上海市松江区2022中考数学一模附答案

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中考数学2022年上海市中考数学第一次模拟试题(含答案及解析)

2022年上海市中考数学第一次模拟试题考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意： 1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列分数中，最简分数是（）A ．69B ．24C ．46D ．292、下列说法中，正确的是（） A ．整数包括正整数和负整数 B ．自然数都是正整数C ．一个数能同时被2、3整除，也一定能被6整除D ．若0.3m n ÷=，则n 一定能整除m3、下列四条线段为成比例线段的是（）A ．a ＝10，b ＝5，c ＝4，d ＝7B ．a ＝1，bc，dC ．a ＝8，b ＝5，c ＝4，d ＝3D ．a ＝9，bc ＝3，d4、关于x 的方程5264x a a x -=+-的解是非负数，则a 的取值范围是（） A ．1a ≥ B ．1a ≤- C ．1a ≥- D ．0a ≥ ·线○封○密○外5、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y＝ax+c在同一坐标系中的图象大致为（）A．B．C．D．6、下列说法中正确的是（）A．符号相反的两个数互为相反数B．0是最小的有理数C．规定了原点、方向和单位长度的射线叫做数轴D．0既不是正数，也不是负数〈〉=，不超过7的素数有2、3、5、7共4 7、x是正整数，x〈〉表示不超过x的素数的个数．如：74〈〈〉+〈〉+〈〉⨯〈〉⨯〈〉〉的值是（）个，那么2395134188A．9 B．10 C．11 D．128、下列命题正确的有几个（）①如果整数a能被整数b（不为0）除尽，那么就说a能被b整除；②任何素数加上1都成为偶数；③一个合数一定可以写成几个素数相乘的形式；④连续的两个正整数，它们的公因数是1．A．0 B．1 C．2 D．39、下列哪个数不能和2，3，4组成比例（）A ．1B ．1.5C ．223D ．6 10、下面分数中可以化为有限小数的是（） A ．764 B ．730 C ．7172 D ．1272 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分） 1、若3423x =，则x =______． 2、一个扇形面积等于这个扇形所在圆面积的25，则这个扇形的圆心角是______． 3、若23a b =，则a a b =+________． 4、13小时=________分钟． 5、求比值：125克：0.5千克=_______________ 三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分） 1、已知：:2:3a b =，(5):()2:3a b x ++=，求x 的值 2、计算：1743.51 1.252 3.84105⨯+⨯-÷． 3、一条公路长1500米，已修好900米，还需修全长的几分之几？ 4、将6本相同厚度的书叠起来，它们的高度为14厘米，再将15本这样相同厚度的书叠在上面，那么这叠书的总高度是多少厘米？ 5、求19962的末三位是多少．-参考答案- 一、单选题·线○封○密○外1、D【分析】根据最简分数是分子，分母只有公因数1的分数即可得出答案．【详解】∵622142=== 934263，，，∴29是最简分数，故选：D．【点睛】本题主要考查最简分数，掌握最简分数的定义是解题的关键．2、C【分析】根据整数的分类，自然数的定义，倍数与约数，可得答案．【详解】解：A、整数包括正整数、零和负整数，故A错误；B、自然数都是非负整数，故B错误；C、一个数能同时被2、3整除，也一定能被6整除，故C正确；D、m÷n=整数，则n一定能整除m，故D错误；故选：C．【点睛】本题考查了有理数，整数包括正整数、零和负整数，注意自然数都是非负整数．3、B【详解】A ．从小到大排列，由于5×7≠4×10，所以不成比例，不符合题意； B1=，所以成比例，符合题意； C ．从小到大排列，由于4×5≠3×8，所以不成比例，不符合题意； D故选B ．【点睛】本题考查线段成比例的知识．解决本类问题只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例． 4、C 【分析】先求出方程的解，然后根据题意得到含参数的不等式求解即可．【详解】解：由5264x a a x -=+-，方程的解为1x a =+， ∴10a +≥，即1a ≥-．故选C ．【点睛】本题主要考查一元一次方程的解及一元一次不等式的解，熟练掌握运算方法是解题的关键． 5、D 【分析】观察两图象，分别确定,a c 的取值范围，即可求解．【详解】·线○封○密○外解：A 、抛物线图象，开口向下，即0a < ，而一次函数图象自左向右呈上升趋势，则0a > ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；B 、抛物线图象与y 轴交于负半轴，即0c < ，而一次函数图象与y 轴交于正半轴，0c > ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；C 、抛物线图象，开口向上，即0a > ，而一次函数图象自左向右呈下降趋势，即0a < ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；D 、抛物线图象，开口向下，即0a < ，一次函数图象自左向右呈下降趋势，即0a < ，两图象与y 轴交于同一点，即c 相同，故本选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数20y ax bx c a ++≠＝（） a 决定抛物线的开口方向，c 决定抛物线与y 轴的交点位置是解题的关键．6、D【分析】根据有理数的相关概念直接进行排除选项即可．【详解】A 、符号相反的两个数不一定是相反数，如4和-3，故错误；B 、0不是最小的有理数，还有负数比它小，故错误；C 、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，故错误；D 、0既不是正数也不是负数，故正确．故选D ．【点睛】本题主要考查相反数、数轴及零的意义，熟练掌握各个知识点是解题的关键．7、C【分析】根据题意所给定义新运算及素数与合数的概念直接进行求解．【详解】解：23〈〉表示不超过23的素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23共九个，则23=9〈〉；95〈〉表示不超过95的素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89共24个，则有95=24〈〉，由1=0〈〉可得134188=0〈〉⨯〈〉⨯〈〉； 2395134188=33=11∴〈〈〉+〈〉+〈〉⨯〈〉⨯〈〉〉〈〉；故选C ．【点睛】本题主要考查素数与合数，熟练掌握素数与合数的概念是解题的关键． 8、C 【分析】 ①除尽是指被除数除以除数（除数≠0），除到最后没有余数，就说一个数能被另一个数除尽；而整除是指一个整数除以一个非0整数，得到的商是整数还没有余数，就说一个数能被另一个数整除； ②根据质数的定义，2为最小的质数，但是2+1=3，3为质数； ③根据合数的定义：一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数，分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，所以任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式； ④相邻的两个正整数是互质数，互质数的公因数是1，由此即可解答．【详解】 ①根据“整除”和“除尽”概念的不同，可知能被b 除尽的数不一定能被b 整除．如：15÷2=7.5，15能被2除尽，但不能被2整除，故①错误； ②由于2为最小的质数，2+1=3，3为奇数，所以任何质数加1都成为偶数的说法是错误的，故②错误；·线○封○密○外③任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式，故③正确；④根据相邻的两个自然数是互质数，互质数的公因数是1，故④正确；综上，正确的是③和④，共2个．故选：C．【点睛】本题考查了数的整除，合数的定义以及分解质因数的意义，因数、公因数的概念，解题的关键是理解“整除”和“除尽”的意义以及两个数互质，最大公因数是1，最小公倍数是它们的积．9、A【分析】根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积逐一分析即可．【详解】解：根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，则：A．1423⨯≠⨯，不可以组成比例；B．1.5423⨯=⨯，可以组成比例；C．223243⨯=⨯，可以组成比例；D．2634⨯=⨯，可以组成比例；故选：A．【点睛】本题考查比例，掌握比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积是解题的关键．10、A【分析】根据题意可直接进行分数化简小数，然后排除选项即可．【详解】A 、7=0.10937564，故符合题意；B 、7=0.2330，故不符合题意； C 、71=1.097272，故不符合题意； D 、72=2.58312，故不符合题意；故选A ．【点睛】本题主要考查分数化小数，熟练掌握分数化小数是解题的关键．二、填空题 1、89 【分析】根据等式的基本性质解方程即可．【详解】解：3423x = 34232233x ⨯=⨯ 89x = 故答案为：89．【点睛】此题考查的是解方程，掌握等式的基本性质是解题关键． ·线○封○密○外2、144°【分析】由题意可知：扇形面积占圆面积的25，则其圆心角也占圆的度数的25，而整圆是360°，所以就能求出圆心角是多少度．【详解】解：360°×25=144°故答案为：144°．【点睛】此题主要考查圆的面积的计算方法以及在同圆或等圆中，扇形面积与圆面积的比等于扇形圆心角与圆周角度数的比．3、2 5【分析】根据23ab=，得到23a b=，代入式子计算即可．【详解】解：∵23ab=，∴23a b =，∴2233232553aa b b bb bb+===+，故答案为：25．【点睛】此题考查分式的求值以及比例式恒等变形能力，掌握等式的性质变形得到23a b =是解题的关键． 4、20 【分析】根据1小时等于60分钟换算即可．【详解】 13小时=160=203⨯分钟，故答案为：20．【点睛】本题主要考查单位的换算，掌握小时和分钟之间的换算是解题的关键． 5、14 【分析】先统一单位，再用比的前项除以比的后项，据此解答．【详解】解：125克：0.5千克 =125克：500克 =125÷500 =14 故答案为：14．【点睛】本题主要考查了求比值方法的掌握情况，注意要先统一单位． ·线○封○密○外三、解答题1、152【分析】根据:2:3a b =可用a 表示b 并代入(5):()2:3a b x ++=中化简即可抵消a ，解出x ．【详解】解：因为:2:3a b =，所以32b a =，所以3(5):()2:32a a x ++=，即33(5)2()2a a x +=⋅+ 31532a a x +=+ 解得152x =．【点睛】本题考查比的性质．化简过程中注意内项之积等于外项之积．2、3【分析】把分数统一成小数，除法运算转化成乘法运算，再利用乘法分配律计算．【详解】1743.51 1.252 3.84105⨯+⨯-÷ 3.5 1.25 1.25 2.7 3.8 1.25=⨯+⨯-⨯1.25(3.52.73.8)=⨯+-1.252.4=⨯3=．【点睛】本题考查了有理数的加减乘除混合运算，运用乘法分配律能使计算简便． 3、25 【分析】先求出剩下的米数，再用剩下的米数除以公路的总长度即可．【详解】解：（1500-900）÷1500， =600÷1500， =25，答：还需修全长的25．【点睛】本题属于求一个数是另一个数几分之几，只要找准对应量，用除法计算即可．4、49厘米【分析】先算出每本书的厚度，再乘以书的总本数即可得到解答．【详解】解：由题意得：()14615496⨯+=，∴这叠书的总高度是49厘米，答：这叠书的总高度是49厘米．【点睛】 ·线○封○密·○外本题考查乘除法的综合应用，根据不同的问题情境采用不同的列式计算方法是解题关键．5、336．【分析】末三位从2的一次方开始：002，004，008，016，032，064，128，256，512，024，048，096，192,，384，768，536，072，144，288，576，152，304，608，216，432，……504，008，因此找到一个规律就是：末位数有008的循环，即从2的3次方开始，到2的103次方，每100次出现末三位008的循环．因此199631993-=，1993/100余93，因此从008向前找7个即为336，依此即可求解．【详解】解：末三位从2的一次方开始：002，004，008，016，032，064，128，256，512，024，048，096，192,，384，768，536，072，144，288，576，152，304，608，216，432，……504，008，因此找到一个规律就是：末位数有008的循环，即从2的3次方开始，到2的103次方，每100次出现末三位008的循环．因此199631993-=，1993/100余93，因此从008向前找7个即为336．故答案为：336．【点睛】本题主要考查了数字类规律探索，解题的关键是从简单的乘方运算开始，通过运算找出规律解决问题．。

