2020届数学理科高考模拟汇编卷

2020届数学理科高考模拟汇编卷（五）

1、已知复数()i z a b a b =+∈R ,，若34i 55z z

=-+，则a

b =( )

B.

1

2

C.2±

D.12

±

2、若集合{}1,2,3,4,5A =,集合{}|(4)0B x x x =-<，则图中阴影部分表示（ ）

A. {}1,2,3,4

B. {}1,2,3

C. {}4,5

D. {}1,4

3、若a b 、均为实数，则“0,0a b >>”是“2b a a

b

+≥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

4、若函数()223g x x +=+，则()3g 的值为( ) A ．9 B ．7

C ．5

D ．3

5、若3

tan 4

α=,则2cos 2sin 2αα+= ( ) A.

64

25

B. 4825

C. 1

D.

1625

6、如图所示,点O 是正六边形ABCDEF 的中心,则OA OC OE ++=u u u r u u u r u u u r

( )

A.0r

C.AE u u u r

D.EA u u u r

7、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数, 例如:他们研究过图(1)中的1,3,6,10,···,由于这些数能表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图(2)中的1,4,9,16,···这样的数称为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）

8、若ln2a =，12

5b -=，π

20

1cos 2c xdx =?，则a ,b ,c 的大小关系（ ）

A. a b c <<

B.b a c <<

C.c b a <<

D.b c a <<

9、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个侧面中最大的侧面的面积为（ ）

A ．

22

B 3

C ．

52

D 2

10、已知球O 是三棱锥P ABC －的外接球，1PA AB PB AC ＝＝＝＝，2CP =D 是

PB 的中点，且7

2

CD =

，则球O 的表面积为（ ） A.

7π3 B.

7π6

C.

21π

21

D.

21π

54

11、若0,01a b c >><<,则( ) A. a b log c log c <

B. c c log a log b <

C. c c a b <

D. a b c c <

12、已知,A B 是过抛物线22y px =(0)p >焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且

满足2AF FB =u u u r u u u r

,||OAB S AB ?=,则抛物线的标准方程为（ ）

A ．24y x =

B ．21

4

y x = C ．28y x =

D ．21

8

y x =

13、若不等式240x ax ++≥对一切(]0,1x ∈恒成立，则a 的取值范围是___________________ 14、某学生对函数()sin f x x x =进行研究后，得出如下四个结论： ①函数()f x 在,22ππ??

-

????

上单调递增； ②存在常数0M >，使()||||f x M x ≤对一切实数x 都成立； ③函数()f x 在()0,π上无最小值，但一定有最大值； ④点(),0π是函数()y f x =图象的一个对称中心， 其中正确的是__________.

15、已知函数()2,24,x x m

f x x mx m x m

?≤=?-+>?其中0m >.若存在实数b,使得关于x 的方程

()f x b =有三个不同的根,则m 的取值范围是__________.

16、已知x 与y 之间的一组数据如下表所示：

当m 变化时，回归直线$y bx a =+必经过定点________.

17、在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足222

2

cos 3cos 2a b c a B A c c +-?+

=. (1)如sin 2

c

C =，求a .

(2)若ABC S =△3b c +=，求ABC △外接圆的面积.

18、某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图．

（1）求直方图中x 的值； （2）求月平均用电量的众数和中位数；

（3）在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？ 19、如图,在多面体ABCDEF 中,2AB DE EF AD ===,平面CDE ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 为矩形,//BC EF ,点G 在线段CE 上,且22

2EG GC AB ==

(1)求证DE ⊥平面ABCD (2)求二面角E DG F --的正弦值

20、已知12,F F 是椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．

（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；

（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.

21、已知函数21

()e

x

ax bx f x ++=． （Ⅰ）当1a b ==时，求函数()f x 的极值；

（Ⅱ）若()11f =，且方程()1f x =在区间()0,1内有解，求实数a 的取值范围．

22、已知曲线15cos :sin x C y θθ

?=??=??(θ为参数,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐

标系,曲线2C 的极坐标方程为2sin cos ρθθ=． （1）写出曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程

（2）若过点()2,0P 的直线l 与曲线1C 交于点A 、B ,与曲线2C 交于点C 、D ,求AB PC PD

的取

值范围．

23、[选修4-5:不等式选讲] 已知函数()21f x x x =-+ (1)作出函数()f x 的图象；

(2)若不等式()f x m x <+的解集为非空集合A ,且(,1]A ?-∞，求m 的取值范围.

