集合概念与符号
集合的全部知识点总结
集合的全部知识点总结集合是数学中的一个基本概念，它是由确定的元素组成的整体。
在数学中，集合论是一个独立的分支，它研究集合的性质、运算和关系。
本文将对集合的基本概念、运算和性质进行总结。
一、集合的基本概念1. 集合符号：集合常用大写字母表示，如A、B、C。
元素通常用小写字母表示，如a、b、c。
2. 集合的表示方法：集合可以通过列举元素的方式表示，例如A={1, 2, 3}；也可以用描述性的方式表示，例如B={x | x是自然数，且x<5}。
3. 空集：不包含任何元素的集合被称为空集，用符号∅表示。
二、集合的运算1. 并集：若A和B是两个集合，它们的并集是由两个集合中的所有元素组成的集合，用符号∪表示，即A∪B。
2. 交集：若A和B是两个集合，它们的交集是同时属于A和B的元素组成的集合，用符号∩表示，即A∩B。
3. 差集：若A和B是两个集合，它们的差集是属于A而不属于B的元素组成的集合，用符号A-B表示。
4. 互斥：若A∩B=∅，即A和B的交集为空集，称A和B是互斥的。
三、集合的性质1. 子集：若集合A中的所有元素都属于集合B，则称A是B的子集，用符号A⊆B表示。
2. 包含关系：若A是B的子集，且B不等于A，则称B包含A，用符号B⊇A表示。
3. 相等关系：当A⊆B且B⊆A时，称A和B相等，用符号A=B表示。
4. 幂集：集合A的所有子集构成的集合被称为A的幂集，用符号P(A)表示。
5. 交换律：并集和交集满足交换律，即A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。
6. 结合律：并集和交集满足结合律，即(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
7. 分配律：并集和交集满足分配律，即A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。
四、常用集合1. 自然数集：包括0、1、2、3......的集合，用符号N表示。
2. 整数集：包括负整数、0、正整数的集合，用符号Z表示。
高一数学集合到区间知识点总结
高一数学集合到区间知识点总结集合是数学中重要的基础概念之一，而区间则是集合的一个特殊类型。
在高一数学学习中，我们需要掌握集合和区间的相关知识点。
本文将对高一数学集合到区间知识点进行总结。
一、集合的概念及常见符号集合是由一些确定的对象所组成的整体，这些对象被称为集合的元素。
常见的表示集合的方法有：1. 列举法：直接列出集合中的元素，用花括号{}表示，例如：A = {1, 2, 3}。
2. 描述法：利用一个性质描述集合中的元素，用大括号{}表示，例如：B = {x | x 是偶数}。
在集合的表示中，常见的符号有：1. ∈：表示属于，例如：a ∈ A，表示元素a属于集合A。
2. ∉：表示不属于，例如：b ∉A，表示元素b不属于集合A。
3. ⊆：表示包含关系，例如：A ⊆ B，表示集合A是集合B的子集。
4. ⊂：表示真包含关系，例如：A ⊂ B，表示集合A是集合B的真子集。
二、集合的运算集合的运算包括交集、并集、差集和补集，在解决实际问题时，灵活运用集合运算可以简化问题的处理过程。
1. 交集：两个集合中共有的元素构成的集合，用符号∩表示，例如：A ∩ B。
2. 并集：两个集合中所有的元素构成的集合，用符号∪表示，例如：A ∪ B。
3. 差集：从一个集合中减去另一个集合中的公共元素所得的集合，用符号－表示，例如：A - B。
4. 补集：相对于某个给定的全集，在全集中不属于该集合的元素构成的集合，用符号'表示，例如：A'。
三、区间的定义及分类在数轴上，区间是表示一段连续的实数集合。
根据区间的开闭性，可以分为以下几种类型：1. 闭区间：包含端点的区间，用方括号[]表示，例如：[a, b]。
2. 开区间：不包含端点的区间，用圆括号()表示，例如：(a, b)。
3. 半开半闭区间：包含一个端点但不包含另一个端点的区间，例如：[a, b)。
