人教版高中数学必修五基本不等式公开课教学课件
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(人教版)数学必修五：3.4《基本不等式(1)》ppt课件
∴1x＋1y≥2 x1y＝ 2xy≥4 2则是错误的，因为此时等号取 不到：前一个不等式成立的条件是 x＝2y＝12，后一个不等式则 是在 x＝y 时成立．
(2)也可以直接将1x＋1y的分子 1 代换为 x＋2y，和乘以“1”是 相同的．
已知 x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值．
∵x＋1x≤－2，∴－12≤x＋1 1x<0，当且仅当 x＝－1 时，等号 成立，
∴－1≤y<0；当 x＝0 时，y＝0.综上所述，该函数的值域 为[－1,1].
一变形技巧：“1”的代换
已知正数 x，y 满足 x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值． [分析] 灵活应用“1”的代换．在不等式解题过程中，常常 将不等式“乘以 1”、“除以 1”或将不等式中的某个常数用等 于 1 的式子代替．本例中可将分子中的 1 用 x＋2y 代替，也可 以将式子1x＋1y乘以 x＋2y.
成才之路 ·数学
人教A版 ·必修5
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章 不等式
第三章 3.4 基本不等式 ab≤a＋2 b
第1课时 基本不等式
课前自主预习
下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会 标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明 暗使它看上去像一个风车，代表中国人民的热情好客．那么你 能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？
[解析] ∵x，y 为正数，且 x＋2y＝1. ∴1x＋1y＝(x＋2y)(1x＋1y)＝3＋2xy＋xy≥3＋2 2，当且仅当2xy ＝xy，即当 x＝ 2－1，y＝1－ 22时等号成立． ∴1x＋1y的最小值为 3＋2 2.
[方法总结] (1)本题若由 1＝x＋2y≥2 2xy，得 1xy≥2 2，
(2)也可以直接将1x＋1y的分子 1 代换为 x＋2y，和乘以“1”是 相同的．
已知 x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值．
∵x＋1x≤－2，∴－12≤x＋1 1x<0，当且仅当 x＝－1 时，等号 成立，
∴－1≤y<0；当 x＝0 时，y＝0.综上所述，该函数的值域 为[－1,1].
一变形技巧：“1”的代换
已知正数 x，y 满足 x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值． [分析] 灵活应用“1”的代换．在不等式解题过程中，常常 将不等式“乘以 1”、“除以 1”或将不等式中的某个常数用等 于 1 的式子代替．本例中可将分子中的 1 用 x＋2y 代替，也可 以将式子1x＋1y乘以 x＋2y.
成才之路 ·数学
人教A版 ·必修5
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章 不等式
第三章 3.4 基本不等式 ab≤a＋2 b
第1课时 基本不等式
课前自主预习
下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会 标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明 暗使它看上去像一个风车，代表中国人民的热情好客．那么你 能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？
[解析] ∵x，y 为正数，且 x＋2y＝1. ∴1x＋1y＝(x＋2y)(1x＋1y)＝3＋2xy＋xy≥3＋2 2，当且仅当2xy ＝xy，即当 x＝ 2－1，y＝1－ 22时等号成立． ∴1x＋1y的最小值为 3＋2 2.
