立体几何——二面角问题方法归纳
高中数学必修2立体几何专题二面角典型例题解法总结(最新整理)
AA 1 =2, E、E 1 、F 分别是棱 AD、AA 1 、AB 的中点。
D1
A1 （1） 证明：直线 EE 1 //平面 FCC 1 ；
C1 B1
（2） 求二面角 B-FC 1 -C 的余弦值。
E1
D
E
A
F
C B
证（1）略 解 （ 2） 因 为 AB=4, BC=CD=2, 、 F 是 棱 AB 的 中 点 ,所 以 A1 BF=BC=CF,△BCF 为正三角形,取 CF 的中点 O,则 OB⊥CF,又因
分析：本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题，在证明 AD⊥平面 PAB 后，容易发现平面 PAB⊥ 平面 ABCD，点 P 就是二面角 P-BD-A 的半平面上的一个点，于是可过点 P 作棱 BD 的垂线，再作平面 ABCD
的垂线，于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容，从而可得本解法。（答案：二面角 P BD A 的大
2 ，则 GF
2
，
2
又∵ SA AC 6 ，∴ AM 2 ，∵ AM AB 2 ， ABM 600 ∴△ ABM 是等边三角形，∴
BF 3 。在△ GAB 中， AG 6 ， AB 2 ， GAB 900 ，∴ BG 3 4 11
2
2
2
cos BFG GF 2 FB 2 BG 2
6
，求二面角 E—AF—C 的余弦值.
2
分析：第 1 题容易发现，可通过证 AE⊥AD 后推出 AE⊥平面 APD，使命 题获证，而第 2 题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在 二面角的棱 AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点 S，和两边 SE 与 SC，进而计算二面角的余弦值。（答
求二面角的五种方法
五法求二面角从全国19份高考试卷中我们知道，立体几何题中命有求二面角大小的试题共有12份，并都为分值是12分的大题，足以说明这一知识点在高考中的位置，据有关专家分析，它仍然是2010年高考的重点，因此，我们每位考生必须注意，学会其解题方法，掌握其解题技巧，是十分重要的。
一、 定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。
如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。
例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD，AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。
证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。
在等边三角形ABM 中过点B作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点，∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。
则GFB ∠即为所求二面角. ∵2=SM ，则22=GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3=BF在△GAB 中，26=AG ，2=AB ，090=∠GAB ，∴211423=+=BG FG366232222113212cos 222-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角S AM B --的大小为)36arccos(-练习1（2008山东）如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，P A ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒,E ，F 分别是BC , PC 的中点. （Ⅰ）证明：AE ⊥PD ;（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面P AD 所成最大角E —AF —C 的余弦值. 分析：第1题容易发现，可通过证AE ⊥AD 后推出AE ⊥平面APD ，使命题获证，而第2题，则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后，考虑到运用在二面角的棱AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点S ，和两边SE 与SC ，进而计算二面角的余弦值。
高中数学立体几何——二面角求法
二面角求法1 .定义法即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.·例1 . 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求 二面角A-BD-C 1解析：易知∠COC 1是二面角C-BD-C 1的平面角，且tan ∠COC 1例2.在锥体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且∠DAB=60︒，PA PD ==分别是BC,PC 的中点.求：二面角P-AD-B 的余弦值.