三角函数复习(原创)经典讲义
高考复习指导讲义————三角及反三角函数
高考复习指导讲义 第二章 三角、反三角函数一、考纲要求1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确进行弧度和角度的互换。
2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。
3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。
4.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简，求值和恒等式的证明。
5.了解正弦函数、余弦函数，正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数，余弦函数和函数y=Asin(wx+ϕ)的简图，理解A 、w 、ϕ的物理意义。
6.会由已知三角函数值求角，并会用符号a r csi n x 、arcco s x 、arcot x 表示。
7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决三角形的计算问题。
8.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图像得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题。
9.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集。
二、知识结构1.角的概念的推广： (1)定义：一条射线O A 由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置O B ，就形成了角α。
其中射线O A 叫角α的始边，射线OB 叫角α的终边，O 叫角α的顶点。
(2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。
(3)象限角：由角的终边所在位置确定。
第一象限角：2k π＜α＜2k π+2π,k ∈Z 第二象限角：2k π+2π＜α＜2k π+π,k ∈Z 第三象限角：2k π+π＜α＜2k π+23π,k ∈Z第四象限角：2k π+23π＜α＜2k π+2π,k ∈Z(4)终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角，连同α角在内(而且只有这样的角)，可以表示为k ²360°+α，k ∈Z 。
三角函数第一轮复习讲义
三角函数第一轮复习讲义一、知识回顾1.平面直角坐标系及角的概念平面直角坐标系由横轴x和纵轴y组成。
两条相互垂直的坐标轴交于原点O，称为坐标原点。
根据角的位置，可以分为标准位置角和一般位置角。
标准位置角的始边与正半轴重合，而一般位置角的始边与正半轴不重合。
2.弧度制和角度制弧度制是用弧长来度量角的大小，一周的弧长定义为2π。
而角度制是用度来度量角的大小，一周定义为360°。
两者之间可以通过以下公式进行转换：弧度制=角度制×π/180角度制=弧度制×180/π3.三角函数三角函数是角的函数，分为正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)。
在单位圆上，对于一个角x，在弧度制下，它的正弦值等于角对应的点在单位圆上的y坐标，余弦值等于x坐标，正切值等于y坐标除以x坐标。
4.三角函数的性质正弦函数的周期为2π，在0到2π之间呈现一个完整的周期。
余弦函数的周期也为2π，并且余弦函数与正弦函数的图像相似，只是在x轴上有一个平移。
正切函数的周期为π，即在0到π之间呈现一个完整的周期。
正弦函数和余弦函数在区间[0,π/2]上单调递增，而正切函数则在区间(-π/2,π/2)上单调递增。
二、例题讲解例题1：已知点P(-3,4)在单位圆上的坐标为(M,N)，求角APN的弧度制大小。
解：根据P在单位圆上的坐标为(M,N)，可以得到：M=-3/5,N=4/5又因为点A是单位圆的圆心，所以A的坐标为(0,0)。
利用三角函数的性质，可以得到：sin(APN) = N = 4/5cos(APN) = M = -3/5因此，角APN的大小为sin^-1(4/5)，即其弧度制大小为sin^-1(4/5)。
例题2：已知tan(A) = 5/12，且A的终边在第三象限，求cos(A)的值。
解：已知tan(A) = 5/12，可得：sin(A) = 5/13，cos(A) = 12/13由终边在第三象限可知，cos(A) < 0。
06第六章 三角函数【讲义】
x
x
注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。
用心 爱心 专心
3．最小正周期的确定。 例 4 求函数 y=sin(2cos|x|)的最小正周期。
4．三角最值问题。 例5 已知函数 y=sinx+ 1 cos x ，求函数的最大值与最小值。
2
例6
设 0< <π，求 sin
的图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来
个单位，得到 y=Asin( x+ )的图象。 例 10 例 10 已知 f(x)=sin( x+ )( >0, 0≤ ≤π)是 R 上的偶函数，其图象关于点 3 M ,0 对称，且在区间 0, 上是单调函数，求 和 的值。
是很容易的。
6．图象变换：y=sinx(x∈R)与 y=Asin( x+ )(A, , >0). 由 y=sinx 的图象向左平移 个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，然后 再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的
1
，得到 y=Asin( x+ )的图象；也可以由 y=sinx
