高考数学模拟试卷(理科)(4月份)
河南省高考数学模拟试卷(理科)(4月份)解析版
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 集合 U={0，1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={x∈N|x2-3x≤0}，则∁U（A∪B）=（ ）
A. {0，1，2，3} B. {0，4，5}
C. {1，2，4}
D. {4，5}
三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）
17. 在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若向量 =（2cos2 ，cos ）， 的值；
（2）求
的最小值．
18. 某市政府为减轻汽车尾气对大气的污染，保卫蓝天，鼓励广大市民使用电动交通工 具出行，决定为电动车（含电动自行车和电动汽车）免费提供电池检测服务现从全 市已挂牌照的电动车中随机抽取 100 辆委托专业机构免费为它们进行电池性能检 测，电池性能分为需要更换、尚能使用、较好、良好四个等级，并分成电动自行车 和电动汽车两个群体分别进行统计，样本分布如图： （1）采用分层抽样的方法从电池性能较好的电动车中随机抽取 9 辆，再从这 9 辆 中随机抽取 2 辆，求至少有一辆为电动汽车的概率； （2）为进一步提高市民对电动车的使用热情，市政府准备为电动车车主一次性发 放补助，标准如下：电动自行车每辆补助 300 元；电动汽车每辆补助 500 元；对电 池需要更换的电动车每辆额外补助 400 元．用样本频率替代概率估计总体． ①现从全市已挂牌照的电动车中随机抽取 3 辆，记这 3 辆电动车电池性能为良好的 辆数为 X，试求 X 的分布列； ②估算平均每辆电动车享受的政府补贴金额．
（3-|a+1|）＞f（- ），则 a 的取值范围是（ ）
2022年江西省宜春市高考数学模拟试卷(理科)(4月份)+答案解析(附后)
2022年江西省宜春市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )A. B.C. D.2.，则( )A. B. C. D.3.已知i是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.地球的表面积为亿平方千米，而陆地面积为亿平方千米．如图所示扇形统计图，关于地球七大洲的说法中，正确的是( )A. 非洲陆地面积最大B. 大洋洲的面积占地球表面积的C. 大洋洲的陆地面积大钓为亿平方千米D. 亚洲的陆地面积超过亿平方千米5.设为等差数列的前n项和，若，则( )A. B. C. 12 D. 46.在展开式中，常数项为( )A. B. C. 60 D. 2407.2021年7月20日河南省遭受特大暴雨表击，因灾死亡失踪398人．郑州日降雨量，其中最大小时降雨量达201mm，通常说的小雨、中雨、大雨、暴雨等，一般以日降雨量衡量，指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度．其中小雨日降雨量在10mm以下；中雨日降雨量为；大雨日降雨量为；基雨日降雨量为；大暴雨日降雨量为；特大暴雨日降雨量在250mm以上，为研究宜春某天降雨量，某同学自制一个高为120mm的无盖正四棱柱形容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心块，如图1所示，接了24小时的雨水不考虑水的损耗，水面刚好没过四棱锥顶点P，然后盖上盖子密封，将容器倒置，如图2所示，水面还恰好没过点P，则当天的降雨的级别为( )A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨8.已知直线l过点，则“直线l斜率小于等于0”是“直线l与圆C：有公共点”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知函数是定义在R上的奇函数，且，则函数的图象在点处的切线的斜率为( )A. B. C. D.10.设、分别是椭圆C：的左、右焦点，过的直线l交椭圆于A、B两点，且，，该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.11.设整数数列，，...，满足，，且，，2， (8)这样的数列的个数为( )A. 20B. 40C. 60D. 8012.若定义在区间D上的函数满足对任意的，，且，，，则称为“低调函数”，给出下列命题：①函数是“低调函数”；②若奇函数是区间上的“低调函数”，则；③若是区间上的“低调函数”，且，则对任意的，，其中正确的命题个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三理科数学4月份高考模拟卷及答案
山东省聊城市 年 高 考 模 拟 试 题数学试题（理）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分。
考试时间120分钟2．答第Ⅰ卷前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡和试题纸上。
3．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试题卷上。
4．第II 卷写在答题纸对应区域内，严禁在试题卷或草纸上答题。
5．考试结束后，将答题卡和答题纸一并交回。
参考公式：①如果事件A 在一次试验中发生概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率Pn （k ）=C knPk （1－P ）n －k 。
②棱柱的体积公式：V=sh （s 底面积，h 为高）。
③K 2统计量的表达式K 2=))())()(()(2d b c a d c b a bc ad n ++++-。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分；共60分。
在每小题给出的四个选项中，选出一个符合题目要求的选项。
） 1．给定下列结论：其中正确的个数是 （ ）①用20㎝长的铁丝折成的矩形最大面积是25㎝2；②命题“所有的正方形都是矩形”的否定是“所有的正方形都不是矩形”；③函数y=2-x 与函数y=log 21x 的图像关于直线y=x 对称。
A ．0B ．1C ．2D ．32．已知{}*∈==Nn i y y M n ,|2（其中i 为虚数单位），,11lg |⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+==xx y x N{},,1|2R x x x P ∈>=则以下关系中正确的是（ ）A ．P N M =⋃B ．N P MC R ⋃=C ．M N P =⋂D ．Φ=⋂)(N P C R3．若a>2,则函数131)(23+-=ax x x f 在区间（0，2）上恰好有 （ ）A ．0个零点B ．1个零点C ．2个零点D ．3个零点 4．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的S= （ ）A ．1B ．100101C ．10099 D ．99985．在ABC BC AB ABC ∆︒︒=︒︒=∆则已知向量中),27cos 2,63cos 2(),72cos ,18(cos ,的面积等于（ ）A ．22B ．42 C ．23 D ．26．2008年北京奥运会期间，计划将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为 （ ） A ．540 B ．300 C ．150 D ．180 7．某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （ ）A ．32B ．3C ．433 D ．233 8．两个正数a 、b 的等差中项是5，等比例中项是4，若a>b ，则双曲线122=-by a x 的离心率e 等于（ ）A ．23B ．25 C ．5017 D ．39．给出下列四个命题，其中正确的一个是 （ ） A ．在线性回归模型中，相关指数R 2=0.80，说明预报变量对解释变量的贡献率是80% B ．在独立性检验时，两个变量的2×2列表中对角线上数据的乘积相差越大，说明这两个变量没有关系成立的可能性就越大C ．相关指数R 2用来刻画回归效果，R 2越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越好D ．随机误差e 是衡量预报精确度的一个量，它满足E （e ）=0 10．已知函数),0()0,()(,4)(2+∞⋃-∞-=是定义在x g x x f 上的奇函数，当x>0时，)()(,log )(2x g x f y x x g ⋅==则函数的大致图象为（ ）11．已知在平面直角坐标系),(),1,2(),1,1(),2,1(),0,0(,y x M C B A O xOy 动点中--满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤⋅≤≤⋅≤-,21,22OB OM 则OC OM ⋅的最大值为（ ）A ．－1B ．0C ．3D ．412．一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为a ，与对手踢平（得1分）的概率为b ，负于对手（得0分）的概率为c （a ，b ，c ∈（0，1）），已知该足球队进行一场比赛得分的期望是1，则ba 311+的最小值为 （ ）A ．316 B ．314C ．317D ．310第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。
高中毕业班4月份模拟试卷理科数学
绝密★启封并使用完毕前高中毕业班4月份模拟试卷理科数学(考试时间 120分钟 满分150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）（1）已知集合{|(2)0},{2,1,0,1,2}A x x x B =-≤=--,则A B =A. {2,1}--B. {1,2}C. {1,0,1,2}-D. {0,1,2}（2）已知11zi i i =+-，则复数z 在复平面上所对应的点位于 A.实轴上 B.虚轴上 C.第一象限 D.第二象限（3）已知向量(,),(1,2),a x y b ==- 且(1,3)a b += ，则|2|a b -=A.1B.3C.4D.5（4）已知命题:(0,),32x x p x ∀∈+∞>；命题:(,0),32q x x x ∃∈-∞>，则下列命题为真命题的是A. p q ∧B. ()p q ⌝∧C. ()p q ⌝∧D. ()()p q ⌝⌝∧（5）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ,点F 到渐近线的距离为2a ,则该双曲线的离心率等于A.2B. 3C. 5D.3（6）已知函数()cos()(0)2f x x ππϕϕ=+<<的部分图像如图所示，0()(0)f x f =-，则正确的选项是 A.0,16x πϕ== B. 04,63x πϕ==C. 0,13x πϕ==D. 02,33x πϕ== （7）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为A. 2-B. 12C. 1-D. 2 （8）在长为2的线段AB 上任意取一点C ，以线段AC 为半径的圆面积小于π的概率为A.14B. 12C. 34D. 4π（9）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是 俯视图侧（左）视图1122正（主）视图。
高考数学模拟试卷(理科)(4月份)(解析版)
