创新设计江苏专用理科高考数学二轮专题复习课件 专题一第4讲 函数与导数不等式
创新设计江苏专用理科高考数学二轮专题复习课件 专题一第2讲 函数与导数不等式
即
2 2 x(
2＋
6)＋12y(
2＋
6)＝
6＋ 4
2xy，
所以 y＝2x－22x(x＞2).
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(2)△AOB
的面积
S＝12xysin
75°＝
6＋ 8
2xy＝
32＋1×x－x2 2＝
32＋1(x－2＋x－4 2＋4)≥ 32＋1×8＝4( 3＋1).
第2讲 不等式问题
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高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)一元二次不等 式是C级要求，要求在初中所学二次函数的基础上，掌握二 次函数、二次不等式、二次方程之间的联系和区别，可以单 独考查，也可以与函数、方程等构成综合题；(2)线性规划 的要求是A级，理解二元一次不等式对应的平面区域，能够 求线性目标函数在给定区域上的最值，同时对一次分式型函 数、二次型函数的最值也要有所了解；(3)基本不等式是C级 要求，理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面 的重要应用.
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【训练 2】 (1)(2015·广州模拟)若正实数 x，y 满足 x＋y＋1＝xy，
则 x＋2y 的最小值是________.
(2)已知关于 x 的不等式 2x＋x－2 a≥7 在 x∈(a，＋∞)上恒成立，
则实数 a 的最小值为________. 解析 (1)由 x＋y＋1＝xy，得 y＝xx＋ －11，
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(1)求y关于x的函数关系式并指出它的定义域； (2)试确定点A，B的位置，使△OAB的面积最小.
创新设计(江苏专用)高考数学二轮复习 上篇 专题整合突
专题一 函数与导数、不等式 第3讲 导数与函数的单调性、极值、最值问题练习 文一、填空题1.(2016·苏州调研)函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________.解析 由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f ′(x )＝x －1x≤0，解得0＜x ≤1，所以函数f (x )的单调递减区间为(0，1]. 答案 (0，1]2.已知函数f (x )＝4ln x ＋ax 2－6x ＋b (a ，b 为常数)，且x ＝2为f (x )的一个极值点，则a 的值为________.解析 由题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， ∵f ′(x )＝4x＋2ax －6，∴f ′(2)＝2＋4a －6＝0，即a ＝1.答案 13.已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是____________.解析 f ′(x )＝mx ＋1x－2≥0对一切x ＞0恒成立，∴m ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x.令g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x ，则当1x ＝1时，函数g (x )取最大值1.故m ≥1.答案 [1，＋∞)4.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则a b的值为________.解析 由题意知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9满足题意，故a b ＝－23.答案 －235.若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是________. 解析 由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增⇔f ′(x )＝k －1x≥0在(1，＋∞)上恒成立，由于k ≥1x ，而0＜1x＜1，所以k ≥1.即k 的取值范围为[1，＋∞).答案 [1，＋∞)6.(2016·泰州期末)函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0，1)内有最小值，则a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a ).当a ≤0时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在(0，1)内单调递增，无最小值. 当a ＞0时，f ′(x )＝3(x －a )(x ＋a ).当x ∈(－∞，－a )和(a ，＋∞)时，f (x )单调递增； 当x ∈(－a ，a )时，f (x )单调递减，所以当a ＜1，即0＜a ＜1时，f (x )在(0，1)内有最小值. 答案 (0，1)7.已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋3x ＋1有两个极值点，则实数a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝x 2＋2ax ＋3.由题意知方程f ′(x )＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4a 2－12＞0， 解得a ＞3或a ＜－ 3.答案 (－∞，－3)∪(3，＋∞)8.(2016·北京卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x ＞a .(1)若a ＝0，则f (x )的最大值为________；(2)若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤0，－2x ，x ＞0.若x ≤0，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x 2－1).由f ′(x )＞0得x ＜－1，由f ′(x )＜0得－1＜x ≤0. ∴f (x )在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0]上单调递减， ∴f (x )最大值为f (－1)＝2.若x ＞0，f (x )＝－2x 单调递减，所以f (x )＜f (0)＝0. 综上，f (x )最大值为2.(2)函数y ＝x 3－3x 与y ＝－2x 的图象如图. 由(1)知，当a ≥－1时，f (x )取得最大值2.当a ＜－1时，y ＝－2x 在x ＞a 时无最大值.且－2a ＞2. 所以a ＜－1.答案 (1)2 (2)(－∞，－1) 二、解答题9.(2016·北京卷)设函数f (x )＝x e a －x＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y＝(e －1)x ＋4. (1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间. 解 (1)f (x )的定义域为R . ∵f ′(x )＝ea －x－x ea －x＋b ＝(1－x )ea －x＋b .依题设，⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得a ＝2，b ＝e. (2)由(1)知f (x )＝x e 2－x＋e x ，由f ′(x )＝e2－x(1－x ＋e x －1)及e2－x＞0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号.