答案以及解析

1答案及解析： 答案：B

解析：由i z a b =+，得i z a b =-，所以

i 34

i i 55

a b a b +=-+-, 即222222

234i i 55a b ab a b a b -+=-+++，由复数相等，得2222223

5245a b a b ab a b -????=-+=

+???,得12a b =，故选B.

2答案及解析： 答案：A

解析：解：图中阴影部分表示的集合是()A C A B I ， ∵40{|}B x x x =-（）＜，即0{}4|B x x x =＜或＞， ∴{}5A B =I ， ∵集合12{}345A =，，，，， ∴{}()1,2,3,4A C A B =I . 故选A.

3答案及解析：

答案：A

解析：若0,0a b >>,

则2

b a a b +=…，故充分性成立，

若0,0a b <<,满足0,0

b a

a b >>

满足2b a a b +=…，但0

0a b >>，不成立， 故“0,0a b >>”是“2

b a

a b +…”的充分不必要条件

4答案及解析：

解析：令23x +=,解得1x =代入()223g x x +=+，即()35g =.故选C.

5答案及解析： 答案：A 解析：由3tan 4α=

,得34sin ,cos 55αα==或34

sin ,cos 55αα=-=-,所以2161264

cos 2sin 24252525

αα+=+?=,故选A.

6答案及解析： 答案：A

解析：∵,OA OC OB OB OE +==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,∴0OA OC OE OB OE ++=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r

,故选A.

7答案及解析： 答案：C

解析：由图形可得三角形数构成的数列通项(1)2

n n

a n =

+, 同理可得正方形数构成的数列通项2

n b n =,

而所给的选项中只有1225满足249354950

3512252

a b ?====。 故选C .

8答案及解析： 答案：D

解析：1

5

21a =>,12

15?

2b -

=<,ππ

22

00111cos sin |222

c xdx x ??=== ????， 故a c b >>， 故答案选：D.

9答案及解析：

解析：将该几何体放入在正方体中,且棱长为1,如图：

由三视图可知该三棱锥为1C ABD -，

1112

1222

ABC ADC S S ??==?=.

1

2

2

12321222BDC S ?=+?? ? ?=??

. 故该三棱锥的各个侧面中最大的侧面的面积为13

2

BDC S ?=.

10答案及解析： 答案：A

解析：由1,2PA AB PB AC CP =====

PA AC ⊥.由点D 是PB 的中点及

PA AB PB ＝＝，易求得32AD =

，又7

2

CD =，所以AD AC ⊥，所以AC ⊥平面PAB .以PAB ?为底面，AC 为侧棱补成一个直三棱柱，则球O 是该三棱柱的外接球，球心O 到底面PAB ?的距离11

22d AC =

=，由正弦定理得PAB ?的外接圆半径2sin 603

PA r =

=?所以球O 的半径为22712R d r =+=

O 的表面积为27π

4π3

S R ＝＝.

11答案及解析： 答案：B

解析： 对于选项A lg lg log ,log lg lg a b c c

c c a b

=

=，∵01c <<，∴lg 0c <，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以他们的大小不能确定，所以A 错误;对于选项B ，lg lg log .log ,lg lg lg lg c c a b a b a b c c =

=>，两边同乘以一个负数1

lg c

改变不等号方向，所以B 选项正确；对于选项C ，利用c y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误；对于选项D ，利用x y c =在R 上位减函数易得a b c c <，所以D 错误，所以本题选B 。

12答案及解析： 答案：A

解析：设1122(,),(,)A x y B x y , 2AF FB =u u u r u u u r ，则122y y =-，又由抛物线焦点弦性质，

2

12y y p =-，所以22

22y p -=-，得212

,22

y p y p ==，11322AF BF BF p +== ， 得339,,424BF p AF p AB p =

==。21213229

(|))22834

OAB p S y y p p ?=??+==? ，

得2p = ，抛物线的标准方程为

2

4y x =，故选A

13答案及解析： 答案：[)5,-+∞

解析：变形为恒成立

14答案及解析： 答案：②③

解析：①()()()sin f x x x f x -=--=,易知()f x 是偶函数,因此()sin f x x x =在

,22ππ??

-????