4. 半闭半开区间：不包含一个端点但包含另一个端点的区间，例如：(a, b]。
集合中不包含于的符号
集合中不包含于的符号一、介绍在数学中，集合是由一些确定的元素构成的整体。
元素与集合之间的关系可以用符号来表示。
而集合中不包含于的符号则用来表示某个元素不属于给定的集合。
本文将讨论集合中不包含于的符号以及其在数学中的应用。
二、集合符号的基本概念在数学中，常用的集合符号有“属于”和“不属于”两种。
1.属于符号：∈–表示某个元素属于某个集合。
例如，若a∈A，则表示a是集合A的一个元素。
2.不属于符号：∉–表示某个元素不属于某个集合。
例如，若b∉B，则表示b不是集合B 的一个元素。
三、集合中不包含于的符号的应用集合中不包含于的符号在数学中的应用非常广泛，可以用于表示某些特定的关系或条件。
1.集合的定义–在数学中，集合的定义通常使用属于符号和不属于符号。
例如，若A={1,2,3}，则可以表示为1∈A，4∉A。
2.集合的运算–在集合的并、交、差等运算中，不属于符号可以用来表示某些元素不属于特定的集合。
例如，若A={1,2,3}，B={2,3,4}，则可以表示A∪B={1,2,3,4}，A∩B={2,3}，A-B={1}。
–在集合的补集运算中，不属于符号可以用来表示某些元素不属于某个集合的补集。
例如，若A={1,2,3}，则可以表示A的补集为A’={x∣x∉A}。
3.条件的表示–在数学中，经常需要表示某个元素满足或不满足某个特定条件。
不属于符号可以用来表示某些元素不满足特定的条件。
例如，若集合A表示所有正整数，可以表示为A={x∣x>0}，则可以表示所有非正整数的集合为A’={x∣x∉A}。
四、结论集合中不包含于的符号在数学中是一种非常常用的符号，用来表示某个元素不属于给定的集合。
它在集合的定义、运算以及条件表示中起到重要的作用。
熟练掌握集合中不包含于的符号的使用方法，对于数学问题的解决具有重要的意义。
集合的全部知识点总结
集合的全部知识点总结集合是数学中的一个基本概念，广泛应用于各个领域。
本文将对集合的相关概念、运算、性质以及其在实际中的应用进行总结。
一、集合的基本概念1. 集合的定义：集合是由确定的元素组成的整体，没有重复元素，顺序不重要。
2. 元素和集合的关系：元素是集合的组成部分，用于描述集合的特征。
3. 表示方法：- 列举法：将集合的所有元素逐个列举出来。
- 描述法：通过一定的特征或条件来描述集合。
4. 空集和全集：- 空集：不含有任何元素的集合，用符号∅表示。
- 全集：包含所有元素的集合，用符号U表示。
二、集合的运算1. 交集：两个集合中具有相同元素的部分构成的新集合，用符号∩表示。
2. 并集：两个集合的所有元素组成的新集合，用符号∪表示。
3. 差集：一个集合中去掉与另一个集合共有元素后的新集合，用符号－表示。
4. 互补集：在全集中与某个集合没有交集的元素所构成的新集合，用符号A'表示。
5. 笛卡尔积：由两个集合的所有有序对构成的集合，用符号×表示。
三、集合的性质1. 包含关系：集合A包含于集合B，表示为A⊆B，当且仅当A的每个元素都是B的元素。
2. 相等关系：如果两个集合A和B互相包含，即A⊆B且B⊆A，则称A和B相等，表示为A=B。
3. 幂集：一个集合的所有子集所构成的集合，用符号P(A)表示。
4. 交换律、结合律和分配律：集合的交换律、结合律与数的运算性质类似，具有相似的性质。
四、集合的应用1. 概率论与统计学：集合论为概率论和统计学提供了重要的数学基础，通过对事件的集合进行分析与运算。
2. 数据库管理系统：集合运算在数据库查询和数据处理中起着重要的作用，用于筛选、合并和处理数据。
3. 逻辑学与集合论关系：集合论与逻辑学相辅相成，通过集合的运算和逻辑连接词（与、或、非）进行逻辑推理。
4. 集合在数学证明中的应用：集合的性质和运算方式在数学证明中经常被使用，可以简化证明过程。
总结：集合是数学中不可或缺的重要概念，它具有基本的定义、运算和性质。
集合与符号
