高考文科数学专题演练九(立体几何)

高考文科数学专题演练九（立体几何）一、选择题1．(2016·新课标全国Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π答案 C解析 该几何体是圆锥与圆柱的组合体，由三视图可知圆柱底面圆的半径r ＝2，底面圆的周长c ＝2πr ＝4π，圆锥的母线长l ＝22＋（23）2＝4，圆柱的高h ＝4，所以该几何体的表面积S 表＝πr 2＋ch ＋12cl ＝4π＋16π＋8π＝28π，故选C.2．(2016·浙江)已知互相垂直的平面α，β交于直线l ，若直线m ，n 满足m∥α，n⊥β，则( ) A ．m ∥l B ．m ∥n C ．n ⊥l D ．m ⊥n答案 C解析 因为α∩β＝l ，所以l ⊂β，又n⊥β所以n⊥l.故选C.3．(2016·合肥质检)在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝60°，AB ＝AC ＝23，PA ＝2，则三棱锥P －ABC 外接球的表面积为( ) A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π 答案 A解析 由题意可得△ABC 是边长为23的正三角形，设其外接圆的半径为r ，则2r ＝23sin60°＝4，r ＝2.又外接球的球心在PA 的中垂面上，则外接球的半径R ＝r 2＋（12PA ）2＝5，所以该球的表面积为4πR 2＝4π(5)2＝20π，选项A 正确． 4．(2016·山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为( ) A.13＋23π B.13＋23π C.13＋26π D ．1＋26π 答案 C解析 由三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形，高为1，其体积V 1＝13×12×1＝13.设半球的半径为R ，则2R ＝2，即R ＝22，所以半球的体积V 2＝12×4π3R 3＝12×4π3×(22)3＝26π.故该几何体的体积V ＝V 1＋V 2＝13＋26π.故选C. 5．(2016·河北七校)已知α，β是两个不同的平面，有下列三个条件： ①存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β； ②存在一条直线a ，a ⊥β；③存在两条垂直的直线a ，b ，a ⊥β，b ⊥α.其中，所有能成为“α⊥β”的充要条件的序号是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．①③答案 D解析 对于①，存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β，则α⊥β，反之也对，即“存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β”是“α⊥β”的充要条件，所以①对，可排除B ，C ；对于③，存在两条垂直的直线a ，b ，则直线a ，b 所成的角为90°，因为a⊥β，b ⊥α，所以α，β所在的角为90°，即α⊥β，反之也对，即“存在两条垂直的直线，a ，b ，a ⊥β，b ⊥α”是“α⊥β”的充要条件，所以③对，可排除A ，选D.6．(2016·江西九校联考)已知圆锥的底面半径为R ，高为2R ，在它的所有内接圆柱中，侧面积的最大值是( ) A.14πR 2B.12πR 2 C ．πR 2D ．2πR 2答案 C解析 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，由已知条件可知2r ＋h ＝2R ，所以圆柱的侧面积为S ＝2πrh ＝2πr(2R －2r)≤π[2r ＋（2R －2r ）2]2＝πR 2，当2r ＝2R －2r ，即r ＝12R 时“＝”成立 ，故圆柱的侧面积最大为πR 2.7．(2016·新课标全国Ⅱ)在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB⊥BC，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( ) A ．4π B.9π2 C ．6π D.32π3答案 B解析 由题意可得若V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径R ＝32，此时的体积最大，V max ＝43πR 3＝4π3×278＝9π2.