二倍角的正弦余弦正切公式
二倍角的正弦余弦正切公式
cos2α＝cos2α－sin2α
(C2 α)
tan tan
∵ tan(α + β)＝ 1 tan tan
∴ 当α＝β时, tan2α ＝
tan
2
2 tan 1 tan2
.
(T2 α )
利用sin2α+cos2α=1, 公式C2α还可以变形为： cos2α=2cos2α–1=1 –2sin2α.
引例
把下列各式化为一个角的三角函数形式
(1) 3 sin 1 cos
(2)s2in
2
cos
(3)a sin x b cos x
化asin x bcos x 为一个角的三角
函数形式
asin x bcos x
a2
b2
a
sin x
a2 b2
a
令
况，还可以运用于诸如将4α 作为2α 的2倍，将
α 作为 的2倍，将 α 作为 的2倍，将3α 作为3
2
的2倍等等.
2
4
2
例1.已知sinα ＝ 5 ，α ∈( ,π )，求sin2α ，
cos2α ，tan2α 的1值3 .
2
解：∵sinα＝ 5 ，α∈（ , π ),
13
2
∴cosα ＝－ 1 sin2 1 ( 5 )2 12.
3
2
例3 利用三角公式化简 sin 50 (1 3 tan10 ).
例4 若sin( ) 1 ,求sin( 2 ).
解：（2
）6（
3
2）
6
6.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
C.2
B. −
C.−
D.
）
A.
B.
C.
D.
例：在△ABC中， = ， = ，求( + )的值.
解法一：在△ABC中， 由 = ， < < ，得 = − = .
∴ = ( + ) = −
综上：二倍角的正弦、余弦、正切公式如下表
三角函数
正弦
公式
公式的逆用
简记
=
① =
② =
③ =
∴ ( + ) = [( + )] = −(+) =
课后作业：
1.求下列各式的值:
（1）
（2） −
（3）
−
2.求下列各式的值：
（1）
3.已知( − ) =
（1）若 = 求x的值
.
（2）设函数() = ∙ ，求()的最大值.
11.已知( − ) = ，且是锐角，则( − ) 、 ( − ) 、 ( − )分别等于多少？
12.若( + ) = ( < < )，则 等于多少？
3.升幂和降幂公式：
二倍角正弦余弦正切的公式
二倍角正弦余弦正切的公式sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)二倍角余弦公式：cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ) = 2cos²(θ) - 1 = 1 -2sin²(θ)二倍角正切公式：tan(2θ) = (2tan(θ))/(1 - tan²(θ))这些公式是三角函数中的重要定理，可以用于求解各种三角函数的问题。
下面将对这些公式进行推导和证明。
首先，我们先推导二倍角正弦公式。
假设有一个角θ，那么其二倍角为2θ。
可以通过三角函数的和差化积公式推导出二倍角正弦公式。
根据三角函数的和差化积公式：sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)令A=θ，B=θ，则有：sin(2θ) = sin(θ + θ) = sin(θ)cos(θ) + cos(θ)sin(θ) = 2sin(θ)cos(θ)因此，得到二倍角正弦公式：sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)接下来，我们推导二倍角余弦公式。
同样地，我们仍然使用三角函数的和差化积公式。
根据三角函数的和差化积公式：cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)令A=θ，B=θ，则有：cos(2θ) = cos(θ + θ) = cos(θ)cos(θ) - sin(θ)sin(θ) = cos²(θ) - sin²(θ)又根据三角恒等式sin²(θ) + cos²(θ) = 1，我们可以将上式进一步变形：cos(2θ) = cos²(θ) - (1 - cos²(θ)) = 2cos²(θ) - 1因此，得到二倍角余弦公式：cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ) =2cos²(θ) - 1 = 1 - 2sin²(θ)最后，我们推导二倍角正切公式。
二倍角的正弦余弦正切公式
二倍角的正弦余弦正切公式二倍角指的是角度的两倍，即一个角度的两倍。
在三角函数中，我们通常使用θ来代表一个角度，那么二倍角就用2θ表示。
接下来，让我们来看一下二倍角的正弦、余弦和正切公式：1.二倍角的正弦公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ这个公式表示了一个角度的二倍角的正弦值与这个角度的正弦值、余弦值的关系。
具体来说，这个公式表明一个角度的二倍角的正弦值等于这个角度的正弦值和余弦值的乘积的2倍。