第一章 准备知识§1.1 集合与符号一、集合1．定义：由确定的一些对象汇集的总体称为集合；组成集合的这些对象被称为集合的元素． 2．表示：用大写字母A 、B 、C …表示集合；用小写字母a 、b 、c …表示集合的元素． x 是集合E 的元素，记为E x ∈(读作：x 属于E );y 不是集合E 的元素，记为E y ∉(读作：y 不属于E )．不含任何元素的集合称为空集合，记作Φ 3．集合间的关系（1）子集合：如果集合E 的任何元素都是集合F 的元素，那末我们就说E 是F 的子集合，简称为子集，记为 (F E ⊂读作E 包含于F ）, 或者E F ⊃（读作F 包含E ）．（2）相等：如果集合E 的任何元素都是集合F 的元素，并且集合F 的任何元素也都是集合E 的元素（即F E ⊂并且E F ⊂），那末我们说集合E 与集合F 相等，记为F E =．我们约定：空集合Φ是任何集合E 的子集，即 Φ⊂E ． 二、数集1． N 自然数集; Z 整数集;Q ——有理数集; R ——实数集; C把非负整数、非负有理数和非负实数的集合分别记为Z +，Q +和R +,显然有N ⊂Z ⊂Q ⊂R ⊂C ．和N ⊂Z +⊂Q +⊂R +．2．区间 ——数轴上的一段所有点组成的集合3．邻域 设∈a R ，.0>δ数集 {}δ<-a x x 称为a 的δ邻域，记为 ),(δa U ={}δ<-a x x =()δδ+-a a ,,a 称为邻域的中心；δ称为邻域的半径。
当不需要注明邻域的半径δ时，常把它表为)(a U ，简称a 的邻域． 数集 {}δ<-<a x x 0表示在a 的δ邻域),(δa U 中去掉a 的集合，称为a 的δ去心邻域，记作),(δa U={}δ<-<a x x 0=()δδ+-a a ,-{}a ，当不需要注明邻域半径δ时，常将它表为)(a U，简称a 的去心邻域． 三、逻辑符号1．符号“⇒”表示“蕴涵”或“推得”，或“若…，则…”．A ⇒B ——若命题A 成立，则命题B 成立;或命题A 蕴涵命题B ;称A 是B 充分条件，同时也称B 是A 的必要条例如：n 是整数⇒n 是有理数 符号“⇔”表示“必要充分”，或“等价”，或“当且仅当”．A ⇔B 表示命题A 与命题B 等价;或命题A 蕴涵命题B （A ⇒B ），同时命题B 也蕴涵命题A （B ⇒A ）例如：A ⊂B ⇔任意x ∈A ，有x ∈B ． 2.量词符号符号“∀”表示“任意”，或“任意一个”，它是将英文字母A 倒过来． 符号“∃”表示“存在”，或“能找到”，它是将英文字母E 反过来．应用上述的数理逻辑符号表述定义、定理比较简练明确．例如，数集A 有上界、有下界和有界的定义：数集A 有上界⇔∃b ∈R ，∀x ∈A ，有x ≤b ．数集A 有下界⇔∃a ∈R ，∀x ∈A ，有a ≤x ．数集A 有界⇔∃0>M ，∀x ∈A ，有M x ≤．⇔A 既有上界，又有下界。
高中数学集合符号读法大全
高中数学集合符号读法大全【原创版】目录1.集合符号的定义与概念2.集合符号的读法3.集合符号的应用示例4.集合与集合之间的关系5.总结正文一、集合符号的定义与概念集合符号是高中数学中用于表示集合的符号，它可以用来描述一组确定的、互不相同的元素。
集合符号通常用大写字母表示，如 A、B 等。
集合中的元素用小写字母表示，如 a、b 等。
二、集合符号的读法1.并集：用符号"∪"表示，读作“并”。
例如，A∪B 表示 A 和 B 的并集，即包含在集合 A 或集合 B 中的所有元素的集合。
2.交集：用符号"∩"表示，读作“交”。
例如，A∩B 表示 A 和 B 的交集，即同时属于集合 A 和集合 B 的所有元素的集合。
3.补集：用符号""表示，读作“补”。
例如，A 的补集表示为A，即不属于集合 A 的所有元素的集合。
4.属于：用符号"∈"表示，读作“属于”。
例如，a∈A 表示元素 a 属于集合 A。
5.不属于：用符号""表示，读作“不属于”。
例如，aA 表示元素 a 不属于集合 A。
三、集合符号的应用示例1.判断两个集合是否相等：如果两个集合的元素完全相同，则它们是相等集合。
例如，A={1, 2, 3}，B={1, 2, 3}，则 A=B。