&解：由（1）知PGB ∠为二面角P AD B --的平面角，在Rt PGA ∆中，2217()24PG =-=；在Rt BGA ∆中，222131()24BG =-=；在PGB ∆中，222cos 2PG BG PB PGB PG BG +-∠==⋅.2 三垂线法此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角βα--l ，过面α 内一点P 作PA ⊥α于A ，作AB ⊥l 于B ，连接PB ，由三垂线定理得PB ⊥l ，则∠PBA 为二面角βα--l 的平面角，故称此法为三垂线法.《例3.如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，点A 在直线l 上的射影为A 1，点B 在l 的射影为B 1，已知AB=2，AA 1=1，BB 1=2， 求：二面角A 1－AB －B 1的正弦值.分析与略解：作A 1E ⊥AB 1于AB 1于E ，则可证A 1E ⊥平面AB 1B.@—A图3αβP￥BlB 1 A *A 1l%EF@PCＳ| FGP AＳBＳ;C DＳF E,过E 作EF ⊥AB 交AB 于F ，连接A 1F ，则得A 1F ⊥AB ， ∴∠A 1FE 就是所求二面角的平面角.依次可求得 AB 1=B 1B=2，A 1B=3，A 1E=22，A 1F=23， 则在Rt △A 1EF 中，sin ∠A 1FE=A 1E A 1F =63 .·例4.如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD,点E 在线段PC 上,PC ⊥平面BDE.若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A 的正切值.】解:由(1)得BD ⊥平面PAC, ∴BD ⊥AC.又四边形ABCD 为矩形,∴四边形ABCD 是正方形.设AC 交BD 于O 点,∵PC ⊥平面BDE,∴∠BEO 即为二面角B-PC-A 的平面角. ∵PA=1,AD=2,∴AC=2,BO=OC=,∴PC==3,—又OE===在直角三角形BEO 中,tan ∠BEO===3,∴二面角B-PC-A 的正切值为3.例5. 如图, 四棱锥P-ABCD 中, 底面ABCD 为矩形, PA ⊥底面ABCD, PA=AB=, 点E 是棱PB 的中点.(1) 若AD=, 求二面角A-EC-D的平面角的余弦值.—(1) 过点D作DF⊥CE, 交CE于F, 过点F作FG⊥CE, 交AC于G, 则∠DFG为所求的二面角的平面角.由(Ⅰ) 知BC⊥平面PAB, 又AD∥BC, 得AD⊥平面PAB, 故AD⊥AE, 从而DE==. 在Rt△CBE中, CE==. 由CD=, 所以△CDE为等边三角形, 故F为CE的中点, 且DF=CD·sin=.因为AE⊥平面PBC, 故AE⊥CE, 又FG⊥CE, 知FG=AE, 从而FG=, 且G点为AC的中点. 连结DG, 则在Rt△ADG中, DG=AC==.，所以cos∠DFG==.、3、向量法向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。
立体几何二面角5种常见解法
立体几何二面角5种常见解法立体几何二面角大小的求法一、定义法:二面角的类型和求法可用框图展现如下:直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；例、如图，已知二面角a - a - B等于120° ,PA丄a ,A €a ,PB丄B ,B .求/ APB的大小.例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA丄平面ABCD ,PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小二、三垂线定理法:已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角;例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA丄平面ABCD，PA=AB=a，/ ABC=30，求二面角P-BC-A 的大小。
例、（2003北京春）如图,ABCD-ABCD是长方体，侧棱AA长为1,底面为正方体且边长为2,E是棱BC勺中点，求面CD》面CD所成二面角的正切值.AB例、△ ABC中，/ A=90°, AB=4 AC=3 平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M二面角P—AC—B的大小为45°。
求（1）二面角P—BC—A的大小；（2）二面角C-PB-A的大小例、（2006年陕西试题）如图4,平面丄平面，A =l, A €, B € ，点A在直线I上的射影为A i，点B在I的射影为B i，已知AB=2 , AA i = 1, BB i二V2，求：二面角A i —AB —B i 的大小.例、空间的点P到二面角l 的面、及棱I的距离分别为4、3、◎，求二面角3 的大小.三、垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直;四、射影法：（面积法）利用面积射影公式S射=S原cos ,其中为平面角的大小,此方法不必在图形中画出平面角;例、在四棱锥P-ABCD中，ABC［为正方形，PU平面ABCD PA =AB= a,求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。
立体几何二面角解题技巧
立体几何二面角解题技巧
1. 嘿，你知道吗，找二面角的关键之一就是找到垂直啊！就像在迷雾中找到那盏明灯！比如说在一个三棱锥里，一条棱垂直于一个面，那这可就是找到二面角的重要线索啦，可不能错过呀！
2. 哇，观察图形多重要啊！就好比侦探找线索一样。
看到那些边啊角啊，要仔细研究。