2022松江数学初三一模答案解析

2022年上海市松江区中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．（4分）下列代数式中，归类于分式的是（）A．B．C．D．【分析】一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式，结合选项进行判断即可．【解答】解：A、不是分式，故本选项错误；B、是分式，故本选项正确；C、不是分式，故本选项错误；D、分母不是整式，所以不是分式，故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查了分式的定义，属于基础题，注意掌握分式的定义是关键，这些需要我们理解记忆．2．（4分）下列方程中，有实数根的是（）A．B．C．x3+3＝0D．x4+4＝0【分析】根据任何数的算术平方根以及偶次方一定是非负数即可作出判断．【解答】解：A、≥0，因而方程一定无解；B、x﹣1≥0，解得：x≥1，则﹣x＜0，故原式一定不成立，方程无解；C、x3+3＝0，则x＝﹣，故选项正确；D、x4+4≥4，故原式一定不成立，故方程无解．故选：C．【点评】本题考查了任何数的算术平方根以及偶次方一定是非负数．3．（4分）函数y＝kx﹣k﹣1（常数k＞0）的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据k的取值范围确定﹣k﹣1的符号，从而确定一次函数不经过的象限．【解答】解：∵k＞0∴﹣k＜0，∴﹣k﹣1＜0∴y＝kx﹣k﹣1（常数k＞0）的图象经过一、三、四象限，故选：B．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是牢记比例系数对函数图象的影响．4．（4分）某餐饮公司为一所学校提供午餐，有10元、12元、15元三种价格的盒饭供师生选择，每人选一份，该校师生某一天购买的这三种价格盒饭数依次占50%、30%、20%，那么这一天该校师生购买盒饭费用的平均数和中位数分别是（）A．12元、12元B．12元、11元C．11.6元、12元D．11.6元、11元【分析】根据平均数的计算公式和该校师生某一天购买的这三种价格盒饭数所占的百分比，列式计算即可；根据中位数的定义先按从小到大的顺序排列起来，再找出最中间两个数的平均数即可．【解答】解：这一天该校师生购买盒饭费用的平均数是：10×50%+12×30%+15×20%＝11.6（元）；中位数是10和12的平均数，则（10+12）÷2＝11（元）；故选：D．【点评】此题考查了加权平均数和中位数，注意，当所给数据有单位时，所求得的平均数、众数和中位数与原数据的单位相同，不要漏单位．5．（4分）如果▱ABCD的对角线相交于点O，那么在下列条件中，能判断▱ABCD为菱形的是（）A．∠OAB＝∠OBA B．∠OAB＝∠OBC C．∠OAB＝∠OCD D．∠OAB＝∠OAD【分析】①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠OAB＝∠ACD，∵∠OAB＝∠OAD，∴∠DAC＝∠DCA，∴AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）故选：D．【点评】本题考查菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．6．（4分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（）A．0≤r≤B．≤r≤3C．≤r≤4D．3≤r≤4【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，∵AC＝3，BC＝4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，∴AB＝5，当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，∴CD×AB＝AC×BC，∴CD＝r＝，当直线与圆如图所示也可以有交点，∴≤r≤4．故选：C．【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，结合题意画出符合题意的图形，从而得出答案，此题比较容易漏解．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）分解因式：x2﹣xy﹣12y2＝（x﹣4y）（x+3y）．【分析】因为﹣4y×3y＝﹣12y2，﹣4y+3y＝﹣y，所以利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：x2﹣xy﹣12y2＝（x﹣4y）（x+3y）．故答案是：（x﹣4y）（x+3y）．【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．8．（4分）方程的解是x＝1．【分析】先把方程两边平方，把无理方程转化成有理方程，求出方程的解，再进行检验即可求出答案．【解答】解：，两边平方得：x2﹣1＝x﹣1，x2﹣x＝0，x（x﹣1）＝0，解得：x1＝0，x2＝1，检验：当x1＝0时，左边＝，方程无意义，当x2＝1时，左边＝右边＝0，则原方程的解是x＝1；故答案为：x＝1．【点评】此题考查了无理方程，关键是通过把方程两边平方，把无理方程转化成有理方程，要注意检验．9．（4分）函数的定义域是x≥0且x≠2．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：，解得：x≥0且x≠2．故答案是：x≥0且x≠2．【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．10．（4分）如果反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A（2，y1）与B（3，y2），那么y1＞y2.（填“＞”、“＜”或“＝”）．【分析】根据题意可得点A，B在第一象限，根据反比例函数增减性即可进行判断．【解答】解：∵反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A（2，y1）与B（3，y2），可知点A，B在第一象限，根据k＞0时，反比例函数在每个象限内，y随着x增大而减小，可得y1＞y2，故答案为：＞．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象和性质是解题的关键．11．（4分）在一个袋子中装有除颜色外其他完全相同的2个红球和2个白球，如果从中随机摸出两个球，那么摸到的两个球颜色不同的概率是．【分析】列表是找出所有等可能的结果数，进而得出两次颜色不同的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：列表如下：红红白白红﹣﹣﹣（红，红）（白，红）（白，红）红（红，红）﹣﹣﹣（白，红）（白，红）白（红，白）（红，白）﹣﹣﹣（白，白）白（红，白）（红，白）（白，白）﹣﹣﹣所有等可能结果数为12种，其中两个球颜色不同的情况数有8种，则概率P＝＝．故答案为：【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．12．（4分）某工厂对一个小组生产的零件进行调查．在10天中，这个小组出次品的情况如表所示：每天出次品的个数0234天数3241那么在这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是．【分析】根据所给出的数据线求出这组数据的平均数，再根据方差公式求出这组数据的方差，最后根据标准差的定义解答即可．【解答】解：这组数据的平均数是：（2×2+3×4+4×1）÷10＝2，这组数据的方差是：[3（0﹣2）2+2（2﹣2）2+4（3﹣2）2+（4﹣2）2]＝2，则这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是；故答案为：．【点评】此题考查了标准差，计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是：（1）计算数据的平均数；（2）计算偏差，即每个数据与平均数的差；（3）计算偏差的平方和；（4）偏差的平方和除以数据个数．标准差即方差的算术平方根．13．（4分）李明早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时15分钟．如果他骑自行车的平均速度是每分钟250米，推车步行的平均速度是每分钟80米，他家离学校的路程是2900米，设他推车步行的时间为x分钟，那么可列出的方程是250（15﹣x）+80x＝2900．【分析】根据关键语句“到学校共用时15分钟，骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米”可得方程．【解答】解：设他推车步行的时间为x分钟，则骑自行车的时间为：（15﹣x）分钟，根据题意得出：250（15﹣x）+80x＝2900．故答案为：250（15﹣x）+80x＝2900．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是弄清题意，根据“他家离学校的路程是2900米”列出方程．14．（4分）如图，已知点O是正六边形ABCDEF的中心，记，，那么＝（用向量、表示）．【分析】由正六边形的性质可得＝，求出，再由是的相反向量，可得出答案．【解答】解：连接OE，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴FE＝OD，∴＝，∴＝+＝+，∴＝﹣＝﹣﹣．故答案为：﹣﹣．【点评】本题考查了平面向量的知识，解答本题的关键是掌握正六边形的性质，及向量的加减运算法则．15．（4分）如图，已知点D、E分别在△ABC边AB、AC上，DE∥BC，BD＝2AD，那么S△DEB：S△EBC＝．【分析】根据BD＝2AD，求出AD：AB的值，在根据相似三角形的性质求得DE：BC，最后再根据面积之比即可求解．【解答】解：∵BD＝2AD，∴AD：AB＝1：3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴DE：BC＝1：3．∵△DBE和△EBC的高相同，设这个高为h，∴S△DBE：S△EBC＝＝＝，故答案为：【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，找准对应线段是解题的关键．16．（4分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OF⊥CD，垂足为点F，DE ＝5，OF＝1，那么CD＝．【分析】根据AB是⊙O的直径，OF⊥CD，和垂径定理可得CF＝DF，再根据30度角所对直角边等于斜边一半，和勾股定理即可求出EF的长，进而可得CD的长．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，OF⊥CD，根据垂径定理可知：CF＝DF，∵∠CEA＝30°，∴∠OEF＝30°，∴OE＝2，EF＝，∴DF＝DE﹣EF＝5﹣，∴CD＝2DF＝10﹣2．故答案为：10﹣2．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，解决本题的关键是掌握垂径定理．17．（4分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称作为这个平面图形的一条面积等分线．已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D在边BC上，且BD＝4，过点D的面积等分线交△ABC的边于点E，那么线段AE的长等于．【分析】过点A作AG⊥BC于G，过点E作EF⊥BC于F，根据三角形的面积列出方程可得BC•AG＝2×DC•EF，就可以求出EF的值，证明△CEF∽△CAG，由相似三角形的性质得出，求出CE 的值从而得出结论．【解答】解：过点A作AG⊥BC于G，过点E作EF⊥BC于F，∴∠AGB＝∠AGC＝∠EFC＝90°，∴EF∥AG．∵AB＝AC＝10，∴BG＝CG＝BC＝6．在Rt△ABG中，由勾股定理，得AG＝＝8．∵DC＝BC﹣BD，∴DC＝12﹣4＝8．∵S△ABC＝2S△EDC，∴BC•AG＝2×DC•EF，∴×12×8＝2××8•EF，即EF＝6．∵EF∥AG，∴△CEF∽△CAG，∴，∴，即EC＝，∴AE＝10﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查了等腰三角形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时正确作出辅助线是解答本题的关键，证明△CEF∽△CAG是解题的关键．18．（4分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，，将△ABC翻折，使点C与点A重合，折痕DE 交边BC于点D，交边AC于点E，那么的值为．【分析】过点A作AF⊥BC于点F，连接AD．由翻折可知，AE＝CE，DE⊥AC，设AF＝x，在Rt△ABF 中，tan∠B＝，可求得BF＝CF＝2x，再利用勾股定理求出AB＝AC＝x，在Rt △CDE中，tan∠C＝tan∠B＝，即可求得DE＝，结合勾股定理可得CD＝＝，则BD＝BC﹣CD＝2BF﹣CD＝，进而可得出答案．【解答】解：过点A作AF⊥BC于点F，连接AD．由翻折可知，AE＝CE，DE⊥AC，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，BF＝CF．设AF＝x，在Rt△ABF中，tan∠B＝，∴BF＝CF＝2x，∴AB＝AC＝x，在Rt△CDE中，tan∠C＝tan∠B＝，∵CE＝，∴DE＝，∴，则BD＝BC﹣CD＝2BF﹣CD＝，∴．故答案为：．【点评】本题考查翻折变换（折叠问题）、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．【分析】根据负整数指数幂与分母有理化得到原式＝2﹣（+2）﹣3×+1﹣2+2，然后去括号和进行乘法运算后合并即可．【解答】解：原式＝2﹣（+2）﹣3×+1﹣2+2＝2﹣﹣2﹣+3﹣2＝﹣2+1．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂．20．（10分）解不等式组：．将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解．【分析】分别解每个不等式，再根据不等式组的解集求出整数解即可．【解答】解：由第一个不等式，得5x≥5，解得x≥1，由第二个不等式，得2（x﹣1）﹣（x+2）＞3x﹣12，整理，得2x＜8，解得x＜4，∴不等式的解集为1≤x＜4，数轴图表示解集：所以整数解为1，2，3．【点评】本题考查一元一次不等式组解法，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题关键．21．（10分）如图，已知反比例函数的图象经过A（1，6）、B两点，直线AB与x轴交于点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）若，求点C点坐标．【分析】（1）用待定系数法即可求得；（2）作AD⊥x轴，垂足为点D，作BE⊥AD，垂足为点E，根据平行线分线段成比例定理得出B点的坐标，进一步利用线段成比例得出CD，即可确定C点的坐标．【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过A（1，6）；∴，∴k＝6，∴反比例函数的解析式为：；（2）作AD⊥x轴，垂足为点D，作BE⊥AD，垂足为点E，∴BE∥CD，∴＝＝，又∵AD＝6，∴AE＝4，ED＝2，将y＝2代入，得B点坐标为（3，2），∴BE＝2，又∵BE∥CD，∴，∴CD＝3∴C点坐标为（4，0）．【点评】本题主要考查待定系数法求反比例函数的解析式，平行线分线段成比例定理，求得线段的长度是解题的关键．22．（10分）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i＝1：，且AB＝26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长．（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）．【分析】（1）根据坡度的概念得到BE：EA＝12：5，根据勾股定理计算列式即可；（2）作FH⊥AD于H，根据正切的概念求出AH，结合图形计算即可．【解答】解：（1）∵斜坡AB的坡比为i＝1：，∴BE：EA＝12：5，设BE＝12x，则EA＝5x，由勾股定理得，BE2+EA2＝AB2，即（12x）2+（5x）2＝262，解得，x＝2，则BE＝12x＝24，AE＝5x＝10，答：改造前坡顶与地面的距离BE的长为24米；（2）作FH⊥AD于H，则tan∠F AH＝，∴AH＝≈18，∴BF＝18﹣10＝8，答：BF至少是8米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．23．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，以AD、AE为腰做等腰△ADE，且∠ADE＝∠ABC，连接CE，过E作EF∥BC交CA延长线于F，连接BF．（1）求证：∠ECA＝∠ABC；（2）如果AF＝AB，求证：四边形FBDE是矩形．【分析】（1）证明△ABD≌△ACE（SAS），即可得出结论；（2）先证四边形FBDE是平行四边形，再证∠CBF＝90°，然后由矩形的判定即可得出结论．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC，同理∠DAE＝180°﹣2∠ADE，∵∠ABC＝∠ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ECA＝∠ABC；（2）∵∠ECA＝∠ABC，∠ABC＝∠ACB，∴∠ECF＝∠ACB，∵EF∥BC，∴∠EFC＝∠ACB，∴∠EFC＝∠ECF，∴EF＝EC，∵△ABD≌△ACE，∴BD＝EC，∴BD＝EF，∴四边形FBDE是平行四边形，∵AF＝AB＝AC，∴∠AFB＝∠ABF，∠ABC＝∠ACB，∵∠AFB+∠ABF+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABF+∠ABC＝90°，即∠CBF＝90°，∴平行四边形FBDE是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、点B分别在x的正半轴和y的正半轴上，tan∠OAB＝3，抛物线y＝x2+mx+3经过A、B两点，顶点为D．（1）求抛物线的表达式；（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，求四边形ABCD的面积；（3）将该抛物线沿y轴向上或向下平移，使其经过点C，若点P在平移后的抛物线上，且满足∠ACP＝∠ABO，求点P的坐标．【分析】（1）根据tan∠OAB＝3，求得点A的坐标，代入y＝x2+mx+3即可求得抛物线解析式；（2）由旋转可得出C（4，1），再求出抛物线顶点D（2，﹣1），利用勾股定理及其逆定理可得∠ADC＝90°，根据S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC，即可求得答案；（3）根据平移规律可得平移后的抛物线解析式为y＝x2﹣4x+1，分两种情况：①若点P在x轴上方时，②若点P在x轴下方时，分别求出点P的坐标即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+mx+3经过点B，∴B（0，3），∴OB＝3，∵＝tan∠OAB＝3，∴OA＝1，∴A（1，0），将A（1，0）代入抛物线y＝x2+mx+3，得1+m+3＝0，解得：m＝﹣4，′∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3．（2）∵将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，得到△O′AC，∴∠AO′C＝∠AOB＝∠OAO′＝∠BOC＝90°，O′A＝OA＝1，O′C＝OB＝3，∴C（4，1），∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴D（2，﹣1），∴AD＝＝，CD＝＝2，，∵AD2+CD2＝10，AC2＝10，∴AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，又∵AB＝AC＝，且∠BAC＝90°，∴，即四边形ABCD的面积为7．（3）当x＝4时，y＝x2﹣4x+3＝42﹣4×4+3＝3，可知抛物线y＝x2﹣4x+3经过点（4，3），∴将原抛物线沿y轴向下平移2个单位过点C（4，1），∴平移后得抛物线解析式为：y＝x2﹣4x+1；①若点P在x轴上方时，作CP∥x轴，交抛物线于P点，易证∠ACP＝∠ABO，∴点P与点C关于抛物线y＝x2﹣4x+1的对称轴直线x＝2对称，∴P（0，1）；②若点P在x轴下方时，如图2，作AC的中垂线，与x轴交与E点，联结CE并延长，交抛物线y＝x2﹣4x+1于P点，根据线段的垂直平分线的性质可得AE＝CE，∴∠CAE＝∠ACP，∵O′C∥x轴，∴∠CAE＝∠ACO′＝∠ABO，∴∠ACP＝∠ABO，作CH⊥x轴，垂足为H，则CH＝1，AH＝OH﹣OA＝3，设AE＝x，则CE＝x，EH＝3﹣x，在Rt△CEH中，CH2+EH2＝CE2，∴1+（3﹣x）2＝x2，解得，∴AE＝，∴OE＝OA+AE＝1+＝，∴E（，0），设直线CE的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线CE的解析式为y＝x﹣2，∴x2﹣4x+1＝x﹣2，解得：x1＝4（舍去），x2＝，当x＝时，y＝x2﹣4x+1＝（）2﹣4×+1＝，∴P（，﹣），综上所述，满足条件得P点坐标为（0，1）或．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，抛物线的平移变换，旋转变换的性质，勾股定理及其逆定理，三角函数等，第（3）小题分两种情况讨论是解题关键．25．（14分）如图1，点C是半圆AB上一点（不与A、B重合），OD⊥BC交弧BC于点D，交弦BC于点E，连接AD交BC于点F．（1）如图1，如果AD＝BC，求∠ABC的大小；（2）如图2，如果AF：DF＝3：2，求∠ABC的正弦值；（3）连接OF，⊙O的直径为4，如果△DFO是等腰三角形，求AD的长．【分析】（1）连接OC，利用圆心角、弧、弦的关系定理和圆周角定理解得即可；（2）连接AC，利用垂径定理和勾股定理解答即可；（3）利用分类讨论的思想方法，分①当DF＝OF时，②当DF＝OD＝2时两种情况解答：利用平行线分线段成比例定理，勾股定理解答即可．【解答】解：（1）连接OC，如图，∵AD＝BC，∴，∴∠AOD＝∠BOC．∴∠AOC＝∠BOD．∵OD⊥BC，∴∠COD＝∠BOD，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD．∵∠COD+∠BOD+∠AOC＝180°∴∠AOC＝60°．∴∠ABC＝∠AOC＝30°；（2）连接AC，如图，∵OD⊥BC，∴E是BC中点，∵OA＝OB，∴OE∥AC，AC＝2OE，∵AF：DF＝3：2，∴AC：DE＝AF：DF＝3：2．设AC＝3x，则DE＝2x，∴OE＝x，∴OD＝OB＝x．∴sin∠ABC＝OE：OB＝；（3）①当DF＝OF时，如图，∵FE⊥DO，∴DE＝OE＝OD＝1，∴AC＝2OE＝2，BE＝＝．∴CE＝BE＝．∴BC＝2BE＝2．∵OD∥AC，∴CF：EF＝AC：DE＝AF：DF＝2：1．∴EF＝CE＝．∴DF＝＝，∴AF＝2DF＝．∴AD＝AF+DF＝2；②当DF＝OD＝2时，如图，设OE＝x，则DE＝2﹣x，AC＝2x，∵OD∥AC，∴DF：AF＝DE：AC，∴AF＝．∴AD＝．过点O作OH⊥AD于H，则AD＝2DH．在△DHO和△DEF中，，∴△DHO≌△DEF（AAS）．∴DH＝DE，∴AD＝2DE，∴．解得：或（舍去），∴AD＝2DE＝﹣1．综上所述，AD长或2．【点评】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系定理和圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，平行线分线段成比例定理，添加适当的辅助线是解题的关键．。