回顾 不是所有的直三棱柱都有内切球，只有底面三角形内切圆的直径与直三棱柱的高相等时，该直三棱柱才有内切球．8.(2016·江西联考)如图，在球的内接三棱锥A －BCD 中，AB ＝8，CD ＝4，平面ACD⊥平面BCD ，且△ACD 与△BCD 是以CD 为底的全等的等腰三角形，则三棱锥A －BCD 的高与其外接球的直径的比值为( ) A.3265 B.413065 C.813065D.6465答案 B解析 设该三棱锥的外接球的半径为R ，取AB ，CD 的中点分别为E ，F ，连接EF ，AF ，BF ，由题意易得AF⊥BF，AF ＝BF ＝42，EF ＝4，易知三棱锥A －BCD 的外接球的球心O 在线段EF 上，连接OA ，OC ，有R 2＝AE 2＋OE2＝16＋OE 2 ①，R 2＝CF 2＋OF 2＝4＋(4－OE)2 ②，由①②可得R 2＝654，所以R ＝652，所以2R ＝65.又三棱锥A －BCD 的高AF ＝42，所以三棱锥A －BCD 的高与其外接球的直径的比值为4265＝413065，故选B.9．(2016·衡中调研)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN →的实数λ的值有( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案 C解析 由于线段D 1Q 与OP 互相平分，且MQ →＝λMN →，则有Q∈MN，那么只有当四边形D 1PQO 是平行四边形时，才满足题意，此时有P 为A 1D 1的中点，点Q 与点M 重合，或P 为C 1D 1的中点，点Q 与点N 重合，对应的λ＝0或1.10．(2016·长沙调研)公元656年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的开立圆术．祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是立体的高．意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等．上述原理在中国被称为祖暅原理．取一摞书或一摞纸张堆放在水平桌面上，然后用手推一下以改变其形状，这时高度没有改变，每页纸张的面积也没有改变，因而这摞书或纸张的体积与变形前相等．设由⎩⎪⎨⎪⎧x 2≥4y ，0≤x ≤4，0≤y ≤4确定的封闭图形绕y 轴旋转一周，得到旋转体，则该旋转体的体积为( ) A ．32π B ．36π C ．44π D ．46π答案 A解析 依题，该旋转体轴截面如图①，则垂直y 轴，在高为y 处截面面积为S ＝π×42－π×x 2，依此，考虑在图②中垂直y 轴，在高为y 处截面面积也为S ＝π×42－π×x 2，由祖暅原理可知V 旋转体＝V 大半球－V 小球＝12×43π×43－43π×23＝32π.11．(2016·太原模拟)在三棱锥A －BCD 中，底面BCD 为边长是2的正三角形，顶点A 在底面BCD 上的射影为△BCD 的中心，若E 为BC 的中点，且直线AE 与底面BCD 所成角的正切值为22，则三棱锥A －BCD 外接球的表面积为( ) A ．3π B ．4π C ．5π D ．6π答案 D解析 ∵顶点A 在底面BCD 上的射影为△BCD 的中心，而且△BCD 是正三角形，∴三棱锥A －BCD 是正三棱锥，∴AB ＝AC ＝AD.令底面△BCD 的重心(即中心)为P ，∵△BCD 是边长为2的正三角形，DE 是BC 边上的高，∴DE ＝3，PE ＝33，DP ＝233.∵直线AE 与底面BCD 所成角的正切值为22，即tan ∠AEP ＝22，∴AP ＝263，∵AE 2＝AP 2＋EP 2，∴AD ＝2，于是AB ＝AC ＝AD ＝BC ＝CD ＝DB ＝2，∴三棱锥A －BCD 为正四面体．构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故正方体的棱长为2，∴正方体的体对角线长为6，∴外接球的半径为62，∴外接球的表面积为4π(62)2＝6π. 12．(2016·扬州五校)一个三棱柱的直观图、正(主)视图、侧(左)视图、俯视图如图所示，若M 、N 分别为A 1B 、B 1C 1的中点，则下列选项中错误的是( )A ．MN 与A 1C 异面B ．MN ⊥BC C ．MN ∥平面ACC 1A 1D ．三棱锥N －A 1BC 的体积为13a 2答案 D解析 取A 1B 1的中点D ，连接DM ，DN.由于M 、N 分别是A 1B 、B 1C 1的中点，所以可得DN∥A 1C 1，又DN ⊄平面A 1ACC 1，A 1C 1⊂平面A 1ACC 1，所以DN∥平面A 1ACC 1.