初三数学三角函数经典复习讲义
九年级数学三角函数全章知识点整理
初中三角函数整理复习一．三角函数定义。
siaA=斜边的对边A ∠,cosA=斜边的邻边A ∠,tanA=的邻边的对边A A ∠∠二、特殊角的三角函数： sia 30°、cos45° 、 tan60° 归纳结果练习： 求下列各式的值（1）sia 30°+cos30°（2）2sia 45°-21cos30°(3)04530cos sia +ta60°-tan30°三．解直角三角形主要依据(1)勾股定理：a 2+b 2=c 2(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°(3)边角之间的关系：tanA=的邻边的对边A A ∠∠例题评析：例1、在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ， 且b=2 ，a=6，解这个三角形．例2、在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b= 20B ∠=350，解这个三角形（精确到0.1）． 斜边的邻边A A ∠=cos 斜边的对边A A ∠=sin例 3、在Rt △ABC 中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．例4、在△ABC 中，∠C 为直角，AC=6，BAC ∠的平分线AD=43，解此直角三角形。
四．仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角． 例1如图(6-16)，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B 的俯角α=16°31′，求飞机A 到控制点B 距离(精确到1米)解：在Rt △ABC 中sinB=AB AC∴AB=B AC sin =2843.01200=4221(米)答：飞机A 到控制点B 的距离约为4221米．巩固练习：1．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为600，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1`m）2．如图6-17，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α=80°14′．已知观察所A的标高(当水位为0m时的高度)为43.74m，当时水位为+2.63m，求观察所A到船只B的水平距离BC(精确到1m)3 如图6-19，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD．例2．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东650方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南东340方向上的B处。
初三锐角三角函数精编讲义
FC
5 第 18 题图
例 1 如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2 3 ，求 AB 的长．
例 2．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5． 求：sin∠ABC 的值．
4
对应训练 1．如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，点 D 在 BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若 AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）
弦
斜边
c (∠A 为锐角)
余 cos A A的邻边 cos A b 0 cos A 1
弦
斜边
c (∠A 为锐角)
关系
sin A cos B cos A sin B sin 2 A cos2 A 1
正 tan A A的对边 tan A a
tan A 0
切
A． 5
B． 2 5
C． 1
D．2
5
5
2
3．在△ABC 中，∠C=90°，sinA= 3 ，那么 tanA 的值等于（ ）.
A
5
A． 3
B. 4
C. 3
D. 4
5
5
4
3
B
C
4. 若 sin 3 ，则锐角 ＝
.
2
5．将∠α 放置在正方形网格纸中，位置如图所示，则 tanα 的值是
1
5
25
α
A． B．2
B．
3
3
C．
4
4
D．
3
8． 如图，在△ABC 中，∠ACB=∠ADC= 90°，若 sinA= 3 ，则 cos∠BCD 的值为 ．
5
C
九年级中考数学三轮复习专题++锐角三角函数+课件
广 东 中 考
12.(2014广州)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,
△ ABC的三个顶点均在格点上,则tan A＝( D
A.
3
5
B.
4
5
C.
3
D.
4
)
4
3
13.(2016广东)如图,在平面直角坐标系中,点A坐标
为(4,3),那么cos α的值是( D )
A.
3
4
B.
4
3
C.
3
5
D.
4
5
课 堂 测 评
cos
A30 30
2
2
B
sin 45
2
0 2
0
cos
B 45 45
2
3
tan 30
3
tan 450 1
0
0
0
3
C
sin 60
2
10
0
cos
C 60 60
2
0
tan 600
3
考 点 梳 理
3.(1)对于任意的锐角A，则有 sin A cos A 1
2
2
(2)已知∠A+∠B=90°,则有 sinA cos B
中考数学
复习专题
锐角三角函数
考 点 梳 理
1.锐角三角函数的概念
(1)锐角 A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数.