2.求两个集合的并集：例如，A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则 A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
3.求两个集合的交集：例如，A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则 A∩B={3}。
4.求一个集合的补集：例如，A={1, 2, 3}，则A={x | xA}={x | x{1, 2, 3}}={x | x{1, 2, 3, 4,5...}}={x | xN}，其中 N 表示自然数集合。
四、集合与集合之间的关系1.包含关系：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，则前者包含于后者，用符号""表示，读作“包含于”。
集合的数学符号
集合的数学符号集合是数学中一个基础的概念，也是许多数学分支的基础。
它描述了一个由一些元素组成的整体，这些元素可以是任何东西，包括数字、字母、单词、图形等等。
为了描述集合，人们使用了一些特殊的符号和术语，这些符号和术语被称为集合的数学符号。
本文将介绍集合的数学符号及其应用。
一、集合的基础符号集合的基础符号是花括号 {}，它用来表示集合的元素。
例如，{1, 2, 3} 表示一个由数字 1、2、3 组成的集合。
在这个集合中，1、2、3 都是元素。
如果一个集合没有任何元素，那么它就是一个空集，用符号 {} 表示。
二、集合的运算符号1. 并集并集是指两个或多个集合中所有元素的集合。
并集用符号∪表示。
例如，如果 A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，那么 A ∪ B = {1, 2, 3, 4}。
2. 交集交集是指两个或多个集合中共有的元素的集合。
交集用符号∩表示。
例如，如果 A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，那么 A ∩ B = {2, 3}。
3. 补集补集是指一个集合中不属于另一个集合的元素的集合。
补集用符号 A' 表示，其中 A 是一个集合。
例如，如果 A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，那么 A' = {4}。
4. 差集差集是指一个集合中不属于另一个集合的元素的集合。
差集用符号 - 表示，例如，如果 A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，那么 A -B = {1}。
5. 对称差对称差是指两个集合中所有不同元素的集合。
对称差用符号⊕表示，例如，如果 A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，那么 A ⊕ B = {1, 4}。
三、集合的关系符号1. 包含关系包含关系是指一个集合是否包含另一个集合。
包含关系用符号或表示，例如，如果 A = {1, 2, 3}，B = {2, 3}，那么 B A。
2. 相等关系相等关系是指两个集合是否完全相同。
集合的基本概念
集合的基本概念集合是数学中基础而重要的概念之一。
它被广泛应用于各个数学分支和其他科学领域。
本文将介绍集合的基本概念、符号表示法以及一些常见的集合运算。
1. 集合的定义在数学中，集合可以被定义为由确定的对象所构成的整体。
这些对象可以是任何事物，如数、字母、图形等。
一个集合可以包含零个或多个对象，而且每个对象在集合中只能出现一次。
2. 集合的符号表示法数学中，集合通常用大写字母表示，例如A、B、C等。
对于属于集合的对象，可以用小写字母表示，例如a、b、c等。
表示一个对象属于某个集合，可以使用符号“∈”。
例如，如果a属于集合A，我们可以写作a ∈ A。
相反地，如果一个对象不属于某个集合，可以使用符号“∉”。
例如，如果b不属于集合A，我们可以写作b ∉ A。
3. 集合的描述方法有时，我们需要对集合中的对象进行描述。