同理可证DM∥平面A 1ACC 1.又DM∩DN＝D ，所以平面DMN∥平面A 1ACC 1，所以MN∥平面ACC 1A 1，直线MN 与A 1C 异面，A 、C 正确．由三视图可得A 1C 1⊥平面BCC 1B 1，所以DN⊥平面BCC 1B 1，所以DN⊥BC，又易知DM⊥BC，所以BC⊥平面DMN ，所以BC⊥MN，B 正确．因VN －A 1BC ＝VA 1－NBC ＝13(12a 2)a ＝16a 2，所以D错误．13．(2016·衡阳二模)如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于点G ，已知△A′ED 是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是( )A ．动点A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上B ．异面直线A ′E 与BD 不可能垂直C ．三棱锥A ′－EFD 的体积有最大值 D ．恒有平面A′GF⊥平面BCED 答案 B解析 依题意可知四边形ADFE 为菱形，对角线AF 与DE 互相垂直平分，故A 正确；在旋转过程中DE 始终垂直GF 和GA ′，故DE⊥平面A ′GF ，所以恒有平面A ′GF ⊥平面BCED ，故D 正确；当A ′G ⊥平面ABC 时，三棱锥A ′－EFD 的体积取得最大值，故C 正确；因为EF∥BD，故异面直线A ′E 与BD 所成的角为∠FEA′，旋转过程中有可能为直角，故B 错误． 二、填空题14．(2016·四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________． 答案33解析 由正视图知，底面三角形是腰长为2，底边为23的等腰三角形，三棱锥的高为1，所以该三棱锥的体积V ＝13×(12×23×1)×1＝33.15．(2016·河北五一名校)在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AC 1，A 1B 1的中点，点P 在其表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长等于________． 答案 2＋ 5解析 分别取BB 1，CC 1的中点E ，F ，连接AE ，EF ，FD ，则BN⊥平面AEFD ，设M 在平面ABB 1A 1中的射影为O ，过MO 与平面AEFD 平行的平面为α，所以能使MP 与BN垂直的点P 所构成的轨迹为矩形，其周长与矩形AEFD 的周长相等，又矩形AEFD 的周长为2＋5，所以所求轨迹的周长为2＋ 5.16．(2016·合肥调研)在正三棱锥P －ABC 中，M 是PC 的中点，且AM⊥PB，AB ＝22，则正三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为________． 答案 12π解析 因为三棱锥P －ABC 为正三棱锥，取AC 的中点N ，连接PN ，BN ，易证AC⊥平面PBN ，所以PB⊥AC，又AM⊥PB，AM ∩AC ＝A ，所以PB⊥平面PAC ，所以PB⊥P A ，PB ⊥PC ，易证PA ，PB ，PC 两两垂直，又AB ＝22，所以PA ＝PB ＝PC ＝2，设三棱锥P －ABC 外接球的半径为R ，则(2R)2＝3×22＝12，所以球的表面积S ＝4πR 2＝12π.17.(2016·贵阳调研)如图，从棱长为6 cm 的正方体铁皮箱ABCD －A 1B 1C 1D 1中分离出来由三个正方形面板组成的几何图形．如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛的水的体积为________cm 3. 答案 36解析 最多能盛多少水，实际上是求三棱锥C 1－CD 1B 1的体积．又V 三棱锥C 1－CD 1B 1＝V 三棱锥C －B 1C 1D 1＝13×(12×6×6)×6＝36(cm 3)，所以用图示中这样一个装置来盛水，最多能盛36 cm 3体积的水． 18.(2016·合肥调研)如图，正方形ABCD 中，沿BD 将△ABD 翻折成△A′BD ，形成四面体A ′－BCD ，并记二面角A ′－BD －C 的大小为α，则下列结论正确的是________． ①不论α为何值，都有A ′C ⊥BD ；②仅当α＝90°时，A ′B 与CD 所成角为90°； ③仅当α＝120°时，四面体A ′－BCD 的体积最大；④不论α为何值，四面体A ′－BCD 的外接球的体积都为定值． 