2021届步步高数学大一轮复习讲义(文科)第四章 4.4三角函数的图象与性质
北师版高考总复习一轮文科数学精品课件 第4章 三角函数、解三角形 第4节 三角函数的图像与性质
π
6
,其中 x∈
.
π
π
x,-3 ≤x≤ 6 ,则
π
−3 ,
f(x)的最大值为
,若 f(x)的值域是
1
−2,1
,则实
答案:(1)C (2)
π
,π
3
解析:(1)f(x)=(1+ 3tan x)cos x=cos x+ 3sin x=2sin +
π
因为3
≤x≤
(2)由 x∈
π
π
,所以6
6
π
−3 ,
π
2x+
6
(k∈Z)
π
≠kπ+ (k∈Z),即
2
x≠
π
2
π
+ (k∈Z).
6
(2)要使函数有意义,必须使sin x-cos x≥0.利用图像,在同一直角坐标系中
画出[0,2π]上函数y=sin x和函数y=cos x的图像,如图所示.
在[0,2π]内,满足 sin x=cos x 的 x
性,可得原函数的定义域为
π 2π
f(x)在( , )
6 3
上是递减的.
考向2由单调性求参数
例 4(1)(2022 河南名校联盟一模)已知函数 f(x)=sin ωx(ω>0)在区间
2π π
- ,
3 3
上是递增的,且|f(x)|=1 在区间[0,π]上有且仅有一个解,则 ω 的取值范围是
(
)
A.
3
0,
4
B.
3 3
,
4 2
C.
π 5π
为4 , 4 ,再结合正弦函数、余弦函数的周期
【步步高】2021届高考数学总温习 第四章 4.4三角函数的图像和性质强化训练 理 北师大版(1)
§4.4 三角函数的图像和性质1． 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．2． 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质函数y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图像定义域 R R{x |x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z }值域[－1,1] [－1,1]R单调性[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )上递增； [π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上递减[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上递增； [2k π，π＋2k π](k ∈Z )上递减(－π2＋k π，π2＋k π)(k ∈Z )上递增最值x ＝π2＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝π＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1奇偶性奇函数偶函数 奇函数1． (1)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期． ( √ ) (2)y ＝sin x 在x ∈[0，π2]上是增函数．( √ ) (3)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数．( × )(4)y ＝tan x 在整个概念域上是增函数． ( × ) (5)y ＝k sin x ＋1(x ∈R )，那么y max ＝k ＋1. ( × ) (6)假设sin x >22，那么x >π4.( × )2． (2021·福建)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图像的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2答案 C解析 方式一 ∵正弦函数图像的对称轴过图像的最高点或最低点， 故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z .取k ＝－1，那么x ＝－π4.方式二 用验证法．x ＝π4时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π4＝0，不合题意，排除A ；x ＝π2时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π4＝22，不合题意，排除B ；x ＝－π4时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4－π4＝－1，符合题意，C 项正确；x ＝－π2时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－π4＝－22，不合题意，故D 项也不正确．3． 已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，假设f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<f (π)，那么以下结论正确的选项是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1112π＝－1B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5C ．f (x )是奇函数D ．f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )答案 D解析 ∵f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，∴2×π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，φ＝k π＋π6，k ∈Z .∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<f (π)，sin(π＋φ)＝－sin φ<sin(2π＋φ)＝sin φ，sin φ>0.∴φ＝2k π＋π6，k ∈Z .不妨取φ＝π6，f ⎝⎛⎭⎪⎫11π12＝sin 2π＝0，∴A 错； ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π5＋π6＝sin 47π30＝－sin 17π30<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π5＋π6＝sin 17π30>0，∴B 错； ∵f (－x )≠－f (x )，∴C 错；∵2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴D 对．应选D.4． (2021·湖北)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图像向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所取得的图像关于y 轴对称，那么m 的最小值是( )A.π12 B.π6C.π3D.5π6答案 B 解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后取得y ＝2sin(x ＋π3＋m )，它关于y 轴对称可得sin(π3＋m )＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵m >0，∴m 的最小值为π6.5． 设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x ＋2cos x 取得最大值，那么cos θ＝________.答案255解析 由f (x )＝sin x ＋2cos x 可得f (x )＝5sin(x ＋φ)，其中tan φ＝2，当x ＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )时函数f (x )取得最大值，因此cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＋2k π＝sin φ＝255.题型一 求三角函数的概念域和最值例1 (1)(2021·山东)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－3B ．0C ．－1D ．－1－3(2)函数y ＝1tan x －1的概念域为______________________．思维启发 求函数的概念域可利用三角函数的图像或数轴；求函数最值或值域时要利用图像、三角变换、二次函数等知识．答案 (1)A (2){x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z }解析 (1)利用三角函数的性质先求出函数的最值． ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32，1.∴y ∈[]－3，2，∴y max ＋y min ＝2－3.(2)要使函数成心义，必需有⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z x ≠π2＋k π，k ∈Z .故函数的概念域为{x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z }．思维升华 (1)求三角函数的概念域事实上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)； ②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； ③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(1)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的概念域为________．(2)函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A ．[－1,1]B ．[－54，－1]C ．[－54，1]D ．[－1，54]答案 (1){x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z } (2)C解析(1)要使函数成心义必需有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的概念域为{x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z }．(2)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令t ＝sin x ，那么有y ＝t 2＋t －1，t ∈[－1,1]， 画出函数图像如下图，从图像能够看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1，可得y ∈[－54，1]．题型二 三角函数的单调性、周期性 例2 写出以下函数的单调区间及周期：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3；(2)y ＝|tan x |.思维启发 (1)化为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，再求单调区间及周期．(2)由y ＝tan x 的图像→y ＝|tan x |的图像→求单调性及周期．