对称美在数学解题教学中的应用
感受对称美的力量——谈对称及其在初等数学中的应用
点， 则会破坏这种对偶性． 再如 在高等数学 的研究 中 ， 人 们经常采用 以 ｅ 为底的 自然对数 ， 而不是 以 ｌ ０为底的常
用对 数 ， 中的原 因之一 就是 出于对称性 的考 虑 ， 过 其 通
指数的增长数与幂的增长数对称性 的追求 ， 十分 自然地 导致 了 自然对数的引进． 近代代数 中 占有关键 地位 的 在
对称现象真是不胜枚举． 已知三边长求 三角形 的面积 在
的 出发 点 ， 又是 探索解 题思路 的精 良武器． 我们可 以利
用 问题涉及 的数学对 象本 身具 有 的某 种对 称 因素 去解 答 问题 ， 当有些 问题给 出的数学对 象原来 不具有什 么对
公式 中， 我国南宋数学家秦九韶 和古希腊 数学家 海伦都 推导 出了公式 ， 由于海伦公式 具有对称 、 但 整齐 的美感 ， 容易记忆 ， 因而更 易 为人 所 接 受． 称 给 人 以均 衡 、 对 完
事物的合理性． 著名物理学家李政道 在回答 毛泽东 的提 问： 为什么 ‘ “ 对称 ’ 是你 的一种指导思想 ， 是你观点 的核 心” ， 时 曾指 出： 我所说 的对 称 ， “ 就是 平衡 ， 它是指 世界
上一切事物 ， 都处在它该处 的位置上 ” ．
个无穷远点 ， 我们就在平 面的直 线与点 之间建立 了对
面 面．
得到圆满解决 的． 正所谓 “ 山重水复 疑无路 ， 暗花明 又 柳
一
村” 其实这句话本身就体现 了对称． ， 爱因斯坦理 论 的
理性基 础是对 于对称性 的威力 的深刻理解 ， 正是在 此基
础之上 ， 它才 得 出 了这 个 理 论 的实 际 的 物 理 结 果 — — 相
对称性在数学教学中的应用
对称性在数学教学中的应用在数学教学中利用数学问题的对称性不仅有助于找到简洁优美的解法，也有利于学生思维水平的提高。
更重要的是可以在学习数学的同时欣赏数学美，正如古代哲学家普洛克拉斯曾说：“哪里有数学，哪里就有美。
”而对称美是数学美的基本内容和重要体现，因此在数学教学中，教师要有意识地揭示数学中的对称美，培养学生的美感，利用对称性提高学生解决问题的能力。
本文以例题为主，主要论述对称性在函数，几何等方面的应用，让学生充分认识对称性的作用，认识对称美。
运用对称性可以锻炼学生的思维，拓展学生的视野，丰富学生的想象，提高学习效果。
一、对称的概念“对称”一词，译自希腊语，其含义是“和谐”“美观”，原义指“在一些物品的布置时出现的般配与和谐”。
我国老一辈数学家段学复教授也说过：“对称，照字面来讲，就是两个东西相对而又相称(或者说相仿、相等)。
因此，把这两个东西互换一下，好像没动一样。
”在现实世界中，形式上和内容上的对称性，广泛地存在于客观事物之中，既有轴对称、中心对称、镜面对称等等的空间对称，又有周期、节奏和旋律的时间对称。
对称美，作为数学美的主要表现形式之一，其数学的实质就是自然物的和谐性在量和量的关系上最直观的表现，是组元的一个构形在其自同构变换群作用下具有的不变性。
从狭义上说，对称是指通常意义下的几何对称和代数对称；从广义上讲，对称还包含对偶、匀称等方面的内容，及各种数学概念、公式、定理间的对称思想。
二、函数中的对称性问题1.函数自身的对称性。
（1）利用奇偶函数的对称性解题。
众所周知，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称，只要掌握这些知识的内涵，就能得到处理这些问题的思路把看似复杂的问题简单化。
例1设（fx）是R上的奇函数，且（fx+3）=-（fx），当0≤时（fx）=x，求（f2008）。
解：因为y=（fx）是定义在R上的奇函数，所以点（0，0）是其对称中心，又（fx+3）=-（fx）=（f-x）=（f0-x），所以直线是y=（fx）的对称轴，故y=（fx）是周期为6的周期函数，所以（f2008）=（f6×335-2）=f（-2）=-（f3-1）=（f-1）=-（f1）=-1。
