相交线平行线专题证明
平行线与相交线的性质推导与证明
平行线与相交线的性质推导与证明平行线和相交线是几何中常见的概念，它们之间存在一些有趣的性质和定理。
本文将推导和证明平行线和相交线的性质，以及相关的定理。
1. 平行线的性质推导与证明在几何中，平行线是指在同一个平面内永远不会相交的两条直线。
接下来我们将推导平行线的性质，并给出相应的证明。
性质1：平行线具有传递性。
即若直线l1与l2平行，直线l2与l3平行，则直线l1与l3平行。
证明：设直线l1与l2平行，直线l2与l3平行。
可以假设直线l1与直线l3不平行，并且在某一点O处相交。
由于直线l1与直线l3不平行，所以在点O处有两条直线通过。
设通过点O的直线分别为m1和m2，其中直线m1与l1平行，直线m2与l3平行。
根据平行线的定义，直线m1与直线m2是平行的。
又根据平行线与相交线的性质，直线m1与直线l2平行，直线m2与直线l2平行。
因此，直线m1与直线l2、直线l2与m2平行。
然而，这与已知条件直线l1与l2平行，l2与l3平行产生矛盾。
因此，直线l1与l3必须平行。
于是我们证明了平行线的传递性。
2. 相交线的性质推导与证明相交线是指在同一个平面内相交于一点的两条非重合直线。
下面我们将推导相交线的性质，并给出相关的证明。
性质2：相交线的对顶角相等。
即相交线AB和CD形成的对顶角α与β相等。
证明：考虑平面内有两条相交线AB和CD，它们相交于点O。
接下来，我们需要证明∠AOC = ∠DOG，即角α = β。
通过点O分别作OA、OC和OD三条射线，构成△AOC和△COD。
根据△AOC和△COD的对应边分别平行，我们可以得出△AOC与△COD相似。
根据相似三角形的性质，两个相似三角形中对应角度相等。
因此，∠AOC = ∠COD，即角α = β。
因此，我们证明了相交线的对顶角相等的性质。
3. 平行线与相交线的定理在了解了平行线和相交线的性质之后，我们可以推导一些重要的定理，这些定理在几何证明中起到重要的作用。
平行线与相交线的证明
平行线与相交线的证明平行线与相交线是几何学中常见的概念，它们之间存在着一些有趣的性质和定理。
本文将探讨平行线与相交线之间的关系，并给出相关证明。
1.平行线的定义在平面几何中，两条直线如果在同一平面内无论延长多远都不会相交，那么它们被称为平行线。
常用符号表示为：∥。
2.相交线的定义两条直线在同一平面内相交于一点，则这两条直线被称为相交线。
3.平行线与相交线之间的性质（1）两条平行线分别与一条相交线相交，所得的对应角是相等的。
证明：设直线l和m为平行线，n为相交线，交于点A，如图所示。
A-------\| || n || |B-------C\要证明∠BAC=∠BCA，我们假设∠BAC=α，∠BCA=β。
由平行线l和m的性质可知，∠BAC与∠ACB是同位角，同位角相等，即α=∠ACB。
又∠BAC与∠BCA是内错角，内错角相等，即α=β。
综上所述，根据角的性质，得证∠BAC=∠BCA。
（2）两条平行线分别与一条相交线相交，所得的内错角之和等于180°。
证明：设直线l和m为平行线，n为相交线，交于点A，如图所示。
A-------\| || n || |B-------C\要证明∠BAC+∠BCA=180°，根据前述证明可知∠BAC=∠BCA=α。
根据角的定义，可知α+α=180°。
通过简单的运算得到2α=180°，即α=90°。
综上所述，根据角的性质，得证∠BAC+∠BCA=180°。
通过以上证明可以得出，平行线与相交线之间存在着一些重要的性质和定理，这些性质和定理在几何学中具有重要的应用。
深入理解这些性质和定理，有助于我们更好地理解和解决与平行线和相交线相关的问题。
总结：本文通过证明的方法，阐述了平行线与相交线的性质和定理。
通过证明我们可以得出两条平行线与一条相交线的角度关系和内错角之和等于180°的结论。
这些定理和性质在几何学中起着重要的作用，并且可以应用到实际问题中。
人教版七年级下册数学教学课件 第五章 相交线与平行线 命题、定理、证明
课程讲授
2 真命题与假命题
归纳： 1.要判断一个命题为真命题，可以用演绎推理加以
论证； 2.要判断一个命题为假命题，只要举出一个例子，
说明该命题不成立.