解 (1)y ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 它的增区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的减区间，它的减区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z .故所给函数的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ；增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z . 最小正周期T ＝2π2＝π.(2)观看图像可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，减区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z .最小正周期T ＝π.思维升华 (1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中，ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果是ω<0，那么必然先借助诱导公式将ω化为正数，避免把单调性弄错．(2)求函数的单调区间应遵循简单化原那么，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”． (3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图像，结合图像判定．求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值．解 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－4x ＝π2， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－4x＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x .∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，周期T ＝2π4＝π2.当－π2＋2k π≤4x ＋π3≤π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递增，∴函数的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π24＋k π2，π24＋k π2 (k ∈Z )．当π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递减， ∴函数的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z )．当x ＝π24＋k π2 (k ∈Z )时，y max ＝2；当x ＝－5π24＋k π2 (k ∈Z )时，y min ＝－2.题型三 三角函数的奇偶性和对称性例3 (1)已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ) ⎝⎛⎭⎪⎫|φ|≤π2的图像关于直线x ＝0对称，那么φ的值为________．(2)若是函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案 (1)π6(2)A解析 (1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，y ＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ图像关于x ＝0对称， 即f (x ＋φ)为偶函数．∴π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，φ＝k π＋π6，k ∈Z ， 又∵|φ|≤π2，∴φ＝π6.(2)由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.思维升华 假设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，那么当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值． 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，那么当x ＝0时，f (x )＝0. 若是求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π (k ∈Z )，求x .若是求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π (k ∈Z )即可．(1)假设函数f (x )＝sin ax ＋cos ax (a >0)的最小正周期为1，那么它的图像的一个对称中心为( )A ．(－π8，0)B ．(0,0)C ．(－18，0)D ．(18，0)(2)设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ∈(－π2，π2))的最小正周期为π，且其图像关于直线x ＝π12对称，那么在下面四个结论：①图像关于点(π4，0)对称；②图像关于点(π3，0)对称；③在[0，π6]上是增函数；④在[－π6，0]上是增函数中，所有正确结论的编号为________． 答案 (1)C (2)②④ 解析 (1)由条件得f (x )＝2sin(ax ＋π4)，又函数的最小正周期为1，故2πa＝1，∴a ＝2π，故f (x )＝2sin(2πx ＋π4)．将x ＝－18代入得函数值为0.(2)∵T ＝π，∴ω＝2.又2×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋π3(k ∈Z )．∵φ∈(－π2，π2)，∴φ＝π3，∴y ＝sin(2x ＋π3)，由图像及性质可知②④正确． 三角函数的单调性、对称性典例：(20分)(1)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，那么ω的取值范围是( )A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12]D ．(0,2](2)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，那么实数b 的值为( )A ．－1B ．3C ．－1或3D ．－3(3)(2021·课标全国)已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像的两条相邻的对称轴，那么φ等于( )A.π4B.π3C.π2D.3π4(4)函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0且|φ|<π2)在区间[π6，2π3]上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图像与y 轴交点的纵坐标为( )A.12B.22C.32D.6＋24思维启发 (1)(π2，π)为函数f (x )某个单调减区间的子集；(2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可得函数的对称轴，应用函数在对称轴处的性质求解即可；(3)f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像相邻两条对称轴之间的距离是T2；(4)可结合图像分析函数的单调性，周期性确信ω，φ.解析 (1)由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知(π2ω＋π4，πω＋π4)⊆[π2，3π2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，应选A.(2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3. (3)利用三角函数的对称轴求得周期．由题意得周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝±1， ∵0<φ<π，∴π4<φ＋π4<5π4，∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4.(4)函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最大值为1，最小值为－1，由该函数在区间[π6，2π3]上单调递减，且函数值从1减小到－1，可知2π3－π6＝π2为半周期，那么周期为π，ω＝2πT ＝2ππ＝2，现在原函数式为y ＝sin(2x ＋φ)，又由函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图像过点(π6，1)，代入可得φ＝π6，因此函数为y ＝sin(2x ＋π6)，令x ＝0，可得y ＝12.答案 (1)A (2)C (3)A (4)A温馨提示 (1)关于已知函数的单调区间的某一部份确信参数ω的范围的问题，第一，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；第二，要确信已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图像与其对称轴的交点是最值点. 方式与技术1． 讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．2． 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.3． 关于函数的性质(概念域、值域、单调性、对称性、最值等)能够通过换元的方式令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质． 失误与防范1． 闭区间上最值或值域问题，第一要在概念域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的阻碍．2． 要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽可能化成ω>0时情形．A 组 专项基础训练 (时刻：40分钟) 一、选择题1． 以下函数中，周期为π且在[0，π2]上是减函数的是( )A ．y ＝sin(x ＋π4)B ．y ＝cos(x ＋π4)C ．y ＝sin 2xD ．y ＝cos 2x答案 D解析 关于函数y ＝cos 2x ，T ＝π，当x ∈[0，π2]时，2x ∈[0，π]，y ＝cos 2x 是减函数．2． (2021·湖南)函数f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32，32 答案 B解析 将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式后求解．∵f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32sin x －12cos x＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6(x ∈R )，∴f (x )的值域为[－3，3]．3． (2021·浙江)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( )A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也没必要要条件答案 B解析 φ＝π2⇒f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx 为奇函数，∴“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要条件．