【最新】上海市松江区中考数学一模试卷及答案

上海市松江区中考数学一模试卷一.选择题1．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是( )A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：22．下列函数中，属于二次函数的是( )A．y=2x+1 B．y=（x﹣1）2﹣x2C．y=2x2﹣7 D．3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是( ) A．B．C．D．4．若四边形ABCD的对角线交于点O，且有，则以下结论正确的是( ) A．B．C．D．5．如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么( )A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0 C．a＞0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜06．P是△ABC一边上的一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”．Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，当点P为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多有几条？( ) A．1条B．2条C．3条D．4条二.填空题7．若a：b：c=1：3：2，且a+b+c=24，则a+b﹣c=__________．8．已知线段a=2cm，b=8cm，那么线段a和b的比例中项为__________cm．9．二次函数y=﹣2x2﹣x+3的图象与y轴的交点坐标为__________．10．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=4，sinB=，那么AB=__________．11．一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面的高度为y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=﹣，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为__________米．12．如图，直线AD∥BE∥CF，，DE=6，那么EF的值是__________．13．在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，则该斜坡坡度i=__________．14．若点A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函数y=﹣2（x﹣1）2+3图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是__________（填y1＞y2、y1=y2或y1＜y2）．15．将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是__________．16．如图，已知DE∥BC，且DE经过△ABC的重心G，若BC=6cm，那么DE等于__________cm．17．已知二次函数的图象经过（0，3）、（4，3）两点，则该二次函数的图象对称轴为直线__________．18．已知在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点D是AB边上一点，将△ABC沿着直线CD翻折，点A落在直线AB上的点A′处，则sin∠A′CD=__________．三.解答题19．已知抛物线y=x2+bx+3经过点A（﹣1，8），顶点为M；（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线对称轴与x轴交于点B，连接AB、AM，求△ABM的面积．20．（16分）如图，已知平行四边形ABCD，点M、N是边DC、BC的中点，设=，=；（1）求向量（用向量、表示）；（2）在图中求作向量在、方向上的分向量；（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21．如图，小明所在教学楼的每层高度为3.5米，为了测量旗杆MN的高度，他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°，他在二楼窗台B处测得M的仰角为31°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1米，求旗杆MN的高度；（结果保留两位小数）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）22．如图，已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，点D在边AB上，AD：DB=3：1，求cot∠DCB的值．23．已知如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在AB上，且BD2=BE•BC；（1）求证：∠BDE=∠C；（2）求证：AD2=AE•AB．24．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已知点B的坐标是（3，0），tan∠OAC=3；（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P在x轴上方的抛物线上，且∠PAB=∠CAB，求点P的坐标；（3）点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与△ABC相似，求出符合条件的点D的坐标．25．（18分）已知，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠BCD=45°，AD=3，BC=9，点P 是对角线AC上的一个动点，且∠APE=∠B，PE分别交射线AD和射线CD于点E和点G；（1）如图1，当点E、D重合时，求AP的长；（1）如图2，当点E在AD的延长线上时，设AP=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当线段DG=时，求AE的值．上海市松江区中考数学一模试卷一.选择题1．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是( )A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：2【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是1：4，∴两个相似三角形的相似比是1：2，∴两个相似三角形的周长比是1：3，故选：D．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．2．下列函数中，属于二次函数的是( )A．y=2x+1 B．y=（x﹣1）2﹣x2C．y=2x2﹣7 D．【考点】二次函数的定义．【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的定义判断各选项即可得出答案．【解答】解：A、是一次函数，故本选项错误；B、整理后是一次函数，故本选项错误；C、y=2x2﹣7是二次函数，故本选项正确；D、y与x2s是反比例函数关系，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数y=ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是( ) A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】首先利用勾股定理求得AC的长，然后利用三角函数的定义求解，即可作出判断．【解答】解：在直角△ABC中，AC===．则sinA==，故A错误；cosA==，故B正确；tanA===，故C错误；cotA===，故D错误．故选B．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．4．若四边形ABCD的对角线交于点O，且有，则以下结论正确的是( ) A．B．C．D．【考点】*平面向量．【分析】首先根据题意画出图形，然后由，可得AB∥CD，AB=2DC即可证得△OAB∽△OCD，然后由相似三角形的对应边成比例，证得OA：OC=OB：OD=AB：CD=2：1，继而求得答案．【解答】解：A、∵，∴AB∥CD，AB=2DC，∴△OAB∽△OCD，∴OA：OC=AB：DC=2：1，∴OA=2OC，∴=2；故正确；B、||不一定等于||；故错误；C、≠，故错误；D、=；故错误．故选A．【点评】此题考查了平面向量的知识以及相似三角形的判定与性质．注意掌握证得△AOB∽△COD是解此题的关键．5．如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么( )A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0 C．a＞0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0 【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】数形结合．【分析】利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x=﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0．故选A．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab ＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．6．P是△ABC一边上的一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”．Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，当点P为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多有几条？( ) A．1条B．2条C．3条D．4条【考点】相似三角形的判定．【专题】新定义．【分析】根据相似三角形的判定方法分别利用平行线以及垂直平分线的性质得出对应角相等即可得出．【解答】解：如图所示：当PD∥BC时，△APD∽△ACB；当PE∥AC时，△BPE∽△BAC；当PF⊥AB时，△APD∽△ABC故过点P的△ABC的相似线最多有3条．故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法作出辅助线是解题关键．二.填空题7．若a：b：c=1：3：2，且a+b+c=24，则a+b﹣c=8．【考点】比例的性质．【分析】设a=k，则b=3k，c=2k，根据a+b+c=24即可代入求得k，然后代入求得所求代数式的值．【解答】解：∵a：b：c=1：3：2，∴设a=k，则b=3k，c=2k，又∵a+b+c=24，∴k+3k+2k=24，∴k=4，∴a+b﹣c=k+3k﹣2k=2k=2×4=8．故答案是：8．【点评】本题考查了比例的性质，根据a：b：c=1：3：2正确设出未知数是解决本题的关键．8．已知线段a=2cm，b=8cm，那么线段a和b的比例中项为4cm．【考点】比例线段．【分析】比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．设它们的比例中项是x，则x2=2×8，x=±4（线段是正数，负值舍去）．故答案为4．【点评】考查了比例中项的概念，注意：求两条线段的比例中项的时候，应舍去负数．9．二次函数y=﹣2x2﹣x+3的图象与y轴的交点坐标为（0，3）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】把x=0代入即可求得．【解答】解：把x=0代入y=﹣2x2﹣x+3得，y=3，所以二次函数y=﹣2x2﹣x+3的图象与y轴的交点坐标为（0，3），故答案为（0，3）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，y轴上的点的横坐标为0是解题的关键．10．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=4，sinB=，那么AB=6．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据正弦函数的定义即可直接求解．【解答】解：∵sinB=，∴AB===6．故答案是：6．【点评】本题考查了正弦函数的定义，是所对的直角边与斜边的比，理解定义是关键．11．一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面的高度为y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=﹣，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为3米．【考点】二次函数的应用．【分析】直接利用配方法求出二次函数最值即可．【解答】解：由题意可得：y=﹣=﹣（x2﹣8x）+=﹣（x﹣4）2+3，故铅球运动过程中最高点离地面的距离为：3m．故答案为：3．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确利用配方法求出最值是解题关键．12．如图，直线AD∥BE∥CF，，DE=6，那么EF的值是4．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，即可得出结果．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，，∴=，即，解得：EF=4故答案为：4．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．13．在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，则该斜坡坡度i=1：2．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】推理填空题．【分析】根据在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，可以计算出此时的水平距离，水平高度与水平距离的比值即为坡度，从而可以解答本题．【解答】解：设在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，此时水平距离为x米，根据勾股定理，得x2+12=52，解得，（舍去），故该斜坡坡度i=1：2．故答案为：1：2．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是明确什么是坡度．14．若点A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函数y=﹣2（x﹣1）2+3图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是y1＜y2（填y1＞y2、y1=y2或y1＜y2）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】分别计算自变量为﹣2、3时的函数值，然后比较函数值的大小即可．【解答】解：当x=﹣3时，y1=﹣2（x﹣1）2+3=﹣29；当x=0时，y2=﹣2（x﹣1）2+3=1；∵﹣29＜1，∴y1＜y2，故答案为：y1＜y2．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．15．将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y=（x﹣2）2．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2向右平移2个单位，所得函数解析式为：y=（x﹣2）2．故答案为：y=（x﹣2）2．【点评】本题考查的是函数图象平移的法则，根据“上加下减，左加右减”得出是解题关键．16．如图，已知DE∥BC，且DE经过△ABC的重心G，若BC=6cm，那么DE等于4cm．【考点】三角形的重心．【分析】利用重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，进而求出答案．【解答】解：连接AG并延长到BC上一点N，∵△ABC的重心G，DE∥BC，∴△ADG∽△ABN，BN=CN，DG=GE，∴==，∴=，解得：DG=2，∴DE=4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了重心的定义以及相似三角形的判定与性质，得出DG的长是解题关键．17．已知二次函数的图象经过（0，3）、（4，3）两点，则该二次函数的图象对称轴为直线x=2．【考点】二次函数的性质．【专题】推理填空题．【分析】根据二次函数图象具有对称性，由二次函数的图象经过（0，3）、（4，3）两点，可以得到该二次函数的图象对称轴，从而可以解答本题．【解答】解：∵二次函数的图象经过（0，3）、（4，3）两点，∴该二次函数的图象对称轴为直线：x=，故答案为：x=2．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数的性质，二次函数的图象关于对称轴对称．18．已知在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点D是AB边上一点，将△ABC沿着直线CD翻折，点A落在直线AB上的点A′处，则sin∠A′CD=．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】点A落在直线AB上的点A′处，则CD⊥AB，D就是垂足，根据三角形的面积公式求得CD的长，然后在直角△ACD中利用勾股定理求得AD，再根据sin∠A′CD=sin∠ACD 求解．【解答】解：作CD⊥AB于点D．在直角△ABC中，AB===5，∵S△ABC=AB•CD=BC•AC，∴CD===，在直角△ACD中，AD==，∴sin∠A′CD=sin∠ACD===．故答案是：．【点评】本题考查了图形的折叠以及勾股定理的应用，正确理解∠ACD=∠A′CD是关键．三.解答题19．已知抛物线y=x2+bx+3经过点A（﹣1，8），顶点为M；（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线对称轴与x轴交于点B，连接AB、AM，求△ABM的面积．【考点】待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式，列出关于系数b的方程，通过解方程求得b 的值即可；（2）由（1）中函数解析式得到对称轴为x=2，然后结合三角形的面积公式进行解答即可．【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+3经过点A（﹣1，8），∴8=（﹣1）2﹣b+3，解得b=﹣4，∴所求抛物线的表达式为y=x2﹣4x+3；（2）作AH⊥BM于点H，∵由抛物线y=x2﹣4x+3解析式可得，点M的坐标为（2，﹣1），点B的坐标为（2，0），∴BM=1，∵对称轴为直线x=2，∴AH=3，∴△ABM的面积=．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点．解题的关键是正确求出抛物线的解析式．20．（16分）如图，已知平行四边形ABCD，点M、N是边DC、BC的中点，设=，=；（1）求向量（用向量、表示）；（2）在图中求作向量在、方向上的分向量；（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【考点】*平面向量．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得，又由点M、N是边DC、BC的中点，根据三角形中位线的性质，即可求得向量；（2）首先平移向量，然后利用平行四边形法则，即可求得答案．【解答】解：（1）方法一：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，AB=DC，AD=BC，∵，，∴，，∵点M、N分别为DC、BC的中点，∴，，∴．方法二：∵，，∴，∵点M、N分别为DC、BC的中点，∴；（2）作图：结论：、是向量分别在、方向上的分向量．【点评】此题考查了平面向量的知识、平行四边形的性质以及三角形的中位线的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．21．如图，小明所在教学楼的每层高度为3.5米，为了测量旗杆MN的高度，他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°，他在二楼窗台B处测得M的仰角为31°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1米，求旗杆MN的高度；（结果保留两位小数）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】过点M的水平线交直线AB于点H，设MH=x，则AH=x，结合等腰直角三角形的性质和解直角三角形ABH得到AB=AH﹣BH=x﹣0.60x=0.4x=3.5，由此求得MH的长度，则MN=AB+BH．【解答】解：过点M的水平线交直线AB于点H，由题意，得∠AMH=∠MAH=45°，∠BMH=31°，AB=3.5，设MH=x，则AH=x，BH=xtan31°=0.60x，∴AB=AH﹣BH=x﹣0.60x=0.4x=3.5，解得x=8.75，则旗杆高度MN=x+1=9.75（米）答：旗杆MN的高度度约为9.75米．【点评】本题考查了解直角三角形﹣﹣仰角俯角问题．要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．22．如图，已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，点D在边AB上，AD：DB=3：1，求cot∠DCB 的值．【考点】解直角三角形．【专题】探究型．【分析】作辅助线DH⊥BC，根据，∠C=90°，tanA=，点D在边AB上，AD：DB=3：1，可知△BDH∽△BAC，从而可以得到各边之间的关系，从而可以得到cot∠DCB的值．【解答】解：过D点作DH⊥BC于点H，如下图所示：∵∠ACB=90°，∴DH∥AC，∴△BDH∽△BAC，∴∠BDH=∠A，∵AD：DB=3：1，∴BH：BC=BD：BA=1：4，设BH=x，则BC=4x，CH=3x，∵∠C=90°，，∠BDH=∠A，∴DH=2x，∵DH⊥BC，∴cot∠DCB=，即cot∠DCB=．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是找出各边之间的关系，然后求出所求角的三角函数值．23．已知如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在AB上，且BD2=BE•BC；（1）求证：∠BDE=∠C；（2）求证：AD2=AE•AB．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD，由BD2=BE•BC，得到，推出△EBD∽△DBC，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）由∠BDE=∠C，推出∠DBC=∠ADE，等量代换得到∠ABD=∠ADE，证得△ADE∽△ABD，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵BD2=BE•BC，∴，∴△EBD∽△DBC，∴∠BDE=∠C；（2）∵∠BDE=∠C，∠DBC+∠C=∠BDE+∠ADE，∴∠DBC=∠ADE，∵∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=∠ADE，∴△ADE∽△ABD，∴，即AD2=AE•AB．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相似三角形的性质即可得到结论．24．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已知点B的坐标是（3，0），tan∠OAC=3；（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P在x轴上方的抛物线上，且∠PAB=∠CAB，求点P的坐标；（3）点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与△ABC相似，求出符合条件的点D的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据正切函数，可得A点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据正切函数，可得P点坐标，根据图象上的点满足函数解析式，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案；（3）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得关于y的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣3与y轴交于点C，∴点C的坐标为（0，﹣3），∴OC=3，∵tan∠OAC=3，∴OA=1，即点A的坐标为（﹣1，0），又点B（3，0），∴，解得，∴抛物线的函数表达式是y=x2﹣2x﹣3；（2）∵∠PAB=∠CAB，∴tan∠PAB=tan∠CAB=3，∵点P在x轴上方，设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为3（x+1），∴3（x+1）=x2﹣2x﹣3，得x=﹣1（舍去）或x=6，当x=6时，y=21，∴点P的坐标为（6，21）；（3）如图，设点D的坐标为（0，y），易得△ABC为∠ABC=45°的锐角三角形，所以△DCB也是锐角三角形，∴点D在点C的上方，∴∠DCB=45°，∴∠ABC=∠DCB，∵AB=4，BC=，DC=y+3，①如果=，则=，∴y=1，即点D（0，1），②如果=则=，∴y=，即点D1（0，）．【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数求函数解析式；利用正切函数得出P点坐标是解题关键，又利用图象上的点满足函数解析式得出P点坐标；利用两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得出关于y的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．25．（18分）已知，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠BCD=45°，AD=3，BC=9，点P 是对角线AC上的一个动点，且∠APE=∠B，PE分别交射线AD和射线CD于点E和点G；（1）如图1，当点E、D重合时，求AP的长；（1）如图2，当点E在AD的延长线上时，设AP=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当线段DG=时，求AE的值．【考点】相似形综合题．【专题】综合题；图形的相似．【分析】（1）作AH垂直于BC，垂足为H，如图1所示，由∠B=∠BCD=45°，得到三角形ABH为等腰直角三角形，由等腰梯形的两底之差的一半求出BH的长，即为AH的长，由BC﹣BH求出HC的长，利用勾股定理求出AC的长，由AD与BC平行，得到一对内错角相等，再由已知角相等，利用两角相等的三角形相似得到三角形ADP与三角形CAB相似，由相似得比例求出AP的长即可；（2）由AD与BC平行，得到一对内错角相等，再由已知角相等，利用两角相等的三角形相似得到三角形ADP与三角形CAB相似，由相似得比例列出y与x的函数解析式，并求出定义域即可；（3）分两种情况考虑：当点G在线段CD上时，作DM∥EP交AC于点M，如图2所示，同理求出AM的长，进而求出MC的长，由CD﹣DG求出GC的长，根据GP与MD平行，由平行得比例求出PM的长，由DM与EP平行，根据平行得比例，求出DE的长，根据AD+DE 求出AE的长；②当点G在CD的延长线上时，如图3所示，同理求出DE的长，由AD﹣DE求出AE的长即可．【解答】解：（1）作AH⊥BC于点H，如图1所示：∵∠B=∠BCD=45°，AD=3，BC=9，等腰梯形ABCD，AD=3，BC=9，∴BH=AH=（BC﹣AD）=×（9﹣3）=3，∴BH=AH=3，根据勾股定理得：AB==3，CH=BC﹣BH=9﹣3=6，∴AC==3，∵AD∥BC，∴∠DAP=∠ACB，又∠APE=∠B，∴△ADP∽△CAB，∴=，即=，∴AP=；（2）如图2所示，∵AD∥BC，∴∠DAP=∠ACB，∵∠APE=∠B，∴△APE∽△CBA，∴=，即=，∴y=x﹣3（＜x≤3）；（3）分两种情况考虑：①当点G在线段CD上时，作DM∥EP交AC于点M，如图2所示，由（1），同理可得AM=，∴CM=，∵DG=，CD=AB=3，∴CG=2，∵GP∥DM，∴=，即=，∴MP=，∵DM∥EP，∴=，即=，解得：DE=，∴AE=AD+DE=3+=；②当点G在CD的延长线上时，如图3所示，同①可得DE=，∴AE=AD﹣DE=3﹣=．【点评】此题属于相似形综合题，涉及的知识有：平行线等分线段成比例，等腰梯形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．精品资料。

