2022届新高考高三数学一轮复习考点讲义第7讲：三角函数【含答案】

三角函数一、知识点 (一)角的概念的推广1、角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

其中顶点，始边，终边称为角的三要素。

角可以是任意大小的。

(1)角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角。

①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角； ②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角。

(2)在直角坐标系中讨论角：①角的顶点在原点，始边在x 轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。

②若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角。

(3)终边相同的角的集合：设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为},360|{Z n n S ∈⋅+α=ββ= 。

集合S 的每一个元素都与α的终边相同，当0=k 时，对应元素为α。

2、弧度制和弧度制与角度制的换算(1)角度制：把圆周360等分，其中1份所对的圆心角是1度，用度作单位来度量角的制度叫做角度制。

(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。

任一已知角α的弧度数的绝对值rl =α||，这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制。

(3)角度制与弧度制的互化：π=2360，π=180；815730.571801'≈≈π= rad ； rad 01745.01801≈π= 。

3、特殊角的三角函数值0 3045 60 90 120 135 150 1800 6π4π 3π 2π 32π 43π 65ππ sin 0 2122 23 1 232221 0 cos 1 232221 0 21- 22- 23- 1- tan 0 331 3 ⨯3- 1- 33- 0210 225 240 270 300 315 330 36067π 45π 34π 23π 35π 47π 611ππ2sin21- 22- 23- 1- 23- 22- 21- 04、平面直角坐标系中特殊线表示的角的集合：其中：Z n ∈，Z k ∈；x 轴正半轴 360⋅nπk 2 第一象限角平分线36045⋅+nπ+πk 24 x 轴负半轴 360180⋅+n π+πk 2 第二象限角平分线 360135⋅+nπ+πk 243 x 轴 180⋅n πk 第三象限角平分线 360225⋅+nπ+πk 245 y 轴正半轴 36090⋅+n π+πk 22第四象限角平分线 360315⋅+nπ+πk 247 y 轴负半轴 360270⋅+n π+πk 223 第一、三象限角平分线 18045⋅+n π+πk 4y 轴 18090⋅+nπ+πk 2 第二、四象限角平分线 180135⋅+n π+πk 43 坐标轴 90⋅n 2πk 象限角平分线 9045⋅+n 24π+πk 5、弧长及扇形面积公式：弧长公式：r l ⋅α=||扇形弧长，扇形面积公式：lr r S 21||212=⋅α=扇形，α是圆心角且为弧度制，r 是扇形半径。

(二)任意角的三角函数1、任意角的三角函数：设α是一个任意角，它的终边上一点P (除了原点)的坐标为)(y x ，，它与原点的距离为0||||2222>+=+=y x y x r ，那么：(1)半径等于单位长的圆叫做单位圆。

设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x 轴交点分别为)01(，A ，)01(，-'A ，而与y 轴的交点分别为)10(，B ，)10(-'，B 。

由三角函数的定义可知，点P 的坐标为)sin (cos αα，，即)sin (cos αα，P 。

其中OM =αcos ，ON =αsin 。

这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标。

过点)01(，A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T (或T ')，则AT =αtan (或T A ')。

(2)正弦r y =αsin ；余弦rx=αcos ； 正切xy=αtan ；余切y x =αcot ；正割xr=αsec ；余割y r =αcsc 。

(3)有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。

具有方向的线段叫做有向线段。

规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。

(4)三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点)(y x P ，，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点)01(，A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T 。

我们就分别称有向线段MP ，OM ，AT 为正弦线、余弦线、正切线。

cos 23- 22-21- 021 22 23 1tan 3313⨯ 3-1-33- 0αT'T (1,tan α)xyO A (1,0)NB'(0,-1)A'(-1,0)P (cos α,sin α)A (1,0)B (0,1)MOyx(5)各象限的符号： αsin αcos αtan一全正 二正弦 三正切 四余弦 2、几个重要结论(1) (2)(3)若20π<<x ，则x x x tan sin <<。

证明：在单位圆O 中，MP x =sin ，AT x =tan ，当20π<<x 时，TOA POA POA S S S ∆∆<<扇形， 则AT OA r x MP OA ⋅<⋅<⋅2121212，则AT x MP <<，则x x x tan sin <<。

3、同角三角函数的基本关系： (1)平方关系：1cos sin 22=α+α； (2)商数关系：α=ααtan cos sin (π+π≠αk 2，Z k ∈)。

