CQC快速算法的一种推导

这里｛Ｐ）是ｎ阶常向量，将上式右端的颤Ｄ用以下的虚拟激励来代替
（７）
ｘ（，）＝厕啦砌
（８）
并且设简谐解为
秒（ｆ））＝｛】，（功）Ｐ垃删
则结构位移响应的功率谱矩阵司写为
（９）
【Ｓｗ（甩）】＝｛】，（刀））＋｛ｙ（聆）｝ｒ
由此，文【３】得到如下的位移响应功率谱计算公式
（
Ｏ）
【ｓ拶（玎）】．（∑ｙｊＨｊ（聆）｛矽）／）＋Ｓ搿（，２）｛∑圪也（玎）｛缈）。）ｒ
２．传统ＣＱＣ方法和ＣＱＣ快速算法
２．１传统ＣＱＣ方法和ＳＲＳＳ法
平稳随机激励下ｎ自由度结构系统的随机振动方程可写为
【＾，】｛ｊ，Ｏ））＋【Ｃ】｛夕（ｆ）＞＋【Ｋ】｛ｙＯ））＝｛ｘＯ）｝
（１）
其中嗍、【ｑ、阍及刚度阵，｛工（ｆ）｝是零均值随机激振力向量，其自功率谱矩阵暇“刀）】假定已知。
设阻尼阵［Ｃ】可被结构的无阻尼实模态对角化，则式（１））】＝【①】【日（玎）】’｛＂【＆（刀）】｛”ｒ【日（疗）】【西】７’
式（２３）和式（１２）相同。
Ｑ３
）
对于多点激励情况，广义力为
｛Ｆ（，）｝＝【叫７［尺】｛ｘ（，）｝
广义力的谱矩阵为
Ｑ４ ）
【Ｓ阿（玎）】＝【①】７１【尺】【Ｓ。（疗）】【尺】７’【①】
式（２５）代入式（２０），得
Ｑ５ ）
Ｄｙｎａｍｉｃｓ，１９８１，Ｖ０１．９，１８７－１９４
［３］ ［４］ 林家浩，钟万勰．关于虚拟激励法与结构随机响应的注记．计算力学学报，１５（２），１９９８年５月：２１７－２２３
ＥｌｉｓｈａｋｏｆｆＩ．Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｓｔｉｃ ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｊｏｈｎ Ｗｉｌｅｙ＆Ｓｏｎｓ，Ｉｎｃ，１９８３
ＩＳ拶（刀）】＝【①】【日（＂）】’ＩＳ阡（聆）】【日（厅）】【①】７’ 其中广义力的互功率谱Ｓ乃最（拧）一般以积分形式给出，例如对高层建筑可以写为
（２７）
ｓ—Ｂ（，ｚ）＝ｒ ｒＳｐｌｐ２（ｚｌ，Ｚ２，，ｚ）矽，（蜀）纯０２）出。出： ，，，ｚ）办（蜀）纯（ｚ２）出－出ｚ ％Ｂ（，ｚ）２土ｊ：
或
（２８）
【ｓ拶（纠２善善泐，泐：彰（聆）巩（拧）ｓ＿吒（刀）
（５）
第十一届全国结构风工程学术会议论文集
其中以”）为第Ｊ阶模态频响函数。式（５）即精确计算结构位移响应功率谱的ＣＱＣ法。工程上通
常在小阻尼和自振频率稀疏分布的假定一Ｆ，认为模态响应ｑＸｔ）－与驭ｆ）几乎统计独立４１，将交叉项
％靠（力）（．Ｊｆ≠ｋ）忽略掉，便得到如下计算响应功率谱的ＳＲＳＳ法：
ＳＦｊＦ，（聆）一工￡ｓ佻（玎）办（ｚ。）唬（ｚ：）ｄａ。姒ｚ
ｐ（ｚ，，）＝ｒｗ心，圳）出
Ｓ”：（ｚｌ，ｚ２，ｘｌ，ｘ２，ｎ）或Ｓ叩：（功是ｗ’（ｚｌ，ｘｌ，ｔ）与ｗ’（ｚ２，ｘ２，ｔ）的互谱。 考虑结构第，坐标的位移响应功率谱Ｓ乃＂（拧），由式（２７）可知有
（２９）
（３０）
是沿建筑高度的分布脉动风力，ｗ，（ｚ，ｘ，ｆ）是脉动风压，Ｓ内Ｐ：（Ｚｉ Ｚ２，门）是ｐ（ｚＩ，ｒ）与ｐ（ｚ２，ｔ）的互谱，
（１４）
这里闻是由０和１组成的ｎ×ｍ的矩阵。将｛顶ｆ））的谱矩阵【．％】先分解为ｒ（ｒ≤ｍ）个虚拟简谐激励
４ｌＯ
第十一届全国结构风工程学术会议论文集
｛Ｘ０）｝Ｐ Ｐ‘（２册）‘的迭加
［＆（刀）】＝∑弘（船））：｛ｘ（刀）巧
ｐ＝ｌ