令g (x )＝1－x ＋ex －1，则g ′(x )＝－1＋ex －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )＜0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增. 故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值， 从而g (x )＞0，x ∈(－∞，＋∞)， 综上可知，f ′(x )＞0，x ∈(－∞，＋∞). 故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞). 10.(2016·全国Ⅱ卷)(1)讨论函数f (x )＝x －2x ＋2e x 的单调性，并证明当x >0时，(x －2)e x＋x ＋2>0；(2)证明：当a ∈[0，1)时，函数g (x )＝e x－ax －ax2(x >0)有最小值.设g (x )的最小值为h (a )，求函数h (a )的值域.(1)解 f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞). f ′(x )＝（x －1）（x ＋2）e x－（x －2）e x（x ＋2）2＝x 2e x（x ＋2）2≥0，且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(－∞，－2)，(－2，＋∞)单调递增. 因此当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝－1. 所以(x －2)e x>－(x ＋2)，即(x －2)e x＋x ＋2>0.(2)证明 g ′(x )＝（x －2）e x＋a （x ＋2）x 3＝x ＋2x3(f (x )＋a ). 由(1)知f (x )＋a 单调递增，对任意a ∈[0，1)，f (0)＋a ＝a －1<0，f (2)＋a ＝a ≥0. 因此，存在唯一x a ∈( 0，2]，使得f (x a )＋a ＝0，即g ′(x a )＝0. 当0<x <x a 时，f (x )＋a <0，g ′(x )<0，g (x )单调递减； 当x >x a 时，f (x )＋a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增.因此g (x )在x ＝x a 处取得最小值，最小值为g (x a )＝e xa－a （x a ＋1） x 2a＝e xa ＋f （x a ）（x a ＋1）x 2a＝exax a ＋2.于是h (a )＝e x a x a ＋2，由⎝ ⎛⎭⎪⎫e xx ＋2′＝（x ＋1）e x （x ＋2）2>0，e xx ＋2单调递增.所以，由x a ∈(0，2]，得12＝e 00＋2<h (a )＝e x a x a ＋2≤e 22＋2＝e24. 因为e xx ＋2单调递增，对任意λ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，e 24，存在唯一的x a ∈(0，2]，a ＝－f (x a )∈[0，1)，使得h (a )＝λ.所以h (a )的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，e 24.综上，当a ∈[0，1)时，g (x )有最小值h (a )，h (a )的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，e 24. 11.设函数f (x )＝e xx2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数).(1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点，求k 的取值范围. 解 (1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞).f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1x＝x e x －2e x x 3－k （x －2）x 2＝（x －2）（e x －kx ）x 3.由k ≤0可得e x－kx ＞0，所以当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，函数y ＝f (x )单调递减，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数y ＝f (x )单调递增.所以f (x )的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞).(2)由(1)知，k ≤0时，函数f (x )在(0，2)内单调递减， 故f (x )在(0，2)内不存在极值点；当k ＞0时，设函数g (x )＝e x－kx ，x ∈[0，＋∞). 因为g ′(x )＝e x－k ＝e x－e ln k，当0＜k ≤1时，当x ∈(0，2)时，g ′(x )＝e x－k ＞0，y ＝g (x )单调递增. 故f (x )在(0，2)内不存在两个极值点；当k ＞1时，得x ∈(0，ln k )时，g ′(x )＜0，函数y ＝g (x )单调递减.x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )＞0，函数y ＝g (x )单调递增.所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k ).函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧g （0）＞0，g （ln k ）＜0，g （2）＞0，0＜ln k ＜2，解得e ＜k ＜e22，综上所述，函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，e 22.。
高考数学(理)苏教版二轮复习课件3-4
7π 12 3π 2
5π 6 2π 0
0 －3
描点，连线，得图象如图所示：
利用函数的周期性，可以把上述简图向左、右扩展，就得到 y＝ 3sin
π 2x＋ ，x∈R 3
的简图．
π 2x＋ 的图象， 是用下面方法得到的． 3
从图象可以看出， y＝3sin
π π x→x＋ →2x＋ 3 3
π 的图象；再把 y＝sin(x＋ )的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 6 x π (纵坐标不变)得到 y＝sin( ＋ )的图象；最后把 y＝sin 2 6 上各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍， 即得函数 y＝2sin
x π ＋ 的图象 2 6 x π ＋ 的图象． 2 6
【点评】
在用变换法作函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，A、ω
决定“形变”，φ 决定“位变”，A 影响值域，ω 影响周期，A、ω、 φ 影响单调性．
1．作出函数
π y＝3sin 2x＋3 ，x∈R
的简图，并说明它与 y＝sin
x 的图象之间的关系． π π 3π 解析：按“五点法”，令 2x＋ 分别取 0， ，π， ，2π 时，x 3 2 2
4．确定 y＝Asin (ωx＋φ)的解析式的步骤 (1)首先确定振幅和周期，从而得到 A 与 ω；
φ (2)确定 φ 值时， 往往以寻找“五点法”中的第一零点－ω，0作
为突破口．要注意从图象的升降情况找准第一个零点的位置，同时 要利用好最值点．具体如下： “第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝0；“第二 π 点”(即图象的“峰点”)为 ωx＋φ＝ ；“第三点”(即图象下降时与 2 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为 ωx＋φ 3π ＝ ；“第五点”为 ωx＋φ＝2π. 2
高考数学二轮复习 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第四讲 不等式教案 理-人教版高三