又f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇒f (0)＝0⇒φ＝π2＋k π(k ∈Z )D /⇒φ＝π2.∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝π2”的充分条件．4． 函数y ＝cos 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是( )A ．[0,1]B ．[12，1]C ．[－1,2]D ．[0,2]答案 A 解析y ＝cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1－cos 2x 2＝1＋cos 2x2. ∵cos 2x ∈[－1,1]，∴y ∈[0,1]．5． (2021·天津)将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图像向右平移π4个单位长度，所得图像通过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，那么ω的最小值是( )A.13B ．1C.53D ．2答案 D解析 依照题意平移后函数的解析式为y ＝sin ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，将⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，那么ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0， 故ω的最小值为2. 二、填空题6． 函数y ＝cos(π4－2x )的单调减区间为________．答案 [k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )解析 由y ＝cos(π4－2x )＝cos(2x －π4)得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．因此函数的单调减区间为[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )．7． 函数y ＝sin x 的概念域为[a ，b ]，值域为[－1，12]，那么b －a 的最大值为________．答案 43π解析 由正弦函数的图像知(b －a )max ＝13π6－5π6＝4π3.8． 已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部份图像如图，则f (π24)＝________.答案3解析 由题中图像可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即最小正周期为π2，因此ω＝2.由题意可知，图像过定点(3π8，0)，因此0＝A tan(2×3π8＋φ)，即3π4＋φ＝k π(k ∈Z )，因此φ＝k π－3π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，因此φ＝π4.又图像过定点(0,1)，因此A ＝1. 综上可知，f (x )＝tan(2x ＋π4)，故有f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝3.三、解答题9． 设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图像的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，k ∈Z ，又－π<φ<0，那么φ＝－3π4.(2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4，令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z .10．设函数f (x )＝sin(πx 4－π6)－2cos 2πx 8＋1.(1)求f (x )的最小正周期．(2)假设函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，43]时，y ＝g (x )的最大值．解 (1)f (x )＝sin πx 4cos π6－cos πx 4sin π6－cos πx4＝32sin πx 4－32cos πx4＝3sin(πx 4－π3)，故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(2)方式一 在y ＝g (x )的图像上任取一点(x ，g (x ))， 它关于x ＝1的对称点(2－x ，g (x ))．由题设条件，知点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图像上， 从而g (x )＝f (2－x )＝3sin[π4(2－x )－π3]＝3sin[π2－πx 4－π3]＝3cos(πx 4＋π3)．当0≤x ≤43时，π3≤πx 4＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3cos π3＝32.方式二 区间[0，43]关于x ＝1的对称区间为[23，2]，且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图像关于直线x ＝1对称， 故y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为y ＝f (x )在[23，2]上的最大值．由(1)知f (x )＝3sin(πx 4－π3)，当23≤x ≤2时，－π6≤πx 4－π3≤π6. 因此y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3sin π6＝32.B 组 专项能力提升 (时刻：30分钟) 1． 函数y ＝|sin x ＋cos x |－1的概念域是( )A ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )B ．[2k π，2k π＋π2](k ∈Z )C ．[－π2＋k π，k π](k ∈Z )D ．[－π2＋2k π，2k π](k ∈Z )答案 A解析 |sin x ＋cos x |－1≥0⇒(sin x ＋cos x )2≥1 ⇒sin 2x ≥0，∴2k π≤2x ≤2k π＋π，k ∈Z ， 故原函数的概念域是[k π，k π＋π2](k ∈Z )．2． 设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，假设存在如此的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，那么|x 1－x 2|的最小值为________． 答案 2解析 f (x )＝3sin(π2x ＋π4)的周期T ＝2π×2π＝4，f (x 1)，f (x 2)应别离为函数f (x )的最小值和最大值，故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2.3． 已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出以下四个命题：①假设f (x 1)＝－f (x 2)，那么x 1＝－x 2； ②f (x )的最小正周期是2π； ③f (x )在区间[－π4，π4]上是增函数；④f (x )的图像关于直线x ＝3π4对称．其中真命题是________． 答案 ③④解析 f (x )＝12sin 2x ，当x 1＝0，x 2＝π2时，f (x 1)＝－f (x 2)，但x 1≠－x 2，故①是假命题； f (x )的最小正周期为π，故②是假命题；当x ∈[－π4，π4]时，2x ∈[－π2，π2]，故③是真命题；因为f (3π4)＝12sin 32π＝－12，故f (x )的图像关于直线x ＝34π对称，故④是真命题．4． 已知函数f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＋1.(1)当x ∈[π4，π2]时，求f (x )的最大值和最小值；(2)求f (x )的单调区间． 解 (1)f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＋1＝2sin(2x －π3)＋1.∵π4≤x ≤π2，∴π2≤2x ≤π，∴π6≤2x －π3≤2π3， ∴12≤sin(2x －π3)≤1，∴1≤2sin(2x －π3)≤2， 于是2≤2sin(2x －π3)＋1≤3，∴f (x )的最大值是3，最小值是2. (2)由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z得2k π－π6≤2x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，即f (x )的单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z ，同理由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z得f (x )的单调递减区间为[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈Z .5． 已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴－2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]， 又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12，∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时， g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z . ∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。
2021版高考文科数学(北师大版)一轮复习教师用书：第四章 第4讲 第2课时 三角函数的图象与性质(二)