x 2 , 2 的反函数叫反正切函数。记作 y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, π])的反
函数称为反余切函数，记作 y=arccotx(x∈[-∞, +∞]). 定理 15 三角方程的解集，如果 a∈(-1,1)，方程 sinx=a 的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n∈Z}。 方程 cosx=a 的解集是{x|x=2kx arccosa, k∈Z}. 如果 a∈R，方程 tanx=a 的解集是 {x|x=kπ+arctana, k∈Z}。恒等式：arcsina+arccosa= 定理 16 若 x 0,
三角函数复习之辅助角公式经典讲义
三角函数复习之辅助角公式一、两角和与差及二倍角强化训练1、下列各式中，值为12的是 A 、1515sin cosB 、221212cos sin ππ- C 、22251225tan .tan .-D 、1302cos +2、已知35sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为____ 3、已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____ 4、已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，223sin()αβ-=求cos()αβ+的值5、求值sin 50(13tan10)+6、已知sin cos 21,tan()1cos 23αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值7、已知A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos()A B +＝_____8、设ABC ∆中，33tan A tan B tan Atan B ++=，34sin Acos A =，则此三角形是____三角形9、若32(,)αππ∈，化简111122222cos α++为_____10、化简：42212cos 2cos 22tan()sin ()44x x x x ππ-+-+11、已知tan 2α=，求22sin sin cos 3cos αααα+-12、若 sin cos x x t ±=，则sin cos x x = __ 13、若1(0,),sin cos 2απαα∈+=，求tan α的值。
14、若,(0,)αβπ∈，且tan α、tan β是方程2560x x -+=的两根，则求αβ+的值____ 二、辅助角公式1、回顾 两角和与差的正弦公式：()sin αβ+=___________()sin αβ-=___________口答：利用公式展开sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=_____________________反之,若要将22sin cos 22αα+化简为只含正弦的三角比的形式，则可以是22sin cos 22αα+=____________ 尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为)sin(βα+A ()0A >的形式（1）31sin cos 22αα+ （2）sin 3cos αα- 2、辅助角公式及推导：3、例题：例１、试将以下各式化为)sin(βα+A ()0A >的形式. （1）31sin cos 22αα-（2）ααcos sin +（3）2sin 6cos αα+ （4）ααcos 4sin 3-例2、试将以下各式化为)sin(βα+A （),[,0ππβ-∈>A ）的形式. （1）sin cos αα- （2）ααsin cos - （3）3sin cos αα-- 例3、若sin(50)cos(20)3x x +++= ，且0360x ≤< ，求角x 的值。
初中数学锐角三角函数综合复习讲义
初中数学锐角三角函数综合复习讲义一、研究概念1、产生的背景：直角三角形的边与角之间的关系2、明确概念：正弦阐述概念：在直角三角形中，锐角A 的对边与斜边的比叫做锐角A 的正弦，记作sinA 3、本质：特殊的实数 4、知识点产生的条件： [直角三角形] 直角三角形中任意两边和任意一锐角5、特征： 正弦 [定义] 在△ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦 →[表示法] sinA=∠A 的对边斜边[特殊字母] sinA=a c sinB=bc(∠A+∠B=90°) 余弦 [定义] 在△ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦→[表示法] cosA=∠A 的邻边斜边[特殊字母] cosA=bccosB=a c (∠A+∠B=90°)sinA=ac = cosB= cos (90°—∠A) cosA=bc= sinB= sin (90°—∠A)定义] 在△ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切→[表示法] tanA=∠A 的对边邻边特殊字母] tanA=abtanB=b a (∠A+∠B=90°)余切 [定义] 在△ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切→[表示法] cotA=∠A 的邻边对边[特殊字母] cotA=b a cotB= ab(∠A+∠B=90°) tanA=ab= cotB= cot (90°—∠A) CBA c bacotA=ba= tanB= tan (90°—∠A) [文字] 一个角的正弦等于它余角的余弦 一个角的余弦等于它余角的正弦一个角的正切等于它余角的余切一个角的余切等于它余角的正切[勾股] sin 2 A+ cos 2A= 1 sin 2 B+ cos 