2.二倍角的余弦公式：cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ= 2cos^2θ - 1= 1 - 2sin^2θ这个公式表示了一个角度的二倍角的余弦值与这个角度的正弦值、余弦值的关系。
具体来说，这个公式有三种等价的形式，它们分别表示一个角度的二倍角的余弦值等于这个角度的余弦值的平方减去正弦值的平方、等于2倍的余弦值的平方减去1、等于1减去2倍的正弦值的平方。
3.二倍角的正切公式：tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan^2θ)这个公式表示了一个角度的二倍角的正切值与这个角度的正切值的关系。
具体来说，这个公式表明一个角度的二倍角的正切值等于角度的正切值的两倍除以1减去角度的正切值的平方。
使用这些二倍角公式可以方便地计算二倍角的三角函数值，从而简化三角函数的计算。
此外，二倍角公式还有很多应用，例如在解三角方程、求和差化积等问题中。
需要注意的是，这些公式只适用于特定的角度范围，通常是0到360度或者0到2π弧度之间。
当角度超过这个范围时，可能需要利用三角函数的周期性质进行转化。
另外，这些公式的推导可以通过三角函数的定义、三角恒等式和半角公式来完成。
总结起来，二倍角的正弦、余弦和正切公式是三角函数中的重要公式，它们可以方便地计算二倍角的三角函数值，简化三角函数的计算，并且在解三角方程、求和差化积等问题中有广泛的应用。
二倍角的正弦、余弦、正切公式
5 2 12 所以 cos 2 1 sin 2 1 ( ) 13 13
2
sin4 sin[ (2 )] 2 sin2 cos2 2
5 12 120 2 ( ) 13 13 169
理解公式的推导方法
S(α+β)
β＝α
S2α
C2α
作 商
C(α+β)
作 商
T(α+β) β＝α
T2α
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作业
教材P137面习题3.1 A组14、15、
18、19（2）（4）题
tan 2的值.
例5. 已知 tan 2, 求 sin 2 , cos 2 ,
tan 2的值.
2 tan sin 一般地： 2 1 tan2 2 1 tan cos 2 2 1 tan
万能公式 2 tan tan 2 2 1 tan
公式中角有什么特点？
cos 1 sin
2 2
cos2 cos sin
2 2
(1 sin ) sin
2 2
公式左端的角是右端 角的二倍
1 2 sin
2
灵活运用公式
sin 2 2 sin cos
cos2 cos2 sin 2 2 1 2sin 2 2cos 1
两倍角的正弦、余弦、 正切公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin tan tan tan 1 tan tan
二倍角的正弦、余弦、正切公式
归纳小结
(1)二倍角公式是和角公式的特例，体现了 二倍角公式是和角公式的特例， 二倍角公式是和角公式的特例 将一般化归为特殊的基本数学思想方法。 将一般化归为特殊的基本数学思想方法。 (2)二倍角公式与和角、差角公式一样，反 二倍角公式与和角、 二倍角公式与和角 差角公式一样， 映的都是如何用单角α的三角函数值表示 映的都是如何用单角 的三角函数值表示 复角（ 的三角函数值， 复角（和、差、倍）的三角函数值，结合 前面学习到的同角三角函数关系式和诱导 公式可以解决三角函数中有关的求值、 公式可以解决三角函数中有关的求值、化 简和证明问题。 简和证明问题。
化简 sin 50 (1 + 3 tan10 )
o o
cos10o + 3 sin 10o o 解： 原式 = sin 50 ⋅ o cos10 o o 2 sin 40 = sin 50 ⋅ o cos10 o o 2 sin 40 = cos 40 ⋅ o cos10 o sin 80 = =1 o cos10
［例2］若270°＜α＜360°， 化简：
1 1 + 2 2
求值
1 1 + cos 2α 2 2
（1）cos80°cos40°cos20° （2）sin10°sin30°sin50°sin70°
例3
1+sin2 −cos2 θ θ 求 ： 证 = tanθ 1+sin2 +cos2 θ θ
2
1 + 2 sin θ cos θ − (1 − 2 sin θ ) 证明： 证明：左边 = 2 1 + 2 sin θ cos θ + ( 2 cos θ − 1)
同样对于正切也有这样的结论
正弦、余弦、正切的二倍角公式
12 12
62
2 cos4 sin4
22
原式＝ ( cos2 sin 2 )(cos2 sin 2 ) cos 2 222
小结 二倍角公式
sin2= 2sincos
cos2= cos2-sin2
cos2=1-2sin2
cos2=2cos2-1
tan
2
2 tan 1 tan2
观察式子的结构特点，对公式有一个整体感知， 将公式进行等价变形。
例1.已知sin= 3， ,求sin 2,cos 2, tan 2的值
52
例2.已知sin 2 5 , ＜＜ ，求sin 4,cos 4,
13 4
2
tan 4的值.
