高等数学第二章课后习题答案
高中数学必修2第二章知识点+习题+答案
__________________________________________________第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为D C B A α__________________________________________________A ∈LB ∈L => L αA ∈αB ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系α C · B·A · α P· αL β__________________________________________________ 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
高等数学Ⅱ第二章习题课习题及其解答
高等数学Ⅱ第二章习题课习题1（导数的定义）（1）设函数()y f x =在1x =处可导，且0(13)(1)1lim 3x f x f x ∆→+∆-=∆，求(1)f '。
（2）设函数()y f x =在0x =处连续，且0()lim x f x x →存在，求0(2)lim x f x x→。
【解】：（1）00(13)(1)(13)(1)1lim3lim 3(1)33x x f x f f x f f x x ∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆， 所以 1(1)9f '=（2）因为0()lim x f x x→存在，故0lim ()0x f x →=，又函数()y f x =在0x =处连续，从而0(0)lim ()0x f f x →==，所以00(2)(2)(0)()(0)lim2lim 2lim 2(0)200x x t f x f x f f t f f x x t →→→--'===--2（求导法则）（1）设函数21()(1)(1)f x x x=+-，求()f x '； （2）设函数3()(1)cot f x x arc x =+，求(0)f '； （3）设3ln 1x xy x=+，求y '. 【解】：（1）21()1f x x x x =-++-， 21()21f x x x'=-+-（2）33()(1)cot (1)(cot )f x x arc x x arc x '''=+++32213cot 1x x arc x x +=-+所以 (0)1f '=-（3）33323232(ln )(1)(ln )(1)(1ln )(1)(ln )(3)(1)(1)x x x x x x x x x x x y x x ''+-+++-'==++ 33321ln (12)(1)x x x x ++-=+3（一元复合函数求导）（1）设函数()lnsin f x x =，求()f x '；（2）设函数ln y =y '； （3）设(4)ln f x x =，求()f x '；（4）设cos2f x =，求()f x '. 【解】：（1）2cos ()sin xf x x'=+（2）y '==（3）在(4)ln f x x =两边同时对x 求导，得 14(4)f x x '=，从而1(4)4f x x'= 所以 1()f x x'=（4）在cos2f x =两边同时对x 求导，得 2sin 2f x '=-，从而2f x '⋅=-所以 2()4sin 2f x x x '=-4（分段函数求导）（1）设函数212()2ax x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩在2x =处可导，求,a b ；（2）设函数20()20x ae x f x bx x ⎧<=⎨-≥⎩处处可导，求,a b 及()f x '；【解】：（1）函数在2x =处可导，在2x =处必连续。
高等数学课后习题答案2 上海交大版
第二章 极限与连续1．用“N ε-”定义 来验证下列极限： （1）limn →∞=； （2）323lim212n n n →∞-=+；（3）lim 0n →∞=； （4）lim1n n→∞=；（5）lim 1(0)n a →∞=>； （6）lim 1n →∞=.解答：（1）对任意0ε>（无论它多么小，下同），要使0ε-<，只要24n ε>，故可取24[1]N ε=+。
则对任意0ε>，存在24[1]N ε=+，当n N >时，0ε-<，故由极限定义limn →∞=。
（2）对任意0ε>，要使323212n n ε--<+，只要7142n ε>-，故可取71m ax(,1)42N ε=-。
则对任意0ε>，存在71m ax(,1)42N ε=-，当n N >时，323721242n n n ε--=<++，故由极限定义323lim212n n n →∞-=+。
（3）对任意0ε>ε<=<21n ε>，故可取21[1]N ε=+。
则对任意0ε>，存在21[1]N ε=+，当n N >时，ε-=<<，故由极限定义lim 0n →∞=。
（4）对任意0ε>1ε-<11n-=<，只要1n ε>，故可取1[1]N ε=+。
则对任意0ε>，存在1[1]N ε=+，当n N>时，1111nNε=<<<，故由极限定义lim1n n→∞=。
（5）1a =时显然；1a >时，记1n r =，则(1)nn n a r nr =+>，对任意0ε>，1ε-<，只要1n a r n=-<，即an ε>，故可取[1]aN ε=+，当n N >时，1ε-<，由极限定义lim1,(1)n a →=>；01a <<时，类似证明。
高等数学第七版教材答案详解
高等数学第七版教材答案详解1. 课后习题答案1.1 第一章：函数与极限1.1.1 习题1解答1.1.2 习题2解答...1.2 第二章：导数与微分1.2.1 习题1解答1.2.2 习题2解答...1.3 第三章：微分中值定理与导数的应用1.3.1 习题1解答1.3.2 习题2解答...2. 课后思考题答案2.1 第一章：函数与极限2.1.1 思考题1解答2.1.2 思考题2解答...2.2 第二章：导数与微分2.2.1 思考题1解答2.2.2 思考题2解答...2.3 第三章：微分中值定理与导数的应用2.3.1 思考题1解答2.3.2 思考题2解答...3. 课后习题详解3.1 第一章：函数与极限3.1.1 习题1详解3.1.2 习题2详解...3.2 第二章：导数与微分3.2.1 习题1详解3.2.2 习题2详解...3.3 第三章：微分中值定理与导数的应用3.3.1 习题1详解3.3.2 习题2详解...在这篇文章中，我将给出《高等数学第七版》教材的习题答案和课后思考题答案的详细解析。
为了方便阅读，我将按章节划分答案，并提供习题和思考题的解答。
如果你在学习过程中遇到了困惑，希望这些答案能够帮助你更好地理解相关的数学概念和解题方法。
首先，我将给出每章节的课后习题答案。
在习题解答中，我将详细解释每个题目的解题思路和步骤，并给出最终答案。
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我将为每个思考题提供解答，希望能够帮助你在思考和解决问题时找到正确的方向。
最后，我将给出课后习题的详细解析。
在这一部分中，我将逐题逐题地分析解题思路，并给出详细的步骤和推导过程。
通过仔细研究这些解析，你可以更好地理解每个题目的解法，并且提高自己的解题能力。
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高等数学课后习题答案第二章
=
1 4
1 tan
x 2
sec 2
x 2
5、设、 y =
1 2π D 1 2π D
e
−
( x−a)2 2D
，其中 a, D 是常数，求出使导数 y ′( x ) = 0 的 x 值
( x −a ) 2 2D
解： y ′ =
e
−
( x − a )2 2D
3、证明： （1） 、可导的偶（奇）函数的导数是奇函数（偶） （2） 、可导的周期函数的导数是具有相同周期的函数 证明：设 f ( x ) 是偶函数，且可导 则
f ( x) = f ( − x ) f (− x + ∆x ) − f (− x ) f ( x − ∆x ) − f ( x ) = lim = − f ′( x ) ∆x → 0 ∆x ∆x
[1 − ( x + ∆x ) 2 ] − (1 − x 2 ) − 2 x∆x − (∆x) 2 = lim = −2 x ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x −b ) 2a
：
3、 设函数 f ( x) = ax 2 + bx + c ， 其中 a, b, c 是常数， 求 f ′( x) ， f ′(0) ， f ′( −1) ， f ′( 解
f ′(− x ) = lim
∆x →0
表明 f ′( x) 是奇函数。 设 f ( x) = f ( x + T )
f ′( x + T ) = lim
∆x →0
f ( x + T + ∆x ) − f ( x + T ) f ( x + ∆x ) − f ( x ) = lim = f ′( x) ∆ x → 0 ∆x ∆x
高数(高等教育出版社)第一版,第二章习题详解参考
第二章习题解答参考习题2-11．设f (x )=8 x，试按定义求 f (1) ．解2．设f1xf 1lim8 1x 8．f (1)= lim8x 0x x0x2bx c ，其中 a, b, c 为常数.按定义求 f (x ) ．f (x )= ax解f xf x x f x= limxx022a x xb x xc ax cbx limxx02 ax x a x2 b x2 ax b ．limxx03．证明(sin x ) = cos x ．证设 f x sin x ，则 f x x f x sin x x sin x 2 cosx x x sin222 cos xsinxf x x f x x2f x lim 2limx x x0x0sin xx2lim cos x cos x，2x2x0所以(sin x ) = cos x ．4．下列说法可否作为 f ( x )在 x 0可导的定义？f (x0 h ) f ( x 0h )（ 1）limh 存在；h 0解不能．因为从极限式中不能判断 f x0存在，也不能判断lim f ( xh ) f (x)存在．h0h例如 f x x 在x0 点不可导，但lim f (0h ) f (0 h)h hlim0h 0h h0h却存在．（ 2）lim f (x 0h)f (x)和lim f (x0h )f(x)存在且相等；h0h h 0h解可以．因为 lim f (x0h ) f ( x0 )f x0，hh0lim f ( x0h ) f ( x0 ) f ( x0h ) f ( x0)f x0，根据导数存在的充要h lim hh 0h0条件，可知 f x存在．5．求下列函数的导数：（ 1）y x 5；（2）y1；（3）x232（ 4）y log1x；（5）y x x；（6）3x 5解（1）y 5 x 5 1 5 x 4；y x37x ；y lg x ．（2）（3）（4）1131y x 22；x2 2 x x221522 x2 7x；y x 722x 777y11；1x ln 3x ln3（5）（6）2511512y x 32x66x 66；56x 1y．x ln 106．已知物体的运动规律为s t 3(米)，求这物体在 t2 (秒)时的速度．解因为 s t3， v ds3t 2，所以 t 2 时，v 2 3 2212 ．dt7．如果 f ( x )为偶函数，且 f (0)存在，证明 f (0)=0．证因为 f(0)=lim f x f 0，而 f ( x ) 为偶函数，故 f (x ) f ( x) ，x0x所以 f (0)limf x f0f xf 0，0lim f (0)x x x 0x所以 f (0)=0．8．抛物线y x 2在哪一点的切线平行于直线y 4 x 5 ？在哪一点的切线垂直于直线 2 x 6 y50 ？解由 y x2，可得 y 2 x ，若切点为x0 , x 02，则依题设 2 x 0 4 ，即 x0 2时，切线平行于直线11 ，即 x03y 4 x 5 ； 2 x0时，切线垂直于直线322 x 6 y 50；所以抛物线切线垂直于直线y x2 在点 2 , 4 的切线平行于直线y 4 x 5 ？在点3,9的242 x 6 y 50 ．9．在抛物线y x 2上取横坐标为x1 1 及 x2 3 的两点，作过这两点的割线，问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？解由题设可知 y 2 x，所取的两点为 1,1， 3, 9 ，连接两点的直线斜率为 k 4 ，依题设，应有 2 x 4 ，即 x 2 ，所以所求点为2, 4．10. 如果y f x在点4, 3处的切线过点0, 2 ，求 f4．解依题设，曲线在点4, 3处的切线为 y3f4x 4 ，满足 2 3 f404，从而f 41．411．讨论下列函数在x0 处的连续性与可导性：x21x0,（1）y3 x ；（2）ysin,x0 ,x0.解（ 1）因为lim 3 x0y0 ，所以 y 3 x在 x0 点连续，x03x1，所以 y3 x 在 x0 点不可导；而 limx lim2x 0xx 321（2）因为 limx 2 s in 1y 0 ，所以 yx sin x,x0, 在 x0 点连续，xx0 ,x0.211x sin12,x 0,又 limx0 ，所以 yx sinx 在 x0 点可导．lim x sinx 0 xxx0 ,x 0.12．设 f (x )=sin x , x 0在 x0 处可导，求 a, b 的值．axb , x 0解因为 f (x )=sin x , x0 处可导， axb , x在 x所以 lim f ( x)f0 ，且 ff，x 0又 limf ( x )0 ， limf ( x )b ， fb ，故 b0 ， f0 ，x 0x从而 f 0lim fxf 0 lim sin x1 ，xxxx 0flimf xf 0limaxa ，所以 a1 ．xxx 0x 0213．已知 f ( x)x , x 0，求 f (0)， f(0) 和 f (0)．x, x2f ( x)f 0x 2解因为 f ( x) x , x ，所以 f (0)limlim0 ，x, xxxx 0x 0f (0)f ( x)f 0 limx 1 ，所以 f(0) 不存在．limxxxx14．设函数 f ( x)=x 3 ,x 0 ，求 f (x ) ．3xx ,解 当 x 0 时， f ( x )3 x 2 ，当 x 0 时， f ( x)3 x 2 ，当 x0 时， f (0)limf xf 0limx 3 0 ，xxxx 0f (0)lim f xf 0limx 3 0 ，所以 f(0)0 ，xxxx 02 所以 f(x )=3 x , x 0 ．3 x 2 , x 015．设所给的函数可导，证明：（1）奇函数的导函数是偶函数；偶函数的导函数是奇函数；（2）周期函数的导函数仍是周期函数．证 （1）设 f x 为奇函数，则 fxfx ，而 ff xh f x，xlimhh 0fxlim fx hfxf x hf xhlimhhhf xhf xf x hfxx，limhlimhfhh 0所以 fx为偶函数；相似地，若 f x 为偶函数，则 fx f x，于是f xlimfxh fxfxhf xhlimhhh0lim f xhf xfx，所以 fx为奇函数．hh0（2）设 fx为周期函数，则存在 T ，使 f x Tf x，则fx Tf x Thf x Tf x hf xfx ，limhlimhhh所以 fx也是以 T 为周期的周期函数．16．设有一根细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点的坐标为x ．于是分布在区间 [0, x ] 上细棒的质量 m 是 x 的函数 mm ( x ) ．应怎样确定细棒在点 x 0 处的线密度（对于均匀细棒来说，单位长度细棒的质量叫这细棒的线密度）?解 设在 x 0 处的线密度为 x 0，给 x 0 以 x 的增量，则在区间 [ x 0 , x 0x ] 上细棒的平均线密度为m x 0x m x 0，x故x 0m x 0x m x 0mx 0 ．limxx 017．证明： 双曲线 xy a 2 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 2 a 2 ．222证由 xya 2可得 y a , x 0 ，于是 ya2 , x 0 ，若切点为x 0 ,a ，x 0xx则该点处的切线为ya 2a 2 xx 0 ，它与两坐标轴的交点分别为2 x 0 , 0，x 0x 02220, 2 a，所以所求三角形的面积为 S 12 x 02a2 a 2 ．x 02x 018．设函数 f (x ) 在 x 0 处可导，试讨论函数 | f (x ) | 在 x 0 处的可导性．解因为函数 f(x ) 在 x0 处可导，所以 limf ( x)f 0f0 存在，xx而 fx 0 limf ( x)fxx，故x（1）若f ( 0 )f ( x)f 0f0 可知：f ( x ) f，其中xxxl i mx f，x，从而 f ( x )此时 fxlim x flimx f，x 0xxxx 0因此 | f ( x) | 在 x 0 点的左导数为f 0，右导数为 f，所以 |f ( x) | 在 x0 处可导的充要条件是 f 00 ；（ 2）若 f (0)0 ，设 f (0)0 ，则 lim f ( x)f 00 ，由保号性定理，0 ，x当 x U 0,时， f x0 ，此时有 ff ( x)f 0f ( x )f 0x x 0limxlimxf，相似地，x 0x若 f (0)0 ，则 limf ( x)f 00 ，由保号性定理，0 ，当 xU 0,时，xf ( x)f 0f ( x )f 0f x0 ，此时有 fxx 0limxlimxf；xx 0总之，若 f ( x) 在 x 0处可导，则当 f (0)0 时， | f (x ) | 在 x 0 处可导；当f (0) 0时，| f (x ) | 在 x 0处可导的充要条件是 f 00 ．习题2-21．求下列函数的导数：（1） （3） （5）（7）y 3cos2 x ；（ 2） y 3 x4cos2 x ； （4） 2e y 3e4 x1 ；（ 6） y1；（ 8）xln xy4sin(3 t1) ；y( x 1) 5 ；yx；21x y(x 2x1)( x 1) 3 ；2ln x x 3（9） yx 3 e x sin x ；（ 10） y 2 ．