三角函数与解三角形复习讲义
第3讲 大题专攻——三角函数与解三角形 2023高考数学二轮复习课件
22
∴ba＝ssiinn BA＝
3 3
＝2 3
6.
3
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解三角形中的证明问题
【例3】 (2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)．
(1)证明：2a2＝b2＋c2；
解 证明：法一：由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)可得，sin Csin Acos
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2．(2021·新高考全国Ⅱ卷)(正、余弦定理，三角形面积公式)在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2. (1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积； 解：由2sin C＝3sin A及正弦定理可得2c＝3a. 结合b＝a＋1，c＝a＋2，解得a＝4，b＝5，c＝6. 在△ABC 中，由余弦定理得 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝16＋2450－36＝18，所以 sin
C＝ 1－cos2C＝387， 所以 S△ABC＝12absin C＝12×4×5×387＝154 7.
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(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；
若不存在，说明理由．
解：设存在正整数a满足条件，由已知c＞b＞a，所以C为钝角．
所以cos
C＝
Байду номын сангаас
a2＋b2－c2 2ab
＜0⇒a2＋b2＜c2⇒a2＋(a＋1)2＜(a＋2)2⇒(a＋1)(a
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三角形中基本量的求解
【例2】 (2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，
c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1
三角函数及解三角形知识点总结
1. 任意角的三角函数的定义： 设〉是任意一个角，p （x,y ）是〉的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是「“x 2r 2.o ,位置无关。
2. 三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）+L i+ ——L+ _ - + ------ ■——+ -■sin ： cos ： tan ：3. 同角三角函数的基本关系式:4.三角函数的诱导公式 k 二.一诱导公式（把角写成2…形式，利用口诀：奇变偶不变，符（2）商数关系：tan-E屮一、cos 。
（用于切化弦） （1）平方关系: 2 2 2sin 工 cos ■■ -1,1 tan : 1cos 2:※平方关系一般为隐含条件，直接运用。
注意“ 1”的代换si …y,cos 」那么r三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点5. 特殊角的三角函数值度 0s30cA45“A60“90 120cA135“150s 180c 270° 360弧31JIJI2n3兀 5兀 JI3兀 2兀度64323462si n 。
01 竝迈1旦1 01222222cosa亦11念力12_112 2222号看象限）sin （2k .亠 x ） = sin x cos （2k ■亠 x ） = cosx ［）tan （2k ，亠 x ）二 tanxsin （ -x ） - - sin x cos （-x ） =cosx H ）tan（-x ） - - tanxm ）|sin （，亠 x ） = -sin x cos （m ） = - cosx tan （二 x ） IV ） Sin （兀 _x ） =sin x cos （兀—x ） = —cosx tan （兀一sin （— -〉）= cos ..zsin （㊁：）=cos ：V ）-?） = sin :6. 三角函数的图像及性质7.函数厂Asi n( X J图象的画法：n 5m —兀-2兀①“五点法” __设X-x…•，令X = 0, 2,，2，求出相应的X 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。
高三专题三角函数与解三角形总结归纳
三角函数一. 任意角的概念与弧度制 （一）角的概念的推广 1.角概念的推广：在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向，旋转多少度角就是多少度角.按不同方向旋转的角可分为正角和负角，其中逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角.习惯上将平面直角坐标系x 轴正半轴作为角的起始边，叫做角的始边.射线旋转停止时对应的边叫角的终边. 2.特殊命名的角的定义：（1）正角，负角，零角 ：见上文.（2）象限角：角的终边落在象限内的角，根据角终边所在的象限把象限角分为：第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角. （3）轴线角：角的终边落在坐标轴上的角.终边在x 轴上的角的集合： {}|180,k k Z ββ=⨯︒∈ 终边在y 轴上的角的集合： {}|18090,k k Z ββ=⨯︒+︒∈终边在坐标轴上的角的集合：{}|90,k k Z ββ=⨯︒∈ （4）终边相同的角：与α终边相同的角：2,x k k Z απ=+∈ （5）与α终边反向的角：()21,x k k Z απ=++∈终边在y x =轴上的角的集合：{}|18045,k k Z ββ=⨯︒+︒∈ 终边在y x =-轴上的角的集合：{}|18045,k k Z ββ=⨯︒-︒∈（6）若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：180,k k Z αβ=⨯︒+∈ （7）成特殊关系的两角若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：360,k k Z αβ=⨯︒-∈ 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：360180,k k Z αβ=⨯︒+︒-∈ 若角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：36090,k k Z αβ=⨯︒+±︒∈注意： （1）角的集合表示形式不唯一； （2）终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同.（二）弧度制1.弧度制的定义：lRα=2.角度与弧度的换算公式：180π︒= 3602π︒= 10.01745︒= 157.305718'=︒=︒注意： （1）正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；（2）一个式子中不能角度、弧度混用.二. 任意角三角函数 （一）三角函数的定义 1.任意角的三角函数定义正弦r y =αsin ，余弦r x =αcos ，正切xy=αtan ，余切y x =αcot2.三角函数的定义域（二）单位圆与三角函数线 单位圆的三角函数线定义如图（1）PM 表示α角的正弦值，叫做正弦线；OM 表示α角的余弦值，叫做余弦线. 如图（2）AT 表示α角的正切值，叫做正切线.注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负.（三）同角三角函数的基本关系式（1）sin csc 1,cos sec 1,tan cot 1αααααα⋅=⋅=⋅= （2）商数关系：ααααααcot sin cos ,tan cos sin == （3）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+=（四）诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）()()()()sin sin cos cos tan tan cot cot πααπααπααπαα+=-+=-+=+= ()()()()s i n 2s i n c o s 2c o s t a n 2t a n c o t 2c o t πααπααπααπαα-=--=-=--=-()()()()s i n s i n c o s c o s t a n t a n c o t c o tπααπααπααπαα-=-=--=--=-sin cos 2cos sin 2tan cot 2πααπααπαα⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎛⎫+=- ⎪⎝⎭⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ s i n c o s 2c o s s i n 2t a n c o t 2πααπααπαα⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝⎭三. 