(3)几个常用关系式：α+αcos sin ，α-αcos sin ，α⋅αcos sin 三式之间可以互相表示。

推导：设t =α+αcos sin ，]22[，-∈t ，则：22cos sin 21)cos (sin t =α⋅α+=α+α⇒21cos sin 2-=α⋅αt ； 222cos sin 21)cos (sin t -=α⋅α-=α-α⇒22cos sin t -±=α-α。

4、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限：即公式中除α以外的角是2π的奇数倍则变，为角α的相应的余名三角函数；是2π的偶数倍则不变，为角α的相应的同名三角函数；等号后面的符号是把α看成锐角时等号左边的三角函数值的符号。

(1)α=α+πsin )2sin(k α=α+πcos )2cos(k α=α+πtan )2tan(k (Z k ∈) (2)α=α-πsin )sin( α-=α-πcos )cos( α-=α-πtan )tan( (3)α-=α+πsin )sin( α-=α+πcos )cos( α=α+πtan )tan((4)α-=α-sin )sin( α=α-cos )cos( α-=α-tan )tan( (5)α=α-πcos )2sin( α=α-πsin )2cos( α=α-πcot )2tan( (6)α=α+πcos )2sin( α-=α+πsin )2cos( α-=α+πcot )2tan( (7)α-=α-πcos )23sin( α-=α-πsin )23cos( α=α-πcot )23tan( (8)α-=α+πcos )23sin(α=α+πsin )23cos( α-=α+πcot )23tan( (三) 三角函数的图像与性质1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图像与性质(Z k ∈)函数x y sin =x y cos =x y tan =定义域RR},,|{Z k k x R x x ∈π≠∈值域]11[，-22π+π=k x 时1max =y22π-π=k x 时1min -=y]11[，-π=k x 2时1max =y π+π=k x 2时1min -=yR无最大值 无最小值 周期性 周期为π2 周期为π2 周期为π 奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在]2222[π+ππ-πk k ，上↑在]23222[π+ππ+πk k ，上↓在]22[ππ-πk k ，上↑ 在]22[π+ππk k ，上↓ 在)22(π+ππ-πk k ，内↑对称性对称中心：)0(，πk 对称轴：2π+π=k x对称中心：)02(，π+πk 对称轴：π=k x对称中心：)02(，πk推导：|sin |x y =与||sin x y =的性质(Z k ∈)函数 |sin |x y = ||sin x y =定义域 RR值域 ]10[，]11[，-奇偶性 偶函数 偶函数 周期 π=T不是周期函数单调性在]2[π+ππk k ，上↑；在]2[π+ππ+πk k ，上↓增减区间规律不明显，只能就具体区间分析2、函数)sin(ϕ+ω=x A y ，0>A ，0>ω，R x ∈的图像的作法――五点法 (1)确定函数的最小正周期ωπ=2T ； (2)令0=ϕ+ωx 、2π、π、23π、π2得ωϕ-=x 、)2(1ϕ-πω、)(1ϕ-πω、)23(1ϕ-πω、)2(1ϕ-πω，得到五个关键点)0(，ωϕ-、)1)2(1(，ϕ-πω、)0)(1(，ϕ-πω、)1)23(1(-ϕ-πω，、)0)2(1(，ϕ-πω； (3)描点作图，先作出函数在一个周期内的图像，然后根据函数的周期性，把函数在一个周期内的图像向左、右扩展，得到函数)sin(ϕ+ω=x A y ，0>A ，0>ω，R x ∈的图像。

3、三角函数的伸缩变化复习：函数图像平移基本结论小结如下：(0)()()a a y f x y f x a >=−−−−−−→=+左移个单位 (0)()()a a y f x y f x a >=−−−−−−→=-右移个单位 (0)()()a a y f x y a f x >=−−−−−−→-=上移个单位 (0)()()a a y f x y a f x >=−−−−−−→+=下移个单位1()()y f x y f x ωω=−−−−−−−−→=各点横坐标变成原来的倍()()y f x Ay f x =−−−−−−−−→=1各点纵坐标变成原来的倍A()()x y f x y f x =−−−−→-=绕轴翻折(1)先平移后伸缩：x y sin =的图像ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得)sin(ϕ+=x y 的图像 ()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变得)sin(ϕ+ω=x y 的图像 ()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变得)sin(ϕ+ω=x A y 的图像 (0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得k x A y +ϕ+ω=)sin(的图像。