝1，∴a＝3，b＝4，c＝5.焦点坐标F1，F2，离心率e＝53，渐近线方程为y＝±43x.||PF1|－|PF2||＝6，cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1||PF2|＝|PF1|－|PF2|2＋2|PF1||PF2|－|F1F2|22|PF1||PF2|＝36＋64－10064＝0，∴∠F1PF2＝90°.变式迁移3 解因为a＝2，b＝1，且焦点在x轴上，所以渐近线方程为y－22x＝0，y＋22x＝0.设P点坐标为，则Q的坐标为，λ＝mP→•mQ→＝•＝－x20－y20＋1＝－32x20＋2.∵|x0|≥2，∴λ的取值范围是2＋y2＝4，∴圆心为c．又渐近线方程与圆c相切，即直线bx－ay＝0与圆c相切，∴3ba2＋b2＝2，∴5b2＝4a2.①又∵x2a2－y2b2＝1的右焦点F2为圆心c，∴a2＋b2＝9.②由①②得a2＝5，b2＝4.∴双曲线的标准方程为x25－y24＝1.]6．16解析由已知条件有52＝m＋9，所以m＝16.7.163 8.629．解方法一由题意可知所求双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，由题意，得ba＝43，－32a2－232b2＝1，解得a2＝94，b2＝4.所以双曲线的方程为49x2－y24＝1.方法二设所求双曲线方程x29－y216＝λ，将点代入得λ＝14，所以双曲线方程为x29－y216＝14，即49x2－y24＝1.设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1.由题意c＝25.又双曲线过点，∴322a2－4b2＝1.又∵a2＋b2＝2，∴a2＝12，b2＝8.故所求双曲线的方程为x212－y28＝1.0．解设圆c的圆心坐标为，半径为r.圆2＋y2＝4的圆心为F1，半径为2，圆2＋y2＝4的圆心为F，半径为2.由题意得|cF1|＝r＋2，|cF|＝r－2或|cF1|＝r－2，|cF|＝r＋2，∴||cF1|－|cF||＝4.∵|F1F|＝25>4.∴圆c的圆心轨迹是以F1，F为焦点的双曲线，其方程为x24－y2＝1.由图知，||mP|－|FP||≤|mF|，∴当m，P，F三点共线，且点P在mF延长线上时，|mP|－|FP|取得最大值|mF|，且|mF|＝355－52＋455－02＝2.直线mF的方程为y＝－2x＋25，与双曲线方程联立得y＝－2x＋25，x24－y2＝1，整理得15x2－325x＋84＝0.解得x1＝14515，x2＝655.此时y＝－255.∴当||mP|－|FP||取得最大值2时，点P的坐标为．1．解设P，则x－22＋y2＝2x－12，化简得x2－y23＝1．①当直线Bc与x轴不垂直时，设Bc的方程为y＝k，与双曲线方程x2－y23＝1联立消去y，得x2＋4k2x－＝0.由题意知，3－k2≠0且Δ＞0.设B，c，则x1＋x2＝4k2k2－3，x1x2＝4k2＋3k2－3，y1y2＝k2＝k2x1x2－2x1＋x2＋4＝k24k2＋3k2－3－8k2k2－3＋4＝－9k2k2－3.因为x1，x2≠－1，所以直线AB的方程为y＝y1x1＋1．因此m点的坐标为12，3y12x1＋1，Fm→＝－32，3y12x1＋1.同理可得FN→＝－32，3y22x2＋1.因此Fm→•FN→＝－32×－32＋9y1y24x1＋1x2＋1＝94＋－81k2k2－344k2＋3k2－3＋4k2k2－3＋1＝0.②当直线Bc与x轴垂直时，其方程为x＝2，则B，c．AB的方程为y＝x＋1，因此m点的坐标为12，32，Fm→＝－32，32.同理可得FN→＝－32，－32.因此Fm→•FN→＝－32×－32＋32×－32＝0.综上，Fm→•FN→＝0，故Fm⊥FN. 故以线段mN为直径的圆过点F.。
苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第九章解析几何第七节抛物线教案理解析版
１．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：（１）在平面内；（２）动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；（３）定点不在定直线上．２．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y２＝２px（p＞0）y２＝—２px（p＞0）x２＝２py（p＞0）x２＝—２py（p＞0）p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O（0,0）焦点F错误!F错误!F错误!F错误!离心率e＝错误!准线方程x＝—错误!x＝错误!y＝—错误!y＝错误!范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向向右向左向上向下焦半径（其中P （x0，y0））PF＝x0＋错误!PF＝—x0＋错误!PF＝y0＋错误!PF＝—y0＋错误!