高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（i是虚数单位）的共轭复数是（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2+i D．﹣2﹣i2．等比数列{a n}的前n（n∈N*）项和为S n，若S1=1，S2=3，则S3=（）A．7 B．8 C．9 D．103．已知向量，，t∈R，则的最小值是（）A．5 B．4 C．3 D．24．若f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）（ω＞0）的最小正周期为π，，则（）A．f（x）在单调递增B．f（x）在单调递减C．f（x）在单调递增D．f（x）在单调递减5．如图，某几何体的正视图和侧视图都是正三角形，俯视图是圆，若该几何体的表面积S=π，则它的体积V=（）A．πB．C．D．6．某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N，已知P（80＜ξ≤100）=0.40，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取（）A．5份B．10份C．15份D．20份7．执行如图所示的程序框图，输出S的值是（）A．0 B．C．D．8．若的展开式中常数项为1，则实数a=（）A．B．C．D．9．如果某射手每次射击击中目标的概率为0.7，每次射击的结果相互独立，那么他在15次射击中，最有可能击中目标的次数是（）A．10 B．11 C．10或11 D．1210．在平面直角坐标系xOy中，P是由不等式组所确定的平面区域内的动点，Q是圆x2+y2﹣8x﹣8y+30=0上的动点，则|PQ|的最小值为（）A．B．C． D．11．函数f（x）（x＞0）的导函数为f′（x），若xf′（x）+f（x）=e x，且f（1）=e，则（）A．f（x）的最小值为e B．f（x）的最大值为eC．f（x）的最小值为D．f（x）的最大值为12．过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作平行于渐近线的两直线与双曲线分别交于A、B两点，若|AB|=2a，则双曲线离心率e的值所在区间为（）A．（1，）B．（，）C．（，2）D．（2，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设p：|x﹣a|＞3，q：（x+1）（2x﹣1）≥0，若￢p是q的充分不必充要条件，则实数a的取值范围是．14．△ABC三边的长分别为AC=3，BC=4，AB=5，若，，则=．15．对大于或等于2的自然数的3次方可以做如下分解：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…，根据上述规律，103的分解式中，最大的数是．16．已知平面区域D={（x，y）|0≤x≤1，|y|≤1}，∀（x，y）∈D，≥|x+|的概率P=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知{a n}是正项等差数列，∀n∈N*，数列{}的前n项和S n=．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设b n=（﹣1）n a n2，n∈N*，求数列{b n}的前n项和T n．18．某普通高中组队参加中学生辩论赛，文科班推荐了3名男生、4名女生，理科班推荐了3名男生、2名女生，他们各有所长，总体水平相当，学校拟从这12名学生随机抽取3名男生、3名女生组队集训．（Ⅰ）求理科班至少有2名学生入选集训队的概率；（Ⅱ）若先抽取女生，每次随机抽取1人，设X表示直到抽到文科班女生时所抽到的理科班女生的人数，求X的分布列和均值（数学期望）．19．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是四棱柱，侧棱AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是梯形，AB=BC=CD=1，AD=AA1=2．（Ⅰ）求证：平面BDD1B1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）E是底面A1B1C1D1所在平面上一个动点，DE与平面C1BD夹角的正弦值为，试判断动点E在什么样的曲线上．20．已知椭圆Σ：（a＞b＞0）的焦距为4，且经过点．（Ⅰ）求椭圆Σ的方程；（Ⅱ）A、B是椭圆Σ上两点，线段AB的垂直平分线l经过M（0，1），求△OAB 面积的最大值（O为坐标原点）．21．已知函数，a是常数，且a≥1．（Ⅰ）讨论f（x）零点的个数；（Ⅱ）证明：，n∈N*．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O的弦AB、CD相交于E，过点A作⊙O的切线与DC的延长线交于点P．PA=6，AE=CD=EP=9．（Ⅰ）求BE；（Ⅱ）求⊙O的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+1=0．（Ⅰ）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）P是曲线C上任意一点，求P到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．（Ⅰ）已知非零常数a、b满足，求不等式|﹣2x+1|≥ab的解集；（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，x﹣|x﹣a|≤1恒成立，求常数a的取值范围．高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（i是虚数单位）的共轭复数是（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2+i D．﹣2﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念求得答案．【解答】解：∵=，∴复数的共轭复数是2+i．故选：B．2．等比数列{a n}的前n（n∈N*）项和为S n，若S1=1，S2=3，则S3=（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意可得a2，可得q，进而可得a3，前3项相加可得S3．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n（n∈N*）项和为S n，S1=1，S2=3，∴a1=S1=1，a2=S2﹣S1=3﹣1=2，故公比q==2，故a3=a2q=4，∴S3=1+2+4=7，故选：A．3．已知向量，，t∈R，则的最小值是（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可求出向量的坐标，从而得出，显然可看出t=3时，可取到最小值2．【解答】解：；∴，当t=3时取“=”；∴的最小值为2．故选：D．4．若f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）（ω＞0）的最小正周期为π，，则（）A．f（x）在单调递增B．f（x）在单调递减C．f（x）在单调递增D．f（x）在单调递减【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由周期求出ω，由f（0）=求出φ的值，可得函数的解析式；再利用余弦函数的单调性得出结论．【解答】解：∵f（x）=sin（ωx+ϕ）+cos（ωx+ϕ）=sin（ωx+ϕ+）（ω＞0）的最小正周期为=π，可得ω=2．再根据=sin（ϕ+），可得sin（ϕ+）=1，ϕ+=2kπ+，k∈Z，故可取ϕ=，y=sin（2x+）=cos2x．在上，2x∈（﹣，），函数f（x）=cos2x 没有单调性，故排除A、B；在上，2x∈（0，π），函数f（x）=cos2x 单调递减，故排出C，故选：D．5．如图，某几何体的正视图和侧视图都是正三角形，俯视图是圆，若该几何体的表面积S=π，则它的体积V=（）A．πB．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个圆锥，设底面圆的半径为r，由正视图可得母线长是2r，由题意和圆锥的表面积公式列出方程求出r，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个圆锥，设底面圆的半径为r，由正视图可得母线长是2r，∵该几何体的表面积S=π，∴πr2+πr•（2r）=π，解得r=，则圆锥的高h===1，∴几何体的体积V===，故选：C．6．某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N，已知P（80＜ξ≤100）=0.40，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取（）A．5份B．10份C．15份D．20份【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N，得到数学成绩ξ关于ξ=100对称，根据P（80＜ξ≤100）=0.40，得到P（ξ＞120）=0.1，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．【解答】解：由题意，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N，∴数学成绩ξ关于ξ=100对称，∵P（80＜ξ≤100）=0.40，∴P（ξ＞120）=P（ξ＜80）=0.5﹣0.40=0.1，∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.1×100=10．故选：B．7．执行如图所示的程序框图，输出S的值是（）A．0 B．C．D．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出S=tan+tan+tan+…+tan+tan的值，利用正切函数的周期性即可计算求值．【解答】解：模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出S=tan+tan+tan +…+tan+tan的值，由于：tan+tan+tan=0，k∈Z，且：2016=3×672，所以：S=（tan+tan+tan）+…+（tan+tan+tan）=0+0+…+0=0．故选：A．8．若的展开式中常数项为1，则实数a=（）A．B．C．D．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项列出方程解方程求出a的值．【解答】解：展开式的通项公式为T r+1=C8r•（）8﹣r•（）r=（）8﹣r C8r•x8﹣\frac{4}{3}r，令8﹣r=0，解得r=6；所以展开式的常数项为（）2C86=1，解得a=±2．故选：C．9．如果某射手每次射击击中目标的概率为0.7，每次射击的结果相互独立，那么他在15次射击中，最有可能击中目标的次数是（）A．10 B．11 C．10或11 D．12【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】假设最可能击中目标的次数为k，由条件利用n次独立重复实验中恰好发生k次的概率公式可得，求得k的范围，可得k的最大值．【解答】解：假设最可能击中目标的次数为k，根据某射手每次射击击中目标的概率为0.7，每次射击的结果相互独立，则他击中k次的概率为•0.7k•0.315﹣k，再由，求得0.2≤k≤11.2，再根据击中目标次数为正整数，可得击中目标次数为11，故选：B．10．在平面直角坐标系xOy中，P是由不等式组所确定的平面区域内的动点，Q是圆x2+y2﹣8x﹣8y+30=0上的动点，则|PQ|的最小值为（）A．B．C． D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合以及点到直线的距离公式进行求解即可．【解答】解：圆x2+y2﹣8x﹣8y+30=0的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2=2，则圆心坐标为C（4，4），半径R=，作出不等式组对应的平面区域如图：则C到直线x+y﹣4=0的距离最小，此时d==2，则|PQ|的最小值为d﹣R=2﹣=，故选：B．11．函数f（x）（x＞0）的导函数为f′（x），若xf′（x）+f（x）=e x，且f（1）=e，则（）A．f（x）的最小值为e B．f（x）的最大值为eC．f（x）的最小值为D．f（x）的最大值为【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】设g（x）=xf（x），求导，得到f（x）=，再根据导数和函数的最值得关系即可求出．