分式的加减法
分式加减法则
242422++-=+--=a a a a a a 31))1)(1()1()1)(1(3222--⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++--+--x x x x x x x x x 3431)1)(1(44--=--•-+--x x x x x x 311131)1)(1()1)(3(--⨯-+---⨯-++-x x x x x x x x x x 343)1(33133--=-+--=-+---x x x x x x x x 1．分式加减法法则（1）通分：把异分母的分式化为同分母分式的过程，叫做通分（2）同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变．分子相加减．用字母表示为：bc a b c b a ±=± （3）异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分．变为同分母的分式后再加减．用字母表示为：bd bc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=± 问题：通分有哪些应注意的问题，通分与约分之间又有哪些区别与联系呢?探究：通分的关键是确定几个分式的最简公分母，其步骤如下：①将各个分式的分母分解因式；②取各分母系数的最小公倍数；③凡出现的字母或含有字母的因式为底的幂的因式都要取；④相同字母或含字母的因式的幂的因式取指数最大的；⑤将上述取得的式子都乘起来，就得到了最简公分母。
如分式223c a b ，c b a 35的最简公分母为15a 2b 3c 2，通分的结果为23242215a 53c b b c a b =老师：学习了通分和约分后，你能总结出通分和约分的区别和共同点吗?小明：通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形．小勇：约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，把各分式的分母统一起来． 小刚：通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，在变形中都保持分式的值不变．老师：一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式．分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备．yx y x y x x y x y x y x y x x y x y x y x y x y x y x y x x y x y x +=-+++--=-++-++--+-=-+--+2))((2)()())((2))(())((21122 例题22)44(42)2(42)2(241224224222+++-=++-=++-+=+-+=--+a a a a a a a a a a a a 名师点金：（1）异分母分式相加减步骤如下：分母能分解因式的分解因式；确定最简公分母；通分；同分母分式加减；化成最简形式．（2）分式与整式进行加减，要把整式当成分母为“1”的式子．与分式进行通分，再计算．（3）分式中的分数线有括号的作用，单个的分式分子、分母不用加括号，只要几个分式统一成一个分式时，原来隐藏的话号主写出来。
分式的加减法
2、学会用转化的思想将异分母的分式的加减转化成同分母分 式的加减法．
3、以后，不再犯像小明那样不找最简公分母的错误．
课后作业: 习题3.4
1、2、3、4
分式的加减法（二）
习题分析： 1、确定几个分式的最简公分母的方法： （1）系数：分式分母系数的最小公倍数； （2）因式：凡各分母中出现的不同因式
小亮： 3 1 3 4 1 12 1 13 a 4a a 4 4a 4a 4a 4a
你对这两种做法有何评论？与同伴交流。
练习与提高
例1 :计算
（1） 3 a 15 a 5a
=
15 a 15 a 1 5a 5a 5a 5
（
2）
x
2
1
x 1 1 x
= 2 1 x 3 x x 1 x 1 x 1
x 1 x 1 x 1
x 1
x 1
同分母分式加减法则： 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
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第三章 分式
分式的加减法
情景引入
从甲地到乙地有两条路，每条路都是3 km，其中第一条路是 平路，第二条路有1km的上坡路，2 km的下坡路。小丽在上坡路
的骑车速度为v km/h，在平路上的骑车
速度为 2v km/h，在下坡路的骑车速度为3v km/h，那么
1.当走第一条路时，她从甲地到乙地需多长时间？ 2.当走第二条路时，她从甲地到乙地需多长时间？ 3.她走哪条路花费的时间少？少用多长时间？
分式的加减法
分式的加减法（第一课时）学习目标：1、 经历探索分式加减运算法则的过程，理解其算理。
2、 会实行简单分式的加减运算，具有一定的代数化归水平。
3 、持续与分数情形类比以加深对新知识的理解4、 逐步实行数学的演绎推理，提升数学的理性水平。