(2)在△ABC 中,∠C＝90°,
∠A 的正弦：sin A＝
∠A 的邻边
∠A 的余弦：cos A＝
斜边
∠A 的对边
斜边
,
三角函数讲义(最新)
三角函数复习讲义一、基础知识定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
角的大小是任意的。
定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=rL,其中r 是圆的半径。
定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=xy，余切函数cot α=yx， 定理1 同角三角函数的基本关系式， 倒数关系：tan α=αcot 1,商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1 定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α; （Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α;（Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α; （Ⅳ）s in ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=co s α, co s ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=s in α（奇变偶不变，符号看象限）。
定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。
单调区间：在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππk k 上为增函数，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ232,22k k 上为减函数，最小正周期为2π. 奇偶数. 有界性：当且仅当x =2kx +2π时，y 取最大值1，当且仅当x =3k π-2π时, y 取最小值-1。
完整九年级数学锐角三角函数学生讲义
锐角三角函数与解直角三角形【考大纲求】1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特别角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实质问题 . 题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；2.命题的热门为依据题中给出的信息建立图形，成立数学模型，而后用解直角三角形的知识解决问题 .【知识网络】【考点梳理】考点一、锐角三角函数的观点以下图，在 Rt △ABC中，∠ C＝ 90°，∠ A 所对的边的邻边，∠ B 所对的边 AC记为 b，叫做∠ B 的对边，也是∠叫做斜边．BC记为 a，叫做∠ A 的对边，也叫做∠B A 的邻边，直角 C 所对的边 AB 记为 c，BcaAbC锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的正弦，记作sinA ，即sin A A的对边 a ；斜边c锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠ A 的余弦，记作cosA，即cos A A的邻边 b ；斜边c锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的正切，记作tanA ，即tan A A的对边 a .A的邻边b同理 sin B B的对边b； cos B B的邻边a； tan B B的对边 b ．斜边c斜边c B的邻边a重点解说：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反应了直角三角形边与角的关系，是两条，，，不可以理解成s in 与∠ A，cos 与∠ A， tan 与∠ A 的乘积．书写时习惯上省略∠ A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角( 如∠ AEF)，其正切应写成“ tan ∠ AEF”，不可以写成“tanAEF”；此外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA ＞ 0．考点二、特别角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出0°、 30°、 45°、 60°、 90°角的各三角函数值，概括以下：重点解说：(1)经过该表能够方便地知道 0°、 30°、 45°、 60°、 90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：假如知道了一个锐角的三角函数值，就能够求出这个锐角的度数，比如：若，则锐角．(2)认真研究表中数值的规律会发现：sin 0、、、、sin90的值依次为0、、、、1，而cos0、、、、cos90的值的顺序正好相反，、、的值挨次增大，其变化规律能够总结为：当角度在0°＜∠ A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大( 或减小 ) 而增大 ( 或减小 ) ②余弦值随锐角度数的增大 ( 或减小 )而减小 ( 或增大 ) ．考点三、锐角三角函数之间的关系以下图，在Rt △ ABC中，∠ C=90°．(1)互余关系：，；(2) 平方关系：；(3)倒数关系：或；(4) 商数关系：．重点解说：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简易．