答案 ①④ 解析′、OC ，则OA ′⊥′OC ，∴A ′C ⊥BD重合时，A ′B 与CD 所成角为1.(2016·衡中调研)如图，三棱柱ABC －DEF 的侧面BEFC 是边长为1的正方形，侧面BEFC⊥侧面ADEB ，AB ＝4，∠DEB ＝60°，G 是DE 的中点． (1)求证：CE∥平面AGF ； (2)求证：GB⊥平面BEFC.解析 (1)连接CD ，与AF 相交于点H ，则H 为CD 的中点，连接HG. 因为G 为DE 的中点，所以HG∥CE. 因为CE ⊄平面AGF ，HG ⊂平面AGF ， 所以CE∥平面AGF.(2)在△GEB 中，BE ＝1，GE ＝2，∠GEB ＝60°， 则BG ＝3，BG 2＋BE 2＝GE 2，所以GB⊥BE. 因为侧面BEFC⊥侧面ADEB ，侧面BEFC∩侧面ADEB ＝BE ，GB ⊂平面ADEB ， 所以GB⊥平面BEFC.2.已知直三棱柱ABC －A ′B ′C ′满足∠BAC＝90°，AB ＝AC ＝12AA ′＝2，点M ，N 分别为A′B ，B ′C ′的中点．(1)求证：MN∥平面A ′ACC ′； (2)求三棱锥C －MNB 的体积． 解析 (1)如图，连接AB ′，AC ′，∵四边形ABB ′A ′为矩形，M 为A ′B 的中点，∴AB ′与A ′B 交于点M ，且M 为AB ′的中点，又点N 为B ′C ′的中点， ∴MN ∥AC ′.又MN ⊄平面A ′ACC ′，且AC ′⊂平面A ′ACC ′， ∴MN ∥平面A ′ACC ′. (2)由图可知V C －MNB ＝V M －BCN ，∵∠BAC ＝90°，∴BC ＝AB 2＋AC 2＝2 2.又三棱柱ABC －A ′B ′C ′为直三棱柱，且AA ′＝4， ∴S △BCN ＝12×22×4＝4 2.∵A ′B ′＝A ′C ′＝2，∠B ′A ′C ′＝90°，点N 为B ′C ′的中点， ∴A ′N ⊥B ′C ′，A ′N ＝ 2. 又BB ′⊥平面A ′B ′C ′， ∴A ′N ⊥BB ′. ∴A ′N ⊥平面BCN.又M 为A ′B 的中点， ∴M 到平面BCN 的距离为22. ∴V C －MNB ＝V M －BCN ＝13×42×22＝43.3.如图，在四棱锥S －ABCD 中，平面SAD⊥平面ABCD ，四边形ABCD为正方形，且P 为AD 的中点，Q 为SB 的中点． (1)求证：CD⊥平面SAD ； (2)求证：PQ∥平面SCD ；(3)若SA ＝SD ，M 为BC 的中点，在棱SC 上是否存在点N ，使得平面DMN⊥平面ABCD ？并证明你的结论．解析 (1)因为四边形ABCD 为正方形，所以CD⊥AD. 又平面SAD⊥平面ABCD ，且平面SAD∩平面ABCD ＝AD ， 所以CD⊥平面SAD.(2)取R 为BC 的中点，连接PR ，QR. 因为Q ，P ，R 分别为SB ，AD ，BC 的中点， 所以QR∥SC，PR ∥DC.因为QR∩PR＝R ，QR ，PR ⊂平面PQR ， 所以平面PQR∥平面SCD. 又PQ ⊂平面PQR ， 所以PQ∥平面SCD.(3)存在点N ，使得平面DMN⊥平面ABCD. 连接PC ，DM 交于点O ，连接SP.因为SA ＝SD ，P 为AD 的中点，所以SP⊥AD. 因为平面SAD⊥平面ABCD ， 所以SP⊥平面ABCD ，SP ⊥PC.在△SPC 中，过O 点作NO⊥PC 交SC 于点N ，此时N 为SC 的中点，则SP∥NO，则NO⊥平面ABCD.因为NO ⊂平面DMN ，所以平面DMN⊥平面ABCD. 所以存在满足条件的点N.4．已知四棱锥P －ABCD 中，点M 是PC 的中点，点E 是AB 上的一个动点，且该四棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是直角三角形．(1)求证：PA∥平面BDM ；(2)若点E 是AB 的中点，求证：CE⊥平面PDE ；(3)无论点E 在何位置，是否均有三棱锥C －PDE 的体积为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．解析 (1)连接AC ，交BD 于点O ，连接OM ，PE. 由三视图知，四边形ABCD 为矩形． ∴O 是AC 的中点．又∵M 是PC 的中点，∴在△PAC 中，MO ∥PA. 又MO ⊂平面BDM ，PA ⊄平面BDM ， ∴PA ∥平面BDM.(2)由三视图知，PD ⊥平面ABCD ，AD ＝DP ＝1，AB ＝2.∵CE ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥CE. ∵E 为AB 的中点，∴△ADE 与△BCE 均是等腰直角三角形． ∴∠AED ＋∠BEC＝90°，∴CE ⊥DE. 