2022年上海市松江区中考数学一模试卷

2022年上海市松江区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）已知，那么的值为（）A．B．C．D．2．（4分）下列函数中，属于二次函数的是（）A．y=﹣3 B．y=2﹣（1）2 C．y=（﹣1）﹣1 D．3．（4分）已知飞机离水平地面的高度为5千米，在飞机上测得该水平地面上某观测目标A的俯角为α，那么这时飞机与目标A的距离为（）A．B．5sinαC． D．5cosα4．（4分）已知非零向量，在下列条件中，不能判定的是（）A．B．C． D．5．（4分）在△ABC中，边BC=6，高AD=4，正方形EFGH的顶点E、F在边BC上，顶点H、G分别在边AB和AC上，那么这个正方形的边长等于（）A．3 B．C．D．26．（4分）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD：BD=2：1，点F在AC上，AF：FC=1：2，联结BF，交DE于点G，那么DG：GE等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）已知线段a=4，b=1，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么c= ．8．（4分）在比例尺是1：的地图上，测得甲乙两地的距离是2厘米，那么甲乙两地的实际距离是千米．9．（4分）如果抛物线y=（a2）2﹣1的开口向下，那么a的取值范围是．10．（4分）已知一个斜坡的坡度i=1：，那么该斜坡的坡角的度数是度．11．（4分）线段AB=10，点，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF= ．14．（4分）已知平面直角坐标系Oy中，O为坐标原点，点，则BC=2m，∴DE=m，DG=m﹣m=m，∴DG：GE=m：m=1：3，故选：B．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）已知线段a=4，b=1，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么c= 2 ．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．则c2=4×1，c=±2，（线段是正数，负值舍去），故c=2；故答案为2．8．（4分）在比例尺是1：的地图上，测得甲乙两地的距离是2厘米，那么甲乙两地的实际距离是300 千米．【解答】解：设这两地的实际距离是cm，根据题意得：=，解得：=，∵cm=300m，∴这两地的实际距离是300m．故答案为：300．9．（4分）如果抛物线y=（a2）2﹣1的开口向下，那么a的取值范围是a＜﹣2 ．【解答】解：∵抛物线y=（a2）2﹣1的开口向下，∴a2＜0，得a＜﹣2，故答案为：a＜﹣2．10．（4分）已知一个斜坡的坡度i=1：，那么该斜坡的坡角的度数是30 度．【解答】解：∵tanα=1：=，∴坡角=30°．（4分）线段AB=10，点，11．n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF= ．【解答】解：∵a∥b∥c，∴=，即=，解得DF=，∴BF=BDDF=3=，故答案为：．14．（4分）已知平面直角坐标系Oy中，O为坐标原点，点，过点A′作A′N⊥AB于点N，如图所示．∵AC=BC=4，∠C=90°，A′为线段BC的中点，∴A′C=A′B=2，AA′==2，AB=4，∴AM=AA′=，A′N=BN=，∴AN=AB﹣BN=3．∵∠EAM=∠A′AC，∠AME=∠C，∴△AEM∽△AA′C，∴=，∴AE=．同理：△ADM∽△AA′N，∴=，∴AD=，∴=．故答案为：．三、解答题：（本大题共7题，满分80分）19．（10分）如图在平面直角坐标系Oy中，O为坐标原点，二次函数y=2bc的图象经过点A（3，0）、点B（0，3），顶点为M．（1）求该二次函数的解析式；（2）求∠OBM的正切值．【解答】解：（1）把A（3，0）、B（0，3）代入y=2bc得，解得，所以y=2﹣43；（2）作MH⊥y轴于H，如图，∵y=2﹣43=（﹣2）2﹣1，∴M（2，﹣1），∵MH⊥y轴，∴H（0，﹣1），在Rt△BMH中，tan∠HBM==，即∠OBM的正切值为．20．（10分）如图，已知△ABC中，D、E、F分别是边AB、BC、CA上的点，且EF∥AB，=2．（1）设=．试用表示；（2）如果△ABC的面积是9，求四边形ADEF的面积．【解答】解：（1）∵EF∥AB，∴=，又∵=2，∴==2， ∴==，∵∠B=∠B ，∴△BDE ∽△BAC ，∴∠BDE=∠A ，∴DE ∥AC ，则四边形ADEF 是平行四边形， ∵=， ∴==，==，则==；（2）由（1）知=、=， ∵EF ∥AB ，DE ∥AC ，∴△CFE ∽△CAB ，△BDE ∽△BAC ， ∴=（）2=，=（）2=，∵S △ABC =9，∴S △CFE =4、S △BDE =1，则四边形ADEF 的面积=S △ABC ﹣S △CFE ﹣S △BDE =4．21．（10分）如图，已知△ABC 中，AB=AC=，BC=4．线段AB 的垂直平分线DF 分别交边AB 、AC 、BC 所在的直线于点D 、E 、F．（1）求线段BF的长；（2）求AE：EC的值．【解答】解：（1）作AH⊥BC于H，如图，∵AB=AC=，∴BH=CH=BC=2，在Rt△ABH中，AH==4，∵DF垂直平分AB，∴BD=，∠BDF=90°∵∠ABH=∠FBD，∴Rt△FBD∽Rt△ABH，∴==，即==，∴BF=5，DF=2；（2）作CG∥AB交DF于G，如图，∵BF=5，BC=4，∴CF=1，∵CG∥BD，∴==，∵CG∥AD，∴===5．22．（10分）某条道路上通行车辆的限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点，与y轴的交点为C，当四边形CDEM是等腰梯形时，求t的值．【解答】解：（1）∵AB=4，抛物线y=2bc的对称轴为直线=1，∴点A到对称轴的距离为2，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴y=（1）（﹣3）整理得：y=2﹣2﹣3；（2）如下图所示：过点，∴∠ADO=∠AEM．又∵四边形CDEM是等腰梯形，∴∠ADO=∠CME．∴∠ADO=∠CME．∵y=2﹣2﹣3，∴C（0，﹣3），M（1，﹣4）∴tan∠DAO=tan∠CME=1．∴OA=OD=1．∴直线A为边AB的中点，联结CM、⊥AC于M，=A≌Rt△=BN，由（1）知：四边形MCN=CN，设AM=，则=1，CN=2﹣，∴1=2﹣，=，∴CM=，∴C=CM时，如图3，同理作出辅助线，∵∠是等腰直角三角形，∴CN=是AB的中点，∴CM=C的中垂线交CD于，过M作MH⊥CD于H，由①知：CG（就是C H，∴，∴=，CP=，综上所述，CP的长是或或．。

2023年上海市松江区中考数学一模试卷及答案解析

2023年上海市松江区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．已知tan A＝，则锐角A的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°2．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列结论正确的是（）A．tan A＝B．cot A＝C．sin A＝D．cos A＝3．关于抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3，下列说法正确的是（）A．开口向上B．与y轴的交点是（0，﹣3）C．顶点是（1，﹣3）D．对称轴是直线x＝﹣14．已知、为非零向量，下列判断错误的是（）A．如果＝2，那么∥B．如果＝，那么＝﹣C．如果||＝||，那么＝或＝﹣D．如果为单位向量，且＝2，那么||＝2 5．如图，为测量一条河的宽度，分别在河岸一边相距a米的A、B两点处，观测对岸的标志物P，测得∠PAB＝α、∠PBA＝β，那么这条河的宽度是（）A．米B．米C．米D．米6．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝3，AD＝2，BC＝4．P是BA 延长线上一点，使得△PAD与△PBC相似，这样的点P的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共12题）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．如果＝，那么＝．8．已知线段AB＝6，P是AB的黄金分割点，且PA＞PB，那么PA的长是．9．如图，已知直线AD∥BE∥CF，如果＝，DE＝3，那么线段EF的长是．10．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，E是边AC的中点，延长BC到点D，使BC ＝2CD，那么DE的长是．11．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝3，AB＝5，那么cos ∠BCD的值是．12．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比i＝1：0.75，堤高BC＝4.8米，那么坡面AB的长度是米．13．把抛物线y＝x2+1向左平移2个单位，所得新抛物线的表达式是．14．如果一条抛物线经过点A（﹣2，0）和B（4，0），那么该抛物线的对称轴是直线．15．已知一个二次函数的图象经过点（0，2），且在y轴左侧部分是上升的，那么该二次函数的解析式可以是（只要写出一个符合要求的解析式）．16．公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的离地高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离x（米）的函数解折武是y＝x2+x（0≤x≤4）．那么水珠的最大离地高度是米．17．已知△ABC，P是边BC上一点，△PAB、△PAC的重心分别为G1、G2，那么的值为．18．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，将△ABC绕点C旋转至△A'B′C，如果直线A′B'⊥AB，垂足记为点D，那么的值为．三、解答题（本大题共7题）19．如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD＝2DB．（1）如果BC＝4，求DE的长；（2）设＝，＝，用、表示．20．已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1．⫋（1）用配方法求这个二次函数的顶点坐标；（2）在所给的平面直角坐标系xOy中（如图），画出这个二次函数的图象；（3）请描述这个二次函数图象的变化趋势．21．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是AC的中点，DE⊥BC于点E，ED、BA的延长线交于点F．（1）求∠ABC的正切值；（2）求的值．22．小明想利用测角仪测量操场上旗杆AB的高度．如图，他先在点C处放置一个高为1.6米的测角仪（图中CE），测得旗杆顶部A的仰角为45°，再沿BC的方向后退3.5米到点D处，用同一个测角仪（图中DF），又测得旗杆顶部A的仰角为37°．试求旗杆AB 的高度．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）23．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC．E是边AB上一点，CE与对角线BD交于点F，且BE2＝EF•EC．求证：（1）△ABD∽△FCB；（2）BD•BE＝AD•CE．24．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点A（2，0）和点B（﹣1，3）．（1）求该抛物线的表达式；（2）平移这条抛物线，所得新抛物线的顶点为P（m，n）．①如果PO＝PA，且新抛物线的顶点在△AOB的内部，求m+n的取值范围；②如果新抛物线经过原点，且∠POA＝∠OBA，求点P的坐标．25．已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝6，E是线段CD上一点，联结BE．（1）如图1，如果AD＝1，且CE＝3DE，求∠ABE的正切值；（2）如图2，如果BE⊥CD，且CE＝2DE，求AD的长；（3）如果BE⊥CD，且△ABE是等腰三角形，求△ABE的面积．2023年上海市松江区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．【分析】直接根据tan60°＝进行解答即可．【解答】解：∵tan A＝，A为锐角，tan60°＝，∴∠A＝60°．故选：C．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．2．【分析】先利用勾股定理求出AB的长，然后再利用锐角三角函数的定义，进行计算逐一判断即可解答．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，∴AB＝＝＝，∴tan A＝＝，cot A＝＝，sin A＝＝＝，cos A＝＝＝，故选：B．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．3．【分析】由二次函数的顶点式可得抛物线开口方向，对称轴及顶点坐标，进而求解．【解答】解：∵y＝﹣2（x+1）2﹣3，∴抛物线开口向下，顶点为（﹣1，﹣3），∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，将x＝0代入y＝﹣2（x+1）2﹣3得y＝﹣5，∴抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣5），故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．4．【分析】根据平面向量的性质解答．【解答】解：A、如果＝2，那么两向量是共线向量，则，故本选项不符合题意．B、如果＝，那么两向量为共线向量，则＝﹣，故本选项不符合题意．C、||＝||，只能说明两个向量的模相等，无法判定方向，故本选项符合题意．D、根据向量模的定义知，||＝2||＝2，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又有方向．5．【分析】根据锐角三角函数，可以得到AC＝，BC＝，然后根据AC+BC＝AB，即可得到PC．【解答】解：作PC⊥AB，交AB于点C，∵PC⊥AB，∠PAB＝α、∠PBA＝β，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，∴AC＝，BC＝，∵AB＝a，AB＝AC+BC，∴a＝+，解得PC＝＝，故选：A．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．6．【分析】延长CD交射线BA于点E，由AD∥BC，得△EAD∽△EBC，再分三种情况讨论，一是点P与点E重合，此时△PAD∽△PBC；二是点P在点E与点A之间，因为∠PAD＝∠CBP，所以当＝时，△PAD∽△CBP，可由＝，求得AP＝，这样就验证了此时存在点P，使△PAD与△CBP相似；三是点P在AE的延长线上，可通过计算证明此时△PAD与△PBC不相似．【解答】解：延长CD交射线BA于点E，∵AD∥BC，∴△EAD∽△EBC，如图1，点P与点E重合，则△PAD与△EAD完全重合，∴△PAD∽△PBC；∵∠PAD＝∠CBP，∴当＝时，△PAD∽△CBP，∵AB＝3，AD＝2，BC＝4，∴＝，解得AP＝或AP＝（不符合题意，舍去），∴此时存在点P，使△PAD与△CBP相似；如图3，点P在AE的延长线上，∴PA＝PB，∴A为BP的中点，∴AP＝AB＝3＝AE，显然与点P在AE的延长线上不符，∴此时△PAD与△PBC不相似，综上所述，这样的点P有2个，故选：B．【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确理解与应用相似三角形的判定定理是解题的关键．二、填空题（本大题共12题）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．【分析】直接利用已知得出x，y的关系，进而代入原式化简即可．【解答】解：∵＝，则x＝y，故答案为：．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确用y表示出x的值是解题关键．8．【分析】利用黄金分割的定义，进行计算即可解答．【解答】解：∵P是AB的黄金分割点，且PA＞PB，AB＝6，∴AP＝AB＝×6＝3﹣3，故答案为：3﹣3．【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．9．【分析】根据平行线分线段成比例解答即可．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵DE＝3，∴＝，∴EF＝，故答案为：．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．10．【分析】取BC的中点F，连接EF，根据三角形中位线定理可得EF＝2，再利用线段垂直平分线的性质可得答案．【解答】解：取BC的中点F，连接EF，∵点E为AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AB＝2，∵BC＝2CD，∴FC＝CD，∵AC⊥BC，∴AC垂直平分DF，∴DE＝EF＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质等知识，构造三角形中位线是解题的关键．11．【分析】由余角的性质得到∠BCD＝∠A，求∠A的余弦值即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∴∠BCD+∠ACD＝∠A+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠A，∴cos∠BCD＝cos A＝＝．故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角的余弦定义．12．【分析】由i＝BC：AC＝1：0.75＝4：3，令BC＝4x（米），AC＝3x（米），得到AB＝5x （米），由BC＝4x＝4.8米，求出x的值，即可求出AB的长．【解答】解：∵i＝BC：AC＝1：0.75＝4：3，∴令BC＝4x（米），AC＝3x（米），∴AB＝＝＝5x（米），∵BC＝4x＝4.8（米），∴x＝1.2，∴AB＝5x＝6（米）．故答案为：6．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度，关键是掌握坡度的定义．13．【分析】已知抛物线解析式为顶点式，顶点坐标为（0，1），则平移后顶点坐标为（﹣2，1），由抛物线的顶点式可求平移后的抛物线解析式．【解答】解：∵y＝x2+1顶点坐标为（0，1），∴向左平移2个单位后顶点坐标为（﹣2，1），∴所得新抛物线的表达式为y＝（x+2）2+1．故答案为：y＝（x+2）2+1．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是把抛物线的平移理解为顶点的平移，根据顶点式求抛物线解析式．14．【分析】由抛物线的对称性求解．【解答】解：∵抛物线经过点A（﹣2，0）和B（4，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝＝1，故答案为：x＝1．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征．15．【分析】由抛物线经过（0，2）可得c＝2，由y轴左侧部分是上升的，可得抛物线开口向下，对称轴为y轴或对称轴在y轴右侧，进而求解．【解答】解：由题意得抛物线开口向下，抛物线对称轴为y轴或在y轴右侧，∴y＝﹣x2+2符合题意．故答案为：y＝﹣x2+2，（答案不唯一）．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．16．【分析】根据二次函数的顶点式即可求解．【解答】解：∵y＝x2+x＝﹣（x﹣2）2+，∴当x＝2时，y有最大值，最大值为，∴水珠的最大离地高度是，故答案为：．【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握把二次函数的解析式化为顶点式．17．【分析】由重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，得到△AG1G2∽△ADE，推出△AG1G2的面积：△ADE的面积＝4：9，而△ADE的面积＝×△ABC的面积，即可解决问题．【解答】解：延长AG1交PB于D，延长AG2交PC于E，∵△PAB、△PAC的重心分别为G1、G2，∴AG1：AD＝AG2：AE＝2：3，D是PB中点，E是PC中点，∵∠G1AG2＝∠DAE，∴△AG1G2∽△ADE，∴△AG1G2的面积：△ADE的面积＝4：9，∵D是PB中点，E是PC中点，∴△ADE的面积＝×△ABC的面积，∴的值为．故答案为：．【点评】本题考查三角形的重心，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，关键是掌握三角形重心的性质．18．【分析】设AC＝3x，则AB＝5x，BC＝4x，再根据勾股定理求解．【解答】解：设AC＝3x，则AB＝5x，BC＝4x，当旋转90°时，A′B＝x，∵sin A＝，∴B′D＝x，∴AD＝x，∴BD＝AB﹣AD＝x，∴＝，同理：当旋转270°时，＝，故答案为：或．【点评】本题考查了旋转的性质，掌握解直角三角形的方法是解题的关键．三、解答题（本大题共7题）19．【分析】（1）证明△ADE∽△ABC，由AD＝2DB，可得DE＝BC，即可得DE＝；（2）由DE＝BC，DE∥BC，＝，知＝，故＝+＝+．【解答】解：（1）∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵AD＝2DB，∴＝，∴＝，∴DE＝BC，∵BC＝4，∴DE＝；（2）由（1）知DE＝BC，∴BC＝DE，∵DE∥BC，＝，∴＝，∴＝+＝+．【点评】本题考查相似三角形及平面向量，解题的关键是掌握三角形相似的判定与性质，能进行向量的简单运算．20．【分析】（1）配成顶点式即可得到顶点坐标；（2）根据抛物线顶点和与y轴交点可画出函数图象；（3）观察函数图象可得答案．【解答】解：（1）∵y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，∴二次函数y＝2x2﹣4x﹣1图象的顶点坐标为（1，﹣3）；（2）由（1）知抛物线顶点为（1，3），由y＝2x2﹣4x﹣1可得抛物线过（0，﹣1），（2，﹣1），（3，5），（﹣1，5），如图：（3）当x≤1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大．【点评】本题考查二次函数的性质，涉及配方法，解题的关键是画出函数图象．21．【分析】（1）过A作AH⊥BC于H，则BH＝CH＝BC＝6，在Rt△ABH中，AH＝＝8，即得tan B＝＝；（2）由（1）知tan B＝，可得tan C＝，即得＝，而CD＝5，故DE＝4，CE＝3，BE＝BC﹣CE＝9，由＝，有EF＝12，故DF＝EF﹣DE＝8，从而＝＝2．【解答】解：（1）过A作AH⊥BC于H，如图：∵AB＝AC＝10，BC＝12，∴BH＝CH＝BC＝6，在Rt△ABH中，AH＝＝＝8，∴tan B＝＝＝；（2）由（1）知tan B＝，∴tan C＝，∴＝，∵D是AC的中点，AC＝10，∴CD＝5，∴DE＝4，CE＝3，∴BE＝BC﹣CE＝12﹣3＝9，∵tan B＝，∴＝，∴EF＝12，∴DF＝EF﹣DE＝12﹣4＝8，∴＝＝2．【点评】本题考查解直角三角形，涉及勾股定理及应用，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形求出tan B＝．22．【分析】设直线EF交AB于G，可得∠AEG＝45°，∠AFG＝37°，EF＝3.5米，设AG＝GE＝x米，在Rt△AGF中，tan37°＝，即0.75＝，解出x的值，即可求得答案．【解答】解：设直线EF交AB于G，如图：根据题意，∠AEG＝45°，∠AFG＝37°，EF＝3.5米，∴△AEG的等腰直角三角形，∴AG＝GE，设AG＝GE＝x米，则旗杆AB高度为（x+1.6）米，∴GF＝GE+EF＝（x+3.5）米，在Rt△AGF中，tan∠AFG＝，∴tan37°＝，即0.75＝，解得：x＝10.5，∴x+1.6＝10.5+1.6＝12.1，答：旗杆AB的高度是12.1米．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键．23．【分析】（1）由BE2＝EF•EC，∠BEF＝∠CEB，可得△BEF∽△CEB，有∠EBF＝∠ECB，又AD∥BC，有∠ADB＝∠FBC，故△ABD∽△FCB；（2）由△BEF∽△CEB，△ABD∽△FCB，可得＝，＝，即得＝，从而BE•BD＝AD•CE．【解答】证明：（1）∵BE2＝EF•EC，∴＝，∵∠BEF＝∠CEB，∴△BEF∽△CEB，∴∠EBF＝∠ECB，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠FBC，∴△ABD∽△FCB；（2）由（1）知△BEF∽△CEB，△ABD∽△FCB∴＝，＝，∴＝，∴BE•BD＝AD•CE．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．24．【分析】（1）利用待定系数法即可得抛物线的表达式；（2）①由PO＝PA得点P在OA的垂直平分线上，则点P的横坐标m＝1，求出直线AB 为y＝﹣x+2，可得OA的垂直平分线与AB的交点坐标为（1，1），由新抛物线的顶点在△AOB的内部可得n的取值范围，即可求解；②设OP与AB交于Q，Q（x，﹣x+2），证明△AOQ∽△ABO，根据相似三角形的性质可得OQ＝，利用勾股定理得出x＝或，则Q（，）或（，）（舍去），直线OQ为y＝x，可得n＝m，则新抛物线为y＝﹣（x﹣m）2+m经过原点，求出m的值，即可得点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点A（2，0）和点B（﹣1，3），∴，解得，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+4；（2）①∵PO＝PA，∴点P在OA的垂直平分线上，∵点A（2，0），∴点P的横坐标m＝1，设直线AB为y＝kx+b，∵点A（2，0）和点B（﹣1，3），∴，解得，∴直线AB为y＝﹣x+2，当x＝1时，y＝﹣x+2＝1，∴OA的垂直平分线与AB的交点坐标为（1，1），∵新抛物线的顶点P（m，n）在△AOB的内部，∴n的取值范围为0＜n＜1，∴1＜m+n＜2；②如图，设OP与AB交于Q，Q（x，﹣x+2），∵∠POA＝∠OBA，∠OAQ＝∠BAO，∴△AOQ∽△ABO，∴，∵点A（2，0）和点B（﹣1，3），∴OA＝2，BO＝＝，BA＝3，∴，∴OQ＝，∴＝，解得x＝或，∴Q（，）或（，）（舍去），∴直线OQ为y＝x，∵P（m，n），∴n＝m，∴新抛物线为y＝﹣（x﹣m）2+m，∵新抛物线经过原点，∴﹣（﹣m）2+m＝0，解得m＝0或m＝，∴点P的坐标为（，）．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，解题的关键是熟练掌握待定系数法以及相似三角形的判定和性质．25．【分析】（1）过D作DK⊥BC于K，过E作ET⊥BC于T，由AD∥BC，∠ABC＝90°，DK⊥BC，得四边形ABKD是矩形，知BK＝AD＝1，DK＝AB＝4，证明△DKC∽△ETC，有＝＝，即可求出tan∠ABE＝tan∠BET＝＝＝；（2）过D作DR⊥BC于R，过E作ES⊥BC于S，由CE＝2DE，可得＝＝，ES＝，CR＝CS，证明△BSE∽△ESC，有＝，即得CR＝，从而AD 的长为；＝AB•BW＝×（3）当AB＝BE＝4时，过E作EW⊥BC于W，可得BW＝，S△ABE4×＝；当AE＝BE时，过E作EP⊥BC于P，过E作EM⊥AB于M，可得BP＝3+＝AB•BP＝×4×（3+）＝6+2或S△ABE＝AB•BP＝6或BP＝3﹣，S△ABE﹣2；当AB＝AE＝4时，过E作EQ⊥AB于Q，过E作EI⊥BC于I，设QE＝x＝BI，＝AB•EQ＝×4×＝．可得＝，故S△ABE【解答】解：（1）过D作DK⊥BC于K，过E作ET⊥BC于T，如图：∵AD∥BC，∠ABC＝90°，DK⊥BC，∴四边形ABKD是矩形，∴BK＝AD＝1，DK＝AB＝4，∴CK＝BC﹣BK＝6﹣1＝5，∵CE＝3DE，∴＝，∵∠DKC＝90°＝∠ETC，∠C＝∠C，∴△DKC∽△ETC，∴＝＝＝，即＝＝，∴ET＝3，KT＝，∴BT＝BK+KT＝，∵AB∥ET，∴∠ABE＝∠BET，∴tan∠ABE＝tan∠BET＝＝＝，∴∠ABE的正切值为；（2）过D作DR⊥BC于R，过E作ES⊥BC于S，如图：∵CE＝2DE，∴＝，同（1）可得＝＝，DR＝4，∴＝＝，∴ES＝，CR＝CS，∵BE⊥CD，∴∠BES＝90°﹣∠CES＝∠C，∵∠BSE＝90°＝∠ESC，∴△BSE∽△ESC，∴＝，即＝，∴CS＝或CS＝，∴CR＝（大于6舍去）或CR＝，∴BR＝BC﹣CR＝，∴AD＝；∴AD的长为；（3）当AB＝BE＝4时，过E作EW⊥BC于W，如图：∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°＝∠BWE，∵∠EBW＝∠CBE，∴△EBW∽△CBE，∴＝，即＝，∴BW＝，＝AB•BW＝×4×＝；∴S△ABE当AE＝BE时，过E作EP⊥BC于P，过E作EM⊥AB于M，如图：∴BM＝AB＝2＝EP，同（2）可得＝，∴＝，解得BP＝3+或BP＝3﹣，＝AB•BP＝×4×（3+）＝6+2或S△ABE＝AB•BP＝6﹣2；∴S△ABE当AB＝AE＝4时，过E作EQ⊥AB于Q，过E作EI⊥BC于I，如图：设QE＝x＝BI，则AQ＝＝，CI＝6﹣x，∴BQ＝EI＝4﹣，∵∠CEI＝90°﹣∠BEI＝∠QEB，∠EQB＝90°＝∠EIC，∴△EQB∽△EIC，∴＝，即＝，解得x＝0（舍去）或x＝，＝AB•EQ＝×4×＝，∴S△ABE综上所述，△ABE的面积为或6+2或6﹣2或．【点评】本题考查直角梯形的应用，涉及锐角三角函数，三角形面积，等腰三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．。