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素( 直角除外 ) 求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有 5 个元素，即三条边和两个锐角.设在 Rt △ ABC中，∠ C=90°，∠ A、∠ B、∠ C所对的边分别为a、b、 c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2( 勾股定理 ).②锐角之间的关系：∠A+∠ B=90° .③边角之间的关系：，，，，，.④， h 为斜边上的高 .重点解说：(1)直角三角形中有一个元素为定值( 直角为 90° ) ，是已知的值 .(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包含其余关系( 如不等关系 ).(3)对这些式子的理解和记忆要联合图形，能够更为清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常有种类及解法已知条件解法步骤Rt △ ABC两两直角边(a，b)由边求∠ A，∠ B=90°－∠ A，由斜边，向来角边( 如 c， a)求∠ A，∠ B=90°－∠ A，锐角、邻边( 如∠ A，b)，一边向来角边一和一锐角∠ B=90°－∠ A，角锐角、对边( 如∠ A，a)，斜边、锐角 ( 如 c，∠ A)，重点解说：1．在碰到解直角三角形的实质问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意注明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，而后按先确立锐角、再确立它的对边和邻边的次序进行计算. 2．若题中无特别说明，“解直角三角形”即要求出全部的未知元素，已知条件中起码有一个条件为边 .考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很宽泛，重点是把实质问题转变为数学模型，擅长将某些实质问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实质应用问题的重点.解这种问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等观点，而后依据题意画出几何图形，成立数学模型 .(2)将已知条件转变为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实质问题转变为解直角三角形的问题 .(3) 依据直角三角形( 或经过作垂线结构直角三角形) 元素 ( 边、角 ) 之间的关系解有关的直角三角形 .(4) 得出数学识题的答案并查验答案能否切合实质意义，得出实质问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实质问题时，常常会用到以下观点：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示 .坡度 ( 坡比 ) ：坡面的铅直高度h 和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式 .(2)仰角、俯角：视野与水平线所成的角中，视野中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图 .(3)方向角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方向角，如图①中，目标方向 PA， PB， PC的方向角分别为是40°， 135°， 245° .(4) 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA， OB， OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西 60° . 特别如：东南方向指的是南偏东 45°，东北方向指的是北偏东 45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西 45° .重点解说：1．解直角三角形实质是用三角知识，经过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的表示图.2．非直接解直角三角形的问题，要察看图形特色，适合引协助线，使其转变为直角三角形或矩形来解 . 比如：3．解直角三角形的应用题时，第一弄清题意( 重点弄清此中名词术语的意义) ，而后正确画出示企图，从而依据条件选择适合的方法求解.【典型例题】种类一、锐角三角函数的观点与性质1． (1) 以下图，在△ABC中，若∠ C＝ 90°，∠ B＝ 50°， AB＝ 10，则 BC的长为 ( )．A．10· tan50 ° B ． 10· cos50 ° C ． 10· sin50 ° D ．10 sin 50°(2)以下图，在△ ABC中，∠ C＝ 90°， sinA ＝3，求 cosA+tanB 的值．5(3)以下图的半圆中， AD是直径，且 AD＝3， AC＝2，则 sinB 的值等于 ________．【思路点拨】(1)在直角三角形中，依据锐角三角函数的定义，能够用某个锐角的三角函数值和一条边表示其余边．(2)直角三角形中，某个内角的三角函数值即为该三角形中两边之比．知道某个锐角的三角函数值就知道了该角的大小，能够用比率系数k 表示各边．(3)要求 sinB 的值，能够将∠ B 转变到一个直角三角形中．【总结升华】已知一个角的某个三角函数值，求同角或余角的其余三角函数值时，常用的方法是：利用定义，依据三角函数值，用比率系数表示三角形的边长；(2)题求 cosA 时，还能够直接利用同角三角函数之间的关系式sin 2 A+cos 2 A ＝1，读者可自己试试达成．贯通融会：【变式】 Rt △ ABC中，∠ C=90°， a、 b、 c 分别是∠ A、∠ B、∠ C 的对边，那么 c 等于 ( )(A) acosA bsin B(B)a b(D) (C)sin Bsin A种类二、特别角的三角函数值asin A bsin Ba b cosA sin B2．