【解答】解：设g（x）=xf（x），∴g′（x）=xf′（x）+f（x）=e x，∴g（x）=e x，∴xf（x）=e x，∴f（x）=，∴f′（x）=，令f′（x）=0，解得x=1，当f′（x）＞0，时，解得x＞1，函数f（x）在（1，+∞）单调递增，当f′（x）＜0，时，解得0＜x＜1，函数f（x）在（1，+∞）单调递减，∴f（x）min=f（1）=e，故选：A．12．过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作平行于渐近线的两直线与双曲线分别交于A、B两点，若|AB|=2a，则双曲线离心率e的值所在区间为（）A．（1，）B．（，）C．（，2）D．（2，）【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程，由两直线平行的条件可得平行直线的方程，联立解得交点A，B的坐标，可得AB的长，结合a，b，c的关系和离心率公式，可得e的方程，运用零点存在定理，进而得到离心率的范围．【解答】解：双曲线=1的渐近线方程为y=±x，设焦点F（c，0），由y=（x﹣c）和双曲线=1，解得交点A（，），同理可得B（，﹣），即有|AB|==2a，由b2=c2﹣a2，由e=，可得4e2=（e2﹣1）3，由f（x）=（x2﹣1）3﹣4x2，可得f′（x）=6x（x2﹣1）﹣8x＞0，x＞1，f（x）递增．又f（2）＞0，f（）＜0，可得＜e＜2．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设p：|x﹣a|＞3，q：（x+1）（2x﹣1）≥0，若￢p是q的充分不必充要条件，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别解出关于p，q的不等式的解集，结合￢p是q的充分必要条件得到关于a 的不等式，解出即可．【解答】解：p：|x﹣a|＞3，解得：x＞a+3或x＜a﹣3；￢p：a﹣3≤x≤a+3，q：（x+1）（2x﹣1）≥0，解得：x≥或x≤﹣1，若￢p是q的充分不必充要条件，则a﹣3≥或a+3≤﹣1，解得：a≥或a≤﹣4，故答案为：（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）．14．△ABC三边的长分别为AC=3，BC=4，AB=5，若，，则=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得△ABC是以∠C为直角的直角三角形，然后根据已知条件把用向量表示，则的值可求．【解答】解：在△ABC中，由AC=3，BC=4，AB=5，得AC2+BC2=AB2，∴△ABC是以∠C为直角的直角三角形，如图，∵，∴，又，∴=，∴==．故答案为：．15．对大于或等于2的自然数的3次方可以做如下分解：23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…，根据上述规律，103的分解式中，最大的数是109．【考点】归纳推理．【分析】注意观察各个数分解时的特点，不难发现：当底数是2时，可以分解成两个连续的奇数之和；当底数是3时，可以分解成三个连续的奇数之和．则当底数是4时，可分解成4个连续的奇数之和，进而求出23～103的分解式用的奇数个数，进而求出答案．【解答】解：由题意，从23到103，正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+10=54个，故103的分解式中，最大的数是2×54+1=109，故答案为：10916．已知平面区域D={（x，y）|0≤x≤1，|y|≤1}，∀（x，y）∈D，≥|x+|的概率P=．【考点】几何概型．【分析】由题意画出图形，利用区域的面积比求概率．【解答】解：∵≥|x+|，∴y2≥x，=1×2=2，平面区域D={（x，y）|0≤x≤1，|y|≤1}，所围成图形为矩形，S矩形∀（x，y）∈D，y2≥x，其面积为阴影部分的面积，其S=y2dy=y3|阴影=，故∀（x，y）∈D，≥|x+|的概率P==，故答案为：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知{a n}是正项等差数列，∀n∈N*，数列{}的前n项和S n=．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设b n=（﹣1）n a n2，n∈N*，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）设正项等差数列{a n}的公差为d，由=．利用“裂项求和”可得：数列{}的前n项和S n==．分别取n=1，2即可得出．+b2k=﹣（n+1）2+（n+2）2=2n+3．当（II）b n=（﹣1）n a n2=（﹣1）n（n+1）2，可得：b2k﹣1n=2k（k∈N*）时，数列{b n}的前n项和T n=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2k+b2k），即﹣1可得出．当n=2k﹣1（k∈N*）时，数列{b n}的前n项和T n=T n+a n，即可得出．﹣1【解答】解：（I）设正项等差数列{a n}的公差为d，∵=．∴数列{}的前n项和S n=++…+==．n=1时，=n=2时，==，化简解得：a1=2，d=1．∴a n=2+（n﹣1）=n+1．（II）b n=（﹣1）n a n2=（﹣1）n（n+1）2，∴b2k+b2k=﹣（n+1）2+（n+2）2=2n+3．﹣1+b2k）当n=2k（k∈N*）时，数列{b n}的前n项和T n=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2k﹣1=（2×1+3）+（2×2+3）+…+（2×k+3）=+3k=k2+4k=+2n．+a n当n=2k﹣1（k∈N*）时，数列{b n}的前n项和T n=T n﹣1=﹣（n+1）2=．∴T n=．18．某普通高中组队参加中学生辩论赛，文科班推荐了3名男生、4名女生，理科班推荐了3名男生、2名女生，他们各有所长，总体水平相当，学校拟从这12名学生随机抽取3名男生、3名女生组队集训．（Ⅰ）求理科班至少有2名学生入选集训队的概率；（Ⅱ）若先抽取女生，每次随机抽取1人，设X表示直到抽到文科班女生时所抽到的理科班女生的人数，求X的分布列和均值（数学期望）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）先求出理科班没有学生入选集训队的概率和理科班有1名学生入选集训队的概率，由此利用对立事件概率计算公式能求出理科班至少有2名学生入选集训队的概率．（Ⅱ）由题意X=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和均值（数学期望）．【解答】解：（Ⅰ）理科班没有学生入选集训队的概率为…理科班有1名学生入选集训队的概率为…∴理科班至少有2名学生入选集训队的概率为…（Ⅱ）由题意X=0，1，2…P（X=0）==…，P（X=1）=…P（X=2）==…∴X的分布列为：X 0 1 2P…X的均值（数学期望）EX==…19．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是四棱柱，侧棱AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是梯形，AB=BC=CD=1，AD=AA1=2．（Ⅰ）求证：平面BDD1B1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）E是底面A1B1C1D1所在平面上一个动点，DE与平面C1BD夹角的正弦值为，试判断动点E在什么样的曲线上．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）取AD的中点F，连接BF，根据各线段长度可得四边形BCDF是菱形，△ABF是正三角形，利用菱形性质及三角形性质即可得出∠ABD=90°，即AB⊥BD，从而BD⊥平面ABB1A1，于是平面BDD1B1⊥平面ABB1A1；（II）以B为原点，建立空间直角坐标系，设E（x，y，2），求出和平面C1BD 的法向量为，令|cos＜＞|=得出E点的轨迹方程．【解答】证明：（Ⅰ）取AD的中点F，连接BF，则AB=BC=CD=AF=DF=1，∴四边形BCDF是菱形，△ABF是正三角形，∴∠ABF=∠AFB=60°，∠FBD=∠FDB，∵∠FBD+∠FDB=∠AFB=60°，∴∠FBD=∠FDB=30°，∴∠ABD=∠ABF+∠FBD=90°，∴AB⊥BD．∵AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴AA1⊥BD，又AA1⊂平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，AA1∩AB=A，∴BD⊥平面ABB1A1，∵BD⊂平面BDD1B1，∴平面BDD1B1⊥平面ABB1A1．（Ⅱ）以B为原点，BD，BA，BB1为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），D（，0，0），C1（，﹣，2），设E（x，y，2），∴=（，0，0），=（，﹣，2），=（x﹣，y，z）．设平面C1BD的一个法向量为=（x，y，z），则，∴，取z=1得=（0，4，1），∴=4y+2．∴cos＜＞==．∵DE与平面C1BD夹角的正弦值为，∴|cos＜＞|=，即||=．化简整理得，，∴动点E的轨迹是一条抛物线．20．已知椭圆Σ：（a＞b＞0）的焦距为4，且经过点．（Ⅰ）求椭圆Σ的方程；（Ⅱ）A、B是椭圆Σ上两点，线段AB的垂直平分线l经过M（0，1），求△OAB 面积的最大值（O为坐标原点）．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得c=2，求得焦点坐标，运用椭圆的定义可得2a=4，即a=2，运用a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）根据椭圆的对称性，直线AB与x轴不垂直，设直线AB：y=kx+m，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，求得O到直线AB的距离，依题意，|AM|=|BM|，运用两点的距离公式，化简可得k，m的等式，讨论k=0，k≠0，运用基本不等式和二次函数的最值求法，即可得到所求面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）依题意，2c=4，椭圆Σ的焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），由椭圆的定义可得2a=|PF1|+|PF2|=+=3+=4，即有a=2，则b2=a2﹣c2=4，则椭圆Σ的方程为+=1；（Ⅱ）根据椭圆的对称性，直线AB与x轴不垂直，设直线AB：y=kx+m，由得，（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，，O到直线AB的距离，△OAB的面积，依题意，|AM|=|BM|，即，即有（x1﹣x2）（x1+x2）+（y1﹣y2）（y1+y2﹣2）=0，，即为（k2+1）（x1+x2）+k（2m﹣2）=0，代入整理得，k（2k2+m+1）=0，若k=0，则，等号当且仅当时成立；若k≠0，则2k2+m+1=0，，等号当且仅当m=﹣2，时成立．综上所述，△OAB面积的最大值为．21．已知函数，a是常数，且a≥1．（Ⅰ）讨论f（x）零点的个数；（Ⅱ）证明：，n∈N*．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性及极值最值，通过对a分类讨论求得函数零点的个数，（Ⅱ）取a=2或a=，由（1）知函数单调性，即可证明．【解答】证明：（Ⅰ），解f′（x）=0得x=0，或x=a2﹣2a①a=1时，，若x∈（﹣1，0），f′（x）＜0，f（x）＞f（0）=0，若x∈（0，+∞），f′（x）＞0，f（x）＞f（0）=0．