第四讲不等式年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018Ⅰ卷线性规划求最值·T131.选择、填空题中的考查以简单的线性规划与不等式性质为主，重点求目标函数的最值，有时也与其他知识交汇考查．2.基本不等式求最值及应用在课标卷考试中是低频点，很少考查．3.不等式的解法多与集合、函数、解析几何、导数交汇考查.Ⅱ卷线性规划求最值·T142017Ⅰ卷线性规划求最值·T14Ⅱ卷线性规划求最值·T5Ⅲ卷线性规划求最值·T132016Ⅰ卷一元二次不等式的解法、集合的交集运算·T1不等式比较大小、函数的单调性·T8线性规划的实际应用·T16Ⅱ卷一元二次不等式的解法、集合的并集运算·T2Ⅲ卷一元二次不等式的解法、集合的交集运算·T1不等式比较大小、函数的单调性·T6线性规划求最值·T13不等式性质及解法授课提示：对应学生用书第9页[悟通——方法结论]1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a与ax2＋bx＋c 同号，那么其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，那么其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．2．解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．3．解含参数不等式要正确分类讨论．[全练——快速解答]1．(2018·某某一模)a >b >0，c <0，以下不等关系中正确的是( ) A ．ac >bcB ．a c>b cC ．log a (a －c )>log b (b －c )D.aa －c >bb －c解析：法一：(性质推理法)A 项，因为a >b ，c <0，由不等式的性质可知ac <bc ，故A 不正确；B 项，因为c <0，所以－c >0，又a >b >0，由不等式的性质可得a －c >b －c>0，即1a c >1bc >0，再由反比例函数的性质可得a c <b c，故B 不正确； C 项，假设a ＝12，b ＝14，c ＝－12，那么log a (a －c )＝1＝0，log b (b －c )＝34>1＝0，即log a (a －c )<log b (b －c )，故C 不正确；D 项，a a －c －bb －c ＝a (b －c )－b (a －c )(a －c )(b －c )＝c (b －a )(a －c )(b －c )，因为a >b >0，c <0，所以a －c >b －c >0，b －a <0，所以c (b －a )(a －c )(b －c )>0，即a a －c －b b －c>0，所以aa －c >bb －c，故D 正确．综上，选D.法二：(特值验证法)由题意，不妨取a ＝4，b ＝2，c ＝－2. 那么A 项，ac ＝－8，bc ＝－4，所以ac <bc ，排除A ； B 项，a c ＝4－2＝116，b c ＝2－2＝14，所以a c <b c，排除B ；C 项，log a (a －c )＝log 4(4＋2)＝log 4 6，log b (b －c )＝log 2(2＋2)＝2，显然log 4 6<2，即log a (a －c )<log b (b －c )，排除C.综上，选D. 答案：D2．(2018·某某四校联考)不等式mx 2＋nx －1m <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－12或x >2，那么m －n ＝( )A.12 B ．－52C.52D ．－1解析：由题意得，x ＝－12和x ＝2是方程mx 2＋nx －1m ＝0的两根，所以－12＋2＝－n m 且－12×2＝－1m 2(m <0)，解得m ＝－1，n ＝32，所以m －n ＝－52. 答案：B 3．不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0]∪(2,4] B ．[0,2)∪[4，＋∞) C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)解析：①当x －2>0，即x >2时，不等式可化为(x －2)2≥4，所以x ≥4；②当x －2<0，即x <2时，不等式可化为(x －2)2≤4，所以0≤x <2.综上，不等式的解集是[0,2)∪[4，＋∞)．答案：B4．x ∈(－∞，1]，不等式1＋2x ＋(a －a 2)·4x>0恒成立，那么实数a 的取值X 围为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－2，14B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32D.(]－∞，6解析：根据题意，由于1＋2x＋(a －a 2)·4x >0对于一切的x ∈(－∞，1]恒成立，令2x＝t(0<t≤2)，那么可知1＋t ＋(a －a 2)t 2>0⇔a －a 2>－1＋tt2，故只要求解h (t)＝－1＋tt 2(0<t≤2)的最大值即可，h (t)＝－1t 2－1t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋122＋14，又1t ≥12，结合二次函数图象知，当1t ＝12，即t ＝2时，h (x )取得最大值－34，即a －a 2>－34，所以4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32，故实数a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.答案：C5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg (x ＋1)，x ≥0，－x 3，x <0，那么使得f (x )≤1成立的x 的取值X 围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，lg (x ＋1)≤1得0≤x ≤9，由⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 3≤1得－1≤x <0，故使得f (x )≤1成立的x 的取值X 围是[－1,9]．答案：[－1,9]1．明确解不等式的策略(1)一元二次不等式：先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解． 2．掌握不等式恒成立问题的解题方法(1)f (x )>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )min >a ；f (x )<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )max <a . (2)f (x )>g (x )对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )的图象在g (x )的图象的上方．(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的X 围，谁就是变量，求谁的X 围，谁就是参数．利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等．基本不等式授课提示：对应学生用书第10页[悟通——方法结论]求最值时要注意三点：“一正〞“二定〞“三相等〞．所谓“一正〞指正数，“二定〞是指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等〞是指等号成立．[全练——快速解答]1．(2018·某某模拟)x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，那么x ＋y 的最小值为( ) A ．8B ．9 C ．12 D ．16解析：由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x＝1，那么x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4y ＋1x ＝4x y ＋yx＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝〞，应选B.