１．抛物线２x２＋y＝0的准线方程为________．解析：∵抛物线的标准方程为x２＝—错误!y，∴２p＝错误!，∴错误!＝错误!，故准线方程为y＝错误!.答案：y＝错误!２．若抛物线y＝４x２上的一点M到焦点的距离为１，则点M的纵坐标是________．解析：M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝—错误!，设M（x，y），则y＋错误!＝１，所以y＝错误!.答案：错误!３．若抛物线y２＝２px上一点P（２，y0）到其准线的距离为４，则抛物线的标准方程为________．解析：由题意知，抛物线的准线为x＝—错误!.因为点P（２，y0）到其准线的距离为４，所以错误!＝４，所以p＝４．所以抛物线的标准方程为y２＝8x.答案：y２＝8x１．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．２．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p＞0才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义．[小题纠偏]１．平面内到点（１,１）与到直线x＋２y—３＝0的距离相等的点的轨迹是________．答案：一条直线２．抛物线8x２＋y＝0的焦点坐标为________．解析：由8x２＋y＝0，得x２＝—错误!y.所以２p＝错误!，p＝错误!，所以焦点为错误!.答案：错误!错误!错误![典例引领]１．（２0１9·徐州调研）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y２＝１6x上横坐标为１的点到其焦点的距离为________．解析：抛物线y２＝１6x中，p＝8，∴准线方程为x＝—４，∵抛物线y２＝１6x上横坐标为１的点到其焦点的距离即为到其准线的距离，∴d＝１—（—４）＝５．答案：５２．若点P为抛物线y＝２x２上的动点，F为抛物线的焦点，则PF的最小值为________．解析：设点P到准线的距离为d，则有PF＝d，又抛物线的方程为y＝２x２，即x２＝错误!y,则其准线方程为y＝—错误!，所以当点P在抛物线的顶点时，d有最小值错误!，即PF的最小值为错误!.答案：错误!３．已知直线l１：４x—３y＋6＝0和直线l２：x＝—１，抛物线y２＝４x上一动点P到直线l１和直线l２的距离之和的最小值是________．解析：由题可知l２：x＝—１是抛物线y２＝４x的准线，设抛物线的焦点为F（１,0），则动点P到l的距离等于PF，故动点P到直线l１和直线l２的距离之和的最小值，即焦点F到直线l１：４x—３y＋6２＝0的距离，所以最小值是错误!＝２．答案：２[由题悟法]应用抛物线定义的２个关键点（１）涉及抛物线的焦点和准线的有关问题，应充分利用抛物线的定义求解．由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．（２）注意灵活运用抛物线上一点P（x，y）到焦点F的距离PF＝|x|＋错误!或PF＝|y|＋错误!.[即时应用]１．（２0１8·南京、盐城二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y２＝6x的焦点为F，准线为l，P 为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k＝—错误!，则线段PF的长为________．解析：由题意AF与x轴正半轴所成角为１２0°，PA＝PF，所以△PAF为正三角形．因为p＝３，所以PF＝AF＝２p＝6．答案：6２．（２0１9·镇江调研）已知抛物线y２＝２px（p＞0）上一点P到焦点的距离为５，到y轴的距离为３，则p＝________.解析：抛物线y２＝２px（p＞0）的焦点为F错误!，准线为x＝—错误!，由题意可得P到准线的距离为５，又P到y轴的距离为３，故错误!＝５—３，解得p＝４．答案：４错误!错误![锁定考向]抛物线的标准方程及性质是高考的热点．常见的命题角度有：（１）根据性质求方程；（２）抛物线的对称性；（３）抛物线性质的实际应用．[题点全练]角度一：根据性质求方程１．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P（—４，—２）的抛物线的标准方程是________．解析：设抛物线为y２＝mx，代入点P（—４，—２），解得m＝—１，则抛物线方程为y２＝—x；设抛物线为x２＝ny，代入点P（—４，—２），解得n＝—8，则抛物线方程为x２＝—8y.答案：y２＝—x或x２＝—8y角度二：抛物线的对称性２．已知双曲线错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y２＝２px（p＞0）分别交于O，A，B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为２，△AOB的面积为错误!