2020年高考数学模拟试卷(4月份)
2020年江苏省南京外国语学校、金陵中学、海安高中高考数学四模试卷(含答案解析)
2020年江苏省南京外国语学校、金陵中学、海安高中高考数学四模试卷题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.设全集U={x|x＜5，x∈N*}，集合A={1，2}，B={2，4}，则∁U（A∪B）=______．2.复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点在第象限______．3.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和大于10的概率是______．4.对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30）内为一等品，在区间[20，25）和[30，35）内为二等品，其余为次品．则样本中次品件数为______．5.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2=2px的焦点恰好是双曲线的右焦点，则该抛物线的准线方程为______．6.如图是一个算法流程图，则输出的b的值为______．7.已知α∈（0，π），，则=______．8.函数的定义域为______．9.设数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，已知a1+a4+a7=60，a2+a5+a8=51，若对任意n∈N*，都有S n≤S k成立，则正整数k的值为______．10.如图，该几何体由底面半径相同的圆柱与圆锥两部分组成，且圆柱的高与底面半径相等．若圆柱与圆锥的侧面积相等，则圆锥与圆柱的高之比为______．11.在平面直角坐标系xOy中，圆C经过M（1，3），N（4，2），P（1，-7）三点，且直线l：x+ay-1=0（a∈R）是圆C的一条对称轴，过点A（-6，a）作圆C的一条切线，切点为B，则线段AB的长度为______．12.已知实数a，b∈（0，2），且满足，则a+b的值为______．13.已知菱形ABCD中，对角线AC=，BD=1，P是AD边上的动点（包括端点），则的取值范围为______．14.在△ABC中，若cos2A+cos2B+cos2C＜1，sin B=，则（tan2A-2）•sin2C的最小值为______．二、解答题（本大题共11小题，共150.0分）15.已知函数f（x）=2sin（x+）•cos x．（1）若0≤x≤，求函数f（x）的值域；（2）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A为锐角且f（A）=，b=2，c=3，求cos（A-B）的值．16.如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB=BC，PA⊥PC．点E，F，O分别为线段PA，PB，AC的中点，点G是线段CO的中点．（1）求证：FG∥平面EBO；（2）求证：PA⊥BE．17.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设P为椭圆上顶点，点A是椭圆C上异于顶点的任意一点，直线PA交x轴于点M．点B 与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N．问：在y轴的正半轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．18.如图，已知某市穿城公路MON自西向东到达市中心O后转向东北方向，∠MON=，现准备修建一条直线型高架公路L，在MO上设一出入口A，在ON上设一出入口B，且要求市中心O到AB所在的直线距离为10km．（1）求A，B两出入口间距离的最小值；（2）在公路MO段上距离市中心O点30km处有一古建筑C（视为一点），现设立一个以C为圆心，5km为半径的圆形保护区，问如何在古建筑C和市中心O之间设计出入口A，才能使高架公路及其延长线不经过保护区？19.已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且2S n+1-3S n=2a1，n∈N*．（1）求证：数列{a n}为等比数列；（2）若a1与a t（t为常数，t≥3，t∈N*）均为正整数，且存在正整数q，使得，，求a1的值．20.已知函数f（x）=ax-ln x-a，a∈R．（1）若a=1，求方程f（x）=0的根；（2）已知函数g（x）=-x•f（x）+ax2-2ax+a在区间（1，+∞）上存在唯一的零点，求实数a的取值范围；（3）当a=0时，是否存在实数m，使不等式在（1，+∞）上恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，说明理由．21.已知直线l：x+y=1在矩阵对应的变换作用下变为直线l'：x-y=1，求矩阵A．22.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；（2）已知A（-2，0），B（0，2），圆C上任意一点M（x，y），求△ABM面积的最大值．23.设x，y，z∈R，且满足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z=，求证：x+y+z=．24.一个暗箱中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分．甲从暗箱中有放回地依次取出3只球．（1）求甲三次都取得白球的概率；（2）求甲总得分ξ的分布列和数学期望．25.设n∈N*．（1）若，求S2019的值；（2）若，求T2019的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：{3}解析：解：U={x|x＜5，x∈N*}={1，2，3，4}，因为A={1，2}，B={2，4}，所以A∪B={1，2，4}，所以∁U（A∪B）={3}，故答案为：{3}．U={x|x＜5，x∈N*}={1，2，3，4}，求出A∪B，然后求出其补集即可．本题考查了集合的并集和补集的混合运算，属基础题．2.答案：三解析：解：∵=，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（，-），在第三象限．故答案为：三．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：解析：解：将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数n=6×6=36，出现向上的点数之和大于10包含的基本事件有：（5，6），（6，5），（6，6），共有m=3个，∴出现向上的点数之和大于10的概率p==．故答案为：．先求出基本事件总数，再利用列举法求出出现向上的点数之和大于10包含的基本事件的个数，由此能求出出现向上的点数之和大于10的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．4.答案：200解析：解：样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30）内为一等品，在区间[20，25）和[30，35）内为二等品，其余为次品．其件数为：800×（0.0125+0.0250+0.0125）×5=200故答案为：200结合频数分布直方图确定落在[10，15，）、[15，20）、[35，40]的人数由容量××组距求出．本题考查由频数分布表、直方图求频数、频率，考查频率公式，频率分布直方图坐标轴的应用，属于基础题．5.答案：x=-2解析：解：双曲线的右焦点是（2，0），∴抛物线y2=2px的焦点为（2，0），∴=2，∴p=4∴抛物线的准线方程为：x=-=-2．故答案为：x=-2．根据双曲线方程求出焦点坐标，根据抛物线的几何性质求得p和准线方程．本题考查了抛物线的性质，属中档题．6.答案：8解析：解：a=1，b=1，a＞10否，a=2，b=1，a＞10否，a=1+2=3，b=2-1=1，a＞10否，a=3+1=4，b=3-1=2，a＞10否，a=4+2=6，b=4-2=2，a＞10否，a=6+2=8，b=6-2=4，a＞10否，a=8+4=12，b=12-4=8，a＞10是，输出b=8，故答案为：8根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．7.答案：-2解析：解：α∈（0，π），，故：，则：=-．故答案为：-2直接利用三角函数关系式的恒等变换和诱导公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，诱导公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．8.答案：{x|-1＜x≤2}解析：解：要使函数有意义，则≥0，得≤0，得-1＜x≤2，即函数的定义域为{x|-1＜x≤2}，故答案为：{x|-1＜x≤2}根据函数成立的条件，建立不等式进行求解即可．本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．9.答案：10解析：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a4+a7=60，a2+a5+a8=51，∴3a1+9d=60，3a1+12d=51，联立解得：a1=29，d=-3，∴a n=29-3（n-1）=32-3n．令a n32-3n≥0，解得n≤=10+．由对任意n∈N*，都有S n≤S k成立，则正整数k的值=10．故答案为：10．设等差数列{a n}的公差为d，由a1+a4+a7=60，a2+a5+a8=51，可得3a1+9d=60，3a1+12d=51，联立解得：a1，d，利用a n≥0，解得n．本题主要考查等差数列的通项公式求和公式及其单调性，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中档题．10.答案：解析：解：设圆柱的底面圆半径为r，则圆柱的高为h=r，其侧面积为S1=2πr•r=2πr2；设圆锥的高为H，则母线长为，其侧面积为S2=πr•；又S1=S2，则2πr2=πr•，解得H=r，所以圆锥与圆柱的高之比为=．故答案为：．设圆柱的底面圆半径为r，高为r，求出侧面积S1；设圆锥的高为H，求出母线长和侧面积S2，利用S1=S2求出H，再计算的值．本题考查了圆柱与圆锥的侧面积计算问题，是基础题．11.答案：2解析：解：设圆的一般式方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，∵圆过M（1，3），N（4，2），P（1，-7）三点，∴，得D=-2，E=4，F=-20，即圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0，即（x-1）2+（y+2）2=25，圆心C（1，-2），半径R=5，∵直线l：x+ay-1=0（a∈R）是圆C的一条对称轴，∴直线过圆心，则1-2a-1=0，得a=0，则A（-6，0），过点A（-6，0）作圆C的一条切线，切点为B，则|AC|===，则线段AB的长度为==2，故答案为：2利用待定系数法求出圆的一般式方程，求a的值，结合切线长公式进行计算即可．本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，利用待定系数法求出圆的方程，利用切线长公式是解决本题的关键．12.答案：2解析：解：已知实数a，b∈（0，2），且满足，则：a2-b2-4=22-b-2a-4b，即：（a2-22-b）+（2a-b2）+（4b-4）=0，∵实数a，b∈（0，2），且满足，即满足：（a2-22-b）+（2a-b2）+（4b-4）=0，取b=1代入方程计算方程的根a且在（0，2）即可，即：（a2-2）+（2a-1）=0，a∈（0，2），当a=1时（a2-2）+（2a-1）=0成立，所以a=1是方程（a2-2）+（2a-1）=0的一个根，且符合a，b∈（0，2）范围，所以a，b∈（0，2）时，且满足成立的a、b有a=b=1是符合．故a+b的值为2故答案为：2．利用已知将化简，计算a、b的值在实数a，b∈（0，2），且满足即可得答案．考查观察法．方程为0 时各部分的系数，对数据的分析．13.答案：[]解析：解：设=，（0≤λ≤1）由已知易得|AD|=1，∠DAB=，则=（）•（）=（-）•[-（λ-1）]=2+λ（λ-1）2-（2λ-1）=λ2=（λ-1）2，又0≤λ≤1，则≤，故答案为：[，]．由平面向量数量积的运算及二次函数的值域问题得：易得|AD|=1，∠DAB=，则=（）•（）=（-）•[-（λ-1）]=2+λ（λ-1）2-（2λ-1）=λ2=（λ-1）2，又0≤λ≤1，则≤，得解．本题考查了平面向量数量积的运算及二次函数的值域问题，属中档题．14.答案：2-5解析：解：因为cos2A+cos2B+cos2C＜1，sin B=，所以cos2A+cos2C＜1-sin2B=，所以+，所以cos2A+cos2C＜-1，所以2cos（A+C）cos（A-C）＜-1，又sin B=，当B=时，A+C=，-，即2cos（A+C）cos（A-C）＞0，即B=不合题意，即B=，即A+C=，所以（tan2A-2）•sin2C=（tan2A-2）•sin2（-A）=（tan2A-2）•cos2A=（tan2A-2）•，令1+tan2A=t（t＞1），则（tan2A-2）•==t≥2=2-5，故答案为：2-5．由三角函数求值及重要不等式得：因为cos2A+cos2B+cos2C＜1，sin B=，所以B=，即A+C=，所以（tan2A-2）•sin2C=（tan2A-2）•sin2（-A）=（tan2A-2）•cos2A=（tan2A-2）•，令1+tan2A=t，（t＞1）则（tan2A-2）•==t≥2=2-5，得解．