3ln x x解（ 1） y3 sin 2 x 2 x3 sin2 x 2 6 sin2 x；（ 2） y 4 cos(3 t1) 3t 1 12 cos(3 t1) ；（ 3）（ 4）y 2e 3 x 3 x4 sin 2 x 2 x 6e 3 x 8 sin 2 x ；y5( x 1) 4 x1 5( x1)4 ；（ 5） （ 6）（ 7）y3e 4 x 4 x12e 4 x ；1 2x2 xxx 21y2 1；221 x1 21 xxln x1xln xxlnx 1yx；222xln xxln xxln x（ 8） y32x 1) 3( x 2222 x 2；2 x 1 ( x 1)( x1)( x 1) 5 x（ 9） y2x3 x3x 2xx sin xx cos x；3 x e sin x x e sin xx e cos x x e3sin x2 23ln x233 2 xx 3 xx2ln x xx x 9 x 4 ln x x42 （ 10）y3 x2 xx 2 223ln x3ln xx 22．证明：（ 1） (cot x)csc 2 x；（ ） (csc x )csc xcot x．2证（1）(cot x )cos x sin x sin x2cos x cos x csc2x ；sin x sin x（2）(csc x)1cos x1cos xcsc x cot x ．2sin x sin xsin x sin x3．证明：（ 1）(arccos x )1；（2）(arccot x)1．221x1 x证（1）设y arccos x ，则其反函数为 x cos y ， y2,2，由于 x sin y ，由反函数求导法则，arccos x111；sin y12y12cos x（2）设y arc cot x ，则其反函数为 x cot y ， y0,，由于 x csc 2y ，由反函数求导法则，arccos x111．csc212y12y cot x4．求下列函数在给定点处的导数：2（1）y 2 cos x 3 sin x ，求y xπ ；（2）y32x，求 f (2) ．4x3解（1）因为y 2 sin x 3 cos x ，所以y xπ4ππ522 sin3 cos；442212 x22 x，所以 y2 2 210 ．（2）因为y232x 223x3x33233 5．写出曲线y 2 x1与 x 轴交点处的切线方程．2 x解令 y0 ，得曲线 y 2 x1与 x 轴交点为1, 0和1, 0，2 x22而 y21，所以 y1 4 ，222 x所以所求切线有两条，方程分别为y 4 x 2 ， y 4 x2．6．求下列函数的导数：（ 1）y(2 x 23) 5；（2）y sin (5 2 x 2 ) ；（ 3） （ 5） （ 7）（ 9）y e 3 x 22 x 1 ；（4） y sin ( x 2 ) ；y cos 2 x ； （6） y a 2x 2 ；y arctane x ；（8） y ( arccos x ) 2 ； yln sin x ；（10） ylog a (x 31) ．解 （1） y5 (2 x 23) 4 (2 x 2 3)20 x (2 x 2 3)4；（ 2） ycos(5 2 x 2 ) (52 x 2 )4 x cos(5 2 x 2 ) ；（ 3） y e 3 x 23 x 26 x 2 e 3 x22 x 12 x 12 x 1；（ 4） y cos( x 2 ) ( x 2 ) 2 x cos( x2) ；（ 5） y 2 cos x cos x2 cos x sin xsin 2 x；（ 6） y1222 xx；2 a 2x 2a x2 a 2 x 2a 2x 21x（ 7） y2exe2 x；e x11 e（ 8）（ 9）y2(arccos x)(arccos x)2(arccos x)12 arccos x ；122x1 xy1 cos x cot x ；sin xxsin xsin12（ 10） y33 x．3 1) ln a ( x 1)( x 31) ln a ( x7．求下列函数的导数：（1）（3）（5）（7）（9）yarccos (1 2 x) ； （ 2） y y1ln x ； （4） y1ln xysin n x cos nx ； （ 6） yy e arctan x；（8） yy1 x 1 x ； （10）1 x1 xarcsin 1 ；x ln (xx 2a 2 ) ；1 sin2 x ； 1 sin 2 xln ln ( ln x) ；y arccot1 tan x ．2 2解（ 1） y121；(1 2 x )221 (12 x)x 1 x1 (12 x )（ 2）（ 3）y1 1 x 1x ；1x2x 222111xxx2x1 1ln x 1 lnx1x x2y22；1 ln xx 1 ln x12 x122122（ 4） yx2 x a ；2 2xa2xx22 2xaxaxa（ 5） yn sin n1xsin xcos nxsin n xsin nx nxn1cos x cos nxsin x sin nxn sin n 1 x cos n 1x；n sin x（ 6） y11 sin2 x1sin 2 x1 sin2 x2sin 2 x112 cos 2 x 1sin 2 x1 sin2 x 2 cos 2 x1 sin2 x1sin 2 x 22sin 2 x112 cos 2 x2 cos 2 x； 1 sin 2 x 1sin 2 x 1 sin 2 xcos 2 x 1sin 2 x（ 7） （ 8）（ 9）arctan xarctan xarctanx1 y ee1 xx1 ln ( ln x)1 1y x ) ln ( ln x) ln xln ( lnln xarctanxe；2 1 xx1；x ln x ln ( ln x)111 x1x1x112 1 x 2 1 x1 x2 1 x 2 1 xy21 x1x1 x 1 x21 x1 x 121x2；221 x 1 x1 x 1 x1 x 1 x（ 10）y11x41 2 x x1x2tan22sec2 122x2 tan24tan222xsec21．2x4tanx1223 cos28．设f ( x )1cos x ,x0，求 f x．ln (1 x )x cos x ,x0sin x,x0解当 x0 时， f (x )1cos x x sin x ,x0，1x2x x当 x 0 时，f(0)1cos x0lim 2 sin2lim sin x sin20 ，lim x x2xx0x0x02ln1x x cos x01f (0)lim ln1x cos x ln e 10 ，lim x xx0x0sin x ,x0所以 f00，从而 f(x )1cos x x sin x, x ．1x0 9．求函数y( sin x ) cos x 的导函数．解法 1因为y( sin x ) cos x e cos x ln sin x ，所以 y e cos x lnsin x cos x ln sin x sin xcos xsin x ln sin x cos xcosxsin xsin x sin x ln sin x2x ．cos xcossin x解法 2对数求导法，由 y( sin x) cos x，得 ln y cos x ln ( sin x ) ，两边同时对 x 求导，得ysin x ln sin x cos xcos x，y sin x所以 y sin x sin x ln sin x cos2x．cos xsin x10．设f(x )sin x ， (x )x3，求 f [(x )] ， f[(x )] ， { f [(x )]}．解 因为 f (x )sin x ， ( x) x 3 ，所以 f ( x)cos x ，(x ) 3 x2，所以 f [( x)] f 3 x 2 sin 3 x 2 ，f [( x )]cos( x )cos x 3，{ f [ ( x)]} sin x 3 cos x 3 x 3 3 x 2 cos x 3 .11．设 f ( x) 存在，求下列函数的导数：（ 1） f n (cos x ) ； （ 2） cos n [ f ( x)] ．解（1） nn 1(cos x)f (cos x )n 1f (cos x)nf nf(cos x ) f (cos x) cos xn sin xfn 1(cos x ) f (cos x ) ；（2） cos n [ f (x)]n cos n 1 [ f ( x)] cos [ f (x )]n cos n 1 [ f (x)] sin [ f ( x)] f xn 1[ f (x )] fx ．n sin [ f ( x)] cos12. 求曲线 f x 2 sin x sin2所有具有水平切线的点．x解 因为 fx2 cos x 2 sin x cos x ，令 fx0 ，得 cos x 1sin x0 ，于是 cos x 0 ，或 sin x1 ，推得 x k, k Z ，或 x 2k3Z ，2, k2所以所求的点为2 k, 3 ，2k3 1 ，其中 k Z ．,22习题2-31．求下列函数的二阶导数：（1）（3）ye3 x 5；（2） y 2x ln x ；（4） sinye t sin t；y tan x ；（5） yln( x4 x 2 ) ；（ ） y (1 x 2 ) arctan x．6解 （ 1） y 3e 3 x 5 ， y9e 3 x 5 ；（2） yetsin t e t cos t e t cos t sin t，yetsin te tsin t cos t2etcos tcos t ；2（3） y2 sin x cos x ln xsin 2 x 1ln xsin 2 xsin x ，xxsin 2 x2sin x cos xx sin2y ln x 2 cos 2 x xxx22 sin 2 x22 x ln xsin x ；x 2 cosx 2（4）（5）22 sec x sec x tan x2ysec x ， y2 sec x tan x ；112 x1y，x4 22 4x 24 2xx13xy4x 222 x；2423x（6） y2 x arctan x1 ， y2 arctan xx．21x2． y x 3 e x，求 y ( 5 )(0)．解设 u x 3 ， v e x，则 u3 x 2 ， u 6 x ， u6 ， u n 0, n 4 ； v ne x , n N ，代入莱布尼兹公式，得y ( 5 )u 5 v5 u 4 v 10 u v10 u v5u v 4uv 510 6e x10 6 xe x5 3 x 2e xx 3 e x ，所以(5 )60．y (0)3． yx 2 e 2 x ，求 y ( 20 ) ．解 设 ux 2 ， v e 2 x ， 则 u2 x ， u2 ， u n0,n 3 ； v n2 n e 2 x , n N，20181920代入莱布尼兹公式，得y ( 20 )C 20k u nkv kC 202C 201 C 200 u vu vuvk 0190 2 218 e 2 x C 201 2 x 219 e 2 x C 200 x 2 2 20 e 2 x2 20 e 2 x95 20 xx 2 ．4．试从dx1导出：（ 1）d 2 xy3；（2）d 3 x3( y ) 2y y．2( y ) d y 35dy yd y( y )解因为d x1，所以 d 2 x d 1 d 1 dx y 1y 3，d yy2dy ydx ydyy2yd yy3dydy dxd x3dyy 3dx3dydyy322yy y 3 yy13 yy y．6y5yy5．证明：函数 y C 1e xC 2 ex（ ,C 1 , C 2 是常数）满足关系式 y2y 0 ．解 因为 y C 1 e xC 2 ex，所以所以xxxx2x2xyC 1 eC 2eC 1eC 2 e， yC 1 e C 2 e，y2y2C 1e x 2C 2 ex2C 1 e x C 2 ex0 ．6. 求常数 的值，使得函数 ye x 满足方程 y5 y6 y．解 因为 ye x ，所以 y ex， y2ex，代入方程 y5 y6 y 0 ， 得256 e x0 ，因为 e x0,xR ，所以256，解得 1 6 ， 21 ．7. 设 fxsin xa ， g xb sin xc cos x ，求常数 b, c 的值，使得f 0g 0，且 f 0g0 .解 因为 fxsin x a， g xb sin xc cos x ，所以 f x cos x a， g xb cos xc sin x ,所以由 f 0g 0， f 0g 0，可得 c sin a ，且 bcos a ．8．求下列函数的 n 阶导数．（1） y x na 1 x n 1 a 2 x n 2a n 1 x a n （ a 1 , a 2 , a n 是常数）；（2） y xe x ；（3） ysin 2 x ； （4） yx 2 16．5 x解（1） yn 1n 1 a 1 xn 2n 3a n 1 ，nxn 2 a 2 xn 2n 3n 4a ，根据幂函数的导数公式特点：每求导一次，幂函数降一次幂，故y n n ! ．（2）y e x xe x e x x 1 ， y e x x 1 e x e x x 2，yxx2x xx 3 ，由此可见，每求一次导数，增加一个e x，e e e所以n xx n， n N；y e（3）y sin 2 x1cos 2 x11cos 2 x，222y 2 sin x cos x sin 2 x cos 2 x2，y 2 cos 2 x 2 cos 2 x22，y 2 2sin 2 x 2 2cos 2 x32，42 3cos 2 x23 cos 2 x4，y2所以n2n1 cos 2 x n， n N ．y2（4）因为y111，x 2 5 x6x3x2而1x32112x3，x3，x331123x34x3，1n可见，123n x n 11nx3n1x33n !，1n同理，123n x n11nx2n1x22n !，所以n n n1n1n 11．y 1 n ! x 3x 2 1 n !x3n 1xn 12习题2-41．求由下列方程所确定的隐函数的导数d y ：d x（1） x y e xy0 ； （2） 2 x 2 y xy 2 y 30 ；（3） e xyy ln xsin 2 x ；（ ） xya（ a 0 的常数）．4解（ 1）将方程两边同时对 x 求导，得dydydy ye xyxy，变形得：1；1ey x0 dx1xydx dxxe（2）将方程两边同时对 x 求导，得2dyy2dy2dy 0，2 2 xy xx 2 y3 ydxdx dx变形整理得：dy224 xy y 2；dx2 x 2 xy3 y（3）将方程两边同时对 x 求导，得e xyy xdydyln xy 2 cos 2 x ，dxdxx变形整理得：dy2 x cos 2 xyxy exy；dxx ln x 2xyx e（4）将方程两边同时对 x 求导，得11dy ，2 x2y dx变形整理得：dyy, x．dxx2．求曲线 x 2 y 52 xy0 在点 (1,1) 处的切线方程．解将方程两边同时对 x 求导，得： 2 x5 y 4 dy2 yx dy0 ，dx dx将 x1 ， y 1 代入，解得：dy1,10 ，dx所以曲线在点 (1,1) 处的切线方程为： y1 ．3．已知 y sinx cos( xy )0 ，求隐函数 yy x 在点 0, π的导数值．2解将方程两边同时对 x 求导，得：dyy cos xsin( x y ) dy ，sin x1dxdx将 x0 ， y2 代入，解得： dy1．dx0,222 4．求下列方程所确定的隐函数的二阶导数 d y ．dx 2（1） y tan( x y ) ； （2） y 1x e y ；（3） y lny xy ；（4） arctany ln x 2 y 2 .x解（1）将方程两边同时对 x 求导，得：dysec 2 ( xy ) 1dy，dxdx解得dycsc 2 ( xy ) ，dxd 2dy再求导，得：y2 csc( xy)csc( xy ) cot xy，21dxdx将 dy2csc 2( xy) 代入，整理得：d y2 csc 2 ( x y) cot3 xy ；dxdx 2（2）将方程两边同时对 x 求导，得：dye yx e y dy，dxdxe y dy1 xe ye ye yx e y dy解得：dyy，再求导，得： d 2 y dxdxe y 2y2，dx1xedx1xedy y22 y2 xe y2 y3 y将 e代入，整理化简得：d yeey2y 33；dx1 xedx12 yxe（3）将方程两边同时对 x 求导，得：dyln ydy 1 dy ， dxdxdx1 dy解得：dy1d 2 yy dx 2 ，，再求导，得： 2dxln y dxln y将 dyd 2 y13；1代入，整理化简得：2ydx ln ydx ln ydyxy2 x 2 ydy（4）将方程两边同时对 x 求导，得：1dx1 dx，y 2222y 21xxx1dy x yx y 1dy解得：dy x y，再求导，得：d 2 ydxdx，dxx ydx 22x y222将 dyx y代入，整理化简得：dy 2 xy.3dxxydx 2xy5．用对数求导法求下列函数的导数：（1） y(sinx) cos x ；（2） y(tan 2 x ) x；x x（3） y；（4） y (2 x 1) x (3 x 1) x 1 ．1 x解 （ 1）两边取自然对数，得： ln ycos x ln(sin x ) ，两边同时对 x 求导，得：1 dysin x ln sin xcos x cos x ,y dxsin x整理化简得：dy(sin x) cos xsin x ln sin xcos x cot x ；dx（2）两边取自然对数，得： ln y x ln(tan2 x ) ，两边同时对 x 求导，得：1dy ln(tan 2 x )xsec 2 2 x2tan 2 x ，y dx整理化简得：dy(tan 2 x) xln(tan 2 x)4 x ；dxsin 4 x（3）两边取自然对数，得： lny x lnx x ln xln1 x，1x两边同时对 x 求导，得：1dy ln x ln 1 xx 1 1 1 y dxxxx整理化简得：dyx ln x x1 1；dx1 x1 x（4）两边取自然对数， 得： ln yln(2 x1)1x1ln(3 x1)1 x1 ，ln 4 ln28两边同时对 x 求导，得：1 dy2 1 131)81， y dx 2 x 2 x 4(3 x x 1整理化简得：dy(2 x1) x(3 x1) x 12 1 1 31) 8 11dx2 x 2 x 4(3 x x 6．