三角函数的图象与性质（一）基本图象1.正弦函数2.余弦函数3.正切函数（二）函数图象的性质正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质四. 和角公式 两角和与差的公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαsinsin cos cos )cos(+=-βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+()s i n s i n c o sc o s s i nαβαβαβ-=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-五. 倍角公式和半角公式 （一）倍角与半角公式αααcos sin 22sin =2cos 12sin αα-±=ααααα2222sin211cos 2sin cos 2cos -=-=-= 2cos 12cos αα+±= ααα2tan 1tan 22tan -=s i n 1c o s t a n 21c o s s i n αααααα-==+（二）万能公式2tan 12tan2sin 2ααα+= 2tan 12tan 1cos 22ααα+-= 2tan 12tan2tan 2ααα-=六. 三角函数的积化和差与和差化积公式()()1s i n c o s s i n s i n 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦ ()()1c o ss i n s i n s i n 2αβαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦ ()()1c o s c o s c o s c o s 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦ ()()1s i n s i n c o s c o s 2αβαβαβ=-+--⎡⎤⎣⎦ s i n s i n 2s i n c o s 22αβαβαβ+-+= 2c o s 2c o s 2c o s c o s βαβαβα-+=+s i n s i n 2c o s s i n 22αβαβαβ+--= co s c o s 2s i n s i n 22αβαβαβ+--=-sin15cos 754︒=︒=sin 75cos154︒=︒=tan15cot 752︒=︒=tan 75cot152︒=︒=+七. 辅助角公式（合一变形）()sin cos ,tan ,,22b a x b x x a ππϕϕϕ⎛⎫+=+=∈- ⎪⎝⎭一. 恒等变换 （一）基础题型1.（2015·福建）若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α=（ ） A.125B.125- C.512D.512-2.已知α是第二象限的角，()4tan 23πα+=-，则tan α=________3.=________4.已知0θπ<<，1tan 47πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin cos θθ+=________5.方程()233102x ax a a +++=>两根tan ,tan αβ，且,,22ππαβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则αβ+=________6.已知()tan 4cos 2,22ππθπθθ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，则tan2θ=（ ）A.C.（二）诱导公式1.已知奇函数()f x 在[]1,0-上为单调减函数，若,αβ为锐角三角形内角，则（ ）A.()()cos cos f f αβ>B.()()sin sin f f αβ>C.()()sin cos f f αβ<D.()()sin cos f f αβ>2.已知,,2παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且cos sin 0αβ+>，则下列各式中成立的是（ ）A.αβπ+<B.32παβ+>C.32παβ+=D.32παβ+<（三）互余互补sin cos 2πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ c o s s i n 2πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ sin()sin πθθ-= c o s ()c o sπθθ-=-1.已知4cos 35πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________；2cos 3πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭2.（2016·广州检测）已知1cos 123πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 则5sin 12πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ）A.13 B.3C.13-D.3-3.（2017·合肥模拟）已知1cos cos ,,63432ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅-=-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）求sin 2α的值； （2）求1tan tan αα-的值.（四）配凑角（已知条件会给θ范围）1.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若3cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 12πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭2.设()21tan ,tan 544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.138B.322C.1318D.13223.（2017·成都模拟）若()sin 2,sin 510αβα=-=且3,,,42ππαπβπ⎡⎤⎡⎤∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则αβ+=（ ） A.74πB.94πC.54π或74πD.54π或94π4.若()111cos ,cos ,0,,,71422ππααβααβπ⎛⎫⎛⎫=+=-∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则β=（ ）A.3π- B.6πC.3πD.6π-5.若3335,,0,,cos ,sin 44445413πππππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈∈-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()sin αβ+=________6.已知sin sin 3παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.45-B.35-C.45D.35（五）升角（一倍角、二倍角转换） 解题思路：2cos 212sin θθ=- 2c o s 22c o s 1θθ=-一） 升角+诱导公式1.（2016·宿州模拟）若1sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.9B.9-C.79D.79-2.已知锐角θ满足2sin 263θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 6πθ⎛⎫+⎪⎝⎭=（ ）A.19-C. D.193.（2016·南昌三模）已知tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 2α=（ ）A.34B .35C.34-D.35-4.已知1sin 43x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 42cos3sin x x x -=（ ）A.79B.79-C.9D.9-二）升角+互余、互补1.已知1sin 33x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin cos 233x x ππ⎛⎫⎛⎫---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________2.