谈中学数学中的对称美
谈中学数学中的对称美【摘要】简要论述中学数学阶段，数学中的对称美的体现和应用。
教学中不仅要引导学生在数学形式上去欣赏关注，更重要的是要让学生自觉的运用对称思想去解决某些具体问题，体验对称思想在数学发现和寻求解题突破中的作用。
【关键词】数（式）中几何图形中数学定理中解题中对称的含义比较广泛，从狭义上说，是指通常意义上的几何对称和代数对称；在广义上讲，还包括对偶、匀称、均衡、平衡、不变性、和谐统一等方面的内容。
从这样的角度认识对称，才能领悟数学的美——它是高度严谨和合理而达到的和谐，那是一种令人神怡的内在和谐——这种合理与和谐，是作为数学科学的广义对称。
在中学数学教学内容中，体现了丰富的形与数的形象对称与抽象对称。
中学数学解题方法中也渗透了对称的思想。
对称性是数学美的最重要的特征。
在教学中，如果能提高学生的数学审美能力，必能进一步激发他们学习数学的兴趣，变苦学为乐学，达到事半功倍的效果。
下面简要谈一谈对称性在中学数学中的体现和应用。
1.数（式）中体现出的对称美数（式）中体现出的对称美，主要体现在数（式）的结构上。
例如下列公式中，a+b=b+a，ab=ba，a2-b2=（a+b）（a-b），（a±b）2 = a2±2ab+ b 2 ，a3+b 3 = （a+b）（a2-ab+b2） a与b的位置都具有对称关系，它们在公式中的地位是一样的，公式显得对称而美观。
如果学生能领悟到这点，则有助于他们记忆和运用公式，降低学习难度。
再比如轮换对称式a3+b3+c3-3abc中，a、b、c是对称的，并不是说它们各占30%，也是指它们的地位是平等的，但如果改为a3-b3+c3-3abc，a、b、c就不再对称，但a和c仍是对称的，这些需要我们仔细体会才能领悟。
2.几何图形中的对称美中学数学中学习的两个图形关于某一条直线成轴对称以及轴对称图形、中心对称图形等，是数学对称美的一种极富特色的表现形式。
这些图形匀称美观，所以在日常生活中用途非常广泛。
对称美在高等数学解题中的应用
＋
ｆ
（＋ｚ ｙ ：
ｌ 。 ＋ ～． 醐 ｙ ｙ １
． ．
一
引 言
在 数 学 史上 ，数学 美 是 数 学 发 展 的 伟 大动力， 虚数 的 引入 ， 欧 几 何 的 创 立 ， 非 射 影几何的诞生 ， 微积分的严格化 ， 无不体现 了 数 学 美 对 数 学 发 现 与发 展 的 指 导 作 用 。 数学美的表现常有 简单 、 对称 、 统一、 奇异 等重要特征 。 这些特征渗透在数学的理论 、 语 言、 定理 公式 、 方法 技 巧 及数 学 的 实 际 应 用之中。 对称是 最能给人以 美感的一种形 式。 对称 性 在数 学 上表 现 为 图形 或 数式 的 对称 ， 概 念 、 题 、 则 或结 构 的 对 偶 、 应 等 等 。 命 法 对 毕达 哥 拉 斯 就 曾经 说 过 “ 切 立 体 图形 中 一 最 美 的是 球 形 ，一 切 平 面 图形 中 最 美 的 是 圆 形 ” 就 是 因 为 它们 是 对 称 的 图形 。数 学 ， 中 的有 些 问题 ， 当我 们 用 对 称 的 眼 光 去 观 察时 ， 不但能给我们 以美感 ， 且能够找到 而 简 洁漂 亮 的 解 法 。 下 面 我 就 以 一 些 例 子 来 说说 对 称 的 妙 用 。
因 为 积分 区域 Ｄ关 ＝ ＦＸ轴对 称 ，又 ｙ ３
因此
，
，
是奇函数，所以 Ｊ 西 ＝ ０，同理， 以
ｄ ，，－ ｘｂ －０
，
Ｉ ＋ （ ＋’ 西 ＝Ｉ Ｉ ） ， Ｉ １
～
Ｄ
＝詈 一
） ｏ
即得 证 。
由此 可知 ，积分 中借助于 图形的对称 性可获得简捷的解题途径 。
论数学的对称美在数学学习中的意义
论数学的对称美在数学学习中的意义摘要：人们对数学美的追求与数学的研究是同步进行的，数学的美，如同音乐家演奏的美妙旋律，画家笔下的精美作品一样。
同样是在表达美，只不过形式不同而已。