答案：B2．(2017·高考某某卷)假设a ，b ∈R ，ab >0，那么a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．解析：因为ab >0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab的最小值是4.答案：43．(2017·高考某某卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，那么x 的值是________．解析：由题意，一年购买600x 次，那么总运费与总存储费用之和为600x×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30. 答案：30掌握基本不等式求最值的3种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：假设无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y ＝m ＋Ag (x )＋Bg (x )(A >0，B >0)，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．简单的线性规划问题授课提示：对应学生用书第10页[悟通——方法结论] 平面区域的确定方法解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．[全练——快速解答]1．(2017·高考全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，那么z ＝x －y 的取值X 围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3，所以z ＝x －y 的取值X 围是[－3,2]．答案：B2．平面上的单位向量e 1与e 2 的起点均为坐标原点O ，它们的夹角为π3.平面区域D 由所有满足OP →＝λe 1＋μe 2的点P 组成，其中⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ≤1，0≤λ，0≤μ，那么平面区域D 的面积为( )A.12B. 3C.32D.34解析：建立如下图的平面直角坐标系，不妨令单位向量e 1＝(1,0)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，设向量OP →＝(x ，y )，因为OP →＝λe 1＋μe 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ＋μ2，y ＝3μ2，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝x －3y3，μ＝23y 3，因为⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ≤1，λ≥0，μ≥0，所以⎩⎨⎧3x ＋y ≤3，3x －y ≥0，y ≥0表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，所以平面区域D 的面积为34，应选D. 答案：D3．(2018·某某模拟)某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序．生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一X 桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时．生产一把椅子的利润为1 500元，生产一X 桌子的利润为2 000元．该厂每个月木工最多完成8 000个工作时、漆工最多完成1 300个工作时．根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是________元．解析：设该厂每个月生产x 把椅子，y X 桌子，利润为z 元，那么得约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋8y ≤8 000，2x ＋y ≤1 300，z ＝1 500x ＋2 000y .x ，y ∈N ，画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2 000，2x ＋y ≤1 300，x ≥0，y ≥0表示的可行域如图中阴影部分所示，画出直线3x ＋4y ＝0，平移该直线，可知当该直线经过点P 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2 000，2x ＋y ＝1 300，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝200，y ＝900，即P (200,900)，所以z max ＝1 500×200＋2 000×900＝2 100 000.故每个月所获得的最大利润为2 100 000元．答案：2 100 000解决线性规划问题的3步骤[练通——即学即用]1．(2018·湘东五校联考)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，且z ＝x ＋y 的最大值为6，那么(x ＋5)2＋y 2的最小值为( )A ．5B ．3 C. 5D. 3解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，平移直线y ＝－x ，由图形可知当直线y ＝－x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－x ＋z 的纵截距最大，此时z 最大，最大值为6，即x ＋y ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，x －y ＝0，得A (3,3)，∵直线y ＝k 过点A ，∴k ＝3.(x ＋5)2＋y 2的几何意义是可行域内的点与D(－5,0)的距离的平方，数形结合可知，(－5,0)到直线x ＋2y ＝0的距离最小，可得(x ＋5)2＋y 2的最小值为⎝⎛⎭⎪⎫|－5＋2×0|12＋222＝5.应选A. 答案：A2．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，2x ＋y ≤1，记z ＝4x ＋y 的最大值是a ，那么a ＝________.解析：如下图，变量x ，y 满足的约束条件的可行域如图中阴影部分所示．作出直线4x ＋y ＝0，平移直线，知当直线经过点A 时，z取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝1，x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，所以A (1，－1)，此时z ＝4×1－1＝3，故a ＝3.答案：33．(2018·高考全国卷Ⅰ)假设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，那么z ＝3x ＋2y 的最大值为________．解析：作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z2.作直线l 0：y ＝－32x .平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z2过点(2,0)时，z 取最大值，z max＝3×2＋2×0＝6.答案：6授课提示：对应学生用书第118页一、选择题1．互不相等的正数a ，b ，c 满足a 2＋c 2＝2bc ，那么以下等式中可能成立的是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．b >c >aD ．c >a >b解析：假设a >b >0，那么a 2＋c 2>b 2＋c 2≥2bc ，不符合条件，排除A ，D ； 又由a 2－c 2＝2c (b －c )得a －c 与b －c 同号，排除C ；当b >a >c 时，a 2＋c 2＝2bc 有可能成立，例如：取a ＝3，b ＝5，c ＝1.应选B. 答案：B2．