，则p＝________.解析：双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，因为双曲线的离心率为２，所以错误!＝２，错误!＝错误!.由错误!解得错误!或错误!由曲线的对称性及△AOB的面积得，２×错误!×错误!×错误!＝错误!，解得p２＝错误!，即p＝错误!错误!.答案：错误!角度三：抛物线性质的实际应用３．如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面２m，水面宽４m，水位下降１m后，水面宽________ m.解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设水面与拱桥的一个交点为A，则点A的坐标为（２，—２）．设抛物线方程为x２＝—２py（p＞0），则２２＝—２p×（—２），得p＝１．所以抛物线方程为x２＝—２y.设水位下降１m后水面与拱桥的交点坐标为（x0，—３），则x错误!＝6，解得x0＝±错误!，所以水面宽为２错误!m.答案：２错误![通法在握]求抛物线标准方程的方法（１）抛物线的标准方程有四种不同的形式，要掌握焦点到准线的距离，顶点到准线、焦点的距离，通径长与标准方程中系数２p的关系．（２）求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y２＝mx或x２＝my （m≠0）．（３）焦点到准线的距离简称为焦准距，抛物线y２＝２px（p＞0）上的点常设为错误!.[提醒] 求抛物线的标准方程时，一定要先确定抛物线的焦点坐标，即抛物线标准方程的形式，否则极易发生漏解的情况．[演练冲关]１．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，焦点在直线３x—４y—１２＝0上，则该抛物线的方程为________．解析：由题意知，抛物线的焦点在x轴上．∵直线３x—４y—１２＝0交x轴于点（４,0），∴抛物线的焦点为（４,0）．设抛物线方程为y２＝２px（p＞0），由错误!＝４，得p＝8，∴该抛物线的方程为y２＝１6x.答案：y２＝１6x２．已知点P是抛物线y２＝２x上的一个动点，则点P到点A（0，２）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为________．解析：依题意设P在抛物线准线的射影为P′，抛物线的焦点为F，则F错误!，由抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离PP′＝PF，则点P到点A（0,２）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和d＝PF＋PA≥AF＝错误!＝错误!.答案：错误!错误!错误![典例引领]已知抛物线C：y２＝２px（p＞0）的焦点为F，抛物线C与直线l１：y＝—x的一个交点的横坐标为8．（１）求抛物线C的方程；（２）不过原点的直线l２与l１垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且OP＝PB，求△FAB的面积．解：（１）易知直线与抛物线的交点坐标为（8，—8），所以（—8）２＝２p×8，所以２p＝8，所以抛物线的方程为y２＝8x.（２）由直线l２与l１垂直，且不过原点，故可设直线l２：x＝y＋m，A（x１，y１），B（x２，y２），且直线l２与x轴的交点为M.由错误!得y２—8y—8m＝0，Δ＝6４＋３２m＞0，所以m＞—２．y１＋y２＝8，y１y２＝—8m，所以x１x２＝错误!＝m２.由题意可知OA⊥OB，即x１x２＋y１y２＝m２—8m＝0，所以m＝8或m＝0（舍去），所以直线l２的方程为x＝y＋8，M（8,0）．故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝错误!·FM·|y１—y２|＝３错误!＝２４错误!.[由题悟法]解决直线与抛物线的位置关系问题的常用方法（１）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．（２）有关直线与抛物线相交的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB＝|x A|＋|x B|＋p或AB＝|y A|＋|y B|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．（３）涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[提醒] 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．