f（x）有一个零点，②1＜a＜2时，﹣1＜a2﹣2a＜0，x （﹣1，a2﹣2a）a2﹣2a （a2﹣2a，0）0 （0，+∞）f′（x）+0 ﹣0 +f（x）↗↘↗由上表可知，f（x）在区间（a2﹣2a，+∞）有一个零点x=0，f（a2﹣2a）＞f（0）=0，又，任取，，f（x）在区间（t，a2﹣2a）有一个零点，从而f（x）有两个零点，③a=2时，，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，有一个零点x=0，④a＞2时，a2﹣2a＞0，x （﹣1，0）0 （0，a2﹣2a）a2﹣2a （a2﹣2a，+∞）f′（x）+0 ﹣0 +f（x）↗↘↗由上表可知，f（x）在区间（﹣1，a2﹣2a）有一个零点x=0，在区间（a2﹣2a，+∞）有一个零点，从而f（x）有两个零点，（Ⅱ）证明：取a=2，由（1）知在（﹣1，+∞）上单调递增，取（n∈N*），则，化简得，取，由（1）知在区间上单调递减，取（n∈N*），由f（x）＞f（0）得，即（n∈N*），综上，，n∈N*请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O的弦AB、CD相交于E，过点A作⊙O的切线与DC的延长线交于点P．PA=6，AE=CD=EP=9．（Ⅰ）求BE；（Ⅱ）求⊙O的半径．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（Ⅰ）由圆的切割线定理，可得PC=3，再由圆的相交弦定理，即可得到EB 的长；（Ⅱ）作OM⊥AB，PN⊥AB，分别交AB于M，N，设AN=x，运用勾股定理，解方程可得AN=2，求得PN，AM的长，运用三角形的相似可得△PNA∽△AMO，由性质定理，即可得到所求值．【解答】解：（I）PA2=PC•PD，PA=6，CD=9，即36=PC（PC+9），得PC=3（﹣12舍去），所以PD=PC+CD=12，又EP=9，所以ED=PD﹣EP=12﹣9=3，CE=EP﹣PC=9﹣3=6，又AE•EB=CE•ED，则EB===2；（II）作OM⊥AB，PN⊥AB，分别交AB于M，N，设AN=x，则AP2﹣AN2+NE2=EP2，由AP=6，EP=9，NE=9﹣x，即有36﹣x2+（9﹣x）2=81，得x=2即AN=2，PN==，AB=AE+EB=9+2=11，AM=AB=，在直角三角形PNA和直角三角形AMO，∠APN=∠OAM，∠PAN=∠AOM，可得△PNA∽△AMO，得：，即有OA===．[选修4-4：坐标系与参数方程]24．（Ⅰ）已知非零常数a、b满足，求不等式|﹣2x+1|≥ab的解集；（Ⅱ）若∀x∈[1，2]，x﹣|x﹣a|≤1恒成立，求常数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）求出ab=1，问题转化为|﹣2x+1|≥1，解出即可；（Ⅱ）问题转化为（a ﹣1）（a﹣2x+1）≥0，通过讨论a的范围求出不等式的解集，从而求出a的范围即可．【解答】解：（I）由已知，∵a、b不为0，∴ab=1，原不等式相当于|﹣2x+1|≥1，所以，﹣2x+1≥1或﹣2x+1≤﹣1，解得：{x|x≤0或x≥1}；（Ⅱ）由已知得，|x﹣a|≥x﹣1≥0，（x﹣a）2≥（x﹣1）2，（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0，a=1时，（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0恒成立，a＞1时，由（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0得，a≥2x﹣1，从而a≥3，a＜1时，由（a﹣1）（a﹣2x+1）≥0得，a≤2x﹣1，从而a≤1，综上所述，a的取值范围为（﹣∞，1]∪[3，+∞）．23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ+1=0．（Ⅰ）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）P是曲线C上任意一点，求P到直线l的距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由消去参数能得到直线l的直角坐标方程，由ρ2﹣4ρcosθ+1=0，ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，能求出曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）曲线C的圆心为（2，0），半径为，求出圆心到直线的距离，由此能求出P到直线l的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由消去参数t得，直线l的直角坐标方程为．…∵ρ2﹣4ρcosθ+1=0，ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，∴曲线C的直角坐标方程x2+y2﹣4x+1=0…（Ⅱ）∵曲线C的直角坐标方程x2+y2﹣4x+1=0，∴曲线C：（x﹣2）2+y2=3…，圆心为（2，0），半径为…圆心到直线的距离…∴P到直线l的距离的最大值…[选修4-5：不等式选讲]。
河南省高考数学模拟试卷(理科)(4月份)解析版
高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 集合U ={0，1，2，3，4，5}，A ={1，2}，B ={x ∈N |x 2-3x ≤0}，则∁U （A ∪B ）=（ ）A. {0，1，2，3}B. {0，4，5}C. {1，2，4}D. {4，5} 2. i 为虚数单位，若复数z +=i ，则=（ ）A. 1-iB. -1+iC. -1-iD. 1+i3. 我国古代学者庄子在《庄子·天下篇》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，指一尺长的木棒，今天取其一半，明天取剩下的一半，后天再取剩下的一半，永远也取不尽.现有尺长的线段，每天取走它的，天后剩下的线段长度不超过尺，则的最小值为（ ）A.B. C.D. 4. 已知椭圆的一个焦点为，则的值为（ ）A.B.C. D.5. 已知向量，的夹角为60°，且||=2，|2-|=，则||可能为（ ）A. 3B.C. 2D. 46. 设公差为-3的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2019=2019，则a 3+a 6+a 9+…+a 2019=（）A.B. C. 673 D. 1346 7. 若函数y =f （x ）具有下列两个性质：①在区间[-]上单调递增，②其图象关于直线x =对称，则f （x ）的解析式可以是（ ）A. f （x ）=sin （-2x ）B. f （x ）=cos （2x +）C. f （x ）=sin （2x +）D. f （x ）=cos （-2x ）8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.B.C. π+1D.9.已知命题p：f（x）=sin x+≥4（0＜x＜），命题q：若x2-x+m＞0对x∈R恒成立，则m＞0．则下列选项中真命题为（）B. C. D.A.10.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＜0时，f（x）=，若实数a满足f（3-|a+1|）＞f（-），则a的取值范围是（）A. （-，-）B. （-）∪（-，+∞）C. （-，-）D. （-）∪（-，+∞）11.已知区域内的点满足不等式组，在区域内任取一点，则函数有零点的概率为( )A. B. C. D.12.在正方体ABCD-A1B1CD1中，点M在线段AD1上，若直线A1M与平面A1B1C1D1内的动直线所成角的最小值，则AM：MD1=（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.（x-）10的展开式中所有项的系数之和为______．14.若执行如图所示的程序框图，输入，则输出的值为_______.15.已知l为曲线y=在（1，a）处的切线，当直线l与坐标轴围成的三角形面积为，实数a的值为______16.在平面直角坐标系xOy中，离心率为的双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且PF1⊥x轴，过点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，分别交两条渐近线于A，B两点，若四边形PAOB的面积为2，则△PF1F2的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量=（2cos2，cos），=（，cos），•=．（1）求tan A tan B的值；（2）求的最小值．18.某市政府为减轻汽车尾气对大气的污染，保卫蓝天，鼓励广大市民使用电动交通工具出行，决定为电动车（含电动自行车和电动汽车）免费提供电池检测服务现从全市已挂牌照的电动车中随机抽取100辆委托专业机构免费为它们进行电池性能检测，电池性能分为需要更换、尚能使用、较好、良好四个等级，并分成电动自行车和电动汽车两个群体分别进行统计，样本分布如图：（1）采用分层抽样的方法从电池性能较好的电动车中随机抽取9辆，再从这9辆中随机抽取2辆，求至少有一辆为电动汽车的概率；（2）为进一步提高市民对电动车的使用热情，市政府准备为电动车车主一次性发放补助，标准如下：电动自行车每辆补助300元；电动汽车每辆补助500元；对电池需要更换的电动车每辆额外补助400元．用样本频率替代概率估计总体．①现从全市已挂牌照的电动车中随机抽取3辆，记这3辆电动车电池性能为良好的辆数为X，试求X的分布列；②估算平均每辆电动车享受的政府补贴金额．19.如图，斜三棱柱ABC-AB1C1的底面△ABC为正三角形，AB=AA1，∠A1AB=∠A1AC，AA1与底面ABC所成的角为30°．（1）证明：BB1⊥BC；（2）求二面角A-BB1-C1的余弦值．20.已知抛物线C1：y2=2px（p＞0），圆C2：x2+y2=r2（r＞0），直线l：y=kx+m与抛物线C1相切于点A，且与圆C2相切于点B．（1）当k=2时，请分别写出p，r关于m的表达式；（2）设F为抛物线C1的焦点，△FAB，△FOB的面积分别为S1，S2，若S1=6S2，求实数k的值．21.已知函数f（x）=x2-（a+1）x+a ln x．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）对任意的a∈[3，5]，x1，x2∈[1，3]（x1≠x2），恒有|f（x1）-f（x2）|＜λ|-|，求实数λ的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为，（θ为参数）（1）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当α=时，求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点（不重合），求|OA|+|OB|的取值范围．23.已知函数f（x）=|2x-a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x-1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：B={x∈N|0≤x≤3}={0，1，2，3}，则A∪B={0，1，2，3}，则∁U（A∪B）={4，5}，故选：D．求出集合B的等价条件，结合补集并集的定义进行计算即可．本题主要考查集合的基本运算，结合补集并集的定义是解决本题的关键．2.【答案】B【解析】解：由z+=i，得z===-1-2i+i=-1-i，∴．故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】C【解析】【分析】读懂题意，列出不等式求解即可．本题难度较小，主要考查等比数列的概念及通项公式的应用．【解答】解：由题意可知，m天后剩下的线段的长度为，则，解得m≥10，所以m的最小值为10．故选C．4.【答案】C【解析】解：方程变形为，∵椭圆的焦点在y轴上，∴a2=2m，b2=6，又c=2且a2-b2=c2，∴2m-6=22，∴m=5．故选：C．依题意，将椭圆的方程标准化，利用其焦点在y轴上，利用椭圆的性质即可求得m的值．本题考查椭圆的简单性质，将椭圆的方程标准化是打开思维的关键，考查分析、运算能力，属于中档题．5.【答案】A【解析】解：已知|2-|=，则有：即：向量，的夹角为60°，且||=2∴，即•=2cos60°||解得：即：或则||可能为3故选：A．运用向量的平方即为模的平方等到，的等式，在带入向量，的数量积和||=2，再由向量的夹角公式，计算只含的模的方程即可得到．本题主要考查向量夹角，向量的平方即为模的平方求解，根据向量数量积的应用是解决本题的关键是基础题．