分式加减法
分式加减法则
242422++-=+--=a a a a a a 31))1)(1()1()1)(1(3222--⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++--+--x x x x x x x x x 3431)1)(1(44--=--•-+--x x x x x x 311131)1)(1()1)(3(--⨯-+---⨯-++-x x x x x x x x x x 343)1(33133--=-+--=-+---x x x x x x x x 1．分式加减法法则（1）通分：把异分母的分式化为同分母分式的过程，叫做通分（2）同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变．分子相加减．用字母表示为：bc a b c b a ±=± （3）异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分．变为同分母的分式后再加减．用字母表示为：bd bc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=± 问题：通分有哪些应注意的问题，通分与约分之间又有哪些区别与联系呢?探究：通分的关键是确定几个分式的最简公分母，其步骤如下：①将各个分式的分母分解因式；②取各分母系数的最小公倍数；③凡出现的字母或含有字母的因式为底的幂的因式都要取；④相同字母或含字母的因式的幂的因式取指数最大的；⑤将上述取得的式子都乘起来，就得到了最简公分母。
如分式223c a b ，c b a 35的最简公分母为15a 2b 3c 2，通分的结果为23242215a 53c b b c a b =老师：学习了通分和约分后，你能总结出通分和约分的区别和共同点吗?小明：通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形．小勇：约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，把各分式的分母统一起来． 小刚：通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，在变形中都保持分式的值不变．老师：一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式．分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备．yx y x y x x y x y x y x y x x y x y x y x y x y x y x y x x y x y x +=-+++--=-++-++--+-=-+--+2))((2)()())((2))(())((21122 例题22)44(42)2(42)2(241224224222+++-=++-=++-+=+-+=--+a a a a a a a a a a a a 名师点金：（1）异分母分式相加减步骤如下：分母能分解因式的分解因式；确定最简公分母；通分；同分母分式加减；化成最简形式．（2）分式与整式进行加减，要把整式当成分母为“1”的式子．与分式进行通分，再计算．（3）分式中的分数线有括号的作用，单个的分式分子、分母不用加括号，只要几个分式统一成一个分式时，原来隐藏的话号主写出来。
分式的加减法
分式的加减法一、同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减。
例1、（2012∙德阳）计算：（1）22555x x x +--=；（2）2222223223x y x y x y x y x y x y++--+---=。
变式1-1、（2012∙天津）计算：（1）21644x x x ---=；（2）2111x x x -+--=；（3）()()22111x x x ---=。
二、异分母的分子相加减，先通分，变为同分母的分式，然后相加减。
例2、a b 、为实数，且1ab =，设11,1111a b P Q a b a b =+=+++++，则P Q （填“>”“<”或“=”）。
变式2-1、已知11,,,11n n n n M N P n n n ->===-+，则M N P 、、的大小关系为。
例3、计算： （1）22142x x x ---=；（2）211a a a -++=；（3）2312224x x x x +-+--=。
变式3-1、计算：（1）222a a a --+=；（2）26342m m m --+=；（3）22b a b a b-++=；（4）222m n mn m n m n m n -+-+-=；（5）2232244m n m n m mn n ----+=；（6）22112x x y x y x y-++--=；（7）223215233249a a a a +--+--=。