2B= 1[运算] tanA ·cotA=1 tanB · cotB=1[正弦、余弦] tanA=sin A cosA cotA=cos AsinA tanB=cos A sinA cotB=sin AcosA[特殊值] sin30°=cos60°=12sin45°=cos45°=2若α、β是锐角，且α＞β，则sin60°=cos30°α＞sin β cos α＜cos βtan30°=cot60°α＞tan β cot α＜cot β tan45°=cot45°= 1tan60°=cot30°6、系统找下位含有特殊角的斜三角形∍内角是特殊角∍15°，30°，45°，60°，90° 外角是特殊角∍15°，30°，45°，60°，90°二、应用、例题讲解（一）直角三角形中，已知两边求锐角三角函数 1、在中，∠C 为直角，已知a=3，b=4，则cos B= （ ） (A 级)对象：cos B 角度：cos B=a c分析：a=3，b=4 [勾股] c=5 cos B=a c =35（二）直角三角形中，已知一锐角的三角函数求锐角的其它三角函数 2、∠A 为锐角，且sinA=135，则tanA 的值为 （ ） （A 级） A 、512 B 、1213 C 、1312 D 、125对象：tanA 角度 ： tanA=sin AcosA分析：sinA=135 [sin 2 A+ cos 2A= 1] cos 2A= 1－ sin 2A cosA=1312 [tanA=sin A cosA ] tanA= 1253、设x 为锐角，且满足 sin x=3cos x ，则sin x ·cos x 等于 (B 级)对象：sin x ·cos x 角度：sin 2x+ cos 2x= 1分 析：sin x=3cos x [sin 2x+ cos 2x= 1] (3cos x)2＋cos 2x= 1 cos 2x=101 sin x ·cos x= 3cos 2x=103 4、如果x= tanA+1,y=cotA+1(A 为锐角)，那么y 等于 (B 级) 对象： y 角度：tanA · cotA=1分析：x= tanA+1,y=cotA+1 [tanA · cotA=1] （x-1）(y-1)=1y=1-x x 5、如果A 为锐角，且 sinA=54，那么 （ ） (B 级) A 、0°〈 A ≤30° B 、30°〈A ≤45° C 、45°〈A 〈60° D 、60°〈A 〈90°对象：A 角度：sinA=54 分析：22〈54〈23 sin 45°〈sinA 〈sin60° ∵A 为锐角 ～ 0°〈 A 〈90° 此时 sinA 是增函数 ∴ 45°〈A 〈60°6、已知A 为锐角，且2cos sin 2cos 2sin 3=-+AA AA ，那么tanA 的值等于 (B 级)对象：tanA 角度：tanA=sin AcosA分析：2cos sin 2cos 2sin 3=-+A A A A 3 sinA+2cosA=4sinA -2cosA sinA=4cosA sin AcosA=4=tanA7、在 中，c 为斜边，a 、b 为直角边，则a 3 cosA+b 3cosB 等于 （B 级）对象：a 3 cosA+b 3cosB 角度 ：cosA=∠A 的邻边斜边勾股定理分析 ：a 3cosA+b 3cosB = a 3·b c + b 3·a c =cabc 2 = abc8、计算： （A 级）对象： 角度 ：特殊角的三角函数值分析：=213222∙+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=231+ 9、计算：sin 248°+sin 242°-tan44°·tan45°·tan46°= （B 级）对象：sin 248°+sin 242°-tan44°·tan45°·tan46°角度：sinA= cos (90°—∠A) tanA= cot (90°—∠A)分析：sin48°=cos(90°－48°)=cos42° tan 44°=cot(90°－44°)=cot46°原式= cos 242°+ sin 242°－cot46°·tan46°·tan45°=1－1·1=010、如图，CD 是平面镜，光线从A 点出发经CD 上点E 反射到B 点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足分别为C 、D ，且AC=3，BD=6，CD=11。
高中数学三角函数综合复习讲义
高中数学三角函数综合复习讲义1：产生背景：初中锐角三角函数定义：设a是一个任意大小的角，角的终边上任意一点P的坐标是（x,y），它于原点的距离是r（r>0），那么正弦: sinα=y/r余弦: cosα=x/r正切: tanα=y/x余切: cotα=x/y正割: secα=r/x余割: cscα=r/y都是a的函数，这六个函数统称为角a的三角函数。
2：找出结构：[函数]包括定义域，值域，对应法则。
本质:对于定义域内地任一x值在对应法则f(x)下都有值域中唯一的y和x对应，即y=f(x)3：分类：[角的大小]包括：正角三角函数，负角三角函数；[定义域]包括：【0，2π】，【0，2π】之外的[对应法则]包括：正弦: y= sinx余弦: y= cosx正切: y= tanx余切: y= cotx正割: y= secx余割: y= cscx[角的位置]包括:象限角的三角函数，坐标轴上的角的三角函数4：产生的条件：三角函数是在角的集合与实数集合之间建立的一种一一对应的关系。