（2017·江西新余三校联考）已知7cos 238x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 3x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.14B.78C.14±D.78±三）升角+配凑1.已知锐角θ满足2sin 263θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5cos 6πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（ ）A.19-B.9C.9-D.192.已知33cos ,4522πππαα⎛⎫+=≤< ⎪⎝⎭，则cos 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________3.已知cos 0,4102ππθθ⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭________ （六）平方一）sin cos c θθ+=解题思路：2(sin cos )1sin 2θθθ±=± 1.已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=________2.已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin cos 222αα+=，则cos α=________3.已知1sin cos 3αα+=，则2sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.118B.1718C.89D.94.已知()1sin cos ,,05x x x π+=∈-.（1）求sin cos x x -的值；（2）求2sin 22sin 1tan x xx+-的值．5.已知4sin cos 034πθθθ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭，则sin cos θθ-=________6.若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3cos 2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）A.118B.118-C.1718D.1718-7.若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x =+-的最小值为（ ）A.12-+B.12+ C.18.若,22sin sin =+βα则βαcos cos +的取值范围________二）sin cos a b c θθ+=1.已知2sin cos 2αα+=，则tan 2α=________2.（2016·厦门质检）若2sin 21cos2αα=-，则tan α=________3.（2016·开封模拟）已知12sin 5cos 13αα-=，则tan α=（ ）A.512- B.125-C.125±D.712±4.已知sin αα+=tan α=（ ）A.2C.2-D.（七）12tan tan sin 2θθθ+= （2016·青岛模拟）化简：211tan sin 22cos tan 2αααα⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭________（八）齐次式 1.若tan 2α=，则2sin 3cos 4sin 9cos αααα-=-________；224sin 3sin cos 5cos αααα--=________2.（2015·广东）已知tan 2α=.（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值.3.（2016·天一大联考）已知函数()()log 24a f x x =-+（0a >且1a ≠），其图象过定点P ，角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点P ，则sin 2cos sin cos αααα+=-________4．（广东省广州2017届高三下学期第一次模拟）已知tan 2θ=，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则co s 2θ=（ ） A.45B.35C.35-D.45-5.已知3tan 5α=-，则sin 2α=（ ）A.1517B.1517- C.817-D.8176.若sin 3sin 02παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ）A.35-B.35C.45-D.45二. 三角函数图象的变换 （一）图象平移和伸缩1.将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）A.12x π= B.6x π=C.3x π=D.12x π=-2.已知函数()()()sin cos 0,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ）A.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B.()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C.()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D.()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增3.将函数()()cos f x x x x R =∈的图象向左平移()0αα>个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则α的最小值为（ ）A.12πB.6πC.3πD.56π4.已知函数()()()sin 2cos 0y x x πϕπϕϕπ=+-+<<的图象关于直线1x =对称，则sin 2ϕ=______5.（2014·辽宁卷）将函数3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A.在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减B.在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C.在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D.在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增6.（2017·渭南模拟）由()y f x =的图象向左平移3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则()f x 的解析式为（ ）A.()32sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.()2sin 66f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C.()32sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.()2sin 63f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7.（2014·安徽）若将函数()sin 2cos2f x x x =+的图象向右平移ϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值为（ ） A.8πB.4πC.38πD.5π48.（2016·广东汕头模拟）将函数()sin 6y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12倍，再把图象上各点向左平移4π个单位长度，则所得的图象的解析式为（ ） A.5sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B.1sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.15sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9.当4x π=时，函数()()()sin 0f x A x A ϕ=+>取得最小值，则函数34y f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭是（ ） A.奇函数且图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称B.偶函数且图象关于点(),0π对称C.奇函数且图象关于直线2x π=对称D.偶函数且图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称10.