2022年中考一模考试《数学试题》含答案解析

数学中考综合模拟检测试题学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一、选择题：本大题共10个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. ﹣2的相反数是( )A. 2B. ﹣2C. 12D. ±22. 如图所示的几何体的俯视图为( )A. B.C D.3. 下列计算正确的是( )A. 22432x x x -=-B. ()22236x x -=C. 23622x y x x y ⋅=D. 32226(3)2x y x x y ÷=4. 如图，AB ∥CD ，DB ⊥BC ，∠2=50°，则∠1的度数是( )A. 40°B. 50°C. 60°D. 140°5. 如图是自动测温仪记录的图象，它反映了齐齐哈尔市的春季某天气温T 如何随时间t 的变化而变化，下列从图象中得到的信息正确的是( )A. 0点时气温达到最低B. 最低气温是零下4℃C. 0点到14点之间气温持续上升D. 最高气温是8℃6. 某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试因此计算其他39人的平均分为90分，方差s 2＝41．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是( )A. 平均分不变，方差变大B. 平均分不变，方差变小C. 平均分和方差都不变D. 平均分和方差都改变7. 一个布袋内只装有1个黑球和2个白球,这些球除颜色不同外其余都相同,随机摸出一个球后放回搅匀,再随机摸出一个球,则两次摸出的球都是黑球的概率是( ) A. 49 B. 13 C. 16 D. 198. 在抛物线223y ax ax a =--上有1(2,)A y -，2(2,)B y 和3(3,)C y 三点，若抛物线与轴的交点在正半轴上，则1y 、2y 和3y 的大小关系为( )A. 132y y y <<B. 321y y y <<C. 312y y y <<D. 123y y y << 9. 如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，∠C ＝60°，BC ＝CD ＝8，将四边形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF ，则BE 长为( )A. 1B. 2C. 3D. 310. 如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点，点在BD 上由点向点运动(点不与点重合)，连接AE ，将线段AE 绕点逆时针旋转90得到线段AF ，连接BF 交AO 于点，设BE 的长为，OG 的长为，下列图象中大致所映与之间的函数关系的是( )A. B. C.D.二、填空题(本大题共8个小题)11. 据第六次全国人口普查统计，我国人口总数约有1370000000人，将1370000000用科学记数法表示__________．12. 计算11|3|42-⎛⎫--+=⎪⎝⎭__________．13. 若a+b=4，ab=1，则a2b+ab2=________．14. 如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为______．15. 如图，在44⨯正方形网格中，、在格点上，在网格的其它格点上任取一点，能使ABC为直角三角形的概率是__________．16. 如图，在矩形ABCD 中，5AB =，7BC =，点为BC 上一动点，把ABE △沿AE 折叠，当点的对应点落在ADC ∠的角平分线上时，则点到BC 的距离为__________．17. 如图，双曲线(0)k y x x=>与直线:OA y x =，直线:3BC y x =-分别交于点，，BC 与轴交于点，2OA BC =，则等于__________．18. 如图，1A ，2A ，3A ……在直线上y x =，1B ，2B ，3B ……在直线上3y x =，12OA =1n n n n A B C A +为正方形，则四边形1n n n n A B C A +的面积是__________．三、解答题19. 先化简，再求值：22169211x x xx x⎛⎫-++-÷⎪+-⎝⎭，其中233x=-．20. 我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：(1)接受问卷调查的学生共有______人，扇形统计图中”了解”部分所对应扇形的圆心角为______°.(2)若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到”了解”和”基本了解”程度的总人数为_______人.(3)若从对校园安全知识达到”了解”程度的3个女生A、B、C和2个男生M、N中分别随机抽取1人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到女生A的概率.21. 某学校准备购买若干台A型电脑和B型打印机.如果购买1台A型电脑,2台B型打印机,一共需要花费5900元;如果购买2台A型电脑,2台B型打印机,一共需要花费9400元.(1)求每台A型电脑和每台B型打印机的价格分别是多少元?(2)如果学校购买A型电脑和B型打印机的预算费用不超过20000元,并且购买B型打印机的台数要比购买A 型电脑的台数多1台,那么该学校至多能购买多少台B型打印机?22. 如图，直线与⊙O相离，OA l⊥于点，与⊙O相交于点，是直线上一点，连接CP并延长交⊙O于另一点，且AB AC=．(1)求证：AB是⊙O的切线;(2)若⊙O的半径为3，5OA=，求线段BP的长．23. 如图，经测量，点B位于点A北偏西30°方向上，从点A沿着北偏东15°的方向行驶100米到达点C，测量后知点B位于点C北偏西60°的方向上(1)求∠B的度数;(2)求A、B之间距离．(结果保留根号)24. 某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量 (件)是售价 (元/件)的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润 (元)的三组对应值如下表：售价 (元/件) 50 60 80周销售量 (件) 100 80 40周销售利润 (元) 1000 1600 1600注：周销售利润＝周销售量×(售价－进价)(1)①求关于的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)②该商品进价是_________元/件;当售价是________元/件时，周销售利润最大，最大利润是__________元m ，物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店(2)由于某种原因，该商品进价提高了元/件(0)在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求的值 25. 如图，ABC 和BEF 都是等三边三角形，连接AF ，以AF ，AC 为邻边作平行四边形ACDF ，连接ED ．(1)如图①，当点在BC 上时，求证：DE DC =;(2)将图①中的BEF ∆绕点逆时针旋转，如图②，(1)的结论是否成立?说明理由;(3)若8AB =，4BF =，将BEF 绕点逆时针旋转一周，当，，三点共线时，直接写出BD 的长．26. 如图，抛物线212y x bx c =-++与直线AB 交于(4,0)A ，(0,2)B 两点，抛物线与轴负半轴交于点． (1)求抛物线解析式; (2)在第二象限抛物线上，作//DE x 轴交AB 于点，作DG x ⊥轴，EF x ⊥轴，垂足分别是，，当四边形DEFG 为正方形时，求DE 的长;(3)为第一象限抛物线上的点，Q 为直线AB 上的点，当BPQ 与ABC 相似时，直接写出点Q 的坐标．答案与解析一、选择题：本大题共10个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. ﹣2的相反数是( )A. 2B. ﹣2C. 12D. ±2【答案】A【解析】【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．【详解】﹣2的相反数是：()22--=．故选A ．【点睛】本题考查了相反数，关键是在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2. 如图所示的几何体的俯视图为( )A. B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】解：从上边看外面是一个矩形，里面是一个圆形，故选C ．【点睛】考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．3. 下列计算正确的是( )A. 22432x x x -=-B. ()22236x x -=C. 23622x y x x y ⋅=D. 32226(3)2x y x x y ÷=【答案】D【解析】【分析】由合并同类项判断A ，由积的乘方判断B ，由单项式乘以单项式判断C ，由单项式除以单项式判断D ．【详解】2224322x x x x -=-≠-，故A 选项错误;()2242396x x x -=≠，故B 选项错误; 2356222x y x x y x y ⋅=≠，故C 选项错误;32226(3)2x y x x y ÷=，故D 选项正确;故选D ．【点睛】本题考查是合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式，单项式除以单项式，解此题的关键在于熟练掌握各个知识点．4. 如图，AB ∥CD ，DB ⊥BC ，∠2=50°，则∠1的度数是( )A. 40°B. 50°C. 60°D. 140°【答案】A【解析】试题分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等解答．解：∵DB ⊥BC ，∠2=50°，∴∠3=90°﹣∠2=90°﹣50°=40°，∵AB ∥CD ，∴∠1=∠3=40°．故选A ．5. 如图是自动测温仪记录的图象，它反映了齐齐哈尔市的春季某天气温T 如何随时间t 的变化而变化，下列从图象中得到的信息正确的是( )A. 0点时气温达到最低B. 最低气温是零下4℃C. 0点到14点之间气温持续上升D. 最高气温是8℃【答案】D【解析】【分析】根据气温T如何随时间t的变化而变化图像直接可解答此题.【详解】A.根据图像4时气温最低，故A错误;B.最低气温为零下3℃，故B错误;C.0点到14点之间气温先下降后上升，故C错误;D描述正确.【点睛】本题考查了学生看图像获取信息的能力，掌握看图像得到有用信息是解决此题的关键.6. 某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试因此计算其他39人的平均分为90分，方差s2＝41．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是( )A. 平均分不变，方差变大B. 平均分不变，方差变小C. 平均分和方差都不变D. 平均分和方差都改变【答案】B【解析】【分析】根据平均数、方差的定义计算即可.【详解】∵小亮的成绩和其它39人的平均数相同，都是90分，∴40人的平均数是90分，∵39人的方差为41，小亮的成绩是90分，40人的平均分是90分，∴40人的方差为[41×39+(90-90)2]÷40<41，∴方差变小，∴平均分不变，方差变小故选B.【点睛】本题考查了平均数与方差，熟练掌握定义是解题关键.7. 一个布袋内只装有1个黑球和2个白球,这些球除颜色不同外其余都相同,随机摸出一个球后放回搅匀,再随机摸出一个球,则两次摸出的球都是黑球的概率是( ) A. 49 B. 13 C. 16 D. 19【答案】D【解析】试题分析：列表如下由表格可知，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球所以的结果有9种，两次摸出的球都是黑球的结果有1种，所以两次摸出的球都是黑球的概率是19．故答案选D ．考点：用列表法求概率．8. 在抛物线223y ax ax a =--上有1(2,)A y -，2(2,)B y 和3(3,)C y 三点，若抛物线与轴的交点在正半轴上，则1y 、2y 和3y 的大小关系为( )A. 132y y y <<B. 321y y y <<C. 312y y y <<D. 123y y y << 【答案】A【解析】【分析】先根据根据题意得到a < 0确定抛物线的开口方向，然后再确定抛物线的对称轴是直线x=1，再根据二次函数的性质得出当x> 1时，y 随x 的增大而减小以及点的坐标、二次函数的性质即可解答．【详解】解：∵抛物线y=ax 2-2ax-3a 与y 轴的交点在正半轴上，∴-3a>0，即抛物线的开口向下．∵抛物线的解析式是y=ax 2-2ax-3a ，∴抛物线的对称轴是直线x=22a a--=1， ∴当x> 1时，y 随x 的增大而减小，∵1＜2＜3∴y 2＞y 3∵A 点到对称轴的距离为3，B 点到对称轴的距离为1，C 点到对称轴的距离为2，∴ y 1＜y 3∴132y y y <<．故答案为A ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的图象函数性质，掌握二次函数及其图像的性质是解答本题的关键．9. 如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，∠C ＝60°，BC ＝CD ＝8，将四边形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF ，则BE 的长为( )A. 1B. 2 3 D. 32【答案】A【解析】【分析】作DG ⊥BC ，连接AE ，先根据Rt △CDG ，∠DCG=60°，得出CG=4，利用勾股定理求出3则AB= 3BE=x ，则CE=8-x ，根据折叠得AE= CE=8-x ，再根据勾股定理在Rt △ABE 列出方程进行求解.【详解】作DG ⊥BC ，连接AE ，在Rt △CDG ，∠DCG=60°，得出CG=4，∴DG=43，则AB= DG=43，设BE=x，则CE=8-x，根据折叠得AE= CE=8-x，在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2，即(8-x)2=(43)2+x2解得x=1，故选A.【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的应用.10. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点，点在BD上由点向点运动(点不与点重合)，连接AE，将线段AE绕点逆时针旋转90得到线段AF，连接BF交AO于点，设BE的长为，OG的长为，下列图象中大致所映与之间的函数关系的是()A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】连接FD，易证明△ABE≌△ADF，得到BE=DF=x，∠ABE=∠ADF=45°，所以∠BDF=90°，因为正方形，易得OG⊥BD，所以OG//FD，因为点O是BD的中点，所以OG是△BFD的中位线，故OG=12FD，即y=12x，且x＞0，可得是正比例函数，即可求出答案．【详解】解：连接FD，如图所示：∵∠BAE+∠EAD=90°，∠FAD+∠EAD=90°∴∠BAE =∠FAD∵AB=AD，AE=AF∴△ABE≌△ADF∴∠ABE=∠ADF=45°，BE=DF=x∴∠FDB=45°+45°=90°∵OG⊥BD，FD⊥BD∴OG//FD∵O是BD的中点∴OG是△BFD的中位线∴OG=12FD∴y=12x，且x＞0∴是k增大的正比例函数故选A．【点睛】本题主要考查了全等三角形的证明、中位线以及一次函数，合理的作出辅助线并找到中位线是解决本题的关键．二、填空题(本大题共8个小题)11. 据第六次全国人口普查统计，我国人口总数约有1370000000人，将1370000000用科学记数法表示__________．【答案】1.37×109【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数;当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：将1370000000用科学记数法表示为1.37×109．故答案为：1.37×109．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12. 计算11|3|2-⎛⎫-=⎪⎝⎭__________．【答案】3 【解析】【分析】根据平方根的概念及1ppaa-=求解即可．【详解】解：原式=3223-+=，故答案为3．【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握公式及运算法则是解决本题的关键．13. 若a+b=4，ab=1，则a2b+ab2=________．【答案】4【解析】【分析】分析式子的特点，分解成含已知式的形式，再整体代入．【详解】解：a2b+ab2=ab(a+b)=1×4=4．故答案为4.【点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．14. 如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为______．【答案】(﹣1，0)【解析】【分析】根据勾股定理求出AB的长，由AB=AC即可求出C点坐标．【详解】解：∵A(4，0)，B(0，3)，∴OA=4，OB=3，∴AB=222243OA OB+=+=5∴AC=5，∴点C的横坐标为：4-5=-1，纵坐标为：0，∴点C的坐标为(-1，0).故答案为(-1，0).【点睛】本题考查了勾股定理和坐标与图形性质的应用，解此题的关键是求出的长，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．15. 如图，在44⨯正方形网格中，、在格点上，在网格的其它格点上任取一点，能使ABC为直角三角形的概率是__________．【答案】5 23【解析】分析】分以AB 为直角边和斜边两种情况，利用勾股定理的逆定理得到直角三角形的数量，再利用概率公式求解即可．【详解】令小正方形的边长为1，则5AB =，如图，以AB 为斜边时，易得△ABC ，△ABD 为直角三角形，以AB 为直角边时，∵5AB =，5AE =，10BE =，∴222AB AE BE +=，∴△ABE 为直角三角形，同理可得△ABF 与△ABG 为直角三角形，∵在网格上任取一点C 能构成△ABC 的点有23个，∴能使△ABC 为直角三角形概率是523．【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理与网格问题，根据概率公式计算概率，解此题的关键在于熟练掌握其知识点．16. 如图，在矩形ABCD 中，5AB =，7BC =，点为BC 上一动点，把ABE △沿AE 折叠，当点的对应点落在ADC ∠的角平分线上时，则点到BC 的距离为__________．