又PD∩DE＝D ，∴CE ⊥平面PDE. (3)V C －PDE ＝V P －CDE ＝13×P D×S △CDE ，∵无论点E 在何位置，△CDE 的面积均为定值， 即S △CDE ＝12×CD ×AD ＝12×2×1＝1，∴三棱锥C －PDE 的体积为定值，V C －PDE ＝13×1×1＝13.5．如图，三棱锥P －ABC 中，平面PAC⊥平面ABC ，∠ABC ＝π2，点D ，E 在线段AC 上，且AD ＝DE ＝EC ＝2，PD ＝PC ＝4，点F 在线段AB 上，且EF∥BC.(1)证明：AB⊥平面PFE ；(2)若四棱锥P －DFBC 的体积为7，求线段BC 的长．解析 (1)证明：如图，由DE ＝EC ，PD ＝PC 知，E 为等腰三角形PDC 的底边DC 的中点，故PE⊥AC.因为平面PAC⊥平面ABC ，平面PAC∩平面ABC ＝AC ，PE ⊂平面PAC ，PE ⊥AC ，所以PE⊥平面ABC.因为AB ⊂平面ABC ，所以PE⊥AB. 因为∠ABC＝π2，EF ∥BC ，所以AB⊥EF.从而AB 与平面PEF 内两条相交直线PE ，EF 都垂直．所以AB⊥平面PFE.(2)解：设BC ＝x ，则在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2－BC 2＝36－x 2.从而S △ABC ＝12AB ·BC ＝12x 36－x 2.由EF∥BC 知，AF AB ＝AE AC ＝23，得△AFE∽△ABC，故S △AFE S △ABC ＝(23)2＝49，S △AFE ＝49S △ABC .由AD ＝12AE ，得 S △AFD ＝12S △AFE ＝12·49S △ABC ＝29S △ABC .四边形DFBC 的面积为S 四边形DFBC ＝S △ABC －S △AFD ＝79S △ABC ＝718x 36－x 2.由(1)知，PE ⊥平面ABC ，所以PE 为四棱锥P －DFBC 的高． 在Rt △PEC 中，PE ＝PC 2－EC 2＝42－22＝2 3.所以V P －DFBC ＝13·S 四边形DFBC ·PE ＝13·718x 36－x 2·23＝7.故x 4－36x 2＋243＝0，解得x 2＝9或x 2＝27. 因为x>0，所以x ＝3或x ＝3 3. 所以BC ＝3或BC ＝3 3.6．已知某几何体的直观图(图①)与它的三视图(图②)，其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形．已知D 是这个几何体的棱A 1C 1的中点．(1)求出该几何体的体积； (2)求证：直线BC 1∥平面AB 1D ； (3)求证：平面AB 1D ⊥平面AA 1D.解析 由三视图可知该几何体为正三棱柱，底面是高为3的正三角形，三棱柱的高h ＝3.(1)底面是高为3的正三角形，易知底面边长为2， ∴底面面积S ＝12×2×3＝ 3.所以体积V ＝Sh ＝3 3.(2)连接A 1B ，且A 1B ∩AB 1＝O ，连接DO. ∵正三棱柱侧面是矩形， ∴点O 是棱A 1B 的中点． ∵D 为棱A 1C 1的中点， ∴DO 是△A 1BC 1的中位线． ∴BC 1∥DO.又DO ⊂平面AB 1D ，BC 1⊄平面AB 1D ，∴BC 1∥平面AB 1D. (3)在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△A 1B 1C 1为正三角形， ∴B 1D ⊥A 1C 1.又由正三棱柱性质知平面A 1B 1C 1⊥平面ACC 1A 1， 且平面A 1B 1C 1∩平面ACC 1A 1＝A 1C 1， ∴B 1D ⊥平面AA 1D.又B 1D ⊂平面AB 1D ，∴平面AB 1D ⊥平面AA 1D.7．(2016·抚州一中上学期第四次同步考试)如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点． (1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求三棱锥C －A 1DE 的体积． 解析 (1)证明：连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点． 又∵D 是AB 的中点，连接DF ，则BC 1∥DF. ∵DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， ∴BC 1∥平面A 1CD.