（2016·长沙四校联考）将函数()()sin 0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-≤< ⎪⎝⎭图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度得到sin y x =的图象，则函数()f x 的单调递增区间为（ ） A.52,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B.52,2,66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C.5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D.5,,66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦11.为了得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，可将函数sin 2y x =的图象（ ）A.向左平移56π个单位长度 B.向右平移56π个单位长度 C.向左平移512π个单位长度D.向右平移512π个单位长度12.（2013·新课标全国卷Ⅱ）函数()()cos 2y x ϕπϕπ=+-≤<的图象向右平移2π个单位后，与函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象重合，则ϕ=________二）图象求解析式1.若函数()f x 具有以下两个性质：①()f x 是偶函数；②对任意实数x ，都有44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则()f x 的解析式可以是（ ） A.()cos f x x =B.()cos 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.()sin 42f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.()cos6f x x =2.已知()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<在同一周期内当12x =时取最大值，当12x =时取最小值，与y 轴的交点为(，则()f x =____________3.已知函数)0,()sin()(πϕϕ<<∈+=R x x x f ，若点1,62π⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数26y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上，则ϕ=_________4.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，对于任意x 都有66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭________5.（2017·安徽江南十校联考）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，且对任意x R ∈，都有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，则()f x 图象的一个对称中心的坐标是（ ）A.2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭C.2,03π⎛⎫⎪⎝⎭D.5,03π⎛⎫⎪⎝⎭6.已知函数()()3sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭和()()3cos 2g x x ϕ=+的图象的对称中心完全相同，若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的取值范围________7.（2015·湖南）将函数()sin 2f x x =的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的12,x x ，有12min 3x x π-=，则ϕ=（ ） A.512πB.3πC.4πD.6π8.（2016·安徽芜湖一模）函数()()sin ,0,2f x x x R ωϕωϕ⎛⎫=+∈>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若122,,63x x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()()12f x f x =，则()12f x x +=（ ）A.2-B.12-C.12D.29.（2017·石家庄模拟）函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则1124f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A.2- B.2-C.2-D.1-10.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A.6π- B .6πC.3π-D.3π11.已知函数()()sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则6y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭取得最小值时x 的集合为________12.已知函数()()cos f x A x ωϕ=+的图象如图所示，223f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则6f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A.23-B.12-C.23D.1213.（2016·泉州质检）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若tan 3α=，则8f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.35-B.45-C. D.三．特殊三角函数最值1.当06x π<≤时，函数()22cos cos sin sin xf x x x x=-的最小值为________2.求函数()2cos ,0,sin xy x xπ-=∈的最小值.3.（2016·全国Ⅱ）函数()cos 26cos 2f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最大值为（ ）A.4B.5C.6D.74.函数273sin 2cos ,,66y x x x ππ⎡⎤=--∈⎢⎥⎣⎦的值域为________5.求函数2sin 12sin 1x y x +=-的值域.6.求函数sin 2cos xy x=-的最小值.7.求函数2cos y x=+的值域.8.若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2214s in c o s αα+的最小值为________9.求函数()()1sin 3sin 2sin x x y x++=+的最值及对应的x 的集合.四．参数相关1.已知0ω>，函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，则ω的取值范围________2.（2016·全国乙卷）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为（ ）A.11B.9C.7D.53.已知函数()()2sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭在区间,126ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦则ϕ的取值范围（ ）A.0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.,04π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D.,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4.若函数()()s i n 0f x x ωω=>在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=________5.已知0ω>, ()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围（ ）A.15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.10,2⎛⎫⎪⎝⎭D.(]0,26.若已知0ω>，函数()cos 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围________7.已知()()sin 0,363f x x f f πππωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间错误！未找到引用源。
高中三角函数及解三角形知识点总结(高考复习)
= 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α .