三、分式的加减、乘除、乘方混合运算例4、计算：（1）（2011∙南充）221a b a b a b b a ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭=；（2）222161816416x x x x x x ⎛⎫-+÷ ⎪++--⎝⎭=。
变式4-1、计算：（1）22221369x y x y x y x xy y+--÷--+=；（2）211111x x x x ⎛⎫÷+ ⎪--+⎝⎭=；（3）2236214422x x x x x x --⎛⎫÷- ⎪+++-⎝⎭=；（4）()222211121a a a a a a +-÷+---+=；（5）()2222222232a c a a c bc a b ⎛⎫⎛⎫-∙+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=；（6）2222221121x x x x x x x ---÷+--+=；（7）22214244x x x x x x x x +--⎛⎫-÷⎪--+⎝⎭=；（8）2221111x x x ⎛⎫÷+ ⎪--+⎝⎭=。
分式的加减法
2、学会用转化的思想将异分母的分式的加减转化成同分母分 式的加减法．
3、以后，不再犯像小明那样不找最简公分母的错误．
课后作业: 习题3.4
1、2、3、4
分式的加减法（二）
习题分析： 1、确定几个分式的最简公分母的方法： （1）系数：分式分母系数的最小公倍数； （2）因式：凡各分母中出现的不同因式
小亮： 3 1 3 4 1 12 1 13 a 4a a 4 4a 4a 4a 4a
你对这两种做法有何评论？与同伴交流。
练习与提高
例1 :计算
（1） 3 a 15 a 5a
=
15 a 15 a 1 5a 5a 5a 5
（
2）
x
2
1
x 1 1 x
= 2 1 x 3 x x 1 x 1 x 1
x 1 x 1 x 1
x 1
x 1
同分母分式加减法则： 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
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第三章 分式
分式的加减法
情景引入
从甲地到乙地有两条路，每条路都是3 km，其中第一条路是 平路，第二条路有1km的上坡路，2 km的下坡路。小丽在上坡路
的骑车速度为v km/h，在平路上的骑车
速度为 2v km/h，在下坡路的骑车速度为3v km/h，那么
1.当走第一条路时，她从甲地到乙地需多长时间？ 2.当走第二条路时，她从甲地到乙地需多长时间？ 3.她走哪条路花费的时间少？少用多长时间？
分式加减法练习题
分式的加减法分式的加减法：（1）23+34=34⨯+ 34⨯= （2）abab 610-= （3）1a +1b =ab +ab= （4）b a 21+21ab= 因为最简公分母是___________，所以b a 21+21ab = ＝_____________________＝_____________________＝_____________________-.提示：通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母（叫做最简公分母）.例如第（1）小题中的两个分式b a 21和21ab，它们的最简公分母是（5）y x -1+yx +1 因为最简公分母是___________，所以y x -1+y x +1 =（6）1()x x y -+yx +1 因为最简公分母是___________，所以1()x x y -+yx +1 =练习A ： （1）a a 21+= （2）bc a c -= （3）a c b a c b ++- （4）ba b b a a +++=（5）ab b b a a －+-= （6）x x -++1111 =（7）231x ＋x43； 因为最简公分母是_____，所以231x ＋x43 ＝2134x ⨯＋34x＝+＝（8）221y x -+xy x +21 因为 x 2－y 2＝（x+y ）( ), x 2＋xy ＝x( ), 所以221y x -与xy x +21的最简公分母为＿＿＿＿＿，因此221y x -+xy x +21 ＝1()x y+＋1x ＝+（9）231x +xy125； 因为最简公分母是___________ =（10）24ab a b -；B 组（1）xy y x xy y x 2)(2-++）（； （2）xyy x xy y x 22)()(--+（3）x x +21+x x -21. 最简公分母是__________ =（4）1624432---x x （5）aa a +--22214；（6）224-++a a （7）112---x x x .（8）323111x x x x⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-；（9）⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⋅+-y x x y x y x x 2121.(10)林林家距离学校a 千米，骑自行车需要b 分钟，若某一天林林从家出发迟了c 分钟，则她每分钟应多骑多少千米，才能像往常一样到达学校(11)周末，小颖跟妈妈到水果批发市场去买苹果.那儿有两种苹果，甲种苹果每箱重m 千克，售a 元；乙种苹果每箱重n 千克，售b 元.请问，甲种苹果的单价是乙种苹果的多少倍。