b >a >0，a ＋b ＝1，那么以下不等式中正确的是() A ．log 3a >0B ．3a －b<13C ．log 2a ＋log 2b <－2D ．3⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥6解析：对于A ，由log 3a >0可得log 3a >log 31，所以a >1，这与b >a >0，a ＋b ＝1矛盾，所以A 不正确；对于B ，由3a －b<13可得3a －b <3－1，所以a －b <－1，可得a ＋1<b ，这与b >a >0，a ＋b ＝1矛盾，所以B 不正确；对于C ，由log 2a ＋log 2b <－2可得log 2(ab )<－2＝log 214，所以ab <14，又b >a >0，a ＋b ＝1>2ab ，所以ab <14，两者一致，所以C 正确；对于D ，因为b >a >0，a ＋b ＝1，所以3⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b >3×2b a ×ab＝6, 所以D 不正确，应选C. 答案：C3．在R 上定义运算：x y ＝x (1－y )．假设不等式(x －a )(x －b )>0的解集是(2,3)，那么a ＋b ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由题知(x －a )(x －b )＝(x －a )[1－(x －b )]>0，即(x －a )[x －(b ＋1)]<0，由于该不等式的解集为(2,3)，所以方程(x －a )[x －(b ＋1)]＝0的两根之和等于5，即a ＋b ＋1＝5，故a ＋b ＝4.答案：C 4．a ∈R ，不等式x －3x ＋a≥1的解集为P ，且－2∉P ，那么a 的取值X 围为( ) A ．(－3，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，2)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[2，＋∞)解析：∵－2∉P ，∴－2－3－2＋a <1或－2＋a ＝0，解得a ≥2或a <－3.答案：D5．x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，x ≥0，y ≥0，那么z ＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最小值为( )A ．1 B.324C.116D.132解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而z ＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y＝2－3x －y，欲使z 最小，只需使－3x －y 最小即可．由图知当x ＝1，y ＝2时，－3x －y 的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x －y最小，最小值为132.应选D.答案：D6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，那么不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：由题意得，f (1)＝3，所以f (x )>f (1)，即f (xx <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0；当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1.综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．答案：A7．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝3x －2y 的最小值为0，那么实数m 等于( )A ．4B ．3C ．6D ．5解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝3x －2y 所对应的直线经过点A 时，z 取得最小值0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x ＋y ＝m ，求得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 3，2m －13.故z 的最小值为3×1＋m 3－2×2m －13＝－m 3＋53，由题意可知－m 3＋53＝0，解得m ＝5.答案：D8．假设对任意正实数x ，不等式1x 2＋1≤ax恒成立，那么实数a 的最小值为( ) A ．1 B. 2 C.12 D.22解析：因为1x 2＋1≤a x ，即a ≥x x 2＋1，而x x 2＋1＝1x ＋1x≤12(当且仅当x ＝1时取等号)，所以a ≥12.答案：C9．(2018·某某一模)实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋3≥0，2x －y ＋2≤0，x ＋2y －4≤0，那么z ＝x 2＋y 2的取值X围为( )A ．[1,13]B ．[1,4]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，4解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得z ＝x 2＋y 2的最小值为点O 到直线BC ：2x －y ＋2＝0的距离的平方，所以z min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝45，最大值为点O 与点A (－2,3)的距离的平方，所以z max ＝|OA |2＝13，应选C.答案：C10．(2018·某某二模)假设关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，那么x 1＋x 2＋ax 1x 2的最小值是( ) A.63 B.233 C.433D.263解析：∵关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，∴Δ＝16a 2－12a 2＝4a 2>0，又x 1＋x 2＝4a ，x 1x 2＝3a 2， ∴x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋a 3a 2＝4a ＋13a ≥24a ·13a ＝433，当且仅当a ＝36时取等号．∴x 1＋x 2＋a x 1x 2的最小值是433. 答案：C11．某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，那么租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元解析：设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，那么约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，x ＋y ≤21，y －x ≤7，x ，y ∈N ，作出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点A (5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．答案：C12．(2018·某某模拟)点P (x ，y )∈{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋2y ≤2}，x ≥－2M (2，－1)，那么OM →·OP→(O 为坐标原点)的最小值为( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析：由题意知OM →＝(2，－1)，OP →＝(x ，y )，设z ＝OM →·OP →＝2x －y ，显然集合{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋2y ≤2}x ≥－2对应不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋2y ≤2x ≥－2所表示的平面区域．