第2课时 三角函数的图象与性质(二)三角函数的周期性与奇偶性(师生共研)(1)函数f (x )＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数(2)(2020·安徽黄山联考)已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y ＝2的某两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，|x 2－x 1|的最小值为π，则( )A ．ω＝2，θ＝π2B ．ω＝12，θ＝π2C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π4【解析】 (1)因为f (x )＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1 ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x . 所以T ＝2π2＝π，f (x )＝sin 2x 是奇函数．故函数f (x )是最小正周期为π的奇函数．(2)因为函数y ＝2sin(ωx ＋θ)的最大值为2，且其图象与直线y ＝2的某两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，|x 2－x 1|的最小值为π，所以函数y ＝2sin(ωx ＋θ)的最小正周期是π.由2πω＝π得ω＝2. 因为函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数，所以θ＝π2＋k π，k ∈Z .又0＜θ＜π，所以θ＝π2，故选A.【答案】 (1)A (2)A(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω＞0)的最小正周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0)的最小正周期为πω求解．1．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析：选B.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x 是偶函数，不符合题意；y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x 是T ＝π的奇函数，符合题意；同理C ，D 均不是奇函数．2．(2020·石家庄市质量检测)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π4 ⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增加的B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是减少的C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是减少的D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增加的解析：选 A.f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π4，因为f (x )的最小正周期为π，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ－π4.f (－x )＝f (x )，即f (x )为偶函数，所以φ－π4＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π＋3π4(k ∈Z )．因为|φ|＜π2，所以φ＝－π4，所以f (x )＝－cos 2x ，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增加的，在⎝⎛⎭⎫－π2，0上是减少的，故选A.三角函数的对称性(师生共研)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，它的最小正周期为π，则函数f (x )图象的一个对称中心是( )A.⎝⎛⎭⎫π3，1 B.⎝⎛⎭⎫π12，0 C.⎝⎛⎭⎫5π12，0D ．⎝⎛⎭⎫－π12，0 【解析】 由题意可得2πω＝π，所以ω＝2，可得f (x )＝A sin(2x ＋φ)，再由函数图象关于直线x ＝π3对称，故f ⎝⎛⎭⎫π3＝A sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝±A ，故可取φ＝－π6. 故函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，令2x －π6＝k π，k ∈Z ， 可得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，故函数的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2＋π12，0，k ∈Z . 所以函数f (x )图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π12，0. 【答案】 B三角函数图象的对称轴和 对称中心的求解思路和方法(1)思路：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的对称轴和对称中心可结合y ＝sin x 图象的对称轴和对称中心求解．(2)方法：利用整体代换的方法求解，令ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝（2k ＋1）π－2φ2ω，k ∈Z ，即对称轴方程；令ωx ＋φ＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π－φω，k ∈Z ，即对称中心的横坐标(纵坐标为0)．对于y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)，可以利用类似方法求解(注意y ＝A tan(ωx ＋φ)的图象无对称轴)．1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝( )A ．2 B.32 C ．1D ．12解析：选A.依题意得函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2×(3π4－π4)＝π，解得ω＝2，选A.2．已知函数f (x )＝|sin x ||cos x |，则下列说法错误的是( ) A ．f (x )的图象关于直线x ＝π2对称B ．f (x )的周期为π2C ．(π，0)是f (x )的一个对称中心D ．f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上是减少的解析：选A.f (x )＝|sin x ||cos x |＝|sin x cos x |＝12·|sin 2x |，则f ⎝⎛⎭⎫π2＝12|sin π|＝0，则f (x )的图象不关于直线x＝π2对称，故A 错误；函数周期T ＝12×2π2＝π2，故B 正确；f (π)＝12|sin 2π|＝0，则(π，0)是f (x )的一个对称中心，故C 正确；当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，2x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，此时sin 2x ＞0，且sin 2x 为减函数，故D 正确．三角函数的图象与性质的综合问题(师生共研)已知函数f (x )＝sin (2π－x )·sin ⎝⎛⎭⎫3π2－x －3cos 2x ＋ 3. (1)求f (x )的最小正周期和图象的对称轴方程； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，7π12时，求f (x )的最小值和最大值． 【解】 (1)由题意，得f (x )＝(－sin x )(－cos x )－3cos 2x ＋3＝sin x cos x －3cos 2x ＋3＝12sin 2x －32(cos 2x ＋1)＋3＝12sin 2x －32cos 2x ＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π；令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )，故所求图象的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )．(2)当0≤x ≤7π12时，－π3≤2x －π3≤5π6，由函数图象(图略)可知，－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3≤1，即0≤sin(2x －π3)＋32≤2＋32. 故f (x )的最小值为0，最大值为2＋32.解决三角函数图象与性质综合问题的方法先将y ＝f (x )化为y ＝a sin x ＋b cos x 的形式，然后用辅助角公式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再借助y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. (1)求函数的最大值及相应的x 值的集合； (2)求函数f (x )的图象的对称轴方程与对称中心． 解：(1)当sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝1时，2x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z ， 即x ＝k π＋3π8，k ∈Z ，此时函数取得最大值为2；故f (x )的最大值为2，使函数取得最大值的x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝3π8＋k π，k ∈Z .(2)由2x －π4＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝3π8＋12k π，k ∈Z .即函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝3π8＋12k π，k ∈Z .由2x －π4＝k π，k ∈Z 得x ＝π8＋12k π，k ∈Z ，即对称中心为⎝⎛⎭⎫π8＋12k π，0，k ∈Z .[基础题组练]1．函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A.π2 B.2π3 C ．πD ．2π解析：选C.因为y ＝2⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以T ＝2π2＝π. 2．f (x )＝tan x ＋sin x ＋1，若f (b )＝2，则f (－b )＝( ) A ．0 B ．3 C ．－1D ．－2解析：选A.因为f (b )＝tan b ＋sin b ＋1＝2， 即tan b ＋sin b ＝1.所以f (－b )＝tan(－b )＋sin(－b )＋1 ＝－(tan b ＋sin b )＋1＝0.3．若⎝⎛⎭⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C.因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4， 由题意，知f ⎝⎛⎭⎫π8＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6.4．关于函数y ＝tan(2x －π3)，下列说法正确的是( )A ．是奇函数B ．在区间(0，π3)上是减少的C ．(π6，0)为其图象的一个对称中心D ．最小正周期为π解析：选C.函数y ＝tan(2x －π3)是非奇非偶函数，A 错；在区间(0，π3)上是增加的，B 错；最小正周期为π2，D 错；由2x －π3＝k π2，k ∈Z 得x ＝k π4＋π6，当k ＝0时，x ＝π6，所以它的图象关于(π6，0)中心对称，故选C.5．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( ) A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 B ．关于点⎝⎛⎭⎫5π3，0对称 C ．关于直线x ＝π3对称D ．关于直线x ＝5π3对称解析：选B.函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期是4π，而T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，即f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6.