[方法总结] (1)本题若由 1＝x＋2y≥2 2xy，得 1xy≥2 2，
基本不等式公开课课件完整版
4
基本不等式的形式与特点
基本不等式的形式
包括一元一次不等式、一 元二次不等式、分式不等 式等。
2024/1/25
基本不等式的特点
具有普遍性、客观性、可 解性等。
基本不等式的应用
在解决数学问题时，经常 需要运用基本不等式进行 求解或证明。
5
基本不等式的几何意义
1 2
一元一次不等式的几何意义
表示平面直角坐标系中的一条直线将平面分成两 部分，其中一部分为满足不等式的区域。
应用
在证明不等式、求最值等问题中有广泛应用，如利用柯西-施瓦茨不 等式证明均值不等式。
2024/1/25
22
赫尔德不等式
2024/1/25
定义
对于非负实数序列 {a_i} 和正实数 p, q 满足 1/p + 1/q = 1，有 (∑a_i^p)^(1/p) * (∑a_i^q)^(1/q) ≥ ∑a_i，其中“∑”表示求和符号。
感谢观看
2024/1/25
31
26
常见误区与注意事项
2024/1/25
不等式性质理解的误区
学生常常对不等式的基本性质理解不透彻，如反向不等式的错误 使用等。
忽视定义域的问题
在解不等式时，学生有时会忽视定义域的限制，导致解集错误。
解法选择不当
针对不同类型的不等式，应选择适当的解法。学生有时会选择复杂 的解法，导致解题效率低下。
27
例题3
已知函数$f(x) = x^2 - 2ax + 3$在区间$(-infty, 2]$上是减函 数，求$a$的取值范围。
例题4
已知不等式$|x - a| < b$的解集 为${ x | -1 < x < 3 }$，求$a +
基本不等式的形式与特点
基本不等式的形式
包括一元一次不等式、一 元二次不等式、分式不等 式等。
2024/1/25
基本不等式的特点
具有普遍性、客观性、可 解性等。
基本不等式的应用
在解决数学问题时，经常 需要运用基本不等式进行 求解或证明。
5
基本不等式的几何意义
1 2
一元一次不等式的几何意义
表示平面直角坐标系中的一条直线将平面分成两 部分，其中一部分为满足不等式的区域。
应用
在证明不等式、求最值等问题中有广泛应用，如利用柯西-施瓦茨不 等式证明均值不等式。
2024/1/25
22
赫尔德不等式
2024/1/25
定义
对于非负实数序列 {a_i} 和正实数 p, q 满足 1/p + 1/q = 1，有 (∑a_i^p)^(1/p) * (∑a_i^q)^(1/q) ≥ ∑a_i，其中“∑”表示求和符号。
感谢观看
2024/1/25
31
26
常见误区与注意事项
2024/1/25
不等式性质理解的误区
学生常常对不等式的基本性质理解不透彻，如反向不等式的错误 使用等。
忽视定义域的问题
在解不等式时，学生有时会忽视定义域的限制，导致解集错误。
解法选择不当
针对不同类型的不等式，应选择适当的解法。学生有时会选择复杂 的解法，导致解题效率低下。
27
例题3
已知函数$f(x) = x^2 - 2ax + 3$在区间$(-infty, 2]$上是减函 数，求$a$的取值范围。
例题4
已知不等式$|x - a| < b$的解集 为${ x | -1 < x < 3 }$，求$a +
高中数学人教A版必修5第三章3.4基本不等式课件(26张ppt)
2
我们可以用四个全等的直角三角形拼成一 个“风车”图案？
创设情境、体会感知：
2002年国际数学家大会会标
一 、探究
问题1：在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b,
则AB=
a2则 b正2 方形的面积为S= a2 。b2
问题2：Rt△ABE,Rt△BCF,Rt△CDG,Rt△ADH是全等
三
角形，它们的面积2a总b和是S’=—
所以a2 b2≥2ab.
合作探究，问题解决
探究二：若 a 0,b 0 用 a , b 去替换 a2 b2 2a b
中的 a,b ,能得到什么结论?
替换后得到： ( a )2 ( b )2≥2 a b
即： a b≥2 ab
即： ab a b (a 0,b 0) 2
（当且仅当a=b时，等号成立）
名称
重要不等式
基本不等式
公式
a2 b2 2ab
等号成立条件
ab
a,b的取值范围 a, b R
ab a b 2
ab
a 0,b 0
常见变形
ab a2 b2 2
a b 2 ab
ab ( a b )2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
典例探究 例1.试判断x+ 1 (x 0)与2的大小关系？ x
学案72页例1、2
变式：若x<0,求f（x）=4x+ 9 的最值，并求取得最值时x的值. x
（2）求函数y 1 x(x 3)的最小值. x3
（3）已知：x 3，求x+ 4 的最小值. x
学案75页例2、3
课堂小结
1、 主要内容：
2. 数形结合，换元的数学思想方法。 3、不等式的简单应用：求最值。特别要注意公式适用 的条件。
我们可以用四个全等的直角三角形拼成一 个“风车”图案？
创设情境、体会感知：
2002年国际数学家大会会标
一 、探究
问题1：在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b,
则AB=
a2则 b正2 方形的面积为S= a2 。b2
问题2：Rt△ABE,Rt△BCF,Rt△CDG,Rt△ADH是全等
三
角形，它们的面积2a总b和是S’=—
所以a2 b2≥2ab.
