第7章 矩阵特征值和特征向量的数值解法1
| λ1 |=| λ2 |>| λ3 |≥ ... ≥| λn | ，由式（7.1.4）知
u
于是
(k )
= λ1 [α1 x1 + (−1) α 2 x2 + ∑ α i (
k k i =3
n
λi k ) xi ] λ1
(7.1.7)
lim
k →∞
u (jk + 2 ) u (jk )
λ λ [α1 x1 + (−1) α 2 x2 + ∑ α i ( i ) xi ] j λ1 2 i =3 = lim = λ1 k n k →∞ λi k λ1 [α1 x1 + ( −1) k α 2 x2 + ∑ α i ( ) xi ] j λ1 i =3
k 1 n
7.1 幂法
实用幂法迭代格式如下： 任取初始向量 u
(0)
≠ 0 ,作迭代
mk = max(u ( k ) ) (k ) u (k ) ( k = 0,1,2,...) v = mk u ( k +1) = Av ( k )
则
(7.1.5)
lim mk = λ1
(k )
的常用方法是迭代每一步对向量 u
规范化。引入函数 max（ u
(k )
） ，它表示取
向 量 u (k ) 中 按模 最大 的分 量，例 如， u (k ) =(2,-5,4)T,则 max( u (k ) )=-5,这 样
u (k ) 的最大分量为 1，即完成了规范化。 (k ) max (u )
第 7 章 矩阵特征值和特征向量的数值解法
设矩阵 A ∈ R
n× n
，如果存在数 λ ∈ C 及非零向量 x ∈ C n 满足方程
征值 λ 的特征向量。为简单起见，下称 λ ，x 为矩阵 A 的一特征对。
Ax ∈ λx ，则称 λ 为矩阵 A 的一个特征值，x 称为矩阵 A 的相应于特
特征值的计算，直接从特征方程 ϕ (λ ) = det(λI − A) = 0 出发会遇到很 大困难，当 n 稍大一些，行列式展开本身就很不容易，随后是高次代数 方程求解。因此，矩阵特征值的求解，主要是数值解法。
例 7.1.2 计算结果 v(k) 0.6 7.166 673 2.395 352 6.747 559 2.381 309 6.723 220 2.380 446 6.721 682 2.380 402 6.721 577 2.380 401 15.999 98 0.666 667 0.395 349 0.669 902 0.398 562 0.670 088 0.398 761 0.670 098 0.398 774 0.670 098 0.398 775 0.833 33 0.976 744 0.990 291 0.998 561 0.999 396 0.999 910 0.999 962 0.999 994 0.999 997 0.999 999 1.000 00 1.000 00 1.000 000 1.000 000 1.000 000 1.000 000 1.000 000 1.000 000 1.000 000 1.000 000
即
k +1 u ( k +1) + λ1u ( k ) ≈ 2λ1 α1 x1 ( k +1) k +1 u − λ1u ( k ) ≈ ( −1) k +1 2λ1 α 2 x2 )
除去一个常因子，我们得到特征向量
x1 ≈ u ( k +1) + λ1u ( k ) ( k +1) − λ1u ( k ) x2 ≈ u
k u ( k ) ≈ λ1 α1 x1
这表明 u
(k )
是特征向量 x1 的一常数倍，即 u
(k )
近似）和式（7.1.3）幂法的主要缺点是：当 | λ1 |> 1 或 | λ1 |< 1 时，由式（7.1.4）可知， u
(k )
会发生上溢或下溢，因此不实用。克服这一缺点
u (jk +1) u (jk )
k →∞
lim