本文通过对数学的对称美的研究，希望能引起共鸣，使更多的人来关注数学美学的发展。
关键词：对称美数学思想中图分类号：O1-099 文献标识码：ATalk about the symmetrical American meaning in mathematics is studied of mathematics Summary : People's study on mathematics beautiful pursuit and mathematics is carried on in step , mathematics is beautiful, like the wonderful melody which the musician plays, the exquisite works in the works of the painter are the same. Expressing too beautifully, only forms are different. This text passes the symmetrical and beautiful research to mathematics, hope Yes to cause the sympathetic response, make more persons pay close attention to the development of mathematics aestheticsKeyword: Symmetrical an beautiful Mathematics thought1.引言“万物皆数”这是毕达哥拉斯学派的观点，的确数学的发展与人类社会的发展是密不可分的，人类对文明的追求，正是沿着挖掘事物美这条道路前进的，同样数学的发展也是追求数学美的过程。
数学教学中的对称美
数学教学中的对称美宿迁市宿城一中王林内容摘要：各科教学都就有机地对学生进行美育，在数学中蕴含着丰富的美学资源。
在教学时，教师可以运用信息技术更好地去揭示数学中的内涵美。
创设美的情境，让学生在情境中感受图形和算式的对称美，并激发学生创造对称美的作品。
运用信息技术演绎几何图形的奇特景观和奇妙的解题方法，让学生体验数学的奇异美。
还可以收集一些美的信息，让学生在阅读和欣赏时体会数学的和谐美。
关键词：对称美和谐美在全面推选素质教育的今天，审美教育受到了人们的广泛重视。
正如苏霍姆林斯基所说：“教育，如果没有美，没有艺术，那是不可思议的。
”如今语文、音乐、美术等学科开展了大量的美育活动，但是在数学方面的美育活动却很少。
数学作为教育中的一门重要学科，能够缺少美的教育吗？早在古希腊著名的思想家、数学家——柏拉图，就已经对“数学美”作了深刻的论述。
其实数学中蕴含着丰富的美学资源，从美的对象来看：有式的美、形的美、符号的美、黄金分割及比例美等；从美的表现形式来看：有对称的美、和谐美、奇异美、统一的美、简洁的美等。
在数学教学中，运用信息技术揭示这些美，能引起学生对数学美的赞叹，激发创造美的热情，培养学生的数学美感，提升学生的数学才能，现就如何揭示数学对称美、奇异美、和谐美方面谈几点做法，以求赐教。
一、创设美的情境，让学生感受数学的对称美。
“对称”既是数学概念，又是一个重要美学概念。
在数学中大量的图形和算式都形象直观体现了对称美。
1、展示美的画面，创作美的对称图形。
在教学时用多媒体展示各种美丽的对称图形，能创设一个美的情境，让学生在美的情境受到美的熏陶、理解美的价值、创造美的作品。
如轴对称图形在学生认识了轴对称图形的特征后，师：“同学们，现在正是春暖花开，外出活动的好时节，让我们一起到轴对称图形王国去走一走吧！[动画呈现：在美丽的轴对称图形王国，有漂亮的蝴蝶，可爱的小蜜蜂，逗人的青蛙等各种小动物；有0、3、8、B、E、D、Y、H、K等数字与字母：有雄伟壮丽的天安门、美丽迷人的艾菲尔铁塔，庄严肃穆的天坛、历史悠久的故宫等中外名胜古迹；还有红双喜字、树叶……]随着一幅幅美丽画面的不断变换，学生的眼睛亮了起来，赞叹之声此伏彼起，“真是太美了！”学生已经真真切切地感受到了对称图形的美，师：“正因为有了这么多对称与不对称，才让我们的世界如此五彩缤纷、美丽动人。