分式加减法运算法则
分式加减法运算法则分式加减法运算法则：1. 分式加法：分式加法是把分子相加或者相减，而分母保持不变，用一个新分式来表示和或差。
一般格式是：（分子1/分母）➕（分子2/分母）=（分子1+分子2/分母）。
2. 分式减法：分式减法也是把分子相减或者相加，而分母保持不变，用一个新分式来表示差。
一般格式是：（分子1/分母）➖（分子2/分母）=（分子1-分子2/分母）。
3. 分式整体乘法：分式整体乘法是将两个分式的分子相乘，而分母相乘。
一般格式是：（分子1/分母1）×（分子2/分母2）=（分子1×分子2/分母1×分母2）。
4. 分式整体除法：分式整体除法是将分式的分母相乘，而分子相乘。
一般格式是：（分子1/分母1）÷（分子2/分母2）=（分子1×分母2/分母1×分子2）。
5. 一般的分式的运算：在分式加减法和分式乘除法之后，还可以进行一般的计算，比如：（分子/分母）+（x/分母）+3=（分子+x+3×分母/分母）。
其中的 +x 和+3 就是一般的计算。
因此，在做分式加减法和乘除法的时候，我们首先要确定每个分式中分子和分母，然后根据其法则做整体或一般计算，得出正确结果。
此外，分母一般不能为0，否则会出现无穷大或者不可定义解答；分子和分母要使用相同的符号，否则会导致结果的正负不正确；如果分子和分母出现了负数，要根据实际情况将负号带到分子或者分母，以便能够得到正确的答案。
此外，分式的运算还有一个重要的技巧，即分数化简，就是用数学技巧找出分数的最简形式。
常用的分数化简诀窍就是先分子分母分别除以最大公约数，然后将分子和分母比较，可以将分母统一为最小值，再算出最终结果。
例如，有分式等式：（4/8）=（2/4），明显可以看出它们的最简形式应该为：（1/2）=（1/2），所以，我们只要在做分数运算的时候注意分数化简，就可以得出正确的答案。
总之，分式加减法和乘除法运算都要掌握其基本原理和规律，熟悉一般计算技巧，注意分数化简，以及分母不能为0，就可以得出正确的结果了。
分式加减法教案
:、高速公路问题从甲地到乙地有两条长路：一条是全长600km的普通公路,另一条是全长480km的高速公路.某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45km/h,由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半,求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间.这一问题中有哪些等量关系？如果设客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间为xh ,那么它由普通公路从甲地到乙地所需的时间为ho让学生观察运算,通过小组讨论交流在做习题之前,由同学们合作交流根据题意,可得方程:三电脑网络培训问题王军同学准备在课外活动时间组织局部同学参加电脑网络培训,按原定的教师提出问题再次让学生经历从实际问题抽象、概括分式方程这一“数学化〞的过程, 体会分式方程的模型作用,设置了这么一个例题, 关键是引导学生努力寻找问题中的所有等量关系, 开展学生分析问题、解决问题的水平.数的2倍, 费用享受了优惠,一共只需要480元,参加活动的每个同学平均分摊的费用比原方案少4元,原定的人数是多少？这一问题中有哪些等量关系？如果设原定是x人,那么每人平均分摊x 2x四、议一议解分式方程时,小明的解为x案正确吗？得结果的合理性.初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会,去解决日常生活中和其他学科学习中的问题,增强应用数学的意识；初步熟悉数学与人类生活的密切联系及对人类历史开展的作用,体验数学活动充满着探索与创造, 感受数学的严谨性以及数学结论确实定性；体会数学与自然及人类社会的密切联系,了解数学的价值,增进对数学的理解和学好数学的信心; 方程列式小黑板教学过程教学步骤教:活学生活动教学意图情感、态度、价值观教学重点教学难点教具准备列方程,解方程学具准备书,笔,草稿本。
《分式的加减法》分式
举例
$\frac{5}{x}$是一个分式 ，无论x取何值，这个分式 的值都会改变，但不会影 响其他分式的值。
分式的约分
定义
把一个分式的分子和分母的公因 式约去，叫做分式的约分。
解释
约分是为了简化分式，使它变得更 容易操作和计算。
举例
$\frac{x^{2} + 5}{x - 3}$可以约分 成$\frac{x^{2} + 5}{(x - 3)(x + 2)}$，这样更便于后续的计算和分 析。
光学领域
在光学研究中，分式被用来描述光的反射、折射 和散射等现象。
电学领域
在电路设计和分析中，分式被用来描述电流、电 压和电阻之间的关系。