求下列参数方程所确定的函数的导数d y ： d x2 atxa cos btb sin atxt21 （ a 为常数）．（1）（ a , b 为常数）； （2）2ya sin btb cos ata (1 )ty1t2解（1）因为dxab sinbtab cosat ，dyab cosbtab sinat，dtdt所以d yab cos btab sin atcos btsin at；d xab sin btab cos atsinbtcos at2 a 1 t22 at 2t2（2）因为dx2 a 1 t，22dt1212ttdy2at 1 2a (1 2) 2 t4 atttdt221 t 21 2t所以dy1 2 t 2 t ．dxt 2 t 2 17．求曲线x tet1 在 t0 处的切线方程与法线方程．t 2 )ey (2 t t解 因为 dxe tte t ， dy2 2 t e t(2 t t 2 )e t ，dtdt所以dy2 t 2 ， dyt 02 ，又 x t 0 1, y t 0dx1 tdx故所求切线为： y2 x 1，法线为：y1 x 1 ． 28 ． 已 知曲 线 x2n在 ttm t0 时过原点，且在该点处的切线与ype t2e2 x3 y5 0 平行，求常数 m , n, p ．解 因为 dxm ，dyp e t ，故dyt2 tp e ，dtdtdx2t m由题设可知： x tn0 ， yt 0p2e0 ，dyt 0p 2 ，dxm3所以所求常数为： n0 ， p2e， m3e ．注：此题的书后答案有误．29．求下列参数方程所确定的函数的二阶导数 dy ：d x 2（1）x1 t 2；（2）xe t cos t ；y tt 3yte sin tx ln 12xf ( t )t；（4）（ f(t ) 存在且不为零）．（3）y tf ( t )f (t )yt arctan t（ 1）因为dx2 t ，dy，所以dy13 t 21 3t ， 解13t 2dt dtdx2 t2t221 322于是 d yd13t dt2t 21 3t；2dt2 t2dx2 t3dx4t（2）因为dxe tcos te tsin t ，dye t sin t e t cos t ，dtdt所以dye t sin te t cos tsin t cos t ，于是dxt cos t tsin tcos tsin te ed 2 yd sin tcos tdt cos tsin 2sin t2 1tcos t2dtcos tsin tdxcos tsin 2tcos ttsin tdxte e2；e tcos tsin t 311dx2tdy1dy12t1，1t（3）因为 dtt 2dt1t 2 ，所以dx2 t2 ，1 t 221221于是 d yt；22 t4 tdx1 t 2（4）因为dxf( t ) ，dyf ( t ) tf ( t )f (t ) tf (t )，所以dyt ，dtdtdx于是 d 2 y1．2f (t )dx10．将水注入深 8 米、上顶直径 8 米的正圆锥形容器中，注水速率为4 吨/分钟．当水深为 5 米时，其表面上升的速率为多少？解 如图所示，设在 t 时刻容器中水面的高度为h t（米），此时水面的半径为 rt（米），则依题意应有1 r 2t h t4 t ，而h tr t ， 384所以 1h 3 t4t ，两边同时对时间 t 求导，12可得1h2t dh4 ，当 h t5 时，可求得dh16 ， 4dt dt2516 所以当水深为 5 米时，其表面上升的速率为m m in ．2511．汽车 A 以 50 公里 / 小时的速度向西行驶，汽车 B 以 6 0 公里 / 小时的速度向北行驶，两辆车都朝着两条路的交叉口行驶． 当汽车 A 距离交叉路口 0.3 公里，汽车 B 距离交叉路口 0.4 公里时，两辆车以什么速率接近？解 如图所示，设在 t 时刻，汽车 A 距离交叉路口x t ，汽车 B 距离交叉路口 y t ，则两车之间的直线距离为 st x 2y 2t t ，两边同时对时间 t 求导，可得x tdxy dytdxdydsdtdt60 ，，依题意可知 50 ，dt2y 2dtdtx t t故当 x t0.3 ， y t0.4 时，ds 0.350 0.4 6078 ，即当汽车 A 距离交叉dt0.32 20.4路口 0.3 公里，汽车 B 距离交叉路口 0.4 公里时，两辆车以78 km / h 的速率接近．12．一个路灯安装在 1 5 英尺高的柱子上， 一个身高为6 英尺的人从柱子下以5 英尺/秒的速度沿直线走离柱子，当他距离柱子4 0 英尺时，他身影的顶端以多快的速率移动？解 如图所示，设在 t 时刻，此人离灯柱的水平距离为x t，身影的顶端离灯柱的水平距离为y t，则依题意有：dx，6y tx t5，515，可见y tx tdt y t3两边同时对时间 t 求导，得dy5dx25 ，dt3dt3所以他身影的顶端以25 feet / s 的速率移动，与他离灯柱的水平3距离无关，只与他的前进速度、身高、灯柱高有关．习题2-51．函数y x2，求当 x 1 ，而 x0.1 ， 0.01 时，y 与 d y 之差是多少？解当 x 1 ， x0.1 时，y20.21， d y 2 x x0.2 ，1.11所以y dy0.01；当x 1 ，x0.01时， y 1.01 210.0201， d y 2 x x0.02 ，所以y dy0.0001；2．求函数y x2x 在 x 3 处， x等于 0.1 ， 0.01时的增量与微分．解因为 y x 2x ，所以dy 2 x1x ，当 x 3 ， x0.1 时，2 3.1230.71， dy0.7；y 3.13当 x 3 ， x0.01 时，y 3.012 3.0120.0701， dy0.07 ．333．函数y x 3x ，求自变量x由 2变到 1.99时在 x 2 处的微分．解因为y3x ，所以 dy21x ，x 3 x当 x2， x0.01 时， dy3210.010.11 ．24．求下列函数的微分（1）（3）（5）y x 2 x 2 1 x3x 4；（ 2）3yx；（ 4）1 x2y3ln cos x；（ 6）y xe x2；y tan 2 (1x 2 ) ；y e ax sin bx ．23解（1）dy 1 4 x x 4 x dx ；x 2x 22x 2x 2x 2 2；（ 2） dy e dx xe dxe dx xe2 x dx e1 2 x dx22221 x dx xd 1 x1 x dx x2 x dx（ 3） dy1 xdx ；2221 2121 2xxx（ 4） dy2 tan(12) d tan(1 x22 tan(1x 222) d (12x )) sec (1x x )4 x tan(12) sec 22；x (1 x ) dx（ 5） dy 3 ln cos x ln 3dln cos x3 ln cos x ln 31 d cos xcos xln cos x3ln 3 tan xdx ；（ 6） dyaxax sin bxaxcos bx d bxaxa sin bxb cos bxdx ．e d e e5．将适当的函数填入下列括号内，使等式成立：（1） d( ) sintd t ；（ 2） d()（3） d ( )x；（ 4） d ( )d x1 x2（5） d ( ) x 2（ 6） d ()xe d x ；23 xd x ；secd x；x 2a 2ln xd x .x解（1）1 cost；（ ）1tan 3 x ；（ ） 1x 2；233（4） 1arctanx ；（5） 1e x ；（6） 1l n 2 x ．2aa 226．某扩音器的插头为圆柱形，其截面半径r 为 0.15 厘米，长度 L 为 4 厘米，为了提高它的导电性能，要在圆柱的侧面镀一层厚度为 0.001 厘米的铜，问每个插头约需要多少克纯铜？（铜的密度为8.9 克/ 立方厘米，3.1416 ）解因为圆柱形的扩音器插头的体积为Vr2L ，侧面镀层的体积约为VdV2 rLr ，当 r 0.15 ， r 0.001L4时， V32 3.1416 0.15 4 0.0013.7699210 ，，故所需铜的重量约为 m3.769921030.03355克．8.97．设有一凸透镜，镜面是半径为R 的球面，镜面的口径为 2h ，若 h 比 R 小h 2 得多，试证明透镜的厚度 D．2 R解如下图所示，镜面半径 R 、镜面口径 2h 、透镜厚度 D 之间有关系：h 222，化简得： h22RDD20 ，R DR2R4R 2 4 h 2h 得： DR R 12R2 2，若 h 比 R 小得多，则1 h 21h 2，22 R 2R222故DRR1hR R 1h h ．R 22 R 22 R8．利用微分求下列函数值的近似值（1）；（2）；（3）； （ 4） e 1.01 ；（ ）26 ；（ ） 3 ．996cos 59tan 46lg 1156解 （1） cos 59coscoscossin6013 18033180130.5151 ；2 2180（ 2） tan 46 tan 0tantan245141804sec18041 21801.0349；（ 3） lg 11 lg 10 1lg 10111.0434；10 ln 10（ 4） e1.01e1 0.01ee 0.01 2.7455；（ 5） 2625 1251 15.1 ；22512（6） 3 996310004310001000349.9867 ．39．当 | x | 较小时，证明下列近似公式：（ 1） sin x x ； （2） (1x )1x ； （ 3） ln(1 x ) x ．解 （1）设 fx sin x ，则 fxcos x ，当 | x | 较小时， fxsin xsin 0 cos 0 xx ，所以 sin x x ；（ 2）设 f x(1 x) ，则 fx1(1 x )当 | x | 较小时， f x(1 x ) f 1f 1 x1x ，所以 (1x )1x ；（3）设 f x ln(1 x) ，则 fx1，1x当 | x | 较小时， f xln(1 x ) f 1 f 1 x x ，所以 ln(1x )x ．习题2-61. 一飞机在离地面 2000 米的高度，以 200 公里 / 小时的速度飞临某目标之上空，以便进行航空摄影．试求飞机飞至该目标上方时摄影机转动的速度．解 如右图示意，A 为摄影目标，B 为其正上方的点，设 t 时刻飞机离 B 点的水平距离为 x t ，摄影机镜头 C 与 A 点连线与飞机的水平飞行方向成夹角，则co tx t ， xtx200000t ，两边同时对时间20003600t 求 导 ， 可 得 csc 2d1 dx t1， 即dt 2000 dt36d 1，当飞机飞至该目标上方时，，dtsin2362代入解得：d1 360 5rad / s ．dt36 22. 一架飞机着陆的路径如图 2-11 所示，并且满足下列条件：（ⅰ）降落点为原点， 飞机开始降落时水平距离为 l ，飞行高度为h ．（ⅱ）在整个降落过程中， 飞行员必须使飞机保持恒定的水平速度 v ．（ⅲ）垂直方向的加速度的绝对值不能超过常数 k （必须比重力加速度小很多） ．3图 2-11（ 1） 求一个三次多项式 P x2ax bxcx d ，通过在开始降落和着陆的点对P x 和 P x施加一定的条件限制，使它满足条件。
高等数学第2章课后习题及答案
-----高等数学第2章课后习题及答案习题211 设物体绕定轴旋转 在时间间隔 [0 t]内转过的角度为从而转角是 t 的函数(t) 如果旋转是匀速的 那么称为该物体旋转的角速度 如果旋转t是非匀速的 应怎样确定该物体在时刻t 0 的角速度？解 在时间间隔 [t 0 t 0t] 内的平均角速度为(t 0t ) (t 0 )tt故 t 0 时刻的角速度为l i ml i m l i m(tt) (t 0) (t )t 0t 0 tt 0t2 当物体的温度高于周围介质的温度时物体就不断冷却 若物体的温度 T与时间 t 的函数关系为 T T(t) 应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解 物体在时间间隔 [t 0 t 0t]内 温度的改变量为T T(tt) T(t)平均冷却速度为T T (t t) T(t) t t故物体在时刻 t 的冷却速度为limT lim T (t t ) T (t ) T (t) t 0t t 0 t 3 设某工厂生产 x 单位产品所花费的成本是 f(x)元 此函数 f(x)称为成本函数成本函数 f(x)的导数 f (x)在经济学中称为边际成本 试说明边际成本 f (x)的实际意义解 f(x x)f(x)表示当产量由 x 改变到 x x 时成本的改变量f (x x) f (x)表示当产量由 x 改变到 x x 时单位产量的成本xf (x)lim 0f (x x) f ( x)表示当产量为 x 时单位产量的成本x x4 设 f(x)10x 2 试按定义 求 f ( 1)解 f ( 1)limf ( 1 x) f ( 1)10( 1x)2 10( 1)2xlimxxx 010 lim0 2 xx 2 10 lim ( 2x) 20xxx 05 证明 (cos x) sin x解 (cosx) limcos(x x) cosxxx2s i nx(x) s i nxlim2 2x 0 xlim [ s i nx(x ) s i n x] s i nx 2 x 0 2x26 下列各题中均假定 f (x 0)存在 按照导数定义观察下列极限指出 A 表示什么(1) lim f ( x 0x) f ( x 0 ) A xx 解 Alim0f (x 0x) f (x 0)xxl i mf ( xx) f (x 0) f ( x 0 )x 0x(2) lim f (x)A 其中 f(0) 0 且 f (0)存在x 0 x解 Alim f ( x) lim f (0 x) f (0) f (0)x 0 x x 0x (3) lim f (x 0 h) f (x 0 h)Ah 0h解A lim f ( x 0 h 0 lim[ f (xh 0limf (xh 0h)f (x 0 h) hh) f ( x 0 )] [ f (x 0 h) f (x 0)]h h) f (x 0)limf (xh) f ( x 0 ) hh 0hf (x 0) [ f (x 0)] 2f (x 0)7 求下列函数的导数(1)y x 4(2) y 3 x 2(3) y x1 6-----(4) y1 x(5) y1x23 5 x(6) y x232(7) y x x解 (1)y (x 4) 4x 4 1 4x 322 1 2 x (2) y (3 x 2 ) ( x 3 )2x 3331 3(3)y (x 1 6) 1 6x 1 6 1 1 6x 0 61 1 x(4) y ( 1) (x 2)x21 121 x 23 2(5) y(1)( x 2 )2x 3x 23 516 16 16 116 11 (6) y (x x) (x 5)x 5 x 555(7) y ( x2 3 x21 111 x ) (x 6) 1 x 6x 5665 68 已知物体的运动规律为 s t 3(m) 求这物体在 t 2 秒 (s)时的速度解 v(s) 3t 2 v|t 2 12(米 /秒)9 如果 f(x)为偶函数且 f(0)存在 证明 f(0)证明 当 f(x)为偶函数时 f( x) f(x)所以f (0) l i mf (x)f (0) l i m f (x) f (0) l i m f ( x) f (0)x 0xx 0x 0x 0x 0从而有 2f (0) 0 即 f (0) 010 求曲线 ysin x 在具有下列横坐标的各点处切线的斜率x 解 因为 y cos x 所以斜率分别为2 1k 1 c o sk 2 cos 13 2f (0)2x311 求曲线 y cos x 上点 ( , 1) 处的切线方程和法线方程式3 2解 ysin x ysin3x3 23故在点 (, 1) 处 切线方程为 y 1 3(x)3 22 23法线方程为 y 1 2(x )23 312 求曲线 y e x在点 (0 1)处的切线方程 解 y e xy |x 0 1 故在 (0 1)处的切线方程为y 1 1 (x 0)即 y x 113 在抛物线 y x 2上取横坐标为 x 1 1 及 x 2 3 的两点 作过这两点的割线问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？解 yy(3) y(1)9 1 42x 割线斜率为 k132令 2x 4 得 x 2因此抛物线 y x 2 上点 (2 4)处的切线平行于这条割线 14 讨论下列函数在 x 0 处的连续性与可导性(1)y |sin x| (2) yx 2sin 1x 0xx 0解 (1)因为y(0) 0 lim y lim |sin x | lim ( sin x) 0x 0x 0x 0 lim ylim |sin x|lim sin xx 0x 0x所以函数在 x 0 处连续又因为y (0)l i m y( x)y(0) l i m |si nx | |si n0 |l i m s i nx1x 0x 0x 0x 0x 0xy (0) lim y( x) y(0) lim |sin x | |sin0|lim s i nx 1x 0 x 0 x 0x 0 x 0 x而 y (0) y (0) 所以函数在 x 0 处不可导-----解 因为 lim y(x) lim x 2sin10 又 y(0)0 所以函数在 x 0 处连续x 0 x 0x 又因为21 0y(x) y(0)xs i n1 l i mx l i ml i mxs i n 0 x 0xx 0xx 0x所以函数在点 x 0 处可导 且 y (0) 015 设函数 f (x)x 2x 1为了使函数 f(x)在 x 1 处连续且可导a b 应取什ax b x 1么值？解 因为lim f ( x) lim x 21 limf (x) lim (ax b)a b f(1) a bx 1x 1x1x 1所以要使函数在 x1 处连续 必须 a b 1 又因为当 a b1 时f (1)x 2 12l i m1x 1 xf (1) lim ax b 1 lim a( x 1) a b 1 lim a(x 1) ax 1 x 1 x 1 x 1 x 1x 1 所以要使函数在 x 1 处可导 必须 a 2 此时 b 116已知 f (x)x 2x 0求 f (0)及 f(0) 又 f (0)是否存在？