λ λ [α1 x1 + ∑ α i ( i ) xi ] j λ1 i=2 = lim = λ1 k n k →∞ λ k λ1 [α1 x1 + ∑ α i ( i ) xi ] j λ1 i=2
k +1 1 n
k +1
7.1 幂法
由式（7.1.4）还可知，当 k 充分大时有
k 1 n
7.1 幂法
由式（7.1.5）和式（7.1.6）有
mk = max(u ) = max( Au
(k )
( k −1)
max( Ak u ( 0) ) )= max( Ak +!u ( 0 ) )
于是
λi k ) x] λ1 i i=2 lim mk = lim = λ1 n k →∞ k →∞ λ k λ1 −1 max(α1 x1 + ∑ ( i ) k −1 xi ) i = 2 λ1 λ [α1 x1 + ∑ (
1≤i ≤n
(3) vi = ui m0 (i = 1,2, ⋯ , n); (4) ui =
∑ a v (i = 1,2,⋯, n);
j =1 ij j
n
5) mk = max (ui );
1≤i ≤ n
(6) if mk − m0 < ε 或 mk − m0 (1 + mk ) < ε then 输 出 mk , vi (i = 1,2, ⋯ , n), 停止计算； (7) m0 = mk ; k = k + 1; 返回第 3 步。
n
事实上，由于 xi (i = 1,2,..., n) 线性无关，故可构成 R 中一组基，于是 有u
( 0)
= ∑ α i xi ，由式（7.1.2）可得
i =1
n
7.1 幂法
u
(k )
=A
k
∑α x = ∑α A x = ∑α λ
k i =1 i i i =1 i i i =1 i
n
n
n
k
i
xi =λ1 [α1 x1 + ∑ α i (
例 7.1.1 试用幂法求矩阵
7 3 - 2 A = 3 4 -1 - 2 - 1 3
按模最大的特征值和相应的特征向量 (ε = 10 ) 。
−5
解 由算法 7.1.1 得计算结果如表 7.1.1 所示。
表 7.1.1 例 7.1.1 计算结果 k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 u(k) 1.000 000,1.000 000, 1.000 000 8.000 000,6.000 000, 0.000 000 9.250 000,6.000 000,-2.750 000 9.540 541,5.891 892,-3.540 541 9.594 901,5.841 360,-3.730 878 9.604 074,5.824 033,-3.775 317 9.605 429,5.818 746,-3.785 699 9.605 572,5.817 228,-3.778 139 9.605 567,5.816 808,-3.788 717 v(k) 1.000 000， 1.000 000， 1.000 000 1.000 000， 0.750 000， 0.000 000 1.000 000， 0.648 649， -0.297 297 1.000 000， 0.617 564， -0.371 105 1.000 000， 0.608 798， -0.388 840 1.000 000， 0.606 413， -0.393 095 1.000 000， 0.605 777， -0.394 121 1.000 000， 0.605 777， -0.394 369 1.000 000， 0.605 566， -0.394 429 mk 1.000 000 8.000 000 9.250 000 9.540 541 9.594 901 9.604 074 9.605 429 9.605 572 9.605 567
7.1 幂法
幂法基本原理是：任取非零实向量 u
(0)
，做迭代
u ( k ) = Au ( k −1) = Ak u ( 0 ) (k = 1,2,...)