函数f (x )的对称轴为x 2＋π6＝π2＋k π，解得x ＝23π＋2k π(k ∈Z )；令k ＝0得x ＝23π.函数f (x )的对称中心的横坐标为x 2＋π6＝k π，解得x ＝2k π－13π(k ∈Z )，令k ＝1得f (x )的一个对称中心⎝⎛⎭⎫53π，0. 6．若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N ＋)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为 ． 解析：由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，所以ωmin ＝2.答案：27．(2020·江西新余模拟)在函数①y ＝cos|2x |；②y ＝|cos 2x |；③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6；④y ＝tan 2x 中，最小正周期为π的所有函数的序号为 ．解析：①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π；②y ＝cos 2x ，最小正周期为π，由图象知y ＝|cos 2x |的最小正周期为π2；③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π；④y ＝tan 2x 的最小正周期T ＝π2.因此①③的最小正周期为π.答案：①③8．已知函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f (x )的最小正周期为 ．解析：由函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，可得ωπ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，所以ω＝k ＋23，又ω∈(1，2)，所以ω＝53，从而得函数f (x )的最小正周期为2π53＝6π5.答案：6π59．已知函数f (x )＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4.求函数f (x )的最小正周期和图象的对称中心． 解：因为f (x )＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2－π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＋1 ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋1 ＝32sin 2x －12cos 2x ＋1 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1， 所以f (x )的最小正周期为2π2＝π，图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π12＋k π2，1，k ∈Z . 10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的递增区间．解：由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )． 所以sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)， 展开整理得sin 2x cos φ＝0， 已知上式对∀x ∈R 都成立，所以cos φ＝0.因为0<φ<2π3，所以φ＝π2.(2)因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32， 即π3＋φ＝π3＋2k π或π3＋φ＝2π3＋2k π(k ∈Z )， 故φ＝2k π或φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，又因为0<φ<2π3，所以φ＝π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，故f (x )的增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． [综合题组练]1．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (x ∈R )，又f (α)＝2，f (β)＝2，且|α－β|的最小值是π2，则正数ω的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D.函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3. 由f (α)＝2，f (β)＝2，且|α－β|的最小值是π2，所以函数f (x )的最小正周期T ＝π2，所以ω＝2ππ2＝4.2．(2020·江西八所重点中学联考)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0＜ω＜1，|φ|＜π2的图象经过点(0，1)，且关于直线x ＝2π3对称，则下列结论正确的是( )A ．f (x )在⎣⎡⎦⎤π12，2π3上是减函数B ．若x ＝x 0是f (x )图象的对称轴，则一定有f ′(x 0)≠0C ．f (x )≥1的解集是⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π3，k ∈Z D ．f (x )图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫－π3，0 解析：选D.由f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象经过点(0，1)，得sin φ＝12，又|φ|＜π2，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6.因为f (x )的图象关于直线x ＝2π3对称，所以存在m ∈Z 使得2π3ω＋π6＝m π＋π2，得ω＝3m 2＋12(m ∈Z )，又0＜ω＜1，所以ω＝12，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6.令2n π＋π2≤12x ＋π6≤2n π＋3π2，n ∈Z ，得4n π＋2π3≤x ≤4n π＋8π3，n ∈Z ，故A 错误；若x ＝x 0是f (x )图象的对称轴，则f (x )在x ＝x 0处取得极值，所以一定有f ′(x 0)＝0，故B 错误；由f (x )≥1得4k π≤x ≤4k π＋4π3，k ∈Z ，故C 错误；因为f ⎝⎛⎭⎫－π3＝0，所以⎝⎛⎭⎫－π3，0是其图象的一个对称中心，故D 正确．选D.3．已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程； (2)讨论函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性． 解：(1)因为f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4，且T ＝π，所以ω＝2.于是，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )，即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )．(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )．注意到x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的增区间为⎣⎡⎦⎤0，3π8；同理，其减区间为⎣⎡⎦⎤3π8，π2. 4．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．解：(1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，所以当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π.又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2.所以x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，所以cos(x 1－x 2)＝cos ⎝⎛⎭⎫56π－2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x 2－π3， 又f (x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x 2－π3＝23， 故cos(x 1－x 2)＝23.。
2021届步步高数学大一轮复习讲义(理科)第四章 4.4三角函数的图象与性质
§4.4 三角函数的图象与性质
最新考纲
1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与
x轴的交点等)，理解正切函数在 －π2，π2 内的单调性. 考情考向分析
结合三角变换，考查三角函数图象及变换，三角函数的性质，加强数形结合思想. 以选择、填空为主，中档难度.
题组三 易错自纠
5.在函数①y＝cos |2x|；②y＝|cos x|；③y＝cos2x＋π6；④y＝tan2x－π4中，最小
正周期为 π 的所有函数为
√A.①②③
B.①③④
C.②④
D.①③
解析 ①y＝cos |2x|＝cos 2x，最小正周期为π； ②由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π； ③y＝cos2x＋π6的最小正周期 T＝22π＝π； ④y＝tan2x－π4的最小正周期 T＝2π，故选 A.
INDEX
基础落实 回扣基础知识 训练基础题目
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
知识梳理
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)， (π，0) ， 32π，－1 ，(2π，0).
π2，1，
(2)在余弦函数y＝cos (π，－1) ， 32π，0
x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)， ，(2π，1).
题组二 教材改编 2.函数 f(x)＝cos2x＋π4的最小正周期是___π___. 3.y＝3sin2x－π6在区间0，π2上的值域是__－__32_，__3___.
解析 当 x∈0，π2时，2x－π6∈－6π，56π， sin2x－π6∈－12，1， 故 3sin2x－π6∈－32，3， 即 y＝3sin2x－π6在0，π2上的值域为－32，3.
2021版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第4讲三角函数的图象与性质课件理北师大版
上是增函数，在
2kπ](k∈Z)上是增函
单调性 _[_π2_＋__2_k_π_，__32π_＋__2_k_π_]_(k_∈__Z_)__ 数，在[2kπ，2kπ＋
上是减函数
π](k∈Z)上是减函数
在__(－__π_2_＋__k_π_，__π2_＋___ _k_π_)_(_k_∈__Z_)___上是增
3． y＝tan 2x 的定义域是________．
解析：由
2x≠kπ ＋
π 2
，k
∈
Z，
得
x≠
k2π ＋
π 4
，k
∈
Z，
所
以
y ＝ tan
2x
的定义域是
xx≠k2π＋π4，k∈Z.