5：研究概念的性质{特征、用途、作用、功能}基本三角函数的性质：同角的三角函数：倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secαsin 2α＋cos 2α＝1 1＋tan 2α＝sec 2α 1＋cot 2α＝csc 2α诱导公式sin （－α）＝－sinα cos （－α）＝cosα tan （－α）＝－tanαcot （－α）＝－cotαsin （π/2－α）＝cos α cos （π/2－α）＝sin α tan （π/2－α）＝cot α cot （π/2－α）＝tan αsin （π/2＋α）＝cos αcos （π/2＋α）＝－sin α tan （π/2＋α）＝－cot α cot （π/2＋α）＝－tan α sin （π－α）＝sin α cos （π－α）＝－cos α tan （π－α）＝－tan α cot （π－α）＝－cot αsin （π＋α）＝－sin αcos （π＋α）＝－cos α tan （π＋α）＝tan α cot （π＋α）＝cot αsin （3π/2－α）＝－cos α cos （3π/2－α）＝－sin α tan （3π/2－α）＝cot α cot （3π/2－α）＝tan αsin （3π/2＋α）＝－cos α cos （3π/2＋α）＝sin α tan （3π/2＋α）＝－cot α cot （3π/2＋α）＝－tan α sin （2π－α）＝－sin α cos （2π－α）＝cos α tan （2π－α）＝－tan α cot （2π－α）＝－cot α sin （2k π＋α）＝sin αcos （2k π＋α）＝cos α tan （2k π＋α）＝tan α cot （2k π＋α）＝cot α(其中k∈Z)两角和与差的三角函数公式sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ（＋）＝＋（－）＝－（＋）＝－（－）＝＋ =1 ?tan tan tan tan tan αβαβαβ＋（＋）－1? ?tan tan tan tan tan αβαβαβ－（－）＝＋半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α2tanαtan2α＝—————1－tan2αsin3α＝3sinα－4sin3αcos3α＝4cos3α－3cosα3tanα－tan3αtan3α＝——————1－3tan2α万能公式2tan(α/2) 1－tan2(α/2) 2tan(α/2) cosα＝—————— sinα＝—————— tanα＝——————1＋tan2(α/2) 1＋tan2(α/2) 1－tan2(α/2) 三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式sinα＋sinβ＝2sin2βα+cos2βα-sinα－sinβ＝2cos2βα+sin2βα-cosα＋cosβ＝2cos2βα+·cos2βα-cosα－cosβ＝－2sin2βα+·sin2βα-sinα ·cosβ＝21[sin（α＋β）＋sin（α－β）]cosα ·sinβ＝-21[sin（α＋β）－sin（α－β）]cosα ·cosβ＝21[cos（α＋β）＋cos（α－β）]sinα ·sinβ＝－21[cos（α＋β）－cos（α－β）]【三角形边角关系】1.正弦定理：在△ABC 中，∠A , ∠B , ∠C 的对边分別为 a , b , c ，则其中R 为外接圆半径。
初三锐角三角函数复习讲义
锐角三角函数：知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义：如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA ∠A 的余弦可表示为：cosA∠A 的正切可表示为：tanA ，它们称为∠A 的锐角三角函数①斜边)(sin =A ＝______，②斜边)(cos =A ＝______，③的邻边A A ∠=)(tan ＝______，【特别提醒：1、sinA 、cosA 、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关。
2、取值范围 <sinA< ， <cosA< ，tanA> 例1. 锐角三角函数求值：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．典型例题：类型一：利用直角三角形求值1．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC 求：AB 及OC 的长．类型二. 利用角度转化求值：1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．2． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ） A ．12 B ．32C ．35D ．455.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．436. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．45A D ECB F7. 如图6，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若1tan 5DBA ∠= ，则AD 的长为( )A ．2B ．2C ．1D ．22D C B A Oyx第8题图类型三. 化斜三角形为直角三角形1. 如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长．2．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）3. ABC 中，∠A =60°，AB =6 cm ，AC =4 cm ，则△ABC 的面积是 （ ）A.23 cm 2B.43 cm 2C.63 cm 2D.12 cm 2类型四：利用网格构造直角三角形1.如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ） A ．12B ．55 C ．1010D ．2552．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______. 