邻接矩阵-南京大学
离散数学邻接矩阵
离散数学邻接矩阵离散数学中邻接矩阵是一个非常重要的概念，它与图论密不可分。
在这篇文章中，我将简单介绍什么是邻接矩阵，如何使用邻接矩阵表示图，以及邻接矩阵的一些应用。
1.什么是邻接矩阵？邻接矩阵是一个正方形的矩阵，用来表示无向图或有向图的连接关系。
在一个n个节点的图中，邻接矩阵是一个n×n的矩阵。
如果一个节点i与节点j有边相连，则邻接矩阵A中第i行第j列的元素为1，否则为0。
如果是有权图，则邻接矩阵的元素可以表示边的权值。
当图中存在自环时，邻接矩阵中的对角元素可以代表自环的权值。
邻接矩阵可以用下面的公式来表示：\[ A_{i,j} = \begin{cases}1, & \mbox{如果(i, j)是有向边或无向边} \\0, &\mbox{否则}\end{cases}\]考虑下面的无向图：用邻接矩阵表示这个图，得到：2.如何使用邻接矩阵表示图？使用邻接矩阵来表示图，需要明确图的类型。
对于无向图，邻接矩阵是对称的；对于有向图，邻接矩阵则不一定是对称的。
使用邻接矩阵可以方便地计算图的一些性质，例如计算度、邻居、路径等。
当然，为了提高计算效率和节省空间，通常使用压缩存储的方法来存储邻接矩阵。
3.邻接矩阵的应用邻接矩阵在图论中有很广泛的应用。
下面列举几个应用：（1）判断节点之间是否有连接关系。
如果邻接矩阵中第i行第j列的元素为1，表示节点i和节点j有连接关系。
（2）计算节点的度。
对于无向图，节点的度数是指与该节点相连的边的数目。
邻接矩阵中第i行或第i列的元素加起来就是节点i的度数。
对于有向图，节点的度数分入度和出度，可以通过邻接矩阵的不同来计算。
（3）计算路径矩阵。
路径矩阵表示从一个节点到另一个节点的最短路径。
通过邻接矩阵和路径算法，可以计算任意两个节点之间的最短路径。
邻接表 邻接矩阵
邻接表与邻接矩阵1. 引言在图论中，邻接表和邻接矩阵是两种常见的表示图结构的方法。
图是由节点（顶点）和连接节点的边组成的一种数据结构，广泛应用于计算机科学和其他领域。
邻接表和邻接矩阵是两种不同的数据结构，用于表示图中节点之间的连接关系。
它们在不同的应用场景下有着各自的优势和劣势。
本文将详细介绍邻接表和邻接矩阵的定义、特点、使用场景以及它们之间的比较。
2. 邻接表邻接表是一种使用链表来表示图中节点连接关系的数据结构。
对于每个节点，我们使用一个链表来存储与该节点直接相连的所有节点。
2.1 定义邻接表由两部分组成：一个顶点数组和一个边链表数组。
顶点数组存储了图中所有节点，而边链表数组则存储了与每个节点直接相连的其他节点。
2.2 特点•空间效率高：对于稀疏图（边数相对于节点数较少），邻接表只需要存储非零边，节省了存储空间。
•插入和删除节点高效：由于邻接表使用链表来存储边，插入和删除节点的操作只需要改变链表指针的指向，时间复杂度为O(1)。
•查询两个节点是否相连的效率较低：在邻接表中，要判断两个节点是否相连需要遍历链表来查找，时间复杂度为O(n)，其中n为节点数。
2.3 使用场景邻接表适用于以下情况：•图是稀疏图（边数相对于节点数较少）。
•需要频繁地插入和删除节点。
•不需要快速判断两个节点是否相连。
3. 邻接矩阵邻接矩阵是一种使用二维数组来表示图中节点连接关系的数据结构。
对于有n个节点的图，我们使用一个n×n的矩阵来表示图中每对节点之间的连接关系。
3.1 定义邻接矩阵由一个二维数组组成。
数组的大小为n×n，其中n为图中节点的数量。
如果两个节点之间有边连接，则对应位置上的元素值为1；否则，元素值为0。
3.2 特点•查询两个节点是否相连高效：在邻接矩阵中，可以通过直接访问矩阵中的元素来判断两个节点之间是否有边相连，时间复杂度为O(1)。
•插入和删除节点效率较低：由于邻接矩阵需要改变矩阵中的元素值来插入或删除边，时间复杂度为O(n)，其中n为节点数。
邻接矩阵法
邻接矩阵法邻接矩阵法邻接矩阵法是图论中常用的一种表示图的方法，它利用一个二维数组来表示图中各个节点之间的关系，其中数组的行和列分别代表着图中的节点，而数组中的元素则表示着两个节点之间是否存在边。
邻接矩阵法的优点邻接矩阵法具有以下几个优点：1. 方便查找由于邻接矩阵法使用了二维数组来表示图中各个节点之间的关系，因此我们可以很方便地查找某两个节点之间是否存在边。
