8-第八章_复合材料细观力学

沿1方向的纤维和基体的应变为
ET
由式(8.14)~式(8.16)，可得出复合材料的表观横向弹性模量ET的表达式为
2 Em f m Ef 1 f m 2 f m 2 f m E ET E f Em f E f m Em E E E Em f m f m
（8.8） wf 于是单元的 wm f 2 w 2 f2 m2 f m 2 m 横向应变2为 w w w Ef Em 引入横向弹性模量ET，可建立单元的应变与应力关系为： 2 2 ET 由以上各式可将复合材料的表观横向弹性模量 ET表示为： 1 f m f 1 f （8.9） ET E f Em E f Em
w w f wm , f
Af A

wf w
, m
Am wm A w
一、纵向弹性模量EL和主泊松比vLT 设代表性体积单元体在1方向受到单向拉伸，伸长量为l (见图8.3)。 根据等应变假设，假定纤维和基体沿纤维方向（1方向）的应变相同， 均与复合材料的纵向应变1相等，则有 l f m 1 （8.5） 根据胡克定律，纤维应力 f 和基体应力 l m 可表示为: f E f 1 , m Em1 由静力平衡关系，可得单元受到的合力为
F1 f Af m Am 于是单元的平均应力1为 Af A F1 1 f m m f f m m A A A E f f f Em m m
根据纵向弹性模量EL表示 1 EL l 的胡克定律，即 可得复合材料沿纤维方向的表观弹性模量为
w w f wm f 2 w f m 2 wm f w f m wm 1
则单元的横向应变为
wf w w 2 f m m 1 f f mm 1 w w w


图8.3 代表性体积单元体 1方向拉伸示意图
方向纤维和基体的应力为 f Em m E f f1 m 2 f E f m Em m E f f Em m1 f2 f E f m Em 典型单元体的横向应变2为 沿2方向的纤维和基体的应变为 1 2 f f 1 f2 Ef （8.14） （8.15） 1 2 m m1 m2 Em 2 2 f 2 f m 2 m （8.16）
为了对复合材料进行细观力学研究，必须建立合理的分析模型，这种模 型是从复合材料中选取的一种体积单元。取出的典型单元必须小得足以表示 材料的细观结构特征，而且又要大到足以代表复合材料的全部物理性能。这 种简化的单元体称为代表性体积单元（RVE），如图8.1所示。RVE选定后， 边界条件也就确定了。边界条件必须与复合材料内的真实条件相同，于是可 以由代表性体积单元估算出复合材料的力学性能。 纤维与基体的相对比例是决定复合材料性能的重要因素，常用质量分数和 体积分数表示各相材料所占的比例。长为l，横截面为A的代表性体积单元，其 质量为m，密度为；该单元的纤维质量为mf，密度为f；基体质量为mm，密 度为m；纤维和基体的横截面分别为Af和Am。则有关系式
w wf wm f 2 wf m2 wm
图8.6 代表性体积单元体 2方向拉伸示意图
式（8.9）表示沿2方向的弹性模量倒数（柔量）满足混合律，该式可改写 成无量纲形式，即 ET 1 1 （8.10） Em f Em / E f m 1 f 1 Em / E f
第8章
复合材料细观力学
复合材料的宏观力学基于经典的层合板理论，将构成层合板的各单 层看做为均匀的各向异性板，解决了复合材料层合板的强度和刚度的分 析方法，为复合材料的结构设计提供了理论和方法。表征复合材料宏观 力学性能的工程弹性常数、基本强度和湿、热膨胀系数均可通过试验获 得。但实际上复合材料单层是非均匀的多相材料，单层的性能与其组分 材料的性能和含量比直接相关。要认识纤维增强复合材料中纤维和基体 与单层性能的关系，根据组分材料的弹性性能、强度和湿热膨胀系数以 及组分材料的含量比来预测单层的性能，就需要应用细观力学的方法。 复合材料的细观力学为复合材料的材料设计提供了理论和方法。本章主 要介绍了细观力学的基本假设，工程弹性常数和基本强度的细观预测方 法以及工程弹性常数的极限分析。
ET Ef Em
可把上式改写无量纲形式，即
ET 1 2 Em f Em / E f m 1 m


（8.19）
由于碳纤维很细，单丝直径为5~7m，一般不能直接用单丝制备复合材料， 而是采用加捻后的纤维束，这样会使基体刚度增大。因此，要对计算ET的公 式（8.19）作如下修正，即
1 f1 f1 f f2 2 f 2 m2 E f （8.12） （8.13） 1 f 1 f m1 m 0 1 m 1 m 1 m m 2 由式（8.11）~式(8.13)，可求解出沿1 Em
对于不同的弹性模量比Ef/Em，按式(8.10)确定的ET/Em随f 的变化曲线如图8.7 所示，在表8.1中列出ET/Em的一些数值。显然，要使横向弹性模量提高到基 体模量的2倍，需要50%以上的纤维体积分数。所以，一般纤维增强复合材料 的纤维体积分数都比较高。
f
0 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Em / Ef 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1/2 1 1.11 1.18 1.25 1.33 1.43 1.54 1.67 2 1/5 1 1.19 1.32 1.47 1.67 1.92 2.27 2.27 5 1/10 1 1.22 1.37 1.56 1.82 2.17 2.70 3.57 10 1/100 1 1.25 1.42 1.66 1.98 2.46 3.25 4.80 100
ET 1 2 f Em / E f m 1 m Em