课程讲授
3 定理与证明
定义：数学中这些命题的正确性是人们在长期实践中
总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始 依据，即出发点.这样的真命题视为基本事实.我们也 称它为公理.
理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.
证明几何命题的一般步骤：
1.明确命题中的_已__知___和__求__证__； 2.根据题意，_画__出__图__形__，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出_要__证__的__结__论_的途径，写出证明过程.
课程讲授
3 定理与证明
例 已知直线b∥c， a⊥b ．求证：
a⊥c．
b
c
证明：∵ a ⊥b（已知）， ∴ ∠1=90°（垂直的定义）.
1
2
a
∵ b ∥ c（已知），
∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等），
∴ ∠2=∠1=90°（等量代换）， ∴ a ⊥ c（垂直的定义）.
课程讲授
3 定理与证明
练一练：求证：内错角相等,两直线平行.
已知：如图，直线l3分别与l1，l2交于点A,点B，且∠1=∠2.
求证：l1∥l2. 证明：∵ ∠１=∠２ (已知)，
∠3=∠2 (对顶角相等)，
l3
1(
)3 B
l2
)2 A
l1
∴ ∠1=∠3 (等量代换).
∴ l１∥l２ (同位角相等,两直线平行).
随堂练习
１．下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？ ⑴对顶角相等； 是 ⑵画一个角等于已知角； 不是 ⑶两直线平行，同位角相等； 是 ⑷a，b两条直线平行吗？不是 ⑸温柔的李明明； 不是 ⑹玫瑰花是动物； 是 ⑺若a2＝4，求a的值； 不是 ⑻若a2＝ b2，则a＝b. 是
(完整版)相交线平行线专题证明
40、如图，已知AB∥CD，试再添上一个条 件，使∠1＝∠2成立。（要求给出两个以上 答案）
29、已知：如图，AD是一条直线，∠1=65°， ∠2=115°．求证：BE∥CF．
30、如图，CD∥AB，∠DCB=70°， ∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF与 AB有怎样的位置关系，为什么？
31、（1）已知AB∥CD，下列各图中的∠ABE、∠E、∠CDE 三个角之间各有什么关系？填入下列括号内，并选择一个 你自己喜欢的图加以证明。
3 F
C
6、已知，如图，AD∥BC，∠B＝70°，∠C ＝60°，求∠CAE的度数．（写理由）
、如图，已知，AC∥DE，DC∥FE，CD平 分∠ACB，求证：EF平分∠BED．
A
D
F
3
4 5
1 2
B
E
C
8、如图，∠AOB是∠BOC的补角，OD平分 ∠AOB、OE平分∠BOC，求∠DOE的度数。
37、经过平移，△ABC的边AB移到了EF， 作出平移后的三角形，你能给出两种作法 吗？请表述出来。
38、如图，AB∥CD，需增加什么条件才能使 ∠1=∠2成立？至少举出两种并证明。
39、（1）已知AB∥CD，EF∥MN，∠1＝115°， 求∠2和∠4的度数；
（2）本题隐含着一个规律，请你根据（1）的结 果进行归纳，试着用文字表述出来；
21、 如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D， F G⊥AB 于点G， E D//BC。
试说明：∠EDC =∠B FG
22、已知：如图，AB∥CD，AP平分∠BAC， CP平分∠ACD，求∠APC的度数．
平面几何中的相交线与平行线问题
平面几何中的相交线与平行线问题相交线与平行线问题是平面几何中一个重要的概念和研究领域。
在这篇文章中，我们将深入探讨相交线与平行线的定义、性质以及相关的定理和应用。
一、相交线与平行线的定义与性质相交线是指在平面上相交于一点的两条线段或直线。
而平行线则是指在平面上没有交点的两条线段或直线。
根据相交线与平行线的定义，我们可以得出以下性质：1. 相交线的交点是两条线段或直线共有的点，每条线段或直线上至少包含一个相交点。
2. 平行线没有交点，它们保持相互平行的方向和距离。
3. 相交线可以分为不同的情况，包括交叉相交、垂直相交和斜相交等。