【答案】1或2【解析】【分析】连接B ′D ，过点B ′作B ′M ⊥AD 于M ．设DM=B ′M=x ，则AM=7-x ，根据等腰直角三角形的性质和折叠的性质得到：(7-x )2=25-x 2，通过解方程求得x 的值，易得点B ′到BC 的距离．【详解】解：连接B ′D ，过点B ′作B ′M ⊥AD 于M ．∵点B 的对应点B ′落在∠ADC 的角平分线上，∴设DM=B ′M=x ，则AM=7-x ，又由折叠的性质知AB=AB ′=5，∴在直角△AMB ′中，由勾股定理得到：AM 2=AB ′2-B ′M 2即(7-x )2=25-x 2，解得x=3或x=4，则点B ′到BC 的距离为2或1．故答案为：2或1．【点睛】本题考查的是翻折变换的性质，掌握翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．17. 如图，双曲线(0)k y x x=>与直线:OA y x =，直线:3BC y x =-分别交于点，，BC 与轴交于点，2OA BC =，则等于__________．【答案】4【解析】【分析】根据题意，过点A 作AM x ⊥轴于点M ，过点C 作CN x ⊥轴于点N ，通过设点C 的坐标进而表示点A 的坐标，最后根据的求解方法进行求解即可．【详解】过点A 作AM x ⊥轴于点M ，过点C 作CN x ⊥轴于点N根据题意设点(,3)C x x -∵直线:OA y x =，直线:3BC y x =-∴//OA BC∵AM x ⊥，CN x ⊥∴AOM CBN ∽∵2OA BC = ∴2AM CN= ∴26AM x =-又∵A 点在直线y x =上∴设(26,26)A x x --∵点A 和点C 在反比例函数图像上∴2(26)(3)x x x -=-∴123,4x x ==∵点A 在第一象限∴260x ->，解得3x >∴4x =∴(2,2)A∴224k =⨯=，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了反比例函数k 的求解，熟练掌握未知点的设点及借助三角形相似的方法进行求解是解决本题的关键．18. 如图，1A ，2A ，3A ……在直线上y x =，1B ，2B ，3B ……在直线上3y x =，12OA =，四边形1n n n n A B C A +为正方形，则四边形1n n n n A B C A +的面积是__________．【答案】221322n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭【解析】【分析】设()23,3A a a ，根据正方形性质可表示出()1,3B a a ，在11Rt OA B 中利用勾股定理建立方程求出a ，从而得到11A B ，再利用相似可求出22A B 、33A B ，从而求出面积，以此类推即可归纳出四边形的面积．【详解】如图，连接21A B ，由题可得1245B A O ∠=︒，且2A 在直线y x =上，∴21//A B x 轴，∴设()23,3A a a ，则()1,3B a a ，∴22110OB a =，232OA a =，又∵12OA = ∴1211322A A AB a ==， ∴在11Rt OA B 中，(222102322a a =+-，解得12a =，(1a =舍去，此时1A 、1B 横坐标相等，不符合题意)， ∴121122A A AB ==， ∴四边形1112A BC A 的面积=2212=⎝⎭，∵112290OA B OA B ∠=∠=︒，1122A OB A OB ∠=∠，∴11OA B ∽22OA B △， ∴111222OA A B OA A B =22222322A B =，解得22324A B =，∴四边形2223A B C A 的面积=229134822⎛⎛⎫==⨯ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，同理可证得：11OA B ∽33OA B ， ∴111333OA A B OA A B =33224A B =，解得338A B =， ∴四边形3334A B C A 的面积=24811383222⎛⎫⎛⎫==⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，以此类推，四边形1n n n n A B C A +的面积为221322n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭．故答案为：221322n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了一次函数图象上的点的坐标特征，正方形的性质，勾股定理及三角形的相似等知识，熟练应用知识是解题的关键．三、解答题19. 先化简，再求值：22169211x x x x x ⎛⎫-++-÷ ⎪+-⎝⎭，其中3x =．【答案】13x x -+，33- 【解析】【分析】根据完全平方公式，平方差公式和分式的运算法则对式子进行化简，然后将3x =代入计算即可．【详解】解：(2﹣11x x -+)÷22691x x x ++- ＝22(1)(1)(1)(1)1(3)x x x x x x +--+-⋅++ ＝2221(1)(1)1(3)x x x x x x +-++-⋅++ ＝23(1)(1)1(3)x x x x x ++-⋅++＝13x x -+，当x ＝233-时，原式＝234323233233---==．【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握完全平方公式，平方差公式和分式的运算法则是解题关键． 20. 我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：(1)接受问卷调查的学生共有______人，扇形统计图中”了解”部分所对应扇形的圆心角为______°.(2)若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到”了解”和”基本了解”程度的总人数为_______人.(3)若从对校园安全知识达到”了解”程度的3个女生A 、B 、C 和2个男生M 、N 中分别随机抽取1人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到女生A 的概率.【答案】(1)60，30;;(2)300;(3)13【解析】【分析】 (1)由了解很少的有30人，占50%，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中”了解”部分所对应扇形的圆心角;(2)利用样本估计总体的方法，即可求得答案;(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到女生A 的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：(1)∵了解很少的有30人，占50%，∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%=60(人);∵了解部分的人数为60﹣(15+30+10)=5，∴扇形统计图中”了解”部分所对应扇形的圆心角为：560×360°=30°; 故答案为60，30;(2)根据题意得：900×15+560=300(人)，则估计该中学学生中对校园安全知识达到”了解”和”基本了解”程度的总人数为300人，故答案为300;(3)画树状图如下：所有等可能的情况有6种，其中抽到女生A 的情况有2种，所以P (抽到女生A)=26=13．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21. 某学校准备购买若干台A 型电脑和B 型打印机.如果购买1台A 型电脑,2台B 型打印机,一共需要花费5900元;如果购买2台A 型电脑,2台B 型打印机,一共需要花费9400元.(1)求每台A 型电脑和每台B 型打印机的价格分别是多少元?(2)如果学校购买A 型电脑和B 型打印机的预算费用不超过20000元,并且购买B 型打印机的台数要比购买A 型电脑的台数多1台,那么该学校至多能购买多少台B 型打印机?【答案】(1)每台A 型3500元，每台B 型1200元;(2)5台．【解析】【分析】(1)设每台A 型电脑的价格为x 元，每台B 型打印机的价格为y 元，根据”1台A型电脑的钱数+2台B 型打印机的钱数=5900，2台A 型电脑的钱数+2台B 型打印机的钱数=9400”列出二元一次方程组，解之可得，(2)设学校购买a 台B 型打印机，则购买A 型电脑为(a- 1)台，根据”(a-1)台A 型电脑的钱数+a 台B 型打印机的钱数≤20000”列出不等式，解之可得.【详解】解：(1)设每台A 型电脑的价格为x 元，每台B 型打印机的价格为y 元，根据题意，得：25900229400x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：35001200 xy=⎧⎨=⎩，答：每台A型电脑的价格为3500元，每台B型打印机的价格为1200元;(2)设学校购买a台B型打印机，则购买A型电脑为(a﹣1)台，根据题意，得：3500(a﹣1)+1200a≤20000，解得：a≤5，答：该学校至多能购买5台B型打印机．【点睛】本题考查了一元一次不等式与二元一次方程组的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次不等式与二元一次方程组的应用.22. 如图，直线与⊙O相离，OA l⊥于点，与⊙O相交于点，是直线上一点，连接CP并延长交⊙O于另一点，且AB AC=．(1)求证：AB是⊙O的切线;(2)若⊙O的半径为3，5OA=，求线段BP的长．【答案】(1)见解析;(265 5【解析】【分析】(1)连接OB，由AB=AC得∠ABC=∠ACB，由OP=OB得∠OPB=∠OBP，由OA⊥l得∠OAC=90°，则∠ACB+∠APC=90°，而∠APC=∠OPB=∠OBP，所以∠OBP+∠ABC=90°，即∠OBA=90°，于是根据切线的判定定理得到直线AB是⊙O的切线;(2)根据勾股定理求得AB=4，5O作OD⊥PB于D，则PD=DB，通过证得△ODP∽△CAP，得到，求得PD，即可求得PB．【详解】解：(1)证明：如图，连接OB，则OP OB=，OBP OPB CPA ∠=∠=∠，AB AC =，ACB ABC ∴∠=∠，而OA l ⊥，即90OAC ∠=︒，90ACB CPA ∴∠+∠=︒，即90ABP OBP ∠+∠=︒，90ABO ∴∠=︒，OB AB ∴⊥，故AB 是⊙的切线;(2)由(1)知：90∠=︒ABO ，而5OA =，3OB OP ==，由勾股定理，得：4AB =，过作OD PB ⊥于，则PD DB =，在ODP ∆和CAP ∆中，OPD CPA ∠=∠，90ODP CAP ∠=∠=︒，ODP ∴∆∽CAP ∆，PD OP PA CP ∴=，又4AC AB ==，2AP OA OP =-=，2225PC AC AP ∴=+=，355OP PA PD CP ⋅∴== 6255BP PD ∴== 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理的应用研究三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．23. 如图，经测量，点B 位于点A 北偏西30°的方向上，从点A 沿着北偏东15°的方向行驶100米到达点C ，测量后知点B 位于点C 北偏西60°的方向上(1)求∠B 的度数;(2)求A 、B 之间的距离．(结果保留根号)【答案】(1)30°;(2)5026)米【解析】【分析】(1)根据平角的定义和三角形的内角和即可得到结论;(2)如图，过点C作CE⊥AB于E，得到△ACE是等腰直角三角形，解直角三角形即可得到结论．【详解】(1)由题意得，∠BAC＝30°+15°＝45°，∠ACB＝180°﹣60°﹣15°＝105°，∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣45°﹣105°＝30°;(2)如图，过点C作CE⊥AB于E，则△ACE是等腰直角三角形，∴CE＝sin∠CAE•AC＝22×100＝2m，在Rt△BCE中，∵∠B＝30°，∴∠BCE＝60°，∴BE＝tan∠BCE•CE3502506=∴AB＝50250626)=米．【点睛】考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 24. 某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量 (件)是售价 (元/件)的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润 (元)的三组对应值如下表：售价 (元/件)50 60 80 周销售量 (件)100 80 40 周销售利润 (元)1000 1600 1600注：周销售利润＝周销售量×(售价－进价)(1)①求关于的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)②该商品进价是_________元/件;当售价是________元/件时，周销售利润最大，最大利润是__________元(2)由于某种原因，该商品进价提高了元/件(0)m >，物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求的值【答案】(1)①与的函数关系式是2200y x =-+;②40，70，1800;(2)5.【解析】【分析】(1)①设与的函数关系式为y kx b =+，根据表格中的数据利用待定系数法进行求解即可;②设进价为a 元，根据利润=售价-进价，列方程可求得a 的值，根据”周销售利润＝周销售量×(售价－进价)”可得w 关于x 的二次函数，利用二次函数的性质进行求解即可得;(2)根据”周销售利润＝周销售量×(售价－进价)”可得(2200)(40)w x x m =-+--，进而利用二次函数的性质进行求解即可.【详解】(1)①设与的函数关系式为y kx b =+，将(50，100)，(60，80)分别代入得，501006080k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得，2k =-，200b =， ∴与函数关系式是2200y x =-+;②设进价为a 元，由售价50元时，周销售是为100件，周销售利润为1000元，得100(50-a)=1000，解得：a=40，依题意有，(2200)(40)w x x =-+-=222808000x x -+-=()22701800x --+∵20-<，∴当x=70时，w 有最大值为1800，即售价为70元/件时，周销售利润最大，最大为1800元，故答案为40，70，1800;(2)依题意有，(2200)(40)w x x m =-+-- 22(2280)8000200x m x m =-++--221401260180022m x m m +⎛⎫=--+-+ ⎪⎝⎭ ∵0m >，∴对称轴140702m x +=>， ∵20-<，∴抛物线开口向下，∵65x ，∴随的增大而增大，∴当65x =时，∴有最大值(265200)(6540)m -⨯+--，∴(265200)(6540)1400m -⨯+--=，∴5m =.【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，弄清题意，找准各量间的关系正确列出函数解析式是解题的关键.25. 如图，ABC 和BEF 都是等三边三角形，连接AF ，以AF ，AC 为邻边作平行四边形ACDF ，连接ED ．(1)如图①，当点在BC 上时，求证：DE DC =;(2)将图①中的BEF ∆绕点逆时针旋转，如图②，(1)的结论是否成立?说明理由;(3)若8AB =，4BF =，将BEF 绕点逆时针旋转一周，当，，三点共线时，直接写出BD 的长．【答案】(1)证明见解析;(2)成立，理由见解析;(3)2132或132．【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质及平行四边形的性质可得AF=CD ，AB=DF ，∠DFE=∠ABF ，利用SAS 可证明△ABF ≌△DFE ，根据全等三角形的性质可得DE=AF ，进而可得结论;(2)如图，设DF 与BC 交于点G ，由平行线的性质可得∠DGC=∠ACB=60°，利用三角形内角和定理得∠DFE+∠FBC=60°，根据角的和差关系可得∠ABF=∠DFE ，利用SAS 可证明△ABF ≌△DFE ，进而可得结论;(3)由(2)的结论可证明△CDE 是等边三角形，分点D 在BE 延长线上和点D 在EB 延长线上两种情况，根据等边三角形的性质，利用勾股定理可求出DE 的长，进而求出BD 的长即可．【详解】(1)∵△ABC 和△BEF 都是等边三角形，∴∠BFE=60°，BF=EF ，∠ABF=∠ACB=60°，AB=AC ，∵四边形ACDF 为平行四边形，∴AF=CD ，AC=DF ，AC ∥DF ，∴∠DFC=∠ACB=60°，AB=DF ，∴∠DFE=180°-∠BFE-∠DFC=60°=∠ABF ，在△ABF 和△DFE 中，BF EF ABF DFE AB DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△DFE(SAS)，∴DE=AF ，∴DE=CD．(2)成立，理由如下：如图，设DF与BC交于点G，∵AC∥DF，∴∠DGC=∠ACB=60°，∴∠FGB=60°，∵∠FBC+∠BFE+∠DFE+∠FGB=180°，∠BFE=60°，∴∠DFE+∠FBC=60°，∵∠ABF+∠FBC=∠ABC=60°，∴∠ABF=∠DFE在△ABF和△DFE中，BF EFABF DFEAB DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF≌△DFE(SAS)，∴DE=AF，∵AF=CD，∴DE=CD．(3)①如图，当点D在BE延长线上时，连接CE，过点C作CH⊥BD于H，由(2)可知△ABF≌△DFE(SAS)，∴∠BAF=∠FDE，∵四边形ACDF为平行四边形，∴∠FAC=∠FDC，∴∠BAF+∠FAC=∠FDE+∠FDC，即∠BAC=∠CDE=60°，由(2)可知DE=DC，∴△DCE是等边三角形，∴EH=12DE，CH=32DE，∵BC2=BH2+CH2，BC=AB=8，BE=BF=4，∴(12DE+4)2+(32DE)2=82，即DE2+4DE-48=0，解得：DE=213-2(负值舍去)，∴BD=BE+DE=213+2．②当点D在EB延长线上时，连接CE，作CQ⊥BD于Q，由(2)可知△ABF≌△DFE(SAS)，∴∠BAF=∠FDE，∵四边形ACDF为平行四边形，∴∠FAC=∠FDC，∴∠BAF+∠FAC=∠FDE+∠FDC，即∠BAC=∠CDE=60°，由(2)可知DE=DC，∴△DCE是等边三角形，∴EQ=12DE，3，∵BC2=BQ2+CQ2，BC=AB=8，BE=BF=4，∴(12DE-4)2+3)2=82，即DE2-4DE-48=0，解得：DE=213(负值舍去)，∴BD=DE-BE=13．。