进一步体会分式的模型思想。
学习重点：同分母分数的加减法的法则。
学习难点：通分后对分式的化简.学习过程：学案1、阅读课本P15页问题3和问题42、想一想（1）、同分母分数如何加减？（并举例）（2）、猜一猜，同分母的分式应该如何加减？(与分数实行类比)3、再想一想（1）、异分母的分数如何加减？比方a 3+a41=？ （2）、猜一猜，异分母的分式应该如何加减？ 【确定各分母的最简公分母】4、用公式如何表示。
5、做例66、做练习1、2教案1． P15问题3是一个工程问题，题意比较简单，仅仅用字母n 天来表示甲工程队完成一项工程的时间，乙工程队完成这个项工程的时间可表示为n+3天，两队共同工作一天完成这项工程的311++n n .这样引出分式的加减法的实际背景，问题4的目的与问题3一样，从上面两个问题可知，在讨论实际问题的数量关系时，需要实行分式的加减法运算.2． P15[思考]是为了让学生回忆分数的加减法法则，类比分数的加减法，分式的加减法的实质与分数的加减法相同，让学生自己说出分式的加减法法则.3．P16例6计算应用分式的加减法法则.第（1）题是同分母的分式减法的运算，第二个分式的分子式个单项式，不涉及到分子变号的问题，比较简单，所以要补充分子是多项式的例题，教师要强调分子相减时第二个多项式注意变号；第（2）题是异分母的分式加法的运算，最简公分母就是两个分母的乘积，没有涉及分母要因式分解的题型.题型也过于简单，所以在练习中教师应适当补充一些题，巩固分式的加减法法则.（补充）例.计算（1）2222223223y x y x y x y x y x y x --+-+--+[分析] 第（1）题是同分母的分式加减法的运算，强调分子为多项式时，应把多项事看作一个整体加上括号参加运算，结果也要约分化成最简分式. 解：2222223223yx y x y x y x y x y x --+-+--+ =22)32()2()3(yx y x y x y x --++-+ =2222y x y x -- =))(()(2y x y x y x +-- =yx +2 (2)96261312--+-+-x x x x [分析] 第（2）题是异分母的分式加减法的运算，先把分母实行因式分解，再确定最简公分母,实行通分，结果要化为最简分式. 解：96261312--+-+-x x x x =)3)(3(6)3(2131-+-+-+-x x x x x =)3)(3(212)3)(1()3(2-+---++x x x x x =)3)(3(2)96(2-++--x x x x =)3)(3(2)3(2-+--x x x =623+--x x 巩固案1、 计算：（1）a 3+aa 515- （2）12-x ＋x x --11（3）m n n m -+2+m n n -－m n n -2 （4）252--x x －2-x x －x x -+212、计算： (1)ba ab b a b a b a b a 22255523--+++ （2）m n m n m n m n n m -+---+22（3）96312-++a a （4）ba b a b a b a b a b a b a b a ---+-----+-875465633、计算：（1）22233343365cba b a c ba a b bc a b a +--++； （2）2222224323xy y x y x y x y x x y ----+--- 4、计算：（1）22943461461x y x y x y x --+--；（2）1123----x x x x5、在下面的计算中，准确的是（ ） A a 21+b 21 =)(21b a + B a b ＋c b =acb 2 C ac －a c 1+=a 1 D b a -1＋ab -1=0 6、下面运算中，准确的是（ ） A －y x ＋y z =－y z x + B －y x ＋y z =y x z - Cc b a -－c b a +=0 D 2)1(-a a +2)1(1a -=11-a。
12.3(2)分式的加减法
学习目标
学习目标： 1.复习并巩固分式的运算法则.（重点) 2.能熟练地进行分式的异分母运算.(难点 ）
一、自学指导：(5分钟）
阅读课本13-14页， 回答导学案的问题
要求：独立思考 认真书写
自主学习答案
通分：把几个异分母分式分别化成与它们相等的同分母 分式，叫做分式的通分。
公分母;这个相同的分母叫做这几个分式的公分母。
合作探究一答案
（ 1）
6y3 4x 2 3y ， 2， 2 2 12xy 12xy 12xy
x -3 x 3 ， x 3x - 3 x 3x - 3
（ 2）
1 a2 ， a 2a - 2 a 2a - 2
（ 3）
【通分的一般步骤】(1)确定分母的最简公分母．
异分母的两个分式相加减 ，先通分,化为同分母的分 式,再相加减.
激情小组 作业
二、合作探究一
探究：异分母的分式加减法法则
时间：5分钟 要求：先独立思考2分钟 然后小组讨论3分钟 组长组织 全员参与
合作探究一答案
（ 1）
4 a 4-a - 2 2 2 a a a
（ 2）
b a ab ab ab ab
异分母的分式加减法则：
异分母的两个分式相加减 ，先通分,化为同 分母的分式,再相加减.