x x 0解 因为f(0) lim f (x) f (0)lim x 0x 0 x x 0x f(0) lim f (x) f (0)lim x 2 0xxx 0x 而 f (0) f (0) 所以 f (0)不存在17 已知 f(x)sin x x0 求 f (x)x x解 当 x<0 时 f(x) sin x f (x) cos x 当x>0 时 f(x) x f (x) 11因为 f (0) lim f (x) f (0) lim sin x 0 1x 0 x x 0xf (0) lim f (x)f (0) lim x 0 1所以 f (0) 1 从而x 0x x 0x f (x)cosx x1 x18 证明 双曲线 xy a 2 上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于 2a 2解 由 xy a 2得 ya 2k ya 2xx 2设 (x 0 y 0)为曲线上任一点则过该点的切线方程为y a2x 0 ) y 02 ( xx 02y x 2令 y 0并注意 x 0y 0a 解得 xx 0 2x 0为切线在 x 轴上的距 a 2令 x 0并注意 x 0y 0 a 2 解得 y a 2y 2 y0 为切线在 y 轴上的距x 0 0此切线与二坐标轴构成的三角形的面积为S1|2x 0 ||2y 0 | 2|x 0 y 0 | 2a 22习题221 推导余切函数及余割函数的导数公式(cot x)csc 2x(csc x)csc xcot x解 (cot x)(cosx )sin x sin x cosx cosxsin xsin 2 x2 21 2s i nx c o s x2 2 c s cxs i nxs i nx( c sxc) ( 1 ) c o xsc s cx c o xt s i nx 2s i n x 2 求下列函数的导数(1) y4 7 2 12x 5 x 4x-----(2) y 5x 3 2x 3e x (3) y 2tan x sec x 1 (4) y sin x cos x (5) y x 2ln x (6) y 3e x cos x(7) yln xxx(8) y e 2 ln 3x(9) y x 2ln x cos x(10) s 1 sint1 cost解 (1) y ( 4 7 2 12)(4x 5 7x 4 2x 112)x 5 x 4 x20x628x52x220282x6x5x2(2) y (5x 32x 3e x ) 15x22xln2 3ex(3) y (2tan x sec x 1)2sec x tan x sec x(2sec x tan x)2sec x (4) y (sin x cos x) (sin x) cos x sin x (cos x)cos x cos x sin x ( sin x) cos 2x(5) y (x 2ln x) 2x ln x x 21 x(2ln x 1)x(6) y (3e x cos x) 3e x cos x 3e x ( sin x) 3e x(cos x sin x)ln x1 x ln x1 ln x(7) y ( ) xx x 2 x 2(8) y ( e x ln 3) e x x 2 e x 2x e x ( x 2)x 2 x 43x(9) y221cos x x 2ln x ( sin x)(x ln x cos x) 2x ln x cos x x x2x ln x cos x x cos x x 2 ln x sin x(10) s (1sin t ) cost(1 cost) (1 sin t)( sin t)1 sin t cost1 cost(1 cost)2(1 cost)23 求下列函数在给定点处的导数(1) y sin x cos x 求 y和 yxx46(2)sin1cos 求d2d4(3) f (x)3 x 2求 f (0)和 f (2)5 x 5解 (1)ycos x sin xyc o s s i n3 1 3 1x22266 6yc o s s i n22 2x2 244 4(2)dsincos1sin1sincosd22d1s i nc o s 1 2 422(1)d4 244 4 2 22 42(3) f (x)32x f (0)3 f (2) 17(5 x)2525154 以初速 v 0 竖直上抛的物体其上升高度 s 与时间 t 的关系是 s v 0t 1gt 22求(1)该物体的速度 v(t)(2)该物体达到最高点的时刻解 (1)v(t) s (t) v 0 gt(2)令 v(t) 0 即 v 0 gt 0 得 t v 0这就是物体达到最高点的时刻g5 求曲线 y 2sin x x 2 上横坐标为 x 0 的点处的切线方程和法线方程 解 因为 y 2cos x 2x y |x 0 2又当 x 0 时 y 0 所以所求的切线方程为y 2x所求的法线方程为-----y 1x即x 2y 0 26求下列函数的导数(1)y (2x 5)4(2)y cos(4 3x)(3) y e 3x 2(4)y ln(1x2)(5)y sin2x(6) y a2x2(7)y tan(x2)(8)y arctan(e x)(9)y(arcsin x)2(10) y lncos x解 (1) y4(2x 5)4 1 (2x5) 4(2x 5)3 2 8(2x 5)3 (2)y sin(4 3x) (4 3x)sin(4 3x) ( 3) 3sin(4 3x)(3) y e 3 x2 ( 3x2 )(4)y1 (1 x2)1x2(5)y 2sin x (sin x) e 3x 2(6x)6xe 3x212x2x1 x2 1 x22sin x cos x sin 2x(6) y [( a21] 1 (a211(a2 x2 ) x2) 2x2) 221 (a2x2 )1x2 ( 2x)x2 2a2 (7) y sec2(x2) (x2)2xsec2(x2)(8) y1x2 (e x)e x2x1(e ) 1 e2 arcsin x (9) y2arcsin x (arcsin x)1x2(10) y1 (cosx)1( sin x) tan xcosx cosx 7 求下列函数的导数(1) y arcsin(1 2x)(2) y11 x 2x(3) y e 2 cos3x(4) y arccos 1x(5) y1 ln x1 ln x (6) y sin 2xx(7) y arcsin x(8) y ln(x a 2 x 2 ) (9) y ln(sec x tan x)(10) y ln(csc x cot x)解 (1) y1(1 2x)21 1 (1 2x)2x x 21 (1 2x) 2(2) y [(111 1 x 2)x 2) 2]1(1 x 2) 2(1213x(1 x 2 ) 2 ( 2x)x 22(1 x 2 ) 1xxxx) cos3xx(3) y (e 2) cos3x e 2(cos3x) e 2(e 2( sin 3x)(3x)21 e xxx2 c o 3sx 3e 2 s i n3x 1e 2( c o3sx6s i n3x)22-----(4) y1 1 (1)1 1 ( 1 )|x|1 (2 x 1 ( ) 2x2x 2x21)xx1(1 l n x) (1 ln x)12(5) yxx(1ln x) 2x(1 ln x)2(6) ycos2x 2 x sin 2x 1 2x cos2x sin2xx2x2(7) y1( x)1111 ( x)21 ( x )22 x 2 x x 2(8) y1x 2 (xa 2x 2 )1x 2 [1 1(a 2 x 2) ]xa 2x a 22 a 2 x 21[112 (2x)]1x a 2 22 a 2x a 2x 2x(9) y1(secx tan x) secxtan x(10) y1(csc x cot x)csc x cot xsecx tan x sec 2x secxsecx tan x cscx cot x csc 2 x cscxcscx cot x8 求下列函数的导数(1) y (arcsin x )22(2) y ln tan x2(3) y 1 ln 2 x(4) y e arctan x(5) y sin nxcos nx(6) y arctanx 1x 1(7) y arcsinxarccosx(8) y=ln[ln(ln x)](9) y1x 1 x 1 x1 x(10) y arcsin1 x1 x解 (1) y2(arcsin x ) (arcsin x)2 22( a r c s xi)n 1( x)2 1 ( x )2 222( a r c s xi) n1 x 12 1 ( ) 222x2a r c s i n24 x 2(2) y1x (tan x) 1 x sec 2 x( x)tan 2 tan2 22 2(3) y(4) y1 2 x 1x s e c2 c s cxt a n 22 1 ln 2 x 2 1 (1 ln 2 x)1 ln2 x1 2ln x ( l nx)12ln x12 1 ln 2x2 1 ln 2xxln xx1 ln2 xearctan x(arctan x)e arctan x1 x) 2( x)1 (-----e a r c t axn11x e a r c t axn1( x)2 2 2 x(1 x)(5) y n sin n 1x (sin x) cos nx sin n x ( sin nx) (nx)n sin n 1x cos x cos nx sin n x ( sin nx) nn sin n 1x (cos x cos nx sin x sin nx) n sin n 1xcos(n 1)x(6) y1( x 1) 1(x 1) ( x 1)11 ( x 1) 2x 11 (x 1)2(x 1)2 1 x 2x 1x 11arccosx 1 arcsin x1 x2 1 x 2(7) y(arccos x)21 a r c c oxs a r c s ixn1 x22( ar c c ox)s2 1 x 2 ( a r c cxo)2s(8) y1 ln(ln x)1ln(ln x)[ln(ln x)] 11(ln x)ln(ln x) ln x 1 1 1 ln x x xln x l n ( lxn)(1 1 )( 1 x1 x) ( 1 x1 x)(1 1)(9) y2 1 x 2 1 x2 1 x 2 1 x( 1 x1 x)211 x 21 x2(10) y1 (1 x) 1 (1 x) (1 x)1 1 x 1 x 1 1 x(1 x)21 x1 x1(1 x) 2x(1 x)9. 设函数 f(x)和 g(x)可导且 f 2(x) g 2(x) 0 试求函数 y f 2 (x) g 2 (x) 的导数解 yf 1[ f 2(x) g2 (x)]22 (x)g 2(x)1[2 f (x) f ( x) 2g(x) g ( x)] 2f 2(x)g2(x)f (x) f (x)g(x)g (x)f 2 (x)g 2 (x)10设 f(x)可导求下列函数 y 的导数dy dx(1) y f(x2)(2)y f(sin2x) f(cos2x)解 (1) y f (x2) (x2)f(x2) 2x 2x f (x2)(2)y f(sin2x) (sin2x) f (cos2x) (cos2x)f(sin2x) 2sin x cos x f (cos2x) 2cosx ( sin x)sin 2x[f (sin2x)f(cos2x)]11求下列函数的导数(1)y ch(sh x )(2)y sh x e ch x(3)y th(ln x)(4)y sh3x ch2x(5)y th(1 x2)(6)y arch(x2 1)(7)y arch(e2x)(8)y arctan(th x)(9)y ln chx12 x 2ch(10)y ch2( x 1) x 1解 (1) y sh(sh x) (sh x) sh(sh x) ch x(2) y ch x e ch x sh x e ch x sh x e ch x(ch x sh2x)(3) y1(ln x)12 (ln x)2 (ln x)ch x ch-----(4) y3sh 2x ch x 2ch x sh x sh x ch x (3sh x 2) (5) ych 21 2 (1 x 2)2 2xx 2 )(1 x )ch (1 (6) y1 1(x 2 1)2x( x 2 1)x 4 2x 2 2(7) y1(e 2x)2e2x(e 2x )21 e 4 x 1 (8) y 1(th x) 1 1 1 1 1 (thx) 2 1 th 2 x ch 2 x 1 2 2sh x ch xch 2x 1 1ch 2 x sh 2x 1 2sh 2 x(9) y1 (ch x) 1 (ch 2x)ch x2ch 4 xsh x 1 2ch x shxch x2ch 4 xsh x shx sh x ch 2x shxch xch 3x ch 3xsh x (ch 2 x 1) sh 3x th 3xch 3xch 3x(10) y2ch(x1) [ch(x1)] 2ch(x1) sh(x1) ( x 1)x 1x 1x 1 x 1 x 1sh(2x 1(x 1) (x 1)2sh(2 x 1)(x 1)2( x 1)2 )x 1x 112 求下列函数的导数(1) y e x (x 2 2x 3)(2) y sin 2x sin(x 2) (3) y (arctan x )22(4) yln xx ne t e (5) ye t ett(6) y ln cos 1x(7) y e sin 2 1x(8) y x x(9) yxarcsinx4 x 22(10) y arcsin2t1 t 2解 (1) y e x (x 2 2x 3) e x (2x 2) ex( x 2 4x 5)(2) y2 222sin x cos x sin(x ) sin x cos(x ) 2xsin2x sin(x 2) 2x sin 2x cos(x 2)(3) y 2arctanx1 1 4 arctan x2 1 x 2 2 x 2 4 241 xnln x nxn 11 n ln x(4) yxx 2nx n 1(5) y(e te t )(e t e t ) (e t e t )(e te t )4e 2t(e t e t )2(e 2t 1) 211111 1 1(6) y sec x (cos x ) sec x ( sin x ) ( x 2 ) x 2tanx(7) y esin 21 ( sin 21) e sin 21xxx( 2sin 1) cos1( 1 ) xxx2122 1s i nx 2 s i nexx(8) y1x (x x )2 1 (1 1 ) 2 xxx2 x2 x 1 4 xxx(9) y arcsinxx1 12 1 ( 2x) arcsin x21 x2 2 4 x 2 24-----(10) y1 ( 2t ) 12 (1 t 2) 2t (2t) 1 (2t)2 1 t 21 ( 2t )2 (1 t 2) 21 t21 t21 t22(1 t 2)2(1 t 2)(1 t 2)2 (1 t 2 )2 |1 t 2 |(1 t 2 )习题231 求函数的二阶导数(1) y 2x 2ln x (2) y e2x 1(3) y xcos x (4) y e t sin t (5) y a 2 x 2 (6) y ln(1 x 2)(7) y tan x1(8) yx 3 12(9) y (1 x )arctan x(10) ye xx(11) y x 2xe(12) y ln( x 1 x 2 )解 (1) y 4x1 y4 1xx2(2) y e 2x 12 2e 2x 1y 2e2x 1 2 4e 2x 1(3) y xcos x y cos x xsin xy sin x sin x xcos x2sin x xcos x(4) ye tsin t e tcos t e t(cos t sin t)ye t (cos t sin t) e t ( sin t cos t) 2e t cos t(5) y21x2(a2x2)xx2a2a2a2x2x xa2ya2x2a2 x2(a2 x2 ) a2 x2(6) y11(1x2 )12x x2x2y 2(1x2 )2x (2x)2(1 x2)(1 x2 )2(1x2 )2(7) y sec2 xy2sec x (sec x)2sec x sec x tan x2sec2x tan x(8) y(x31)3x2 (x31) 2(x31)2y 6x ( x31)23x22( x31) 3x6x(2x3 1) (x3 1)4(x31)3(9) y2xarctanx(1x2)112xarctanx1 x2y2a r c t xa n2x1 x2(10)y e x x e x 1e x( x 1)x2x2y [e x( x 1) e x] x2 e x( x 1) 2x e x(x2 2x 2)x4x3(11)y e x 2x e x2(2x)e x2(12x2 )yx22x24xx22 e2x (12x )e2xe(32x )(12)y12( x1x2 )12(12x 2 )12x 1 x x 1 x 2 1 x 1 x y1(1 x2 )12x x1 x2 1 x22 1 x2)(1 x) 2 1 x-----2 设 f(x)(x6(2)?10)f解 f(x) 6(x5f(x)43 10)30(x 10) f (x) 120(x 10)f(2)120(210)32073603若 f (x)存在求下列函数 y 的二阶导数d2ydx2(1)y f(x2)(2)y ln[ f(x)]解 (1)y f(x2) (x2) 2xf(x2)y2f(x2)2x 2xf(x2)2f(x2) 4x2f(x2)(2) y1 f (x)f (x)f(x) f (x) f ( x) f(x)f( x) f (x)[ f ( x)] 2 y[ f ( x)]2[ f ( x)]24试从dx 1导出dy y(1) d 2 x ydy 2( y ) 3(2)d 3x3( y )2y y dy3( y )5解(1) d 2x d dx d1d1dx y1ydy2dy dy dy y dx y dy( y )2y( y )3(2) d3x d y d y dxdy3dy y 3dx y 3dyy ( y )3 y 3( y )2 y13( y )2 y y(y )6y(y )55已知物体的运动规律为s Asin t(A、是常数 )求物体运动的加速度并验证d 2s2 s 0dt 2解dsA cos t dt d2 s A 2 sin t dt 22d s就是物体运动的加速度dt2d2 s 2 s A 2 s i n t2 As i n t 0dt 2C1e x C2e x(6验证函数 y C1 C2是常数 )满足关系式y2y 0解y C1 e x C2 e xy C12e x C22e xy2y (C12e x C22e x)2(C1e x C2e x)(C12e x C22e x) (C12e x C22e x) 0 7验证函数 y e x sin x 满足关系式y2y2y 0解 y e x sin x e x cos x e x(sin x cos x)y e x(sin x cos x)e x(cos x sin x) 2e x cos xyx xcos x)x2y 2y 2e cos x2e (sin x2e sin x 2e x cos x2e x sin x2e x cos x2e x sin x 08求下列函数的 n 阶导数的一般表达式(1) y x n1n 12n 2n 1n 12n 都是常数)a x a x a x a (a a a(2)y sin2x(3)y xln x(4)y xe x解 (1) y nx n 1(n1)a1x n 2 (n2)a2x n 3a n 1y n(n1)x n 21 n 32n 4n 2 (n 1)(n2)a x(n 2)(n 3)a x ay(n) n(n 1)(n 2) 2 1x0 n!