变形如下：
1 + cos 2α = 2 cos 2 α 升幂公式： 2 1 − cos 2α = 2sin α cos 2 α = 1 (1 + cos 2α ) 2 降幂公式： sin 2 α = 1 (1 − cos 2α ) 2
y = sin x 在 x ∈ [0, 2π ] 上的五个关键点为：
π 3π （0， 0） （ ， ， 1 ） （ ， π， 0） （ ， ，） -1（ ， 2π ， 0） . 2 2
-1-
§1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象：
y
2、记住余切函数的图象：
y
y=tanx
y=cotx
y = A sin ω x
横坐标变为原来的 | 平 移
ϕ ω
2− 3
§ 3.1.2 、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1 ω
|倍
个 单 位
1、 sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β 2、 sin (α − β ) = sin α cos β − cos α sin β
r = x2 + y 2 ） sin α = x y x y ， cos α = ， tan α = ， cot α = y r r x
π sin + α = cos α , 2 π cos + α = − sin α . 2
§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象：
ymax + ymin . 2
ymax − ymin ， 2
(完整版)三角函数及解三角形知识点总结
1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y xr rαα==，()tan ,0yx xα=≠三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。
2.三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ －sin α cos α tan α3. 同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：22221sincos 1,1tan cos αααα+=+=（2）商数关系：sin tan cos ααα=（用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。
注意“1”的代换4.三角函数的诱导公式诱导公式（把角写成απ±2k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限）Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+ααπααπsin )2cos(cos )2sin(5.特殊角的三角函数值6.三角函数的图像及性质 sin y x =cos y x = tan y x =图像定义域 R R,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k Z ∈时，max 1y =；当22x k ππ=-()k Z ∈时，当()2x k k Z π=∈时，max 1y =；当2x k ππ=+()k Z ∈时，min 1y =-．既无最大值也无最小值度0 30 45 60 90 120 135 150 180︒270360弧度6π 4π 3π 2π 23π 34π 56π π32π 2πsin α122232132 22121cos α132 2212 012- 22- 32- 1- 0 1tan α 0 3313无3-1-33-无函数 性 质7.函数sin()y A x ωϕ=+图象的画法： ①“五点法”――设X x ωϕ=+，令X ＝0，3,,,222ππππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象； ②图象变换法：这是作函数简图常用方法。
三角函数和解三角形知识点汇总
三角函数和解三角形知识点汇总知识点一三角函数（一）、角的概念的推广1．定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.2．分类：按旋转方向不同分为正角、负角、零角．按终边位置不同分为象限角和轴线角．3．终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.（二）、弧度制的定义和公式1．定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. 2．公式（三）、任意角的三角函数（四）、同角三角函数的基本关系 1．平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. 2．商数关系：sin αcos α＝tan α.（五）、三角函数的诱导公式知识点二 三角函数的图像与性质（一）、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图1．正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).2．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).（二）、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )知识点三函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像及应用（一）、“五点法”作函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：1．定点：如下表所示.2．作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝A sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象.3．扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝A sin(ωx＋φ)在R上的图象.（二）、函数y＝A sin(ωx＋φ)中各量的物理意义当函数y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞) 表示一个振动量时，几个相关的概念如下表：（三）、函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种途径知识点四 三角恒等变换（一）、两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.（二）、二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan 2α.（三）、有关公式的逆用、变形等 1．tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β). 2．cos 2α＝1＋cos 2α2， sin 2α＝1－cos 2α2. 3．1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.（四）、函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b .知识点五 解三角形（一）、正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则（二）、S△ABC＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.（三）、实际问题中的常用角1．仰角和俯角：在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).2．方位角：从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫作方位角．如B点的方位角为α(如图2)．3．方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.4．坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.。
