届高考数学立体几何理科专题二面角

2018届高考数学立体几何（理科）专题02 二面角1．如图，在三棱柱111ABC A B C -中， 1,90A A AB ABC =∠=︒侧面11A ABB ⊥底面ABC . (1)求证： 1AB ⊥平面1A BC ；(2)若15360AC BC A AB ==∠=︒，，,求二面角11B A C C --的余弦值.2．如图所示的多面体中，下底面平行四边形与上底面平行，且，,，，平面平面，点为的中点．（1）过点作一个平面与平面平行，并说明理由；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．3．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形， 2AB AD =， 3BD =，且PD ⊥底面ABCD . （1）证明：平面PBD ⊥平面PBC ；（2）若Q 为PC 的中点，且1AP BQ ⋅=u u u v u u u v，求二面角Q BD C --的大小.4．如图所示的几何体是由棱台和棱锥拼接而成的组合体，其底面四边形是边长为2的菱形，，平面. （1）求证：；（2）求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.5．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，点E 、F 分别为BC 、AP 中点.（1）求证： //EF 平面PCD ；（2）若0,120,AD AP PB APB ==∠=，求平面DEF 与平面PAB 所成锐二面角的余弦值.6．如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为直角梯形, ,90AD BC ADC ∠=oP ,平面PAD ⊥底面ABCD ,Q 为AD 中点, M 是棱PC 上的点, 12,1,2PA PD BC AD CD =====（Ⅰ）若点M 是棱PC 的中点,求证: PA P 平面BMQ ; （Ⅱ）求证:平面PQB ⊥平面PAD ;（Ⅲ）若二面角M BQ C --为30o,设PM tMC =,试确定t 的值.2018届高考数学立体几何（理科）专题02 二面角（教师版）1．如图，在三棱柱111ABC A B C -中， 1,90A A AB ABC =∠=︒侧面11A ABB ⊥底面ABC . (1)求证： 1AB ⊥平面1A BC ；(2)若15360AC BC A AB ==∠=︒，，,求二面角11B A C C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）2114-.Q 侧面11A ABB ⊥底面,90ABC ABC ∠=︒，CB ∴⊥侧面11A ABB ，1CB AB ∴⊥.又1A B BC B ⋂=Q ,1AB ∴⊥平面1A BC .(2)在Rt ABC n 中， 5,3,4AC BC AB ==∴=,又菱形11A ABB 中， 160A AB ∠=︒Q ，1A AB ∴n 为正三角形.设(),,n x y z =为平面11A CC 的方向量，则1110,2230,{ { 0.22330.n C C x y n C A x y z =-+=∴=+-=u u u u r u u u u rn n 令3x =,得()n 3,3,4=为平面11A CC 的一个法向量.又()10,23,0OB =-u u u r为平面1A BC 的一个法向量，11121cos , 142723n OB n OB n OB ===-n n n u u u ru u u r u u u r .∴二面角11B A C C --的余弦值为21-. 2．如图所示的多面体中，下底面平行四边形与上底面平行，且，,，，平面平面，点为的中点．（1）过点作一个平面与平面平行，并说明理由； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）试题解析：（1）取的中点，的中点，连接、、，如图所示．则平面平面，平面即为所求的平面． 理由如下：在平行四边形中，点分别是与的中点，所以，在中，点分别是的中点，所以．显然，，所以平面平面，亦即平面 平面． （2）不妨设,,，故,．在平行四边形中，，所以． 取的中点，则．又平面平面，平面平面，所以平面．连接，因为，，所以，又，所以． 如图所示，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，,，． 所以，，，．设平面的法向量为，则由，即，整理得．令，．所以．所以．3．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形， 2AB AD =， 3BD AD =，且PD ⊥底面ABCD . （1）证明：平面PBD ⊥平面PBC ；（2）若Q 为PC 的中点，且1AP BQ ⋅=u u u v u u u v，求二面角Q BD C --的大小. 【答案】（1）见解析（2）4π试题解析：（1）证明：∵222AD BD AB +=，∴AD BD ⊥，∴//AD BC ，∴BC BD ⊥. 又∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD BC ⊥.∵PD BD D ⋂=，∴BC ⊥平面PBD . 而BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBD . （2）解：由（1）知， BC ⊥平面PBD ，∴2112tAP BQ+⋅==u u u v u u u v，∴1t=.故131,,222DQ⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭u u u v，131,,222BQ⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭u u u v.