浅谈数学中的对称美及其应用
专题研究ZHUANTI YANJIU员缘源 数学学习与研究 2016.21◎董晓萌 李 珣 (渭南师范学院 数理学院,陕西 渭南 714099)【摘要】本文主要讨论在数学现象中的对称美,比如:数字,图形和公式的对称美等,及其在数学中的应用以及作用,对称也是连接代数与几何的关键,使代数与几何达到了完美的统一.通过学习数学中的对称美,可以增强发散性思维,并且开拓在解决数学问题中的基本思路与方法.【关键词】对称美;几何;代数;发散性思维对称,是指图形或物体对某个点、直线或平面而言,在大小、形状和排列上具有一一的对应关系,其最直观的表现就是图形的部分重叠或重合[1].对称性在数学中有非常普遍的应用,利用对称的思想来解决数学问题可以起到事半功倍的效果,对称美更是数学美中不可忽视的一部分.一、数学中对称美的基本内容及表现形式对称性在数学中也是普遍存在的,数学美是现实空间自然美的一种体现,是一种特殊的美,也具有其他科学不具有的抽象美,更是一种科学美[2].数学的美是一种天生的、协调的美,也是一种抽象的、严谨的美.这些数学美的特征:奇偶性、单调性、奇异性等等,体现在数学语言,数学理论知识,数学的定理公理公式,数学的方法技巧,以及数学在生活实际中的作用和应用.其中对称美,却是最简洁、最能给予人美感的一种体现形式,它展现了数学中的部分与部分、部分与整体之间的联系和统一,把各种数学概念和理论联系起来.对称性在数学中的具体表现为:数字的对称,图形的对称,形式或结构的对称等等.因而,对称美成为数学美中必不可少的一部分,对称性更是数学中的一种重要思想和方法,所以对称美普遍存在于数学科学中,甚至在其他自然科学及人文科学中也处处蕴含着对称的美及对称的重要作用.数学中的对称美的主要表现形式体现在图形的对称美,数字的对称美,公式的对称美,以及形式或结构的对称等方面.如果一个整数,它的每一位数字都是关于左右对称的,那么称这个数是对称数,也可以称这个数为回文数.比如121,12321,1234321等等;由于图形的对称美,代数学才得以发展和进步,更是成为一门学科.若一个图形的对称轴越多,那么这个图形就越完整,越完美;在一些数学公式中,对称美也是无处不在的.比如,加法和乘法的交换律、分配律,a +b =b +a ,ab =ba ,(a +b )c =a ×c +b ×c 等.代数中的平方差公式a 2-b 2=(a -b )(a +b ),完全平方和公式(a +b )2=a 2+2ab +b 2等;且有结构的对称美,如二项式定理(a +b )n =C 0n a n +C 1n a n -1b +…+C k n a n -k b k +…+C n n b n及杨辉三角形,是二次项系数在三角形中的一种几何排列.二、对称性在数学中的应用对称不仅给人以美感,且在数学各学科中有更广泛地应用,在代数学、方程、几何及微积分解题过程中运用对称的思想,可以使问题化繁为简[3].如解方程就是运用了对称的方法,即给等式的两边同时加上一个数或者式子,等式还是相等的,这就是对称的思想;对称性在数学几何中的体现最为直观,例如圆,球,抛物线,双曲线,都是有着很直观的对称性,运用对称的思想更是可以直观地得出结论或者结果;对称在微积分解题过程中的应用,通过具体的问题来说明.(一)对称性在微分学中的应用设函数解析式u =1x 2+y 2+z 2,证明∂2u ∂x 2+∂2u∂y 2+∂2u∂z 2=0. 分析:先是关于u 对于x 求导得出∂u∂x,然后再对于x 求导得出∂2u∂x 2,同理得出∂2u ∂y 2和∂2u ∂z 2,因为x ,y ,z 是关于自变量对称的,所以只需算出一个即可证明.