作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝2x －y 对应的直线经过点A 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2x ＋2y －2＝0得A (－2,2)，所以目标函数的最小值z min ＝2×(－2)－2＝－6，即OM →·OP →的最小值为－6，应选C.答案：C二、填空题13．(2018·某某模拟)假设a >0，b >0，那么(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b 的最小值是________．解析：(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝2＋2b a ＋a b ＋1＝3＋2b a ＋a b，因为a >0，b >0，所以(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ≥3＋22b a ×a b ＝3＋22，当且仅当2b a ＝ab，即a ＝2b 时等号成立．所以所求最小值为3＋2 2.答案：3＋2 214．(2018·高考全国卷Ⅱ)假设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，那么z ＝x ＋y的最大值为________．解析：由不等式组画出可行域，如图(阴影部分)，x ＋y 取得最大值⇔斜率为－1的直线x ＋y ＝z (z 看做常数)的横截距最大，由图可得直线x ＋y ＝z 过点C 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0得点C (5,4)，∴z max ＝5＋4＝9. 答案：915．(2018·某某模拟)假设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤4，那么z ＝y －2x ＋3的最小值为________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝y －2x ＋3表示区域内的点与点P (－3,2)连线的斜率．由图知当可行域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，那么有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍去)，所以z min ＝－125. 答案：－12516．a >b >1，且2log a b ＋3log b a ＝7，那么a ＋1b 2－1的最小值为________． 解析：令log a b ＝t ，由a >b >1得0<t<1,2log a b ＋3log b a ＝2t ＋3t ＝7，得t ＝12，即log a b＝12，a ＝b 2，所以a ＋1b 2－1＝a －1＋1a －1＋1≥2(a －1)·1a －1＋1＝3，当且仅当a ＝2时取等号. 故a ＋1b 2－1的最小值为3. 答案：3。
创新设计江苏专用理科高考数学二轮专题复习课件 专题七选做第4讲 附加题
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
热点二 不等式的证明
【例2】 (2013·江苏卷)已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b. 证 明 2a3 － b3 － (2ab2 － a2b) ＝ 2a(a2 － b2) ＋ b(a2 － b2) ＝ (a2 － b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b). 因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0，2a＋b＞0，从而(a－ b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.
所以 a3＋b3≥ ab(a2＋b2).
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热点三 柯西不等式 【例 3】(2015·陕西卷)已知关于 x 的不等式|x＋a|＜b 的解集为{x|2
＜x＜4}. (1)求实数 a，b 的值； (2)求 at＋12＋ bt的最大值.
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a2＋2 b2(a>0，b>0)，在不等式的证明和求
最值中经常用到.
7.证明不等式的传统方法有比较法、综合法、分析法.另外还有拆项
法、添项法、换元法、放缩法、反证法、判别式法、数形结合法
等.
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热点一 绝对值不等式 [微题型1] 考查绝对值不等式的解法
【例1－1】 已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|. (1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集； (2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围.
解 (1)由|ax＋1|≤3 得－4≤ax≤2. 又 f(x)≤3 的解集为{x|－2≤x≤1}，
所以当 a≤0 时，不合题意.当 a>0 时，－4a≤x≤2a，得 a＝2.
苏教版高考总复习一轮数学精品课件 主题二 函数 第四章 解答题专项 第1课时 利用导数证明不等式
，令ℎ′ = 0，得 = e，当
0 < < e时，ℎ′ > 0，当 > e时，ℎ′ < 0，∴ ℎ 在 0, e 上单调递增，在
e, +∞ 上单调递减，故ℎ ≤ ℎ e = e，当且仅当 = e时，等号成立.故当 > 0
时， ≥ ℎ ，又ℎ = 时，的取值不同，故等号不成立.故当 > 0时，
ln − + + 1 < 0成立.故当 < −1时,∀ ∈ 1, +∞ , > − − 2 .
规律方法
待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时
对复杂的式子要进行变形，借助所构造函数的单调性和最值即可得证.
题型二 隔离分析法证明不等式
典例2已知函数 = 2 − ln .
> ℎ ，即当 = 2时， > 得证.
规律方法
若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到
可以传递的中间量，达到证明的目标.对于同时含ln 与e 的不等式，不能直接构造函
数，把指数与对数分离两边，分别计算它们的最值，借助最值进行证明.
题型三 放缩法证明不等式
e
0,
时，′ > 0， 单调递增，
时，′ < 0， 单调递减，所以当 =
又函数 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ在 e, +∞
0,1 .
e
上存在最大值，因此
e
时，
取得最大值
> e，解得 < 1.故实数的取值范围为
e
.
（2）当 = 2时，求证： > .
2019版高考数学创新大一轮复习江苏专用版全国通用课件
如果按照某种确定的对应关系 f ， 如果按某一个确定的对应关系 f ，使 任意 一个数x， 对于集合A中的任意 对应关系 使对于集合A中的_____ _____一个元素x，在
f：A→B
在 集 合 B 中 都 有 __________ 唯一确定 的元素 y 与 唯一确定 的 数 集合 B 中都有 __________
(2)若函数 f(x)＝ 2x
2＋2ax－a
－1的定义域为 R，则 a 的取值范围为________.
解析 x >0， x － 1 (1)要使函数 f(x)有意义，应满足 解得 x>1，故函数 f(x)＝ x≥0，
1
x ln ＋x2的定义域为(1，＋∞). x－1
(2)∵y＝f(x)的定义域为[1，2 019]，
1≤x＋1≤2 ∴g(x)有意义， 应满足 x－1≠0.