本题考查了三角函数求值及重要不等式，属难度很大的题型．15.答案：解：（1）f（x）=2sin（x+）•cos x=（sin x+cos x）•cos x=sin x cosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+；…（2分）由得，，∴，…（4分）∴，即函数f（x）的值域为；…（6分）（2）由，得，又由，∴，∴，解得；…（8分）在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A=7，解得；…（10分）由正弦定理，得，…（12分）∵b＜a，∴B＜A，∴，∴cos（A-B）=cos A cos B+sin A sin B=．…（15分）解析：（1）利用三角恒等变换化简f（x），根据x的取值范围即可求出函数f（x）的值域；（2）由f（A）的值求出角A的大小，再利用余弦定理和正弦定理，即可求出cos（A-B）的值．本题考查了三角恒等变换以及正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目．16.答案：证明：（1）连接AF交BE于Q，连接QO，因为E，F分别为边PA，PB的中点，所以Q为△PAB的重心，可得：=2，又因为O为线段AC的中点，G是线段CO的中点，所以=2，于是，所以FG∥QO，因为FG⊄平面EBO，QO⊂平面EBO，所以FG∥平面EBO．（2）因为O为边AC的中点，AB=BC，所以BO⊥AC，因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BO⊂平面ABC，所以BO⊥平面PAC，因为PA⊂平面PAC，所以BO⊥PA，因为点E，O分别为线段PA，AC的中点，所以EO∥PC，因为PA⊥PC，所以PA⊥EO，又BO∩OE=O，BO，EO⊂平面EBO，所以PA⊥平面EBO，因为BE⊂平面EBO，所以PA⊥BE．解析：（1）连AF交BE于Q，连QO，推导出Q是△PAB的重心，从而FG∥QO，由此能证明FG∥平面EBO．（2）推导出BO⊥AC，从而BO⊥面PAC，进而BO⊥PA，再求出OE⊥PA，由此能证明PA⊥平面EBO，利用线面垂直的性质可证PA⊥BE．本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．17.答案：解：（1）设椭圆的焦距为2c，由题意可得：b=1，=，a2=b2+c2，解得a=2．∴椭圆C的标准方程为+y2=1．（2）设B（m，n），M（x M，0），直线BP的方程为：y-1=x，令y=0，可得：x N=，∴N（，0）．由点A，B关于x轴对称，∴A（m，-n）．同理可得：M．假设在y轴的正半轴上存在点Q（0，t）（t＞0），使得∠OQM=∠ONQ．由tan∠OQM=tan∠ONQ，可得：=，即t2=|x M x N|，∴t2==4，又t＞0，解得t=2．经过验证：t=2时，∠OQM=∠ONQ．∴在y轴的正半轴上存在点Q（0，2），使得∠OQM=∠ONQ．解析：（1）设椭圆的焦距为2c，由题意可得：b=1，=，a2=b2+c2，解得a．即可得出椭圆C的标准方程．（2）设B（m，n），M（x M，0），直线BP的方程为：y-1=x，令y=0，可得N（，0）．由点A，B关于x轴对称，可得A（m，-n）．同理可得：M．假设在y轴的正半轴上存在点Q（0，t）（t＞0），使得∠OQM=∠ONQ．由tan∠OQM=tan∠ONQ，可得：=，即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：解：（1）过点O作OE⊥AB于点E，则OE=10．设∠AOE=α，，则．∴AB=AE+BE=10tanα+10tan（）=．∵．∴当，AB取最小值20（）．（2）以O为原点建立平面直角坐标系，则圆C的方程为（x+30）2+y2=25．设直线AB的方程为y=kx+t，（k＞0，t＞0）．∴，，解得t＜20k或＞60k（舍），∴OA＜20．又∵当AB∥ON时，OA→10，∴．解析：（1）过点O作OE⊥AB于点E，则OE=10．设∠AOE=α，，则．AB=AE+BE=10tanα+10tan（）=．利用三角函数知识，可得AB取最小值．（2）以O为原点建立平面直角坐标系，则圆C的方程为（x+30）2+y2=25．设直线AB的方程为y=kx+t，（k＞0，t＞0）．可得，即可求解本题考查了三角知识的应用，直线与圆的位置关系，属于中档题．19.答案：（1）证明：2S n+1-3S n=2a1，n∈N*．可得2S n+2-3S n+1=2a1，相减可得：2a n+2=3a n+1，即=．又2S2-3S1=2a1，解得：=．综上可得：数列{a n}为等比数列，公比为．（2）解：∵a t=a1•，a1与a t为正整数．∴a1是2t-1的倍数，不妨设a1=k2t-1，k∈N*．故a t=k•3t-1．由a t≤（q+1）t-1，得（q+1）t-1≥k•3t-1≥3t-1，于是q≥2．又a1≥q t-1，a t≤（q+1）t-1，得≤，于是≤，∴≤，即q≤2．∴q=2．由a t=a1•≤3t-1，知a1≤2t-1，又a1≥2t-1，∴a1=2t-1．解析：（1）2S n+1-3S n=2a1，n∈N*．可得2S n+2-3S n+1=2a1，相减可得：2a n+2=3a n+1．又2S2-3S1=2a1，可得：．即可证明结论．（2）a t=a1•，a1与a t为正整数．可得a1是2t-1的倍数，不妨设a1=k2t-1，k∈N*．故a t=k•3t-1．由a t≤（q+1）t-1，得（q+1）t-1≥k•3t-1≥3t-1，于是q≥2．又a1≥q t-1，a t≤（q+1）t-1，得≤，可得≤，即q≤2．解得q，即可得出．本题主要考查等比数列的定义通项公式、不等式的性质，考查学生的转化能力和逻辑推理与计算能力，属于难题．20.答案：解：（1）当a=1时，f（x）=0即为，x-ln x-1=0，令t（x）=x-ln x-1，所以t′（x）=1-=，当x∈（0，1）时，t′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，t′（x）＞0，（x）单调递增，所以，t（x）min=t（1）=0，故方程f（x）=0的根为：x=1；（2）函数g（x）=-x•f（x）+ax2-2ax+a=x lnx-a（x-1）．所以g′（x）=ln x+1-a，当a≤1时，由x＞1，知g′（x）＞0，所以g（x）在（1，+∞）是增函数，且图象不间断；又g（1）=0，所以：x＞1时，g（x）＞g（1）=0，即函数g（x）在（1，+∞）上没有零点，不合题意；当a＞1时，由g′（x）=0，解得：x=＞1，当1＜x＜时，g′（x）＜0，故g（x）在（1，）上是减函数；当x＞时，g′（x）＞0，故g（x）在（，+∞）上是增函数；所以1＜x＜时，g（x）＜g（1）=0，因为，g（e a）=ae a-a（e a-1）=a＞0且函数g（x）的图象在（1，+∞）上不间断，所以函数g（x）在（1，+∞）上有一个零点，符合题意；综上所述，实数a的取值范围为：a∈（1，+∞）．（3）存在吗，使不等式在（1，+∞）上恒成立；设h（x）=-=，令t（x）=e x-1-x，则t′（x）=）=e x-1-1，当x＞1时，t′（x）＞0，t（x）在（1，+∞）单调增，又t（1）=0，故t（x）＞0恒成立，所以当x＞1时，h（x）＞0；当a=0时，φ（x）=f（x）+m（x2-1）=-ln x+m（x2-1），①当m≤0，x＞1时，φ（x）=f（x）+m（x2-1）=-ln x+m（x2-1）＜0恒成立；所以不等式在（1，+∞）上不恒成立；②当m＞0时，由φ′（x）=-+mx==0，得：x=；当x∈（0，）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（0，J）单调减，当x∈（，+∞时，φ′（x）＞0，φ（x）在（，+∞）单调增，故φ（x）在x=；处取得极小值；（i）当0＜m＜1时，＞1；φ（）＜φ（1）=0，而h（）＞0．故不等式在（1，+∞）上不恒成立；（ii）当m≥1时，构造函数F（x）=φ（x）-h（x）=-ln x+m（x2-1）-，F′（x）=-+mx-+；当m≥1，x＞1时，mx≥x，＜1，-＞-1，F′（x）=-+mx-+＞）=-+x+-1=＞0；所以F（x）在（1，+∞）单调增，又F（1）=0；所以当x∈（1，+∞时，F（x）＞0恒成立，即φ（x）-h（x）＞0恒成立，故存在m≥1，使得在（1，+∞）上恒成立；综上所述，m的最小值为1；故答案为：（1）：x=1；（2）：a∈（1，+∞）；（3）：m的最小值为1．解析：（1）若a=1时求方程f（x）=0的根转换成令t（x）=x-ln x-1求极值可得；（2）利用函数g（x）=-x•f（x）+ax2-2ax+a求导，讨论a利用函数的性质判断增减性讨论零点可得实数a的取值范围；（3）当a=0时，假设存在实数m，使不等式在（1，+∞）上恒成立，证明假设，转化成新函数h（x）=-=，令t（x）=e x-1-x，则t′（x）=）=e x-1-1，讨论单调性集m可判断是否存在m．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.答案：解：设直线l：x+y=1上任意一点M（x，y）在矩阵A的变换作用下，变换为点M′（x′，y′），由[]=[][]=[]，得，又点M′（x′，y′）在l′：x-y=1上，∴x′-y′=1，即（mx+ny）-y=1，依题意，解得：，则矩阵A=[]．解析：设直线l：x+y=1上任意一点M（x，y）在矩阵A的变换作用下，变换为点M′（x′，y′），根据矩阵A列出关系式，得到x与x′，y与y′的关系式，再由M′（x′，y′）在直线l'上，求出m与n的值，即可确定出矩阵A．此题考查了几种特殊的矩形变换，找出M在矩阵A的变换作用下点M′两点的坐标关系是解本题的关键．22.答案：解：（1）圆C的参数方程为（θ为参数）所以普通方程为（x-3）2+（y+4）2=4．（2分），x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得（ρcosθ-3）2+（ρsinθ+4）2=4，化简可得圆C的极坐标方程：ρ2-6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．（5分）（2）点M（x，y）到直线AB：x-y+2=0的距离为（7分）△ABM的面积所以△ABM面积的最大值为（10分）解析：（1）圆C的参数方程为，通过三角函数的平方关系式消去参数θ，得到普通方程．通过x=ρcosθ，y=ρsinθ，得到圆C的极坐标方程．（2）求出点M（x，y）到直线AB：x-y+2=0的距离，表示出△ABM的面积，通过两角和的正弦函数，结合绝对值的几何意义，求解△ABM面积的最大值．本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系等内容．本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求．23.答案：证明：∵14=（x+2y+3z）2≤（12+22+32）（x2+y2+z2）=14，∴，∴z=3x，y=2x，又，∴x=，y=，z=，∴．解析：由条件利用二维形式的柯西不等式求得x、y、z的值，从而证得x+y+z=．本题主要考查二维形式的柯西不等式的应用，属于基础题．24.答案：解：（1）记事件A表示甲取球时取得白球，则P（A）==，∴甲三次都取得白球的概率P=（）3=．（2）甲总得分情况有6分，7分，8分，9分四种可能，记ξ为甲总得分，则P（ξ=6）=（）3=，P（ξ=7）==，P（ξ=8）==，P（ξ=9）=（）3=，∴甲总得分ξ的分布列为：ξ 6 7 8 9P甲总得分ξ的数学期望为：E（ξ）==．解析：（1）记事件A表示甲取球时取得白球，则P（A）==，由此能求出甲三次都取得白球的概率．（2）甲总得分情况有6分，7分，8分，9分四种可能，记ξ为甲总得分，分别求出相应的概率，由此能求出甲总得分ξ的分布列和甲总得分ξ的数学期望．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．25.答案：解：（1）因为（x-1）2n=+++……+，令x=1，则=0，即++……+=++……+，而=22n，所以=22n-1，故S2019=24037，（2）因为T n=，当1≤k≤n，k∈N*时，=====，故T n+1==+T n-+ =2=3×8n+1-T n，所以T n+1-=-（T n-），又T1=2，所以（）是以为首项，以-为公比的等比数列，所以T n=，所以T2019=．解析：（1）根据二项式（x-1）2n=+++……+，令x=1，结合而=22n，即可得到结论．（2）因为T n=，当1≤k≤n，k∈N*时，=====，得到T n+1和T n的递推关系，进而构造等比数列，得到T n的表达式，即可求出T2019．本题考查了二项式定理的应用，组合数的运算，构造法求数列的通项公式等，属于难题．。
北京市东城区2020届高三下学期4月第一次模拟新高考适应考试数学试题 Word版含答案