例3.ABC中, cos A 4 , tan B 2,求 tan 2A 2B
5 的值.
练习1求值：
1. sin 22.5o cos 22.5o
2. 2cos2 1
8
3. 8sin cos cos cos
48 48 24 12
练习2化简：
1 (sin 5 cos5 )(sin 5 cos5 )
12 12 12 12
原式＝sin 2 5 cos2 5 cos 5 3
二倍角的 正弦、余弦、正切公式
复习
( S(+) ) ( S(-) ) ( C(-) ) ( C(+) ) ( T(+) )
( T(-) )
sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin
cos coscos sinsin 令：βαcos2α= cos2α- sin2α
二倍角的正弦、余弦、正切公式
α ≠ π + kπ , α ≠ π + kπ 2 4 2
k ∈Z
运用这些公式要注意如下几点： 运用这些公式要注意如下几点： (1)公式Ｓ2α、C2α中，角α可以是任意角；但公式 公式Ｓ 可以是任意角； 公式 kπ π π T2α只有当 α ≠ kπ + 且α ≠ + （k ∈ Z) 时 2 2 4 才成立，否则不成立。 才成立，否则不成立。 当α＝ ＝
= a2 + b2 ( sin x cosϕ + cos xsinϕ)
= a2 + b2 sin( x +ϕ) = a2 + b2 cos( x −θ )
练习
把下列各式化为一个角的三角函数形式
(1) 2 ( sinα + cosα )
3 1 (2) sinα − cosα 2 2
2 π 6 π (3) sin − x + cos − x 4 4 4 4
(2)sinα + cosα
3 1 (1) sinα + cosα 2 2
(3)asin x + b cos x
化 函数形式
asin x +bcos x
asin x +bcos x
2 2
为一个角的三角
a b = a +b sin x + cos x 2 2 a2 + b2 a +b a cosϕ = a2 + b2 令 b sinϕ = a2 + b2
π
π
4、 (1)求 数 = sin x + cos x的 域 函 y 值 .
(2)函数y = 3sin2x + 3 3cos2x +1 的最小 值是 对 应的x值是 ；最大值 是
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tanA B tan A tan B 11
1 tan A tan B 2
tan
2
A
2B
1
2
tanA B tan 2 A B
44 117
2、倍角公式应用 例4、求下列各式的值：
(1 )2 sin 22.5 cos 22.5
(2) sin 2 cos2
8
8
(3) tan15 1 tan2 15
sin2 cos2 tan2 1
例3. 在ABC中, cosA 4 , tan B 2,求 tan2A 2B的值.