解答以下各题：(1)化简求值： tan60° tan45° sin 45°sin 30°； sin60° cos30° cos45°(2)在△ ABC中，∠ C＝ 90°，化简12sin A cos A ．．【总结升华】由第 (2) 题可获得此后常用的一个关系式：1± 2sin α cos α =(sin α± cos α ) 2．比如，若设 sin α +cos α＝ t ，则sin cos1(t 2 1)．贯通融会：【变式】若 sin 23sin，(2α，β为锐角)，求tan(2)的值.， cos233． (1) 以下图，在△ABC中，∠ ACB＝ 105°，∠ A＝ 30°， AC＝ 8，求 AB 和 BC的长；(2)在△ ABC中，∠ ABC＝ 135°，∠ A＝ 30°， AC＝ 8，怎样求 AB和 BC的长 ?(3) 在△ ABC中， AC＝ 17， AB＝ 26，锐角 A 知足sin A 12，怎样求BC的长及△ABC的面积？13若 AC＝ 3，其余条件不变呢?【思路点拨】第 (1) 题的条件是“两角一夹边”．由已知条件和三角形内角和定理，可知∠B＝ 45°；过点C 作 CD ⊥ AB 于 D，则 Rt △ ACD是可解三角形，可求出 CD的长，从而 Rt △ CDB可解，由此得解；第 (2) 题的条件是“两角一对边” ；第 (3) 题的条件是“两边一夹角” ，均可用近似的方法解决．种类三、解直角三角形及应用4．以下图， D 是 AB上一点，且 CD⊥ AC于 C，S△ACD: S△CDB 2 : 3 ， cos DCB 4，5AC+CD＝ 18，求 tanA 的值和 AB 的长．专题总结及应用一、知识性专题专题 1：锐角三角函数的定义【专题解读】锐角三角函数定义的考察多以选择题、填空题为主．例 1 如图 28－ 123 所示，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB＝ 90°， BC＝ 1，AB＝ 2，则以下结论正确的选项是()A ． sin A＝3B ．tan A＝122C． cosB＝3D． tan B＝ 3 2例 2 在△ ABC 中，∠ C＝ 90°， cosA＝3,则 tan A 等于() 5A ．3B ．4C．3D．4 5543专题 2特别角的三角函数值【专题解读】要熟记特别角的三角函数值．例 4计算|－3|＋2cos 45°－(3 － 1)0．例 5计算－ 1 ＋9 ＋ (－ 1)2007－ cos 60°．2例 6计算|－ 2 |＋ (cos 60°－ tan 30° )0＋8 ．131例 7计算－ (π－ 3.14)0－ |1－ tan 60° |－.232专题 3锐角三角函数与有关知识的综合运用【专题解读】锐角三角函数常与其余知识综合起来运用，考察综合运用知识解决问题的能力.例 8如图28－124所示，在△ ABC中，AD是BC边上的高，E为AC4边的中点， BC＝ 14， AD＝ 12， sin B＝．(1)求线段 DC 的长；(2)求 tan∠EDC 的值 .例 9 如图 28－ 125 所示，在△ ABC 中， AD 是 BC 边上的高， tan B＝ cos∠DAC .(1)求证 AC＝ BD ；12(2)若 sin C＝，BC＝12，求AD的长．例 10 如图 28－ 126 所示，在△ ABC 中，∠ B＝ 45°，∠ C＝ 30°， BC＝ 30＋30 3 ，求 AB 的长．专题 4用锐角三角函数解决实质问题【专题解读】增强数学与实质生活的联系，提升数学的应企图识，培育应用数学的能力是现在数学改革的方向，环绕本章内容，纵观近几年各地的中考试题，与解直角三角形有关的应用问题逐渐成为命题的热门，其主要种类有轮船定位问题、堤坝工程问题、建筑丈量问题、高度丈量问题等，解决各种应用问题时要注意掌握各种图形的特色及解法．例 13如图28－131所示，我市某中学数学课外活动小组的同学利用所学知识去丈量沱江流经我市某段的河宽．小凡同学在点 A 处观察到对岸 C 点，测得∠ CAD＝45°，又在距 A 处 60 米远的 B 处测得∠ CBA＝ 30°，请你依据这些数据算出河宽是多少 ?(结果保存小数点后两位 )例 14如图28－132所示，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的 A 点处发现海中的 B 点有人求救，便立刻派三名救生员前往救援． 1 号救生员从 A 点直接跳入海中； 2 号救生员沿岸边(岸边能够当作是直线)向前跑到 C 点再跳入海中； 3 号救生员沿岸边向前跑300 米到离 B 点近来的 D 点，再跳入海中，救生员在岸上跑的速度都是 6 米／秒，在水中游泳的速度都是 2 米 /秒．若∠ BAD ＝ 45°，∠ BCD＝ 60°，三名救生员同时从 A 点出发，请说明谁先抵达救援地址B．(参照数据 2 ≈， 3≈ 1.7)例 15 如图 28－ 133 所示，某货船以 24 海里 /时的速度将一批重要物质从 A 处运往正东方向的 M 处，在点 A 处测得某岛 C 在它的北偏东 60°方向上，该货船航行 30 分钟后抵达 B 处，此时再测得该岛在它的北偏东30°方向上；已知在 C 岛周围 9 海里的地区内有暗礁，若货船持续向正东方向航行，该货船有无触礁危险 ?试说明原因．例 16如图28－134所示，某幢大楼顶部有一块广告牌CD ，甲、乙两人分别在相距 8 米的 A， B 两处测得 D 点和 C 点的仰角分别为45°和 60°，且 A，B，F三点在一条直线上，若BE＝ 15 米，求这块广告牌的高度．( 3 ≈，结果保存整数 )例 17如图28－135所示，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽AD ＝，坝高 4 m，背水坡的坡度是1： 1，迎水坡的坡度是1：，求坝底宽BC.