地震子波反褶积程序

盲信号实验报告

盲解卷积算法

姓名：丁宪成

系别：电信学院

专业：电磁场与微波

学号：3110035012

指导教师：陈文超2011年07月13日

盲解卷积算法

1. 原理：

几个重要概念：

1.1 褶积模型假设：

假设1：地层是由具有常速的水平层组成；

假设2：震源产生一个平面压缩波(P 波)，法向入射到层边界上，在这种情况下，不产生剪切波(S 波)；

假设3：震源波形在地下传播过程中不变，即它是稳定的； 假设4：噪音成分是零；

假设5：震源波形是已知的；

假设6：反射系数序列是一个随机过程。这意味着地震记录具有地； 震子波的特征，即它们的自相关和振幅谱是相似的；

假设7：地震子波是最小相位的，因此，它有一个最小相位的逆。

1.2 反滤波

如果定义滤波算子为f (t),则f (t) 与已知地震记录x(t)的褶积得到一个对地层脉冲响应e(t)的估计

e(t) = f (t)∗ x(t)； （1） x(t) = w(t)* f (t)* x(t)； （2） δ(t) = w(t)* f (t)； （3）

1()()*()

f t t w t δ= （4） 用流程图表示为：

1.3 震源反子波

计算震源反子波在数学上是利用z 变换来实现的。例如，假设基本子波为两点时间序列（1，－0.5)

1()12w z z =-2111()1 (12412)

F z z z z ==+++-； （5） 2111()1 (12412)

F z z z z ==+++- （6） ()F z 的系数11(1,,,...)24

代表逆滤波算子f(t)有关的时间序列。可以看出它有无限多个系数，然而它们递减的很快。如同任何滤波过程一样，

实际应用的算子都是被截断的。

1.4 最小平方反滤波

当输入子波良好，其z 变换的逆可以用一收敛序列表示，则上面所描述的反滤波将得到一个很好的近似于尖脉冲的输出.将下面问题列出方程式：给定输入子波(1－0.5)，寻找一个二项滤波器(a,b)，使实际输出与期望输出(1,0,0)之间的误差在最小二乘的意义上最小。将滤波器(a,b)与输入子波(1,-0.5)褶积以计算实际输出。误差的累积能量L 定义为实际的与期望的输出的系数之差的平方和：

2

22(1)()()22a b L a b =-+-+- （7） 目的是寻找系数(a,b)使L 最小，这要求变量L 随系数(a,b)而变并使之为零对上式进行简化，取L 对a 和b 的偏导数，并使其为零，得到： 522502a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩

（8） 有两个方程和两个未知数即滤波器系数(a,b)，可变成下列普通矩阵形式：

5/21215/20a b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭

（9） 求解滤波系数，我们得到(a,b)为(0.95,0.38)。

1.5 最佳维纳滤波器

回顾研究反滤波和最小平方滤波时讨论的期望输出，即零延迟尖脉冲(1,0,0)。重写最小平方反滤波的求解方程如下：

5/41/2221/25/40a b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭

（10） 两边同时除以2得到：

上述结论被维纳普遍化以推导出将输入转换为任意期望输出的滤波器(Robinson 和Treltel ，1980)。一个滤波器长度为n 的矩阵方程的普遍形式是：

（11）

式中i r 、i a 和i g (i ＝0,l,2,3,…,n -1)分别为输入子波自相关、维纳滤波系数和期望输出与输入子波的互相关。其计算过程的流程图可以用下面图形表示为：

与最小平方滤波的联系：最佳维纳滤波器0121(,,,...)n a a a a -是最佳的，是指它的实际输出与期望输出之间的最小平方误差最小。当期望输出是零延迟尖脉冲(1,0,0,…,0)时，维纳滤波与最小平方滤波相同，即后者是前者的特例。

1.6 脉冲反褶积

第一类期望输出(零延迟尖脉冲)的处理称为脉冲反褶积。期望脉冲 (1,0,0,…,0)与输入子波011(,,...,)n x x x -的互相关得到序列(1,0,0,…,0)。正则方程的一般形式改写成特殊形式：

(12) 方程已用作了归一化。在前面讨论过的最小平方反滤波器有与矩阵方程相同的形式。因此，脉冲反褶积在数学上是与最小平方反滤波相同的。而在实际上两类滤波器有一些区别。在脉冲反褶积(统计反褶积)的情况，方程在左边的自相关矩阵由输入地震记录(假设6)求得，而在最小平方反滤波(确定性反褶积)的情况则直接由已知的震源子波求得。

结论：如果输入子波不是最小相位，则脉冲反褶积不能将它

转化为完全的零延迟尖脉冲。虽然振幅谱实质上是平的，但

输出的相位谱不是最小相位的。而且脉冲反褶积算子是输入子波的最小相位对应的子波的逆，这个子波可以是也可以不是最小相位的。

1.7 整形子波滤波器处理

脉冲反褶积将子波(-0.5,1)压缩为零延迟尖脉冲(1,0,0)时有些困难。从能量分布来说，这个输入子波更接近于延迟尖脉冲，如(0,1,0)，而不是零延迟尖脉冲(1,0,0)。或者，将子波(-0.5,1)转换为延迟尖脉冲的滤波器会比将它整形为零延迟尖脉冲的滤波器产生更少的误差。根据最佳维纳滤波器的流程图重新设计和应用一个滤波器(期望输出为

(0,1,0))。首先，计算互相关。我们知道输入子波的自相关。将互相关和子波自相关的结果代入前述矩阵方程，得到：

(13)

求解滤波器系数，结果为

162

(,)(,)

2121

a b=-。这个滤波器用于输入子

波，如下表所示。和我们期望的一样，输出结果与最小平方滤波的输出结果一样。

可以看出，对于延迟尖脉冲，实际输出与期望输出的最小平方误差为0.190；而对期望输出的零延迟尖脉冲，最小平方误差为0.762。这表明，将子波(－0.5,1)转换为延迟尖脉冲(0,1,0)比零延迟尖脉冲(1,0,0)误差小。

2.实验内容

地震记录信号是地震子波与地层脉冲响应相卷积的结果，如果我们要想得到脉冲信号必须进行盲解卷积，地震子波一般可以近似测得，我们要做的就是求出地震子波对应的逆信号，理想情况它们相卷积的结果为单位脉冲。地震子波有零相位子波，最小相位子波，混合