《线性代数》(陈维新)习题答案(第5章)

(2) 若 ξ1 ∈ Wλ0 ，则对任意的 k ∈ P 有 kξ1 ∈ Wλ0 ; (3) 由(1)，(2)导出 Wλ0 为 P 的一个子空间，称为属于 λ0 的特征子空间．特征子空间 Wλ0 中
n
任意非零向量都是 A 的属于 λ0 的特征向量． 证 (1) ξ1 , ξ 2 ∈ Wλ0 , 所以有 = Aξ1
T
(3)
3 −4 1 −3 4 λ − 1 λ E − 4 −7 8 = −4 λ + 7 −8 = λ 3 − λ 2 − 5λ − 3 = (λ + 1) 2 (λ − 3) , 7 λ −7 −6 6 −7 7
所以特征值为-1,-1,3.
1 −3 4 O , 得属于特征值 3 的特征向量为 求解方程组 (3E − 4 −7 8 ) X = 6 −7 7
1 0 ) X = O , 得属于特征值-1 的特征向量为 0 0
T
ξ = k3 [ 0, −1, 1, 0] + k4 [ −1, 0, 0, 1] (其中 k3 , k4 为不为零的任意数). 2
习题 5.2
1．判断习题 5.1 第 7 题中哪些矩阵可以对角化，对那些可对角化的矩阵 A，写出可逆矩阵 P 使 P AP 为对角矩阵，并写出该对角矩阵． 解 (1) 3 阶矩阵有 3 个线性无 关的特征 向 量 , 所以能 对角化 . 可 逆矩阵可 取 P=
E + A =(−1) n − E − A =0 .
1 不是方阵 A 的特征值，则 E − 2 A 为可逆矩阵”对不对?为什么? 2
6．命题： “若
解
对 , 因 为
1 1 不 是 方 阵 A 的 特 征 值 , 所 以 E−A ≠0 , 从 而 2 2
E−2 = A 2n
1 E − A ≠ 0 . 故 E − 2 A 为可逆矩阵. 2
λ = λ0ξ 2 , 0ξ1 , Aξ 2
0
而 A(ξ1 + ξ 2 ) = Aξ1 + Aξ 2 =
λ0ξ1 + λ0ξ 2 = λ0 (ξ1 + ξ 2 ) , 所以 ξ1 + ξ 2 ∈ Wλ .
λ0 (kξ1 ) , 因此 kξ1 ∈ Wλ .
0
(2) ξ1 ∈ Wλ0 , 所以 Aξ1 = λ0ξ1 , 而 A(k = ξ1 ) kA = ξ1 k λ = 0ξ1
= ξ1 k1 [ 2, 1, 0] + k2 [ −1, 0, 1] (其中 k1 , k2 为不同时为零的任意数).
T T
1 0 0 O , 得属于特征值 3 的特征向量为 求解方程组 (3E − −2 5 −2 ) X = −2 4 −1
ξ 2 = k3 [ 0, 1, 1] (其中 k3 为不为零的任意数).
1 1 1 1 1 1 0 , 相应对角矩阵为 P −1 AP = 2 . 2 1 0 −3
(5) 4 阶矩阵最多只有 3 个线性无关的特征向量, 少于 4 个, 所以不能对角化. (6) 4 阶 矩 阵 有 4 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 , 所 以 能 对 角 化 . 可 逆 矩 阵 可 取 P=
T
所以特征值为-1,-1,1,1.
0 0 求解方程组 ( E − 0 1
T
= ξ1 k1 [1, 0, 0, 1] + k2 [ 0, 1, 1,Baidu Nhomakorabea0] (其中 k1 , k2 为不全为零的任意数).
0 0 求解方程组 (− E − 0 1
T
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 1
0 0 −1 1 1 −1 0 1 −1 . , 相应对角矩阵为 P AP = −1 1 1 0 −1 0 0 1
2 ． 设 3 阶 方 阵 A 有 特 征 值 -1,1,2 ， 它 们 所 对 应 的 特 征 向 量 分 别 为 ξ1 , ξ 2 , ξ3 ， 令
ξ1 = k1 [1, 2, 1] (其中 k1 为不为零的任意数).
T
1 −3 4 O , 得属于特征值-1 的特征向量为 求解方程组 ( − E − 4 −7 8 ) X = 6 −7 7
ξ 2 = k2 [1, 2, 2] (其中 k2 为不为零的任意数).
= Aξ 因为 A = ξη , 所以
T
T ξη = ξ ξ (η T ξ ) , 而η T ξ = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn , 所以
= = = Aξ ξ (η T ξ ) (η T ξ )ξ ( x1 y1 + x2 y2 + + xn yn )ξ , 根据特征向量的定义可得ξ是 A 的特
−1
1 1 0 (C) 与(A)= 一样, 设 A = , B 2 0 2 0
0 ,秩( A )=秩( B ), 但是由于 tr A 与 tr 4
B 不相等, 所以 A 与 B 不相似. 因此(C)不正确.
1 1 0 (D) 与(A)= 一样, 设 A = , B 2 0 2 0
5 3 −3 −1 (5) 0 0 0 0 1 1 1 −1 ; 1 0 2 2
1 −3 4 (3) 4 −7 8 ; 6 − 7 7
0 0 (6) 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 ． 0 0
解
0 0 1 0 0 λ −1 (1) λ E − −2 5 −2 = λ −5 2 2 = (λ − 1) 2 (λ − 3) , 所 以 特 征 值 为 −4 λ + 1 2 −2 4 −1
1,1,3.