2020年高考数学（4月份）第一次模拟试卷一、选择题（共10小题）.1．已知集合A＝{x|x（x+1）≤0}，集合B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∪B＝（）A．{x|﹣1≤x≤1}B．{x|﹣1＜x≤0}C．{x|﹣1≤x＜1}D．{x|0＜x＜1}2．已知复数z＝（其中i是虚数单位），则|z|＝（）A．B．C．1D．23．抛物线x2＝4y的准线与y轴的交点的坐标为（）A．B．（0，﹣1）C．（0，﹣2）D．（0，﹣4）4．设函数f（x）＝x+﹣2（x＜0），则f（x）（）A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数5．已知曲线C的方程为，则“a＞b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．一排6个座位坐了2个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A．12B．36C．72D．7207．已知圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，圆心在直线y＝x上，则圆C的方程为（）A．（x﹣1）2 +（y﹣1）2 ＝2B．（x﹣1）2 +（y+1）2 ＝2C．（x+1）2 +（y﹣1）2 ＝4D．（x+1）2 +（y+1）2 ＝48．已知正项等比数列{a n}中，a1a5a9＝27，a6与a7的等差中项为9，则a10＝（）A．729B．332C．181D．969．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（）A．10天B．15天C．19天D．2天10．某学校高三教师周一、周二、周三坐地铁上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A．8B．7C．6D．5二、填空题共5题，每题5分，共25分．11．设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ＝．12．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转后经过点（﹣1，），则sinα＝．13．某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为．14．若顶点在原点的抛物线经过四个点（1，1），，（2，1），（4，2）中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是．15．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是．（填写所有正确说法的编号）三、解答题16．如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB＝AC＝2，BC＝4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如图．（Ⅰ）求证：A1O⊥BD；（Ⅱ）求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值；17．在①b2+ac＝a2+c2，②a cos B＝b sin A，③sin B+cos B＝，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_______，A＝，b＝，求△ABC的面积．18．为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如图：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（Ⅱ）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．19．已知函数f（x）＝lnx﹣．（1）若曲线y＝f（x）存在斜率为﹣1的切线，求实数a的取值范围；（2）求f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）＝，求证：当﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）上存在极小值．20．已知椭圆C：x2+3y2＝6的右焦点为F．（Ⅰ）求点F的坐标和椭圆C的离心率；（Ⅱ）直线l：y＝kx+m（k≠0）过点F，且与椭圆C交于P，Q两点，如果点P关于x轴的对称点为P′，判断直线P'Q是否经过x轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．21．各项均为非负整数的数列{a n}同时满足下列条件：①a1＝m（m∈N*）；②a n≤n﹣1（n≥2）；③n是a1+a2+…+a n的因数（n≥1）．（Ⅰ）当m＝5时，写出数列{a n}的前五项；（Ⅱ）若数列{a n}的前三项互不相等，且n≥3时，a n为常数，求m的值；（Ⅲ）求证：对任意正整数m，存在正整数M，使得n≥M时，a n为常数．参考答案一、选择题共10题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A＝{x|x（x+1）≤0}，集合B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∪B＝（）A．{x|﹣1≤x≤1}B．{x|﹣1＜x≤0}C．{x|﹣1≤x＜1}D．{x|0＜x＜1}【分析】先求出集合A，集合B，由此能求出A∪B．解：∵集合A＝{x|x（x+1）≤0}＝{x|﹣1≤x≤0}，集合B＝{x|﹣1＜x＜1}，∴A∪B＝{x|﹣1≤x＜1}．故选：C．2．已知复数z＝（其中i是虚数单位），则|z|＝（）A．B．C．1D．2【分析】利用复数模长的性质即可求解．解：∵复数z＝，∴＝＝，故选：A．3．抛物线x2＝4y的准线与y轴的交点的坐标为（）A．B．（0，﹣1）C．（0，﹣2）D．（0，﹣4）【分析】利用抛物线x2＝4y的准线方程为y＝﹣1，即可求出抛物线x2＝4y的准线与y轴的交点的坐标．解：抛物线x2＝4y的准线方程为y＝﹣1，∴抛物线x2＝4y的准线与y轴的交点的坐标为（0，﹣1），故选：B．4．设函数f（x）＝x+﹣2（x＜0），则f（x）（）A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数【分析】根据x＜0即可根据基本不等式得出，从而可得出f（x）≤﹣4，并且x＝﹣1时取等号，从而得出f（x）有最大值，没有单调性，从而得出正确的选项．解：∵x＜0，∴，当且仅当，即x＝﹣1时取等号，∴f（x）有最大值，∴f（x）在（﹣∞，0）上没有单调性．故选：A．5．已知曲线C的方程为，则“a＞b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：若a＞b＞0，则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则满足a＞﹣b＞0，即a＞0，b＜0，满足a＞b，即必要性成立，即“a＞b”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件，故选：B．6．一排6个座位坐了2个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（）A．12B．36C．72D．720【分析】根据题意，由捆绑法分析：先将2个三口之家的成员进行全排列，再对2个三口之家整体进行全排列，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，先将2个三口之家的成员进行全排列，有＝36种情况，再对2个三口之家整体进行全排列，有＝2种情况，则有36×2＝72种不同的坐法；故选：C．7．已知圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，圆心在直线y＝x上，则圆C的方程为（）A．（x﹣1）2 +（y﹣1）2 ＝2B．（x﹣1）2 +（y+1）2 ＝2C．（x+1）2 +（y﹣1）2 ＝4D．（x+1）2 +（y+1）2 ＝4【分析】根据圆心在直线y＝x上，设出圆心坐标为（a，a），利用圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，求得圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的方程．解：圆心在y＝x上，设圆心为（a，a），∵圆C与直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的相切，∴圆心到两直线y＝﹣x及x+y﹣4＝0的距离相等，即：⇒a＝1，∴圆心坐标为（1，1），R＝＝，圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．故选：A．8．已知正项等比数列{a n}中，a1a5a9＝27，a6与a7的等差中项为9，则a10＝（）A．729B．332C．181D．96【分析】正项等比数列{a n}的公比设为q，q＞0，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式及性质，解方程可得公比q，再由等比数列的通项公式计算可得所求值．解：正项等比数列{a n}的公比设为q，q＞0，由a1a5a9＝27，可得a53＝27，即a5＝3，即a1q4＝3，①a6与a7的等差中项为9，可得a6+a7＝18，即a1q5+a1q6＝18，②①②相除可得q2+q﹣6＝0，解得q＝2（﹣3舍去），则a10＝a5q5＝3×32＝96．故选：D．9．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（）A．10天B．15天C．19天D．2天【分析】由题意设荷叶覆盖水面的初始面积，再列出解析式，并注明x的范围，列出方程求解即可．解：设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则x天后荷叶覆盖水面的面积y＝a•2x（x∈N+），根据题意，令2（a•2x）＝a•220，解得x＝19，故选：C．10．某学校高三教师周一、周二、周三坐地铁上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A．8B．7C．6D．5【分析】设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C 中元素个数分别为n（A），n（B），n（C），根据n（A∪B∪C）＝n（A）+n（B）+n （C）﹣n（A∩B）﹣n（A∩C）﹣n（B∩C）+n（A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B ∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n（A∩B∩C）可得．解：设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为n（A），n（B），n（C），则n（A）＝14，n（B）＝10，n（C）＝8，n（A∪B∪C）＝20，因为n（A∪B∪C）＝n（A）+n（B）+n（C）﹣n（A∩B）﹣n（A∩C）﹣n（B∩C）+n （A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n（A∩B∩C），所以14+10+8﹣20+n（A∩B∩C）≥3n（A∩B∩C），即n（A∩B∩C）≤＝6．故选：C．二、填空题共5题，每题5分，共25分．11．设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ＝．【分析】利用向量平行的条件直接求解．解：∵向量，不平行，向量λ+与+2平行，∴λ+＝t（+2）＝，∴，解得实数λ＝．故答案为：．12．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转后经过点（﹣1，），则sinα＝1．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，先求得α的值，可得sinα的值．解：∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转后经过点（﹣1，），∴tan（α+）＝＝﹣，故α+为第二象限角．∴可令α+＝，此时，α＝，sinα＝1，故答案为：1．13．某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为．【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据，求解几何体的体积．解：几何体的直观图如图：是长方体的一部分，长方体的棱长为：2，1，2，四棱锥的体积为：×1×2×2＝．故答案为：．14．若顶点在原点的抛物线经过四个点（1，1），，（2，1），（4，2）中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是x2＝8y或y2＝x．【分析】由题意可设抛物线方程为y2＝2px（p＞0）或x2＝2py（p＞0），然后分类求解得答案．解：由题意可得，抛物线方程为y2＝2px（p＞0）或x2＝2py（p＞0）．若抛物线方程为y2＝2px（p＞0），代入（1，1），得p＝，则抛物线方程为y2＝x，此时（4，2）在抛物线上，符合题意；若抛物线方程为x2＝2py（p＞0），代入（2，1），得p＝2，则抛物线方程为x2＝8y，此时（2，）在抛物线上，符合题意．∴抛物线的标准方程可以是x2＝8y或y2＝x．故答案为：x2＝8y或y2＝x．15．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是②③．（填写所有正确说法的编号）【分析】解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解．解：由图可知，点A纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图（2）降低了成本，但票价保持不变，即②对；图（3）成本保持不变，但提高了票价，即③对；故选：②③．三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB＝AC＝2，BC＝4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如图．（Ⅰ）求证：A1O⊥BD；（Ⅱ）求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值；【分析】（Ⅰ）推导出A1O⊥DE，从而A1O⊥平面BCDE，由此能证明A1O⊥BD．