有两种常见方法可以描述集合：a. 列举法：通过列举集合中的所有对象来描述集合。
例如，如果集合A包含元素1、2和3，我们可以写作A = {1, 2, 3}。
b. 描述法：通过给出满足某个条件的对象来描述集合。
例如，如果集合B包含所有大于0的整数，我们可以写作B = {x | x > 0}，其中“|”表示“满足条件”。
4. 集合的基本运算集合之间可以进行一些常见的运算，包括并集、交集、差集和补集。
a. 并集：两个集合A和B的并集，表示为A ∪ B，包含了A和B中所有的元素。
例如，如果A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}。
b. 交集：两个集合A和B的交集，表示为A ∩ B，包含了A和B共有的元素。
例如，如果A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A ∩ B = {3}。
c. 差集：两个集合A和B的差集，表示为A - B，包含了属于A但不属于B的元素。
例如，如果A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A - B= {1, 2}。
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3. 集合运算
• • • • 集合的并 集合的交 集合的差运算和余(补)运算 集合运算的性质
集合的并
• 集合A和B的并是由A或B的所有元素组成 的集合, 记为A∪B, 也就是 A∪B={x | x∈A或x∈B} • 集合并运算的性质：
– 交换律 A ∪ B= B ∪ A – 结合律A ∪ (B ∪ C)= (A ∪ B) ∪ C
幂集合
• 空集的幂集合是什么？集合{Φ}的幂集 合是什么？ • P(Φ)={Φ} P({Φ})={Φ,{Φ}} • 如果一个集合有n个元素，那么它的幂集 合有2n个元素。
2. 笛卡尔积
• 定义7 有序n元组（a1,a2,…,an)是以a1为第 一个元素，a2为第2个元素，…，an为第n 个元素的有序组。 • 2元组特称为有序偶。 • 集合A和B的笛卡尔积C=A×B表示所有有 序偶(a,b)的集合, 其中a∈A, b∈B. 也就是 A×B={(a,b) | a∈A且 b∈B}
集合的交
• 集合A和B的交是由所有A和B的公共元素 组成的集合, 记为A ∩ B, 也就是 A ∩ B={x | x∈A且x∈B} • 集合交运算的性质：
– 交换律 A ∩ B= B ∩ A – 结合律A ∩ (B ∩ C)= (A ∩ B) ∩ C
集合的差运算和余(补)运算
• 集合的差运算：由集合A中不在集合B中的元 素所组成的集合叫做集合A与集合B的差，记 作A-B, 也就是 A-B={x∈A | x∉B} • 设全集为U，集合A⊂U, U-A叫做A关于U的补 集，当U是公认的时候，简称为A的补集，记 为A
幂集合
• 很多问题都要检查一个集合的元素的所 有可能的组合，看它们是否具有某种性 质。为了考虑集合元素所有可能的组合， 我们构造一个新集合，它以S的所有子集 作为它的元素。
幂集合
• 定义6 已知集合S, S的幂集合是集合S所 有子集的集合，用P(S)表示。 • 例 集合{0, 1, 2}的幂集合是 P({0,1,2}={Φ,{0},{1},{2},{0,1},{0,2 },{1,2},{0,1,2}}。 • 空集的幂集合是什么？集合{Φ}的幂集 合是什么？
• 集合论在计算机科学、人工智能领域、逻辑学及语言 学等方面都有着重要的应用．对子从事计算机科学的 工作者来说，集合论是不可缺少的理论知识，熟悉和 掌握它是十分必要的．
集合(直观描述)
• 具有某种属性的对象总体(通常用大写字 母表示，如A,B等)，这些对象称为其元 素 (通常用小写字母表示，如x,y等). • x A x是A的元素记为: x∈A ( : (读作x属于A) x A) • x不是A的元素记为: x∉A (读作x不属于A) • 集合的基本特性是，对于给定的集合A， 任何对象x, x∈A与x∉A中有且只有一个 成立.