上海市2022年中考数学各地区模拟试题分类(一)——《四边形》(含解析)

2018-2022年上海市中考数学各地区模拟试题分类（一）——《四边形》一．选择题1．（2022•普陀区二模）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，如果OB＝4，∠AOB＝60°，那么矩形ABCD的面积等于（）A．8 B．16 C．8D．16 2．（2022•杨浦区二模）已知在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定这个四边形是矩形的是（）A．AD＝BC，AC＝BD B．AC＝BD，∠BAD＝∠BCDC．AO＝CO，AB＝BC D．AO＝OB，AC＝BD3．（2022•静安区二模）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么下列条件中，能判断▱ABCD是菱形的为（）A．AO＝CO B．AO＝BO C．∠AOB＝∠BOC D．∠BAD＝∠ABC 4．（2022•奉贤区二模）四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相平分．添加下列条件，一定能判定四边形ABCD为菱形的是（）A．∠ABD＝∠BDC B．∠ABD＝∠BAC C．∠ABD＝∠CBD D．∠ABD＝∠BCA 5．（2022•金山区二模）已知在△ABC中，AD是中线，设＝，＝，那么向量用向量表示为（）A．2﹣2B．2+2C．2﹣2D．﹣6．（2022•浦东新区二模）在梯形ABCD中，AD∥BC，那么下列条件中，不能判断它是等腰梯形的是（）A．AB＝DC B．∠DAB＝∠ABC C．∠ABC＝∠DCB D．AC＝DB 7．（2022•闵行区二模）顺次联结四边形ABCD各边中点所形成的四边形是矩形，那么四边形ABCD是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形8．（2022•闵行区一模）要判断一个四边形门框是否为矩形，在下面四个拟定方案中，正确的方案是（）A．测量对角线是否相互平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量对角线是否互相垂直D．测量其中三个角是否是直角9．（2022•虹口区一模）已知、和都是非零向量，在下列选项中，不能判定∥的是（）A．||＝|| B．∥，∥C．+＝0 D．+＝2，﹣＝3 10．（2022•静安区一模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设＝，＝，下列式子中正确的是（）A．＝+B．＝﹣C．＝﹣+D．＝﹣﹣11．（2022•宝山区一模）已知，为非零向量，如果＝﹣5，那么向量与的方向关系是（）A．∥，并且和方向一致B．∥，并且和方向相反C．和方向互相垂直D．和之间夹角的正切值为512．（2022•松江区一模）如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角α，它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是1.5．那么sinα的值为（）A．B．C．D．13．（2022•普陀区一模）下列说法中，正确的是（）A．如果k＝0，是非零向量，那么k＝0B．如果是单位向量，那么＝1C．如果||＝||，那么＝或＝﹣D．已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥14．（2022•崇明区一模）已知为非零向量，＝3，＝﹣2，那么下列结论中错误的是（）A．∥B．||＝||C．与方向相同D．与方向相反15．（2022•松江区一模）如果+＝，﹣＝3，且≠，下列结论正确的是（）A．||＝|| B．+2＝0C．与方向相同D．与方向相反16．（2022•浦东新区一模）下列说法正确的是（）A．+（﹣）＝0B．如果和都是单位向量，那么＝C．如果||＝||，那么＝D．如果＝﹣（为非零向量），那么∥17．（2022•黄浦区一模）已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中正确的是（）A．B．C．D．18．（2022•杨浦区一模）已知、和都是非零向量，下列结论中不能判定∥的是（）A．，B．＝，＝2C．＝2D．||＝|| 19．（2022•奉贤区一模）已知点C在线段AB上，AC＝3BC，如果＝，那么用表示正确的是（）A．B．﹣C．D．﹣20．（2022•嘉定区一模）如图，在平行四边形ABCD中，设＝，＝，点O是对角线AC与BD的交点，那么向量可以表示为（）A．+B．﹣C．﹣+D．﹣﹣二．填空题21．（2022•浦东新区三模）如果直角梯形的两腰长分别为8厘米和10厘米，较长的底边长为7厘米，那么这个梯形的面积是平方厘米．22．（2022•浦东新区三模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD绕点C 旋转，点A、B、D的对应点分别为A′、B′、D′，当A′落在边CD的延长线上时，边A′D′与边AD的延长线交于点F，联结CF，那么线段CF的长度为．23．（2022•普陀区二模）如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DC、BE交于点O，AB＝3AD，设＝，＝，那么向量用向量、表示是．24．（2022•杨浦区二模）在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE经过△ABC 的重心，如果＝，＝，那么＝．（用、表示）25．（2022•杨浦区二模）如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝10，BC＝15，tan∠A＝，点P是边AD上一点，联结PB，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，如果点Q恰好落在平行四边形ABCD的边上，那么AP的值是．26．（2022•徐汇区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝3，AB＝5，sin A＝，将平行四边形ABCD绕着点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°）后，点A的对应是点A'，联结A'C，如果A'C⊥BC，那么cosθ的值是．27．（2022•静安区二模）如果一条直线把一个四边形分成两部分，这两部分图形的周长相等，那么这条直线称为这个四边形的“等分周长线”．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A ＝90°，DC＝AD，∠B是锐角，cot B＝，AB＝17．如果点E在梯形的边上，CE是梯形ABCD的“等分周长线”，那么△BCE的周长为．28．（2022•嘉定区二模）七巧板由五个等腰直角三角形与两个平行四边形（其中的一个平行四边形是正方形）组成．用七巧板可以拼出丰富多彩的图形，图中的正方形ABCD就是由七巧板拼成的，那么正方形EFGH的面积与正方形ABCD的面积的比值为．29．（2022•虹口区二模）如图，在△ABC中，AD为边BC上的中线，DE∥AB，已知＝，＝，那么用，表示＝．30．（2022•黄浦区二模）如果一个梯形的上底与下底之比等于1：2，那么这个梯形的中位线把梯形分成两部分的面积之比是．三．解答题31．（2022•浦东新区三模）已知：如图，点E为▱ABCD对角线AC上的一点，点F在线段BE的延长线上，且EF＝BE，线段EF与边CD相交于点G．（1）求证：DF∥AC；（2）如果AB＝BE，DG＝CG，联结DE、CF，求证：四边形DECF是矩形．32．（2022•杨浦区二模）如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M 在线段OD上，联结AM并延长交边DC于点E，点N在线段OC上，且ON＝OM，联结DN与线段AE交于点H，联结EN、MN．（1）如果EN∥BD，求证：四边形DMNE是菱形；（2）如果EN⊥DC，求证：AN2＝NC•AC．33．（2022•奉贤区二模）如图1，由于四边形具有不稳定性，因此在同一平面推矩形的边可以改变它的形状（推移过程中边的长度保持不变）．已知矩形ABCD，AB＝4cm，AD ＝3cm，固定边AB，推边AD，使得点D落在点E处，点C落在点F处．（1）如图2，如果∠DAE＝30°，求点E到边AB的距离；（2）如图3，如果点A、E、C三点在同一直线上，求四边形ABFE的面积．34．（2022•徐汇区二模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，BE＝DG，BF＝DH．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）当AB＝BC，且BE＝BF时，求证：四边形EFGH是矩形．35．（2022•长宁区二模）如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）连结BD，交EF于点Q，求证：DQ•BC＝CE•DF．参考答案一．选择题1．解：∵四边形ABCD是矩形∴∠BAD＝90°，AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，AC＝BD＝2OB＝8，∴OA＝BO，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OB＝4，∴AD＝＝＝4，∴矩形ABCD的面积＝AB×AD＝4×4＝16；故选：D．2．解：A、AB∥DC，AD＝BC，无法得出四边形ABCD是平行四边形，故无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；B、∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠BAD＝∠BCD，∴∠ABC＝∠ADC，∴得出四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．故正确；C、∵AO＝CO，AB＝BC，∴BD⊥AC，∠ABD＝∠CBD，∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB，∴BC＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；D、AO＝OB，AC＝BD可无法判断四边形ABCD是矩形，故错误；故选：B．3．解：选项A，由平行四边形的性质可知，对角线互相平分，故A不符合题意；选项B，由▱ABCD中AO＝BO可推得AC＝BD，可以证明▱ABCD为矩形，但不能判定▱ABCD为菱形，故B不符合题意；选项C，当∠AOB＝∠BOC时，由于∠AOB+∠BOC＝180°，故∠AOB＝∠BOC＝90°，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C符合题意；选项D，由平行四边形的性质可知，∠BAD+∠ABC＝180°，故当∠BAD＝∠ABC时，∠BAD ＝∠ABC＝90°，从而可判定▱ABCD为矩形，故D不符合题意．综上，只有选项C可以判定▱ABCD是菱形．故选：C．4．解：如图所示，设四边形ABCD的两条对角线AC、BD交于点O，∵AC、BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形．选项A，由平行四边形的性质可知AB∥DC，则∠ABD＝∠BDC，从而A不符合题意；选项B，∠ABD＝∠BAC，则AO＝BO，再结合对角线AC、BD互相平分，可知AC＝BD，从而平行四边形ABCD是矩形，故B不符合题意；选项C，由平行四边形的性质可知AD∥BC，从而∠ADB＝∠CBD，当∠ABD＝∠CBD时，∠ADB＝∠ABD，故AB＝AD，由一组邻边相等的平行四边形的菱形可知，C符合题意；选项D，∠ABD＝∠BCA，得不出可以判定四边形ABCD为菱形的条件，故D不符合题意．综上，只有选项C一定能判定四边形ABCD为菱形．故选：C．5．解：∵＝+＝，∴＝﹣，∴＝2＝2﹣2，故选：C．6．解：A、∵AD∥BC，AB＝DC，∴梯形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；B、根据∠DAB＝∠ABC，不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项正确；C、∵∠ABC＝∠DCB，∴BD＝BC，∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；D、∵AC＝BD，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误．故选：B．7．解：已知：如右图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD 的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形．证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，∴AC⊥BD，观察选项，只有菱形的对角线互相垂直．故选：C．8．解：∵三个角是直角的四边形是矩形，∴在下面四个拟定方案中，正确的方案是D，故选：D．9．解：A、该等式只能表示两、的模相等，但不一定平行，故本选项符合题意；B、由∥，∥可以判定∥，故本选项不符合题意．C、由+＝0可以判定、的方向相反，可以判定∥，故本选项不符合题意．D、由+＝2，﹣＝3得到＝，＝﹣，则、的方向相反，可以判定∥，故本选项不符合题意．故选：A．10．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵＝+∴＝＝﹣+，故选：C．11．解：∵知，为非零向量，如果＝﹣5，∴∥，与的方向相反，故选：B．12．解：如图，过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵四边形ABCD的面积是1.5，∴BC×AE＝CD×AF，且AE＝AF＝1，∴BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∵1.5＝CD×AF，∴CD＝，∴AD＝CD＝∴sinα＝＝，故选：C．13．解：A、如果k＝0，是非零向量，那么k＝0，错误，应该是k＝．B、如果是单位向量，那么＝1，错误．应该是||＝1．C、如果||＝||，那么＝或＝﹣，错误．模相等的向量，不一定平行．D、已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥，正确．故选：D．14．解：∵＝3，＝﹣2，∴＝﹣，∴∥，||＝||，与发方向相反，∴A，B，D正确，故选：C．15．解：∵+＝，﹣＝3，∴＝2，＝﹣，∴＝﹣2，∴与方向相反，故选：D．16．解：A、+（﹣）＝0，错误应该等于零向量．B、如果和都是单位向量，那么＝，错误，模相等，方向不一定相同．C、如果||＝||，那么＝，错误，模相等，方向不一定相同．D、如果＝﹣（为非零向量），那么∥，正确，故选：D．17．解：A、•与的模相等，方向不一定相同．故错误．B、正确．C、|与的模相等，方向不一定相同，故错误．D、•与•的模相等，方向不一定相同，故错误．故选：B．18．解：A、由∥，∥，可以推出∥．本选项不符合题意．B、由＝，＝2，可以推出∥．本选项不符合题意．C、由＝2，可以推出∥．本选项不符合题意．D、由||＝||，不可以推出∥．本选项符合题意．故选：D．19．解：如图，∵AC＝3BC，∴AB＝AC，∴＝﹣，故选：D．20．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴＝＝，OA＝OC，∴＝+＝+，∴＝＝+，故选：A．二．填空题（共10小题）21．解：如图，作DE⊥BC，已知AB＝8，CD＝10，BC＝7，∴CE＝＝6，∴AD＝BC﹣EC＝1，∴梯形的面积是：（AD+BC）•DE＝（7+1）×8＝32（cm2），答：这个梯形的面积是32平方厘米．故答案为：32．22．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠ADC＝90°，∴∠A'DF＝∠CDF＝90°，由旋转的性质得：CD＝CD'＝3，A'D'＝AD＝4，∠ADC＝∠A'D'C＝90°，∴A'C＝＝5，∴A'D＝A'C﹣CD＝5﹣3＝2，在Rt△CDF和Rt△CD'F中，，∴Rt△CDF≌Rt△CD'F（HL），∴DF＝D'F，设DF＝D'F＝x，则A'F＝4﹣x，在Rt△A'DF中，由勾股定理得：22+x2＝（4﹣x）2，解得：x＝，∴DF＝，∴CF＝＝＝；故答案为：．23．解：∵DE∥BC，∴＝＝，∴BC＝3DE，∵＝，∴＝3，∵△DOE∽△COB，∴＝＝，∴OD＝OC＝CD，∵＝+，∴＝﹣+3，∴＝﹣+，故答案为：﹣+．24．解：如图设G是重心，作中线AF．∵DE∥BC，∴AD：AB＝AG：AF＝DE：BC＝2：3，∴DE＝BC，∵＝+，∴＝﹣，∴＝（﹣）＝﹣故答案为：﹣．25．解：如图1中，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．设PE＝x．在Rt△AEB中，∵tan A＝＝，AB＝10，∴BE＝8，AE＝6，∵将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，∴∠BPQ＝90°，∴∠EBP+∠BPE＝∠BPE+∠FPQ＝90°，∴∠EBP＝∠FPQ，∵PB＝PQ，∠PEB＝∠PFQ＝90°，∴△PBE≌△QPF（AAS），∴PE＝QF＝x，EB＝PF＝8，∴DF＝AE+PE+PF﹣AD＝x﹣1，∵CD∥AB，∴∠FDQ＝∠A，∴tan∠FDQ＝tan A＝＝，∴＝，∴x＝4，∴PE＝4，∴AP＝6+4＝10；如图2，当点Q落在AD上时，∵将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，∴∠BPQ＝90°，∴∠APB＝∠BPQ＝90°，在Rt△APB中，∵tan A＝＝，AB＝10，∴AP＝6；如图3中，当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．则四边形BEPF 是矩形．在Rt△AEB中，∵tan A＝＝，AB＝10，∴BE＝8，AE＝6，∴PF＝BE＝8，∵△BPQ是等腰直角三角形，PF⊥BQ，∴PF＝BF＝FQ＝8，∴PB＝PQ＝8，BQ＝PB＝16＞15（不合题意舍去），综上所述，AP的值是6或10，故答案为：6或10．26．解：如图，连接BD，连接A'D，过点B作BH⊥AD于H，过点A'作A'E⊥AB于E，∵sin A＝＝，∴BH＝4，∴AH＝＝＝3，∴AD＝AH＝3，∴点D与点H重合，∴∠ADB＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝3，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC＝90°，又∵A'C⊥BC，∴BD∥A'C，∵将平行四边形ABCD绕着点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），∴A'B＝AB＝5，∵A'C⊥BC，∴A'C＝＝＝4，∴A'C＝BD，∴四边形A'CBD是平行四边形，∵∠DBC＝90°，BC＝A'D＝3，∴四边形A'CBD是矩形，∴∠A'DB＝90°，∴∠A'DB+∠ADB＝180°，∴点A，点D，点A'共线，∵S＝×AB×A'E＝×AA'×BD，△A'BA∴A'E＝，∴BE＝＝＝，∴cosθ＝＝＝，故答案为：．27．解：作CH⊥AB于H，设BH＝5a，∵cot B＝，∴＝，∴CH＝12a，∵AB∥CD，∴∠D＝∠A＝90°，又CH⊥AB，∴四边形ADCH为矩形，∴AD＝CH＝12a，CD＝AH，∵DC＝AD，∴AH＝CD＝12a，由题意得，12a+5a＝17，解得，a＝1，∴AD＝CD＝AH＝12，BH＝5，在Rt△CHB中，BC＝＝13，∴四边形ABCD的周长＝12+12+17+13＝54，∵CE是梯形ABCD的“等分周长线”，∴点E在AB上，∴AE＝17+13﹣27＝3，∴EH＝12﹣3＝9，由勾股定理得，EC＝＝15，∴△BCE的周长＝14+13+15＝42，故答案为：42．28．解：∵四边形EFGH是正方形，△AEH是等腰直角三角形，∴AH＝HE＝HG，设AH＝HG＝1，则AG＝2，正方形EFGH的面积为1，∵△ADG是等腰直角三角形，∴AD＝AG＝2，∴正方形ABCD的面积为8，∴正方形EFGH的面积与正方形ABCD的面积的比值为，故答案为：．29．解：∵AD是中线，∴BD＝DC，∵DE∥AB，∴AE＝EC，∴AB＝2DE，∴＝2，∵＝＝，＝+，∴＝2+，故答案为：2+．30．解：设梯形的上底为a，则下底为2a，∴梯形的中位线＝＝a，∵梯形的中位线把梯形分成的两个梯形的高h是相等的，∴这个梯形的中位线把梯形分成两部分的面积之比＝＝，故答案为：5：7．三．解答题（共5小题）31．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，∵EF＝BE，∴OE是△BDF的中位线，∴OE∥DF，即DF∥AC；（2）解：∵AB＝BE，∴∠BAE＝∠BEA，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAE＝∠GCE，∵∠BEA＝∠GEC，∴∠GEC＝∠GCE，∴GE＝CG，∵DF∥AC，∴＝，∵DG＝CG，∴FG＝GE，∴四边形DECF是平行四边形，∵DG＝CG，FG＝GE，GE＝CG，∴DG＝CG＝FG＝GE，∴DC＝EF，∴四边形DECF是矩形．32．证明：（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，∵ON＝OM，∴，∴MN∥CD，又∵EN∥BD，∴四边形DMNE是平行四边形，在△AOM和△DON中，∵∠AOM＝∠DON＝90°，OA＝OD，OM＝ON，∴△AOM≌△DON（SAS），∴∠OMA＝∠OND，∵∠OAM+∠OMA＝90°，∴∠OAM+∠OND＝90°∴∠AHN＝90°．∴DN⊥ME，∴平行四边形DMNE是菱形；（2）如图2，∵MN∥CD，∴，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，AB＝DC，∠ADC＝90°，∴AD⊥DC，又∵EN⊥DC，∴EN∥AD，∴，∵AB∥DC，∴，∴，∴AN2＝NC•AC．33．解：（1）如图2，过点E作EH⊥AB轴，垂足为H，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∴AD∥EH，∴∠DAE＝∠AEH，∵∠DAE＝30°，∴∠AEH＝30°．在直角△AEH中，∠AHE＝90°，∴EH＝AE•cos∠AEH，∵AD＝AE＝3cm，∴cm，即点E到边AB的距离是cm；（2）如图3，过点E作EH⊥AB，垂足为H．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∵AD＝3cm，∴BC＝3cm，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，∴cm，∵EH∥BC，∴，∵AE＝AD＝3 cm，∴，∴cm，∵推移过程中边的长度保持不变，∴AD＝AE＝BF，AB＝DC＝EF，∴四边形ABCD是平行四边形，∴cm2．34．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D，∠A＝∠C，∵BE＝DG，BF＝DH，且∠B＝∠D，∴△BEF≌△DGH（SAS），∴EF＝HG，同理可得EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）∵AB＝BC，BE＝BF∴AB＝BC＝CD＝AD，BE＝BF＝DH＝DG，∴AE＝AH，∵AD∥BC，∴∠B+∠A＝180°，∵BE＝BF，AE＝AH，∴∠BEF＝∠BFE＝，∠AEH＝∠AHE＝，∴∠AEH+∠BEF＝90°，∴∠FEH＝90°，∴平行四边形EFGH是矩形．35．证明：（1）如图，作EM⊥BC于点M，∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，∴EM∥AB，∴∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，∵∠ABE+∠CEF＝45°，∴∠BEM+∠CEF＝45°，∵BE⊥EF，∴∠CEM＝45°＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴AB＝BC，∴矩形ABCD是正方形；（2）如图，∵∠BEF+∠BCF+∠EFC+∠EBC＝360°，∴∠EBC+∠EFC＝180°，且∠EFC+∠QFD＝180°，∴∠DFQ＝∠EBC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠BDC＝45°，∴△BCE∽△FDQ，∴，∴BC•DQ＝CE•DF．。