(2) y 2sin x cos x sin2xy 2c o 2sx 2s i n2(x)2-----y22 c o s2x()22 s i n2x( 2)22y(4)23 c o s2x(2) 23 s i n2(x 3 )22y(n)2n 1s i n2x[ (n 1)]2(3)y ln x 1y 1 x1xy ( 1)x 2y(4) ( 1)( 2)x 3y(n)(1)( 2)( 3) ( n 2)x n 1( 1)n 2(n 2)!( 1)n (n 2)!x n 1x n 1(4) y e x xe xy e x e x xe x 2e x xe xy 2e x e x xe x 3e x xe xy(n) ne x xe x e x(n x)9求下列函数所指定的阶的导数(1)y e x cos x 求 y(4)(2)y xsh x 求 y(100)(3) y x2sin 2x求y(50) .xv cos x有解 (1)令 u eu u u u(4)e xv sin x v cos x v sin x v(4) cos x所以y(4)u(4) v4u v6u v4u v u v(4)e x[cos x4(sin x)6(cos x)4sin x cos x] 4e x cos x(2)令 u x v sh x则有u 1 u0v ch x v sh x v(99)ch x v(100) sh x所以y(100)u(100)v C1 u(99) v C2u(98) v C 98 u v(98) C99 u v(99)u v(100)100100100100100ch x xsh x(3)令 u x2 v sin 2x则有u2x u 2 u0v(48)248 sin(2x48)248 s i n2x2v(49)249cos 2x v(50)250sin 2x所以y(50)u(50)v C1501u(49) v C502u(48) v C5048u v(48) C5049u v(49) u v(50)C5048u v(48)C5049u v(49) u v(50)50 492 228 sin 2x50 2x 249 c o 2sx x2 (250 s i n2x)250x2sin 2x50xc o 2sx12252 (s i n2x)2习题231求函数的二阶导数(1)y 2x2 ln x(2)y e2x 1(3)y xcos x(4)y e t sin t(5)y a2 x2(6)y ln(1 x2)(7)y tan x1(8) yx3 1(9) y (1 x2)arctan x(10) y e xx-----(11) y xe x2(12) y ln( x1x2 )解 (1) y4x1y41x x2(2) y e2x 1 2 2e2x 1y2e2x 1 2 4e2x 1(3) y xcos x y cos x xsin xy sin x sin x xcos x2sin x xcos x(4) y e t sin t e t cos t e t (cos t sin t)y e t(cos t sin t) e t (sin t cos t)2e t cos t(5) y21x2(a2x2)xx2a2a2a2x2x xx2a2ya2a2 x2(a2 x2 ) a2 x2(6) y11(1x2 )12x x2x2y 2(1x2 )2x (2x)2(1x2)(1 x2 )2(1x2 )2(7) y sec2 xy2sec x (sec x)2sec x sec x tan x2sec2x tan x(8) y(x31)3x2 (x31) 2(x31)2y 6x ( x31)23x22( x31) 3x 6x(2x3 1) (x31)4(x31)3(9) y2xarctanx(1x2)112xarctanx1 x2y2a r c t xa n 2x21 x(10)y e x x e x1 e x( x 1)x2x2y[e x ( x 1) e x ] x 2 e x ( x 1) 2x e x (x 2 2x 2)x4x3(11) ye x 2 x e x 2 (2x) e x 2 (1 2x 2 )yx 22x (1 2x 2x22e 2x ) e4x 2xe (3 2x )(12) y1( x1x 2 ) 1 (1 2x ) 1x 1 x 2x 1 x 22 1 x 21 x 2y1(1 x 2) 12xx1 x21 x 22 1 x 2)(1 x) 21 x2 设 f(x) (x 10)6f (2) ?解 f (x) 6(x 10)5 f (x) 30(x 10)4f (x) 120(x 10)3f(2) 120(2 10)3 2073603 若 f (x)存在 求下列函数(1) y f(x 2)(2) y ln[ f(x)]解 (1)yf(x 2) (x 2) 2xf (x 2) y 2f(x 2) 2x 2xf (x 2) (2) y1 f (x)f (x)f (x) f (x) f( x) f (x) y2[ f ( x)]4 试从dx 1导出dy y(1) d 2xydy 2( y ) 3(2)d 3x 3( y )2 y ydy3( y )5解 (1) d 2xd dxd 1dy2dy dydyyd 2 yy的二阶导数d x 22f (x 2) 4x 2f (x 2)f ( x) f (x) [ f ( x)] 2[ f ( x)]2d1dx y 1y dx y dy( y )2 y( y )3(2) d3x d y d y dxdy3dy y 3dx y 3dyy ( y )3 y 3( y )2 y13( y )2 y y(y )6y(y )55已知物体的运动规律为s Asin t(A、是常数 )求物体运动的加速度并验证d 2s2s 0dt 2解dsA cos t dt d2 s A 2 sin t dt 22d s就是物体运动的加速度dt2d2 s 2 s A 2 s i n t2 As i n t 0dt 2C1e x C2e x(6验证函数 y C1 C2是常数 )满足关系式y2y 0解y C1 e x C2 e xy C12e x C22e xy212e x C22x21x2e x)y (C e ) (C e C(C12e x C22e x) (C12e x C22e x) 0 7验证函数 y e x sin x 满足关系式y2y2y 0解 y e x sin x e x cos x e x(sin x cos x)y e x(sin x cos x)e x(cos x sin x) 2e x cos xyx xcos x)x2y 2y 2e cos x2e (sin x2e sin x 2e x cos x2e x sin x2e x cos x2e x sin x 08求下列函数的 n 阶导数的一般表达式(1) y x n1n 12n 2n 1n 12n 都是常数)a x a x a x a (a a a(2) y sin2x-----(3)y xln x(4)y xe x解 (1) y n 11n 2(n2 n 3n 1nx(n 1)a x2)a x ay n(n1)x n 2 (n1)(n2)a1x n 3(n 2)(n 3)a2x n 4a n 2y(n) n(n 1)(n 2) 2 1x0 n!(2) y2sin x cos x sin2xy2c o 2sx 2s i n2(x)2y22 c o s2x() 22 s i n2x( 2)22y(4) 23 cos(2x2) 23 sin(2x 3 )22(n)n 1y 2 s i n2x[ (n 1)](3)y ln x 1y 1x 1 xy ( 1)x 2y(4) ( 1)( 2)x 3(n)( 1)( 2)( 3)( n 2)x n 1( 1)n 2 (n 2)!( 1)n (n 2)!y x n 1x n 1 (4)y e x xe xy e x e x xe x 2e x xe xy 2e x e x xe x 3e x xe xy(n) ne x xe x e x(n x)9求下列函数所指定的阶的导数(1)y e x cos x 求 y(4)(2)y xsh x 求 y(100)(3)y x2sin 2x 求 y(50) .所以所以xv cos x有解 (1)令 u eu u u u(4)e xv sin x v cos x v sin x v(4)cos xy(4)u(4) v4u v6u v4u v u v(4)e x[cos x4(sin x)6(cos x)4sin x cos x] 4e x cos x(2)令 u x v sh x则有u 1 u0v ch x v sh x(99)ch x(100)sh xv vy(100) u(100) v C1 u(99)v C2u(98)v C 98 u v(98)C99 u v(99)u v(100) 100100100100(3)令 u x2u 2xv(48)100ch x xsh xv sin 2x 则有u 2 u0248 sin(2x 48 )248 s i n2x2v(49)249cos 2x v(50)250sin 2x所以y(50)u(50)v C1501u(49) v C502u(48) v C5048u v(48) C5049u v(49) u v(50) C5048u v(48) C5049u v(49) u v(50)50 492 228 sin 2x50 2x 249 c o 2sx x2 (250 s i n2x)250x 2sin 2x50xc o 2sx1 2 2 52 (2s i n2x)习题241求由下列方程所确定的隐函数 y 的导数dydx(1)y2 2x y 9 0(2)x3 y3 3axy 0(3)xy e x y(4)y 1 xe y解 (1)方程两边求导数得-----2y y 2y 2x y 0于是(y x)y yyyy x(2)方程两边求导数得3x 2 3y 2y 2ay 3axy 0于是(y 2 ax)y ayx 2yay x 2y2ax(3)方程两边求导数得y xy e x y (1 y )于是(x e x y )y e x y ye x yyyx e x y(4)方程两边求导数得y e y xe yy于是(1 xe y )y e yyey1 xey222在点 ( 2a, 2a) 处的切线方程和法线方程2 求曲线 x3y 3a34 4解 方程两边求导数得 2 x31 13 2y 3 y 031于是yx31y3在点 (2a,2a) 处 y 144所求切线方程为y2a ( x2a) 即 x y 2 a442所求法线方程为y2a (x2a) 即 x y 04423 求由下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数d ydx22 2(1) x y 1(2) b 2x 2 a 2y 2 a 2b 2 (3) y tan(x y)(4) y 1 xe y解 (1)方程两边求导数得2x 2yy 0yx yy ( x)y xxy xy y y 2x 21yy 2y 2y 3 y 3(2)方程两边求导数得2b 2 x 2a 2 yy 0yb 2 xa2yy x( b 2 x)b 2 y xy b 2 a 2 y ya2y2a2y 2b 2 a 2 y 2 b 2 x 2b 4a2a 2 y3a 2 y3(3)方程两边求导数得y sec 2(x y) (1 y )2y)1y s e c( x2y) 2y) 11 s e c(xc o s( x2y)21s i n(xc o s(x y)12y)y 2s i n( xy23 y23( 112 )2(1 y 2 )y 5yyy(4)方程两边求导数得yyy e xe y-----yeyeyey1 xe y1 (y 1)2 yye y y (2 y) e y ( y ) e y (3 y) y e 2 y (3 y)(2 y)2(2 y)2(2 y)34 用对数求导法求下列函数的导数(1) y ( x )x1 x (2) y5x 525 x2(3) yx 2(3 x)4( x 1)5(4) y xsin x 1e x解 (1)两边取对数得ln y xln|x| xln|1 x|，两边求导得1 y ln x x 1 l n1( x) x 1y x 1 x 于是y ( x)x[ l nx1 ]1 x 1 x 1x(2)两边取对数得ln y1ln |x 5|1l nx(22)两边求导得5251 y1 1 12x2y5 x 525 x 2于是y 1 5x 5[11 2x ]5 5 x 2 2x 5 5 x 2 2(3)两边取对数得ln y1l nx( 2) 4 l n3( x) 5l n x( 1)2两边求导得1 y 1 3 45y 2(x 2)x x 1于是yx 2(3x)4 [ 12)4 5 ](x 1)52(x x 3 x 1(4)两边取对数得ln y1ln x1ln s i nx1l n1( e x )两边求导得22 41 y1 1 c o xte xy 2x24(1 e x )于是yxs i nx 1 e x[11c o xte x]2x 2 4(1 e x )1 x 22c o tx e x ]4 xs i nx 1 e [ x e x1 dy5求下列参数方程所确定的函数的导数dxx at 2(1)y bt2x (1 sin ) (2)ycos解 (1)dyy t 3bt 2 3b tdxx t 2at 2ady ycos sin(2) dx x 1 sincos6 已知xe tsin t, 求当 t 3 时 dy的值y e tcost. dx解dy y te t cost e t sin t costsin t dxx t e tsin t e tcost sintcostdy 1 3 1 3 当 t 时 2 2 3 2dx 1 3 1 3 32 27 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程(1)x sin t在 t处y cos2t4x3at (2)1 t 2在 t=2 处y 3at 21 t 2解 (1) dyy t2sin 2tdxx tcost-----dy 2sin(2)当 t时42 2 2 x02y0 0 dx4cos2242所求切线方程为y 2 2(x2) 即2 2x y 2 0 2所求法线方程为y1(x 2 )即 2x 4y1222(2) y t 6at (1t2 )3at 2 2t6at(1t 2 )2(1t 2 )2x t 3a(1t 2)3at2t3a3at 2 (1t 2 )2(1t 2)2dy y t6at2tdx x t3a3at 21t 2当 t 2 时dy 2 24x 6a ydx1223050所求切线方程为012a 5y12 a 4(x6a)即 4x 3y 12a 0535所求法线方程为y12 a3(x 6a)即 3x 4y 6a 0545d 2 y8求下列参数方程所确定的函数的二阶导数dx2 x t 2(1)2y 1 t. xacost(2)y bsin t(3)x3e t y2e t(4)x f t (t )设 f(t)存在且不为零y tf t (t) f (t)dy y t1 d 2 y(y x)t1解 (1)t 21 dx x t t dx2x t t t3(2) dy y tbcostbcot tdx x t asin t ab 2 d 2 y (y x )t a csc t b dx 2 x t asin ta 2 sin 3 tdy y t 2e t22t(3) dx x t3e t3ed 2y( y x )t2 2t3 2e4 3tdx 2x t3e te9 (4) dy y t f (t) tf (t) f (t)dx x tf (t)td 2 y ( y x )t 1dx 2x tf (t)9 求下列参数方程所确定的函数的三阶导数(1) x 1 t 2y t t3(2)x ln(1 t 2) y t arctan t解 (1)dy (t t 3)1 3t2dx (1 t 2 )2t1 3t 2d 2y ( 2t )1 ( 1 3) dx 22t4 t 3 t1 1 3d 3y 4 ( t 3t )3(1 t 2)dx 32t8t 5dy (t arctan t)11(2)1 t 21 tdx [ln(1 t 2)]2t 21 t21d 2 y ( 2t) 1 t 2 dx 22t 4t1 t 23d y-----1 t 2d 3 y ( 4t ) t 4 1dx 3 2t 8t 31t 210 落在平静水面上的石头 产生同心波纹 若最外一圈波半径的增大率总是6m/s 问在 2 秒末扰动水面面积的增大率为多少？解 设波的半径为 r 对应圆面积为 S 则 S r 2 两边同时对 t 求导得S t 2 rr当 t 2 时 r 6 2 12 r t 6故 S t t 22 126 144( 米 2 秒)| 其速率为 4m 2/min11 注水入深 8m 上顶直径 8m 的正圆锥形容器中 当水深为 5m 时 其表面上升的速度为多少？解水深为 h 时 水面半径为 r1 h 水面面积为 S 1 h 21hS 1 h 1 h 224水的体积为 Vh 33 34 12dV 12 3h 2dh dh 4 dVdt dt dt h 2 dt已知 h 5(m)， dV 4 (m 3/min) 因此 dh 4 dV 4 4 16(m/min)dtdt h 2 dt252512 溶液自深 18cm 直径 12cm 的正圆锥形漏斗中漏入一直径为 10cm 的圆柱形筒中 开始时漏斗中盛满了溶液 已知当溶液在漏斗中深为 12cm 时 其表面下 降的速率为 1cm/min 问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？解 设在 t 时刻漏斗在的水深为 y 圆柱形筒中水深为 h 于是有1 62 18 1r 2 y 52hy 3y3由 r得 r 代入上式得 6 18 31 62 18 1 ( y ) 2 y 23 3 3 5 h即162 18 1y 3 52 h 两边对 t 3 33求导得1 y2 y 52 h32t当 y 12 时 y t1 代入上式得1 122( 1) 16h t32 52 0.64 (cm/min).25。