第九章 三角函数与解三角形
第九章 三角函数、三角恒等变换与解三角§9.1三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式【高考考点】（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式.【知识点梳理】1、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z2、角度制与弧度制的互化（1）1弧度角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角； （2）弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭（3）弧长及扇形面积公式： 22121,...R lR S R l αα==⋅=扇形其中扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l 。
（4）特殊角的角度与弧度（请完成表格）（5）特殊角的三角函数值：3、任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α=r y 余弦cos α=r x 正切：tan α=xy1弧度LR(2)各函数在不同象限的符号：正弦 余弦 正切4.同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：sin 2α+ cos 2α=1 （2）商数关系：ααcos sin =tan α （在利用已知角的某一三角函数值求另外三角函数值时，还可用解直角三角形得出结论，但一定要注意函数值的取值符号。
） 5.诱导公式： 记忆口诀：把a k ±2π的三角函数化为a 的三角函数 概括为：奇变偶不变，符号看象限。
()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=， ()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()t a n t a nπαα+=． ()()3sin sin αα-=-， ()c o s c o s αα-=， ()t a n t a n αα-=-． ()()4sin sin παα-=， ()cos cos παα-=-， ()t a n t a n παα-=-． ()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭; ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭,cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．【课前预习】1. _____240sin =o _____390cos =o=π34tan_________ 2.一扇形圆心角为,120o半径为1，则圆心角所对的弧长为:_______3．已知角α的终边经过点P (2，－3)，则：sin sin α=_______,cos α=________tan α=________【典型例题】【例1】cos300︒=（ ）yx xy O — + — +y O — + + —+ + — _ xA. B.-12 C.12 D.【解析】()1cos300cos 36060cos 602︒=︒-︒=︒=【例2】若4sin ,tan 05θθ=->，则cos θ= .【解析】由已知，θ在第三象限，∴3cos 5θ===-.【例3】求函数y ＝|tan |tan cos |cos ||sin |sin x xx x x x ++的值域. 【解析】对x 进行分类讨论得出函数值。
(完整版)三角函数解三角形知识点总结
1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y xr rαα==，()tan ,0yx xα=≠三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。
2.三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ －sin α cos α tan α3. 同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：22221sin cos 1,1tan cos αααα+=+= （2）商数关系：sin tan cos ααα=（用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。
注意“1”的代换4.三角函数的诱导公式诱导公式（把角写成απ±2k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限）Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+ααπααπsin )2cos(cos )2sin(5.特殊角的三角函数值6.三角函数的图像及性质sin y x =cos y x = tan y x =图像定义域 R R,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k Z ∈时，max 1y =；当22x k ππ=-()k Z ∈时，当()2x k k Z π=∈时，max 1y =；当2x k ππ=+()k Z ∈时，min 1y =-．既无最大值也无最小值度0 30 45 6090 120 135 150 180︒270360弧度0 6π 4π 3π 2π 23π 34π 56π π32π 2π sin α1222 32132 22121cos α132 221212- 22-32-1- 0 1tan α 0 331 3无3- 1-33-无7.函数sin()y A x ωϕ=+图象的画法： ①“五点法”――设X x ωϕ=+，令X ＝0，3,,,222ππππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象； ②图象变换法：这是作函数简图常用方法。