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查等差数列的前n项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．由S2019==2019，得a1+a2019=2，再由a3+a6+a9+…+a2019=（a1+a2019-6），能求出结果．【解答】解：公差为-3的等差数列{a n}的前n项和为S n，S2019=2019，∴S2019==2019，解得a1+a2019=2，∴a3+a6+a9+…+a2019=（a1+a2019-6）=-1346．故选B．7.【答案】D【解析】解：（1）对A，f（）=sin（）=，不符合条件②，故A错；（2）对B，f（）=cos=-1符合条件②，由f（x）=cos（2x+）知，f（x）在[-]上递减，不符合条件①，故B错；（3）对C，f（）=sin（）=，不符合条件②，故C错；（4）对D，f（）=cos（0）=1符合条件②，由知，f（x）在[-]上递增，符合条件①，故D对．故选：D．首先检验各选项是否符合条件②，排查一些选项后再看是否符合条件①即可．本题考查了正弦函数与余弦函数的单调性和对称性，属基础题．8.【答案】A【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体可看作两个几何体的组合体，左侧是四分之一圆锥，右侧是四棱锥，圆锥的底面半径为1，高为1，棱锥的底面是边长为1的正方形，一条侧棱垂直于底面，且长度为1．∴该几何体的体积为．故选：A．由三视图还原原几何体，该几何体可看作两个几何体的组合体，左侧是四分之一圆锥，右侧是四棱锥，圆锥的底面半径为1，高为1，棱锥的底面是边长为1的正方形，一条侧棱垂直于底面，且长度为1．再由锥体的体积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．9.【答案】D【解析】【分析】此题考查了命题的真假，难度不大．利用“对号”函数容易求得f（x）＞5，可确定p为真命题；利用判别式小于0，可求得m，故命题q也是真命题．【解答】解：∵，∴0＜sin x＜1，∴f（x）=sin x+∈（5，+∞），∴命题p为真命题；∵x2-x+m＞0对x∈R恒成立，∴=1-4m＜0，∴，∴命题q为真命题，故选：D．10.【答案】B【解析】解；根据题意，当x＜0时，f（x）=，其导数f′（x）=＞0，则f（x）在区间（-∞，0）上为增函数，又由f（x）是定义在R上的偶函数，则f（x）在区间（0，+∞）上为减函数，f（3-|a+1|）＞f（-）⇒f（3-|a+1|）＞f（）⇒3-|a+1|＜⇒|a+1|＞，解可得：a＜-或a＞-，即a的取值范围为（）∪（-，+∞）；故选：B．根据题意，由函数的解析式求出其导数，分析可得f（x）在区间（-∞，0）上为增函数，结合函数的奇偶性可得f（x）在区间（0，+∞）上为减函数，据此可得f（3-|a+1|）＞f（-）⇒f（3-|a+1|）＞f（）⇒3-|a+1|＜⇒|a+1|＞，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的计算，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：作出不等式组表示的平面区域，如图△ABC部分；由，得A（0，2）；由，得B（0，-4）；由，得C（2，0）；则△ABC的面积为S△ABC=×6×2=6，函数f（x）=x2+2ax+b有零点，则△=4a2-4b≥0，化为b≤a2，即y≤x2；由，得D（1，1）；且x2=x3=，S△CDE=×1×1=，S△OBC=×2×4=4，所以满足函数f（x）=x2+2ax+b有零点时对应点的面积为S′=++4=，利用几何概型的概率公式，计算所求的概率为P==．故选：A．作出不等式组表示的平面区域，求出满足函数f（x）有零点时对应点的面积，计算对应区域的面积比即可．本题考查了几何概型的概率计算问题，也考查了简单的线性规划应用问题，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：∵A1D1为A1M在平面A1B1C1D1的射影，∴直线A1M与平面A1B1C1D1内的动直线所成角的最小值为∠D1A1M，即∠D1A1M==60°，∴∠A1MD1=75°，设A1D1=a，在△A1D1M中，由正弦定理可得=，∴D1M==a，故AM=a-a=a，∴==•=．故选：C．设正方体棱长为a，根据∠D1A1M=计算D1M，AM，得出答案．本题考查了空间直线所成角的计算，属于中档题．13.【答案】1【解析】解：令x=1，可得（x-）10的展开式中所有项的系数之和为1，故答案为：1．令x=1，可得（x-）10的展开式中所有项的系数之和．本题主要考查二项式定理的应用，通过给二项式的x赋值，求得展开式中所有项的系数之和，属于基础题．14.【答案】【解析】【分析】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=++…+的值，利用裂项法可得答案．【解答】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=++…+的值，可得：S=++…+=（1-）+（）+…+（-）=1-=．故答案为：．15.【答案】0或【解析】解：求导数可得y′=，所以在点（1，a）处的切线斜率为：1-a，切线方程为：y-a=（1-a）（x-1），令x=0，得y=2a-1；令y=0，得x=．所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为×|（2a-1）×|=，解得a=0或a=故答案为：0或．求出函数的导数，求得在点（1，1）处的切线斜率，再由点斜式方程可得切线方程，再分别令x=0，y=0，再由三角形的面积公式，即可得到．本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，确定切线方程是关键．16.【答案】4【解析】解：e==，可得a=b，可得双曲线的渐近线方程为y=±x，设P为第二象限上的点，可得P（-c，a），由题意可得四边形PAOB为矩形，由P到直线y=-x的距离为d=，P到直线y=x的距离为d'=，即有dd'==2，即2a2-a2=4，可得a=2，c=2，△PF1F2的面积为•2c•a=4．故答案为：4．由离心率公式可得a=b，可得双曲线的渐近线方程为y=±x，设P为第二象限上的点，可得P（-c，a），由题意可得四边形PAOB为矩形，由矩形的面积公式，可得a，c，即可得到所求三角形的面积．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查化简运算能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）因为向量=（2cos2，cos），=（，cos），•=．所以•=2cos2×+cos cos=，所以4cos（A-B）=5cos（A+B），所以9sin A sin B=cos A cos B，所以tan A tan B=；（2）=-==≥=，当且仅当A=B时取等号，故的最小值为：．【解析】（1）利用两个向量的数量积公式以及半角公式，求的tan A tan B即可；（2）利用余弦定理将式子，再应用基本不等式求出式子的最小值即可，本题考查了两个向量的数量积公式，余弦定理等，关键是基本不等式的应用，属中档题．18.【答案】解：（1）由电池性能统计图得：电池性能较好的电动车有45辆，其中电动自动车20辆，电动汽车25辆，采用分层抽样的方法从电池性能较好的电动车中随机抽取9辆，其中，抽到电动自行车9×=4辆，抽到电动汽车9×=5辆，再从这9辆中随机抽取2辆，基本事件总数n==36，至少有一辆为电动汽车包含的基本事件个数m==30，∴至少有一辆为电动汽车的概率p==．（2）①随机抽取100辆委托专业机构免费为它们进行电池性能检测，电池性能为需要更换、尚能使用、较好、良好四个等级的电动车分别为9辆，26辆，45辆，20辆，现从全市已挂牌照的电动车中随机抽取3辆，记这3辆电动车电池性能为良好的辆数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴X的分布列为：②估算平均每辆电动车享受的政府补贴金额为：=[300（8+22+20+10）+500（1+4+25+10）+400×9]=416．【解析】（1）电池性能较好的电动车有45辆，其中电动自动车20辆，电动汽车25辆，采用分层抽样的方法从电池性能较好的电动车中随机抽取9辆，抽到电动自行车9×=4辆，抽到电动汽车9×=5辆，再从这9辆中随机抽取2辆，基本事件总数n==36，至少有一辆为电动汽车包含的基本事件个数m==30，由此能求出至少有一辆为电动汽车的概率．（2）①电池性能为需要更换、尚能使用、较好、良好四个等级的电动车分别为9辆，26辆，45辆，20辆，现从全市已挂牌照的电动车中随机抽取3辆，记这3辆电动车电池性能为良好的辆数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．②由频率分布直方图能估算平均每辆电动车享受的政府补贴金额．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、平均数的求法，考查古典概型、排列组合、频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】证明：（1）取BC的中点D，连接AD，∵△ABC为正三角形，∴BC⊥AD，∵∠A1AB=∠A1AC，∴A1在平面ABC上的射影O在AD上，∵A1O⊥平面ABC，∴A1O⊥BC，又AD∩A1O=O，∴BC⊥平面A1AD，∴BC⊥AA1，又AA1∥BB1，∴BB1⊥BC．（2）由（1）可知∠A1AO为AA1与底面ABC所成的角，即∠A1AO=30°，∴OA=AA1，又AD=AB，AB=AA1，故OA=AD，于是O与D点重合．以D为原点，以DA，DB，DA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，设AB=AA1=2，则A（，0，0），B（0，1，0），B1（-，1，1），C（0，-1，0），∴=（-，0，1），=（-，1，0），=（0，2，0），设平面ABB1的法向量为=（x，y，z），则，即，令x=1可得y=，z=，即=（1，，），设平面BB1C1C的法向量为=（x，y，z），则，即，令x=1可得y=0，z=，即=（1，0，），∴cos＜＞===．∴二面角A-BB1-C1的余弦值为．【解析】（1）取BC的中点D，证明BC⊥平面A1AD，可得BC⊥AA1，故而BC⊥BB1；（2）证明A1D⊥平面ABC，以D为原点建立空间坐标系，求出平面ABB1和平面BB1C1C 的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小．本题考查了线面垂直的判定，考查空间向量与二面角的计算，属于中档题．20.【答案】解：（1）直线l：y=2x+m，联立抛物线方程可得4x2+（4m-2p）x+m2=0，由△=0，即（4m-2p）2-16m2=0，解得p=4m；由直线与圆C2：x2+y2=r2（r＞0）相切，可得=r，即r=|m|；（2）F（，0），由y=kx+m和抛物线方程联立，可得k2x2+（2km-2p）x+m2=0，由△=0，即（2km-2p）2-4k2m2=0，解得p=2km；此时切点A（，），直线y=kx+和圆相切，可得=r，再由直线y=kx+，联立圆方程x2+y2=，解得x=-，y=，即B（-，），|AB|==，F到AB的距离d=，即有S1=••=•，p2，S2=••||=•，由S1=6S2，可得2k4-3k2+1=0，解得k=±1或k=±．【解析】（1）联立直线y=2x+m和抛物线方程，运用判别式为0，可得p与m的关系；再由直线和圆相切的条件：d=r，可得r与m的关系；（2）求得抛物线的焦点坐标，联立直线和抛物线方程，由判别式为0，解得切点A；由直线和圆方程联立，求得切点B，求得AB的长，以及F到直线AB的距离，运用三角形的面积公式，化简整理，解方程可得所求值．本题考查直线与抛物线的相切的条件，以及直线与圆相切的条件，考查三角形的面积公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于难题．21.【答案】解：（1）f′（x）=x-（a+1）+=，（x∈（0，+∞））．