例 18如图28－136所示，山顶建有一座铁塔，塔高CD ＝30m，某人在点A 处测得塔底 C 的仰角为20°，塔顶 D 的仰角为23°，求这人距CD 的水平距离 AB． (参照数据： sin 20°≈，cos 20°≈，tan 20°≈， sin 23°≈，cos23°≈，tan 23°≈ 0.424)二、规律方法专题 专题 5公式法【专题解读】本章的公式好多，娴熟掌握公式是解决问题的重点．1 sin2例 19 当 0°＜ α＜90°时，求的值．cos三、思想方法专题 专题 6类比思想【专题解读】 求方程中未知数的过程叫做解方程， 求直角三角形中未知元素的过程叫做解直角三角形， 所以对解直角三角形的观点的理解可类比解方程的观点． 我们能够像解方程 (组 )同样求直角三角形中的未知元素．例 20 在 Rt △ ABC 中，∠ C ＝ 90°，∠ A ，∠ B ，∠ C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 a＝ 5 ， b2＝15，解这个直角三角形．2．专题 7 数形联合思想【专题解读】由“数”思“形”，由“形”想“数” ，二者奇妙联合，起到互通、互译的作用，是解决几何问题常用的方法之一．例 21 如图 28－ 137 所示，已知∠ α的终边 OP ⊥ AB ，直线 AB 的方程为 y ＝－3 x ＋ 3 ，则 cos α等于()33A ．12B ．2 2C ．33D ．专题 8分类议论思想【专题解读】当结果不可以确立，且有多种状况时，对每一种可能的状况都要进行议论．例 22一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在 A 的北偏东45°方向上还有一个加油站 C， C 到高速公路的最短距离是30 km ， B， C 间的距离是60 km ．要经过 C 修一条笔挺的公路与高速公路订交，使两路交错口P 到 B，C 的距离相等，求交错口P 与加油站 A 的距离． (结果可保留根号 )专题 9转变思想例 24如图28－140所示，A，B两城市相距100 km ．现计划在这两座城市中间修建一条高速公路(即线段 AB)，经丈量，丛林保护中心P 在 A 城市的北偏东30°和 B 城市的北偏西45°的方向上．已知丛林保护区的范围在以P 点为圆心， 50 km为半径的圆形地区内．请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区．为何?(参考数据： 3 ≈， 2 ≈ 1.414)例 25 小鹃学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图 28－ 141 所示，把一张长方形卡片ABCD 放在每格宽度为 12 mm 的横格纸中，恰巧四个极点都在横格线上．已知α＝ 36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题． (结果保存整数；参照数据： sin 36°≈ 0．6，cos 36°≈0． 8， tan 36°≈ 0.7)例 26 如图 28－ 142 所示，某居民楼 I 高 20 米，窗户朝南．该楼内一楼住户的窗台离地面距离 CM 为 2 米，窗户 CD 高 1． 8 米．现计划在 I 楼角时，要使Ⅱ楼的影子不影响I 楼全部住户的采光，新建Ⅱ楼最高只好盖多少米?。
初三数学三角函数知识点整理
初三数学三角函数知识点整理
三角函数知识：
（一）基本概念：
1. 三角函数：三角函数是一类变化比较复杂的可以描述出来的函数，它们可以用来描述各种具有特殊的几何关系的函数关系。
2. 周期性特征：三角函数都具有周期性的特征，正弦函数的周期长度为2π，余弦、正切函数的周期有π。
3. 区间形态特征：三角函数的话，一个比较方便的办法是先分析函数图像的区间变化形态，分析一下函数的一般变化规律，进而猜测出变化规律。
（二）三角函数求值
1. 小角度求值法：小角度求值法是把角极限值和角转换为弧度来进行求解，这种方法的优点是可以把角的大小任意进行变量，从而实现任意角度的三角函数求值。
2. 单位圆三角等价：单位圆三角等价是把圆上的位置用三角函数来表示，其中圆心为(0,0)，半径为1。
3. 唯一方程法：唯一方程法就是把三角函数问题变成一般代数方程来求解，这样就可以利用代数方法解决三角函数问题了。
（三）三角函数运算
1. 三角函数对数：三角函数对数可以得到两个三角函数的乘积，除法
或求幂的值。
2. 三角形关系：三角形关系是指把一个等腰三角形的一条边的长度按照给定的一定比例缩放得到另外两边的长度。
3. 余弦定理：余弦定理是指任意一个三角形的两边的长度乘积等于它的最短的三条边的三次方再乘以一个特别的常数。
九年级三角函数复习课件PPT(共19张PPT)
则a= 2 ，∠B= 60°，∠A= 30°.
5.如果 cos A 1 3 tan B 3 0
2
那么△ABC是（ D ）
A.直角三角形 C.钝角三角形
B.锐角三角形 D.等边三角形
6.直角三角形纸片的两直角边BC为6， AC为8,现将△ABC，按如图折叠，使点A 与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值
在Rt△PAD中，∵∠PAD＝90°－60°＝30°，
AD 3PD, 12 x 3x,
x 12 6( 3 1) 18. 3 1
∴渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险．
8.如图，甲船在港口P的北偏西60°方向，距港口80海里的A 处，沿AP方向以12海里/时的速度驶向港口P．乙船从港口P 出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P，现两船同时出发， 2小时后乙船在甲船的正东方向．求乙船的航行速度．
谢 谢！
让我们共同进步
（2）两锐角的关系：∠A十∠B＝90°
（3）边角的关系：sin A a cos A b tan A a
c
c
b
归纳：只要知道其中的2个元素（至少有一个是边），
就可以求出其余3个未知元素.