(2)用最简公分母分别除以各分母求商． (3)用所得到的商分别乘以分式的分子、分母，化成同
分母的分式．
三、随堂练习
时间：7分钟
要求：独立思考 认真书写
规范步骤
随堂练习答案
(1) (3)
6 x 3x - 3
(2) (4)
1 a2
y-x xy
a 3 a 1a -1
分式加减法运算法则
分式加减法运算法则分式加减法运算法则：1. 分式加法：分式加法是把分子相加或者相减，而分母保持不变，用一个新分式来表示和或差。
一般格式是：（分子1/分母）➕（分子2/分母）=（分子1+分子2/分母）。
2. 分式减法：分式减法也是把分子相减或者相加，而分母保持不变，用一个新分式来表示差。
一般格式是：（分子1/分母）➖（分子2/分母）=（分子1-分子2/分母）。
3. 分式整体乘法：分式整体乘法是将两个分式的分子相乘，而分母相乘。
一般格式是：（分子1/分母1）×（分子2/分母2）=（分子1×分子2/分母1×分母2）。
4. 分式整体除法：分式整体除法是将分式的分母相乘，而分子相乘。
一般格式是：（分子1/分母1）÷（分子2/分母2）=（分子1×分母2/分母1×分子2）。
5. 一般的分式的运算：在分式加减法和分式乘除法之后，还可以进行一般的计算，比如：（分子/分母）+（x/分母）+3=（分子+x+3×分母/分母）。
其中的 +x 和+3 就是一般的计算。
因此，在做分式加减法和乘除法的时候，我们首先要确定每个分式中分子和分母，然后根据其法则做整体或一般计算，得出正确结果。
此外，分母一般不能为0，否则会出现无穷大或者不可定义解答；分子和分母要使用相同的符号，否则会导致结果的正负不正确；如果分子和分母出现了负数，要根据实际情况将负号带到分子或者分母，以便能够得到正确的答案。
此外，分式的运算还有一个重要的技巧，即分数化简，就是用数学技巧找出分数的最简形式。
常用的分数化简诀窍就是先分子分母分别除以最大公约数，然后将分子和分母比较，可以将分母统一为最小值，再算出最终结果。
例如，有分式等式：（4/8）=（2/4），明显可以看出它们的最简形式应该为：（1/2）=（1/2），所以，我们只要在做分数运算的时候注意分数化简，就可以得出正确的答案。
总之，分式加减法和乘除法运算都要掌握其基本原理和规律，熟悉一般计算技巧，注意分数化简，以及分母不能为0，就可以得出正确的结果了。
《分式的加减法》分式
举例
$\frac{5}{x}$是一个分式 ，无论x取何值，这个分式 的值都会改变，但不会影 响其他分式的值。
分式的约分
定义
把一个分式的分子和分母的公因 式约去，叫做分式的约分。
解释
约分是为了简化分式，使它变得更 容易操作和计算。
举例
$\frac{x^{2} + 5}{x - 3}$可以约分 成$\frac{x^{2} + 5}{(x - 3)(x + 2)}$，这样更便于后续的计算和分 析。
光学领域
在光学研究中，分式被用来描述光的反射、折射 和散射等现象。
电学领域
在电路设计和分析中，分式被用来描述电流、电 压和电阻之间的关系。
化学学科中的分式
化学反应速率
在研究化学反应速率时，分式被用来描述反应速率与反应物 浓度的关系。
化学平衡
在研究化学平衡时，分式被用来描述反应物和生成物之间的 比例关系。
02
分式的加减法
同分母分式的加减法
计算原理
同分母分式相加减，分子的加减 相当于整个分式的分子乘以同一
个数，分母不变。
实例
如$\frac{2x}{3x}$和 $\frac{3x}{3x}$相加，就相当于 $\frac{2x+3x}{3x}=\frac{5x}{3x
}$。
注意事项
在进行同分母分式的加减法时， 要保证分母不为0，且分母不变
解法
通过消元法或代入法求解。
分式方程的解法与实际应用
解法
对于一元一次分式方程，通常使 用去分母的方法求解；对于二元 一次分式方程组，通常使用消元 或代入的方法求解。
实际应用
分式方程在现实生活中有着广泛 的应用，如工程问题、行程问题 等。
八年级上册数学分式的加减法知识点
八年级上册数学分式的加减法知识点数学起源于人类早期的生产活动，古巴比伦人从远古时代开始已经积累了一定的数学知识，并能应用实际问题。
下面是小编整理的八年级上册数学分式的加减法知识点，仅供参考希望能够帮助到大家。
八年级上册数学分式的加减法知识点1.通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形.约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言;约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来.2.通分和约分都是依据分式的基本×质进行变形，其共同点是保持分式的值不变.3.一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备.4.通分的依据：分式的基本×质.5.通分的关键：确定几个分式的公分母.通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母.6.类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.7.同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
同分母的分式加减运算，分母不变，把分子相加减，这就是把分式的运算转化为整式运算。
8.异分母的分式加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减.9.同分母分式相加减，分母不变，只须将分子作加减运算，但注意每个分子是个整体，要适时添上括号.10.对于整式和分式之间的加减运算，则把整式看成一个整体，即看成是分母为1的分式，以便通分.11.异分母分式的加减运算，首先观察每个公式是否最简分式，能约分的先约分，使分式简化，然后再通分，这样可使运算简化.12.作为最后结果，如果是分式则应该是最简分式.数学解题方法技巧和思路有哪些选择题的解法1、直接法：根据选择题的题设条件，通过计算、推理或判断，最后得到题目的所求。
2、特殊值法：(特殊值淘汰法)有些选择题所涉及的数学命题与字母的取值范围有关; 仔细审题考试时精力要集中，审题一定要细心。
分式加减运算法则
探究பைடு நூலகம்习
一 通分
问题 类比分数的通分你能把下列分式化为分母相同的分式吗？
1 与3 ab a
ab是最简公分母
通分
把几个异分母分式分别化成与它们相等的同分母分式，叫做 分式的通分，这个相同的分母叫做这几个分式的公分母.