a≤0时，x-a＞0，可得：函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．0＜a＜1时，可得：函数f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．a=1时，f′（x）≥0，可得：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．1＜a时，可得：函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．（2）不妨设0＜x1＜x2，由（1）可得：a∈[3，5]时，函数f（x）在x∈[1，3]单调递减，∵x1，x2∈[1，3]（x1≠x2），恒有|f（x1）-f（x2）|＜λ|-|，∴f（x1）-f（x2）＜λ（-），化为：f（x1）-＜f（x2）-，令g（x）=f（x）-=x2-（a+1）x+a ln x-，a∈[3，5]，x∈[1，3]，则函数g（x）在x∈[1，3]上单调递增，a∈[3，5]，∴g′（x）=x-（a+1）++≥0，在x∈[1，3]上恒成立，a∈[3，5]，化为：λ≥-x3+（a+1）x2-ax=h（x），x∈[1，3]，a∈[3，5]，h′（x）=-3x2+2（a+1）x-a=u（x）u′（x）=-6x+2（a+1），在x∈[1，3]上单调递减．u′（1）=2a-4＞0，u′（3）=2a-16＜0．∴存在唯一x0∈（1，3），使得u′（x0）=-6x0+2（a+1）=0，解得x0=∈．h′（1）=2a-1＞0，h′（3）=6a-24＜0．∴函数h（x）在[1，x0）上单调递增，在（x0，3]上单调递减．∴x=x0时，函数h（x）取得极大值即最大值，h（x0）=-+（a+1）-ax0=-+（a+1）-a=．∴λ≥．a∈[3，5]，∴实数λ的取值范围是[，+∞）．a∈[3，5]．【解析】（1）f′（x）=x-（a+1）+=，（x∈（0，+∞））．对a分类讨论，即可得出单调性．（2）不妨设0＜x1＜x2，由（1）可得：a∈[3，5]时，函数f（x）在x∈[1，3]单调递减，根据x1，x2∈[1，3]（x1≠x2），恒有|f（x1）-f（x2）|＜λ|-|，f（x1）-f（x2）＜λ（-），化为：f（x1）-＜f（x2）-，令g（x）=f（x）-=x2-（a+1）x+a ln x-，a∈[3，5]，x∈[1，3]，可得函数g（x）在x∈[1，3]上单调递增，a∈[3，5]，可得g′（x）=x-（a+1）++≥0，在x∈[1，3]上恒成立，a∈[3，5]，化为：λ≥-x3+（a+1）x2-ax=h（x），x∈[1，3]，a∈[3，5]，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（1）α=时，曲线C1的极坐标方程为：θ=；由得（x-）2+（y-1）2=1，即x2+y2-2-2y+3=0，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入得曲线C2的极坐标方程为：ρ2-2ρcosθ-2ρsinθ+3=0（2）将θ=α代入C2的极坐标方程得：ρ2-ρ（2cosα+2sinα）+3=0，由△=（2cosα+2sinα）2-12＞0，得|4sin（α+）|∈（2，4]，设A，B对应的极径为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2=2cosα+2sinα，ρ1ρ2=3，∴|OA|+|OB|=|ρ1|+|ρ2|=|ρ1+ρ2|=|2cosα+2sinα|=|4sin（α+）|∈（2，4]．【解析】（1））α=时，曲线C1的极坐标方程为：θ=；由cos2θ+sin2θ=1可得C2的普通方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ可得C2的极坐标方程；（2）将θ=α代入C2的极坐标方程得：ρ2-ρ（2cosα+2sinα）+3=0，再根据△＞0以及韦达定理、极径的几何意义可得．本题考查了直角坐标方程化极坐标方程、参数方程化普通方程、韦达定理、极径的几何意义，属中档题．23.【答案】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x-2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x-2|+2≤6，|2x-2|≤4，|x-1|≤2，∴-2≤x-1≤2，解得-1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|-1≤x≤3};（2）∵g（x）=|2x-1|，∴f（x）+g（x）=|2x-1|+|2x-a|+a≥3，2|x-|+2|x-|+a≥3，|x-|+|x-|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时，|x-|+|x-|≥|a-1|≥＞0，∴（a-1）2≥（3-a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．【解析】本题考查含绝对值不等式的解法及绝对值不等式的三角不等式,同时考查不等式恒成立问题,是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．（1）当a=2时，由已知得|2x-2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x-1|+|2x-a|+a≥3，得|x-|+|x-|≥，由此能求出a的取值范围．。
2020年全国24省高考数学模拟试卷(理科)(4月份)(含答案解析)
2020年全国24省高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足为虚数单位，则A. B. C. 2i D.2.已知集合，，则A. B.C. D.3.实数x，y满足不等式组，则目标函数的最大值为A. 3B. 4C. 5D. 64.三只小松鼠小芳、小松和点点住在同一棵大松树上，一天它们在一起玩智力游戏．小芳说：今天我们三个有的吃了松子；小松说：今天我们三个有的没吃松子；点点说：今天我没吃松子．已知它们三个中只有一个说的是真的，则以下判断正确的是A. 全吃了B. 全没吃C. 有的吃了D. 有的没吃5.已知，则A. B. C. 或 D. 或6.已知函数，则函数的大致图象是A.B.C.D.7.志愿者团队安排去甲、乙、丙、丁四个精准扶贫点慰问的先后顺序，一位志愿者说：不能先去甲，甲的困难户最多；另一位志愿者说：不能最后去丁，丁离得最远．他们总共有多少种不同的安排方法A. 14B. 12C. 24D. 288.已知函数其中，，离原点最近的对称轴为，若满足，则称为“近轴函数”若函数是“近轴函数”，则的取值范围是A. B.C. D.9.北宋徽宗在崇宁年间年一1106年铸造崇宁通宝钱，因为崇宁通宝版别多样、铜质细腻、铸工精良，钱文为宋徽宗亲笔书写的“瘦金体”，所以后人写诗赞美曰：“风流天子书崇观，铁线银钩字字端”崇宁通宝被称为我国钱币铸造史上的一个巅峰，铜钱直径厘米，中间穿口为边长为厘米的正方形．用一根细线把铜钱悬挂在树枝上，假定某位射手可以射中铜钱，但是射在什么位置是随机的箭头的大小不计这位射手射中穿口的概率最接近A. B. C. D.10.已知四棱锥的底面是等腰梯形，，，，且平面ABCD，则四棱锥的外接球的体积为A. B. C. D.11.已知椭圆E：，直线与椭圆E交于点P，与直线交于点Q，O为坐标原点，且，则椭圆E的离心率为A. B. C. D.12.已知函数的图象在点处的切线方程为，若函数至少有两个不同的零点，则实数b的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数，则______．14.已知点O为坐标原点，向量，，且，则的最小值为______．15.已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，满足，的面积，且，则的周长为______．16.已知双曲线C：：的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上的一点，直线交y轴于点M，交双曲线C的一条渐近线于点N，且M是的中点，，则双曲线C的标准方程为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知正项数列的前n项和为，满足，等比数列满足，．Ⅰ求数列与数列的通项公式；Ⅱ若，求数列的前n项和．18.如图，已知四棱锥的底面ABCD为直角梯形，，，且，，，，E为SC的中点．Ⅰ求证：平面SAD；Ⅱ求平面SAD与平面SBC所成的锐二面角的正弦值．19.已知抛物线C：与直线l：交于A，B两点，O为坐标原点．当时，．Ⅰ求抛物线C的标准方程；Ⅱ点F为抛物线C的焦点，求面积的最小值．20.已知函数．Ⅰ求函数的单调区间；Ⅱ设函数，若对任意恒成立，求实数m的取值范围．21.2019年6月6日，中国商务部正式下发5G商用牌照，中国正式进入5G商用元年．在5G基站的建设中对零部件的要求非常严格，一次质检人员发现有1个次品部件混入了5个正品部件中．从外观看这6个部件是完全一样的，5个正品部件一样重，1个次品部件略轻一些．现有两个方案通过用电子秤称重的办法把次品部件挑出来．A方案：逐一称重，称重一次不能确定是否是次品部件，称重两次，若重量相同则都是正品部件，如果有1个较轻，则是次品部件，结束称重．依次进行，直到挑出次品部件．B方案：把6个部件任意分成3组，每组2个，然后称重．Ⅰ分析A，B两个方案，分别求出恰好称重3次挑出次品部件的概率；Ⅱ如果称重一次需要2分钟，试比较A，B两个方案哪一个用时更少，并说明原因．22.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为，t为参数以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．Ⅰ求曲线C的直角坐标方程；Ⅱ若曲线C上的点到直线l的最大距离为，求的值．23.已知函数．当时，求不等式的解集；若关于x的不等式的解集包含，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：由，得，则．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.答案：B解析：解：，．故选：B．可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．3.答案：C解析：解：由题意作出其平面区域，将化为，z相当于直线的纵截距，则由解得，直线经过A时取得最大值．故的最大值是，故选：C．作出不等式组的平面区域，将化为，z相当于直线的纵截距，由几何意义可得．本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．4.答案：A解析：解：假设小芳说的是真的，小松和点点说的是假的，则“有的吃了”“全吃了”“点点吃了”成立，全吃了成立；假设小芳说的是假话，小松说的是真的，点点说的是假的，则“全没吃”“有的没吃”“点点吃了”有矛盾不成立；假设小芳说的是假的，小松说的是假的，点点说的是真的，则“全没吃”“全吃了”“点点没吃”有矛盾，不成立．综上，判断正确的是“全吃了”．故选：A．假设小芳说的是真的，小松和点点说的是假的，推导出全吃了成立；假设小芳说的是假话，小松说的是真的，点点说的是假的，则“全没吃”“有的没吃”“点点吃了”有矛盾不成立；假设小芳说的是假的，小松说的是假的，点点说的是真的，则“全没吃”“全吃了”“点点没吃”有矛盾，不成立．本题考查命题真假的判断，考查简单的合情推理等基础知识，考查推理能力，是基础题．5.答案：D解析：解：，，或，当时，；当时，；，或．故选：D．由已知利用同角三角函数基本关系式可求，或，分类讨论，利用两角差的余弦函数公式即可求解的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了分类讨论思想，属于基础题．6.答案：B解析：解：，则函数为奇函数，可排除A、D选项；又，可排除C．故选：B．由函数的奇偶性排除选项A、D，由，排除C，进而得出正确选项．本题考查函数的图象和奇偶性的运用，考查数形结合思想，属于基础题．7.答案：A解析：解：根据题意丁扶贫点不能是最后一个去，有以下两类安排方法：丁扶贫点最先去，有种安排方法；丁扶贫点安排在中间位置去，有种安排方法，综合知共有种安排方法．故选：A．由去丁扶贫点的先后顺序入手利用加法原理求出结果．