高等数学李伟版课后习题答案第二章
习题2—1（A ）1．下列论述是否正确，并对你的回答说明理由：（1）函数的导数是函数的平均变化率在自变量的增量趋于零时的极限； （2）求分段函数(),,()(),x x a f x x x aϕφ<⎧=⎨≥⎩在分界点x a =处的导数时，一般利用左、右导数的定义分别求该点处的左、右导数．如果二者存在且相等，则在这一点处的导数就存在，且等于左、右导数，否则函数在这点不可导；（3） )(x f y =在0x 点可导的充分必要条件是)(x f y =在0x 点的左、右导数都存在； （4）函数)(x f y =在0x 点连续是它在0x 点可导的充分必要条件. 答：（1）正确．根据导数的定义．（2）正确．一般情况下是这样，但是若已知)(x f '连续时，也可以用)()(00--'='x f x f （即导函数的左极限），)()(00++'='x f x f （即导函数的右极限）求左右导数．（3）不正确．应是左、右导数都存在且相等．（4）不正确．)(x f 在0x 点连续仅是)(x f 在0x 可导的必要条件，而不是充分条件，如x y x y ==、3都在0=x 点连续，但是它们在0=x 点都不可导．2．设函数2x x y +=，用导数定义求它在1-=x 点处的导数.解：1lim 10lim)1(121-==+-+=-'-→-→x x x x y x x ．3．设函数y =10=x 点处的导数．解：2111lim11lim)1(11=+=--='→→x x x y x x ．4．用定义求函数x y ln =在任意一点x (0>x )处的导数．解：xxx xxx x y x x x x x x 1e ln ])1ln[(lim ln )ln(lim110==∆+=∆-∆+='∆→∆→∆．5． 对函数x x x f 2)(2-=，分别求出满足下列条件的点0x ： （1）0)(0='x f ； （2）2)(0-='x f ．解：22)22(lim )2()](2)[(lim)(0220-=+-=--+-+='→→x h x hx x h x h x x f h h ，（1）由0)(0='x f ，有0220=-x ，得10=x ； （2）由2)(0-='x f ，有2220-=-x ，得00=x ． 6．已知某物体的运动规律为221gt s =，求时刻t 时物体的运动速度)(t v ，及加速度)(t a ．解：速度为gt h gt hgth t g t s t v h h =+=-+='=→→)2(lim 2/2/)(lim)()(022，加速度为g g hgth t g t v t a h h ==-+='=→→0lim )(lim)()(．7．求曲线x y ln =在点)01(，处的切线方程与法线方程． 解：切线斜率11)1(1=='==x xy k ，切线方程为：)1(10-⋅=-x y ，即01=--y x ； 法线方程为：)1(110--=-x y ，即01=-+y x ．8．若函数)(x f 可导，求下列极限：（1）xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim 000； （2）xx f x )(lim→（其中0)0(=f ）；（3）hh x f h x f h )()(lim000--+→； （4）xx f f x )sin 1()1(lim--→．解：（1）=∆--∆--=∆-∆-→∆→∆xx f x x f xx f x x f x x )()(lim)()(lim000000)(0x f '-．（2）=--=→→0)0()(lim )(lim0x f x f xx f x x )0(f '．（3）hh x f h x f h )()(lim000--+→='+'=---+-+=→→)()()()(lim)()(lim00000000x f x f hx f h x f hx f h x f h h )(20x f '．（4）=⨯'=⋅---=--→→1)1(sin sin )1()sin 1(lim)sin 1()1(limf xx x f x f xx f f x x )1(f '．9．讨论下列函数在指定点的连续性和可导性：（1）3x y =，在0=x 点；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=，，，，0001arctan )(2x x xx x f 在0=x 点； （3）2,1,(),1,x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩ 在1=x 点．解：（1）3x y =是初等函数，且在0=x 的邻域内有定义，因此3x y =在0=x 点连续，因为+∞==--→→32031lim0limxx x x x （极限不存在），所以3x y =在0=x 点不可导．（2）因为21arctanlim 0)/1arctan(lim22π==--→→xx x x x x ，所以⎪⎩⎪⎨⎧=≠=，，，，0001arctan )(2x x xx x f 在0=x 点可导，且2)0(π='f ，从而也连续． （3）因为1)1(1lim )1(1lim )1(211=====+-→+→-f x f x f x x ，，，有)1()(lim 1f x f x =→，所以，2,1,(),1,x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩ 在1=x 点连续，又2)1(lim 11lim )1(111lim)1(1211=+=--='=--='---→→+→-x x x f x x f x x x ，，由)1()1(+-'≠'f f ，所以，2,1,(),1,x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩ 在1=x 点不可导．10．设函数⎩⎨⎧≥<=，，，，1e 1e )(x x x x f x 求(1)f '．解：因为e 1e e lim )1(e 11elim e 1ee lim)1(1111=--='=--=--='---→+-→→-x x f x x f x x x xx ，，所以=')1(f e ．11．设函数⎩⎨⎧≥+<=，，，，0120cos )(x x x x x f 求()f x '．解：当0<x 时，x x x f sin )(cos )(-='='，当0>x 时，22lim )12(1)(2lim)12()(0==+-++='+='→→h h hx h x x x f ，当0=x 时，由20112lim )0(001cos lim)0(0_=--+='=--='+→+→-x x f x x f x x ，，于是函数在0=x 点不可导，所以⎩⎨⎧><-='.020sin )(x x x x f ，，，习题2—1（B ）1．有一非均匀细杆A B 长为20 cm ，M 为A B 上一点，又知A M 的质量与从A 点到点M 的距离平方成正比，当A M 为2 cm 时质量为8 g ，求： (1) A M 为2 cm 时，这段杆的平均线密度； （2）全杆的平均线密度； （3）求点M 处的密度．解：设x AM = cm ，则AM 杆的质量为2)(kx x m = g ，由2=AM 时,8=m ，得2=k ，所以，22)(x x m =，x h x hxh x x m h h 4)24(lim 2)(2lim)(022=+=-+='→→ g/cm ．（1）A M 为2 cm 时，这段杆的平均线密度为==282)2(m 4 g/cm ．（2）全杆的平均线密度为==2080020)20(m 40 g/cm ．（3）点M 处的密度为=')(x m x 4 g/cm ．2．求b a ，的值，使函数⎩⎨⎧≥+<=00e )(x b ax x x f x ，，， 在0=x 点可导． 解：首先函数)(x f 要在0=x 点连续．而1e lim )0(0==-→-x x f ，b b ax f x =+=+→+)(lim )0(0，b f =)0(，由)0()0()0(f f f ==+-，得1=b ，此时1)0(=f ．又11e lim)0(0=-='-→-xf xx ，a xax f x =-+='+→+11lim )0(0，由)0()0(+-'='f f 得1=a ．所以，当11==b a ，时，函数⎩⎨⎧≥+<=00e )(x b ax x x f x ，，， 在0=x 点可导．3．讨论函数x y tan =在0=x 点的可导性．解：1tan lim 0tan lim)0(0-=-=-='--→→-xx xx f x x ，1tan lim 0tan lim )0(0==-='++→→+xx xx f x x因为)0()0(+-'≠'f f ，所以函数x y tan =在0=x 点不可导．4．若函数)(x f 可导，且)(x f 为偶（奇）函数，证明()f x '为奇（偶）函数． 证明：（1）若)(x f 是偶函数，有)()(x f x f =-， 因为)()()(lim)()(lim)(00x f hx f h x f hx f h x f x f h h '-=----=--+-=-'→→，所以)(x f '是奇函数．（2）若)(x f 是奇函数，有)()(x f x f -=-， 因为)()()(lim)()(lim)(00x f hx f h x f hx f h x f x f h h '=---=--+-=-'→→，所以)(x f '是偶函数．5．设非零函数)(x f 在区间)(∞+-∞，内有定义，在0=x 点可导，)0()0(≠='a a f ，且对任何实数y x ，，恒有)()()(y f x f y x f =+.证明)()(x af x f ='．证明：由)()()(y f x f y x f =+，令0==y x ，有)0()0(2f f =，而0)(≠x f ，得1)0(=f ． 因为hx f h f x f hx f h x f h h )()()(lim)()(lim0-=-+→→)()0()()0()(lim)(1)(lim)(0x af f x f hf h f x f hh f x f h h ='=-=-=→→，所以函数)(x f 可导，且)()(x af x f ='． 6．求曲线xx y 1+=上的水平切线方程．解：hx x h x h x hx y h x y x y h h )/1()]/(1[lim)()(lim)(00+-+++=-+='→→211])(11[lim xh x x h -=+-+=→，由0)(='x y ，得±=x ，当1=x 时，2=y ，此时水平切线是)1(02-=-x y ，即2=y ； 当1-=x 时，2-=y ，此时水平切线是)1(02-=+x y ，即2-=y ．7．在抛物线21x y -=上求与直线0=-y x 平行的切线方程． 解：对21x y -=，导函数为：x h x hx h x hx y h x y x y h h h 2)2(lim )1(])(1[lim)()(lim)(0220-=+-=--+-=-+='→→→，设切点为)1(2t t -，，则切线斜率为t t y k 2)(-='=，而直线斜率为11=k ， 根据已知，有1k k =，即12=-t ，得2/1-=t ，切点为)4/32/1(，-， 切线方程为：)21(143+⋅=-x y ，即0544=+-y x ．8．已知曲线2ax y =与曲线x y ln =相切，求公切线方程．解：设切点为),(00y x ，则两曲线在切点处的斜率分别为012ax k =，02/1x k =.由两曲线在0x x =时相切，有⎩⎨⎧==./12ln 00,020x ax x ax 得21ln 0=x ，即e 0=x ，此时，e21=a ，210=y ，公切线斜率为e1=k ，公切线方程为)e (e121-=-x y ，化简得021e1=+-x y .习题2—2（A ）1．下列论述是否正确，并对你的回答说明理由：（1）在自变量的增量比较小时，函数的微分可以近似刻画函数的增量，但是二者是不会相等的；（2）函数)(x f y =在一点x 处的微分x x f x f ∆'=)()(d 仅与函数在这点处的导数有关； （3）函数在一点可微与在这点可导是等价的，在一点可微的函数在这点必然连续，但反过来不成立，即在一点连续的函数在这点未必可微．答：（1）前者正确，根据微分的定义y x o y y d )(d ≈∆+=∆；后者不正确，如对线性函数b ax y +=，恒有)(d x a y y ∆==∆．（2）不正确．因为x x f x f x x ∆'==)()(d 00，可见0)(d x x x f =不仅与)(0x f '有关，还与自变量x 在该点的增量x ∆有关．（3）正确．这就是本章定理2.1与定理1.2所述． 2．求下列函数在x 点处的微分y d ：（1）x y ln =； （2）3x y =（0≠x ）； （3）xy 1=（0≠x ）； （4）22x x y +=．解：（1）因为xy 1='，所以xx y d d =．（2）因为322233203331)()(1limlim)(xxh x x h x hxh x x y h h ⋅=++++=-+='→→，所以，323d d xxy ⋅=．（3）因为xx hx x xxhx h hx x hxh x x y h h h 211lim1lim/1/1lim)(02-=++-=++-=-+='→→→，所以，xx x y 2d d -=．（4）因为)1(2)22(lim )2(])()(2[lim)(0220x h x hx x h x h x x y h h +=++=+-+++='→→，所以x x y d )1(2d +=．3．求下列函数在0x x =点处的微分0d x x y =：（1） x y cos =，20π=x ； （2）xx y 1+=，10=x ．解：（1）因为x y sin -='，所以x x xyx x d d sin d 2/2/-=⋅-===ππ．（2）因为211xy -='，所以0d 0d ]11[d 121=⋅=⋅-===x x xyx x ．4．设函数y =10=x ，1.0=∆x 时函数的微分y d ．解：因为xxh x h xh x y h h 211limlim=++=-+='→→，所以05.02d 1.011.01=∆==∆==∆=x x x x xx y．5．用函数的局部线性化计算下列数值的近似值：（1）0330sin ' ； （2）05.1； （3）002.1ln ．解：（1）取6/30360/610330sin )(0ππ==='== x x x x f ，，，x x f cos )(='， 由)())(()(000x f x x x f x f +-'≈，得5076.05000.00076.0217203213606cos0330sin =+≈+=+⋅≈'πππ．（2）取105.1)(0===x x x x f ，，，x x f 2/1)(='，由)())(()(000x f x x x f x f +-'≈，得025.1105.02105.1=+⨯≈．（3）取)1ln()(x x f +=，当1<<x 时，先证明x x ≈+)1ln(， 事实上，取00=x ，则0)0()(0==f x f 10)1ln(lim)0()(00=--+='='→x x f x f x ，由)())(()(000x f x x x f x f +-'≈，得x x x =+-⋅≈+0)0(1)1ln(， 利用x x ≈+)1ln(，得002.0)002.01ln(002.1ln ≈+=． 6．讨论下列函数在0=x 点的可微性： （1）32)(x x f =； （2）x x x f =)(； （3）⎩⎨⎧≥<=.0sin 0)(3x x x x x f ，，， 解：（1）因为∞==--→→30321limlimxx xx x ，则32)(x x f =在0=x 点不可导，所以32)(x x f =在0=x 不可微．（2）因为0lim 00lim==--→→x x x x x x ，则x x x f =)(在0=x 点可导，所以x x x f =)(在0=x 点可微．（3）因为100sin lim )0(00lim)0(03=--='=--='+-→+→-x x f x x f x x ，，)0()0(+-'≠'f f ，得⎩⎨⎧≥<=0sin 0)(3x x x x x f ，，，在0=x 点不可导，所以在0=x 点也不可微． 习题2—2（B ）1．已知单摆的振动周期gl T π2=，其中980=g cm/s 2是重力加速度，l 是摆长（单位：cm ）．设原摆长为20 cm ，为使周期T 增加0.05 s ，问摆长大约需要增加多少？ 解：02244.020201lim220/202/2limd d 202020≈=+=--=→→=gl gl gg l lT l l l ππππ由l T T ∆'≈∆)20(，得23.202244.005.0)20(≈≈'∆≈∆T T l ，即为使周期T 增加0.05 s ，摆长大约需要加长2.23 cm ．2．用卡尺测量圆钢的直径D ，如果测得03.60=D mm ，且产生的误差可能为0.05 mm ，求根据这样的结果所计算出来的圆钢截面积可能产生的误差的大小． 解：设圆钢的截面积为4/)(2D D A A π==，2)2(lim 44/]4/)([lim)(022D h D hD h D D A h h ππππ=+=-+='→→；2/)(D D D D A A ∆⋅=∆'≈∆π，当05.003.60≤∆=D D ，时，715.42/04.003.601416.3≈⨯⨯≤∆A mm 2， 所以绝对误差大约为4.715 mm 2；0017.003.6005.0224/2/2≈⨯≤∆⋅=∆⋅≈∆DD D D D AA ππ，所以相对误差大约为0.17%．3．若函数)(x f 在0=x 点连续，且1)(lim 0=→xx f x ，求0d =x y．