二、相交线的定理与应用1. 垂直相交线定理：如果两条相交线互相垂直，则它们的交点形成的四个角都是直角。
应用：垂直相交线定理常被用于证明角的性质，求解垂线的长度等问题。
2. 对顶角定理：如果两条平行线被一条横切线相交，则相交线所形成的对顶角相等。
应用：对顶角定理常用于证明平行线相关的性质，如证明线段平分角等问题。
3. 逆定理：如果两条线段或直线的对内各角相等，则它们是平行线。
应用：逆定理可以用于证明线段或直线的平行性，是构造平行线的重要方法。
4. 直线平行定理：如果一条直线与两条平行线分别相交, 则这两条交线的对立内角相等。
应用：直线平行定理常用于证明平行线相关的性质，如证明角的相等性等问题。
5. 重复定理：如果两条平行线被一条横切线相交，则相交线所形成的內角是180度的倍数。
应用：重复定理可用于证明角的性质，判断线段或直线的平行性等问题。
三、平行线的定理与应用1. 外角定理：如果一条直线与另两条直线成相交状况，则这两条直线是平行线。
应用：外角定理是补充角定理的重要应用之一，常被用于证明平行线性质或解决平行线相关问题。
2. 内角定理：如果一条直线与两条平行线成相交状况，则这两条直线上的对内角是对顶角，相等。
应用：内角定理可以用于证明平行线的性质，如证明线段相等、角的相等性等问题。
【原创】平行线与相交线必背20个证明题
一、平行线之间的基本图1、如图已知，AB ∥CD .,AF CF 分别是EAB ∠、ECD ∠的角平分线，F 是两条角平分线的交点； 求证：12F AEC ∠=∠.2、已知AB//CD ，此时A ∠、AEF ∠、EFC ∠和C ∠的关系又如何？你能找出其中的规律吗？AEFD3、将题变为如下图：AB//CDABEFC此时A ∠、AEF ∠、EFD ∠和D ∠的关系又如何？你能找出其中的规律吗？ 4、如图，AB//CD ，那么AEC C A ∠∠∠与、有什么关系？ABDEABEABDEA BCEDB C AFE二、两组平行线的证明题【找出连接两组平行线的角】1.已知：如图，CD 平分∠ACB ，AC ∥DE ，∠DCE=∠FEB ，求证：EF 平分∠DEB ．3、已知：如图2-96,DE ⊥AO 于E,BO ⊥AO,FC ⊥AB 于C ，∠1=∠2,求证：DO ⊥AB.3、如图，已知EF ⊥AB ，∠3=∠B ，∠1=∠2，求证：CD ⊥AB 。
4、已知AD ⊥BC ，FG ⊥BC ，垂足分别为D 、G ，且∠1=∠2，猜想∠BDE 与∠C 有怎样的大小关系？试说明理由.三、两组平行线构造平行四边形1．已知：如图，AB 是一条直线，∠C = ∠1，∠2和∠D 互余，BE ⊥FD 于G ． 求证：AB ∥CD ．AD FBEC2、如图，E 点为DF 上的点，B 为AC 上的点，∠1=∠2，∠C =∠D ，求证DF ∥AC ．3、如图，M 、N 、T 和A 、B 、C 分别在同一直线上， 且∠1=∠3，∠P=∠T ，求证：∠M=∠R 。
四、证特殊角1、AB ∥CD ，∠BAC 的平分线和∠ACD 的平分线交于点E ，则∠AEC 的度数是 ．2、AB CD ∥，直线EF 与AB 、CD 分别相交于E 、F 两点，EP 平分∠AEF ，过点F 作PF EP 垂足为P ，若∠PEF ＝300，则∠PFC ＝_____．3、如图，已知：DE ∥AC ，CD 平分∠ACB ，EF 平分∠DEC ，∠1与∠2互余，求证：DG ∥EF.图7 图8AB CDEF1 423 (第22题)21GFEAMN A DBC b 21aE4．已知：如图，AB ∥DE ，CM 平分∠BCE ，CN ⊥CM ．求证：∠B ＝2∠DCN ．5.如图已知直线a ∥b ，AB 平分∠MAD ，AC 平分∠NAD ，DE ⊥AC 于E ，求证：∠1=∠2．4、求证：三角形内角之和等于180°．五、寻找角之间的关系1、如图2-97,已知：∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD ∥BC.2、已知，如图，BCE 、AFE 是直线，AB ∥CD ，∠1=∠2，∠3=∠4。
初中数学解题技巧如何巧妙应对平行线与相交线的证明题
初中数学解题技巧如何巧妙应对平行线与相交线的证明题在初中数学中，平行线与相交线的证明题是一个相对常见且重要的考点。
正确理解与灵活应用解题技巧对于解决这类题目非常关键。
本文将就如何巧妙应对平行线与相交线的证明题进行论述。
一、证明两直线平行的常用方法1.1 通过角度关系进行证明当两条直线之间存在特殊的角度关系时，可以通过分析角的性质来判断两条直线是否平行。