答案：xx≠k2π＋π4，k∈Z
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)y＝sin x 在第一、第四象限是增函数．
二、教材衍化 1．若函数 y＝2sin 2x－1 的最小正周期为 T，最大值为 A，则 T＝________，A＝________．
解析：最小正周期 T＝22π＝π，最大值 A＝2－1＝1. 答案：π 1
2．下列关于函数 y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是________(填序号)． ①在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数； ②在－π2，π2上是增函数，在－π，－π2及π2，π上是减函数； ③在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数； ④在π2，π及－π，－π2上是增函数，在－π2，π2上是减函数． 解析：函数 y＝4sin x 在－π，－π2和π2，π上是减少的，在－π2，π2上是增加的． 答案：②
在余弦函数 y＝cos x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，1)，(π2，0)，_(π__，__－__1_) _， (32π，0)，(2π，1)． 五点法作图有三步：列表、描点、连线(注意光滑)．
【步步高】高考数学总复习 4.4三角函数的图象和性质配套文档 理 新人教a版
§4.4 三角函数的图象和性质1． 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．2． 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期． ( √ ) (2)y ＝sin x 在x ∈[0，π2]上是增函数．( √ ) (3)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数． ( × ) (4)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数． ( × ) (5)y ＝k sin x ＋1(x ∈R )，则y max ＝k ＋1. ( × ) (6)若sin x >22，则x >π4.( × ) 2． (2012·福建)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2答案 C解析 方法一 ∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点， 故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z .取k ＝－1，则x ＝－π4.方法二 用验证法．x ＝π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－π4＝0，不合题意，排除A ； x ＝π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－π4＝22，不合题意，排除B ； x ＝－π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4－π4＝－1，符合题意，C 项正确；x ＝－π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π2－π4＝－22，不合题意，故D 项也不正确． 3． 若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于 ( )A.23B.32C ．2D ．3答案 B解析 ∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32. 4． (2013·湖北)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是 ( )A.π12B.π6C.π3D.5π6答案 B解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )，它关于y 轴对称可得 sin(π3＋m )＝±1， ∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵m >0，∴m 的最小值为π6.5． 函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为________________．答案 {x |－3≤x <－π2或0<x <π2}解析 由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >09－x 2≥0， 得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<2x <2k π＋π，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x <－π2或0<x <π2.∴函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为 {x |－3≤x <－π2或0<x <π2}.题型一 求三角函数的定义域和最值例1 (1)(2012·山东)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3(2)函数y ＝1tan x －1的定义域为____________________________________________．思维启迪 求函数的定义域可利用三角函数的图象或数轴；求函数最值或值域时要利用图象、三角变换、二次函数等知识．答案 (1)A (2){x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z }解析 (1)利用三角函数的性质先求出函数的最值． ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1. ∴y ∈[]－3，2，∴y max ＋y min ＝2－ 3.(2)要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎨⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z x ≠π2＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为{x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z }．思维升华 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)； ②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(1)(2013·湛江调研)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________．(2)函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A ．[－1,1]B ．[－54，－1]C ．[－54，1]D ．[－1，54]答案 (1){x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z } (2)C解析 (1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， ∴2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为{x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z }．(2)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令t ＝sin x ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈[－1,1]， 画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1，可得y ∈[－54，1]．题型二 三角函数的单调性、周期性 例2 写出下列函数的单调区间及周期：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3；(2)y ＝|tan x |. 思维启迪 (1)化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，再求单调区间及周期．(2)由y ＝tan x 的图象→y ＝|tan x |的图象→求单调性及周期． 解 (1)y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 它的增区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的减区间，它的减区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z .故所给函数的减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ； 增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z . 最小正周期T ＝2π2＝π.(2)观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，减区间是⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 最小正周期T ＝π.思维升华 (1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中，ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值． 解 ∵⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝π2， ∴cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x . ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3，周期T ＝2π4＝π2. 当－π2＋2k π≤4x ＋π3≤π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递增，∴函数的递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π24＋k π2，π24＋k π2 (k ∈Z )． 当π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递减，∴函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z )． 当x ＝π24＋k π2 (k ∈Z )时，y max ＝2；当x ＝－5π24＋k π2 (k ∈Z )时，y min ＝－2.题型三 三角函数的奇偶性和对称性例3 (1)已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ) ⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值为________．(2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6B.π4C.π3D.π2答案 (1)π6(2)A解析 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， y ＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋φ图象关于x ＝0对称， 即f (x ＋φ)为偶函数．∴π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，φ＝k π＋π6，k ∈Z ， 又∵|φ|≤π2，∴φ＝π6.(2)由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＋2π ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.思维升华 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值．若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0. 如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π (k ∈Z )，求x .如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π (k ∈Z )即可．(1)若函数f (x )＝sin ax ＋cos ax (a >0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为( )A ．(－π8，0)B ．(0,0)C ．(－18，0)D ．(18，0)(2)设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ∈(－π2，π2))的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论：①图象关于点(π4，0)对称；②图象关于点(π3，0)对称；③在[0，π6]上是增函数；④在[－π6，0]上是增函数中，所有正确结论的编号为________． 答案 (1)C (2)②④解析 (1)由条件得f (x )＝2sin(ax ＋π4)，又函数的最小正周期为1，故2πa ＝1，∴a ＝2π，故f (x )＝2sin(2πx ＋π4)．将x ＝－18代入得函数值为0.(2)∵T ＝π，∴ω＝2.又2×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋π3(k ∈Z )．∵φ∈(－π2，π2)，∴φ＝π3，∴y ＝sin(2x ＋π3)，由图象及性质可知②④正确．三角函数的单调性、对称性典例：(10分)(1)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12]D ．(0,2](2)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b 的值为( )A ．－1B ．3C ．－1或3D ．－3思维启迪 (1)(π2，π)为函数f (x )某个单调减区间的子集；(2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可得函数的对称轴，应用函数在对称轴处的性质求解即可．答案 (1)A (2)C解析 (1)由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知(π2ω＋π4，πω＋π4)⊆[π2，3π2]，∴⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A. (2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3.温馨提醒 (1)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象与其对称轴的交点是最值点.