2. 易于实现相比其他表示图的方法，邻接矩阵法非常容易实现。
只需要使用一个二维数组即可。
3. 空间效率高如果一个图是稠密图（即节点之间存在大量边），那么使用邻接矩阵法可以节省空间。
因为在这种情况下，邻接矩阵法所需的空间比其他方法更小。
邻接矩阵法的缺点虽然邻接矩阵法有很多优点，但它也有以下几个缺点：1. 浪费空间如果一个图是稀疏图（即节点之间存在少量边），使用邻接矩阵法会浪费很多空间，因为在这种情况下，大部分数组元素都是0。
2. 不利于动态操作如果我们需要对一个图进行动态操作（如添加或删除节点或边），那么使用邻接矩阵法就不太方便。
3. 时间效率低在某些情况下，使用邻接矩阵法可能会导致时间效率较低。
比如，在查找某两个节点之间是否存在路径时，我们需要遍历整个二维数组。
邻接矩阵法的实现下面我们来看一下如何用代码实现邻接矩阵法。
1. 定义二维数组首先，我们需要定义一个二维数组来表示图中各个节点之间的关系。
假设有n个节点，则我们可以定义一个n*n的二维数组：int graph[n][n];2. 初始化数组为了方便起见，我们可以将所有元素都初始化为0：for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {graph[i][j] = 0;}}3. 添加边如果要向图中添加一条从节点i到节点j的有向边，则只需要将graph[i][j]设置为1即可：graph[i][j] = 1;如果要向图中添加一条无向边，则需要将graph[i][j]和graph[j][i]都设置为1：graph[i][j] = 1;graph[j][i] = 1;4. 删除边如果要从图中删除一条从节点i到节点j的有向边，则只需要将graph[i][j]设置为0即可：graph[i][j] = 0;如果要从图中删除一条无向边，则需要将graph[i][j]和graph[j][i]都设置为0：graph[i][j] = 0;graph[j][i] = 0;5. 判断是否存在边如果要判断从节点i到节点j是否存在有向边，则只需要查看graph[i][j]的值即可。
南京大学《数据结构》试卷(含答案)
(1+7+1+1+2+1+4+1+1) / 9 = 19/9
得分
5、 程序设计题。（每小题 15 分，本题满分 30 分）
1. 设计一个算法，根据一棵二叉树的前序序列和中序序列，构造出这棵二叉
树。 二叉树的结点都用字符表示。前序序列和中序序列都是字符串。二叉树的结点定
义如下：
struct binTreeNode {char data; binTreeNode *leftChild, *rightChild; }
考试科目名称
数据结构
得分
1、填空题。（每小题 2 分，本题满分 20 分）
（A1 卷）
(1) C++语言中，数组是按行优先顺序存储的，假设定义了一个二维数组 A[20][30]，每个元
素占两个字节，其起始地址为 2140，则二维பைடு நூலகம்组 A 的最后一个数据元素的地址为
南京大学1995—2011年地理信息系统GIS考研真题
南京大学1995年考研试题一。
名次解释（20）1。
地理信息系统2。
全球定位系统3。
数据结构4。
游程编码5。
DIME文件二。
试以实例说明空间数据的基本特征及其在计算机中的表示方法（15）三。
试述在PCARC/INFO中一个信息存储层(coverage)的生成步骤及使用的相应命令。
(15)四。
试以城市某一子功能的应用为例，简述建立运行gis的方法和步骤。
(25) 五。
简述gis的空间分析功能及其地学应用。
(25)南京大学1996年考研试题一。
名次解释(20)1。
地理信息系统2。
数据库管理系统3。
四叉树编码4。
边界代数算法5。
数字插值与拟合二。
试以实例说明空间数据的基本特征及其在计算机中的表示方法。
(15) 三。
试写出矢量和栅格数据结构的模式，并列表比较其优缺点。
(20)四。
简述gis的空间分析功能，并试以实例说明其在地理学中的应用。
(25) 五。
以城市地籍管理为例，简述建立运行gis的方法与步骤。
(30)南京大学1997年考研试题地理信息系统：1、试根据建立多边形的右转算法和左转算法原理，写出由有向线段组成的多边形区域的定义（15分）。