则
( 7 .1 . 2 )
λ1 = lim
这里 u j 表示向量 u
(k ) (k )
u (jk +1) u (jk )
k →∞
(7.1.3)
的第 j 个分量。
k +2 1 k+2 n
k +2
即
λ1 = lim
k →∞
u (jk + 2 ) u (jk )
由式（7.1.7）可以看出 u 时，有
(k )
随着 k 增大，呈现有规律摆动，于是当 k 充分大
u ( k +1) ≈ λ1k +1 (α1 x1 + ( −1) k +1α 2 x2 ) (k ) k u ≈ λ1 (α1 x1 + (−1) k α 2 x2 )
7.1 幂法
7.1.1 幂法原理及实用幂法 幂法主要用于求矩阵按模最大的特征值和相应的特征向量。设矩阵 A 的
n 个特征值 λi (i = 1,2,..., n) 满足：
| λ1 |>| λ 2 |≥| λ3 |≥ ... ≥| λ n | （7.1.1）
相应的 n 个特征向量 xi (i = 1,2,..., n) 线性无关。上述假设表明， λ1 为非零单 实根， x1 为实特征向量。
由表 7.1.1 知， m8 − m8 < 10 ，故取 λ1 ≈ m8 = 9.605567 ，
矩阵特征值及特征向量教学
矩阵特征值及特征向量教学介绍在线性代数中，矩阵特征值和特征向量是非常重要的概念。
它们不仅在数学领域有广泛的应用，也在物理、工程、计算机科学等领域中发挥着重要作用。
本文将深入探讨特征值和特征向量的概念、性质以及计算方法。
一、特征值与特征向量的定义1.1 特征值的定义给定一个n阶矩阵A，如果存在一个数λ和一个非零向量x使得Ax = λx，那么λ称为矩阵A的特征值，x称为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。
1.2 特征向量的定义特征向量是与特征值相关联的非零向量，通过矩阵与特征向量的乘法可以得到特征值的倍数。
二、特征值与特征向量的计算2.1 计算特征值的方法计算矩阵的特征值可以通过求解特征方程来实现。
特征方程是一个关于特征值的方程，形式为|A-λI|=0，其中A是给定的矩阵，λ是特征值，I是单位矩阵。
步骤： 1. 把矩阵A减去λI，得到一个新的矩阵B。
2. 计算矩阵B的行列式，即|B|。
3. 解方程|B|=0，得到特征值λ的值。
4. 验证特征值的正确性，将得到的λ代入方程(A-λI)x=0，求解x的解。
2.2 计算特征向量的方法计算矩阵的特征向量可以通过将特征值代入方程(A-λI)x=0，并解出x的解。
步骤： 1. 将特征值λ代入方程(A-λI)x=0，得到一个线性方程组。
2. 解线性方程组，求解出x的解。
3. 验证特征向量的正确性，将得到的x代入方程(A-λI)x=0，验证等式是否成立。
三、特征值与特征向量的性质特征值和特征向量有许多重要的性质，下面介绍其中的一些。
3.1 特征值的性质•矩阵A和其转置矩阵A^T具有相同的特征值。
•对于实矩阵，特征值可以是复数，但是它们总是成对出现，共轭复数。
•矩阵的特征值之和等于它的迹（主对角元素之和）。
•矩阵的特征值之积等于它的行列式。
3.2 特征向量的性质•特征向量与对应的特征值共线，即它们是线性相关的。
•特征向量可以通过标量乘法来缩放，缩放因子为特征值的值。
计算方法第七章(特征值与特征向量)
( j p, q) i 1, 2, , n
最后，雅可比方法的计算步骤可以归纳为： （1）确定非对角绝对值最大元位置（p，q），并计算sin和 cos的值； （2）计算迭代矩阵的元素；
（3）计算特征向量；
（4）与计算精度进行比较，以决定第三节 QR 分解方法 3.1 QR 分解 设 u 为n维实单位向量，称下面矩阵为Householder矩阵：
则
(2) (3) 1 a12 a13 (3) a 2 23 (3) Q2 A1 Q2Q1 A a33 (3) 0 a 3n
埃特金加速： 可以证明：乘幂法线性收敛
mk 1 1
2 mk 1 1
2 1
[ zk 1 10 ] i [ zk 10 ] i
2 1
称为收敛率
由于
zk
线性收敛于 x1 ，于是可以对之进行埃特金加速，
( zk )i ( zk 2 )i ( zk 1 )i2 Wi ( zk )i 2( zk 1 )i ( zk 2 )i
, a
(k) pq
0
第 k 步迭代矩阵的元素为：
a a a
(k ) pj
a a
( k 1) pj
cos a
2
( k 1) qj
sin a
(k ) jp
(k ) k 1) ( k 1) k) aqj a (pj sin aqj cos a (jq ( j p, q ) (k ) pp ( k 1) pp
cos 2a a
( k 1) pp
(k 1) pq
sin cos a
( k 1) pq
(k 1) qq
数值分析-第7章 矩阵特征值问题的数值解法n
7
9 11 12
6.104716
6.026349 6.006637 6.003327
(-0.450275, -0.322058, 1.0)
(-0.445914, -0.318617, 1.0) (-0.444814, -0.31775, 1.0) (-0.444630, -0.317606, 1.0)