常见的角度关系有三角形内角和为180度、同位角相等等。
例如，当两条直线被一条横截线所切分，且同位角相等时，可以得出两条直线平行。
1.2 利用等长线段进行证明若两条直线上存在等长线段（或者等长线段的比例关系），则可以通过分析等长线段的性质来判断两条直线是否平行。
例如，当两直线上的两对对应线段分别相等时，可以得出两条直线平行。
1.3 借助平行线的性质进行证明对于已知两组平行线的情形，可以通过利用平行线的性质，如对应角相等、内错角互补等，来推导出待证的其他平行关系。
这种方法常用于证明线段平行或三角形平行边的情形。
二、证明两条直线相交的常用方法2.1 利用角的性质进行证明两条直线相交时，通过观察相交处形成的角，可以根据角的性质来判断两条直线是否相交。
如垂直角相等、同位角等。
当两条直线上的某对同位角相等时，可以得出两条直线相交。
2.2 利用三角形内角和为180度进行证明若两条直线之间的某条直线被切割成三个或多个角，可以通过分析这些角的性质，特别是它们的和是否为180度，来判断两条直线是否相交。
2.3 利用迭代的思想进行证明当需要证明多条直线都相交于一个点时，可以运用迭代的思想。
即先证明某两条直线相交，然后再把第三条直线引入，利用已知的两条直线相交的性质推导出第三条直线也与它们相交于同一点。
三、巧用辅助线和构造在解决平行线与相交线的证明题时，巧妙运用辅助线和构造图形可以提供更多的线索与性质。
通过巧妙的构造，可以将问题转化为更简单的几何关系，从而更容易得到证明的结果。
罗氏几何平行线相交证明
罗氏几何平行线相交证明罗氏几何是一种基于平行线的几何学体系，其中平行线的相交证明是其中一个基本的定理。
在这篇文章中，我们将重点讨论罗氏几何的平行线相交证明，并尽量以人类的视角进行叙述，使读者更容易理解和接受。
让我们定义一些基本概念。
在罗氏几何中，平行线是指在同一个平面上从未相交的两条直线。
相交是指两条直线在同一点上相遇。
这两个概念是理解平行线相交证明的关键。
现在，我们开始证明平行线相交的定理。
假设有两条平行线l1和l2，我们要证明它们相交。
我们需要找到这两条平行线上的一对相等的内角。
在同位角的定义下，这两条平行线上的内角是相等的。
通过观察，我们可以发现这一点。
让我们假设角A和角B分别是平行线l1和l2上的内角，在同位角的定义下，我们可以得出结论角A等于角B。
接下来，我们需要找到一条与平行线l1和l2相交的第三条直线。
我们可以通过构造一条与这两条平行线相交的直线来实现这一点。
让我们称这条直线为l3。
现在，我们来看一下三角形ABC，其中角A等于角B。
根据几何学的基本原理，我们知道在一个三角形中，两个角度相等则对应的两条边也是相等的。
所以，我们可以得出结论边AC等于边BC。
现在，我们进一步观察三角形ABC。
由于边AC等于边BC，而角A 等于角B，根据几何学的基本原理，我们可以得出结论三角形ABC 是一个等腰三角形。
接下来，我们来看一下等腰三角形ABC中的角C。
由于等腰三角形的定义，我们知道角C是等于角A和角B的。
而我们已经得出结论角A等于角B，所以角C也等于角A和角B。
现在，我们回到平行线l1和l2的问题上。
我们已经证明了在等腰三角形ABC中，角C等于角A和角B。
而角A和角B是平行线l1和l2上的内角，所以我们可以得出结论角C也是平行线l1和l2上的内角。
我们来看一下在平行线l1和l2上的两个内角角C和角A。
我们已经证明了这两个角度是相等的。
根据几何学的基本原理，如果两个角度相等，那么它们所对应的两条边也是相等的。
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26、
27、如图，已知 1 2 180 , 3 B, 试 AED .ACB 判断的关系。
0
28、已知：如图，CD⊥DA，DA⊥AB，∠1 ＝∠2．试确定射线DF与AE的位置关系， 并说明你的理由．
29、已知：如图，AD是一条直线， ∠1=65°，∠2=115°．求证：BE∥CF．
几何证明题专题训练
1、已知，AB⊥AD，CD⊥AD，∠1=∠2， 直线AE、DF平行吗？说明你的理由。
2、已知∠1=1350,∠8=450,直线a与b平行吗? 说明理由：
3、已知MN//AB，C、D在MN上，三角形 ACB的面积是3平方厘米，求三角形ABD的 面积
4、已知：如图，AB∥CD，FG∥HD， ∠B=100º ，FE为∠CEB的平分线，求 ∠EDH的度数.