2、试描述GIS中的2维（2-D）、2.5维（2.5-D）、3维（3—D）和4维（4-D）空间数据系统的概念，并说明其各自的应用对象或领域。
（15分）3、设两回事个输入数据层（如图）的A、B、D分别表示属性类别数据的代码，图中有阴影的象元表示没有被正确分类的象元。
试问，通过GIS的逻辑“交”（AND）和逻辑“并”（OR）运算后，得到的输出数据的精度有何不同。
（20分）4、简述GIS的空间分析功能，并试以实例说明其在地理学中的应用。
（25分）5、试以城市地下管网信息管理为例，简述建立运行GIS的方法和步骤。
（25分）南京大学1998年考研试题一、试解释以下名词（20分）1、地理信息科学（Geoinformatics)2、数据库管理系统3、四叉树编码4、数字插值与拟合5、多媒体技术二、GIS空间数据可按行政界线、图幅或面向对象的方法进行组织，试以实例说明它们之间的异同点及面向对象方法的特点。
邻接矩阵
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①对无向图而言，邻接矩阵一定是对称的，而且主对角线一定为零（在此仅讨论无向简单图），副对角线不 一定为0，有向图则不一定如此。
②在无向图中，任一顶点i的度为第i列（或第i行）所有非零元素的个数，在有向图中顶点i的出度为第i行 所有非零元素的个数，而入度为第i列所有非零元素的个数。
③用邻接矩阵法表示图共需要n^2个空间，由于无向图的邻接矩阵一定具有对称关系，所以扣除对角线为零 外，仅需要存储上三角形或下三角形的数据即可，因此仅需要n（n-1）/2个空间。
有向图邻接矩阵中第i行非零元素的个数为第i个顶点的出度，第i列非零元素的个数为第i个顶点的入度，第 i个顶点的度为第i行与第i列非零元素个数之和。
用邻接矩阵表示图，很容易确定图中任意两个顶点是否有边相连。
描述
用一个顺序表来存储顶点信息
表示法
在图的邻接矩阵表示法中： ①用邻接矩阵表示顶点间的相邻关系 ②用一个顺序表来存储顶点信息 图的矩阵 设G=(V，E)是具有n个顶点的图，则G的邻接矩阵是具有如下性质的n阶方阵： 【例】 下图中无向图G 5和有向图G 6的邻接矩阵分别为A1和A 2。 络矩阵 若G是络，则邻接矩阵可定义为： 其中： w ij表示边上的权值;
邻接矩阵
数据结构术语
Hale Waihona Puke 01 定义03 描述
目录
02 特点 04 表示法
逻辑结构分为两部分：V和E集合，其中，V是顶点，E是边。因此，用一个一维数组存放图中所有顶点数据； 用一个二维数组存放顶点间关系（边或弧）的数据，这个二维数组称为邻接矩阵。邻接矩阵又分为有向图邻接矩 阵和无向图邻接矩阵
定义
邻接矩阵（Adjacency Matrix）是表示顶点之间相邻关系的矩阵。设G=(V,E)是一个图，其中 V={v1,v2,…,vn} 。G的邻接矩阵是一个具有下列性质的n阶方阵：
邻接矩阵 检索-概述说明以及解释
邻接矩阵检索-概述说明以及解释1.引言1.1 概述：邻接矩阵是图论中一种常见的数据结构，用于描述图中各个顶点之间的连接关系。
在邻接矩阵中，图的顶点通常用矩阵的行和列来表示，矩阵的元素则表示顶点之间是否相连或具有何种关系。
邻接矩阵在图论中有着广泛的应用，可以用来表示网络结构、社交关系、路线规划等各种场景。
通过邻接矩阵，我们可以方便地进行图的遍历、查找、最短路径等操作，为解决各类实际问题提供了便利。
本文将重点介绍邻接矩阵的定义与概念，探讨邻接矩阵在图论中的应用，并详细介绍邻接矩阵检索算法，希望能够为读者提供对邻接矩阵及其应用的深入理解。
1.2文章结构1.2 文章结构本文主要分为三个部分，即引言、正文和结论。
在引言部分，将会对邻接矩阵进行概述，介绍文章的结构和目的。
其中，概述部分将对邻接矩阵的基本定义和概念进行简要介绍，为后续的正文部分做铺垫；文章结构部分将给出整篇文章的框架和布局，方便读者快速了解文章内容；而目的部分则会说明本文撰写的目的和意义。
在正文部分，将围绕着邻接矩阵展开讨论。
具体而言，将首先介绍邻接矩阵的定义与概念，让读者对其有一个清晰和全面的认识；接着将探讨邻接矩阵在图论中的应用，以便读者更深入地理解这一概念；最后将重点讨论邻接矩阵的检索算法，为读者提供一种快速高效地检索邻接矩阵信息的方法。