[即时应用]已知过点（２,0）的直线l１交抛物线C：y２＝２px（p＞0）于A，B两点，直线l２：x＝—２交x轴于点Q.（１）设直线Q A，Q B的斜率分别为k１，k２，求k１＋k２的值；（２）点P为抛物线C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB交直线l２于M，N两点，错误!·错误!＝２，求抛物线C的方程．解：（１）设直线l１的方程为x＝my＋２，点A（x１，y１），B（x２，y２）．联立方程错误!得y２—２pmy—４p＝0，则y１＋y２＝２pm，y１y２＝—４p.由题意知，点Q（—２,0），所以k１＋k２＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＝错误!＝0．（２）设点P（x0，y0），直线PA：y—y１＝错误!（x—x１），当x＝—２时，y M＝错误!，同理y N＝错误!.因为错误!·错误!＝２，所以４＋y N y M＝２，即错误!·错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝—２，故p＝错误!，所以抛物线C的方程为y２＝x.一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y２＝２px（p＞0）上横坐标为２的点到焦点的距离为４，则该抛物线的准线方程为________．解析：抛物线y２＝２px（p＞0）的焦点坐标为错误!，准线方程x＝—错误!，由抛物线的定义可知，２＋错误!＝４，则p＝４，∴抛物线的准线方程为x＝—２．答案：x＝—２２．（２0１8·扬州期末）若抛物线y２＝２px（p＞0）的焦点也是双曲线x２—y２＝8的一个焦点，则p＝________.解析：抛物线y２＝２px的焦点为错误!，双曲线x２—y２＝8的右焦点为（４,0），故错误!＝４，即p ＝8．答案：8３．已知P为抛物线y２＝8x上动点，定点A（３,１），F为该抛物线的焦点，则PF＋PA的最小值为________．解析：易知点A在抛物线内部，抛物线的准线方程为x＝—２，过点P作准线的垂线，垂足为M，则PF＋PA＝PM＋PA，当A，P，M三点共线时取得最小值，所以PF＋PA＝３—（—２）＝５．答案：５４．（２0１8·前黄中学检测）已知抛物线y２＝２px（p＞0）的准线经过点（—１,１），则该抛物线焦点坐标为________．解析：由于抛物线y２＝２px（p＞0）的准线方程为x＝—错误!，由题意得—错误!＝—１，p＝２，所以焦点坐标为（１,0） .答案：（１,0）５．已知点P在抛物线y２＝４x上，且点P到y轴的距离与其到焦点的距离之比为错误!，则点P到x轴的距离为________．解析：设点P的坐标为（x P，y P），抛物线y２＝４x的准线方程为x＝—１，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P到准线的距离，故错误!＝错误!，解得x P＝１，所以y错误!＝４，所以|y P|＝２．答案：２6．（２0１9·连云港模拟）设抛物线y２＝２x的焦点为F，过点M（错误!，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，BF＝２，则错误!＝________.解析：∵抛物线方程为y２＝２x，∴焦点F的坐标为错误!，准线方程为x＝—错误!.如图，设A（x１，y１），B（x２，y２），过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E，N，则BF＝BN＝x２＋错误!＝２，∴x２＝错误!，把x２＝错误!代入抛物线y２＝２x，得y２＝—错误!，∴直线AB过点M（错误!，0）与B错误!.则直线AB的方程为错误!x＋错误!y—３＝0，与抛物线方程联立，解得x１＝２，∴AE＝２＋错误!＝错误!.∵在△AEC中，BN∥AE，∴错误!＝错误!＝错误!＝错误!，故错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!二保高考，全练题型做到高考达标１．（２0１9·宿迁一模）抛物线x２＝４y的焦点坐标为________．解析：∵抛物线x２＝４y的焦点在y轴上，开口向上，且２p＝４，∴错误!＝１．∴抛物线x２＝４y的焦点坐标为（0,１）．答案：（0,１）２．过抛物线x２＝—１２y的焦点F作直线垂直于y轴，交抛物线于A，B两点，O为抛物线的顶点，则△OAB的面积是________．解析：由题意F（0，—３），将y＝—３代入抛物线方程得x＝±6，所以AB＝１２，所以S△OAB＝错误!×１２×３＝１8．答案：１8３．已知过抛物线y２＝２px（p＞0）的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则错误!＝________.解析：设A（x１，y１），B（x２，y２），由题意知AB所在的直线方程为y＝错误!错误!，联立错误!得x２—错误!x＋错误!＝0，解得x１＝错误!