像有两个平面相交，在交线上找特殊点，这就是解题的突破口呀，你能忽视吗？
3. 嘿，不要小瞧辅助线的威力呀！它简直就是我们的秘密武器。
比如在一个复杂的图形里，画上那么一条精准的辅助线，二面角不就清晰可见了，这得多厉害呀！
4. 哇塞，定义可不能忘啊！那可是基础呀。
想想看，根据二面角的定义去寻找，有时候答案就呼之欲出了。
就像要去一个地方，知道了路线图，还怕找不到吗？
5. 嘿呀，利用三角函数也是很妙的一招呢！把边和角的关系用三角函数表示出来，就像给二面角穿上了合适的衣服。
比如知道两边和夹角，不就能算出二面角的大小了，多神奇呀！
6. 哎呀，从特殊情况入手也不错哟！有时候先想想特殊的图形或者条件，就像找到了开门的钥匙。
比如正方体里的二面角，那不是很容易找到规律嘛，你还不赶紧试试？
7. 嘿，空间想象力可要好好锻炼呀！把图形在脑子里转起来，就像放电影一样。
当你能清晰地“看”到二面角的时候，解题还会难吗？
8. 哇，多种方法结合起来更是厉害啦！就如同各路英雄一起作战。
观察图形、画辅助线、利用定义等等，一起上，二面角肯定乖乖就范呀！
我的观点就是，只要掌握这些解题技巧，立体几何二面角就不再让人头疼，而是变得有趣又好解决啦！。
立体几何二面角求法
立体几何二面角求法
立体几何中的二面角是指两个平面的夹角，其中一个平面是由立体图形的两个面组成的。
二面角是非常重要的几何概念，它在计算立体图形的体积、表面积和角度时都有很多应用。
二面角的求法有很多种，其中比较常用的方法有以下几种：
1. 用余弦定理求解
在立体图形中，二面角的两个平面可以看做是两个三角形的平面。
如果已知两个三角形的边长及它们之间的夹角，就可以用余弦定理求出二面角的大小。
2. 用向量求解
向量是几何中非常重要的概念，可以用来表示空间中的点和方向。
如果已知二面角的两个平面的法向量，就可以用向量求解的方法求出二面角的大小。
3. 用三维坐标系求解
在三维坐标系中，可以用向量表示空间中的点和方向。
如果已知二面角的两个平面在三维坐标系中的方程式，就可以用向量求解的方法求出二面角的大小。
以上是三种比较常用的二面角求解方法，不同的方法适用于不同的情况。
在实际应用中，根据具体的问题选择合适的方法可以提高计算的效率。
- 1 -。
二面角求解方法
二面角的作与求求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。
下面就对求二面角的方法总结如下：1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。
斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。
3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。
4、投影法：利用s投影面=s被投影面θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。
尤其对无棱问题5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos例1：若p 是ABC ∆所在平面外一点，而PBC ∆和ABC ∆都是边长为2的正三角形，PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。
分析：由于这两个三角形是全等的三角形， 故采用定义法解：取BC 的中点E ，连接AE 、PEAC=AB ，PB=PC ∴ AE ⊥ BC ，PE ⊥BC∴PEA ∠为二面角P-BC-A 的平面角在PAE ∆中AE=PE=3，PA=6PCBAE∴PEA ∠=90∴二面角P-BC-A 的平面角为900。
例2：已知ABC ∆是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。
[思维]二面角的大小是由二面角的平面角 来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作 平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。
解1：（三垂线定理法）取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC ∴BE ⊥平面PAC由三垂线定理知BF ⊥PC∴BFE ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1,E 为AC 的中点，BE=23,EF=42 ∴tan BFE ∠=6=EFBE∴BFE ∠=arctan 6解2：（三垂线定理法）取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FMAB=AC,PB=PC ∴ AE ⊥BC,PE ⊥BC∴ BC ⊥平面PAE,BC ⊂平面PBC∴平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE 平面PBC=PE由三垂线定理知AM ⊥PCPC BAEF MEPCBAF图1图2∴FMA ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1，AM=22,AF=721.=PE AE AP ∴sin FMA ∠=742=AM AF ∴FMA ∠=argsin742解3：（投影法）过B 作BE ⊥AC 于E,连结PE ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC ∴BE ⊥平面PAC∴PEC ∆是PBC ∆在平面PAC 上的射影设PA=1,则PB=PC=2,AB=141=∆PEC S ,47=∆PBC S由射影面积公式得，77cosarg ,77=∴==∆∆θθPBC PEC S S COS , 解4：（异面直线距离法）过A 作AD ⊥PC,BE ⊥PC 交PC 分别于D 、E 设PA=1,则AD=22,PB=PC=2 ∴BE=PC S PBC 21∆=414,CE=42,DE=42由异面直线两点间距离公式得 AB 2=AD 2+BE 2+DE 2-2ADBE θCOS ,θCOS =77cos arg ,77=∴θ [点评]本题给出了求平面角的几种方法，应很好掌握。