（Ⅱ）以O为原点，在平面BCED中过点O作DE的垂线为x轴，以OE为y轴，OA1为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值．解：（Ⅰ）证明：∵在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB＝AC＝2，BC＝4．∴A1O⊥DE，∵将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，∴A1O⊥平面BCDE，∵BD⊂平面BCDE，∴A1O⊥BD．（Ⅱ）解：以O为原点，在平面BCED中过点O作DE的垂线为x轴，以OE为y轴，OA1为z轴，建立空间直角坐标系，A1（0，0，2），C（2，2，0），B（2，﹣2，0），D（0，﹣1，0），＝（2，2，﹣2），＝（2，﹣1，0），＝（0，1，2），设平面A1BD的法向量为＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，2，﹣1），设直线A1C和平面A1BD所成角为θ，则直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值为：sinθ＝＝＝．17．在①b2+ac＝a2+c2，②a cos B＝b sin A，③sin B+cos B＝，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_______，A＝，b＝，求△ABC的面积．【分析】取①，由余弦定理可得cos B＝进而解得B，C的大小也可得出，再由正弦定理可得a，最后利用三角形的面积公式计算即可得出；取②a cos B＝b sin A，由正弦定理可得：tan B＝1，B∈（0，π），解得B，可得sin C＝sin（A+B），由正弦定理可得：a，利用三角形面积计算公式即可得出；取③，可得，由此可求出B的大小，C的大小也可得出，再由正弦定理可得a，最后利用三角形的面积公式计算即可得出；解：（1）若选择①，由余弦定理，……………因为B∈（0，π），所以；……………………由正弦定理，得，……………因为，，所以，……………所以………所以．……………（2）若选择②a cos B＝b sin A，则sin A cos B＝sin B sin A，……………因为sin A≠0，所以sin B＝cos B，……………因为B∈（0，π），所以；……………由正弦定理，得，……………因为，，所以，……………所以，…所以．……………（3）若选择③，则，所以，……………因为B∈（0，π），所以，所以，所以；……………由正弦定理，得，……………因为，，所以，……………所以，………18．为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如图：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（Ⅱ）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．【分析】（Ⅰ）由茎叶图能求出甲公司员工A投递快递件数的平均数和众数．（Ⅱ）由题意能求出X的可能取值为136，147，154，189，203，分别求出相对应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结果能估算算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．解：（Ⅰ）甲公司员工A投递快递件数的平均数为：＝（32+33+33+38+35+36+39+33+41+40）＝36，众数为33．（Ⅱ）设a为乙公司员工B投递件数，则当a＝34时，X＝136元，当a＞35时，X＝35×4+（a﹣35）×7元，∴X的可能取值为136，147，154，189，203，P（X＝136）＝，P（X＝147）＝，P（X＝154）＝，P（X＝189）＝，P（X＝203）＝，X的分布列为：X136147154189203P＝．（Ⅲ）根据图中数据，由（Ⅱ）可估算：甲公司被抽取员工该月收入＝36×4.5×30＝4860元，乙公司被抽取员工该月收入＝165.5×30＝4965元．19．已知函数f（x）＝lnx﹣．（1）若曲线y＝f（x）存在斜率为﹣1的切线，求实数a的取值范围；（2）求f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）＝，求证：当﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）上存在极小值．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为x2+x+a＝0存在大于0的实数根，根据y＝x2+x+a 在x＞0时递增，求出a的范围即可；（2）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，判断导函数的符号，求出函数的单调区间即可；（3）求出函数g（x）的导数，根据f（e）＝﹣＞0，得到存在x0∈（1，e）满足g′（x0）＝0，从而得到函数的单调区间，求出函数的极小值，证出结论即可．解：（1）由f（x）＝lnx﹣﹣1得：f′（x）＝，（x＞0），由已知曲线y＝f（x）存在斜率为﹣1的切线，∴f′（x）＝﹣1存在大于0的实数根，即x2+x+a＝0存在大于0的实数根，∵y＝x2+x+a在x＞0时递增，∴a的范围是（﹣∞，0）；（2）由f′（x）＝，（x＞0），得：a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）递增；a＜0时，若x∈（﹣a，+∞）时，f′（x）＞0，若x∈（0，﹣a），则f′（x）＜0，故f（x）在（﹣a，+∞）递增，在（0，﹣a）递减；（3）由g（x）＝及题设得：g′（x）＝＝，由﹣1＜a＜0，得：0＜﹣a＜1，由（2）得：f（x）在（﹣a，+∞）递增，∴f（1）＝﹣a﹣1＜0，取x＝e，显然e＞1，f（e）＝﹣＞0，∴存在x0∈（1，e）满足f（x0）＝0，即存在x0∈（1，e）满足g′（x0）＝0，令g′（x）＞0，解得：x＞x0，令g′（x）＜0，解得：1＜x＜x0，故g（x）在（1，x0）递减，在（x0，+∞）递增，∴﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）存在极小值．20．已知椭圆C：x2+3y2＝6的右焦点为F．（Ⅰ）求点F的坐标和椭圆C的离心率；（Ⅱ）直线l：y＝kx+m（k≠0）过点F，且与椭圆C交于P，Q两点，如果点P关于x轴的对称点为P′，判断直线P'Q是否经过x轴上的定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．【分析】（I）由椭圆的标准方程即可得出；（II）直线l：y＝kx+m（k≠0）过点F，可得l：y＝k（x﹣2）．代入椭圆的标准方程可得：（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0．（依题意△＞0）．设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得根与系数的关系．点P关于x轴的对称点为P'，则P'（x1，﹣y1）．可得直线P'Q的方程可以为，令y＝0，，把根与系数的关系代入化简即可得出．解：（Ⅰ）∵椭圆C：，∴c2＝a2﹣b2＝4，解得c＝2，∴焦点F（2，0），离心率．（Ⅱ）直线l：y＝kx+m（k≠0）过点F，∴m＝﹣2k，∴l：y＝k（x﹣2）．由，得（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0．（依题意△＞0）．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．∵点P关于x轴的对称点为P'，则P'（x1，﹣y1）．∴直线P'Q的方程可以设为，令y＝0，＝＝＝＝3．∴直线P'Q过x轴上定点（3，0）．21．各项均为非负整数的数列{a n}同时满足下列条件：①a1＝m（m∈N*）；②a n≤n﹣1（n≥2）；③n是a1+a2+…+a n的因数（n≥1）．（Ⅰ）当m＝5时，写出数列{a n}的前五项；（Ⅱ）若数列{a n}的前三项互不相等，且n≥3时，a n为常数，求m的值；（Ⅲ）求证：对任意正整数m，存在正整数M，使得n≥M时，a n为常数．【分析】（Ⅰ）当m＝5时，写出数列{a n}的前五项；（Ⅱ）对a2、a3分类取值，再结合各项均为非负整数列式求m的值；（Ⅲ）令S n＝a1+a2+…+a n，则．进一步推得存在正整数M＞m，当n＞M时，必有成立．再由成立证明a n为常数．【解答】（Ⅰ）解：m＝5时，数列{a n}的前五项分别为：5，1，0，2，2．（Ⅱ）解：∵0≤a n≤n﹣1，∴0≤a2≤1，0≤a3≤2，又数列{a n}的前3项互不相等，（1）当a2＝0时，若a3＝1，则a3＝a4＝a5＝ (1)且对n≥3，都为整数，∴m＝2；若a3＝2，则a3＝a4＝a5＝ (2)且对n≥3，都为整数，∴m＝4；（2）当a2＝1时，若a3＝0，则a3＝a4＝a5＝ 0且对n≥3，都为整数，∴m＝﹣1，不符合题意；若a3＝2，则a3＝a4＝a5＝ (2)且对n≥3，都为整数，∴m＝3；综上，m的值为2，3，4．（Ⅲ）证明：对于n≥1，令S n＝a1+a2+…+a n，则．又对每一个n，都为正整数，∴，其中“＜”至多出现m﹣1个．故存在正整数M＞m，当n＞M时，必有成立．当时，则．从而．由题设知，又及a n+1均为整数，∴＝a n+1＝，故＝常数．从而＝常数．故存在正整数M，使得n≥M时，a n为常数．。
2020年百校联盟高考数学模拟试卷(文科)(4月份)(全国Ⅰ卷)
2020年百校联盟高考数学模拟试卷（文科）（4月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A＝{x∈Z|x2≤1}，B＝{x|x⋅ln(x+3)0}，则A∪B＝（）A.{−1, 0, 1}B.{−2, −1, 1}C.{−2, 0, 1}D.{−2, −1, 0, 1}2.设z是复数z的共轭复数，若z⋅i＝1+i，则z⋅z=()A.√2B.2C.1D.03.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A.y＝xsinxB.y＝xlnxC.y=x⋅e x−1e x+1D.y=xln(√x2+1−x)4.数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和，a n>0，a2+a3＝4，a3+3a4＝2，则S3＝（）A.283B.12 C.383D.135.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.43B.2 C.83D.1036.已知函数f(x)＝2cos2x−cos(2x−π3)，则下列结论正确的个数是（）①函数f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)在区间[0, π3]上单调递增；③函数f(x)在[0, π2]上的最大值为2；④函数f(x)的图象关于直线x=π3对称．A.1B.2C.3D.47.如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC=π3，M、N分别为BC、AM 的中点，则CN→⋅AB→=（）A.−2B.−34C.−54D.548.改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7:30，8:00，8:30开始放映，小明和同学大约在7:40至8:30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是（）A.13B.12C.25D.349.已知函数f(x)=log12(x2−ax+a)在(12, +∞)上为减函数，则实数a的取值范围是（）A.(−∞, 1]B.[−12, 1]C.(−12, 1] D.(−12, +∞)10.若x，y满足约束条件{4x−3y−6≤02x−2y+1≥0x+2y−1≥0，则z＝|x−y+1|的最大值为（）A.2B.2411C.2811D.311.如图所示，在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝2，点P在平面ABC内的投影D恰好落在AB上，且AD＝1，PD＝2，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为（）A.9πB.10πC.12πD.14π12.已知函数f(x)=x+aax−1(x>0)，若a=√1−x2>0，则f(x)的取值范围是（）A.[−√2−1, −1)B.(−2√2, −1)C.[−2√2, −1)D.(−√2, 0)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为________．14.已知函数f(x)＝x3−5x+a，直线2x+y+b＝0与函数f(x)的图象相切，a，b为正实数，则a+b的值为________．15.已知实数x，y满足y≥2x>0，则yx +9x2x+y的最小值为________．16.F1、F2是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点．过F2作直线l⊥x轴，交双曲线C于M、N两点，若∠MF1N为锐角，则双曲线C的离心率e 的取值范围是________+√2）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，a2＝b2+bc，且sinC+tanBcosC＝1．（1）求角A；（2）b＝2，P为△ABC所在平面内一点，且满足AP→⋅CP→=0，求BP的最小值，并求BP取得最小值时△APC的面积S．18.