本题主要考查排列、组合中的乘法原理，属于基础题．8.答案：C解析：解：正弦函数，令，所以对称轴方程为，由于，所以，整理得，由于，当时，，当时，，所以的取值范围是．故选：C．直接利用信息的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9.答案：D解析：解：由题可得，铜钱的面积为：平方厘米，穿口面积为平方厘米；所以射手射中穿口的概率为：．故选：D．分别求出各自对应的面积，相比即可求解结论．本题主要考查几何概型以及面积公式，属于基础题目．10.答案：B解析：解：过点A，B，C，D作球O的截面如图：，设AB的中点为，连接，，则，且，四边形是平行四边形，，同理，，是到等腰梯形ABCD的各个顶点距离都相等的点，过点S，A，B作球O的截面，如图：，设BS的中点为O，连接，OA，则，平面ABCD，，又，，点O是四棱锥外接球的球心，在中，，，，故选：B．过点A，B，C，D作球O的截面，得到是等腰梯形ABCD的外心，过点S，A，B作球O的截面，证得点O是四棱锥外接球的球心，在中，利用勾股定理即可求出OA的值，从而求出四棱锥的外接球的体积．本题主要考查了四棱锥外接球半径的求法，是中档题．11.答案：D解析：解：由题可知，点Q的横坐标为，将其代入直线得，，点，，点P的坐标为，将其代入椭圆方程，有，，离心率，化简整理得，，解得舍负．故选：D．由题易知点Q的坐标为，根据，可得点P的坐标为，由于点P 在椭圆上，于是代入椭圆的方程，再结合和离心率，化简整理后即可得解．本题考查椭圆的几何性质、平面向量的线性坐标运算，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．12.答案：B解析：解：，，，．令，得，．当或时，，是增函数；当时，，是减函数．所以时，有极大值；当时，有极小值．所以，若函数至少有两个不同的零点，则，解得．故选：B．先根据函数在处的切线为得到一个关于a，b的关系，然后再根据至少有两个不同零点，列出关于b的不等式．本题考查导数的几何意义，应用导数求函数的极值和零点，同时考查学生的运算能力．13.答案：3解析：解：函数，．故答案为：3．推导出，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.答案：解析：解：向量，，则，而，故的最小值即为坐标原点O到直线上的点的距离的最小值，故最小值．故答案为：．根据，把问题转化为坐标原点O到直线上的点的距离的最小值即可．本题主要考查平面向量的数量积，向量的模长，以及点到直线的距离，属于基础题目．15.答案：解析：解：因为，由余弦定理可得，又因为，由可得，因为，的面积，所以，，由可得，，所以，所以的周长为，故答案为：．由题意及余弦定理及面积可得c，b的值，再有余弦定理可得a的值，进而求出三角形的周长．本题考查余弦定理及面积公式的运用，属于中档题．16.答案：解析：解：不妨设P在第一象限，过N作轴于A，设，因为，所以，因为M是是中点，O是的中点，所以，所以轴，所以，因为：，，，所以，，因为双曲线的一条渐近线方程：，所以，所以，，所以双曲线的标准方程为：．故答案为：．不妨设P在第一象限，过N作轴于A，设，利用已知条件求出c，推出，，结合双曲线的渐近线方程，转化求解a，b，即可得到双曲线方程．本题考查双曲线的简单性质以及双曲线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．17.答案：解：Ⅰ当时，，又，；当时，且，两式相减得，又，，数列是首项、公差均为2的等差数列，故，等比数列满足，，公比，；Ⅱ由Ⅰ知，，由可得：，．解析：Ⅰ利用含有的递推关系式把转化成，注意讨论和两种情况，求出的通项公式后可得与的值，从而求出的通项公式，即可求解；Ⅱ由Ⅰ求出的，可得，再利用错位相减法求数列的前n项和即可．本题主要考查等差、等比数列的通项公式和性质及错位相减法求前n项和，属于中档题．18.答案：Ⅰ证明：如图，取SD的中点F，连接EF，AF，，F分别为SC，SD的中点，为三角形SCD的中位线，则，，又，，四边形ABEF为平行四边形，则，平面SAD，平面SAD，平面SAD；Ⅱ解：设CD的中点为O，连接OS，OB，，，在中，，则．又，，平面SCD．又平面SCD，，，则平面ABCD，，，四边形ABOD为平行四边形，，得平面SCD．以O为坐标原点，分别以OB，OC，OS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则0，，，，0，，1，，，，，．设平面SAD的一个法向量为，由，令，得；设平面SBC的一个法向量为，由，取，得．设平面SAD与平面SBC所成的锐二面角为．．平面SAD与平面SBC所成的锐二面角的正弦值为．解析：Ⅰ结合中位线的性质，通过构造平行四边形找出平面内的平行线，利用直线与平面平行的判定证明；Ⅱ证明直线与平面垂直，直线与直线垂直得到建系条件，以CD中点O为坐标原点，以OB，OC，OS所在直线为x，y，z轴距离空间直角坐标系，分别求出平面sad与平面SBC的法向量，利用两法向量所成角的余弦值求解平面SAD与平面SBC所成的锐二面角的正弦值．本题考查直线与平面平行的判定考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．19.答案：解：Ⅰ当时，直线l为，联立，消去y得，，设点，，则，，，，，解得，抛物线C的方程为．Ⅱ由点到直线的距离公式可知，点到直线l的距离．联立得，，，，弦长，当时，有最小值，且为3．解析：Ⅰ联立直线与抛物线的方程，利用根与系数的关系表示出的条件，列出关于p 的方程，解之即可得解；Ⅱ利用点到直线的距离公式可求出的以AB为底边的高，联立直线与抛物线的方程，写出根与系数的关系，代入直线截抛物线的弦长公式中可得到，从而表示出的面积，化简整理后，结合二次函数的性质即可得解．本题考查求抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、面积中的最值问题等，解题的关键是灵活运用点到直线的距离公式、弦长公式、平面向量垂直的条件等，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.答案：解：Ⅰ由题意得函数的定义域为R，，令，解得或，易知，当时，，当时，，的单调递增区间为，，单调递减区间为；Ⅱ对任意恒成立，即，令，则，解得，当时，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，有极大值也是最大值，且，令，解得，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，当时，有极小值也是最小值，且，要使，只要，即，实数m的取值范围为．解析：Ⅰ结合已知条件利用导数判断函数的单调性，确定函数的单调区间；Ⅱ将不等式恒成立问题转化为函数极值和最值的求解，进而即可求解．本题考查利用导数研究函数的单调性，求函数的极值与最值问题，不等式恒成立求参数的取值范围，考查运算求解能力及推理论证能力，考查数学运算及逻辑推理等核心素养，属于中档题．21.答案：解：Ⅰ方案：称重一次不能确定是否是次品部件，称重两次，若重量相同则都是正品邮件，如果有1个较轻，则是次品部件，结束称重，依次进行，直到挑出次品部件，恰好称重3次挑出次品部件，说明前2次重量相同，都是正品部件，第3次重量较轻，是次品部件，所以恰好称重3次挑出次品部件的概率．B方案：把6个部件任意分成3组，每组2个，第1次稳重不能确定是否有次品部件，第2次称重如果和第1次不同，说明次品部件在较轻的一组中，如果和第一次相同，说明次品部件在第3组，第3次取有次品部件的那一组中的任意1个称重，如果等于两个正品部件一组重量的一半，则另一个是次品部件，如果等于两个正品部件一组重量的一半轻，说明称的这一个就是次品部件，恰好称重3次挑出次品部件的概率．Ⅱ设A方案称重时为随机变量X，则X的所有可能取值为4，6，8，10，，，，，随机变量X的分布列为：X 4 68 10P分钟，方案需要用时7分钟，B方案只需且必须称重3次，所以用时为6分钟，，方案用时更少．解析：Ⅰ方案：称重一次不能确定是否是次品部件，称重两次，若重量相同则都是正品邮件，如果有1个较轻，则是次品部件，结束称重，依次进行，直到挑出次品部件，由此能求出恰好称重3次挑出次品部件的概率；B方案：把6个部件任意分成3组，每组2个，第1次稳重不能确定是否有次品部件，第2次称重如果和第1次不同，说明次品部件在较轻的一组中，如果和第一次相同，说明次品部件在第3组，由此能推导出恰好称重3次挑出次品部件的概率．Ⅱ设A方案称重时为随机变量X，则X的所有可能取值为4，6，8，10，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和EX，进而得到A方案需要用时7分钟，B方案只需且必须称重3次，所以用时为6分钟，从而B方案用时更少．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．22.答案：解：Ⅰ曲线C的极坐标方程为整理得，转换为直角坐标方程为．Ⅱ由于，该圆是以为圆心，1为半径，已知直线l的参数方程为，t为参数转换为直角坐标方程为曲线C上的点到直线l的最大距离为，所以：圆心到直线l的距离解得．解析：Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：当时，函数，不等式等价于或或；解得，或；所以不等式的解集为；不等式的解集包含，即在上恒成立，当时，不等式化为，即，解得，即；所以，解得；当时，不等式化为，即，解得，即对任意恒成立；所以，解得；综上知，实数a的取值范围是．解析：本题考查了含有绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．时函数，利用分段讨论法去掉绝对值，求不等式的解集即可；不等式的解集包含，即不等式在上恒成立，讨论x的取值，去掉绝对值，把不等式化为关于的不等式，再求实数a的取值范围．。
高三数学理科4月模拟考试题及答案
黄浦区高考模拟考数学试卷(理科)(4月14日)考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一．填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．函数()f x =的定义域是 ． 2．已知全集{}2U =-，-1，0，1，2，集合2|1A x x x n Z n ⎧⎫==∈⎨⎬-⎩⎭，、，则U C A = ． 3．已知函数1()y fx -=是函数1()2(1)x f x x -=≥的反函数，则1()f x -= (要求写明自变量的取值范围)．4．双曲线22231x y -=的渐近线方程是 ． 5．若函数()2cos(4)17f x x π=+-与函数()5tan(1)2g x ax =-+的最小正周期相同，则实数a = ．6．已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，*()n S n N ∈是数列的前n 项和，则2lim1nn S n →∞-= ．7．直线110l y -+=，250l x +=：，则直线1l 与2l 的夹角为= ． 8．已知01()m m R <<∈，α是方程210x mx ++=的根，则||α= ． 9．2151()x x-的二项展开式中的常数项是 (用数值作答) ．10．已知12e e 、是平面上两个不共线的向量，向量122a e e =-，123b me e =+．若a b ，则实数m = ．11．已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 与球O 的表面积相等，则它们的体积之比V V 圆柱球：= (用数值作答)．12．已知角αβ、的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，(0)αβπ∈、，，角β的终边与单位圆交点的横坐标是13-，角αβ+的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α= ．13．一个不透明的袋中装有白球、红球共9个(9个球除颜色外其余完全相同)，经充分混合后，从袋中随机摸出2球，且摸出的2球中至少有一个是白球的概率为56，现用ξ表示摸出的2个球中红球的个数，则随机变量ξ的数学期望E ξ= ．14．已知点1212(2)(2)x x A x B x ，、，是函数2xy =的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB 总是位于A 、B 两点之间函数图像的上方，因此有结论121222222x x x x ++>成立．