四.解直角三角形的应用
1.仰角和俯角
在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线
铅 直
仰角
线
俯角
水平线
视线
2.坡度、坡角
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示.
坡度（坡比）：坡面的铅
直高度h和水平距离l的
比叫做坡度，用字母i表
示，则 i h tan
l
初三锐角三角函数复习讲义
锐角三角函数：知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义：如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA ∠A 的余弦可表示为：cosA∠A 的正切可表示为：tanA ，它们称为∠A 的锐角三角函数①斜边)(sin =A ＝______，②斜边)(cos =A ＝______，③的邻边A A ∠=)(tan ＝______，【特别提醒：1、sinA 、cosA 、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关。
2、取值范围 <sinA< ， <cosA< ，tanA> 例1. 锐角三角函数求值：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．典型例题：类型一：利用直角三角形求值1．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC 求：AB 及OC 的长．类型二. 利用角度转化求值：1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．2． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ） A ．12B 3C ．35D ．455.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．436. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．45A D ECB F7. 如图6，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若1tan 5DBA ∠=，则AD 的长为( ) A 2．2 C ．1 D ．2D CB A Oyx第8题图类型三. 化斜三角形为直角三角形1. 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB的长．2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）3. ABC中，∠A=60°，AB=6 cm，AC=4 cm，则△ABC的面积是（）A.23 cm2B.43 cm2C.63 cm2D.12 cm2类型四：利用网格构造直角三角形1.如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．2552．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.3．如图，A、B、C三点在正方形网络线的交点处，若将ABC∆绕着点A逆时针旋转得到''BAC∆，则'tan B的值为（）A.41B.31C.21D.14．正方形网格中，AOB∠如图放置，则tan AOB∠的值是（）A．55 B.2 55 C.12 D. 2CABO知识点二：特殊角的三角函数值当 时，正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而例1．求下列各式的值．1.计算：︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 22.计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°3．计算：30tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+ 4．计算： tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒例2．求适合下列条件的锐角α ． (1)21cos =α (2)33tan =α (3)222sin =α (4)33)16cos(6=- α（5）已知α 为锐角，且3)30tan(0=+α，求αtan 的值（6）在ABC ∆中，0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠的度数.例3. 三角函数的增减性 1．已知∠A 为锐角，且sin A <21，那么∠A 的取值范围是 A. 0°< A < 30° B. 30°< A ＜60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90° 2. 已知A 为锐角，且030sin cos <A ，则 （ ）A. 0°< A < 60°B. 30°< A < 60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90°类型五：三角函数在几何中的应用1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．2．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．3. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，53sin =B ，点D 在BC 边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD 的值．5.（本小题5分）如图，△ABC 中，∠A=30°，3tan B =，43AC =．求AB 的长.DCBAACB知识点三：解直角三角形：1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，①三边之间的等量关系：________________________________．②两锐角之间的关系：__________________________________． ③边与角之间的关系：==B A cos sin ______；==B A sin cos _______；==BA tan 1tan _____；==B Atan tan 1______． ④直角三角形中成比例的线段(如图所示)． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ．CD 2＝_________；AC 2＝_________； BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________．例1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．(1)已知：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ； (2)已知：32sin =A ，6=c ，求a 、b ；（3）．已知：△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．类型六：解直角三角形的实际应用 仰角与俯角1．