方法与技巧1． 讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式． 2． 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|. 3． 对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质． 失误与防范1． 闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2． 要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时情况.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1． 下列函数中，周期为π且在[0，π2]上是减函数的是( )A ．y ＝sin(x ＋π4)B ．y ＝cos(x ＋π4)C ．y ＝sin 2xD ．y ＝cos 2x答案 D解析 对于函数y ＝cos 2x ，T ＝π，当x ∈[0，π2]时，2x ∈[0，π]，y ＝cos 2x 是减函数．2． (2012·湖南)函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－32，32 答案 B解析 将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式后求解． ∵f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6(x ∈R )， ∴f (x )的值域为[－3，3]．3． (2013·浙江)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 φ＝π2⇒f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx 为奇函数， ∴“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要条件．又f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇒f (0)＝0⇒φ＝π2＋k π(k ∈Z )D /⇒φ＝π2.∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝π2”的充分条件．4． 若f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋m 对任意实数t 都有f (t ＋π4)＝f (－t )，且f (π8)＝－1，则实数m 的值等于( )A ．±1B ．－1或3C ．±3D ．－3或1答案 D解析 对任意实数t ，都有f (t ＋π4)＝f (－t )，则函数f (x )的图象关于x ＝t ＋π4＋(－t )2＝π8对称，所以cos(ω·π8＋φ)＝±1，即f (π8)＝±2＋m ＝－1⇒m ＝－3或1.5． (2012·天津)将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是 ( )A.13B ．1C.53D ．2答案 D解析 根据题意平移后函数的解析式为y ＝sin ω⎝⎛⎭⎫x －π4， 将⎝⎛⎭⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0， 故ω的最小值为2. 二、填空题6． 函数y ＝cos(π4－2x )的单调减区间为________．答案 [k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )解析 由y ＝cos(π4－2x )＝cos(2x －π4)得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )．所以函数的单调减区间为[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )．7． 当－π2≤x ≤π2，函数y ＝sin x ＋3cos x 的最大值为________，最小值为________．答案 2 －1解析 y ＝2sin(x ＋π3)，－π6≤x ＋π3≤5π6，∴－12≤sin(x ＋π3)≤1，∴－1≤y ≤2，故y max ＝2，y min ＝－1.8． 已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝________.答案3解析 由题中图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即最小正周期为π2，所以ω＝2.由题意可知，图象过定点(3π8，0)，所以0＝A tan(2×3π8＋φ)，即3π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4.又图象过定点(0,1)，所以A ＝1. 综上可知，f (x )＝tan(2x ＋π4)，故有f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.三、解答题9． 设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间． 解 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，k ∈Z ，又－π<φ<0，则φ＝－3π4.(2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4， 令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . 10．设函数f (x )＝sin(πx 4－π6)－2cos 2πx8＋1.(1)求f (x )的最小正周期．(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，43]时，y ＝g (x )的最大值．解 (1)f (x )＝sin πx 4cos π6－cos πx 4sin π6－cos πx 4＝32sin πx 4－32cos πx4＝3sin(πx 4－π3)，故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(2)方法一 在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))， 它关于x ＝1的对称点(2－x ，g (x ))．由题设条件，知点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上， 从而g (x )＝f (2－x )＝3sin[π4(2－x )－π3]＝3sin[π2－πx 4－π3]＝3cos(πx 4＋π3)．当0≤x ≤43时，π3≤πx 4＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3cos π3＝32.方法二 区间[0，43]关于x ＝1的对称区间为[23，2]，且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 故y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为y ＝f (x )在[23，2]上的最大值．由(1)知f (x )＝3sin(πx 4－π3)，当23≤x ≤2时，－π6≤πx 4－π3≤π6. 因此y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3sin π6＝32.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)1． 函数y ＝|sin x ＋cos x |－1的定义域是( )A ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )B ．[2k π，2k π＋π2](k ∈Z )C ．[－π2＋k π，k π](k ∈Z )D ．[－π2＋2k π，2k π](k ∈Z )答案 A解析 |sin x ＋cos x |－1≥0⇒(sin x ＋cos x )2≥ 1⇒sin 2x ≥0，∴2k π≤2x ≤2k π＋π，k ∈Z ，故原函数的定义域是[k π，k π＋π2](k ∈Z )．2． 设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________． 答案 2解析 f (x )＝3sin(π2x ＋π4)的周期T ＝2π×2π＝4，f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值， 故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2.3． 已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题：①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2； ②f (x )的最小正周期是2π； ③f (x )在区间[－π4，π4]上是增函数；④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称．其中真命题是________． 答案 ③④解析 f (x )＝12sin 2x ，当x 1＝0，x 2＝π2时，f (x 1)＝－f (x 2)，但x 1≠－x 2，故①是假命题； f (x )的最小正周期为π，故②是假命题；当x ∈[－π4，π4]时，2x ∈[－π2，π2]，故③是真命题；因为f (3π4)＝12sin 32π＝－12，故f (x )的图象关于直线x ＝34π对称，故④是真命题．4． 已知函数f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＋1.(1)当x ∈[π4，π2]时，求f (x )的最大值和最小值；(2)求f (x )的单调区间．解 (1)f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＋1＝2sin(2x －π3)＋1.∵π4≤x ≤π2，∴π2≤2x ≤π，∴π6≤2x －π3≤2π3， ∴12≤sin(2x －π3)≤1，∴1≤2sin(2x －π3)≤2， 于是2≤2sin(2x －π3)＋1≤3，∴f (x )的最大值是3，最小值是2. (2)由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z得2k π－π6≤2x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，即f (x )的单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z ，同理由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z得f (x )的单调递减区间为[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈Z . 5． 已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间． 解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6.∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。
《步步高》2021届高考数学大一轮复习(人教A版)专题训练：专题一函数图象与性质的综合应用
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思维启迪 解析
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题型分类·深度剖析
题型四
函数的值域与不等式恒成立问题
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A
练出高分
A组 专项基础训练
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高考圈题
2.高考中的函数零点问题
考点分析
求解策略
解析
解后反思
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专题04 三角函数与三角形 2021年高考数学(文)自由复习步步高系
专题04 三角函数与三角形 2021年高考数学（文）自由复习步步高系专题04三角函数与三角形-2021年高考数学（文）自由复习步步高系2022高考备考：考试前十天独立复习第四天（文科）综述1：三角函数的图像和性质1．三角函数定义、同角关系与诱导公式Y(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点p(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝.各象X角极限三角函数值的符号：一个全正、两个正弦、三个正切、四个余弦。
sinα(2)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.cosαkπ（3） In：诱导式α，在K的诱导式中∈ Z、奇数变量和偶数不变量，符号看象限22．三角函数的图象及常用性质函数映像在[-单调性ππ+2Kπ，+22ππ（-Kπ，+22Kπ）（K）上单调增加∈ z），Kπ，2Y=sinxy=cosxy=tanx2kπ]（K∈ z） )；π3π在[+2Kπ，+222kπ]（K）上单调递减∈ z）对称中心：（Kπ，0）（K∈ z） )；在[-π+2Kπ，2Kπ]（K）上单调递增∈ z） )；π（k）=π（k）∈ π（k）上的Z（π+k）单调性∈ Z轴；2对称轴：x=kπ（k∈ z）对称中心：（0）（K）∈ z）三,。
三角函数的两种常见变换回顾二：三角变换与解三角形1.两个角度和差的正弦、余弦和切线公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.(2)cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ.tanα±tanβ(3)tan(α±β)＝.1.tanαtanβ2。
双角度的正弦、余弦和切线公式(1)sin2α＝2sinαcosα.（2）cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α。
2tanα(3)tan2α＝.1－tan2α3。
三角恒等式的证明方法(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简．(2)等式的两边同时变形为同一个式子．(3)将式子变形后再证明．4．正弦定理ABC==2R（2R是△ ABC外接圆）。
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k2π，0 无
概念方法微思考
1.正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距 离呢？ 提示 正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对 称中心的距离也为半个周期. 2.函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件分别是 什么？ 提示 f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π2 ＋kπ(k∈Z). f (x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).