其中i为A的特征值，P的各列为相应于i的特征向量。
P -1 AP D
2
n
2
定理7.1.3 ARnn，1, …, n为A的特征值，则
（1）A的迹数等于特征值之和，即 tr ( A) aii i
i 1 i 1
n
n
（2）A的行列式值等于全体特征值之积，即
1 xi(k +1) / xi(k )
i 1,2,, n
可见，当k充分大时， ( k ) 近似于主特征值， ( k +1) 与x ( k )的对应非零分量的比值 x x 近似于主特征值。
在实际计算中需要对计算结果进行规 , 范化。因为当 1 1时，x (k ) 趋于零， 当1 1时, x ( k )的非零分量趋于无穷。 从而计算时会出现下溢 或上溢。
特征值的范围. 解 我们先分别求出各个圆盘区域。 D1 = {z：|z – 1|£0.6}；D2 = {z：|z – 3|£0.8} D3 = {z：|z + 1|£1.8}；D4 = {z：|z + 4|£0.6}. 易见D2和D4为 弧立圆盘分别 包含A的两个实 特征值.
第七章矩阵特征值和特征向量的数值解法
第七章 矩阵特征值和特征向量的数值解法7.2典型例题精解例7.2.1 用幂法计算矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1634310232A的主特征值和相应的特征向量。
解：取初值向量u (0)=(0,0,1)T ,由式（7.1.1）得⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=======T T T u v m Av u v m )25.0,0.1,5.0(414)1,4,2()1,0,0(1)1()1(1)0()1()0(0 对k=1,2,…n,计算结果如表7.2.1所示。
表7.2.1从表7.2.1看出，当k=8时，即可达到精度，所以矩阵A 的主特征值λ1=11，对应的特征向量x 1=(0.5,1.0,0.7500)T。
例 7.2.2 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110121013A 试取平移量134.1)]32(2[21≈-+=p ,用幂法求出矩阵A 的主特征值及对应的特征向量。
如果对平移法的结果做一次Rayleigh 商加速，求A 之特征值和对应的特征向量。
解： 取134.1)]32(2[21≈-+=p ，则 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-=134.0101866.0101866.1pI A B取u (0)=v (0)=(1,1,1)T,迭代结果如表7.2.2所示。
从表7.2.2知 ⎩⎨⎧==+≈Tx p m )2695381.0,732204995.0,1(732083614.3181λ 若对上述结果做一次Rayleigh 商加速，则有 732050783.3),(),(11111=≈x x x Ax λ与真值732050808.332*1=+=λ相比，误差61*11021-⨯≤-=λλε 例 7.2.3 试用逆幂法求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=611142121A 矩阵近似于—6.42的特征值和特征向量。
解：分解A+6.42I=LR ，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=137********.01845018450.013690036900.01L⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=960012189021.063099631.068199262.11242.5R取y (0)=(1,1,1)T 做半迭代，计算结果如表7.2.3所示。
矩阵特征值与特征向量的计算-Rung-Kutta方法
每步须算Ki 的个数 2 3
4
5
6
可达到的最高精度 O(h2 ) O(h3 ) O(h4 ) O(h4 ) O(h5 )
7
O(h6 )
n8
O(hn−2 )
由于龙格-库塔法的导出基于泰勒展开，故精度主要受
解函数的光滑性影响。对于光滑性不太好的解，最好 采用低阶算法而将步长h 取小。
R − K方法的主要优缺点
二级R-K方法
二级R-K方法的形式为
其局部截断误差为 将 中的各项作Taylor展开
Taylor展开有 可得 令
二级R-K能达到的 最高阶数是二阶
常用的二级二阶R-K方法
取
，得
该方法称为改进的Euler公式（梯形公式的预估校正格式）
取
，得
该方法称为中点公式
取
，得
该方法称为Heun(休恩)方法
当 为实数时，得Euler法的绝对稳定区间是
二级R-K方法的绝对稳定区间
二阶二级R-K方法的计算公式为
由此可知，二阶二级R-K方法的绝对稳定区间是 当 为实数时，得绝对稳定区间是
一些常用方法的绝对稳定区间
R-K法的绝对稳定区域
k = 4 • 3. k =3
• 2. k=2 k = 1 • 1.