如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ） A ． 200米 B ． 200米 C ． 220米 D ． 100（）米 2． 在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图13所示，某学生在河东岸点A 处观测到河对岸水边有一点C ，测得C 在A 北偏西31︒的方向上，沿河岸向北前行20米到达B 处，测得C 在B 北偏西45︒的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈53，sin31°≈21）图13ABCD 45° 30°3 .如图，小聪用一块有一个锐角为30︒的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距33米，小聪身高AB 为1.7米，求这棵树的高度.A BCD E4．一数学兴趣小组为测量河对岸树AB 的高，在河岸边选择一点C ，从C 处测得树梢A 的仰角为45°，沿BC 方向后退10米到点D ，再次测得点A 的仰角为30°．求树高．(结果精确到0.1米．参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈)5．超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒，∠BAC=75°． （1）求B 、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，3≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒）坡度与坡角1.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是13BC=50m ，则应水坡面AB 的长度是（ ） A ．100m B ．3．150m D ．3m2.数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB 的高度.如图，老师测得升旗台前斜坡FC 的坡比为i =1:10，学生小明站在离升旗台水平距离为35m （即CE =35m ）处的C 点，测得旗杆顶端B 的仰角为α，已知tan α37AF =1m ，小明身高CD =1.6m ，请帮小明计算出旗杆AB 的高度.3.如图，有两条公路OM ，ON 相交成30°角，沿公路OM 方向离O 点80米处有一所学校A ，当重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶时，在以P 为圆心、50米长为半径的圆形区域内部会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校A 的距离越近噪声影响越大，若已知重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶的速度为18千米/时. (1)求对学校A 的噪声影响最大时,卡车P 与学校A 的距离;(2)求卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪影响的时间.30°ONP4.如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC =4米，AB =6米，中间平台宽度DE =1米，EN 、DM 、CB 为三根垂直于AB 的支柱，垂足分别为N 、M 、B ，∠EAB =31°，DF ⊥BC 于F ，∠CDF =45°．求DM 和BC 的水平距离BM 的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）αABCEF i FC =1:1045°31°CFD E5.如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB 的长为5米，点D 、B 、C 在同一水平地面上． （1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。
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济川中学初三数学锐角三角函数复习讲义一．基础训练：1.△ABC 中a 、b 、c 分别是∠A ．∠B 、∠C 的对边，如果a 2+b 2=c 2，那么下列结论正确的是（ ）A ．csinA=aB ．bcosB=cC ．atanA=bD ．ctanB=b2.如图，从热气球C 上测定建筑物A 、B 底部的俯角分别为30°和60°，如果这时气球的高度CD 为150米，且点A 、D 、B 在同一直线上，建筑物A 、B 间的距离为（ ） A ． 150米 B ． 180米 C ． 200米 D ． 220米3.如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为第2题 第3题 第4题 第5题 4.如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm ，深为30cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起始点为C ，现设计斜坡BC 的坡度1:5i =，则AC 的长度是 cm ．5.如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点D ，若BD ：AD=1：4，则tan∠BCD 的值是6.如图所示，已知⊙O 的半径为5cm ，弦AB 的长为8cm ，P•是AB•延长线上一点，•BP=2cm ，则tan∠OPA 等于7..计算： （1）-3－2+(2π－1)0－33tan30°－cos45° （2）00000245tan 45cos 230cos 60tan 45sin +⋅+8.某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中，如图7所示，测得树底部中心A 到斜坡底C 的水平距离为8. 8m ．在阳光下某一时刻测得1米的标杆影长为0.8m ，树影落在斜坡上的部分CD= 3.2m ．已知斜坡CD 的坡比i=1：3，求树高AB 。
（结果保留整数，参考数据：3≈1.7）C B AABC30189.如图，在ABC 中，AD 是边BC 上的高，E 为边AC 的中点，BC =14，AD=12，sinB=0.8 求：（1）线段DC 的长； （2）tan ∠EDC 的值。
二．典型例题例1：如图，点A 、B 、C 、D 、E 、F 分别是小正方形的顶点，在△ABC 与 △DEF 中，下列结论成立的是（ ） A ．∠BAC=∠EDF B ．∠DFE=∠ACB C ．∠ACB=∠EDF D ．以上都不对 例2.（1）在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA ·tanB= sinA cosBcosA sinB sin 2A+cos 2A=（2）已知∠A 为锐角，且cosA ≤，那么∠A 的范围是（3）若α为锐角，且cos α=,则m 的取值范围是 例3：水务部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD ．如图9所示，已知迎水坡面AB 的长为16米，∠B ＝60°，背水坡面CD 的长为163米，加固后大坝的横截面为梯形ABED ，CE 的长为8米．（1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？（2）求加固后大坝背水坡面DE 的坡度．例4：如图Rt △ABC ，∠C=90°，AC=AB ，用尺规作图，作一个角等于22.5°(不写作法，保留作图痕迹)，并求tan22.5°的准确值。