INDEX
基础落实 回扣基础知识 训练基础题目
知识梳理
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)， (π，0) ， 32π，－1 ，(2π，0).
π2，1，
(2)在余弦函数y＝cos (π，－1) ， 32π，0
x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)， ，(2π，1).
6.函数 y＝sinx－π4的对称轴为_x_＝__3_4π_＋__k_π_，__k_∈__Z___，对称中心为 __π4_＋__k_π_，__0__，__k∈__Z___.
解析 由 x－π4＝π2＋kπ，k∈Z，得 x＝34π＋kπ，k∈Z， 由 x－π4＝kπ，k∈Z，得 x＝π4＋kπ，k∈Z. 故函数 y＝sinx－π4的对称轴为 x＝34π＋kπ，k∈Z； 对称中心为π4＋kπ，0，k∈Z.
如图所示. 在[0,2π]内，满足 sin x＝cos x 的 x 为π4，54π，
再结合正弦、余弦函数的周期是2π，
所以原函数的定义域为x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π，k∈Z
.
方法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示).
所以定义域为x 2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π，k∈Z
基础自测
题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数.( × ) (2)由 sinπ6＋23π＝sin π6知，23π 是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期.( × ) (3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.( × ) (4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则yx)＝cos2x＋π4的最小正周期是___π___. 3.y＝3sin2x－π6在区间0，π2上的值域是__－__32_，__3___.
解析 当 x∈0，π2时，2x－π6∈－6π，56π， sin2x－π6∈－12，1， 故 3sin2x－π6∈－32，3， 即 y＝3sin2x－π6在0，π2上的值域为－32，3.
π2，0，
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
值域 周期性 奇偶性
R
___[_－__1_,1_]___ __2_π_
_奇__函__数__
R
____[－__1_,_1_] ___ _2_π__
_偶__函__数___
xx≠kπ＋2π
.
(2)函数 y＝2sinπ6x－3π(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为
√A.2－ 3
B.0
C.－1
D.－1－ 3
解析 因为 0≤x≤9，所以－3π≤π6x－π3≤76π， 所以－ 23≤sinπ6x－π3≤1，则－ 3≤y≤2. 所以 ymax＋ymin＝2－ 3.
(3)当 x∈π6，76π时，函数 y＝3－sin x－2cos2x 的值域为__78_，__2___.
_R__
_π__
奇函数
递增区间 递减区间
2kπ－π2，2kπ＋2π _[_2_k_π_－__π_，__2_kπ_]_ 2kπ＋π2，2kπ＋32π _[_2_k_π_，__2_kπ_＋__π_]_
kπ－2π，kπ＋2π 无
对称中心 对称轴方程
_(_kπ_，__0_)_ x＝kπ＋π2
kπ＋π2，0 __x＝__k_π__
题型突破 典题深度剖析 重点多维探究
题型一 师生共研 三角函数的定义域和值域
例 1 (1)函数 y＝ sin x－cos x的定义域为___2_k_π_＋__π4_，__2_k_π_＋__54_π_(_k_∈__Z_)___.
解析 方法一 要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.
利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，
大一轮复习讲义
§4.4 三角函数的图象与性质
最新考纲
1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与
x轴的交点等)，理解正切函数在 －π2，π2 内的单调性. 考情考向分析
结合三角变换，考查三角函数图象及变换，三角函数的性质，加强数形结合思想. 以选择、填空为主，中档难度.
解析 因为 x∈π6，76π，所以 sin x∈－12，1. 又y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－2(1－sin2x) ＝2sin x－142＋78， 所以当 sin x＝14时，ymin＝78 当 sin x＝－12 或 sin x＝1 时，ymax＝2.即函数的值域为87，2.
4.函数 y＝－tan2x－34π的单调递减区间为__π8_＋__k_2π_，__5_8π_＋__k_2π__(k_∈__Z__)_. 解析 由－2π＋kπ<2x－34π<2π＋kπ(k∈Z)， 得π8＋k2π<x<58π＋k2π(k∈Z)， 所以 y＝－tan2x－34π的单调递减区间为π8＋k2π，58π＋k2π(k∈Z).
题组三 易错自纠
5.在函数①y＝cos |2x|；②y＝|cos x|；③y＝cos2x＋π6；④y＝tan2x－π4中，最小
正周期为 π 的所有函数为
√A.①②③
B.①③④
C.②④
D.①③
解析 ①y＝cos |2x|＝cos 2x，最小正周期为π； ②由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π； ③y＝cos2x＋π6的最小正周期 T＝22π＝π； ④y＝tan2x－π4的最小正周期 T＝2π，故选 A.