(2)与 x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点.( (3)函数 y＝ x2＋1－1 的值域是{y|y≥1}.( )
(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.(
)
解析
(1)函数y＝1的定义域为R，而y＝x0的定义域为{x|x≠0}，其定义域不同，故
不是同一函数.
(3)由于 x2＋1≥1，故 y＝ x2＋1－1≥0，故函数 y＝ x2＋1－1 的值域是{y|y≥0}.
第 4讲
函数的概念及其表示法
考试要求
1.函数的概念，求简单函数的定义域和值域(B级要求)；2.选择恰当的
方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数(B级要求)；3.简单的分段函数及应用 (A级要求).
诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数 y＝1 与 y＝x0 是同一个函数.( ) )
2018版高考数学理江苏专用大二轮总复习与增分策略配套课件：专题二 函数与导数 第4讲 精品
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大. 解 因为 V(r)＝π5(300r－4r3)， 故 V′(r)＝π5(300－12r2)， 令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去). 当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；
解析答案
(2)若函数 g(x)＝f(x)－ax＋m 在1e，e上有两个零点，求实数 m 的取值范围.
解析答案
热点三 利用导数解决生活中的优化问题 生活中的实际问题受某些主要变量的制约，解决生活中的优化问题就 是把制约问题的主要变量找出来，建立目标问题即关于这个变量的函 数，然后通过研究这个函数的性质，从而找到变量在什么情况下可以 达到目标最优.
所以ff614≤>00，， 解得 0<a≤17.
即7a2＋10a－171≤0， 27a2＋13a>0，
解析答案
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高考押题精练
已知函数 f(x)＝12x2－(2a＋2)x＋(2a＋1)ln x. (1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)的单调区间； (3)对任意的 a∈32，52，x1，x2∈[1,2]，恒有|f(x1)－f(x2)|≤λ|x11－x12|，求正 实数 λ 的取值范围. 押题依据 有关导数的综合应用试题多考查导数的几何意义、导数与函
当 r∈(5,5 3)时，V′(r)<0，故 V(r)在(5,5 3)上为减函数.
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8. 即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大.
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跟踪演练 3 经市场调查，某商品每吨的价格为 x(1<x<14)百元时，该商品的 月供给量为 y1 万吨，y1＝ax＋72a2－a(a>0)；月需求量为 y2 万吨，y2＝－2124x2 －1112x＋1. 当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品 的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销 售量与价格的乘积. (1)若 a＝17，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？
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设 g(a)＝247a3－a＋c，因为函数 f(x)有三个零点时，a 的取值范围 恰好是(－∞，－3)∪1，32∪32，＋∞， 则在(－∞，－3)上 g(a)＜0，且在1，32∪32，＋∞上 g(a)＞0 均恒 成立.从而 g(－3)＝c－1≤0，
且 g32＝c－1≥0，因此 c＝1.
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【训练1】(1)已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示， 则曲线y＝f(x)在点P(2，0)处的切线方程是________.
(2)(2015·苏、锡、常、镇模拟)若曲线 f(x)＝ x，g(x)＝xa 在 点 P(1，1)处的切线分别为 l1，l2，且 l1⊥l2，则 a 的值为________.
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探究提高 对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结 合的数学思想来求解.这类问题求解的通法是： (1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； (2)求导数，得单调区间和极值点；(3)画出函数草图；(4)数形结合， 挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解.
f
－23a
＝
4 27
a3
＋
b
，
则
函
数
f(x) 有 三 个 零 点 等 价 于
f(0)·f －23a ＝
b247a3＋b＜0，
a＞0，
a＜0，
从而－247a3＜b＜0或0＜b＜－247a3.
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又 b＝c－a，所以当 a＞ 0 时，
247a3－a＋c＞0 或当 a＜0 时，247a3－a＋c＜0.
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探究提高 (1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的 切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一 定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点. (2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线 斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载 体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而 和导数联系起来求解.
第4讲 导数与函数图象的切线 及函数零点问题
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高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)导数的几何意 义是考查热点，要求是B级，理解导数的几何意义是曲线上 在某点处的切线的斜率，能够解决与曲线的切线有关的问题； (2)在高考试题导数压轴题中涉及函数的零点问题是高考命 题的另一热点.
所以 h(x)在1e，1上单调递减，在[1，e]上单调递增，
因此 h(x)min＝h(1)＝3.由 h1e＝1e＋2e－1，h(e)＝e＋2e＋1，比较可知
h1e＞h(e)，所以，结合函数图象可得，当 3＜a≤e＋2e＋1 时，函数 y＝f(x)－g(x)有两个零点.
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热点一 函数图象的切线问题 【例 1】 (1)(2015·衡水中学模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，设 A
是曲线 C1：y＝ax3＋1(a＞0)与曲线 C2：x2＋y2＝52的一个公共点， 若 C1 在 A 处的切线与 C2 在 A 处的切线互相垂直，则实数 a 的值 是________. (2)(2015·镇江监测)若曲线 C1：y＝3x4－ax3－6x2 与曲线 C2：y＝ex 在 x＝1 处的切线互相垂直，则实数 a 的值为________.