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三角函数与解三角形复习讲义第一节：任意角1．角的概念的推广(1)定义：角能够看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．辨析：终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同． 2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. 角度与弧度的换算①1°＝π180 rad ；②1 rad ＝︒)180(π弧长公式 l ＝|α|r扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 2 π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3.常见三角函数值考点一：任意角1、将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是 ( ) A.π3 B.π6 C ．－π3 D ．－π62、已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________．3、一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .考点二：任意三角函数任意角的三角函数的定义(推广)：设P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O 的距离为ρ（有时也写r ）（22y x +=ρ）， 则sin α＝ρy，cos α＝ρx，tan α＝yx (x ≠0)，1、已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( )A ．－15 B.3715 C.3720 D.13152、已知角α的终边与单位圆的交点为M (12，y )，则sin α等于( )A.32 B ．±32 C.22 D ．±223、已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.4、已知α是第二象限的角，其终边上的一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，则tan α等于( ) A.155 B.153 C ．－155 D ．－1535、点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动3π弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为 ( ) A.)23,21(-B.)21,23(--C.)23,21(--D.)21,23(-6、已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0.则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3) D ．[－2,3]考点三：三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．① sin θ =ρy，一、二象限0>y 为﹢；三、四象限0<y 为﹣②cos θ =ρx，一、四象限0>x 为﹢；二、三象限0<x 为﹣ ③tan θ = yx，一、三象限y x ,同号为﹢；二、四象限y x ,异号为﹣1、已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2、若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限第二节：三角恒等变换考点四：同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；(2)商数关系：tan α＝sin αcos α.例1：αααtan ,cos ,sin 转化①、已知x ∈)0,2(π-，cos x ＝45，则tan x 的值为( )A.34 B ．－34 C.43 D ．－43②、若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ． －125 C.512 D ．－512 ③、角α终边在y = 2x 上，则sin α的值为( )A -5 5 B 5 5 C 2 5 5 D ±2 55例2：构造αtan①、若tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α＋cos 2α＝( )A.165 B ．－165 C.85 D ．－85②、已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α＝________.例3：ααααααcos sin ,cos sin ,cos sin ⋅-+①、已知,34cos sin =-αα则=α2sin ②、已知sin αcos α＝38，且π4<α<π2，则cos α－sin α的值为( )A.12 B ．±12 C ．－14 D ．－12 ③、已知α为第二象限角，,33cos sin =+αα则=α2cos A ．35-B ．95- C.95 D.35 ④、若三角形内角α满足sin α＋cos α＝15，则tan α等于( )A ．－43B ．－34 C.43 D.34考点五：诱导公式（当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∉2,0πα时，常用诱导公式化简求解）诱导公式可简记为：符号看象限，奇变偶不变。
1、=︒840sin2、sin(－1 200°)·cos 1 290°＋tan 945°＝________.3、若390°角的终边上有一点P (a ，3)，则a 的值是( ) A. 3 B ．3 3 C ．－ 3 D ．－334、sin 4π3·cos 5π6·)34tan(π-的值为________．5、已知tan α＝12，且α∈)23,(ππ，则cos )2(πα-＝_____. 6、已知f (α)＝)tan()cos()23sin()2cos(απαπαπαπ----+，则=-)325(πf ________．7、在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．考点六：两角和与差S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. 异名相乘，符号同； C (α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. 同名相乘，符号反；T (α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β . 分子同，分母反.例1：①、若43tan =α，α是第三象限的角，则=+)4sin(πα ②、已知),0(,,55cos ,31tan πβαβα∈=-=。
则=+)tan(βα 例2：①、=︒︒+︒︒167cos 43sin 77cos 43cos②、=︒︒+︒︒313sin 253sin 223sin 316sin 例3：①已知sin )3(πα-＝13，则cos )6(πα+的值为( ) A ．－13 B.13 C.223 D ．－223②已知cos )6(απ-＝23，则sin )32(πα-＝________. ③若==-απαtan ,61)4tan(则 ④已知20,1413)cos(,71cos πβαβαα<<<=-=且。