化学学科中的分式
化学反应速率
在研究化学反应速率时，分式被用来描述反应速率与反应物 浓度的关系。
化学平衡
在研究化学平衡时，分式被用来描述反应物和生成物之间的 比例关系。
02
分式的加减法
同分母分式的加减法
计算原理
同分母分式相加减，分子的加减 相当于整个分式的分子乘以同一
个数，分母不变。
实例
如$\frac{2x}{3x}$和 $\frac{3x}{3x}$相加，就相当于 $\frac{2x+3x}{3x}=\frac{5x}{3x
}$。
注意事项
在进行同分母分式的加减法时， 要保证分母不为0，且分母不变
解法
通过消元法或代入法求解。
分式方程的解法与实际应用
解法
对于一元一次分式方程，通常使 用去分母的方法求解；对于二元 一次分式方程组，通常使用消元 或代入的方法求解。
实际应用
分式方程在现实生活中有着广泛 的应用，如工程问题、行程问题 等。
八年级数学分式的加减法
解析
观察分子和分母，可以发 现它们的公因式为 x(x + 2)。将分子和分母分别除 以公因式，得到最简分式 为 2。
例题2
求分式 (x^2 - 4) / (x - 2) 在 x = 3 时的值。
解析
首先观察分式，发现分子 可以因式分解为 (x + 2)(x - 2)，分母为 x - 2。将分 子和分母约去公因式 x - 2， 得到最简分式为 x + 2。然 后将 x = 3 代入最简分式 中，得到结果为 5。
对于包含多个项的分式加减法，可以 先将能凑成整数的项分组进行运算， 简化计算过程。
注意
在运算过程中，要时刻保持表达式的 简洁性，及时化简中间结果。
03 分式化简与求值方法
分式化简步骤和技巧
找出分子和分母的公因式
检查结果
在化简分式前，首先需要找出分子和分母 中的公因式。这可以通过观察分子和分母 中的各项，找出它们的公共因子来实现。
计算结果未化简到最简形式
在得出计算结果后，学生容易忽视将结果化简到最简形式的要求， 导致答案不标准或不完整。
练习题及参考答案
1. 计算：(1/x) + (1/y) = ?
【分析】本题考查异分母分式的加法运算。首先观察两个分式的分母不同，因此 需要先通分。通分时可以选择两个分母的最小公倍数xy作为通分后的分母，然后 将分子进行相应的变化，最后进行加法运算。
分式的加减法法则
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母 的分式，再加减。
易错难点剖析
忽视分式有意义的条件
在解决分式问题时，学生容易忽视分母不能为零的条件，导致计 算错误或得出无意义的结论。
通分时忽视符号变化
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分式的加减
同分母分式加减法
1）
a a a 5123-+ （同分母分式相加减） 2)y
x y
y x x +++ （同分母分式相加减） =
a （分母不变，分子______） =
y
x + （分母不变，分子______）
= （化最简分式） = （化最简分式） 3)
2
222223223y x y
x y x y x y x y x --+-+--+ （同分母分式相加减）
=
2
2y
x - （分母不变，分子______）
=
2
2y x - （合并同类项）
=
2
2y
x - (提公因式)
= （化最简分式）
注意：1°分数线的括号作用，突出分子是整体. 2°计算结果要化成最简形式 一、基础训练（A 层） 计算下列各式： 1、
m m 155- 2、y
x a y x a --- 3、b a b b a a ---22 4、xy
xy
x xy xy x --+22 5、
22322212252+-++--++x x x x x x 6、()()()
123
21211252+-++--++a a a a a a
7、x x x -++-2224 8、2
23
22232a b c b b a c a --+-- 三、提高训练（B 层）计算下列各式： 11、
m n m n m n m n n m ---+-+22 12、2
2222222y
x x
x y y y x y x ---+-+
13、()()()()z y x y z x z y y x y x --++--+ 14、()()()()()()()
b c b a b a c b a b ab c b b a b a --+-
--+--+2
22
6
二、计算下列各式：（C 层）
15、()()()
222222
22222y xy x xy y x y x y y
x x y x +-÷---+-⋅+ 16、
xy
y x 65
43322-
+ 17、225122--+-m m m m 分式的通分(重难)
定义: 把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式的过程
依据：分式的基本性质
关键：确定几个分式的公分母．