，x２＝错误!，所以错误!＝错误!＝３．答案：３４．（２0１9·南通调研）已知F是抛物线C：y２＝１２x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y 轴于点N，若M是FN的中点，则FN的长度为________．解析：∵F（３,0），∴由题意可得M的横坐标为错误!，∴FM＝错误!＋３＝错误!，FN＝２FM＝9．答案：9５．已知抛物线y２＝２x的弦AB的中点的横坐标为错误!，则AB的最大值为________．解析：设A（x１，y１），B（x２，y２），则x１＋x２＝３，由抛物线的定义可知，AF＋BF＝x１＋x２＋１＝４，由图可知AF＋BF≥AB，AB≤４，当且仅当直线AB过焦点F时，AB取得最大值４．答案：４6．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y２＝２x上的正三角形的面积为________．解析：如图，根据抛物线的对称性得∠AOx＝３0°.直线OA的方程y＝错误!x，代入y２＝２x，得x２—6x＝0，解得x＝0或x＝6．即得A的坐标为（6,２错误!）．∴AB＝４错误!，正三角形OAB的面积为错误!×４错误!×6＝１２错误!.答案：１２错误!7．（２0１8·无锡调研）过点P（—２,0）的直线与抛物线C：y２＝４x相交于A，B两点，且PA＝错误! AB，则点A到抛物线C的焦点的距离为________．解析：设A（x１，y１），B（x２，y２），分别过点A，B作直线x＝—２的垂线，垂足分别为D，E（图略），因为PA＝错误!AB，所以错误!又错误!得x１＝错误!，则点A到抛物线C的焦点的距离为１＋错误!＝错误!.答案：错误!8．抛物线y２＝２px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且MF＝４OF，△MFO的面积为４错误!，则抛物线的方程为________．解析：设M（x，y），因为OF＝错误!，MF＝４OF，所以MF＝２p，由抛物线定义知x＋错误!＝２p，所以x＝错误!p，所以y＝±错误!p.又△MFO的面积为４错误!，所以错误!×错误!×错误!p＝４错误!，解得p＝４（p＝—４舍去）．所以抛物线的方程为y２＝8x.答案：y２＝8x9．已知抛物线y２＝２x的焦点为F，点P是抛物线上的动点，点A（３,２），求PA＋PF的最小值，并求取最小值时点P的坐标．解：将x＝３代入抛物线方程y２＝２x，得y＝±错误!.因为错误!＞２，所以A在抛物线内部．设抛物线上的点P到准线l：x＝—错误!的距离为d，由定义知PA＋PF＝PA＋d.当PA⊥l时，PA＋d最小，最小值为错误!，即PA＋PF的最小值为错误!，此时P点纵坐标为２，代入y２＝２x，得x＝２，所以点P的坐标为（２,２）．１0．（２0１8·扬州中学检测）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y２＝４x相交于A，B两点．（１）如果直线l过抛物线的焦点，求错误!·错误!的值；（２）如果错误!·错误!＝—４，证明直线l必过一定点，并求出该定点．解：（１）由题意：抛物线焦点为（１,0），设l：x＝ty＋１，代入抛物线y２＝４x，消去x，得y２—４ty—４＝0，设A（x１，y１），B（x２，y２），则y１＋y２＝４t，y１y２＝—４，所以错误!·错误!＝x１x２＋y１y２＝（ty１＋１）（ty２＋１）＋y１y２＝t２y１y２＋t（y１＋y２）＋１＋y１y２＝—４t２＋４t２＋１—４＝—３．（２）证明：设l：x＝ty＋b，代入抛物线y２＝４x，消去x，得y２—４ty—４b＝0，设A（x１，y１），B（x２，y２），则y１＋y２＝４t，y１y２＝—４b，所以错误!·错误!＝x１x２＋y１y２＝（ty１＋b）（ty２＋b）＋y１y２＝t２y１y２＋bt（y１＋y２）＋b２＋y１y２＝—４bt２＋４bt２＋b２—４b＝b２—４b.令b２—４b＝—４，得b２—４b＋４＝0，解得b＝２．所以直线l过定点（２,0）．三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．（２0１8·连云港二模）从抛物线x２＝４y上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且PM＝５，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积S＝________.解析：设P（x0，y0），依题意可知抛物线的准线方程为y＝—１，∴y0＝５—１＝４，∴|x0|＝错误!＝４，∴△MPF的面积S＝错误!PM·|x0|＝错误!×５×４＝１0．答案：１0２．过抛物线x２＝４y的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，C，D四点，且AB⊥CD，则错误!·错误!＋错误!·错误!的最大值等于________．解析：依题意可得，错误!