(二)对称性在积分学中的应用对称性在积分学中有着重要的应用,且有如下结论:命题一:设f (x )在[-a ,a ]上连续,(1)若f (-x )=-f (x ),则有∫a-af (x )d x =0;(2)若f (-x )=f (x ),则有∫a-af (x )d x =2∫af (x )d x.命题二:如果有一个积分区域D ,并且这个区域D 是关于x 轴对称的,而且f (x ,y )在D 上也是连续的,则(1)若f (x ,-y )=-f (x ,y ),则有∬Df (x ,y )d σ=0;(2)若f (x ,-y )=f (x ,y ),则有∬Df (x ,y )d σ=2∬D 1f (x ,y )d σ,其中D 1是D 中对应于y ≥0的部分,即D 1={(x ,y )∈D |y ≥0}.三、结 论对称不仅给人以直观美的享受,更是一种重要的数学思想,数学思维模式和方法[4].在数学解题过程中利用对称关系,也是常用的一种解题技巧.用对称的思想和思维解题,可以使问题简单、明了化,可以将抽象问题具体化,从而降低解题的难度,达到事半功倍的效果,更重要的是可以培养学生的发散性思维,展现数学中的自然美,加深学生对数学对称方法和应用技巧的理解,提高学生的数学思维和数学应用能力.【参考文献】[1]夏向阳.数学的对称观及其在教学中的应用[J ].数学学报,2010(8):75-77.[2]陈攀.浅论数学中的美[J ].数学理论与应用,2009(5):9-13.[3]吴振奎,刘舒强.数学中的美—数学美学初探[M ].天津:天津教育出版社,1997:35-48.[4]陈自高.数学中的对称美与应用[J ].科学教育论坛,2006(5):242-254.. All Rights Reserved.。
对称优美,寻找答案——幼儿园大班数学活动教案
对称优美，寻找答案——幼儿园大班数学活动教案近日，本幼儿园大班开展了一项别开生面的数学活动——对称优美，寻找答案。
这次活动旨在让孩子们通过观察、模仿、比较、探索等方式，感受对称美，理解对称性质，培养观察、想象、创造、解决问题的能力，以及激发他们的兴趣、自信和积极性。
活动一：对称饰品在活动前，老师们已为孩子们准备好了各种彩色宣纸、图案剪纸、珠链、花边、绸带、毛线等材料。
在班里摆放好各种对称饰品模板，如蝴蝶、花朵、星星、月亮、车辆飞机等。
孩子们可以自由地选择材料和模板，将它们剪、挂、缀、织、编、绣成各种五彩缤纷、对称优美的饰品。
在操作过程中，老师们鼓励孩子们多观察、多比较、多反思，如何使饰品对称、均衡、美观。
不同颜色和形状的装饰剪纸、珠链等，需要经过孩子们灵活运用、摆弄和调整，才能变成更符合个人理念，具有吸引力的艺术品。
活动二：对称图形此活动是通过图卡的方式，引导孩子们认识对称图形，学习对称性质，提高空间认知和品味审美。
在活动开始前，老师们已在班里的墙上、地上贴着各种对称图形，如矩形、正方形、三角形、圆形、星形等。
每个孩子会拿到一张对称图卡，上面都带有有意思的图案。
孩子们需要通过多种方式，将图案对称起来，才算完成本次任务。
孩子们可以把持卡，挖空、折叠、留白、转化，使图形上下左右同样，达到对称的效果，同时促进孩子们的观察力、动手能力、空间想象力和团队合作能力。
活动三：对称游戏此游戏通过多人互动，既让孩子们娱乐，也培养了团队协作和竞争意识。
游戏内容是将一个花坛根据对称原则，分成左右两半，左右两组分别是蝴蝶、蜜蜂、草坪、花朵、锅碗瓢盆等素材，每个素材都有自己的价值，每组在游戏结束时会得到相应的奖励。
游戏规则是孩子们通过座位抽签，分成左右两组，每组有一个指导员，负责组织组员观察、分析、制定对称方案，然后在规定时间内，完成对称花坛，达到评分的标准。
通过游戏，增强孩子们的角色自信、策略思考和口头表达能力，充实了他们的娱乐生活和团队精神。
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对称美在数学解题教学中的应用
济水一中郑艳霞
初中数学课本上讲过轴对称，中心对称等，而且这些对称的数学名词，抽象于大千世界，现实生活中的对称现象比比皆是，自然形成的，人类创造的，把世界装扮的无比美丽。