解二面角问题三种方法(习题及答案)
C A B DA A 1B DC C 1 B 1 解二面角问题（一）寻找有棱二面角的平面角的方法和求解。
（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。
要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角，当然这种找出的角要有利于解决问题。
下面举几个例子来说明。
例1：如图，立体图形V －ABC 的四个面是全等的正三角形，画出二面角V －AB －C 的平面角并求出它的度数。
例2：在三棱锥P-ABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=600，求二面角A-PB-C 的余弦值。
这样的类型是不少的，如下列几道就是利用定义法找出来的：1、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，找出二面角B －AC －B 1的平面角并求出它的度数。
2、．边长为a 的菱形ABCD ，∠ACB=600，现沿对角线BD 将其折成才600的二面角，则A 、C 之间的距离为 。
（菱形两条对角线互相垂直，对折后的一条对角线成两条线段仍都垂直于另一条对角线，则所成的角是二面角的平面角）3、正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长是4，过BC 的一个平面与AA 1交于D ，若AD =3，求二面角D ―BC ―A 的正切值。
总之，能用定义法来找二面角的平面角的，一般是图形的性质较好，能够较快地找到满足二面角的平面角的三个主要特征。
并且能够很快地利用图形的一些条件来求出所要求的。
在常见的几何体有正四面体，正三棱柱，正方体，以及一些平面图形，正三角形，等腰三角形，正方形，菱形等等，这些有较好的一些性质，可以通过它们的性质来找到二面角的平面角。
至于求角，通常是把这角放在一个三角形中去求解。
由图形及题目的已知条件来求这个三角形的边长或者角，再用解三角形的知识去求解。
（2）三垂线法：是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法。
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二面角的求法一、 定义法:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面,在棱上取点,分别在两面内引两条射线与棱垂直,这两条垂线所成的角的大小就就是二面角的平面角。
例1(全国卷Ⅰ理)如图,四棱锥S ABCD -中,底面ABCD 为矩形,SD ⊥底面ABCD ,2AD = 2DC SD ==,点M 在侧棱SC 上,ABM ∠=60°(I)证明:M 在侧棱SC 的中点 (II)求二面角S AMB --的大小。
练习1(山东)如图,已知四棱锥P -ABCD ,底面ABCD 为菱形,P A ⊥平面ABCD ,60ABC ∠=︒,E ,F 分别就是BC , PC 的中点、(Ⅰ)证明:AE ⊥PD ; (Ⅱ)若H 为PD 上的动点,EH 与平面P AD 所成最大角的正切值为62,求二面角E —AF —C 的余弦值、 二、三垂线法三垂线定理:在平面内的一条直线,如果与这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也与这条斜线垂直.通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。
例2.(山东卷理) 如图,在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为等腰梯形,AB//CD,AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、F 分别就是棱AD 、AA 1、AB 的中点。
(1)证明:直线EE 1//平面FCC 1; (2)求二面角B-FC 1-C 的余弦值。
练习2(天津)如图,在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 就是矩形.已知ο60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB .(Ⅰ)证明⊥AD 平面PAB ; (Ⅱ)求异面直线PC 与AD 所成的角的大小; (Ⅲ)求二面角A BD P --的大小.三.补棱法本法就是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时,要将两平面的图形补充完整,使之有明确的交线(称为补棱),然后借助前述的定义法与三垂线法解题。
即当二平面没有明确的交线时,一般用补棱法解决例3(湖南)如图所示,四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 就是边长为1的菱形,∠BCD ＝60°,E 就是CD的中点,P A ⊥底面ABCD ,P A ＝2、(Ⅰ)证明:平面PBE ⊥平面P AB ;(Ⅱ)求平面P AD 与平面PBE 所成二面角(锐角)的大小、练习3已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都就是a,侧棱与底面成600的角,侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。