解：由1)(lim=→xx f x ，及分母极限0lim 0=→x x ，得分子极限0)(lim 0=→x f x ；又因为函数)(x f 在0=x 点连续，所以=)0(f 0)(lim 0=→x f x ，1)(lim)0()(lim)0(0==--='→→xx f x f x f f x x ，x x f yx d d )0(d 0='==．4．设函数()f x 在点0x 可微，且2)(0='x f ，求极限yy x d lim 0∆→∆．解：由已知，有x y ∆=2d ，所以101]2)(1[lim d )(d limd lim 0=+=∆∆+=∆+=∆→∆→∆→∆xx o yx o y yy x x x ．习题2—3（A ）1．下列叙述是否正确？并根据你的回答说出理由：（1）求复合函数的导数时要根据复合函数的关系，由“外”到“里”分别对各层函数求导，再把它们相乘；（2）求任意函数的微分首先要求出该函数的导数，然后将该导数乘以自变量的微分． 答：（1）正确．这就是复合函数求导定理推广到多重复合的情形，通常称为复合函数的“链式求导法则”，又形象地俗称为“扒皮法”，要注意不能漏项．（2）不一定．还可以用微分法则及一阶微分形式不变性求函数的微分． 2．求下列函数的导数：（1）3232++=xx y ； （2）)1(2xx x y +=；（3）32(1)x y x-=； （4）ln y x x =；（5）xx x y xsin tan 2-+=； （6）cos 1cos x y x=+．解：（1）)3()1(2)(32'+'+'='xx y xx x xx x 12012-=+-=．（2）252123232323)()(---='+'='x x x x y )11(233xx -=．（3）132)33(2312-+-='-+-='--xxx xxy ．（4）1ln /ln )(ln ln +=+='+'='x x x x x x x x y ． （5）2sin )(sin )(tan )2(xxx x x x y x'-'-'+'=22sin cos sec2ln 2xxx x x x --+=．（6）22)cos 1(sin )cos 1()cos 1(cos )cos 1()(cos x x x x x x x y +-=+'+-+'='．3．求下列函数在指定点的导数或微分：（1）x x x f cos sin )(-=，求()3f π'与()2f π'；（2）3523xxy +-=，求0d =x y与2d =x y．解：（1）x x x f sin cos )(+='，()3f π'2313sin3cos+=+=ππ， ()2f π'12sin2cos=+=ππ．（2）22223)5(2)5()1(2)3()52(x x x x xxy +-=+--⨯-='+'-=，因为938492)2(252)0(=+='='y y ，，所以==0d x yx d 252，==2d x yx d 938．4．求下列函数的导数：（1）7(2)y x =-； （2）cos(32)y x =+； （3）x y arctan e =； （4）x y -=1tan；（5）x y 2e arcsin =； （6）1arccos y x=；（7）y = （8）21sinx y +=；（9）)2ln 1(cos 2x y +=； （10）ln(y x =+． 解：（1）66)2(7)2()2(7x x x y --='--='． （2）)23sin(3)23)(23sin(+-='++-='x x x y ．（3）2arctan arctan 1e)(arctan exx y xx+='='．（4）xxx xxx x y ---='---='--='121sec)1(121sec)1(1sec222．（5）xx xxxxx y 4242222e 1e2e 1)2(e )e (1)e (-=-'=-'='．（6）111)/1(1)/1(2222-=-⋅=-'-='x xx x x x x y ．（7）xx x x x x xx y 2222sin1cos sin sin12)(sin sin 2sin 12)(sin+=+'=+'='．（8）22222221cos 11cos 12)()1(1cos xxx x xx x x y ++=++'='++='．（9）)2ln 1)(2ln 1sin()2ln 1cos(2])2ln 1)[cos(2ln 1cos(2'+++-='++='x x x x x yxx xx x )2ln 22sin(]2)2(0)[2ln 22sin(+-='++-=．（10）xxx x xxx xx x x y ++=++=+'+='21)11(212)2(．5．求下列函数的微分y d ：（1）3ln 33++=x x y ； （2）x x y 2sin 2=； （3）2ln (1)y x =+； （4）)1(sec 2x y -=； （5）21xx y -=； （6）2tan(12)y x =+；（7）21arctanx y +=； （8）xy 2sin 2-=．解：（1）x x x x x x x y x x x ln3)d 33(d 0d 3ln 3d 3)3(ln d )3(d )(d d 223+=⋅++=++=． （2）x x x x x x x x x x x x x x x y d )2cos 2(sin 2d 2cos 2d 2sin 2)2(sin d )(d 2sin d 222+=+=+=． （3）x xx x xx x x y d 1)1ln(2)d(11)1ln(2)]1[ln(d )1ln(2d ++=+++=++=．（4）)d(1)1tan()1(sec 2)1sec(d )1sec(2d 2x x x x x y ---=--=x x x d )1tan()1(sec 22---=．（5）因为2/32222)1(11)1/(11x xx x x xy -=-----⋅='，所以，2/32)1(d d x x y -=．（6）因为)21(sec 44)21(sec 2222x x x x y +=⋅+='，所以x x x y d )2(1sec 4d 22+=． （7）因为222221)2(122)1(11xx xxx x y ++=+⋅++='，所以221)2(d d xx x x y ++=．（8）因为xxx x y 22sin2sin22sin 2ln )sin(2ln 2--⋅⋅-='-⋅='，所以x x y xd 22sin 2ln d 2sin-⋅⋅-=．6．在括号内填入适当的函数，使下列等式成立：（1）d( )2=d x ； （2）d( )21x=+d x ；（3）d( )2sin 2x =d x ； （4）d( )=x ；（5）d( )nx =d x （1-≠n ）； （6）d( )211x+=d x ．解：（1）因为2)2(='+C x ，所以x C x d 2)2(d =+． （2）因为xC x +='++12)1ln 2(，所以d(C x ++1ln 2)21x=+d x ．（3）x C x 2sin 2)sin2(2='+，所以d(C x +2sin 2)2sin 2x =d x ，或因为x C x 2sin 2)2cos (='+-，所以d(C x +-2cos )2sin 2x =d x ．（4）因为xC x 21)(='+，所以d(C x +)=x ．（5）因为nn x C n x='+++)1(1，所以d(C n xn +++11)nx =d x （1-≠n ）． （6）因为211)(arctan xC x +='+，所以d(C x +arctan )211x+=d x ．习题2—3（B ）1．如图所示的,,A B C 三个圆柱型零件．当圆柱A 转过x 圈时，B 转过u 圈，从而带动C 转过y 圈．通过计算周长知道,32u y u x ==，因此3d d 21d d ==x uuy ，，求xy d d ．解：23321d d d d d d =⨯==xu u y xy ．2．求下列函数的导数：（1）x x y xsin e =； （2）x y ln ln ln =； （3）)ln(22x a x y ++=； （4）)cot ln(csc x x y -=；（5）xx y -+=11ln； （6）ax ax a x y arcsin22222+-=；（7）xx y +-=11arcsin； （8）x x x x y 12)2(+=．解：（1）)cos sin (sin e )(sin e sin )e (sin e x x x x x x x x x x x y xx x x ++='+'+'='．（2）xx x xx x xx x xx y ln ln ln 1ln ln ln 1ln ln ln )(ln ln ln )ln (ln ⋅⋅=⋅⋅=⋅'='='．（3）2222222222/1)(xa xa x x a x xa x x a x y +=++++=++'++='．（4）x x x xx x xx x x y csc cot csc csc cot csc cot csc )cot (csc 2=-+-=-'-='．（5）xx x x x x x x y )1(1)1(21)1(21])1[ln(])1[ln(-=-++='--'+='．（6）2222222)/(1/1222a x aaxa xx a y -+---='2222222222222222222xa x a x a xa ax a xx a -=-+-=-+---=．（7）)1(2)1(1)1()1()1(112111112x x x x x x xx xx y -+-=+--+-+-+--='．（8）因为xx x x x x x x y 2ln ln 212ee )2(+=+=，所以x xxxxx x xxxx xxx y 12222ln ln 2)2(2ln 1)2ln 2(2ln 1e)2ln 2(e-++=-++='．3．若函数)(x f 可微，求下列函数的导数：（1）)(2x f y =； （2）)(2x f y =； （3）)]([x f f y =； （4）]e1ln[)(x f y +=．解：（1）)(2))((222x f x x x f y '=''='．（2）)()(2])()[(2x f x f x f x f y '='='．（3）)()]([])()][([x f x f f x f x f f y ''=''='．（4）)()()()()()(e1)(ee1])([ee1]e 1[x f x f x f x f x f x f x f x f y +'=+'=+'+='．4．设可导函数)(x f 满足方程xxf x f 3)1(2)(=+，求)(x f '．解：（方法1）等式两边对x 求导，有223)1)(1(2)(xxxf x f -=-'+'，用x1替换上式中的x ，有223)(2)1(x x f x xf -='-'，从而得212)(xx f +='．（方法2）用x1替换题中等式里的x ，有x x f xf 3)(2)1(=+，由此得xx x f 12)(-=， 所以，212)(xx f +='．5．设]1)([2x x g f y -=，其中)()(u g u f ，可微，求y d ． 解：x xx g f xx g x g xx g xx g f y d ]1)([]1)()(2[]1)([d ]1)([d 2222-'+'=--'=.6．试写出垂直与直线0162=+-y x 且与曲线5323-+=x x y 相切的直线方程． 解：x x x y 63)(2+='，设切点的横坐标为t x =，则切线斜率t t t y k 63)(2+='=， 而直线0162=+-y x 的斜率3/11=k ，由已知11-=kk ，有122-=+t t ，得1-=t ，切点为)31(--，，切线斜率为3-=k ， 于是，所求切线方程为)1(33+-=+x y ，即063=++y x ．习题2—4（A ）1．下列论述是否正确？并根据你的回答说出理由：（1）如果()y f x =的导数()f x '大于零，那么()y f x =的二阶导数也一定大于零； （2）变速直线运动的加速度大于零，该变速运动一定是加速运动． 答：（1）不正确．如x x f ln )(=（0>x ），01)(>='xx f ，但是01)(2<-=''xx f ．（2）正确．由0)()(>='t a t v ，有速度的变化率是正的，即运动是加速运动． 2．求下列函数的二阶导数：（1）22ln y x x =+； （2）34x y x+=；（3）x y arctan =； （4）)21sin(x y -=； （5）x x y arcsin 12-=； （6）x y xcos e =；（7）y =； （8）2ln(1)y x =+；（9）)1ln(2-+=x x y ； （10）x x y sh =．解：（1）xx y 22+='，222xy -=''．（2）121242--++=x xx y ，22342----='xxx y ，328232xxx y +⋅+=''．（3）211xy +='，22)1(2x x y +-=''．（4）)21cos(2x y --='，)21sin(4x y --=''．（5）1arcsin 12+--='x xx y ，22/3222222221)1(arcsin 111arcsin )1(1/1xx x x xxx x x xx xy ----=-⋅----+--=''．（6）)sin (cos e x x y x -='，x x x x x y x x sin e 2)cos sin sin (cos e -=---=''． （7）32-='x x y ，2/322222)3(333/3--=----=''x x x x x y ．（8）212xx y +='，222222)1()1(2)1(22)1(2x x x xx x y +-=+⋅-+=''．（9）1111/1222-=-+-+='x x x x x y ，2/32212)1(])1[(--='-=''-x x x y ．（10）x x x y ch sh +='，x x x x x x x y sh ch 2sh ch ch +=++=''．3．设函数24()32f x x x x =+++，求)0(f '''及)0()4(f．解：3441)(x x x f ++='，2124)(x x f +=''，x x f 24)(='''，24)()4(=x f，024)0(0=='''=x xf ；2424)0(0)4(===x f．4．计算下列各题：（1）12e)(+=x x f ，求)()5(x f；（2）(1)ln y x x =+，求33d d xy ；（3）x y sin ln =，求y '''．解：（1）12e 2)(+='x x f ，12e 4)(+=''x x f ，12e 8)(+='''x x f ，12)4(e16)(+=x x f，12)5(e32)(+=x x f． （2）xx xy 11ln d d ++=，22211d d xxxy -=，33233221d d xx xxxy -=+-=．（3）x xx y cot sin cos =='，x y 2csc-=''，x x x x x y cot csc 2)cot csc (csc 22⋅=-⋅-='''．5．验证函数x x C C y λλ-+=e e 21（其中21,C C 为任何常数）满足关系式（微分方程） 20y y λ''-=．证明：因为x x C C y λλλλ--+='e )(e 21，y C C y x x 22221e )(e λλλλλ=-+=''-，所以20y y λ''-=． 6．验证函数x y x sin e =满足关系式220y y y '''-+=． 证明：因为x x y x x cos e sin e +='，x x x x x y xxxxxcos e 2sin e cos e cos e sin e =-+++=''，所以0sin e 2)cos e sin e (2cos e 222=++-=+'-''x x x x y y y x x x x习题2—4（B ）1．挂在弹簧上的一个重物，从静止位置往下拉长5 cm ，并松开使其上下振动．记松开时的时刻为0=t ，在时刻t 时物体的位置为t s cos 5=．求时刻t 时物体的速度和加速度． 解：物体的速度t ts t v sin 5d d )(-==；物体的加速度t tv ts t a cos 5d d d d )(22-===．2．设函数2arcsin442x xx y --=，求y ''．解：2244/14/144224xx x x x xx x y --=----=',2/32222)4(244/)2(4x x x xx xx x x xx y --=------=''．3．设函数x y arcsin =，求)0()10(y．解：由x y arcsin =是奇函数，则)(x y '是偶函数，)(x y ''是奇函数，)(x y '''是偶函数， 以此类推)()10(x y是奇函数，根据初等函数导数的性质，)()10(x y在0=x 点有定义，所以0)0()10(=y ．4．求下列函数的n （3≥n ）阶导数：（1）x x y e =； （2）x x y cos 2=； （3）x x y ln 2=；（4）0111a x a x a x a y n n n n ++++=-- （其中),,2,1(n i a i =为常数，0≠n a ）． 解：（1）（方法1）)1(e e e +=+='x x y x x x ，)2(e e )1(e +=++=''x x y x x x ，)3(e e)2(e +=++='''x x y xxx，以此类推)(e )(n x y x n +=．（方法2）)(e )e ()e ()e ()()1()()()(0)(n x x n x x Cyxn x n x k n x k nk k nn +='+==--=∑．（2）)()(20)()(cos )(k n k nk k nn x x Cy-=∑=)2(2)1(2)(2)(c o s )(2)1()(c o s )()(c o s--''-+'+=n n n x x n n x x n x x)()(2)c o s )(1()(sin 2)2cos(n n x n n x nx n x x --+++=π)2sin(2)2cos()(22ππn x nx n x n n x ++++-=．（3）（方法1）)()(2)()(ln )(k n k nk knn x x Cy-=∑=)2(2)1(2)(2)(ln )(2)1()(ln )()(ln --''-+'+=n n n x x n n x x n x x231212)!3()1)(1()!2()1(2)!1()1(--------+--+--⋅=n n n n nn xn n n xn nx xn x21)!3()1(2----=n n xn ．