题相容的充分必要条件是该单步法至少是一阶方
法。
我们本章讨论的数值方法都是与原初值问题相容的！
收敛性
定义：对任意固定的 步法产生的解 ，均有
, 若初值问题的单
则称该方法是收敛的。
我们本章讨论的数值方法都是收敛的！
收敛性判别
定理7.3：设增量函数
在区域
上连续，并对变量y和h满足Lipschitz条件。如果单步 法与微分方程初值问题相容，则单步法收敛。
矩阵的特征值与特征向量认识矩阵的特征值与特征向量的计算方法
矩阵的特征值与特征向量认识矩阵的特征值与特征向量的计算方法矩阵在数学与物理等领域中起着重要的作用，而矩阵的特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念。
本文将介绍矩阵的特征值与特征向量的定义与性质，并探讨了计算矩阵特征值与特征向量的方法。
一、矩阵的特征值与特征向量的定义在介绍矩阵的特征值与特征向量之前，我们先来了解一下矩阵的基本概念。
矩阵是由若干个数按照一定的规则排列成的矩形阵列。
矩阵可以表示成一个二维数组，其中的元素用于表示矩阵中的各个数值。
矩阵的特征值与特征向量是对矩阵进行分析与求解时非常有用的工具。
特征值可以理解为矩阵在某个方向上的缩放因子，而特征向量则表示在特征值对应的方向上的向量。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量X，使得AX=λX，其中λ是一个常数，那么称λ为矩阵A的特征值，X为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
特征值与特征向量的定义虽然比较抽象，但是通过对矩阵进行相应的计算可以得到具体的数值结果。
二、计算特征值与特征向量的方法1. 特征值的计算方法计算特征值的方法之一是通过求解矩阵特征方程来完成。
对于一个n阶矩阵A，其特征方程可以表示为det(A-λI)=0，其中det表示矩阵的行列式，I是单位矩阵，λ是特征值。
解特征方程可以得到矩阵的特征值。
由于特征方程是一个n次多项式方程，所以一般情况下可以得到n个特征值。
特征值的个数与矩阵的阶数相等。
2. 特征向量的计算方法计算特征值后，我们可以通过特征值来求解特征向量。
对于特征值λ，我们需要求解矩阵(A-λI)X=0的非零解，其中X是特征向量。
解特征向量的过程可以通过高斯消元法或者矩阵的初等变换来完成，得到的非零解即为特征向量。
三、特征值与特征向量的性质矩阵的特征值与特征向量具有一些重要的性质，这些性质在矩阵理论与应用过程中都具有重要作用。
1. 特征值和特征向量的对应关系对于一个n阶矩阵A，它有n个特征值与n个相应的特征向量。
特征值与特征向量是一一对应的关系，即每个特征值对应一个特征向量。
矩阵特征值的数值解法
矩阵特征值的数值解法矩阵的特征值是在矩阵与其特征向量之间的关系中的数值解。
特征值在各个领域中都有广泛应用，包括物理、工程、金融等。
在解决实际问题时，我们经常需要计算矩阵的特征值，因此研究如何求解矩阵特征值的数值方法是非常重要的。
1. 幂迭代法（Power Iteration）幂迭代法是求解矩阵特征值的一种简单而常用的数值方法。
它的基本思想是通过不断迭代矩阵与向量的乘积，使得向量趋近于该矩阵的一个特征向量。
具体步骤如下：（1）初始化一个非零的初始向量x。
（2）进行迭代计算，即$x^{(k+1)}=Ax^{(k)}/，Ax^{(k)}，$。
（3）当向量x的相对误差小于一些预设的精度要求时，停止迭代，此时的x即为矩阵A的一个特征向量。
（4）将x带入特征值的定义式$\frac{Ax}{x}$，计算出特征值。