3．如图，A 、B 、C 三点在正方形网络线的交点处，若将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转得到''B AC ∆，则'tan B 的值为 （ ）A.41 B. 31 C.21D. 14．正方形网格中，AOB ∠如图放置，则tan AOB ∠的值是（ ）A ．55B.2 5 5 C.12D. 2 CB A ABO知识点二：特殊角的三角函数值当 时，正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而例1．求下列各式的值．1.计算：︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 22.计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°3．计算：030tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+ 4．计算： tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒例2．求适合下列条件的锐角α ． (1)21cos =α (2)33tan =α (3)222sin =α (4)33)16cos(6=- α（5）已知α 为锐角，且3)30tan(0=+α，求αtan 的值（6）在ABC ∆中，0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠的度数.例3. 三角函数的增减性 1．已知∠A 为锐角，且sin A <21，那么∠A 的取值范围是 A. 0°< A < 30° B. 30°< A ＜60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90° 2. 已知A 为锐角，且030sin cos <A ，则 （ ）A. 0°< A < 60°B. 30°< A < 60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90°锐角α30°45°60°sin αcos αtan α类型五：三角函数在几何中的应用1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．2．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．3. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，53sin =B ，点D 在BC 边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD 的值．5.（本小题5分）如图，△ABC 中，∠A=30°，3tan 2B =，43AC =．求AB 的长.DCBAACB知识点三：解直角三角形：1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，①三边之间的等量关系：________________________________．②两锐角之间的关系：__________________________________． ③边与角之间的关系：==B A cos sin ______；==B A sin cos _______；==BA tan 1tan _____；==B A tan tan 1______．④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ．CD 2＝_________；AC 2＝_________； BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________．例1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．(1)已知：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ； (2)已知：32sin =A ，6=c ，求a 、b ；（3）．已知：△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．类型六：解直角三角形的实际应用 仰角与俯角1．如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ） A ． 200米 B ． 200米 C ． 220米 D ． 100（）米 2． 在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图13所示，某学生在河东岸点A 处观测到河对岸水边有一点C ，测得C 在A 北偏西31︒的方向上，沿河岸向北前行20米到达B 处，测得C 在B 北偏西45︒的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈53，sin31°≈21）图13ABCD 45° 30°3 .如图，小聪用一块有一个锐角为30︒的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距33米，小聪身高AB 为1.7米，求这棵树的高度.A BCD E4．一数学兴趣小组为测量河对岸树AB 的高，在河岸边选择一点C ，从C 处测得树梢A 的仰角为45°，沿BC 方向后退10米到点D ，再次测得点A 的仰角为30°．求树高．(结果精确到0.1米．参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈)5．