求最简公分母为：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）把相同的字母（因式分解后得到的相同因式）的最高次幂作为最简公分母的一个因式； （3）把只在一个分式的分母中出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式。
例1 通分：
解：∵ 最简公分母是12xy 2，
注：各分母的系数都是整数时，通常取它们的系数的最小公倍数作为最简公分母的系数．
例2 通分
解(1)：∵ 最简公分母是2x(x+1)(x-1)，
注：当分母是多项式时，应先分解因式．
解(2)：将分母分解因式：x 2
-4＝(x+2)(x-2)．4-2x ＝-2(x-2)．
∴最简公分母为2(x+2)(x-2)．
课堂小结
1．通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形．约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把式化繁，从而把各分式的分母统一起来． 2．通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变．
3．一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备．
异分母分式加减法
先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算 1）
b a 11+ （最简公分母是 ） 2)abc
ac ab 433265+-(最简公分母是 ) 解：原式=
+
（化成同分母） 解：原式=
+
+ （化成同分母）
= （按同分母运算） = （按同分母运算）
3)
y
x y x --+1
1 （最简公分母是 ） 解：原式=
+
（化成同分母）
= （按同分母运算）
基础训练（A 层）计算下列各式：
1、 2321x x +
2、 a c a b -224
3、 xy y x 6543322-+
4、ab b a a b b a 22+--
5、111+-x x
6、y
x y x --+1
1
7、
b a b a ++-2121 8、y
x x y x y -++ 9、b a c b b a c a -----1
))(( 10、x
x
x
=+
=+
11
1
11、()(
)b
a b a b b
a b
a b b
a b b a b b a -=--
-=--=--=--
+2
22
2
221)(22 12、1
1
112+--+x x x 13、a a --+242
提高训练（B 层）计算下列各式：
14、 ab a b 4334232++ 15、()
a b a b b a a -+-2
16、 )
1)(1(2
1111-+-+--x x x x 17、
112---x x x 计算下列各式：（C 层）
18、已知式子
3
22)32)(2(115-+
+=-+-x B
x A x x x ，求A 、B 的值。
19、计算：⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-
+y x xy y x y x xy y x 44 20、计算：16
442212143
2++++++-x x x x x x 21、化简代数式：
)
1(1541431321+++⨯+⨯+⨯n n ，并求出当100=n 时代数式的值是多少。
小明每天的早餐都要吃油炸馒头.妈妈买回来的油炸馒头的规格有两种：一种较大，另一种较小.大馒头的重量是小馒头的2倍，而价格也是2倍.一天，他望着金灿灿、香喷喷的大馒头与小馒头，忽然想到了这样一个问题：究竟是买大馒头合算还是买小馒头合算？
妈妈知道小明的心思后嗔怪道：“傻孩子，这有什么区别，大馒头的重量是小馒头的两倍，价格也刚好是两倍关系，这样岂不是买大的和买小的都一样吗？”
“可是油与面粉的价钱总不一样吧？”小明说，“油的价格比面粉贵吧.” “那还用说，油的价格比面粉贵好几倍呢！”妈妈答道，“哦，我明白了，你是想说哪一种馒头油炸时耗油多些？”
“对，在同等价格的情况下，买耗油多些的就是比较合算的.”小明说明后进行了以下的思考：
球形的馒头油炸时所耗油量的多少应该说只与馒头的表面积大小有关，而表面积的大小只与球的半径有关.因此应先弄清楚两种馒头的半径关系.
假设大馒头的半径为R cm ，小馒头的半径为r cm ，则大馒头的体积为34πR 3，小馒头的体积为3
4πr 3,由于大馒头的重量是小馒头的2倍，所以体积也是2倍，故
34πR 3=2×3
4
πr 3, 从而R =32r .
由于两种馒头的形状是相似的，故表面积之比等于半径比（相似比）的平方.设大馒头的表面积为S ，小馒头的表面积为s ，则
s S =（r
R
）2=（32）2=34≈1.587. 所以S ≈1.587s .即s ≈0.630 S .
这说明小馒头的体积虽然是大馒头的一半，但表面积却是一半多，因此两个小馒头的表面积比一个大馒头的表面积大，从而可知油炸2个小馒头的耗油量比一个大馒头多.
至此，小明终于发现：在同等价格的情况下，对商家而言，用大馒头替换小馒头省油，对顾客来说，购买小馒头合算.。