（１５）
可得到位移响应功率谱计算公式为
％（，２）】－（∑Ｈ如）｛妒｝∥）；【月】）‘∑｛ｘ）：｛ｘ）；（∑Ｈ∥）｛矽｝。｛妒｝：【Ｒ】）７’
ｎ９）
其中【蹦刀）】为广义力功率谱矩阵，则位移响应的矩阵为
陋ｗ（，２）】＝【①】【日（刀）】‘【Ｓ阡（，ｚ）】［日（，ｚ）】【中】７’
对于单点激励情况，广义力为 ＱＯ ）
｛，（ｆ））＝【ｍ】１｛ｐ｝ｘＯ）＝｛办ｘ（ｆ）
可知广义力的谱矩阵为
Ｑ１ ）
【Ｓ肼（，ｚ）】＝｛办＆（玎）｛”２
式（２２）代入式（２０），得
吼（玎）】；窆慨｛蚓＿（刀）１２％弓（刀）
ｊ＝ｌ
（６）
２．２
ＣＱＣ快速算法 对于大多数二维或者三维结构来说，自振频率分布不一定很稀疏，ＳＲＳＳ法是有较大误差的，
而按照ＣＱＣ算式（５）则有很大的计算量。文［３］以如下虚拟激励法导出ＣＱＣ的一种快速算法。单 点激励下结构的运动方程可写为
【Ｍ】｛ｊｊ）＋【Ｃ】｛夕）＋【Ｋｌ｛ｙ）＝｛Ｐ）ｘＯ）
ｊ＝ｌ ｐ＝ｌ 』＝ｌ
（１６）
或者表示为以下的矩阵形式
【Ｓｗ（玎）】＝【①】【日（刀）】‘【①】７’【Ｒ】［Ｓ材（，２）】［Ｒ】ｒ【①】【日（疗）】【①】ｒ
（１７）
利用ＣＱＣ快速算法，即使在编程中直接采用矩阵连乘形式如式（１７）或（１２），其效率一般比采用
式（５）的传统ｃｑｃ算法也要高得多。
３．用矩阵运算直接导出的ＣＱＣ快速算法
Ｓｙ，ｙ，（，２）＝ｂｊ，［日（聆）】’Ｉｓ肝（门）】【日（刀）】ｋｊ；（３ １） 其中№ｊ，是模态矩阵［西】的第，行。上式即计算第，坐标位移响应功率谱的ＣＱＣ快速算法的矩阵
连乘形式。
４．结束语
本文用矩阵运算方法推导出ＣＱＣ的一种快速算法，使得这一算法的物理概念更加清晰。将ＣＱＣ 快速算法应用于结构风致响应计算，推导出结构第，坐标的位移响应功率谱。对于位移均方根响应 的计算是下一步须解决的问题。 参考文献
第十一届全国结构风工程学术会议论文集
ＣＱＣ快速算法的一种推导‘
周福倪振华
（汕头大学汕头５１５０６３） 摘要结构随机响应计算通常沿用传统的ＣＱＣ法和ＳＲＳＳ法．这两种方法都有一定的缺陷：ＣＱＣ法固然精确， 但是计算量大，效率低，对于复杂结构来说采用ＣＱＣ法几乎是不可能的；而ＳＲＳＳ法虽然计算效率高，但是由于忽略 交叉项而降低了精度．本文给出ＣＱＣ快速算法的一种推导，与林家浩提出的虚拟激励法相比具有更明确而直观的物 理意义． 关键词随机响应ＣＱＣ法ＳＲＳＳ法虚拟激励法
［１］ ［２］
Ｍａｒｉｏ Ｐａｚ，Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ Ｄｙｎａｍｉｃｓ－Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，Ｆｏｕｒｔｈ Ｅｄｉｔｉｏｎ，Ｃｈａｐｍａｎ ａｎｄ Ｈａｌｌ，Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ，１９９７ Ｗｉｌｓｏｎ Ｅ．Ｌ．，ｅｔｃ．Ａｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｆｏｒ ｔｈｅ ＳＲＳＳ ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ ｔｈｅ ｓｅｉｓｍｉｃ ａｎａｌｙｓｉｓ，Ｅａｒｔｈｑｕａｋｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ
（∑ａＪ）（∑ｂｋ）的差异。而由式（６），单点激励下的ＳＲＳＳ法相当于作了近似∑∑口卢，－蟛∑口／ｂｊ。
况直式（动中仍然需要作ｓ次ｎ维向量的乘法｛仍，｛妒）：。所以ＣＱＣ快速算法的效率不言俪喻。
多点平稳随机激励下结构的运动方程可表示为
【＾，】｛ｊｊ）＋【Ｃ】｛夕）＋【Ｋ】｛ｙ）＝｛尸Ｏ）＞＝【Ｒ】｛ｘ（，））
ＩＳｗ（刀）】＝【①】［日（疗）】’【①】７’【月】【Ｓ。（刀）】［Ｒ】ｒ【ｍ】【日（，ｚ）】［ｍ】７’
４１ １
Ｑ６ ）
第十一届全国结构风工程学术会议论文集
式（２６）和式（１７）相同。 上述推导说明利用矩阵运算方法同样可以得到虚拟激励法推导的ＣＱＣ快速算法。与虚拟激励 法相比，采用这种矩阵运算的推导方法的物理概念更加清晰。 计算脉动位移响应功率谱时，结构位移响应功率谱矩阵与广义力功率谱矩阵的一般关系如下
组合法，即ＣＱＣ（Ｃｏｍｐｌｅｔｅ．Ｑｕａｄｒａｔｉｃ．Ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎ）法２１。虽然ＣＱＣ法对结构最大响应能给出精确 的估算，但是效率较低。林家浩利用虚拟激励法导出ＣＱＣ的一种快速算法，避免了传统ＣＱＣ法的
繁琐计算３１。实际上，ＣＱＣ快速算法可以直接用矩阵运算的方法推导出来，而且物理概念更加清晰。
‘２’
牙／＋２乞（２砌棚』＋（２ｎｎｊ）２９厂历１．－－Ｌ珂Ｆｊ（ｔ）
其中ｍｐｊ、彭是第＿，阶模态质量及模态阻尼比，ｑＪ为主坐标，联ｆ）是如下的广义力
Ｆ，（ｆ）＝｛奶；｛ｘ（，））
由上式知广义力互功率谱为
（３）
％五（，ｚ）＝｛矿）九＆（疗）仰）。＝∑∑Ｓ‘而（行）九丸
位移响应的功率谱为
（４）
其中Ｓｘ＾（刀）是矩阵【ｓ。（玎）】的第ｒ行ｓ列元素，办是模态｛钟，的第ｒ元素。由随机振动理论得到
Ｊ＝ｌ ｋ＝ｌ
（
ｔＩ●Ｉ
ｌ ）
或进一步写成矩阵形式
【Ｓｗ（，２）】＝（【ｍ】【日（刀）】｛”）‘Ｓ。（刀）（【中】［日（玎）】｛”）７’ ＝【ｍ】【日（门）】＋｛”Ｓ。（咒）｛ｎｒ【日（刀）】【巾】７’ 这里【域阼）】是由各阶频响函数组成的对角阵，彭为第＿，阶振型参与系数
（ ２）
乃＝｛办｝７｛Ｐ）
致的。式（１２）实际上是ＣＱＣ的一种快速算法。
４１２
CQC快速算法的一种推导
作者： 作者单位： 周福， 倪振华 汕头大学 汕头 515063
本文链接：/Conference_6462862.aspx
１．引言
计算结构随机响应通常采用ＳＲＳＳ法，它是平方一总和．开方法（Ｓｑｕａｒｅ．Ｒｏｏｔ－Ｓｕｍ．Ｓｑｕａｒｅ）的简 称．一般能对总体最大响应给出可接受的估计¨。但是，如果结构的某些同有频率相距较近时，应用 ＳＲＳＳ法可能会导致过高估计或过低估计最大响应值。Ｗｉｌｓｏｎ等人根据随机振动理论提出完全二次型
虚拟激励法得到的矩阵连乘形式的ＣＱｃ计算公式，即单点激励情况的式（１２）和多点激励情 况的式（１７），实际上都可以用简单而直接的矩阵运算方法得到。首先定义广义力向量为
｛，（ｆ））＝Ｃｏｔ｛Ｆ（ｆ））
由随机振动的矩阵推导理论，易知模态响应的功率谱矩阵为
“８）
【－％（刀）】＝【Ｈ（聆）】‘ｉｓ阡（，ｚ）】【Ⅳ（刀）】７’
（
１Ｉ■，Ｉ
３）
实际上，将式（１１）展开即式（５）。这表明虚拟激励法的结果和传统的ＣＱＣ法计算结果是完全一