双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产品在不同电商平台的销售情况，统计了A、B两个电商平台各十个网络销售店铺的销售数据：（1）作出A、B两个电商平台销售数据的茎叶图，根据茎叶图判断哪个电商平台的销售更好，并说明理由；（2）填写下面关于店铺个数的2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电商平台有关；（3）生产商要从这20个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？附：K2=n(ad−bc)2，n＝a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图①，平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠ABC=π，E为CD中3点．将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到如图②所示的四棱锥P−ABCE．（1）求证：平面PAE ⊥平面PBE ； （2）求点B 到平面PEC 的距离．20.动圆P 过定点A(2, 0)，且在y 轴上截得的弦GH 的长为4． （1）若动圆圆心P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）在曲线C 的对称轴上是否存在点Q ，使过点Q 的直线l ′与曲线C 的交点S 、T 满足1|QS|2+1|QT|2为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)＝ax +1x ，g(x)=e x x−1．（1）讨论函数f(x)在(0, +∞)上的单调性；（2）若对任意的x ∈(0, +∞)，f(x)<g(x)恒成立，求实数a 的取值范围．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1+cosθy =1+sinθ （θ为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρsin(φ+π4)+√2=0，P 为直线l 上的任意一点 （1）Q 为曲线C 上任意一点，求P 、Q 两点间的最小距离；．（2）过点P 作曲线C 的两条切线，切点为A 、B ，曲线C 的对称中心为点C ，求四边形PACB 面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数f(x)=√|x+2|+|x−1|−a．（1）当a＝4时，求函数f(x)的定义域；+（2）若函数f(x)的定义域为R，设a的最大值为s，当正数m，n满足12m+n2=s时，求3m+4n的最小值．m+3n。
【附加15套高考模拟试卷】安徽省“江淮十校”2020届高三4月联考数学(理科)试题含答案
晷影长（寸）
16.0
已知《易经》中记录的冬至晷影长为 130.0 寸，春分晷影长为 72.4 寸，那么《易经》中所记录的夏至的晷
影长应为（ ） A．14.8 寸 B．15.8 寸 C．16.0 寸 D．18.4 寸
x sin x, x 0
2．设 f (x)
x3 1, x 0
，则函数 f (x)
的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中
寸表示 115 寸 分（1 寸=10 分）.
节气
冬至
小寒（大雪） 大寒（小雪） 立春（立冬） 雨水（霜降）
晷影长（寸） 135
节气
惊蛰（寒露） 春分（秋分） 清明（白露） 谷雨（处暑） 立夏（立秋）
晷影长（寸）
75.5
节气
小满（大暑） 芒种（小暑） 夏至
线 AB 的方程为（ ）
y 1x2
y 1 x3
y 1 x3
y 1x2
A． 2
B． 4
C． 2
D． 4
7．若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8 8．在学校举行一次年级排球赛比赛中，李明、张华、王强三位同学分别对比赛结果的前三名进行预测：
李明预测：甲队第一，乙队第三
D．命题 p： x>0，sinx>2x-1，则 p 为 x>0，sinx≤2x-1
4．有一种“三角形”能够像圆一样，当作轮子用.这种神奇的三角形，就是以 19 世纪德国工程师勒洛的名 字命名的勒洛三角形.这种三角形常出现在制造业中（例如图 1 中的扫地机器人）.三个等半径的圆两两互 相经过圆心，三个圆相交的部分就是勒洛三角形，如图 2 所示.现从图 2 中的勒洛三角形内部随机取一点， 则此点取自阴影部分的概率为
河北省邯郸市高考数学模拟试卷(理科)(4月份)
河北省邯郸市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高一上·林芝期末) 已知全集，，，则为（）A . {1}B . {1,6}C . {1,3,5}D . {1,3,5,6}2. （2分）复数=（）A . 1-2iB . 1+2iC . -1+2iD . -1-2i3. （2分）设的展开式的各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，若P+S=272，则n为（）A . 4B . 5C . 6D . 84. （2分）设，则a，b，c的大小关系是（）A . a＜b＜cB . c＜a＜bC . b＜a＜cD . b＜c＜a5. （2分） (2017高一上·福州期末) 一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其体积等于（）．A . 2B . 4C .D .6. （2分）某程序框图如图1所示，该程序运行后输出的值是（）A . 63B . 31C . 27D . 157. （2分） (2016高一下·正阳期中) y=sin2x的图象是由函数y=sin（2x+ ）的图象向（）个单位而得到．A . 左平移B . 左平移C . 右平移D . 右平移8. （2分）若直线和圆相交，则过点与椭圆的位置关系为（）A . 点P在椭圆C内B . 点P在椭圆C上C . 点P在椭圆C外D . 以上三种均有可能9. （2分） (2017高一下·天津期末) 若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A . ﹣5B . 1C .D . 310. （2分）如图，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，M是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，则在四面体A﹣PEF中必有（）A . PM⊥△AEF所在平面B . AM⊥△PEF所在平面C . PF⊥△AEF所在平面D . AP⊥△PEF所在平面11. （2分）抛物线x2=-y，的准线方程是（）。
2024年高考第三次模拟考试高三数学(考试版)
2024年高考第三次模拟考试高三数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合{}4A x x =∈<N ，{}21,B x x n n A ==-∈，P A B = ，则集合P 的子集共有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．8个2.古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分隔率，黄金分割率的值也可以用2sin18°表示，即12sin182-=,设12m =,则2tan 811tan 81=+（）A.4mB.2m C.m3.若5(4)(2)x m x --的展开式中的3x 的系数为600-,则实数m =（）A.8.B.7C.9D.104.甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活动至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为（）A ．518B ．625C ．925D ．895.设n S 为正项等差数列{}n a 的前n 项和．若20232023S =，则4202014a a +的最小值为（）A.52B.5C.9D.926.已知函数()()()sin f x x x ωω=+，若沿x 轴方向平移()f x 的图象，总能保证平移后的曲线与直线1y =在区间[]0,π上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数ω的取值范围为（）A.82,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.10,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.[)2,47.已知()6116,ln ,log 71ln 510115a b c =+==-,则（）A.a b c >> B.b c a>> C.a c b >> D.c a b>>8.已知正方体1121ABCD A B C D -的棱长为2,P 为线段11C D 上的动点，则三棱锥P BCD -外接球半径的取值范围为（）A．,24⎤⎥⎣⎦B．4⎣C．1⎣D．4⎣二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9．已知复数123,,z z z ,下列说法正确的有（）A.若1122z z z z =,则12||||z z =B.若22120z z +=,则120z z ==C.若1213z z z z =,则10z =或23z z =D.若1212||||z z z z -=+,则120z z =10.已知抛物线2:4C x =y 的焦点为F ,准线为l ,过F 的直线与抛物线C 交于A,B 两点，M 为线段AB 中点，,,A B M '''分别为A,B,M 在ι上的射影，且||3||AF BF =,则下列结论中正确的是A.F 的坐标为(1,0)B.||2||A B M F '''=C.,,,A A M F ''四点共圆D.直线AB 的方程为313y x =±+11.对于[]()0,1,x f x ∈满足()()()11,23x f x f x f x f ⎛⎫+-== ⎪⎝⎭，且对于1201x x ≤≤≤．恒有()()12f x f x ≤．则（）A ．10011011002i i f =⎛⎫=⎪⎝⎭∑B ．112624f f⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．118080f ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．1113216016f ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分．12.某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布2(100,)N σ．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到95.45%，则需调整生产工艺，使得σ至多为.（若2~(,)X N μσ，则{||2}0.9545)P X μσ-<=13.ABC △中，,,a b c ,分别为角,,A B C的对边，若3A π=，a b c +=+，则ABC △的面积S 的最小值为.14.函数sin cos ()e e x x f x =-在(0,2π)范围内极值点的个数为.四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分13分)己知函数()ln f x x ax =-,其中a R ∈.(I)若曲线()y f x =在1x =处的切线在两坐标轴上的截距相等,求a 的值;(II)是否存在实数a ,使得()f x 在(0,]x e ∈上的最大值是-3?若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由.16.(本小题满分15分)某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24．（1）若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．（2）记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m （2m >且*m ∈N ）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A ，否则该组标为B ，记询问的某组被标为B 的概率为p ．（i ）试用含m 的代数式表示p ；（ii ）若一共询问了5组，用()g p 表示恰有3组被标为B 的概率，试求()g p 的最大值及此时m 的值．17.(本小题满分15分)如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC BD O = ，2AB AD ==，13AA =，11π3BAA BAD DAA ∠=∠=∠=，点P 满足1221333DP DA DC DD =++ ．(1)证明：O ，P ，1B 三点共线；(2)求直线1AC 与平面PAB 所成角的正弦值．18.(本小题满分17分)已知椭圆22:11612x y E +=的左右焦点分别为12,F F ,点A 在椭圆E 上,且在第一象限内,满足1|| 5.AF =(1)求12F AF ∠的平分线所在的直线l 的方程；(2)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异的两点,若存在,请找出这两点；若不存在请说明理由；(3)已知双曲线M 与椭圆E 有共同的焦点,且双曲线M 与椭圆E 相交于1234,,,P P P P ,若四边形1234P P P P 的面积最大时,求双曲线M 的标准方程.19.(本小题满分17分)已知数列{}n a ,记集合()(){}*1,,...,1,,N i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++≤<∈.（1）若数列{}n a 为1,2,3,写出集合T ；（2）若2n a n =,是否存在*,N i j ∈,使得(),512S i j =？若存在,求出一组符合条件的,i j ；若不存在,说明理由；（3）若n a n =,把集合T 中的元素从小到大排列,得到的新数列为12,,...,,...m b b b ,若2024m b ≤,求m 的最大值．。