又 l1⊥l2，∴ kl1 ·kl2 ＝12a＝－1.∴a＝－2. 答案 (1)x－y－2＝0 (2)－2
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热点二 利用导数解决与函数零点(或方程的根)有关的问题 [微题型 1] 讨论方程根的个数 【例 2－1】 (2015·南京、盐城模拟)已知函数 f(x)＝(x2－3x＋3)·ex
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考点整合
1.求曲线y＝f(x)的切线方程的三种类型及方法 (1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)过点P的切线方程：求出切线的 斜率f′(x0)，由点斜式写出方程. (2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)， 通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程. (3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0， y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率， 列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程.
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解析 (1)根据导数的几何意义及图象可知，曲线 y＝f(x)在点 P 处 的切线的斜率 k＝f′(2)＝1，又切线过点 P(2，0)，所以切线方程为 x－y－2＝0. (2)由题意可知，f′(x)＝2 1 x，g′(x)＝axa－1，
∵l1，l2 过点 P(1，1)，∴ kl1 ＝f′(1)＝12， kl2 ＝g′(1)＝a.
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真题感悟 (2015·江苏卷)已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R). (1)试讨论 f(x)的单调性； (2)若 b＝c－a(实数 c 是与 a 无关的常数)，当函数 f(x)有三个不同 的零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪1，32∪32，＋∞， 求 c 的值.
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探究提高 研究方程的根的情况，可以通过导数研究函数的单调 性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断 方程根的情况，这是导数这一工具在研究方程中的重要应用.
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[微题型 2] 根据零点个数求参数范围 【例 2－2】 (2015·泰州模拟)已知函数 f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax
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2.三次函数的零点分布
三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x→∞时，函数值
也趋向∞，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即
可.存在两个极值点x1，x2且x1＜x2的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋ d(a≠0)的零点分布情况如下：
－2(e 为自然对数的底数，a∈R). (1)判断曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线 y＝g(x)的公共 点个数；
(2)当 x∈1e，e时，若函数 y＝f(x)－g(x)有两个零点，求 a 的取值 范围.
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解 (1)f′(x)＝ln x＋1，所以切线斜率 k＝f′(1)＝1. 又 f(1)＝0，∴曲线在点(1，0)处的切线方程为 y＝x－1. 由yy＝ ＝－x－x21＋ax－2，⇒x2＋(1－a)x＋1＝0. 由 Δ＝(1－a)2－4＝a2－2a－3＝(a＋1)(a－3)可知： 当 Δ＞0 时，即 a＜－1 或 a＞3 时，有两个公共点； 当 Δ＝0 时，即 a＝－1 或 a＝3 时，有一个公共点；
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(2)因为 y′＝12x3－3ax2－12x，y′＝ex，所以曲线 C1，C2 在 x＝1
处的切线斜率分别是 k1＝－3a，k2＝e.又两切线互相垂直，所以
k1k2＝－3ae＝－1，解得 a＝31e.
答案
(1)4
1 (2)3e
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解 (1)f′(x)＝3x2＋2ax，令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝－23a. 当 a＝0 时，因为 f′(x)＝3x2≥0，所以函数 f(x)在(－∞，＋∞)上单 调递增； 当 a＞0 时，x∈－∞，－23a∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0，x∈－23a，0 时，f′(x)＜0，所以函数 f(x)在－∞，－23a，(0，＋∞)上单调递增， 在－23a，0上单调递减；
的定义域为[－2，t](t＞－2). (1)试确定 t 的取值范围，使得函数 f(x)在[－2，t]上为单调函数； (2)当 1＜t＜4 时，求满足f′（exx00）＝23(t－1)2 的 x0 的个数.
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解 (1)∵f′(x)＝(x2－3x＋3)·ex＋(2x－3)·ex＝x·(x－1)ex， 由 f′(x)＞0，得 x＞1 或 x＜0； 由 f′(x)＜0，得 0＜x＜1. ∴f(x)在(－∞，0]，[1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减， 若使 f(x)在[－2，t]上为单调函数， 则需－2＜t≤0， 即 t 的取值范围为(－2，0].
当Δ＜0 时，即－1＜a＜3 时，没有公共点.
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(2)y＝f(x)－g(x)＝x2－ax＋2＋xln x，
由 y＝0，得 a＝x＋2x＋ln x.
令 h(x)＝x＋2x＋ln x，则 h′(x)＝（x－1）x（2 x＋2）.
当 x∈1e，e时，由 h′(x)＝0，得 x＝1.
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此时，f(x)＝x3＋ax2＋1－a ＝(x＋1)[x2＋(a－1)x＋1－a]， 因函数有三个零点，则 x2＋(a－1)x＋1－a＝0 有两个异于－1 的不 等实根， 所以 Δ＝(a－1)2－4(1－a)＝a2＋2a－3＞0， 且(－1)2－(a－1)＋1－a≠0， 解得 a∈(－∞，－3)∪1，32∪32，＋∞.综上 c＝1.