(2)∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，∴AA 1⊥CD. ∵AC ＝CB ，D 为AB 的中点，∴CD ⊥AB. 又∵AA 1∩AB ＝A ，∴CD ⊥平面ABB 1A 1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22得∠ACB＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3. ∵A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，∴DE ⊥A 1D. ∴VC －A 1DE ＝13×12×6×3×2＝1.8．(2016·福建南安一中)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AB ＝2，E ，F ，G 分别是PC ，PD ，PB 的中点．(1)在线段PB 上确定一点Q ，使PC⊥平面ADQ ，并给出证明． (2)证明：平面EFG⊥平面PAD ，并求出D 到平面EFG 的距离．解析 (1)Q 为线段PB 的中点时，PC ⊥平面ADQ.证明如下： 取PB 的中点为Q ，连接DE ，EQ ，AQ.则EQ∥BC∥AD，∴四边形ADEQ 为平面四边形． 由PD⊥平面ABCD ，得AD⊥PD. 又∵AD⊥CD，AD ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ， ∴AD ⊥平面PDC ，∴AD ⊥PC.又∵△PDC 为等腰直角三角形，E 为斜边的中点，∴DE ⊥PC. 又AD∩DE＝D ，∴PC ⊥平面ADQ.(2)证明：∵CD⊥AD，CD ⊥PD ，AD ∩PD ＝D ， ∴CD ⊥平面PAD.又∵EF∥CD，∴EF ⊥平面PAD. ∵EF ⊂平面EFG ， ∴平面EFG⊥平面PAD.取AD 的中点为H ，连接FH ，GH ，则HG∥CD∥EF，平面EFHG 即为平面EFG.在平面PAD 中，作DO⊥FH，垂足为点O ，则DO⊥平面EFHG ，DO 即为D 到平面EFG 的距离． 在△PAD 中，H ，F 分别为AD ，PD 的中点，则DO ＝FDsin45°＝22， 即D 到平面EFG 的距离为22. 9．(2016·青岛即墨上学期期末)如图所示，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，AB ∥EF ，AB ＝2EF ，∠EAB ＝90°，平面ABFE⊥平面ABCD.(1)若点G 是DE 中点，求证：FG∥平面AED ； (2)求证：平面DAF⊥平面BAF.解析 (1)∵四边形ABCD 是矩形，G 是DC 中点，AB ＝2EF ，AB ∥EF ， ∴EF ∥DG 且EF ＝DG.∴四边形DEFG 为平行四边形． ∴FG ∥DE.又∵FG ⊄平面AED ，ED ⊂平面AED ，∴FG ∥平面AED.(2)∵平面ABFE⊥平面ABCD ，平面ABFE∩平面ABCD ＝AB ，AD ⊥AB ， ∴AD ⊥平面BAF.又∵AD ⊂平面DAF.∴平面DAF⊥平面BAF.10．(2016·山东文登二模)已知四边形ABCD 满足AD∥BC，BA ＝AD ＝DC ＝12BC ＝a ，E 是BC的中点，将△BAE 沿着AE 翻折成△B 1AE ，使平面B 1AE ⊥平面AECD ，F ，G 分别为B 1D ，AE 的中点．(1)求三棱锥E －ACB 1的体积； (2)证明：B 1E ∥平面ACF ；(3)证明：平面B 1GD ⊥平面B 1DC.解析 (1)解：由题意知，AD ∥EC 且AD ＝EC ，所以四边形ADCE 为平行四边形，∴AE ＝DC ＝a ，∴△ABE 为等边三角形，∴∠AEC ＝120°，∴S △AEC ＝12a 2sin120°＝3a 24.连接B 1G ，则B 1G ⊥AE ，又平面B 1AE ⊥平面AECD ，交线为AE ，∴B 1G ⊥平面AECD 且B 1G ＝32a ，∴VE －ACB 1＝VB 1－AEC ＝13B 1G ·S △AEC ＝13×32a ×34a 2＝a 38.(2)证明：连接ED 交AC 于O ，连接OF ， ∵四边形AECD 为菱形，∴O 为AC 的中点．又F 为B 1D 的中点，∴FO ∥B 1E. 又B 1E ⊄平面ACF ，FO ⊂平面ACF ，∴B 1E ∥平面ACF.(3)证明：连接GD ，则DG⊥AE，又B 1G ⊥AE ，B 1G ∩GD ＝G ，∴AE ⊥平面B 1GD. 又AE∥DC，∴CD ⊥平面B 1GD.又DC ⊂平面B 1DC ，∴平面B 1GD ⊥平面B 1DC.。