典例精析
例1 通分（1）
3 2a2b
与
ab ab2c
;
解：
3 与ab
2a2b ab2c
（3）把单独出现的因式连同它的指数作为最简公分母的其余 因式.
注意：当多项式不是以乘积的形式出现时，通分之前需要对 各分母进行因式分解
针对训练
1、
x y 2xy
,y x2
,
x 6xy
y
2
的最简公分母是
（
）
2、通分
（1）
3
4a 2b
,1
6b 2c
（2）
1 , 1
x 2 1 x 2 2x 1
二 异分母分式的加减
2 a2 b2 c
最小公 最高 单独 倍数 次幂 字母
最简公分母
典例精析
（2） 解：
1
与1
3(x 1)( x 3) 2x 12
1
与1
3(x 1)( x 3) 2x 12
6x 12 (x 3)
最小公 最高 单独 倍数 次幂 因式
最简公分母
想一想 通分的步骤
（1）确定分母的最简公分母． （2）用最简公分母分别除以各分母求商． （3）分式的分子和分母同时乘以所得的商．
问题 请你认真完成下列运算：
1 1 3 2 5; 23 66 6 1 1 32 1. 23 66 6
想一想 异分母分数如何加减？
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3 分式的加减法
第1课时
1.能类比分数的加减法则得到分式加减运算法则.
2.能把分母互为相反数的分式转化成同分母分式进行加减运算.
3.能应用同分母分式加减运算法则进行分式的加减运算.
4.重点:同分母分式的加减运算.
问题探究一同分母分式加减运算
阅读教材本课时至“例2”上面的所有内容,解决下列问题.
1.利用分数运算法则计算:+= = ,-= -= .
2.若把1题中的5改为a,则+=
= ,-=-= .
3.通过上面计算你能写出分式+的结果吗?-呢?
+=,-=-.
【归纳总结】同分母分式相加减, 分母不变,把分子相加减.即:±= .
【讨论】在同分母分式加减法±=中,g只能是单项式吗?
不是,g既可以是单项式也可以是多项式.
【预习自测】化简
--
-
的结果是(A)
A.1
B.-1
C.n-m
D.-m-n
问题探究二分母互为相反数分式的加减运算
阅读教材本课时”例2”的内容,解决下列问题.
1.式子a+b与-a-b是什么关系?a-b与b-a呢?能用等式表示它们之间的关系吗?
互为相反数,互为相反数,-a-b=-(a+b),b-a=-(a-b).
2.分式与
--能化成分母相等的分式吗?
-
与
-
呢?
--=
-
=-;
-
=
--
=-
-
.
3.计算:
-+
-
的值.
解:
-+
-
=
-
+
--
=
-
-
-
=-
-
=1.
【归纳总结】对于分母互为相反数的两个分式相加减时,通常需要添加“-”号后,变成分母相同的分式,再加减.
【预习自测】化简
-+
-
的结果是(D)
A.x+1
B.x-1
C.—1
D. 1
互动探究1:化简
--
-
的结果是(A)
A.a+b
B.a-b
C.a2-b2
D.1
[变式训练]求分式
-+
-
-
-
的值.
解:原式=-
-=-
-
=-.
【方法归纳交流】同分母分式相加减法则,对于含有三个或三个
以上的分式同样适用.分式加减运算的结果一定是最简分式或整式.
互动探究2:计算:
(1)
-+-
-
;(2)
-
+
-
+
-
.
解:(1)原式=
---
-
=-
-
=
-
.
(2)原式=
--
-
+
-
=-
-
=-
-
=-.
互动探究3:先化简,再求值:(
-+
-
·-,其中x=-2.
解:原式=(
--
-
·-=-
-
·-=-
-
·-=x-1.
当x=-2时,x-1=-2-1=-3.
互动探究4:甲工程队完成一项工程需要n天,乙工程队的工作效率是甲工程队的,求甲、乙两队合作一天完成的工作量.
解:+=,甲、乙两队合作一天完成这项工程的.
[变式训练]甲、乙两队合作完成这项工程需要多少天?
解:1÷=,即甲、乙两队合作完成这项工程需要天.
见《导学测评》P38。