在结论部分，将对全文进行总结，回顾本文所涉及的内容和观点；同时也将展望邻接矩阵在未来的应用和发展方向，为读者呈现一幅邻接矩阵所展现出的无限可能；最后提出结论，总结本文的主要观点和贡献，为本文画上一个完整的句号。
1.3 目的邻接矩阵是图论中一种重要的数据结构，用于表示图中各个顶点之间的连通关系。
邻接矩阵检索算法则是基于邻接矩阵的数据结构，用于实现对图的快速检索和查询操作。
本文旨在探讨邻接矩阵检索算法的原理和实现方法，通过深入分析算法的逻辑结构和实用性，帮助读者更好地理解和应用邻接矩阵在图论中的作用。
通过本文的阐述，读者将能够了解邻接矩阵在图论中的重要性和应用价值，掌握邻接矩阵检索算法的具体实现方式，从而提升对图的处理和分析能力。
邻接矩阵的实验原理及应用
邻接矩阵的实验原理及应用实验原理邻接矩阵是一种图的表示方法，通过矩阵的形式记录图中各个顶点之间的连接关系。
邻接矩阵可以用于描述有向图和无向图。
无向图的邻接矩阵无向图的邻接矩阵是一个方阵，其中的每个元素表示图中两个顶点之间是否存在边。
如果顶点i和顶点j之间存在边，则邻接矩阵的第i行第j列和第j行第i列的元素值都为1；否则，为0。
邻接矩阵的对角线上的元素表示各个顶点的度数。
有向图的邻接矩阵有向图的邻接矩阵同样是一个方阵，其中的每个元素表示从顶点i到顶点j是否存在边。
如果顶点i到顶点j存在边，则邻接矩阵的第i行第j列的元素值为1；否则，为0。
邻接矩阵的表示方法邻接矩阵可以用二维数组来表示，数组的大小为n×n，其中n为图中顶点的个数。
数组的下标表示顶点的编号，而数组中的元素表示邻接关系。
应用邻接矩阵在图的算法和应用领域有重要的应用。
图的遍历使用邻接矩阵可以进行图的遍历操作，包括深度优先遍历和广度优先遍历。
通过对邻接矩阵的遍历，可以访问图中所有的顶点和边。
最短路径算法邻接矩阵可以作为最短路径算法的基本数据结构。
通过邻接矩阵，可以方便地计算两个顶点之间的最短路径。
最小生成树算法最小生成树算法可以使用邻接矩阵作为数据结构。
通过构建邻接矩阵，并使用Prim算法或Kruskal算法，可以生成图的最小生成树。
图的连通性判断邻接矩阵可以用来判断图的连通性。
通过对邻接矩阵进行深度优先搜索或广度优先搜索，可以确定图中的连通分量。
图的可达性分析邻接矩阵可以用于分析图中顶点之间的可达性。
通过对邻接矩阵进行矩阵运算，可以得到图中任意两个顶点之间的可达性。
总结邻接矩阵是一种表示图的方法，通过矩阵的形式记录图中各个顶点之间的连接关系。
邻接矩阵具有简单、直观、易于操作等优点，在图的算法和应用中有广泛的应用。
通过对邻接矩阵的遍历、最短路径算法、最小生成树算法、连通性判断和可达性分析等操作，可以解决各种与图相关的问题。
以上就是邻接矩阵的实验原理及应用，希望对你有所帮助。
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v4
v3
0 0 A(G) 1 1
1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0
可推广到简单无向图
举例（邻接矩阵）
v1 v2
v4
v3
0 1 A(G) 1 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 0 1 0
简单无向图的邻接矩阵是对称矩阵
邻接矩阵(adjacency matrix)
简单有向图G = (V, E, ) ，设V＝v1，…，vn，E＝ e1，…，em。
A(G)＝aij称为G的邻接矩阵(n×n 阶矩阵)，其中
1 如果v i邻接到v j a ij 0 否则
eE. (e)=(vi, vj)
举例（邻接矩阵）
邻接矩阵的运算
逆图（转置矩阵）
设Ｇ的邻接矩阵为 A ，则 G 的逆图的邻接矩阵是 A 的转 置矩阵，用AT表示。
０１００ ００１１ A １１０１ １０００
００１１ １０１０ T A ０１００ ０１１０
邻接矩阵的运算
邻接矩阵的运算
顶点的度
行中1的个数就是行中相应结点的出度
列中1的个数就是列中相应结点的入度
v1
v2
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v3