幂迭代法的优点是简单易实现，计算速度较快，缺点是只能求解特征值模最大的特征向量，而且对于存在特征值模相近的情况，容易收敛到错误的特征值上。
2. QR迭代法（QR Iteration）QR迭代法是一种较为稳定的求解矩阵特征值的数值方法。
它的基本思想是通过不断进行QR分解，使得矩阵的特征值逐渐收敛。
具体步骤如下：（1）将矩阵A进行QR分解，得到正交矩阵Q和上三角矩阵R，令$A_1=RQ$。
（2）将$A_1$再次进行QR分解，得到新的矩阵$A_2=R_1Q_1$。
（3）重复步骤（2），直到得到收敛的矩阵$A_k$，此时$A_k$的对角线上的元素即为矩阵A的特征值。
QR迭代法的优点是对于特征值模相近的情况仍然能够收敛到正确的特征值上。
缺点是每次QR分解都需要消耗大量的计算量，迭代次数较多时计算速度较慢。
3. Jacobi迭代法（Jacobi's Method）Jacobi迭代法是一种通过对称矩阵的对角线元素进行迭代操作，逐步将非对角元素变为零的求解特征值的方法。
具体步骤如下：（1）初始化一个对称矩阵A。
矩阵特征值和特征向量的数值解法
的常用方法是迭代每一步对向量 u
规范化。引入函数 max（ u
(k )
） ，它表示取
向 量 u (k ) 中 按模 最大 的分 量，例 如， u (k ) =(2,-5,4)T,则 max( u (k ) )=-5,这 样
u (k ) 的最大分量为 1，即完成了规范化。 (k ) max (u )
7.1 幂法
7.1.1 幂法原理及实用幂法 幂法主要用于求矩阵按模最大的特征值和相应的特征向量。设矩阵,2,..., n) 满足：
| λ1 |>| λ 2 |≥| λ3 |≥ ... ≥| λ n | （7.1.1）
相应的 n 个特征向量 xi (i = 1,2,..., n) 线性无关。上述假设表明， λ1 为非零单 实根， x1 为实特征向量。
k →∞
k →∞
lim v ( k ) =
x1 max( x1 )
事实上，由式（7.1.5）知
v
(k )
=
Ak u ( 0 )
∏m
i =0
k
i
算法 7.1.1 实用幂法 (1) 输入： aij (i, j = 1,2, L n), ui (i = 1,2, L), ε ; (2) k = 1; m0 = max(ui );
7.1 幂法
幂法基本原理是：任取非零实向量 u
(0)
，做迭代
u ( k ) = Au ( k −1) = Ak u ( 0 ) (k = 1,2,...)
则
( 7 .1 . 2 )
λ1 = lim
这里 u j 表示向量 u
(k ) (k )
u (jk +1) u (jk )
k →∞
第七章 矩阵特征值与特征向量计算讲解
u0 1 1 1
T
,按(9)迭代5次得到数据如下
T vk
u
1
T k (规范化向量)
1
1
1
1
1
1 0.2143 0.4821 1
2 0.1875 0.4483 3 0.1860 0.4463 4 0.1895 0.4460 5 0.1859 0.4460 1 1 1 1
12.00 27.00 56.00
8.357 19.98 44.57 8.168 19.60 43.92 8.157 19.57 43.88 8.156 19.57 43.88
故按模特征值为:
1 43.88
对应的特征向量为:
T
u1 0.1859 0.4460 1.0000
应用幂法计算A的主特征值的收敛速度主要由比值
r
v u 0 0 0 vk Auk 1 vk uk max vk
k
1,2,......