1 0 0 O , 得属于特征值 1 的特征向量为 求解方程组 ( E − −2 5 −2 ) X = −2 4 −1
T
5 3 −3 −1 求解方程组 (2 E − 0 0 0 0
T
1 1 1 −1 ) X = O , 得属于特征值 2 的特征向量为 1 0 2 2
T
ξ 2 = k2 [ −1, 0, 0, 3] + k3 [ −1, 1, 0, 0] (其中 k2 , k3 为不为零的任意数).
(3) 由(1)， (2)可知非空集合 Wλ0 = ξ ∈ P n Aξ = λ0ξ 中元素符合加法和数乘的封闭性, 所以构成一个子空间. 5．若方阵 A 有一个特征值为-1，则｜A+E｜= 解 方阵 A 的特征值 ，且说明理由．
{
}
0 , 所 以 有 −E − A = 0 . 从而 λ 满 足 λE − A =
4 3 2 3
所以特征值为 1,2,2,2.
5 3 −3 −1 求解方程组 (1E − 0 0 0 0
1 1 1 −1 ) X = O , 得属于特征值 1 的特征向量为 1 0 2 2
ξ1 = k1 [ 7
− ,9, 1, −2] (其中 k1 为不为零的任意数).
征向量并且对应的特征值为 η T ξ = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn .
4．设 λ0 是 n 阶方阵 A 的一个特征值．记 A 的属于 λ0 的特征向量的全体及零向量为 证明： (1) 若 ξ1 , ξ 2 ∈ Wλ0 ，则 ξ1 + ξ 2 ∈ Wλ0 ;
Wλ0 = λ0ξ } . {ξ ∈ P n Aξ =
7．求出下列矩阵的全部特征值和特征向量
1 0 0 (1) −2 5 −2 ; − 2 4 − 1
−1 3 −1 (4) −3 5 −1 ; 3 3 1 −
4 −5 2 (2) 5 −7 3 ; 6 − 9 4
第五章 特征值和特征向量 习题 5.1
1 1 0 1．解： (A) 设 A = = , B 2 0 2 0
矩阵对角化
0 , 因为秩( A )=秩( B )所以 A 与 B 等价; 但是由 4
于 tr A 与 tr B 不相等, 所以 A 与 B 不相似. 因此(A)不正确. (B) A 与 B 相似, 即存在可逆矩阵 P 使得 P AP = B , 所以秩( A )=秩( B ),因此 A 与 B 等价. (B)是正确的.
0 0 (6) λ E − 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 λ 0 0 −1 0 0 λ −1 0 = = λ 4 − 2λ 2 + 1 = (λ + 1) 2 (λ − 1) 2 , 0 0 −1 λ 0 0 −1 0 0 λ
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 ) X = O , 得属于特征值 1 的特征向量为 0 0
0 ,｜ A ｜=｜ B ｜, 但是由于 tr A 与 tr 4
B 不相等, 所以 A 与 B 不相似. 因此(D)不正确.
A = ξη ，其中 ξ 3．设 =
T
[ x1 ,
x2 , = , xn ] ≠ O ，η
T
[ y1 ,
y2 , ,
yn ] ≠ O ．
T
求证：ξ是 A 的特征向量，并指出其对应的特征值． 证
ξ1 = k1 [1, 1, 1] (其中 k1 为不为零的任意数).
T
4 −5 2 O , 得属于特征值 0 的特征向量为 求解方程组 (0 E − 5 −7 3 ) X = 6 −9 4
ξ 2 = k2 [1, 2, 3] (其中 k2 为不同时为零的任意数).
ξ1 = k1 [1, 1, 1] (其中 k1 为不为零的任意数).
T
−1 3 −1 O , 得属于特征值 2 的特征向量为 求解方程组 (2 E − −3 5 −1 ) X = −3 3 1
ξ= k2 [1, 1, 0] + k3 [1, 0, −3] (其中 k2 , k3 为不为零的任意数). 2
T
1 −1 3 −1 λ + 1 −3 (4) λ E − −3 5= λ 3 − 5λ 2 + 8λ − 4 = (λ − 1)(λ − 2) 2 , −1 3 λ −5 = 1 3 −3 λ − 1 −3 3 1
所以特征值为 1,2,2.
−1 3 −1 O , 得属于特征值 1 的特征向量为 求解方程组 (1E − −3 5 −1 ) X = −3 3 1
T T
5 3 −3 −1 (5) λ E − 0 0 0 0
1
−1 −1 1 λ − 5 −3 λ + 1 −1 1 −1 3 1 = λ −1 1 0 0 0 0 2 2 0 0 −2 λ − 2
= λ − 7λ + 18λ − 20λ + 8 = (λ − 1)(λ − 2) ,
T
5 −2 4 −5 2 λ − 4 (2) λ E − 5 −7 3 = −5 λ + 7 −3 =λ 2 (λ − 1) , 所以特征值为 0,0,1. 9 −6 λ −4 6 −9 4
4 −5 2 O , 得属于特征值 1 的特征向量为 求解方程组 ( E − 5 −7 3 ) X = 6 −9 4
−1
2 −1 0 1 1 0 1 , 相应对角矩阵为 P −1 AP = 1 . 3 0 1 1
(2) 3 阶矩阵最多只有 2 个线性无关的特征向量, 少于 3 个, 所以不能对角化. (3) 3 阶矩阵最多只有 2 个线性无关的特征向量, 少于 3 个, 所以不能对角化. (4) 3 阶 矩 阵 有 3 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 , 所 以 能 对 角 化 . 可 逆 矩 阵 可 取 P=