Hale Waihona Puke 0 0 A 1 11 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0
Deg+(1)=1,Deg-(1)=2
Deg+(2)=2,Deg-(2)=2
Deg+(3)=3,Deg-(3)=1 Deg+(4)=1,Deg-(4)=2
邻接表
是单射
若图G = (V, E, ) 没有多重边，列出这个图的所有 边。对每个顶点，列出与其邻接的顶点。
b
a
c
e
d
顶点 a b c d e
相邻顶点 b, c, e a a, d, e c, e a, c, d
邻接表（有向图）
是单射
若图G = (V, E, ) 没有多重边，列出这个图的所有 边。对每个顶点，列出与其邻接的顶点。
顶点 a b c d e 相邻顶点 b, c, d, e b, d a, c, e
b, c, d
b a c
e
d
关于邻接矩阵
通常，邻接矩阵中的元素为0和1，称为布尔矩阵。
邻接矩阵也可表示包含多重边的图，此时的矩阵不 是布尔矩阵。 v1
v2
v4
v3
0 3 A 0 2
3 0 2 0 1 1 1 1 2 1 2 0
从v2→v1，有二条长度为2的通路；有一条长度为3的通路
邻接矩阵的运算
v1 v2
0 0 A 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0
v4
v3
３４２３ ５５４６ B4 A1 A2 A3 A4 ７７４７ ３２１２
k 1 n
Cij表示同时有边指向结点i和结点j的那些结点的个数； 若i＝j，则Cii表示结点i的入度。
邻接矩阵的运算
v1 v2
0 0 A 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0
v4
v3
１０１０ ０２１０ T A A １１３１ ００１１
1 如果e j关联v i m ij 0 否则
vi(ej)
无向图G可以是伪图（含自环或多重边）。
举例（关联矩阵）
v1
e1
v2
e4
e5
e2
v4
e3
v3
1 1 M(G) 0 0
0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0
关联矩阵表示法不适合于有向图
２１０１ １２０１ AT A ００１１ １１１２
邻接矩阵的运算
A A A2 D [d ij ] d ij aik akj ai1 a1 j ain anj
k 1 n
若aik×akj＝1，则表示有i→k→j长度为2的有向边； dij表示i和j之间具有长度为2的通路个数。
邻接矩阵的运算
v1 v2
0 0 A 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0
v4
００１１ ２１０１ A2 A A １１１１ ０１００
v3
２１０１ １２１１ A3 A2 A ２２１２ ００１１
长度不大于k的通路个数
图的同构
图同构的定义
设G1=(V1, E1, 1)和G2=(V2, E2, 2)是两个简单无向图。
关于邻接矩阵
当有向图中的有向边表示关系时，邻接矩阵就是 关系矩阵。无向图的邻接矩阵是对称的。
图 G 的邻接矩阵中的元素的次序是无关紧要的， 行与行、列与列进行相应交换，则可得到相同的 矩阵。
若有二个简单有向图，则可得到二个对应的邻接矩阵， 若对某一矩阵行与行、列与列之间的相应交换后得到 和另一矩阵相同的矩阵，则此二图同构。
图的表示与图同构
离散数学─图论初步
南京大学计算机科学与技术系
内容提要
图的表示 邻接矩阵的运算 图的同构
图的表示
关联矩阵 邻接矩阵 邻接表
关联矩阵(incidence matrix)
无向图G = (V, E, ) ，不妨设V＝v1，…，vn，E＝ e1，…，em。 M(G) ＝mij称为G的关联矩阵(n×m 阶矩阵), 其中
A AT B [bij ] bij aik a jk ai1 a j1 ai 2 a j 2 ain a jn
k 1 n
bij表示结点i和结点j均有边指向的那些结点的个数； 若i＝j，则bii表示结点i的出度。
邻接矩阵的运算
AT A C [Cij ] Cij aki akj a1i a1 j a2 i a2 j ani anj