集合的基数
• 定义4 令S为集合。若S中恰有n个不同元 素，n是非负整数，就说S是有限集合， 而n是集合S的基数，用| S |表示。 • 例 令A为小于10的正奇数集合，则|| A | = A 10 5 • 空集Φ没有元素，所以| Φ | = 0 • 定义5 如果一个集合不是有限的，就说 它是无限合的并集、交集和差集等运算会 浪费时间，因为这些运算需要大量元素检索
集合的计算机表示
• 利用全集元素的一个任意排序存放元素 以表示集合。
– 假定全集U是有限的，首先为U的元素任意 规定一个顺序，例如a1,a2,…,an。于是可以用 长度为n的位串表示U的子集A：如果ai属于 A，则位串中第i位是1；如果ai不属于A，则 位串中第i位是0。
6. 集合的势
• • • • • 等势的概念 自然数和有限集 可数集 幂集 不可数集
等势的概念
• 如何说清有限集: 自然数的构造 • 数数的澄清和推广--等势: 如果两个集合 A B A和B之间存在双射,就说A与B是对等的 , A B 或等势的.记做A~B. . A~B. • 等势的性质:
– 1. 自返性: A~A; – 2. 对称性: A~B⇒B~A; – 3. 传递性: A~B, B~C⇒A~C.
• 小于10的正奇数集合A={1, 3, 5, 7, 9} • 表面看起来不相干的元素所构成的集合 {a, 2, Fred, New Jerseg} • 集合B={x | x是小于10的正奇数} • 上例中集合A=B
集合相等和子集合
• 集合相等 集合相等：如果两个集合A和B有同样的 元素组成，就说集合A和B相等，记作A= B或B=A. • 子集合: 如果集合B的元素都是集合A的 : B A 元素，B叫做A的子集合(简称子集). 记作 B⊂A (读作B包含于A)，或A⊃B (读作A包 含B). • 命题： A= B当且仅当A⊂B且A⊃B.
笛卡尔积
• 定义9 集合A1, A2,…,An的笛卡儿积用 A1×A2×…×An表示，这是有序n元组 (a1,a2,…,an)的集合，其中对于i=1,2,…,n， ai∈Ai。 • 什么是笛卡儿积A×B×C，其中 A={0,1},B={1,2},C={0,1,2}?