运用类比思想方法可知，若点1122(sin )(sin )A x x B x x ，、，是函数sin ((0))y x x =∈π，的图像上的不同两点，则类似地有 成立．二．选择题(本大题满分16分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分． 15．已知x a α≥：，1|1x β-<：|．若α是β的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是 [答]( ) A ．0a ≥． B ．0a ≤． C ．2a ≥． D ．2a ≤．16．在极坐标系中，圆C 过极点，且圆心的极坐标是()a π，(a 是正数)，则圆C 的极坐标方程是[答]( )A ．32cos ()22a ππρ=-θ≤θ<． B ．cos (0)a ρ=θ≤θ<π． C ．32sin ()22a ππρ=-θ≤θ<． D ．sin (0)a ρ=θ≤θ<π．17．已知直线1l ax by +=：，点()P a b ，在圆C ：221x y +=外，则直线l 与圆C 的位置关系是 ． [答]( )A 相交B 相切C 相离D 不能确定 18．现给出如下命题：(1)若直线l 与平面α内无穷多条直线都垂直，则直线l α⊥平面； (2)空间三点确定一个平面；(3) 先后抛两枚硬币，用事件A 表示“第一次抛出现正面向上”，用事件B 表示“第二次抛出现反面向上”，则事件A 和B 相互独立且()P AB =111()()224P A P B =⨯=； (4)样本数据11011--，，，，的标准差是1． 则其中正确命题的序号是 [答]( ) A ．(1)、(4)． B ．(1)、(3)． C ．(2)、(3)、(4)． D ．(3)、(4)．A B CD C 1 D 1 A 1B 1三．解答题(本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．在ABC ∆中，记BAC x ∠=(角的单位是弧度制)，ABC ∆的面积为S ，且8AB AC ⋅=≤≤，4S ．(1)求x 的取值范围；(2)就(1)中x 的取值范围，求函数22()()2cos 4f x x x π=++最小值．20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ． (1)求点1C 到平面11AB D 的距离；(2)求平面11CDD C 与平面11AB D 所成的二面角(结果用反三角函数值表示)．21．(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分．已知函数42()(1)1x f x x x R x -=≠-∈+，，数列{}n a 满足 1(1)a a a a R =≠-∈，，*1()()n n a f a n N +=∈．(1)若数列{}n a 是常数列，求a 的值； (2)当14a =时，记*2()1n n n a b n N a -=∈-，证明数列{}n b 是等比数列，并求出通项公式n a ． 22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分5分．已知函数21()log (01)1am mxf x a a x --=>≠+，是奇函数，定义域为区间D (使表达式有意义的实数x 的集合)．(1)求实数m 的值，并写出区间D ；(2)若底数1a >，试判断函数()y f x =在定义域D 内的单调性，并说明理由； (3)当[)x A a b ∈=，(A D ≠⊂，a 是底数)时，函数值组成的集合为[1)+∞，，求实数a b、的值．23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知点P 是直角坐标平面内的动点，点P 到直线12l x =-：的距离为1d ，到点(10)F -，的距离为2d，且212d d =．(1)求动点P 所在曲线C 的方程；(2)直线l 过点F 且与曲线C 交于不同两点A 、B (点A 或B 不在x 轴上)，分别过A 、B 点作直线1:2l x =-的垂线，对应的垂足分别为M N 、，试判断点F 与以线段MN 为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；(3)记1FAM S S ∆=，2FMN S S ∆=，3FBN S S ∆=(A 、B 、M N 、是(2)中的点)，问是否存在实数λ，使2213S S S =λ成立．若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．进一步思考问题：若上述问题中直线21:a l x c=-、点(0)F c -，、曲线C：22221(0x y a b c a b +=>>=，，则使等式2213S S S =λ成立的λ的值仍保持不变．请给出你的判断 (填写“不正确”或“正确”)(限于时间，这里不需要举反例，或证明)．黄浦区高考模拟考数学试卷(理科)(4月14日)参考答案和评分标准说明：1、本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分。
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C . 可能为圆，也可能为椭圆
D . 既不是圆，也不是椭圆
5. （2分） (2018·呼和浩特模拟) 已知 是双曲线 的上、下两个焦点，过 的直线与双曲线的上下两支分别交于点 ，若 为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2018·长安模拟) 某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体的体积为（ ）
（1）当 时，求函数h（x）=f（x）•g（x）的值域；
（2）若对任意的x∈[1，8]，不等式f（x3）•f（x2）＞kg（x）恒成立，求实数k的取值范围．
参考答案
一、 一.选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、答案：略
9-1、答案：略
10-1、答案：略
（1） 求第4局甲当裁判的概率；
（2） X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．
19. （15分） (2018高二下·巨鹿期末) 如图,棱锥 的地面 是矩形, 平面 , , .
（1） 求证: 平面 ;
（2） 求二面角 的大小;
（3） 求点 到平面 的距离.
20. （10分） (2017高二上·南阳月考) 已知点 为坐标原点， 是椭圆 上的两个动点，满足直线 与直线 关于直线 对称.
A .
B .
C .
D .
二、 填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2018高一下·黄冈期末) 在△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积 ，则三角形外接圆的半径为________
14. （1分） (2016·安庆模拟) 计算Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn ， 可以采用以下方法：构造等式：Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn=（1+x）n ， 两边对x求导，得Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+nCnnxn﹣1=n（1+x）n﹣1 ， 在上式中令x=1，得Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n﹣1 ． 类比上述计算方法，计算Cn1+22Cn2+32Cn3+…+n2Cnn=________．
23-2、
24-1、
高考数学模拟试卷（理科）（4月份）
姓名:________班级:________ 成绩:________
一、 一.选择题 (共12题；共24分)
1. （2分） 函数 的定义域为集合A，函数 的定义域为B，则
A .
B .
C .
D .
2. （2分） (2018高三上·深圳月考) 设集合 ， ，则 （ ）
A .
15. （1分）Leabharlann 观察下列各式：……
照此规律，当n N时，
________ .
16. （1分） 已知a、b、x是实数，函数f（x）=x2﹣2ax+1与函数g（x）=2b（a﹣x）的图象不相交，记参数a、b所组成的点（a，b）的集合为A，则集合A所表示的平面图形的面积为________
三、 三.解答题 (共8题；共70分)
A .
B .
C .
D . 2
11. （2分） 过双曲线 的左焦点 作圆 的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若 ， 则双曲线的离心率为（ ）
A .
B .
C .
D .
12. （2分） (2018高一下·濮阳期末) 若将函数 的图形向右平移 个单位，所得图象关于 轴对称，则 的最小正值是（ ）
A .
B .
C .
D .
7. （2分） 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是增函数．令a=f（sin ），b=f（cos ），c=f（tan ），则（ ）
A . b＜a＜c
B . c＜b＜a
C . b＜c＜a
D . a＜b＜c
8. （2分） 执行如右图所示的程序框图，输出的k的值是（ ）
（1） 证明直线 的斜率为定值，并求出这个定值；
（2） 求 的面积最大时直线 的方程.
21. （5分） (2018·北京) 设函数 =[ -(4a+1)x+4a+3] .
（I）若曲线y= f（x）在点(1, )处的切线与X轴平行,求a：
(II)若 在x=2处取得极小值，求a的取值范围。
22. （5分） 已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．
A . 9
B . 10
C . 11
D . 12
9. （2分） 已知向量 =(sinθ,-2), =(1,cosθ)，且 ， 则sin2θ+cos2θ的值为（ ）
A . 1
B . 2
C .
D . 3
10. （2分） 若双曲线 （a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相切，则此双曲线的离心率等于（ ）
17. （10分） (2018高一下·台州期中) 在 中，角 的对边分别为 ，且 ， .
（1） 求 的值；
（2） 若a=2，求 的面积.
18. （10分） (2013·大纲卷理) 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为 ，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．
11-1、答案：略
12-1、
二、 填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、 三.解答题 (共8题；共70分)
17-1、
17-2、
18-1、答案：略
18-2、
19-1、答案：略
19-2、
19-3、答案：略
20-1、答案：略
20-2、答案：略
21-1、
22-1、
23-1、答案：略
B .
C .
D .
3. （2分） (2019高一下·三水月考) 已知等差数列 中， ，则 （ ）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） 对于直角坐标平面xoy内的点A(x,y)（不是原点），A的“对偶点”B是指：满足|OA||OB|=1且在射线OA上的那个点. 则圆心在原点的圆的对偶图形（ ）
A . 一定为圆
（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；
（Ⅱ）求BC的长．
23. （10分） (2018高二上·陆川期末) 平面直角坐标系中,已知曲线 ,将曲线 上所有点横坐标,纵坐标分别伸长为原来的 倍和 倍后,得到曲线
（1） 试写出曲线 的参数方程;
（2） 在曲线 上求点 ,使得点 到直线 的距离最大,并求距离最大值.
24. （5分） 已知函数f（x）=4﹣log2x，g（x）=log2x．