(1)求证:AC 1⊥BC;(2)求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角(锐角)的大小。
四、射影面积法(cos s Sq=射影)凡二面角的图形中含有可求原图形面积与该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式(cos 斜射S S =θ)求出二面角的大小。
例4.(北京理)如图,在三棱锥P ABC -中,2AC BC ==,90ACB ∠=o ,AP BP AB ==,PC AC ⊥. (Ⅰ)求证:PC AB ⊥;(Ⅱ)求二面角B AP C --的大小;练习4: 如图5,E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点,求平面AB 1E 与底面A 1B 1C 1D 1所成锐角的余弦值、五、向量法向量法解立体几何中就是一种十分简捷的也就是非常传统的解法,可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解,用向量法解立体几何题时,通常要建立空间直角坐标系,写出各点的坐标,然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量,进行向量计算解题。
例4:(天津卷理)如图,在五面体ABCDEF 中,FA⊥平面ABCD, AD//BC//FE,AB ⊥AD,M 为EC 的ABCED P AC B PE ABC FE A B CD D AD B CE D BC A 图中点,AF=AB=BC=FE=1 2AD(I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小;(II) 证明平面AMD⊥平面CDE;求二面角A-CD-E的余弦值。
练习5、(湖北)如图,在直三棱柱111ABC A B C-中,平面ABC⊥侧面11A ABB、(Ⅰ)求证:AB BC⊥;(Ⅱ)若直线AC与平面1A BC所成的角为θ,二面角1A BC A--的大小为ϕ,试判断θ与ϕ的大小关系,并予以证明、二面角大小的求法的归类分析一、定义法:直接在二面角的棱上取一点(特殊点),分别在两个半平面内作棱的垂线,得出平面角,用定义法时,要认真观察图形的特性;例1 在四棱锥P-ABCD中,ABCD就是正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=a,求二面角B-PC—-D的大小。
二、三垂线法:已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线,用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角; 例 2 在四棱锥P-ABCD中,ABCD就是平行四边形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=a,∠ABC=30°,求二面角P-BC-A的大小。
三、垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角,由此可知,二面角的平面角所在的平面与棱垂直;例3 在四棱锥P-ABCD中,ABCD就是正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=a,求B-PC-D的大小。
四、射影面积法(cossSq=射影)凡二面角的图形中含有可求原图形面积与该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式(cos斜射SS=θ)求出二面角的大小,其中θ为平面角的大小,此方法不必在图形中画出平面角;例4在四棱锥P-ABCD中,ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,PA＝AB＝a,求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。
五、补棱法:对于一类没有给出棱的二面角,应先延伸两个半平面,使之相交出现棱,然后再选用上述方法(尤其要考虑射影法)。
例5、在四棱锥P-ABCD中,ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,PA＝AB＝a,求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。
(补形化为定义法)六、向量法:向量法解立体几何中就是一种十分简捷的也就是非常传统的解法,可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解,用向量法解立体几何题时,通常要建立空间直角坐标系,写出各点的坐标,然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量,进行向量计算解题。
例6、(湖北)如图,在直三棱柱111ABC A B C-中,平面ABC⊥侧面11A ABB、(Ⅰ)求证:AB BC⊥;(Ⅱ)若直线AC与平面1A BC所成的角为θ,二面角1A BC A--的大小为ϕ,试判断θ与ϕ的大小关系,并予以证明、由此可见,二面角的类型与求法可用框图展现如下:二面角大小的求法答案pACDLHj AB CDPHj AB CDPHlACDP定义法:本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。