（方法2）x x x y +='ln 2，3ln 2+=''x y ，2123)2()2()()3()1(2)3()1(2)3ln 2()(--------=--=+=''=n n n n n n n xn xn x y y．（4）)(0)(1)(11)()()()()()(n n n n n n n n n a x a xa x a y++++=--!000!n a n a n n =++++= ．5．若函数)(x f 满足(sin )cos 2csc f x x x '=+，求)(x f ''． 解：由xx x x x f sin 1sin21csc 2cos )(sin 2+-=+='，有xx x f 121)(2+-='，所以2214)121()(xx xx x f --='+-=''．6．若函数()y f x =存在二阶导数，分别求)(2x f y =及2()y f x =的二阶导数． 解：对)(2x f y =，)()(2x f x f y '='，=''y )()(2)]([2])()(2[2x f x f x f x f x f ''+'=''；对2()y f x =，)(22x f x y '='，=''y ])(2[2''x f x )(4)(2222x f x x f ''+'=． 7．若函数)(x f 有任意阶导数，且)()(2x f x f ='，证明)(!)(1)(x fn x f n n +=．证明：用数学归纳法进行证明， 当1=n 时显然成立， 设k n =时成立，即)(!)(1)(x fk x fk k +=，当1+=k n 时，等式)(!)(1)(x fk x fk k +=两边同时对x 求导，得)()!1()()()!1()()()1(!)(22)1(x fk x f x f k x f x f k k x fk k k k +++=+='+=，即对1+=k n ，式子)(!)(1)(x fn x f n n +=，所以根据数学归纳法原理，对任何正整数n 都有)(!)(1)(x fn x fn n +=．习题2—5（A ）1．判断下列论述是否正确，并说明理由：（1）求由方程(,)0F x y =所确定的隐函数)(x y y =的导数时，所得到的()y x '是x 的一元函数，若再求)(x y y =的二阶导数，直接对x 的函数()y x '求导即得；（2）求由参数方程(),()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩所确定的函数的导数时，在()0t ϕ'≠的条件下，若再求22d d x y，只需将所求得的xy d d 对t 再继续求导数即可；（3）在知道两个变量,x y 中的一个对第三个变量t 的变化率，求另一个变量对t 的变化率时，应首先求出两个变量,x y 之间满足的解析式（假设这样的解析式存在），从而得到,x y 对变量t 的变化率之间的关系．答：（1）不正确．在)(x y '的表达式中不仅含有变量x ，还含有函数)(x y ，在用求导法则求)(''=''y y 时，凡是遇到含有y 的项，都要将其视为x 的函数，按复合函数进行求导．（2）不正确．xy d d 要先对t 求导，再乘以t 对x 的导数（或除以x 对t 的导数）．这是因为)(/))()((d d d d ))()((d d ))()((d d )d d (d dd d 22t t t t x t t t t t t x xyx xy ϕϕψϕψϕψ''=⋅''='==．（3）正确．如果变量y x ，有函数关系)(x f y =，两边同时对t 求导，有tx x f ty d d )(d d '=，这就是y 对t 的变化率ty d d 与x 对t 的变化率tx d d 之间的关系．2．设函数)(x y y =由下列方程确定，求xy d d ：（1）012=++xy y ； （2）3330x y xy +-=； （3）y x xy +=e ； （4）x y y e 2ln -=． 解：（1）方程012=++xy y 两边同时对x 求导，有0d d d d 2=++⋅xy xy xy y ，解得xy y xy +-=2d d ．（2）方程3330x y xy +-=两边同时对x 求导，有0d d 33d d 3322=--+xy x y xy yx ，解得22d d yx x y xy ---=．（3）方程yx xy +=e 两边同时对x 求导，有)d d 1()d d 1(ed d xy xy xy xy x y yx +=+=++，解得)1()1(d d ---=y x x y xy ．（4）方程xy y e 2ln -=两边同时对x 求导，有xxy xy xy y e d d ed d 1--=，解得xx y y xy e1ed d 2+-=．3．求曲线yx y e 1-=上对应于0=x 点处的切线方程．解：将0=x 代入方程y x y e 1-=，得1=y ，切点坐标为)10(，，方程y x y e 1-=两边同时对x 求导，有y x y y y '--='e e ，用0=x ，1=y 代入，得1)0(-='y ，即切线斜率为1-=k ，切线方程为)0(11--=-x y ，即01=-+y x ．4．求星形线3/23/23/2a y x =+在点)42,42(a a 处的切线方程与法线方程． 解：方程3/23/23/2a y x =+两边同时对x 求导，有032323/13/1='+--y yx，用a y a x 42,42==，得1)42(-='a y ，即切线斜率1-=k ，切线方程为)42(142a x a y -⋅-=-，即022=-+a y x ；法线方程为)42(142a x a y -⋅=-，即0=-y x ．5．设函数)(x y y =由下列方程确定，求22d d xy ：（1）y y x 222=+； （2）y x y e 1+=． 解：（1）方程y y x 222=+两边同时对x 求导，有xy xy yx d d 2d d 22=+，得yx xy -=1d d ，所以3322222)1(1)1()1()1()(1)1(d d y y x y y y x y yx xy x -=-+-=-'---='-=．（2）方程yx y e 1+=两边同时对x 求导，有xy y xy x xy yyyd d )1(ed d eed d -+=+=，得yxy y-=2ed d ，所以32222)2()3(e)2()(e )2(e d d y y y y y y xy yyy--=-'---'=．6．用对数求导法求下列函数的导数xy d d ：（1）x x y 1)1(+=； （2）xxy x-=1；（3）xxy xsin e12+=； （4）0=-xyy x ．解：（1）将x x y 1)1(+=两边取对数，有xx y )1ln(ln +=，两边再同时对x 求导，有)1()1l n ()1()1l n ()1/(22x x x x x xx x x yy +++-=+-+='，所以)1()1ln()1()1()1()1ln()1(d d 212x x x x x x x x x x x y xy x +++-⋅+=+++-⋅=．（2）将xxy x-=1两边取对数，有)1ln(ln ln x x x y --=，两边再同时对x 求导，有)]ln 1)(1(1[11111ln x x xxx yy +-+-=---+='，所以)]ln 1)(1(1[)1()]ln 1)(1(1[)1(d d 2x x x xx x x y xy x+-+-=+-+-=．（3）将xxy xsin e12+=两边取对数，有x x x y sin ln )1ln(21ln 2--+=，两边再同时对x求导，有x x x yy cot 2)1(21--+='，所以=xy d d )cot 2411(sin 2e1]cot 2)1(21[2x x xx xx x x y x--++=--+．（4）将xyy x=两边取对数，有y x x y ln ln =，两边再同时对x 求微分，有yy x x y xx y y x d d ln d d ln +=+⋅，即y x x y xy x y y x xy d d ln d d ln 22+=+⋅，解得22ln ln d d xx xy y y xy xy --=，或写作)1(ln )1(ln d d 22--=y x x y xy ．7．求由下列参数方程所确定的函数)(x y y =的导数xy d d ：（1）⎩⎨⎧-==；，3212/t y t x （2）⎩⎨⎧--=++=；，t y t x 1111 （3）⎩⎨⎧==；t y t x tt cos e ,sin e （4）⎩⎨⎧-=+=.arctan )1ln(2t t y t x ，。
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第二章 导数与微分1. ()().1,102-'=f x x f 试按定义求设200200(1)(1)10(1)10'(1)lim lim1020lim lim (1020)20x x x x f x f x f x xx x x x∆→∆→∆→∆→-+∆--∆---==∆∆∆-∆==∆-=-∆2. 下列各题中均假定()0x f '存在，按导数定义观察下列极限，指出此极限表示什么, 并将答案填在括号内。
⑴ ()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim（0'()f x -）； ⑵ ()=→∆xx f x 0lim （'(0)f ）， 其中()()存在；且0,00f f '= ⑶ ()()=--+→hh x f h x f h 000lim（02'()f x ）.3. 求下列函数的导数：⑴ ='=y x y ,4则34x ⑵ ='=y x y ,32则1323x -⑶ ='=y xy ,1则3212x -- ⑷ ='=y x x y ,53则115165x 4． 求曲线. 21,3 cos 程处的切线方程和法线方上点⎪⎭⎫⎝⎛=πx y'sin ,'()3y x y π=-=所以切线方程为1)23y x π-=-2(1)0y +-=法线方程为1)23y x π-=-化简得3)0x π+-+= 5. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001sin 2x x xx y 在0=x 处的连续性和可导性. 20(0)01lim sin 0(0)()x f x f x→===因为有界量乘以无穷小 所以函数在0x =处连续因为 20001sin(0)(0)1lim limlim sin 0x x x x f x f x x xx x∆→∆→∆→∆+∆-==∆=∆∆∆所以函数在0x =处可导.6. 已知()()()()是否存在？又及求 0 ,0 0 ,0 2f f f x x x x x f '''⎩⎨⎧<-≥=-+ 2'00(0)(0)(0)lim lim 0h h f h f h f h h+→+→++-==='00(0)(0)(0)limlim 1h h f h f hf h h-→-→++--===- ''(0)(0)f f +-≠Q '(0)f ∴不存在7. ()(). , 0sin x f x x x x x f '⎩⎨⎧≥<=求已知 当0x <时, '()(sin )'cos f x x x ==; 当0x >时, '()()'1f x x ==;当0x =时'00(0)(0)(0)limlim 1h h f h f hf hh +→→+-===＋＋ '00(0)(0)sin (0)limlim 1h h f h f h f h h-→-→+-===－ '(0)1f ∴=综上，cos ,0'()1,0x x f x x <⎧=⎨≥⎩8. 求下列函数的导数：（1）;54323-+-=x x x y （2）;1227445+-+=x xx y 2222222232242222csc cot (1)2csc 2'(1)2(1)csc cot 4csc (1)23(3)(3ln )(2ln )(2)'(3ln )(94)ln 32(3ln )x x x x xy x x x x x x x x x x x x x xx y x x x x x x x x x x -+-=+-+-=+++-++=+-+-+=+g g 2'364y x x =-+652'20282y x x x ---=--+（3）;3253xxe x y +-= （4）;1sec tan 2-+=x x y2'152ln 23x x y x e =-+ 2'2sec sec tan y x x x =+（5）;log 3lg 2ln 2x x x y +-= （6）()();7432x x y -+=123'ln10ln 2y x x x =-+'422y x =--（7）;ln x xy =（8）;cos ln 2x x x y = 21ln 'x xx y x-= 221'2ln cos cos ln sin y x x x x x x x x x =+- 21ln x x-= 22ln cos cos ln sin x x x x x x x x =+- （9）;1csc 22xxy +=2222csc cot (1)2csc 2'(1)x x x x x y x -+-=+g g 2222(1)csc cot 4csc (1)x x x x x x -+-=+ （10）.ln 3ln 223xx x x y ++= 2232223(3)(3ln )(2ln )(2)'(3ln )x x x x x x x x y x x ++-++=+ 4222(94)ln 32(3ln )x x x x x x x x -+-+=+9. 已知. ,cos 21sin 4πϕϕρϕϕϕρ=+=d d 求因为1sin cos sin 2d d ρϕϕϕϕϕ=+-所以412422284d d πϕρπϕ==+-=+10. .1轴交点处的切线方程与写出曲线x xx y -= 令0y =，得11x x ==-或 因为2'1y x -=+， 所以 11'2,'2x x y y ==-==曲线在(1,0)处的切线方程为2(1)y x =-，即220x y --=； 曲线在(1,0)-处的切线方程为2(1)y x =+，即220x y -+=。
11. 求下列函数的导数：（1）()可分解为：函数452+=x y 4,25y u u x ==+其导数='y 38(25)x +（2）函数可分解为：23x e y -= 2,3u y e u x ==- ='y 其导数236x xe--（3）可分解为：函数22x a y -=22y u a x ==-='y其导数（4）()可分解为：函数x e y arctan = arctan ,xy u u e ==='y 其导数21x xe e+12. 写出下列函数的导数（只需写出结果）：（1）()='-=y x y , cos 343sin(43)x - （2）()='+=y x y , ln 21221xx+ （3）='=y x y , sin 22sin cos x x （4）()='=y x y , arctan 2421xx + （5）()='=y x y , tan 2222sec ()x x（6）(),log ='++=y x x y a 12221(1)ln x x x a+++（7）='=y x y ,cos ln tan x - （8）()='-=y x y ,arcsin 2113. 求下列函数的导数（要有解题步骤）：（1）;2arcsin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y （2）;arctan x e y =（3）()[]; ln ln ln x y = （4）.cos sin nx x y n=14. 设():dxdyy x f 的导数可导，求下列函数 （1）();2xf y = （2）()().cos sin 22x f x f y +=22'()dy xf x dx = 22'(sin )2sin cos '(cos )2cos sin dy f x x x f x x x dx=-g 22sin 2['(sin )'()]x f x f cox x =-15. 求下列函数的导数： （1）()22sin sin x x y ⋅=（2）xy 1cos ln =（3）xe y 1sin 2-=（4）x x y +=16. 求下列函数的二阶导数： （1）x x y ln 22+=1'4y x x =+21''4y x=-（2）t e y tsin -='sin cos (cos sin )ttty e t e t e t t ---=-+=-''(cos sin )(sin cos )2cos ttty e t t e t t e t ---=--+--=-（3）()1ln 2x x y ++='y ===3223221''(1)22(1)x y x x x -=-+=-+g17. 若():22dxyd x f 阶导数存在，求下列函数的二'' （1）()2xf y = （2）()[]x f y ln =2222'()()''()()['()][()]dy f x dx f x d y f x f x f x dx f x =-=18. 求下列函数的n 阶导数的一般表达式：（1）x y 2sin = （2）x x y ln =19. 求下列函数所指定阶的导数： （1）,cos x e y x= 求().4y （2）,2sin 2x x y = 求().50y20. 求下列方程所确定的隐函数:dxdy y 的导数（1）0333=-+axy y x (2) yxe y -=1222222222'()2['()2''()]2'()4''()dyxf x dxd y f x x xf x dxf x x f x ==+=+g方程两边关于x 求导得： 方程两边关于x 求导得：2233330dy dy x y ay ax dx dx +--= y ydy dye xe dx dx=-- 所以 22223333dy ay x ay x dx y ax y ax --==-- 所以 1y y dy e dx xe-=+21. .42,42323232程处的切线方程和法线方在点求曲线⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+a a a yx 方程两边关于x 求导得：113322033dy x y dx--+= 所以1313dy x dx y --=-=从而切线斜率1)1dy k dx==-，法线斜率 2111k k =-=所以切线方程为()44y a x a -=--，即02x y a +-=；法线方程为44y x a -=-，即0x y -=。