38、如图，AB∥CD，需增加什么条件才能 使∠1=∠2成立？至少举出两种并证明。
39、（1）已知AB∥CD，EF∥MN，∠1＝ 115°，求∠2和∠4的度数； （2）本题隐含着一个规律，请你根据（1）的结 果进行归纳，试着用文字表述出来； （3）利用（2）的结论解答：如果两个角的两边 分别平行，其中一角是另一个角的两倍，求这 两个角的大小。
23、已知：如图，AB∥CD，∠1＝∠2． 求证：BE∥CF．
24、如图，A、B之间是一座山，一条高速公 路要通过A、B两点，在A地测得公路走向 是北偏西111°32′。如果A、B两地同时开 工，那么在B地按北偏东多少度施工，才能 使公路在山腹中准确接通？为什么？
25、如图，已知∠AED＝60°，∠2＝30°， EF平分∠AED，可以判断EF∥BD吗？为 什么？
34、如图，CD平分∠ACB，DE∥BC， ∠AED=80°，求∠EDC的度数.
1 35、如图，∠1= ∠2，∠1+∠2=162°，求∠3 2
与∠4的度数.
36、如图，BD⊥AC，EF⊥AC，D、F分别 为垂足，且∠1=∠4，求证：∠ADG=∠C
37、经过平移，△ABC的边AB移到了EF， 作出平移后的三角形，你能给出两种作法 吗？请表述出来。
40、如图，已知AB∥CD，试再添上一个条 件，使∠1＝∠2成立。（要求给出两个以 上答案）
5、已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3， FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB．
A D H B 3 F C 1 2 E
6、已知，如图，AD∥BC，∠B＝70°， ∠C＝60°，求∠CAE的度数．（写理由）
D C
E
A
B
7、如图，已知，AC∥DE，DC∥FE，CD平 分∠ACB，求证：EF平分∠BED．
11、如图，∠1＝∠2，EC∥AD. 求证：∠3＝∠4.
12、如图，∠ACB＝1000，直线DE过C点， ∠ACE比∠BCD的3倍还大180，∠BCF＝ 900，求∠DCF的度数
D B
A
C
E
13、如图，已知FD∥AC，DE∥AB，∠A＝ 55°．求∠FDE．
14、如图，∠1=∠2=60°，ED平分∠BEF， 则AB∥CD，请说明理由。
19、已知如图，a∥b，∠２＝４６°， 求∠１的度数。
20、如图， 已知AE∥BC，AE平分∠DAC， 求证： ∠B =∠C
21、 如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D， F G⊥AB 于点G， E D//BC。 试说明：∠EDC =∠B FG
22、已知：如图，AB∥CD，AP平分∠BAC， CP平分∠ACD，求∠APC的度数．
30、如图，CD∥AB，∠DCB=70°， ∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF 与AB有怎样的位置关系，为什么？
31、（1）已知AB∥CD，下列各图中的∠ABE、∠E、 ∠CDE三个角之间各有什么关系？填入下列括号内，并选 择一个你自己喜欢的图加以证明。
（1） （2） 解：（1）图结论： （2）图结论： （32 1 C
8、如图，∠AOB是∠BOC的补角，OD平分 ∠AOB、OE平分∠BOC，求∠DOE的度 数。
B E D A O C
9、操作题：在方格中平移△ＡＢＣ， ①使点Ａ移到点Ｍ，使点Ａ移到点Ｎ ② 分别画出两次平移后的三角形
A C M B N
10、如图，已知：直线AB，CD被直线EF， GH所截，且∠1=∠2， 求证：∠3+∠4=180°．
15、B处在A处的南偏西45°方向，C处在A 处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东 80°方向，求∠ACB.
16、如图，∠1=∠2，且BD平分∠ABC．求 证：AB∥CD
17、如图，FA⊥AC，EB⊥AC，垂足分别为 A、B，且∠BED+∠D=180°． 求证：AF∥CD．
18、如图，∠1=∠2，∠3=100°， ∠B=80°．求证：EF∥CD．
（3） ； ； ； ；
（4）
（2）探索规律：AB∥CD，则下面两图中的 ∠ABE1、∠E1、∠E2· · · ∠EnCD之间分别 有什么关系？ 写出结果，不要求说明理由。
33、如图AB∥CD, AD∥BC，（1）请你在 图中画出表示平行线AD与BC、AB与CD之 间距离的线段. （2）若AB=3，BC=6，AD与BC之间的距离 是2，求AB与CD之间距离。