2020年陕西省商洛市高考数学模拟试卷(文科)(4月份) (含答案解析)
2020年陕西省商洛市高考数学模拟试卷(文科)(4月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|4−x >0}，B ={x|x >1}，则A ∩B =( )A. φB. (1,4)C. (1,+∞)D. (4,+∞)2. 已知复数z =−1−2i(1+i)2，则z −=( )A. −34+14iB. −14+34iC. −1+12iD. −1−12i3. 设F 1，F 2为椭圆的两焦点，B 为椭圆短轴的一个端点，若△BF 1F 2为正三角形，则椭圆的离心率为( )A. 12B. √22C. √32D. 24. 某地气象局把当地某月(共30天)每一天的最低气温作了统计，并绘制了如图所示的统计图，假设该月最低气温的中位数为m c ，众数为m 0，平均数为x −，则( )A. m c =m 0=x −B. m c =m 0<x −C. m c <m 0<x −D. m 0<m c <x −5. 已知函数f(x)={x −1,x <0log 2x −3,x >0,则f(16)+f(−12)=( ) A. 3 B. 1 C. −1 D. −26. 已知等比数列{a n }的公比q >1，若其前4项和为40，且a 5=10a 3−9a 1，则a 3=( )A. 81B. 27C. 9D. 37. 在平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. b ⃗ −13a ⃗ B.b ⃗ −23a ⃗ C.b ⃗ −43a ⃗ D.b ⃗ +13a ⃗ 8. PA 垂直于正方形ABCD 所在平面，连接PB ，PC ，PD ，AC ，BD ，则下列垂直关系正确的是( ) ①面PAB ⊥面PBC; ②面PAB ⊥面PAD;③面PAB ⊥面PCD; ④面PAB ⊥面PAC ．A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④9. 函数在区间[0,π2]上的最小值是( )A.B. √22C.D. 010. 曲线y =x 3−3x 2+1在点(1,−1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )A. 43B. 23C. 29D. 4911. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体外接球的表面积为( )A. √32π B. 32π C. √3π D. 3π12. 已知函数f(x)={2−x ,x ≤0−lnx,x >0若关于x 的方程f 2(x)+f(x)+m =0有三个不同实数根，则m 的取值范围是( )A. m <14B. m ≤−2C. −2≤m <14D. m >2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 从{1,2，3，4，5}中随机选取一个数为a ，从{2,3，4}中随机选取一个数b ，则b >a 的概率是________． 14. 若实数x,y 满足约束条件{x +2y ≥0x −y ≤0x −2y +2≥0，则z =3x −y 的最小值等于______． 15. 设F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，点M(a,b).若∠MF 1F 2=30°，则双曲线的离心率为______ ．16. 等差数列{a n }中，a 1>0，S n 是前n 项和且S 9=S 18，则当n =__________时，S n 最大． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知c=acosB+bsinA．(Ⅰ)求A(Ⅱ)若a=2，求△ABC面积的最大值．18.如图所示，正三棱柱A1B1C1−ABC中，A1A=4，D，E分别为A1C1，BC1的中点．(1)求证：DE//平面A1ABB1；(2)若三棱锥E−ACD的体积为2√3，求该三棱柱底面边长．19.为激发果农对樱桃种植的热情，某商场每年六月会从果农中订购他们所种植的樱桃，假设商场每天进货量相同且每公斤20元，售价为每公斤24元，当天未售完的樱桃降价处理，以每公斤16元的价格当天全部处理完．根据往年情况，每天需求量n(单位：公斤)与当天平均气温ℎ(单位：℃)有关．如果ℎ≥25，n=300；如果ℎ∈[20,25),n=200；ℎ∈[15,20),n=100；ℎ<15，n=50.为了确定今年6月1日到30日的订购数量，统计了前三年6月平均气温数据，得到如下所示的频数分布表：(1)若设该商场某天进货220公斤，以这90天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天该商场不亏损的概率；(2)假设该商场打算在这90天内每天进货200公斤或220公斤，请你以销售樱桃每天为商场带来的利润的期望值作为决策依据，帮该商场作出正确的进货量选择．20.已知函数f(x)=xe x，g(x)=x2−x−a，a∈R．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若f(x)+g(x)≥0对任意x∈R恒成立，求a的取值范围．21.已知抛物线x2=2py(p>0)过点(2,1).(Ⅰ)求抛物线的方程和焦点坐标；(Ⅱ)过点A(0,−4)的直线l与抛物线交于两点M,N，点M关于y轴的对称点为T，试判断直线TN 是否过定点，并加以证明．22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，求曲线C的直角坐标方程．23.已知函数f(x)=|x−2|+2|x+1|．(Ⅰ)求不等式f(x)≤6的解集；(Ⅱ)若不等式f(x)≥−x2+m对∀x∈R成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵A ={x|x <4}； ∴A ∩B ={x|1<x <4}=(1,4)． 故选：B ．可解出集合A ，然后进行交集的运算即可． 考查描述法的定义，以及交集的运算．2.答案：D解析：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题． 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 解：复数z =−1−2i(1+i)2=−1−2i 2i=(1+2i)⋅i −2i⋅i =−2+i 2，则z −=−1−12i. 故选：D ．3.答案：A解析：解：由题意，设椭圆的半焦距长为c ，则 ∵△BF 1F 2为正三角形， ∴b =√3c ∴a 2−c 2=3c 2 ∴a =2c ∴e =ca =12 故选：A ．利用△BF 1F 2为正三角形，确定几何量之间的关系，进而可求椭圆的离心率．本题考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．4.答案：D解析：本题考查中位数，众数，平均数的求法，考查条形统计图，属于简单题．由统计图分别求出该月每一天的最低气温的中位数，众数，平均数，由此能求出结果． 解：由统计图得：最低气温在3−5之间的频数为15，最低气温在6−10之间的频数也为15， 故该月最低气温的中位数为m c =5+62=5.5，众数为m 0=5，平均数为x −=130×(2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×10)≈5.97． ∴m 0<m c <x −． 故选：D ．5.答案：C解析：本题考查分段函数的求值，属于基础题．根据分段函数的定义域结合解析式，分别代入即可求出结果． 解：根据分段函数的解析式和定义域， 知f (16)+f (−12)=(log 216−3)+(−12)−1=1−2=−1， 故选C ．6.答案：C解析：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，根据条件联立方程组求出首项和公比，即可求出答案，属于基础题．解：设等比数列{a n }的公比为q ．由题意知{a 1(1−q 4)1−q =40,①a 1q 4=10a 1q 2−9a 1,②由②得q 4−10q 2+9=0，所以q 2=1(舍去)或q 2=9，又q >1， 所以q =3，代入①有a 1=1， 所以a 3=a 1q 2=9． 故选C ．7.答案：C解析：本题考查平面向量基本定理的应用，属于基础题目． 解：因为BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB →−AB ⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB →−AB ⃗⃗⃗⃗⃗=AC⃗⃗⃗⃗⃗ −43AB →=b →−43a →．故选C ．8.答案：A解析：证明： 由于BC ⊥AB ，又由PA 垂直于正方形ABCD 所在平面，所以BC ⊥PA ， 易证BC ⊥平面PAB ，则平面PAB ⊥平面PBC ，故①正确； 又AD//BC ，故AD ⊥平面PAB ， 则平面PAD ⊥平面PAB ，故②正确．综上可判断①②正确，故选A．分析：由于PA垂直于正方形ABCD所在平面，所以PA所在的平面与底面垂直，又ABCD为正方形，故又存在一些线线垂直关系，从而可以得到线面垂直，进而可以判定面面垂直．本题考查面面垂直的判定定理的应用，要注意转化思想的应用，将面面垂直转化为线面垂直．9.答案：C解析：本题考查正弦函数的最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦函数的图像与性质，能根据正弦函数的图像与性质求最值．由题意，可先求出2x−π4取值范围，再由正弦函数的图像与性质即可求出所求的最小值．解：由题意x∈[0,π2]，得2x−π4∈[−π4,3π4]，∴sin(2x−π4)∈[−√22,1]，∴函数f(x)=sin(2x−π4)在区间[0,π2]的最小值为−√22．故选C．10.答案：B解析：本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点处的导数值等于该点的切线的斜率．属基础题．先对函数进行求导，求出在x=1处的导数值即为切线的斜率值，从而写出切线方程，然后求出切线方程与两坐标轴的交点可得三角形面积．解：∵y=x3−3x2+1，∴y′=3x2−6x∴f′(1)=−3，点(1,−1)处的切线为：y=−3x+2，与坐标轴的交点为：(0,2)，(23,0)，S=12×23×2=23，故选B．11.答案：D解析：解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且PA =1， 补形为正方体，则该四棱锥外接球的直径为正方体的体对角线，长为√3，∴该四棱锥外接球的半径r =√32，表面积为4π×(√32)2=3π． 故选：D ．由三视图还原原几何体，可知原几何体为四棱锥，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且PA =1，补形为正方体，则该四棱锥外接球的直径为正方体的体对角线，长为√3，则半径可求，代入球的表面积公式得答案．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．12.答案：B解析：本题考查的是方程的根的存在性以及根的个数判断，考查转化的思想、数形结合的思想方法，属中档题．结合方程f 2(x)+f(x)+m =0有三个不同的实数根，将问题转化为函数图象交点的个数判断问题，结合函数f(x)的图象即可获得解答．解：函数f(x)={2−x ,x ≤0−lnx,x >0的图象如图，若关于x的方程f2(x)+f(x)+m=0有三个不同实数根，令f(x)=t，则方程t2+t+m=0的两根一个大于等于1而另一个小于1．再令g(t)=t2+t+m，则g(1)≤0，即2+m≤0，得m≤−2．故选：B．13.答案：25解析：本题考查利用古典概型求概率，解题的关键是确定基本事件的个数，属于基础题．求出基本事件的个数和满足b>a事件的个数即可得解．解：由题意，从{1,2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{2,3，4}中随机选取一个数为b，共有5×3=15种情况，满足b>a的事件(a,b)有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种，则b>a的概率是615=25．故答案为25．14.答案：−72解析：作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．解：依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：y =3x −z ，则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为A ：{x +2y =0x −2y +2=0解得A(−1,12)， 所以z =3x −y 的最小值z min =3⋅(−1)−12=−72．故答案为：−72． 15.答案：2解析：解：由题意可得F 1(−c,0)，M(a,b)，直线MF 1的斜率为tan30°=√33， 即有b a+c =√33， 即a +c =√3b ，平方可得(a +c)2=3b 2=3(c 2−a 2)=3(c +a)(c −a)，化简可得a +c =3(c −a)，即为c =2a ，可得e =c a =2．