笛卡尔积
• 什么是笛卡儿积A×B×C，其中 A={0,1},B={1,2},C={0,1,2}? • 解： A×B×C={(0,1,0),(01,1),(0,1,2),(0,2,0),(0, 2,1),(0,2,2),(1,1,0),(1,1,1),(1,1,2),(1,2,0),(1, 2,1),(1,2,2)}
自然数和有限集
• 自然数:
– 0:=∅, 1:={∅} – 递归定义: n+1:={0,1,…,n} – 自然数集: N={0,1,…}, N+ ={1,2,…}
• 有限集: 如果集合A与某个自然数对等， 就说A是有限集. 约定: 空集是有限集 • 两个不同自然数是不对等的. 自然数可以 看成是有限集势的代表
• 由此原发许多数学家哲学家为克服这些矛盾而建立了 各种公理化集合论体系，其中尤以本世纪初、中期的 ZFS(E . Zermelo, A . Fraenkel, T . Skolem)和NBG(Von Neurnann, P . Bernavs, K . Gödel)公理化体系最为流行. 20 60 P Cohen 到 20世纪 60年代，P . L . Cohen发明了强制方法而得 到了关于连续统与选择公理的独立性成果，尔后的研 究结果推陈出新，大量涌现．在同一时代，美国数学 家 L . A.Zadeh提出了Fuzzy集理论, 以及 20世纪80年 代波兰数学家Z . Pawlak发表了Rough集理论，这两种 理论区别于以往的集合论， 是一种新的模糊集理论， 受到了学术界的重视和青睐，取得了喜人成果．还有 多位著名学者也为集合论的发展作出了重要贡献．
集合相等
集合相等的证明
• 可以考虑用成员表来证明集合相等。我 们考虑一个元素可能属于的集合的每一 种组合，并证明在同样的集合组合中的 元素属于等式两边的集合。用1表示元素 数属于一个集合，用0表示元素不属于一 个集合。
集合相等的证明
• 例 用成员表证明 A∩(B∪C)=(A ∩B) ∪ (A∩C)
子集的表示方式和全集
• 设A是一个集合,其子集B通常用下面的形 式表示：B={x∈A | P(x)}, 其中P(x)表示x 在B中所要满足的条件 • 空集：不含任何元素的集合叫做空集,用 符号∅表示,空集是任何集合的子集： ∅={x∈A | x ≠x} • 在数学的讨论中，常常涉及到的是某个 固定集合的子集，例如，实数的子集. 这 个固定集合叫做全集. 一般用E表示.
不可数集
• 不可数集: 不对等于N的无限集叫做不可 数的 • 连续统势: 与P(N)对等的集合叫做具有连 : P(N) 续统的势 • 事实3. F={f: N→{0,1}}与P(N)等势 • 事实4. X={A∈P(N) | ∃k∈N, ∀n≥k, n∈A} 是可数的 • 事实5. 在二进制中1=0.11….(1循环)
可数集(I)
• 无限集: 不是有限集的集合叫做无限集 • 可数集: 与自然数集N等势的集合叫做可 数集 • 命题1. 有理数集Q={m/n | m∈Z, n∈N+}是 可数的 • 证明：利用高度h=|m|+n • 命题2. 可数集的子集是有限的或可数的
可数集(II)
• 命题3. 有限多个或可数多个可数集的并 集仍然是可数的 • 证明: 次对角排列法. : . • 事实1. 任何无限集都有可数子集 • 事实2.设A是无限集, B可数集,则A∪B~B • 说明: 有些数学书或文章中把有限或可数 集一起叫做至多可数的(at most countable) 或可列的(enumeratable),甚至就叫可数的
集合论
1. 集合概念与符号
• • • • 集合(直观描述) 集合相等和子集合 子集的表示方式和全集 常用数学符号和常用集合记号
起源
• 集合论(Set Theory)是现代数学的基础．它的起源可追 溯到16世纪末，主要是对数集进行卓有成效的研 究．但集合论实际发展是由 19世纪 70年代德国数学家 康托尔(G . Cantor) 在无穷序列和分析的有关课题的理 论研究中创立的．康托尔对具有任意特性的无穷集合 进入了深入的探讨，提出了关于基数、序数、超穷数 和良序集等理论，奠定了集合论的深厚基础．因此， 康托尔被誉为集合论的创始人．但随着集合论的发展， 以及它与数学哲学密切联系所作的讨论，在本世纪初， 出现了许多似是而非、自相矛盾的悖论，如著名的罗 素(B . A . W . Russell)悖论，有力冲击了或者说动摇了 集合论的发展．
集合的计算机表示
• 例 令U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而且U的 元素从小到大排序，即ai=i。表示U中所 有奇数的子集、所有偶数的子集和不超 过5的整数的子集的位串分别是什么？ • 解：U中所有奇数的子集即{1,3,5,7,9}的 位串，第1，3，5，7，9位为1，其他位 位0，即 10101 01010