设平面QBD 的法向量为(),,n x y z=v，则{n DQn BQ⋅=⋅=u u u vvu u u vv，即131222{13122x y zx y z-++=--+=，令1x=，得()1,0,1n=v. 易知平面BDC的一个法向量为()0,0,1m=v，则2cos,221m n==⨯v v，∴二面角Q BD C--的大小为4π. 4．如图所示的几何体是由棱台和棱锥拼接而成的组合体，其底面四边形是边长为2的菱形，，平面.（1）求证：；（2）求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.又棱台中，∴(2)建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，，所以，，，，设平面的一个法向量为，则,∴，.令，得， ∴；设平面的法向量为，则,∴，令，得，， ∴，设平面与平面所成锐二面角为，则，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.5．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，点E 、F 分别为BC 、AP 中点.（1）求证： //EF 平面PCD ；（2）若0,120,AD AP PB APB ==∠=，求平面DEF 与平面PAB 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）3020试题解析：（I ）证明：取PD 中点G ，连接,GF GC ．在△PAD 中，有 ,G F 分别为PD 、AP 中点∴ 1//2GF AD而GC ⊂平面PCD ， EF ⊄平面PCD ∴ //EF 平面PCD（II ）取AB 中点O ，连接OP ，设=2AD . Q 四边形ABCD 是矩形∴ AD AB ⊥Q 平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAB ⋂平面ABCD = AB ， AD ⊂平面PAB∴ AD ⊥平面PAB 又 AD AP PB ==， 0=120APB ∠， O 为AB中点∴ OP AB ⊥， 3OA OB ==， 1OP =.故可建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，则300A （，，）， 010P （，，）， 300B -（，，）， ()3,0,2C -， ()3,0,2D ∴ 31,,022F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， ()3,0,1E - ∴ ()23,0,1DE =--u u u v ， 31,,222DF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u v 设(),,n x y z =v 是平面DEF 的一个法向量，则·0{ ·0DE n DF n ==u u u v v u u u v v ， 即230{ 312022x z x y z --=-+-=不妨设1x =，则()1,73,23n =--v ． 易知向量()0,0,2AD =u u u v 为平面PAB 的一个法向量． ∴ ()()222·23230cos ,20·173232n AD n AD n AD -⨯===-+-+-⨯u u u v v u u u v v u u u v v 故平面DEF 与平面PAB 所成锐二面角的余弦值为3020. 6．如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为直角梯形, ,90AD BC ADC ∠=o P ,平面PAD ⊥底面ABCD ,Q 为AD 中点, M 是棱PC 上的点, 12,1,32PA PD BC AD CD =====. （Ⅰ）若点M 是棱PC 的中点,求证: PA P 平面BMQ ;（Ⅱ）求证:平面PQB ⊥平面PAD ; （Ⅲ）若二面角M BQ C --为30o ,设PM tMC =,试确定t 的值.试题解析：因为MN ⊂平面BMQ , PA ⊄平面BMQ 所以PA P 平面BMQ .（Ⅱ）因为1,,2AD BC BC AD Q =P 为AD 中点, 所以四边形BCDQ 为平行四边形,所以CD BQ P .因为90ADC ∠=o ,所以90AQB ∠=o ,即AD BQ ⊥.又因为平面PAD ⊥平面ABCD ,且平面PAD ⋂平面ABCD AD =,所以BQ ⊥平面PAD ,因为BQ ⊂平面PQB ,所以平面PAD ⊥平面PQB .（Ⅲ）因为,PA PD Q =为AD 的中点,所以PQ AD ⊥.又因为平面PAD ⊥平面ABCD ,且平面PAD ⋂平面ABCD AD =,所以PQ ⊥平面ABCD以Q 为原点,以,QA QB u u u v u u u v 的方向分别为x 轴, y 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Q xyz -, 则点()0,0,0Q, (P, ()B, ()C -,平面BQC 的一个法向量()0,0,1n =v. 设(),,M x y z ,则(,,,PM x y z =u u u u v,()1,MC x y z =---u u u u v ,因为PM tMC =u u u u v u u u u v 所以())()11{ { t x t x t x y t y y z t z z =-+=--=⇒-=在平面MBQ 中, (),,,111t QB QM t t t ⎛⎫==- ⎪ ⎪+++⎝⎭u u u v u u u u v , 因为二面角M BQ C --为30o ,所以cos30m n m n ⋅==⋅o v v v v ,所以3t =.。