故答案为：2．求得直线MF 1的斜率为tan30°=√33，即有b a+c =√33，运用a ，b ，c 的关系和离心率公式计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线的斜率公式和a ，b ，c 的关系和离心率公式，考查化简整理的运算能力，属于基础题．16.答案：13或14解析：由S 9=S 18，可知9a 1+9×82d =18a 1+18×172d ，整理得a 1=−13d.所以S n =d 2n 2+(a 1+d 2)n =d 2(n −272)−7298d.又因为a 1>0，所以d <0，且n ∈N ∗，故当n =13或14时，S n 最大． 17.答案：解：(Ⅰ)由已知及正弦定理得sinC =sinAcosB +sinBsinA ①又A +B +C =π，故有sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB ②由①②得sinA=cosA即tanA=1，又A∈(0,π)∴A=π4；(Ⅱ)△ABC的面积为S=12bcsinA=√24bc，又已知及余弦定理可得4=b2+c2−2bccosA≥2bc−2bccosA=(2−√2)bc，∴bc≤2−√2，当且仅当b=c时，等号成立，∴面积S=12⋅bcsinA≤√2+1，即面积最大值为√2+1．解析：本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，同时考查三角函数的恒等变换公式的运用，属于中档题．(Ⅰ)运用正弦定理和诱导公式、两角和的正弦公式，同角的商数关系，计算即可得到所求；(Ⅱ)由三角形的面积公式，余弦定理，结合基本不等式，即可得到所求最大值．18.答案：解析：(1)分别取A1B1，B1B中点M，N，连接DM，MN，EN，则DM//B1C1，EN//B1C1，∴EN//DM，且EN=DM=12B1C1，∴DMNE为平行四边形，∴DE//MN且MN⊂平面A1ABB1，DE⊄平面A1ABB1，所以DE//平面A1ABB1；(2)设该三棱柱底面边长为a，由正三棱柱可知，点B到平面A1ACC1的距离为ℎ=√32a，而S△ACD=12AC·A1A=2a，V E−ACD=12V B−ACD=12×13S△ACD·ℎ=16×2a×√32a=2√3，∴a2=12，a=2√3，所以三棱柱底面边长为2√3．解析：本题考查线面平行的证明，考查正三棱锥底面边长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．(1)连接取A1B1，B1B中点M，N，连接DM，MN，EN，推导出DE//MN，由此能证明DE//平面A1ABB1；.(2)由V E−ACD=12V B−ACD，作AF⊥BC交BC于F，由正三棱柱的性质，得AF⊥平面BCC1B1，设底面正三角形边长为a，点B到平面A1ACC1的距离为ℎ=√32a，而S△ACD=12AC·A1A=2a，由此能求出该正三棱柱的底面边长．19.答案：解：(1)当需求量n=300时，利润为4×220=880元；当需求量n=200时，利润为4×200−20×4=720元；当需求量n=100时，利润为4×100−120×4=−80元；即n=50时，利润为4×50−4×170=−480元．所以当天该商场不亏损的概率P=90−1890=45.(2)设每天的进货量为220公斤，则每天销售樱桃为该商场带来的利润的期望值为：880×3690+720×3690−80×1690−480×290=61519(元)．设每天的进货量为200公斤，当需求量n≥200时，利润为4×200=800元；当需求量n=100时，利润为4×100−4×100=0元；当需求量n=50时，利润为4×50−4×150=−400元；此时利润的期望值为800×7290+0×1690−400×290=63119(元)，因为63119>61519，故从每天销售樱桃给商场带来的利润的期望值考虑，应选择进货量为200公斤．解析：本题考查古典概率及数学期望，考查了学生的运算求解能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．(1)根据题意可得当需求量n =300时，利润为4×220=880元；当需求量n =200时，利润为4×200−20×4=720元；当需求量n =100时，利润为4×100−120×4=−80元；即n =50时，利润为4×50−4×170=−480元；进而利用古典概率公式即可得到结果；(2)设每天的进货量为220公斤，可求得每天销售樱桃为该商场带来的利润的期望值，设每天的进货量为200公斤，求得此时利润的期望值，进而即可得到结果．20.答案：(Ⅰ)f′(x)=e x (x +1)，令f′(x)=0得x =−1，当x <−1时，f′(x)<0；当x >−1时，f′(x)>0，所以函数f(x)的递减区间为(−∞,−1]，递增区间为(−1,+∞)；(Ⅱ)f(x)+g(x)≥0恒成立等价于a ≤xe x +x 2−x ，令F(x)=xe x +x 2−x ，则F′(x)=xe x +e x +2x −1，F′(x)为增函数且满足F′(0)=0，显然当x >0时，F′(x)>0；当x <0时F′(x)<0；当x =0时F′(x)=0，所以F(x)在(−∞,0)上递减，在(0,+∞)上递增，∴F(x)≥F(0)=0，∴a ≤F(0)=0，故a 的取值范围是(−∞,0]．解析：本题考查了函数的单调性，考查了导数的应用，考查转化思想，是一道中档题．(Ⅰ)先求出函数f(x)的导数，通过解关于导函数的不等式，从而求出函数f(x)的单调区间； (Ⅱ)f(x)+g(x)≥0恒成立等价于a ≤xe x +x 2−x ，令F(x)=xe x +x 2−x ，通过求导得到函数F(x)的单调性，从而判断出a 的范围．21.答案：解：(Ⅰ)因为抛物线x 2=2py(p >0)过点P(2,1)，所以2p =4所以抛物线方程为x 2=4y ，焦点坐标为(0,1)(Ⅱ)由题意可知直线斜率存在且不等于0，设直线l 的方程为y =kx −4，由{y =kx −4x 2=4y，消y 整理得x 2−4kx +16=0， 则△=16k 2−64>0，即|k|>2设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)则T(−x 1,y 1)且x 1+x 2=4k ，x 1x 2=16．直线TN ：y −y 2=y 2−y1x 2+x 1(x −x 2)， ∴y =y 2−y 1x 2+x 1(x −x 2)+y 2， ∴y =x 22−x 124(x 1+x 2)(x −x 2)+14x 22， ∴y =x 2−x 14x −x 22−x 1x 24+14x 22， ∴y =x 2−x 14x +x 1x 24， 即y =x 2−x 14x +4所以，直线TN 恒过定点(0,4)．解析：本题考查抛物线方程的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力． (Ⅰ)因为抛物线x 2=2py(p >0)过点P(2,1)，求出p ，得到抛物线方程然后求解焦点坐标．(Ⅱ)设直线l 的方程为y =kx −4，由{y =kx −4x 2=4y，消y 整理得x 2−4kx +16=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)则T(−x 1,y 1)利用韦达定理转化求解直线方程，推出恒过的定点即可．22.答案：解：将曲线C 的极坐标方程ρ=2sinθ，两边同乘以一个ρ，得ρ2=2ρsinθ，即x 2+y 2=2y ，故曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−2y =0．解析：本题考查极坐标与直角坐标的转化，将曲线C 的极坐标方程ρ=2sinθ，两边同乘以一个ρ，得ρ2=2ρsinθ，利用极坐标与直角坐标的互化，求解即可．23.答案：解：(Ⅰ)当x ≥2时，3x ≤6，即x ≤2，∴x =2；当−1≤x<2时，2−x+2x+2≤6，即x≤2，∴−1≤x<2；当x<−1时，2−x−2x−2≤6，即x≥−2，∴−2≤x<−1；综上，原不等式的解集为[−2,2]；(Ⅱ)由(Ⅰ)可得f(x)={3x,x≥2x+4,−1<x<2−3x,x≤−1,画出函数f(x)与y=m−x2的图象，如图所示，当−1≤x<2时，f(x)=x+4，此时斜率为1，∴当二者相切时，y′=−2x=1，即x=−12，(或由两方程联立，Δ=0解得)此时m−(−12)2=f(−12)=72，即m=154，由题意可得，m≤154．解析：本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论思想方法和数形结合思想，考查运算能力，属于中档题．(Ⅰ)讨论当x≥2时，当−1≤x<2时，当x<−1时，去绝对值，解不等式求并集即可得到所求解集；(Ⅱ)画出函数f(x)与y=m−x2的图象，考虑两图象相切，求得m的值，结合不等式恒成立思想及图象，可得m的范围．。
2020年高考数学模拟试卷 (4)(含答案解析)
2020年高考数学模拟试卷 (4)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知偶函数()f x 的定义域是(,0)(0,)-∞+∞，其导函数为()f x '，对定义域内的任意x ，都有2()()0f x xf x '+>成立，若(2)1f =，则不等式2()4x f x <的解集为( )A ．{}|0,2x x ≠±B ．(2,0)(0,2)-C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(,2)(0,2)-∞-⋃2．现有7件互不相同的产品，其中有4件正品，3件次品，每次从中任取一件测试，直到3件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有（ ）种.A ．1080B ．72C ．432D ．864 3．定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，(0)0f =若对任意x ∈R ，都有()'()1f x f x >+，即使得()1x f x e +<成立的x 的取值范围为（ ）A ．(,1)-∞B ．(,0)-∞C ．(1,)-+∞D ．(0,)+∞ 4．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝( )A ．2231344C ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ B ．2233144C ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ C ．21344⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ D ．23144⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭ 5．数列1，3，5，7，…的一个通项公式是（ ）A ．21n a n =-B ．21n a n =+C ．31n a n =-D ．31n a n =+ 6．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在二十世纪初提出的23个数学问题之一．可以这样描述：存在无穷多个素数p ，使得2p +是素数，称素数对(,2)p p +为孪生素数．在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的概率是（ ）．A ．115B ．215C ．15D ．4157．下列说法正确的是（ ）A ．“1x <-”是“()2lg 91x x ->”的必要不充分条件 B ．命题“00123x x ∃>>，”的否定是“123x x ∀><，”C ．若{}11|2302|::11x x p x q x x ⎧⎫∈-<∈>⎨⎬-⎩⎭，，则p q ∧是真命题 D ．若200020x x x m ∃∈-+<R ，，则实数m 的取值范围是(,1)-∞8．在市高二下学期期中考试中，理科学生的数学成绩()2~90,X N σ，已知(7090)0.35P X <=，则从全市理科生中任选一名学生，他的数学成绩小于110分的概率为（ ）A ．0.15B ．0.50C ．0.70D ．0.859．若k ∈R 则“k >5”是“方程22152x y k k -=-+ 表示双曲线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．设复数11i z i+=-（i 为虚数单位），z 的共轭复数为z ，则z =（ ） A ．1 B ．0 C ．2 D ．1211．已知()f x 为定义在(0,)+∞上的可导函数，且()'()f x xf x >恒成立，则不等式21()()0x f f x x->的解集为（ ） A ．(1,)+∞ B ．(,1)-∞ C ．(2,)+∞ D ．(,2)-∞ 12．给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p ，q 均为假命题②命题“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”③命题“x R ∃∈，211x +<”的否定是“x R ∀∈，211x +≥”④在ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件其中正确的命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．已知函数f （x ）=x 2﹣4x+c 只有一个零点，且函数g （x ）=x （f （x ）+mx ﹣5）在（2，3）上不是单调函数，则实数m 的取值范围是______．14．