上不可能单调递增；

②取1M =即可说明结论是正确的;

③由②知()f x x ≤,故在()0,π一定有最大值,由于()0f x >,且和0无限靠近,因此无最小值; ④333,,222222f f f f πππ

πππ????????

? ? ? ????????==-≠?

-.故点(),0π不是函数()y f x =图像

的一个对称中心.

15答案及解析： 答案：()3,+∞

解析：由题意方程()0f x b -=有三个不同的根, 即直线y b =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点. 作出函数()2,24,x x m

f x x mx m x m

?≤=?-+>?的图象,

如图所示.若存在实数b,使方程()0f x b -=有三个不同的根, 则2 4m m m >-+,即230m m ->. 又因为0m >,所以3m >, 即m 的取值范围为()3,+∞.

16答案及解析： 答案：3,42??

???

解析：因为回归直线一定经过样本点的中心()

,x y ，又

01233135272,4424

m m

x y +++++-++=

===，所以回归直线y bx a =+必过定

点3,42??

???

.

17答案及解析：

答案：(1)由题干及余弦定理，得2

2cos cos 3cos 2a bc A

B A c c ?+

=，即 cos cos 3cos a B b A c A +=. 由正弦定理，得sin cos sin cos 3sin cos A B B A C A +=，

所以()sin 3sin cos A B C A +=.因为sin 0C ≠，所以3cos 1A =，解得1

cos 3

A =，所以

sin A ，

又sin 2c C =，所以由正弦定理，得2sin sin a c A C ==，所以a .

(2)由(1)知，1cos 3A =，sin A =，

所以1sin 2ABC S bc A =△12bc =3bc =.

又()2

221

cos 23

b c bc a A bc +--=

=，3b c +=，所以1a =.

由正弦定理可得，2

sin a R A =

=，解得R .

所以ABC △外接圆的面积2

9

ππ32

S R ==

. 解析：

18答案及解析：

答案：（1）由图可得：(0.0020.00950.0110.01250.0050.0025)201x ++++++?= 解得：0.0075x =

（2）由图可得月平均用电量的众数是

220240

2302

+= (0.0020.00950.011)200.450.5++?=

(0.0020.00950.0110.0125)200.70.5+++?=>

∴月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，

则(0.0020.00950.011)200.0125(220)0.5a ++?+?-= 解得：224a =

∴月平均用电量的中位数是224.

（3）由图可得：月平均用电量为[220,240)的用户有 5×20×100＝25户，月平均用电量为[240,260)的用户有 5×20×100＝15户，月平均用电量为[260,280)的用户有×20×100＝10户，月平均用电量为[280,300]的用户有 5×20×100＝5户，抽取比例111

25151055

=

=+++，

∴月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取1

2555

?=户．

解析：

19答案及解析：

答案：(1)因为四边形ABCD 为矩形,所以CD AB = 因为AB DE =,所以CD DE = 因为G 在线段CE 上,且22

2EG GC AB == 所以22EC AB CD == 所以222DE CD EC += 所以DE CD ⊥

又平面CDE ⊥平面ABCD ,平面CDE ?平面ABCD CD =,DE ?平面CDE 所以DE ⊥平面ABCD

(2)由(1)知,DE ⊥平面ABCD ,且AD DC ⊥

故以D 为坐标原点,,,DA DC DE 所在的直线分别为,,x y z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -

,

设1AD =,则42

(1,0,0),(0,0,0),(2,0,2)(0,,)33

A D F G

所以(2,0,2)DF =u u u r ,42(0,,)33

DG =u u u r

因为平面CDE ⊥平面ABCD ,平面CDE ?平面,ABCD CD AD DC =⊥ 所以AD ⊥平面CDE

所以平面EDG 的一个法向量为(1,0,0)DA =u u u r

设平面DGF 的一个法向量(,,)m x y z =,则0

m DF m DG ??=???=??u u u r u u u r

所以220

42

03

3x z y z +=???+=??,令3y =,可得6,6z x =-= 故平面DGF 的一个法向量(6,3,6)m =-

所以2

cos ,3

m DA m DA m DA ?<>==

=?u u u r

u u u r u u u r 设二面角E DG F --的平面角为α,易知π(0,)2α∈,所以2

cos 3α=,

所以sin α==故二面角E DG F --

解析：

20答案及解析：

答案：（1）连结1PF ，由2POF △为等边三角形可知在12F PF △中，1290F PF ∠=?，2PF c =

，1PF =

，于是1221)a PF PF c =+=，故C

的离心率是1c

e a

=

=. （2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在当且仅当1||2162y c ?=，1y y

x c x c

?=-+-，

22

22

1x y a b +=，即||16c y =，① 222x y c +=，②

22

22

1x y a b +=，③

由②③及2

2

2

a b c =+得42

2b y c =，又由①知22

216y c

=，故4b =.