如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点(B)向棱AM 作垂线,得垂足(F);在另一半平面ASM 内过该垂足(F)作棱AM 的垂线(如GF),这两条垂线(BF 、GF)便形成该二面角的一个平面角,再在该平面角内建立一个可解三角形,然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。
例1(2009全国卷Ⅰ理)证(I)略 解(II):利用二面角的定义。
在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ,则点F为AM 的中点,过F 点在平面ASM 内作GFAM ⊥,GF 交AS 于G ,连结AC,∵△ADC ≌△ADS,∴AS-AC,且M 就是SC 的中点,∴AM⊥SC, GF ⊥AM,∴GF ∥AS,又∵F 为AM 的中点,∴GF 就是△AMS 的中位线,点G 就是AS 的中点。
则GFB ∠即为所求二面角、、 ∵2=SM ,则22=GF ,又∵6==AC SA ,∴2=AM , ∵2==AB AM ,060=∠ABM ∴△ABM 就是等边三角形,∴3=BF ,在△GAB 中,26=AG ,2=AB ,090=∠GAB ,∴211423=+=BG366232222113212cos 222-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG ,∴二面角S AM B --的大小为)36arccos(-练习1(2008山东)分析:第1题容易发现,可通过证AE ⊥AD 后推出AE ⊥平面APD,使命题获证,而第2题,则首先必须在找到最大角正切值有关的线段计算出各线段的长度之后,考虑到运用在二面角的棱AF 上找到可计算二面角的平面角的顶点S,与两边SE 与SC,进而计算二面角的余弦值。
(答案:二面角的余弦值为515)二、三垂线法本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。
如(例2)过二面角B-FC 1-C 中半平面BFC 上的一已知点B 作另一半平面FC 1C 的垂线,得垂足O;再过该垂足O 作棱FC 1的垂线,得垂足P,连结起点与终点得斜线段PB,便形成了三垂线定理的基本构图(斜线PB 、垂线BO 、射影OP)。
再解直角三角形求二面角的度数。
例2.(2009山东卷理) 证(1)略解(2)因为AB=4, BC=CD=2, 、F 就是棱AB 的中点,所以BF=BC=CF,△BCF 为正三角形,取CF 的中点O,则OB ⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,CC 1⊥平面ABCD,所以CC 1⊥BO,所以OB ⊥平面CC 1F,过O 在平面CC 1F 内作OP ⊥C 1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB 为二面角B-FC 1-C 的一个平面角, 在△BCF 为正三角形中,3OB=,在Rt △CC 1F 中,△OPF ∽△CC 1F,∵11OP OF CC C F =∴22122222OP =⨯=+, 在Rt △OPF 中,22114322BP OP OB =+=+=,272cos 7142OP OPB BP∠===,所以二面角B-FC 1-C 的余弦值为77、练习2(2008天津)分析:本题就是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题,在证明AD ⊥平面PAB 后,容易发现平面PAB ⊥平面ABCD,点P 就就是二面角P-BD-A 的半平面上的一个点,于就是可过点P 作棱BD 的垂线,再作平面ABCD 的垂线,于就是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容,从而可得本解法。
(答案:二面角A BD P --的大小为439arctan)三．补棱法例3(2008湖南)分析:本题的平面P AD 与平面PBE 没有明确的交线,依本法显然要补充完整(延长AD 、BE 相交于点F ,连结PF 、)再在完整图形中的PF 、上找一个适合的点形成二面角的平面角解之。
(Ⅰ)证略解: (Ⅱ)延长AD 、BE 相交于点F ,连结PF 、过点A 作AH ⊥PB 于H ,由(Ⅰ)知,平面PBE ⊥平面P AB ,所以AH ⊥平面PBE 、 在Rt △ABF 中,因为∠BAF ＝60°,所以,AF =2AB =2=AP 、 在等腰Rt △P AF 中,取PF 的中点G ,连接AG 、则AG ⊥PF 、连结HG ,由三垂线定理的逆定理得,PF ⊥HG 、所以∠AGH 就是平面P AD 与平面PBE 所成二面角的平面角(锐角)、FGEA B CF E 1 A 1 B 1C 1D 1DF 1 OPABCED PFGH在等腰Rt △P AF 中,2 2.2AG PA ==在Rt △P AB 中, 2225.5AP AB AH PBAP AB ====+g所以,在Rt △AHG 中,25105sin .2AH AGH AG ∠===故平面P AD 与平面PBE所成二面角(锐角)的大小就是10arcsin. 练习3提示:本题需要补棱,可过A 点作CB 的平行线L(答案:所成的二面角为45O ) 四、射影面积法(cos s Sq =射影)例4.(2008北京理)分析:本题要求二面角B —AP —C 的大小,如果利用射影面积法解题,不难想到在平面ABP 与平面ACP 中建立一对原图形与射影图形并分别求出S 原与S 射 于就是得到下面解法。