·错误!＝—（|错误!|·|错误!|）．又因为|错误!|＝y A＋１，|错误!|＝y B＋１，所以错误!·错误!＝—（y A y B＋y A＋y B＋１）．设直线AB的方程为y＝kx＋１（k≠0），联立x２＝４y，可得x２—４kx—４＝0，所以x A＋x B＝４k，x A x B＝—４．所以y A y B＝１，y A＋y B＝４k２＋２．所以错误!·错误!＝—（４k２＋４）．同理错误!·错误!＝—错误!.所以错误!·错误!＋错误!·错误!＝—错误!≤—１6．当且仅当k＝±１时等号成立．答案：—１6３．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（１,２），A（x１，y），B（x２，y２）均在抛物线上．１（１）写出该抛物线的方程及其准线方程．（２）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y１＋y２的值及直线AB的斜率．解：（１）由已知条件，可设抛物线的方程为y２＝２px（p＞0）．因为点P（１,２）在抛物线上，所以２２＝２p×１，解得p＝２．故所求抛物线的方程是y２＝４x，准线方程是x＝—１．（２）设直线PA的斜率为k PA，直线PB的斜率为k PB.则k PA＝错误!（x１≠１），k PB＝错误!（x２≠１），因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以k PA＝—k PB.由A（x１，y１），B（x２，y２）均在抛物线上，得错误!所以错误!＝—错误!，所以y１＋２＝—（y２＋２）．所以y１＋y２＝—４．由１—２得，y错误!—y错误!＝４（x１—x２），所以k AB＝错误!＝错误!＝—１（x１≠x２）．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、填空题
1．已知点M (－2,0)、N (2,0)，动点P 满足条件|PM |－|PN |＝22，则动点P 的轨迹方程为________．
解析：因为|MN |＝4,22<4，所以动点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为22的双曲线靠近点N 的一支，即x 2－y 2＝2，x ≥2.
答案：x 2－y 2＝2(x ≥2)
2．双曲线x 24－y 212
＝1的焦点到渐近线的距离为________． 解析：双曲线x 24－y 212＝1的渐近线为y ＝±3x ，c ＝4＋12＝4，其焦点坐标为(±4,0)，由点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为
431＋(±3)2＝2 3.
答案：2 3
3．与双曲线x 29－y 2
16＝1有公共渐近线且经过点A (－3,23)的双曲线的方程是________．
解析：由条件可设所求双曲线方程为x 29－y 2
16＝k (k >0)，将点A (－3,23)代入得k ＝(－3)29－(23)216＝14，所以所求双曲线方程为4x 29－y 2
4＝1.
答案：4x 29－y 2
4＝1
4．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－5,0)和C (5,0)，顶点B 在
双曲线x 216－y 29＝1上，则sin B |sin A －sin C |
为________． 解析：由题意得a ＝4，b ＝3，c ＝5.
A 、C 为双曲线的焦点，
∴||BC |－|BA ||＝8，|AC |＝10.
由正弦定理得
sin B |sin A －sin C |＝|AC |||BC |－|BA ||
＝108＝54.
答案：54
5．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝________.
解析：如图，设|PF
1|＝m ，|PF 2|＝n .则
⎩⎨⎧ |m －n |＝2，(22)2＝m 2＋n 2－2mn cos ∠F 1PF 2.
∴⎩⎨⎧
m 2－2mn ＋n 2＝4，m 2－mn ＋n 2＝8.∴mn ＝4. 即|PF 1|·|PF 2|＝4.
答案：4
6．已知点F 1，F 2分别是双曲线的两个焦点，P 为该曲线上一点，若△PF 1F 2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为________．
解析：不妨设P 点在双曲线的右支上，
则|PF 1|－|PF 2|＝2a .
∵△PF 1F 2是等腰直角三角形，
∴只能是∠PF 2F 1＝90°，
∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，
∴|PF 1|＝2a ＋|PF 2|＝2a ＋2c ，
∴(2a ＋2c )2＝2·(2c )2，
即c 2－2ac －a 2＝0，
两边同除以a 2，得e 2－2e －1＝0.