解:
方法一
5 分别算出tan2A,tan2B,再求tan(2A+2B)
在△ABC中,0<A<,得 sin A 1 cos2 A 1 4 2 3
5 5 得 tan A sin A 3 5 3
cos 1 sin2 1 ( 5 )2 12
13
13
sin 2 2 sin cos
2 5 ( 12 ) 120 13 13 169
2、倍角公式应用
例1、已知sin 5 , , ,求 sin 2，
13 2
cos 2 ,tan 2的值
cos 2 1 2 sin2
24 这里蕴含着换元思想
2、倍角公式应用公式
例2、已知tan 2, , ,求 sin 2，
2
cos 2 ,tan 2的值
法一、类似例1求解
法二、分析： sin 2 2 sin cos 2 sin cos 2 tan
sin2 cos2 tan2 1
cos 2 cos2 sin2 cos2 sin2 1 tan2
cos cos sin sin cos2 sin2
cos 2 cos2 sin2 (C2)
二、新授课
（3）、二倍角的正切公式
tan( ) tan tan 1 tan tan
此处 k , k , k ,k Z
2
2
2
tan2 tan( ) tan tan 1 tan tan
13
13
tan sin 5
cos 12
5
tan2
2 tan 1 tan2
2( ) 12
1 ( 5 )2
120 119
12
练习：已知 cos 3 , 2 ,3 ,求 sin，
25
cos ,tan的值
注：“倍”是表述两个数量之间的关系
2是的二倍，是 的二倍
2
再如4是2的二倍， 是 的二倍等等
1
2 tan tan2
tan
2
1
2 tan tan2
k 且 k ,k Z
42
2
(T2)
特别地
sin2 cos2 1
sin2 1 cos2
cos 2 cos2 sin2 cos2 (1 sin2 ) 2cos2 1
又 cos2 1 sin2
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
一、复习
1、两角和的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
2、两角和的余弦公式
cos( ) cos cos sin sin
3、两角和的正切公式
tan( ) tan tan 1 tan tan
kZ
注： 此处 k , k , k
( 4 )1 2 sin2 75
5. 8 sin cos cos cos
48 48 24 12 6.cos cos 2 cos 4
77 7
三、小结
1、二倍角正弦、余弦、正切公式的推导
2、熟记二倍角正弦、余弦、正切公式
3、注意二倍角正弦、余弦、正切公式的 正 向 和逆向运用
4、注意二倍角正弦、余弦、正切公式的 变形 的运用
2
2
2
二、新授课
1、（1）二倍角的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
sin 2 sin( ) sin cos cos sin 2 sin cos
sin2 2 sin cos (S2)
二、新授课
（2）、二倍角的余弦公式
cos( ) cos cos sin sin cos 2 cos( )
1 2 ( 5 )2 119 13 169
tan2 sin 2 ( 120 ) 169 120 cos 2 169 119 119
2、倍角公式应用
变式、已知 sin 5 , , ,求 tan 2的值
13 2
解： sin 5 , ( , )
13
2
cos 1 sin2 1 ( 5 )2 12
7 3
例3 .在ABC中, cosA 4 , tan B 2,求 tan2A 2B的值.
解:
5 方法二 算出tanA,再求tan(A+B),最后求出tan2(A+B)
在△ABC中,0<A<,得 sin A 1 cos2 A 1 4 2 3
5 5 得 tan A sin A 3 5 3
cos 2 cos2 sin2 (1 sin2 ) sin2 1 2 sin2
cos 2 cos2 sin2 2 cos2 1 1 2 sin2
sin2 2sin cos
R
cos 2 cos2 sin2
R
2cos2 1
1 2sin2
四、作业
书课后练习
2012.12.20
课后作业
1.若sin cos 1 , 0, , 求 sin 2，
tan
2
2 tan 1 tan2
k
2
4
,且
k
2
，k Z
以上公式都叫做倍角公式，倍角公式给出了α的三角函数与2α 的三角函数之间的关系
2、倍角公式应用
例1、已知sin 5 , , ,求 sin 2，
13 2
cos 2 ,tan 2的值
解： sin 5 , ( , )
13
2
cos A 5 4 4
tan 2A 2 tan A
2 3 4
24
1 tan 2 A 1 3 2 7
tan
2B
1
2
tan tan
B 2B
22 1 224 3424 4tan2A 2B tan2 A tan 2B
73
44
1 tan 2A tan 2B 1 24 4 117