式中
Em Em 2 1 m
三、面内剪切弹性模量GLT 在1O2平面内，对代表性体积单元体进行剪切试验，如图8.8（a）所示； 单元体的变形如图8.8(b)所示。可确定面内剪切模量GLT。根据平衡条件，纤 维和基体中的切应力必须相等，且等于复合材料受到的切应力，即
mf m f Af mm mm Am m f f mm A l A l A l Af l A Am l A
（8.4）
8.2 材料主方向工程弹性常数的细观预测
在复合材料细观力学分析中，首先以复合材料单层作为典型的研究对象， 选择合理的RVE，建立简化分析模型，用以预测复合材料材料主方向的工程 弹性常数。细观力学中采用的基本假设是：纤维和基体沿纤维方向的变形相 同，且为平面应力状态。下面讨论用材料力学方法确定复合材料的工程弹性 常数。
（8.17） 2 f m m m
f Em 1 E m f E 1 m m f Ef
2
f Em E 对于常用的纤维增强聚合物基复合材料，一般有 1, m m 1 mE f f Ef f m 则式（8.17）可简化为 1 2 1 m （8.18）
由此可得复合材料的主泊松比
LT
2 v f f m m f f m 1 f 1
主泊松比vLT也服从混合律。vLT与f具有线性 关系，如图8.5所示。 图8.5 vLT和f的关系
二、横向弹性模量ET 当代表性体积单元体在2方向受到单向拉伸时，横向 变形为w，如图8.6所示。根据沿2方向的平衡条件， 纤维和基体必然承受相同的横向应力，均等于单元受 到的横向应力，有 f 2 m2 2 2 2 , 纤维和基体的横向应变为 f 2 m2 Ef Em 单元的横向变形是纤维和基体的变形之和，则有
假设代表性体积单元长度为l，宽度为w，而且w=wf+wm(见图8.3)。当单 元体在1方向受到拉伸时，引起纤维和基体的横向应变（2方向）分别为
f 2 f f 1 f 1, m2 m m1 m1
式中，vf 和 vm分别是纤维和基体的泊松比。 单元的横向变形△w可以表示为
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图8.7 ET/Em与f关系
0.8 1.0
表8.1 ET/Em值
上述确定横向弹性模量ET时没有考虑纤维与基体之间的变形协调。通常纤 维和基体的泊松比不同，沿1方向的应变也不同，引起纤维与基体在界面处变 形不一致，这不符合实际情况（实际相同）。为了克服上述模型的缺点，可假 定沿1方向纤维与基体的应变相等，即 f 1 m1 （8.11） 为了保证变形协调，纤维和基体均为二向应力状态。当 典型单元只在2方向拉伸时（见图8.6），考虑到复合材 料沿1方向的合力为零，也就是应力1为零，则有
8.1 细观力学的基本假设
单向复合材料是各向异性的非均质体，而其组分材料（纤维和基体） 可视为均质的、各向同性的。纤维具有高的强度和刚度，作为承载的主 体；纤维是密实的，性能比较稳定。基体的力学性能较弱，但对复合材 料的结构完整性起着重要作用。通常基体中包含着孔隙，复合材料的强 度与孔隙含量亦有密切关系。另外，纤维与基体之间的界面结合完好性 对复合材料的力学性能亦有影响。然而基体中的孔隙含量和界面黏结程 度都可通过制造工艺来控制。为了简明分析组分材料与复合材料之间的 力学关系，本章采用的细观力学方法须有如下的基本假设： （1）复合材料单层是宏观均质的、线弹性的、正交各向异性的，且无初 应力； （2）增强材料（纤维）是均质的、线弹性的、各向同性（玻璃纤维）或 横向各向同性的（石墨纤维、硼纤维），且分布规则； （3）基体材料是均质的、线弹性的、各向同性的，孔隙可忽略不计； （4）界面黏结完好，无缺陷。
m m f mm
Al Af l Aml
（8.1） （8.2）
由式（8.2）可得出组分材料的体积分数关系式为 f m 1 （8.3） 图8.1 代表性体积单元（RVE） 上式中，f 是纤维的体积分数：f =Af/A；m是基体的体积分数： m =Am/A。 按照密度定义，即有 mf m m , f , m m 这是复合材料的 Al Af l Aml 由以上公式可得 密度混合律。
图8.3 代表性体积单元体1方向 拉伸示意图
EL E f f Emm E f f Em 1 f
（8.6）
这就是复合材料沿纤维方向的弹性模量混 合律。EL与f具有线性关系，当f由0~1变化时， EL从Em~Ef按线性变化，如图8.4所示。
图8.4 EL和f的关系
图8.2 复合材料单层中的代表性体积单元
从复合材料单层中切取一个典型的RVE，如图8.2所示，细观结构特征 为：一根纤维被部分基体所包围，长度为l、宽度为w、厚度为t；该单元的 纤维体积分数与复合材料相同。方便于分析，再将单元简化为图8.2（b）所 示，即把纤维的圆形截面改成矩形，并保持截面积相等。则有