2021-2022学年上海市松江区九年级上学期期末数学试题

【详解】解：∵二次函数的图象在对称轴x＝2的左侧部分是上升的，
∴这个二次函数的二次项系数为负数，
∴符合条件的函数有y＝﹣x2+4x+5，
答案为：y＝﹣x2+4x+5，答案不唯一．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是会利用函数的性质确定解析式的各项系数．
13.一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面高度为y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为______m．
2.已知在Rt ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，那么下列结论一定成立的是（）
A.b＝ctanAB.b＝ccotAC.b＝csinAD.b＝ccosA
【答案】D
【分析】根据余弦的定义解答即可．
【详解】解： Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，
则cosA＝，
∴b＝ccosA，
8.把抛物线y＝x2+1向右平移1个单位，所得新抛物线的表达式是___．
【答案】
【分析】根据平移规律得到新抛物线顶点坐标，即可得新抛物线的表达式．
【详解】∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线向右平移1个单位后，所得新抛物线的表达式为，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
∴﹣ ＞0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，解题关键是掌握二次函数的图象与系数的关系．
4.已知＝2 ，那么下列判断错误的是（）

最新上海市2022届中考一模数学试卷分类汇编：几何证明(Word版,含答案)

九年级上学期期末（一模）数学试卷分类汇编23．（本题满分12分，每小题各6分）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，过点C 作CF ∥AB 交△ABC 的中位线DE 的延长线于F ，联结BF ，交AC 于点G ．（1）求证：GAE AC EGC ＝；（2）若AH 平分∠BAC ，交BF 于H ，求证：BH 是HG 和HF 的比例中项．23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，在∆ABC 中，点D 在边BC 上，联结AD ，∠ADB=∠CDE ， DE 交边AC 于点E ，DE 交BA 延长线于点F ，且DF DE AD ⋅=2．（1）求证：BFD ∆∽CAD ∆；（2）求证：AD AB DE BF ⋅=⋅．23．（本题满分12分，每小题各6分）如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，联结DE ，过顶点B 作BF DE ⊥，垂足为F ，BF 交边DC 于点G ．（1）求证：GD AB DF BG ⋅=⋅；F EABC第23题图BEC（2）联结CF ，求证：45CFB ∠=︒．已知：如图，四边形ABCD ，∠DCB =90°，对角线BD ⊥AD ，点E 是边AB 的中点，CE 与BD 相交于点F ，2BD AB BC =⋅（1）求证：BD 平分∠ABC ；（2）求证：BE CF BC EF ⋅=⋅.如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE 、BC 的延长线相交于点F ，且EF DF BF CF ⋅=⋅．（1）求证AD AB AE AC ⋅=⋅；（2）当AB =12，AC =9，AE =8时，求BD 的长与△△ADEECFS S 的值．23．（本题满分12分）如图，BD 是△ABC 的角平分线，点E 位于边BC 上，已知BD 是BA 与BE 的比例中项. （1）求证：∠CDE =12∠ABC ；（2）求证：AD •CD =AB •CE . 23.如图6，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，点E 在对角线AC 上，且满足∠ADE =∠BAC 。

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2022届松江区中考数学一模附答案一、选择题1. 已知sin 2α=，那么锐角α的度数是（） A . 30°B . 45°C . 60°D . 75°【答案】C2. 已知在Rt ABC 中，∠C =90°，AB =c ，AC =b ，那么下列结论一定成立的是（） A. ctan b A = B. cot b c A = C. sin b c A = D. cos b c A = 【答案】D3. 已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像如图所示，那么下列判断正确的是（）A. 0,0b c >>B.0,0b c ><C. 0,0b c <>D. 0,0b c <<【答案】D4. 已知2a b =，那么下列判断错误的是（）A . 20a b -=B . 12b a =C . 2a b =D . a //b【答案】A5. 如图，已知点G 是ABC 的重心，那么:BCGABCSS等于（）A . 1:2B . 1:3C . 2:3D . 2:5【答案】B6. 下列四个命题中，真命题的个数是（） ①底边和腰对应成比例的两个等腰三角形相似②底边和底边上的高对应成比例的两个等腰三角形相似 ③底边和一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似 ④腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似 A . 1 B . 2 C . 3 D . 4【答案】C 二、填空题7. 已知2x y =，那么22x y x y -=+____________ 【答案】348. 把抛物线21y x =+向右平移1个单位，所得新抛物线的表达式是____________ 【答案】()211y x =-+9. 已知两个相似三角形面积的比是4:9，那么这两个三角形周长的比是____________ 【答案】2:310. 已知线段AB =8，P 是AB 的黄金分割点，且PA >PB ，那么PA 的长是____________【答案】411. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为（2,3），那么直线OA 与x 轴夹角的正切值是____________ 【答案】3212. 如果一个二次函数图像的对称轴是直线2x =，且沿着x 轴正方向看，图像在对称轴左侧部分是上升的，请写出一个符合条件的函数解析式：____________ 【答案】()22y x =--13. 一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度y （米）关于水平距离x （米）的函数解析式为21251233y x x =-++，那么铅球运行过程中最高点离地面的高度是____________ 【答案】314. 如图，码头A 在码头B 的正东方向，它们之间的距离为10海里，一货船由码头A 出发，沿北偏东45°方向航行到达小岛C 处，此时测得码头B 在南偏西60°方向，那么码头A 与小岛C 的距离是____________海里（结果保留根号）【答案】15. 如图，已知在梯形ABCD 中，AB //CD ，AB =2CD ，设,AB a AD b ==，那么AE 可以用,a b 表示为____________【答案】1233a b +【解析】1122DC AB a ==，12AC AD DC a b ∴=+=+，212333AE AC a b ==+ 16. 如图，某时刻阳光通过窗口AB 照射到室内，在地面上留下4米宽的“亮区”DE ，光线与地面所成的角（如∠BEC ）的正切值是12，那么窗口的高AB 等于____________米【答案】217. 我们知道：四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形是相似四边形，如图，已知梯形ABCD 中，AD //BC ，AD =1，BC =2，E 、F 分别是边AB 、CD 上的点，且EF //BC ，如果四边形AEFD 与四边形EBCF 相似，那么AEEB的值是____________【答案】2【解析】因为梯形AEFD 梯形EBCF ，AD EF AE BF BC EB ∴==，212AE AD EF EB EP BC ⎛⎫∴=⋅= ⎪⎝⎭，2AE EB ∴= 18. 如图，已知矩形ABCD 中，AD =3，AB =5，E 是边DC 上一点，将ADE 绕点A 顺时针旋转得到''AD E ，使得点D 的对应点'D 落在AE 上，如果''D E 的延长线恰好经过点B ，那么DE 的长度等于____________【答案】94【解析】如图 2，在Rt ABD '中，3,5AD AB '==，所以3sin 15∠=，所以3tan 14∠=，根据同角的余角相等，可得21∠=∠，在Rt ADE 中，3AD =，所以39tan 1344DE AD =⋅∠=⨯=.三、解答题19. 已知一个二次函数图像的顶点为（1,0），与y 轴的交点为（0,1）. （1）求这个二次函数的解析式；（2）在所给的平面直角坐标系xOy 中，画出这个二次函数的图像.【解析】（1）2(1)y a x =-代入(0,1)-，得221y x x =-+（2）图略 20. 如图，已知平行四边形ABCD 中，G 是AB 延长线上一点，联结DG ，分别交AC 、BC 于点E 、F ，且AE :EC =3:2. （1）如果AB =10，求BG 的长；（2）求EFFG的值.【解析】(1)因为10AB CD ==，所以23CD CE AG AE ==，15.5AG BG ∴==. (2)作EHAG ，由（1）可知，,2BG a AB a ==，所以24..55EH CE EH a DB CA ==∴= 445.5aEF EH FG BG a ∴===21. 如图，已知ABC 中，AB =AC =12，3cos 4B =，AP AB ⊥，交BC 于点P . （1）求CP 的长；（2）求∠PAC 的正弦值.【解析】（1）31294BG CG ==⋅=，418,16.3BC BP AB ==⋅= 2CP BC BP ∴=-=（2）解PAC ，作PH AC ⊥，342AP AB PH PC =⋅==⋅=， 1sin .8PH PAC PP ∴∠== 22. 某货站沿斜坡AB 将货物传送到平台BC ，一个正方体木箱沿着斜坡移动，当木箱的底部到达点B 时的平面示意图如图所示，已知斜坡AB 的坡度为1:2.4，点B 到地面的距离BE =1.5米，正方体木箱的棱长BF =0.65米，求点F 到地面的距离【解析】作FG CB ⊥，所以15tan 2.412BAE ∠==. 所以12.635,01.6BF a BG BF ==⋅=，0.6 1.5 2.1GE ∴=+=米 23. 已知：如图，梯形ABCD 中，DC //AB ，AC AB =，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E . （1）如果∠DEC =∠BEC ，求证：2CE ED CB =⋅；G（2）如果2AD AE AC =⋅，求证：AD BC =.【解析】（1）因为,DE BC DC AB ，所以,DEC BCE DCE BAC ∠=∠∠=∠ 因为AC AB =，所以ABC BCE ∠=∠因为180ABC BCE BAC ∠+∠+∠=，180DEC DCE EDC ∠+∠+∠=，所以ACB CDE ∠=∠又因为DEC BEC ∠=∠，所以DECCEB ，所以DE CECE EB= 即2CE ED BE =⋅，因为BE BE =，所以2CE ED CB =⋅；（2）顺证：因为2AD AE AC =⋅，所以DAECAD ，所以.AD DEAC CD= 又因为ACB CDE ，CB AC CB EDED CD AC CD⇒∴== 所以AD BC =.24. 已知直线223y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线223y x bx c =-++经过A 、B 两点. （1）求这条抛物线的表达式；（2）直线x t =与该抛物线交于点C ，与线段AB 交于点D （点D 与点A 、B 不重合），与x 轴交于点E ，联结AC 、BC . ①当DE AECD OE=时，求t 的值； ②当CD 平分∠ACB 时，求ABC 的面积.【解析】(1) 由223y x =-+，得(0,2),(3,0)B A .设抛物线的交点式为()22(3)3y x x x =---，代入点(0,2)B ，得()222(3)3x =-⨯--. 解得21x =-，所以2224(3)(1)2333y x x x x =--+=-++. (2) ①如图2，已知22(t,0),,(3)(1),,(3)33E C t t t D t t ⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当DE AE CD OE =时，DE AE CE AO =，所以2(3)3323(3)(1)3t t t t ---=--+. 解得2t =，或0t =(舍去).②已知2(t,0),,(3),(,)3E D t t C t y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，其中2224(3)(1)2333y x x x =--+=-++. 如图3，作CH y ⊥轴于H ，那么BCD CBH ∠=∠.当CD 平分ACB ∠时，BCD ACD ∠=∠，所以ACD CBH ∠=∠. 在Rt ACE 和Rt CBH 中，由tan tan ACD CBH ∠=∠，得AE CHCE BH=. 所以23224(3)(1)333t t t t x -=--+-+，化简，得1112t t -=+-，解得12t =. 此时1515,,,2322D C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以56CD =.所以115532264ABC ACD BCDSSSCD AO =+=⋅=⨯⨯=.25. 如图，已知ABC 中，∠ACB =90°，AB =6，BC =4，D 是边AB 上一点（与点A 、B 不重合），DE 平分 ∠CDB ，交边BC 于点E ，EF CD ⊥，垂足为点F . （1）当DE BC ⊥时，求DE 的长；（2）当CEF 与ABC 相似时，求∠CDE 的正切值；（3）如果BDE 的面积是DEF 面积的2倍，求这时AD 的长.【解析】(1) 如图2，在Rt ABC 中，6,4AB BC ==，所以2cos ,3B AC ==当DE BC ⊥时，由12,DE DE ∠=∠=，得DCE DBE ≅，所以E 是BC 的中点.又因为//DE AC ，所以D 是AB 的中点，所以DE 是BAC 的中位线，所以12DE AC ==(2) 如图3，以FCE ∠为分类标准，分两种情况讨论CEF 与ABC 相似. ①当FCE B ∠=∠时，DC DB =.已知DE 平分CDB ∠，根据“三线合一”，可知DE 垂直平分BC . 所以DE 是BAC 的中位线，所以CDE BDE A ∠=∠=∠.所以tan tan5BC CDE A AC ∠=∠===.②如图4，当FCE A ∠=∠时，90FCE B A B ︒∠+∠=∠+∠=，所以90CDB ∠=.因为DE 平分CDB ∠，所以45CDE BDE ︒∠=∠=，所以tan 1CDE ∠=. (3) 如图5，作EH DB ⊥于H .因为DE 平分CDB ∠，所以EF EH =，所以EFD 和BDF 是等高三角形. 如果BDE 的面积是DEF 面积的2倍，那么2BD DF =. 由DEF DEH ≅，得DF DH =.所以22BD DF DH ==，所以EH 垂直平分BD ，所以EB ED =. 于是可得12B ∠=∠=∠. 在Rt BEH 中，2cos 3B =，设2,3BH m BE m ==. 所以 3,24,43ED m BD BH m CE CB BE m ====-=-. 如图6，因为,1DCE BCD B ∠=∠∠=∠，所以~DCE BCD .所以CE CD DE CD CB BD ==，所以4333444m CD m CD m -===. 解得73,12CD m ==，所以71164123AD AB BD =-=-⨯=.。