超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒，∠BAC=75°． （1）求B 、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，3≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒）坡度与坡角1.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤坝高BC=50m ，则应水坡面AB 的长度是（ ）A ．100mB ．1003mC ．150mD ．503m2.数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB 的高度.如图，老师测得升旗台前斜坡FC 的坡比为i =1:10，学生小明站在离升旗台水平距离为35m （即CE =35m ）处的C 点，测得旗杆顶端B 的仰角为α，已知tan α=37，升旗台高AF =1m ，小明身高CD =1.6m ，请帮小明计算出旗杆AB 的高度.3.如图，有两条公路OM ，ON 相交成30°角，沿公路OM 方向离O 点80米处有一所学校A ，当重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶时，在以P 为圆心、50米长为半径的圆形区域内部会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校A 的距离越近噪声影响越大，若已知重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶的速度为18千米/时. (1)求对学校A 的噪声影响最大时,卡车P 与学校A 的距离;(2)求卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪影响的时间.30°80米OMNAP4.如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC =4米，AB =6米，中间平台宽度DE =1米，EN 、DM 、CB 为三根垂直于AB 的支柱，垂足分别为N 、M 、B ，∠EAB =31°，αABD CEF i FC =1:10DF ⊥BC 于F ，∠CDF =45°．求DM 和BC 的水平距离BM 的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）5.如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB 的长为5米，点D 、B 、C 在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。
(完整word版)三角函数专题讲义
三角函数专题一、核心知识点归纳：1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =; 当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数 偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数;在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称中心对称中心函 数 性 质2。
正、余弦定理：在ABC ∆中有: ①正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆半径) 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩⇒ sin 2sin 2sin 2a A Rb B Rc C R⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩注意变形应用 ②面积公式：111sin sin sin 222ABC S abs C ac B bc A ∆=== ③余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩二、方法总结：1.三角函数恒等变形的基本策略。
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三角函数基本概念及方法指导
一、角的概念的推广 1、角的定义： 2、角的分类：
（1）角按旋转方向的分类：正角：负角： 零角：
（2）角按终边位置的分类：象限角： 轴线角 【注：角的顶点与始边】 特别：终边相同的角表示： 【注：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。
】 例题讲解：
例1、角概念的理解：锐角是第几象限角？第一象限的角都是锐角吗？ 例2、象限角的理解
第一象限角的集合： 第二象限角的集合： 第三象限角的集合： 第四象限角的集合： 练习：－1120°角所在象限是
例3、如何表示终边相同的角: 与30°角的终边相同的角的表达式.
练习：1、角α的终边落在一、三象限角平分线上,则角α的集合是
2、与角－1560°终边相同角的集合中最小的正角是
3、写出与-2250角终边相同角的集合，并在集合中求出-7200~10800内的所有角。
例4：已知角α是第二象限角，求：（1）角2
α
是第几象限的角；（2）角α2终边的位置。
【注：两种方法说明。
延伸3倍关系】
思考：若α是第四象限的角，则α-
180是第几象限角？
二、弧度制
1、弧度概念：在半径为单位长度的圆中，单位长度的弧所对的圆心角为1弧度角度制
2、角度制转化为弧度制：（实质说清楚）例1、把'3067
化成弧度 3、弧度制转化为角度制：如：把rad π5
3化成度
例1、若α＝－3，则角α的终边在第几象限？
转化过程要求必须非常熟悉：掌握0到360内所有特殊角转化 4、弧长、面积公式;180r
n l π=r α=⋅,3602R n S π=
扇12
lR =【注：要求不记公式，要掌握推导过程】 例1、已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 2、某扇形的面积为12
cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数为 3、半径为1的圆上有两点A,B 若AMB 的长=2,求弓形AMB 的面积
角度 函数 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 角a 的弧度
sin cos tan
三、任意角的正弦函数定义
1、回顾初中直角三角形中三角函数的定义
2、三角函数定义的延伸：我们可以将点P 取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：【P 点就是α的终边与单位圆的交点】
3、正弦函数与余弦函数在各象限内的正负：
正弦:+ + - - ,余弦：+ - - + 知道原理的由来。
例1、求
53π的正弦,余弦和正切值. 思考：如果将53π变为76
π呢？ 2、已知角α的终边过点0(3,4)P --，求角α的正弦,余弦和正切值. 3、若θ是第三象限角，且02
cos <θ
，则2θ
是第几象限角？
4、已知sin α=
5
4
，且α是第二象限角，那么tan α的值？ 5、已知sin αtan α≥0，则α的取值集合为 四、周期性：【暂时了解最小正周期的含义即可】如：y=【x 】的图像 五、诱导公式：
1、公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等
2、公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
3、公式三： 任意角α与 -α（或2π-α）的三角函数值之间的关系
4、公式四： 正弦与余弦π-α与α的三角函数值之间的关系
5、公式五： π/2±α与α的三角函数值之间的关系【推算公式：3π/2±α与α的三角函数值之间的关系】
6、诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。
【理解并能熟练应用】 例1、已知sin(π＋α)＝1
2，则cos α的值 ，sin （－
6
π19）的值 ，
600sin 的值 2、若(),2,5
3
cos παππα<≤=
+则()πα2sin --的值是 变式：已知cos(3π2＋α)＝－3
5
，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)= 3、若cos （π+α）=－
510，且α∈（－2π，0），则tan （2
π
3+α）的值 4、已知sin(α－π4)＝13，则cos(π
4
＋α)的值 变式：已知sin()42πα+=，则3sin()4
πα-值
5、求证：
sin(5)cos()cos(8)
2
3sin()sin(4)
2
π
θπθπθπ
θθπ--
-⋅--⋅--=
6、求值：sin （－660°）cos420°－tan330°cot （－690°）= .
7、若0cos 3sin =+αα，则α
αα
αsin 3cos 2sin 2cos -+的值为 .
三角函数基本概念强化训练
一、选择题
1、－1120°角所在象限是 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
2、将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是( ) (A)
3π (B)－3π (C)6π (D)－6
π 3、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B=A ∩C B ．B ∪C=C C ．A ⊂C D ．A=B=C
4、半径为2，圆心角为1的扇形面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 21
5、sin585°的值为（ ）22.-
A 22.
B 23.-
C D.2
3 6、cos(π+α)= —21，23π<α<π2,sin(π2-α) 值为（ ） A. 23 B. 2
1
C. 23±
D. —23
二、填空题
1、若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为______________________．
2、若4π<α<6π，且与π3
4
角的终边相同，则α=____________________． 3、已知一个扇形的面积为42
cm ，周长为8cm ，则扇形的圆心角为 .
*
4、若角α是第三象限角，则
2
α
角的终边在 ，2α角的终边在 . 5、cos 10π
3＝________. 6、若sin （125°－α）= 1213 ,则sin （α＋55°）=
．
7、sin315°-cos135°+2sin570°的值是_______.
8、求值2
2
sin 120cos180tan 45cos (330)sin(210)︒+︒+︒--︒+-︒
9、设角α的终边过点 P(4a,-3a) ,其中a<0,则αsin =_______
10、若角α的终边过点P(a,8),且αcos =-0.6，则a=_____________.
11、若cos α＝－35，α∈(π2，π)，则tan α＝________.12、若sin(π6＋α)＝35，则cos(π
3
－α)＝_______
13、已知sin x ＝2cos x ，则5sin x －cos x
2sin x ＋cos x ＝______.
三、解答题
1、扇形AOB 的面积为2
1cm ，它的周长为4cm ，求扇形圆心角的弧度数及弦长AB ．
2、已知角α的终边经过点P(-2,-3)，求角α的正弦、余弦值.
3、 化简：()()αππααππα--⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪
⎭⎫ ⎝⎛
-2cos .2sin .25sin 2cos。