则=β⑤已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点)54,53(--P .若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________．⑥已知sin α + cos β = 1，cos α + sin β = 0，则sin(α + β)_____考点七：二倍角公式S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α ⎪⎭⎫⎝⎛∈+≠+≠Z k k k ，且242ππαππα. 二倍角是相对的，例如，α2是α4的二倍角，3α是3α2的二倍角．1、已知==ααtan ,22tan则2、若sin ()π－α＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为( )A ．－229B ．－429 C.229 D.4293、设),,2(,sin 2sin ππααα∈-=则=α2cos4、已知sin α＝45，且α∈)23,2(ππ，则sin )32(πα+的值为________．5、已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.则cos 2α=________ ；tan(α－β)=________．6、锐角α满足=+=+)122sin(,54)6cos(παπα则 7、若tan α > 0，则( )A .sin 2α > 0 B. cos α > 0 C. sin α > 0 D. cos 2α > 08、cos 20°cos 35°1－sin 20°＝考点八：化简（口决：一拆二降三辅助）降次公式：cos 2α＝1＋cos 2α2；sin 2α＝1－cos 2α2；22sin cos sin ααα=⋅。
辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中ab=αtan 1、化简函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x . 2、化简函数f (x )＝sin )2(x -πsin x －3cos 2x .3、化简函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x4、化简函数f (x )＝4tan x sin )2(x -π·cos )3(π-x － 3. 5、已知cos )6(πα-＋sin α＝435，则sin )6(πα+＝________.第三节：三角函数的图象性质考点九：最小正周期函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|； 函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|；1、函数)4sin(cos )4cos(sin ππ+++=x x x x y 的最小正周期=T ________． 2、已知函数)0(),4sin(cos 4)(>+=ωπωωx x x f 的最小正周期为π，则=ω________．3、若x ＝π8是函数f (x )＝2sin )4(πω-x ，x ∈R 的一个零点，且0<ω<10，则函数f (x )的最小正周期为________．考点十：三角函数的最值例1：R 上的最值（将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)+B ，M=A+B ，m=B A +-）①函数x x y cos sin 2-=的最大值为________． ②若函数x a x x f cos sin 4)(+=的最大值为5，则常数=a ________． ③函数)6cos()3sin(51)(ππ-++=x x x f 的最小值为________． ④函数)cos(sin 2)2sin()(ϕϕϕ+++=x x x f 的最小值为________．例2：闭区间上的最值（由定义域求ωx ＋φ的范围，再根据图像讨论值域） ①函数f (x )＝3)62sin(π-x 在区间]2,0[π上的值域为( )A ．]23,23[-B ．]3,23[-C ．]233,233[- D ．]3,233[- ②已知函数y ＝2cos x 的定义域为],3[ππ，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是( )A ．2B ．3C ．3＋2D ．2－3例3：与二次函数相结合的最值（令同名三角函数为t 换元，由定义域求t 的范围，再讨论二次函数值域） ①2)62sin(π+x ＋2)34cos(π+x ＝a 有实数解，求a 的取值范围________．②函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34，]2,0[π∈x 的最大值是________．考点十一：三角函数的对称性1、已知函数f (x )＝2sin )6(πω+x ，(ω>0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( )A ．关于点)0,3(π对称B ．关于点)0,35(π对称 C ．关于直线x ＝π3对称D ．关于直线x ＝5π3对称2、已知函数y ＝sin(2x ＋φ)，22πϕπ<<-的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为________．3、若函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点)0,34(π对称，则|φ|的最小值为( ) A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．π24、若函数f (x )＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则tan θ等于________．5、已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有)6()6(x f x f -=+ππ，则=)6(πf ________． 考点十二：三角函数的单调区间例1：R 上的单调区间（结合图像写出关于ωx ＋φ的三联不等式，从而解得x 的取值范围） ①已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎪⎭⎫⎝⎛<<>320,0πϕω的最小正周期为π. (ⅰ)求当f (x )为偶函数时φ的值； (ⅱ)若f (x )的图象过点)23,6(π，求f (x )的单调递增区间．②已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )．(ⅰ)求)32(πf 的值； (ⅱ)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．③函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)，（2||πθ<）的图象关于点)0,6(π对称，则f (x )的单调递增区间为( )A ．⎣⎡⎦⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈ZB ．⎣⎡⎦⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z C ．⎣⎡⎦⎤－7π12＋k π，－π12＋k π，k ∈Z D ．⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z 例2：给定区间上的单调区间（R 上的单调区间与给定区间取交）①已知函数f (x )＝cos(x ＋θ)(0<θ<π)在x ＝π3时取得最小值，则f (x )在[0，π]上的单调递增区间是( )A ．],3[ππB ．]32,3[ππ C ．]32,0[π D ．],32[ππ②已知函数)0(),4sin(cos 4)(>+=ωπωωx x x f 的最小正周期为π。