由②③得()22

22

2a x c b c

=-，所以22c b ≥，从而2222232,a b c b =+≥=故a ≥

当4b =，a ≥P .

所以4b =，a 的取值范围为)+∞. 解析：

21答案及解析：

答案：（Ⅰ）当1a b ==时，21()e x x x f x ++=，则2

()e x

x x f x -'=，

解不等式()0f x '>，得01x <<，所以，函数()f x 在()0,1上单调递增；

解不等式()0f x '<，得0x <或1x >，所以，函数()f x 在(),0-∞和()1,+∞上单调递减，

因此，函数()f x 的极小值为(0)1f =，极大值为3

(1)e

f =；

（Ⅱ）由(1)1f =得e 1b a =--，由()1f x =，得2e 1x ax bx =++，

设()2

e 1x

g x ax bx =---，则()g x 在()0,1内有零点，设0x 为()g x 在()0,1内的一个零点，

由()()010g g ==知，()g x 在()00,x 和()0,1x 上不单调，

设()()h x g x '=，则()h x 在()00,x 和()0,1x 上均存在零点，即()h x 在()0,1上至少有两个零点．

()()e 2,e 2x x g x ax b h x a ''=--=-．

当1

2a ≤

时，()0h x '>，()h x 在()0,1上单调递增，()h x 不可能有两个及以上的零点； 当e

2a ≥时，()0h x '<，()h x 在()0,1上单调递减，()h x 不可能有两个及以上的零点；

当1e

22

a <<时，令()0h x '=，得()()ln 20,1x a =∈， 所以，()h x 在()()0,ln 2a 上单调递减，在()()

ln 2,1a 上单调递增，

()h x 在()0,1上存在极小值()()ln 2h

a ，

若()h x 有两个零点，则有()(

)

()()ln 20,00,10h a h h <>>,

()()()1

e ln 232ln 21e 2

2h a a a a a ??=-+-<< ???，

设()()3ln 1e 1e

2m x x x x x =

-+-<<，则()1

ln 2

m x x '=-，令()0m x '=，得x =

当1e x <<时，()0m x '>，函数()m x 单调递增；当e e x <<时，()0m x '<，函数()m x 单调递减． 所以，()()max e e 1e<0m x m

==

+-，所以，()()

ln 20h a <恒成立，

由()()01e+2>0,h 1e 20h b a a b =-=-=-->,得e 21a -<<． 解析：

22答案及解析：

答案：（1）曲线15cos :sin x C y θθ

?=??=??(θ为参数,转换为直角坐标方程为2

215x y +=曲线2C 的

极坐标方程为2sin cos ρθθ=转换为直角坐标方程为2y x =．

（2）设l 的参数方程：2cos sin x t y t θθ

=+??=?代入2215x y +=,得()

22

14sin 4cos 10t t θθ++-=,

∴1225

AB t t =-=

．

l 的参数方程：2cos sin x t y t θ

θ

=+??=?代入2y x =得22sin cos 20t t θθ--=,

∴3422

sin PC PD t t ?==

θ

． ∵

21234

5sin 5AB t t PC PD t t ?-θ=

= ???

，(]sin 0,πθ∈ ∴

AB

PC PD ?的取值范围为5? ??

． 解析：

23答案及解析：

答案：(1)由已知得，131,2

()2111,2

x x f x x x x x ?

-≥??=-+=??-+<

??，

所以作出()f x 的图像如图所示.

(2)如图，作出y x =的图像，则当0m ≤时，不等式()f x m x <+的解集为空集， 因而不等式()f x m x <+的解集为非空集合时，0m >.

将函数y x =的图像向上平移， 由31y m x x =+=-得1

2

m x +=， 因为(,1]A ?-∞，所以

1

12

m +≤， 解得1m ≤，从而m 的取值范围为(0,1]. 解析：