∵e >1，∴e ＝2＋1. 答案：2＋1
7．若双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a 等于________．
解析：由离心率公式，得a 2＋3a 2＝22(a >0)，解得a ＝1.
答案：1
8．A 、F 分别是双曲线9x 2－3y 2＝1的左顶点和右焦点，P 是双曲线右支上任一点，若∠PF A ＝λ·∠P AF ，则λ＝________.
解析：特殊值法，取点P 为(23，1)，得∠PF A ＝2∠P AF ，故λ＝2.
答案：2
9．若双曲线x 24－y 2b 2＝1 (b ＞0) 的渐近线方程为y ＝±12x ，则b 等于________．
解析：双曲线x 24－y 2b 2＝1的渐近线方程为x 24－y 2b 2＝0，即y ＝±b 2x (b >0)，∴b ＝1.
答案：1
二、解答题
10.如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F
1，
F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3，
且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线
的方程．
解析：设双曲线方程为：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，
F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x 0，y 0)．
在△PF 1F 2中，由余弦定理，得：
|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos π3
＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，
即4c 2＝4a 2＋|PF 1|·|PF 2|.
又∵S △PF 1F 2＝23，
∴12|PF 1|·|PF 2|·sin π3＝2 3.
∴|PF 1|·|PF 2|＝8.
∴4c 2＝4a 2＋8，即b 2＝2.
又∵e ＝c a ＝2，
∴a 2＝23.
∴双曲线的方程为：3x 22－y 22＝1.
11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝233，直线l 过A (a,0)，B (0，
－b )两点，原点O 到直线l 的距离是32.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点B 作直线m 交双曲线于M 、N 两点，若OM →·ON →＝－23，求直线m 的方程．
解析：(1)依题意，l 的方程为x a ＋y －b
＝1， 即bx －ay －ab ＝0，
由原点O 到l 的距离为32， 得ab a 2＋b 2＝ab c
＝32， 又e ＝c a ＝233，
∴b ＝1，a ＝ 3.
故所求双曲线方程为x 23－y 2＝1.
(2)显然直线m 不与x 轴垂直，设m 方程为y ＝kx －1，则点M 、N 坐标(x 1，y 1)，
(x 2，y 2)是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx －1x 23－y 2＝1的解，
消去y ，得(1－3k 2)x 2＋6kx －6＝0.①
依题意，1－3k 2≠0，由根与系数关系，
知x 1＋x 2＝6k 3k 2－1，x 1x 2＝63k 2－1
. OM →·ON →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2
＝x 1x 2＋(kx 1－1)(kx 2－1)
＝(1＋k 2)x 1x 2－k (x 1＋x 2)＋1
＝6(1＋k 2)3k 2－1－6k 2
3k 2－1
＋1
＝63k 2－1
＋1. 又∵OM →·ON →＝－23，
∴63k 2－1
＋1＝－23，k ＝±12， 经检验知，当k ＝±12时，方程①有两个不相等的实数根，
∴方程为y ＝12x －1或y ＝－12x －1.
12．A ，B ，C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 正东6 km ，C 在B
的北偏西30°，相距4 km ，P 为敌炮阵地，某时刻A 处发现敌
炮阵地的某种信号，由于B ，C 两地比A 距P 地远，因此4 s
后，B ，C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s ，
A 若炮击P 地，求炮击的方位角．
解析：如图所示，以直线BA 为x 轴、线段BA 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，则B (－3,0)，A (3,0)，C (－5,23)．
∵|PB |＝|PC |.∴点P 在线段BC 的垂直平分线上．
∵k BC ＝－3，BC 中点为D (－4，3)，
∴直线PD 的方程为y －3＝13
(x ＋4)．① 又|PB |－|P A |＝4，故P 在以A 、B 为焦点的双曲线的右支上．
设P (x ，y )，则双曲线方程为x 24－y 2
5＝1(x ≥0)．②
由①、②解得x ＝8，y ＝53，所以P (8,53)．
因此k P A ＝538－3＝ 3. 故炮击的方位角为北偏东30°.。