(9)
lim max v
k k
1
.
解： 取初始向量v0 表: k 0
例1：用幂法计算下面矩阵的主特征值及对应的特征向量。 4 6 2 A 3 9 15 4 16 36
nn
则A的每一个特征值，必
aii
i 1 j i
n
aij ,
i
1......n
且如果一个特征向量的第i个分量绝对值最大,则对应的特征值一定属
x, x 定义1:设A为n阶实对称矩阵，对于任一非零向量x称 R x x, x
为对应于向量x的Rayleigh商.
设实矩阵
为1 , 2 ,..., n ， 相应的特征向量为 x1 , x2 ,..., xn 已知A的主特征值是实数,且满足: 幂法的基本思想是：任取一个初始向量 v0 0 量序列（称之为迭代向量序列。） :
第7章 矩阵特征值与特征向量的计算
第7章 矩阵特征值与特征向量的计算 小结
1．本章介绍了乘幂法和反幂法。乘幂法用来求按模最大特征 值和对应的特征向量，反幂法用来求按模最小特征值和对应 的特征向量。 2．乘幂法和反幂法特点是算法简单，易于在计算机上实现。
第7章 矩阵特征值与特征 向量的计算
引言 乘幂法 反幂法
7.1 引言
定义：对于n阶方阵A，数λ0，若存在非零列向量x，使得Ax=λ0x，则称λ0 为A的特征值（特征根），x为A的属于λ0的特征向量。 定义： 以λ为未知量的方程|A-λE|=0称为方阵A的特征方程，λ的多项式|Aλ0E|称为方阵A的特征多项式，记为f(λ)。 λ0是为方阵A的特征值，x为A的属于λ0的特征向量的充要条件是：λ0是A的特 征方程|A-λE|=0的根，x是齐次线性方程组(A-λ0E)X=0的非零解向量。 因此，可以按以下步骤求方阵A的特征值和特征向量： ⒈ 计算A的特征多项式|A-λE|； ⒉ 求出A的特征方程|A-λE|=0的全部根，这是A的全部特征值； ⒊ 对A的每一个特征值λi，求出(A-λiE)X=0的一个基础解系x1,x2,……,xs，并 写成列向量的形式，这就是A的属于λi的一组线性无关的特征向量。那么 的 属于λi的全部特征向量为： k1x1＋k2x2＋……＋ksxs 其中k1,k2,……,ks是不全为零的常数。 对于高阶方阵用上述方法求特征值，运算量大，需要求解高阶代数方程，并 且在计算机上实现也较为困难。本章介绍几种便于在计算机上实现的方法。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 7.3 反幂法
一、反幂法的基本思想（续）
上述方法在求u(k)时需要先求出A-1，求A的逆矩阵常常比较麻烦。为了避 免求A-1，可以把u(k)=A-1v(k-1)变形为Au(k)=v(k-1)，求解这个线性方程组得 到u(k)，解线性方程组的方法可以参考第3章和第4章。一般在计算过程一 开始，首先对A进行三角分解，这样每轮迭代求解Au(k)=v(k-1)时只需要2 次回代就可以了。下面以LU分解法为例，重新给出反幂法的求解步骤： 对方阵A进行LU分解A=LU，然后任取n维非零向量v(0)作为初始向量，按 以下迭代公式反复计算： ①回代，求解单位下三角线性方程组Ly(k)=v(k-1)，得到向量y(k)。②回代， 求解上三角线性方程组Uu(k)=y(k)，得到向量u(k)。③若u(k)各分量中绝对 值最大的分量为j第个分量uj(k)，则令m(k)=uj(k)，④令v(k)=u(k)/m(k)， k=1,2,3,……。 当k足够大时，近似地认为1/m(k)≈λn，向量v(k)是A的属于λn的特征向量。