然而，对称不仅仅是一种现象，也是一种思想，一种哲学思想。
20多年前，毛主席会见李政道博士时，毛主席问，为什么“对称”是您的一种指导思想；李政道先生回答，我所说的对称，是平衡，是指世上万物，一切都处在它应该处在的位置上。
他还表演了一个小演示：他把一张纸倾斜着，让一支笔向下滚去，在笔滚动过程中，他把值得倾斜方向改变，使笔滚了回来……他说：有“去”，就有“回”，“去”与“回”就是一个对称。
就像有“矛”就有“盾”，矛和盾是对立的，但有互相依存，共存于一个统一体内，依据一定条件向对方转化。
这是一种思想--------广义对称思想。
(孙维刚的理论)，如果我们能把这种思想运用在我们的教学中，可使思维高瞻远瞩。
下面举例谈谈我的浅显认识。
如图，已知∠A=30°，∠C=25°，试求∠ADC的度数
解法一：延长AD交BC于点E，再根据三角形外角的性质很容易解决。
若延长CD交AB于一点，也完全可以解决，因为线段AD
和CD所处的地位是平衡的，即对称的，所以他们应有相同的作用。
解法二：过点D作BC的平行线交AB于点E，再利用平行线的性质和三角形外角的知识容易解决。
显然，线段AB的地位和BC是平衡的，对称的，所以过点D作线段AB的平行线，会起到同样的效果。
解法三：过点A作DC的平行线交BC的延长线于点E，在根据平行线的性质和三角形的内角和容易解决。
同样，发现线段AD 和线段CD的地位是平衡的，对称的，以及点A和点C的位置也是平衡的，对称的，所以过点C作AD的平行线交BA的延长线于一点，会起到一样的效果。
再来看，解法二和解法三，看起来是两种不同的解法，其实有着千丝万缕的联系，初中研究的是凸多边形，不研究凹多边形，就像“去”和“回”，凸和凹也是一个对称，它们的地位是平衡的，就是对称的，线段AB和CD是凸出去的边，线段AD 和CD凹进去的边，它们的地位是平衡的，对称的，所以有同样的功能。
再让我们宏观观察上述解法，可以统一为割补法，“割”和“补”也是一种对称，能割就能补。
如图:AC平分∠BAD，CE⊥AB，BC=CD，∠ADC+∠B=180°。
试探究线段2AE与AB、AD的数量关系。
解法一：由于已知条件中，有角平分线，所以根据角平分线的性质，马上想到过点C作AD的垂线段，在角平分线的两边构造对称全等。
其实，我们也可以这样思考：观察图形，发现线段AD和线段AB平等的位居于角平分线的两侧，它们是对称的，既然线段AB上已经有了垂线段CE，线段AD上也应有垂线段，起到补短的作用。
解法二：进一步思考，我们还可以在长线段AB上构造出和线段AD一样的线段，从而在角平分线AC两旁构造对称全等。
起到了截长的作用。
解法三：以CE为对称轴在CE 的左边构造和△CEB全等的三角形。
（可归为截长）
解法四：还是以CE 为对称轴在CE的右边构造和△ACE全等的三角形。
（可归为补短）
以上解法看似不同，其实可以归一，尽管构造的角度不同，都充分利用了图形中隐含部分线段或图形的对称性在添加辅助线构造对称全等，也与我们常说的截长补短呼应，而“截长”与“补短”也是一种对称。
1998年，据说在北京大学学生中间风靡一本书叫《可怕的对称》（作者美国阿.热），这是阐释“对称”如何奠定现代物理学上的思想和美学的基础的第一本书。
通过这本书，我们可以从身边左右对称的活生生的形式深入到大自然基本规律的深刻而抽象的对称，展现了“对称”是如何规划大自然的宏伟构造的。
人类研究的各个领域，无不来源于这个世界，这个世界的“对称”
即平衡、和谐无处不在。
数学的美就体现在它的高度的严谨和合理而达到内在和谐，这种合理和和谐，正是数学科学的广义的对称。
在数学教学中，数学思想的建构无比重要，是授人以渔的一个方向。
刚看到“广义对称”这个名词，我是无知的，反复阅读、思考，并结合具体教学有了以上朦胧而又浅显的认识，那是远远不够的，还要在今后的工作中细细品味，思考，方能略知一二，为发展学生思维，培养学生强大的头脑服务。