例5：求证：三角形的面积等于两边的长与其夹角的正弦值的乘积的一半；EDC BAABC A B CD E例6：如图，在航线的两侧分别有观测点A 和B ，点A 到航线 的距离为2km ，点B 位于点A 北偏东60°方向且与A 相距10km 处．现有一艘轮船从位于点B 南偏西76°方向的C 处，正沿该航线自西向东航行，5min 后该轮船行至点A 的正北方向的D 处． （1）求观测点B 到航线l 的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h ）．（参考数据：3 1.73≈，sin760.97°≈，cos760.24°≈，tan76 4.01°≈）二．课堂作业1.已知锐角α的正弦值是方程(21)(3)0x x --=的根，则∠α的正弦值为（ ）A ．12B ．3C ．12或3 D ．3002.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤坝高BC=50m ，则迎水坡面AB 的长度是（ ）A ．100mB ．1003mC ．150mD ．503m3.如图，2014年12月10日，中国渔民在中国钓鱼岛附近捕鱼作业，中国海监船在A 地侦察发现，在南偏东60o方向的B 地，有一艘日本军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C 地行驶，企图抓捕正在C 地捕鱼的中国渔民。
此时，C 地位于中国海监船的南偏东45o方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C 地救援我国渔民，能不能及时赶到？（2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）4.如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集 热管AB 与支架CD 所在直线相交于水箱横断面⊙O 的圆心，支架CD 与水平面AE 垂直，AB=150厘米，∠BAC=30°，另一根辅助支架 DE=76厘米，∠CED=60°. (1)求垂直支架CD 的长度。
（结果保留根号） （2）求水箱半径OD 的长度。
（结果保留根号）北东CDB E Al60° 76°课后作业：1、在Rt△ABC 中，∠C＝90°，下列各式中一定正确的是（ ） (A)sinA ＝sinB (B)sinA ＝cosB (C)tanA ＝tanB (D) cosA ＝cosB2.表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A ，且当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A 点距桌面的高度为10公分。
如图，若此钟面显示3点45分时，A 点距桌面的高度为16公分，则钟面显示3点50分时，A 点距桌面的高度为多少公分？ ( )A ．3322－B ． ＋16C ．18D ．193.在一次夏令营活动中，小明同学从营地A 出发，要到A 地的北偏东60°方向的C 处，他先沿正东方向走了200m 到达B 地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C (如图)，那么，由此可知，B C 、两地相距m.4.如图是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图．其中AB 、CD 分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC =135°，BC 的长约是25m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是 m ．5、如图，菱形ABCD 中，点E 、F 在对角线BD 上，BE=DF=14BD ，若四边形AECF 为正方形，则tan∠ABE=_________．第2题 第3题 第4题 第5题6、等腰三角形的腰长为2cm ，面积为1 cm 2，则顶角的度数为7.为了迎接青奥，社区组织奥林匹克会旗传递仪式．需在会场上悬挂奥林匹克会旗，已知矩形DCFE 的两边DE 、DC 长分别为1.6m 、1.2 m ．旗杆DB 的长度为2 m ，DB 与墙面AB 的夹角∠DBG 为35°．当会旗展开时如图 （1）求DF 的长；（2）求E 点离墙面AB 距离．（结果精确到0.1 m.参考数据： sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）30°60°北A B C 135°AB CD hE FCDAB8.坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋（公元1112年），为砖彻八角形十三层楼阁式建筑．数学活动小组开展课外实践活动，在一个阳光明媚的上午，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪、皮尺、小镜子．（1）小华利用测角仪和皮尺测量塔高．图1为小华测量塔高的示意图．她先在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测出看塔顶（M）的仰角α=35°，在A点和塔之间选择一点B，测出看塔顶（M）的仰角β=45°，然后用皮尺量出A、B两点的距离为18.6m，自身的高度为1.6m．请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度；（tan35°≈0.7，结果保留整数）（2）如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影NP的长为am（如图2），你能否利用这一数据设计一个测量方案如果能，请回答下列问题：①在你设计的测量方案中，选用的测量工具是：；②要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据．③请说出你的测量方案9.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F,过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．（1）求证：PB与⊙O相切；（2）若OD=2，OP=8，求EF的长；（3）若AC=12，tan∠F=，求cos∠ACB的值．聚焦中考1.如图，点E在正方形ABCD的边AB上，连接DE，过点C作CF⊥DE于F，过点A作AG∥CF 交DE于点G．（1）求证：△DCF≌△ADG．（2）若点E是AB的中点，设∠DCF=α，求sinα的值．2.小红家的阳台上放置了一个晒衣架如图是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点立于地面，经测量： AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF=32cm．(1)求证：AC∥BD；(2)求cos∠OEF值(3)小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面?请通过计算说明理由。
（参考数据：sin61.90.882,cos61.90.471,tan28.10.533︒≈︒≈︒≈）命题：许小玲审核：顾玉先D BFEOC A。