设函数1()ln ()f x x a x a R x=-+∈的两个极值点分别为12,x x ，若()()12212221f x f x e a x x e ----恒成立，则实数a 的取值范围是_______． 15．定积分()11x x e edx ---=⎰________.16．在二项式n +的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中含x 的项为______．三、解答题17．已知函数()21f x x x =+--.(1)求()f x 的值域;(2)设()233(0)ax x g x a x-+=>若对于任意()0,s ∞∈+,任意t ∈R ,恒有()()g s f t ≥成立,试求实数a 的取值范围.18．甲参加A ，B ，C 三个科目的学业水平考试，其考试成绩合格的概率如下表，假设三个科目的考试甲是否成绩合格相互独立．（I ）求甲至少有一个科目考试成绩合格的概率；（Ⅱ）设甲参加考试成绩合格的科目数量为X ，求X 的分布列和数学期望．19．设函数321()32a f x x x bx c =-++，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =.（1）求b ，c 的值；（2）若2a =，求函数()f x 的极值；（3）设函数()()2g x f x x =+，且()g x 在区间(2,1)--内为单调递减函数，求实数a 的取值范围.20．已知2:8200p x x -++≥，()22:2100q x x m m -+-≤>，若“非p ”是“非q ”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.21．2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分.为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生 450 人）中，采用分层抽样的方法从中抽取n 名学生进行调查.（1）已知抽取的n 名学生中含女生45人，求n 的值及抽取到的男生人数；（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的n 名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的22⨯列联表. 请将列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；（3）在抽取的选择“地理”的学生中按分层抽样再抽取6名，再从这6名学生中抽取2人了解学生对“地理”的选课意向情况，求2人中至少有1名男生的概率.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++. 22．在极坐标系中，直线C 1的极坐标方程为sin 2ρθ=，点M 是C 1上任意一点，点P在射线OM 上，且|OP |·|OM |＝4，记点P 的轨迹为C 2，求曲线C 2的极坐标方程． 23．已知函数()ln 1ax f x x x =-+. （Ⅰ）若函数()f x 有极值，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当()f x 有两个极值点（记为1x 和2x ）时，求证：121()()[()1]x f x f x f x x x++≥⋅-+．参考答案1．B【解析】【分析】构造新函数2()()g x x f x =，由已知可确定其导函数的正负，从而确定()g x 的单调性，同时确定()g x 的奇偶性，利用奇偶性和单调性可解不等式．【详解】当0x >时，由2()()0f x xf x '+>得，222()()()0xf x x f x x f x ''⎡⎤+=>⎣⎦， 令2()()g x x f x =，则()g x 在(,0)(0,)-∞+∞上也为偶函数，且当0x >时，()0g x '>总成立，()g x 在区间(0,)+∞上是增函数.2()4x f x <可化为(||)(2)g x g <，则||2x <，又(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，解得(2,0)(0,2)x ∈-⋃.故选：B.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性不等式，解题关键是构造新函数2()()g x x f x =． 2．B【解析】【分析】根据排列组合的特点依照题意列式，即可得出结果.【详解】解：根据题意，第三件次品恰好在第4次被测出，说明前三次中有两件次品和一件正品被测出.∴第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有11334372C C A ⋅⋅=种. 故选：B.【点睛】本题考查排列组合的简单计数问题，属于基础题.3．D【解析】分析：构造函数()()1,x f x g x e -=由()()'1f x f x >+判断函数()g x 的单调性，根据单调性可得结果. 详解：构造函数：()()()0101,01x f x g x g e e--===-， 对任意x ∈R ，都有()()'1f x f x >+，()()()()()()2'1'1'0x x x x f x e f x ef x f xg x e e ⎡⎤--+-⎣⎦∴==<，∴函数()g x 在R 单调递减，()1x f x e +<化为()()()110,0x f x g x g x e -=-=∴，∴使得()1x f x e +<成立的x 的取值范围是()0,∞+，故选D.点睛：利用导数研究函数的单调性、构造函数解不等式,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.4．C【解析】ξ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是21344⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，本题选择C 选项.点睛：准确理解并运用二项分布的概率公式是求解该类问题的关键，()()1n k k k n P X k C p p -==-表示在独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率.5．A【解析】【分析】根据1，3，5，7，…，数列的规律采用验证的方法得到数列的通项公式..【详解】因为1234211,221,231,241,...a a a a =⨯-=⨯-=⨯-=⨯-所以21n a n =-.故选：A【点睛】本题主要考查数列的通项公式，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6．C【解析】【分析】先求得不超过15的素数的个数，进而得出其中能够组成孪生素数的组数，结合排列组合和古典概型的概率计算公式，即可求解．【详解】由题意，存在无穷多个素数p ，使得2p +是素数，称素数对(,2)p p +为孪生素数． 其中不超过15的素数有2，3，5，7，11，13，可得能够组成孪生素数的有(3,5)，(5,7)，(11,13)，在不超过15的素数中，随机选取两个不同的数，共有2615n C ==种，其中能够组成孪生素数包含的基本事件个数133m C ==， 所以其中能够组成孪生素数的概率是31155m p n ===． 故选：C ．【点睛】 本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及排列数公式的应用，其中解答中认真审题，利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力． 7．D【解析】【分析】由充分不必要条件判断A ；直接写出命题的否定判断B ；由“且”命题真假判断C ；特称命。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020年高考数学模拟试卷（4月份）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共10题；共20分)
1. （2分）(2018·雅安模拟) 已知集合，，则（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2017高二下·黄山期末) 若复数z的共轭复数，则复数z的模长为（）
A . 2
B . ﹣1
C . 5
D .
3. （2分） (2018高二下·齐齐哈尔月考) “ ”是“ ”的（）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
4. （2分）(2017·吉林模拟) 的展开式中，各项系数之和为A，各项的二项式系数之和为B，若
=32，则n=（）
A . 5
B . 6
C . 7
D . 8
5. （2分） (2017高二上·汕头月考) 已知，且，函数在同一坐标系中的图象可能是（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2017高二上·南阳月考) 设，满足约束条件，且的最小值为，则（）
A .
B .
C . 或
D . 或
7. （2分）(2017·湖北模拟) 二面角α﹣AB﹣β的平面角是锐角θ，M∈α，MN⊥β，N∈β，C∈AB，∠MCB 为锐角，则（）
A . ∠MCN＜θ
B . ∠MCN=θ
C . ∠MCN＞θ
D . 以上三种情况都有可能
8. （2分） (2016高一下·天全期中) 已知三角形△A BC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=5，b=8，C=60°，则• =（）
A . ﹣20
B . ﹣20
C . 20
D . 20
9. （2分） (2017高一上·滑县期末) 设函数f（x）=﹣2x ， g（x）=lg（ax2﹣2x+1），若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为（）
A . （﹣1，0）
B . （0，1）
C . （﹣∞，1]
D . [1，+∞）
10. （2分）(2018·陕西模拟) 已知点分别为双曲线的左、右两个焦点，
点是双曲线右支上一点，若点的横坐标时，有，则该双曲线的离心率为（）
A .
B .
C . 2
D .
二、填空题 (共7题；共7分)
11. （1分）如果x2+y2﹣2x+y+k=0是圆的方程，则实数k的取值范围是________．
12. （1分）某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为，表面积为________
13. （1分） (2016高一下·老河口期中) 在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，则△ABC是________．
14. （1分） (2015高三上·上海期中) 据统计，黄种人人群中各种血型的人所占的比例见表：
血型A B AB O
该血型的人所占的比例2829835
已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任一种血型的人输血，AB型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血，某人是B型血，若他因病痛要输血，问在黄种人群中人找一个人，其血可以输给此人的概率为________．
15. （1分） (2017高一上·金山期中) 若关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣＜x＜ }，则a=________．
16. （1分） (2018高二上·睢宁月考) 若实数a，b，c成等差数列，点在动直线上的射影为H，点，则线段QH的最小值为________．
17. （1分）若二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象与直线y=x无交点，现有下列结论：
①若a=1，b=2，则c＞
②若a+b+c=0，则不等式f（x）＞x对一切实数x都成立
③函数g（x）=ax2﹣bx+c的图象与直线y=﹣x也一定没有交点
④若a＞0，则不等式f[f（x）]＞x对一切实数x都成立
⑤方程f[f（x）]=x一定没有实数根
其中正确的结论是________ （写出所有正确结论的编号）
三、解答题 (共5题；共45分)
18. （10分） (2017高一上·成都期末) 已知函数 sin（π﹣2x）
（1）若，求f（x）的取值范围；
（2）求函数 f（x）的单调增区间．
19. （10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，F是线段BC的中点
（1）证明：PF⊥FD；
（2）若PB与平面ABCD所成的角为45o，求点A到平面PFD 距离．
20. （10分）(2017·泸州模拟) 设函数f（x）=|x﹣ |+|x+a|（a＞0）．
（1）证明：f（x）≥4；
（2）若f（2）＜5，求a的取值范围．
21. （5分） (2016高三上·嘉兴期末) 已知抛物线与直线交于两点，
，点在抛物线上，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求点的坐标．
22. （10分） (2018高二下·中山月考) 已知函数，数列满足，
．
（1）求；
（2）猜想数列的通项，并用数学归纳法予以证明．
参考答案一、选择题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共7题；共7分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
三、解答题 (共5题；共45分) 18-1、
18-2、
19-1、
19-2、20-1、
20-2、21-1、
22-1、22-2、。