合作探究，问题解决
探究二：若 a 0,b 0 用 a , b 去替换 a2 b2 2a b
中的 a,b ,能得到什么结论?
替换后得到： ( a )2 ( b )2≥2 a b
即： a b≥2 ab
即： ab a b (a 0,b 0) 2
（当且仅当a=b时，等号成立）
名称
重要不等式
基本不等式
公式
a2 b2 2ab
等号成立条件
ab
a,b的取值范围 a, b R
ab a b 2
ab
a 0,b 0
常见变形
ab a2 b2 2
a b 2 ab
ab ( a b )2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
典例探究 例1.试判断x+ 1 (x 0)与2的大小关系？ x
学案72页例1、2
变式：若x<0,求f（x）=4x+ 9 的最值，并求取得最值时x的值. x
（2）求函数y 1 x(x 3)的最小值. x3
（3）已知：x 3，求x+ 4 的最小值. x
学案75页例2、3
课堂小结
1、 主要内容：
2. 数形结合，换元的数学思想方法。 3、不等式的简单应用：求最值。特别要注意公式适用 的条件。
人教版必修五数学PPT课件基本不等式PPT
当a,b是任意正实数时,a,b的几何平均数不大于它们的算术平均数,即
+
≤ ,当且仅当a=b时,等号成立.
2. 基本不等式
(3)几何意义:
半弦不大于半径.如图所示,AC=a,CB=b,则
OD=
+
,DC=
= DE,则DC≤OD.
(4)变形:
ab≤
a+b 2
,a+b≥2
2
等号成立).
x−1
x
,所以函数f(x)的最小值是2
x−1
x
.由
x−1
是一个与x有关的代数式,显然这是一个错误的答案.其原因是忽视了基本不等式中ab与a+b有一个是定值.
x−1
2. 基本不等式
三相等:
等号能够成立,即存在正数a,b使基本不等式两边相等.如果忽视这一点,就会得出错误的答案.例如,当x≥2时,
1
1
1
式求出最值.
《基本不等式》
·人教版必修五数学PPT课件·
①若x2+y2=S(平方和为定值),则xy≤,当且仅当x=y时,积xy
取得最大值;
②若xy=P(积为定值),则x2+y2≥2P,当且仅当x=y时,平方和
x2+y2取得最小值2P.
3. 有关常用理论
(2)已知x>0,y>0,
S2
①若x+y=S(和为定值),则xy≤ 4 ,当且仅当x=y时,积xy
a2 +b2
2
2
(2)公式中a +b ≥2ab常变形为ab≤
或a2+b2+2ab≥4ab或
2
2(a2+b2)≥(a+b)2等形式,要注意灵活掌握。
人教版高中数学必修五3.4基本不等式二 课件(共15张PPT)
解：当x 0时，y x 4 2 x 4 4
x
x
当且仅当x 2时等号成立
当x 0时
y
x
4 x
x
4 x
2
x 4 4
x
当且仅当x 2时等号成立
综上所述函数的值域为 ，44，
基本不等式成立的条件：二定（积定和最小）
例2 已知x 1,求x 4 的最小值 x 1
解： x 1 x 1 0 4 0
2
2x 1
解： x 1 2x 1 0 8 0
2
2x 1
y x 8 1 2x 1 8 1
2x 1 2
2x 1 2
y x 8 2 1 2x 1 8 1 2 2 1 9
2x 1 2
2x 1 2
22
当且仅当1 2x 1 8 时，即x 5 时等号成立
2
2x 1
2
基本不等式成立的条件：二定（和定积最大）
2
当且仅当a b时等号成立
基本不等式成立的条件：二定（和定积最大）
变式4
若0
x
1 3
,
则x1
3x取最大值时x的值是B
A. 1
B. 1
C. 1 D. 1
4
6
8
10
基本不等式成立的条件：三相等
例4 求函数y x2 2 1 的最小值 x2 2
解： x2 2 0
1 0
x2 2
二定
y x2 2 1 2 x2 2 1 2
适用条件
复习回顾
已知x 0,求y x 4的最小值；
x
二定
解 x 0, y x 4 2 x 4 4
x
x
当且仅当x 4 ,即x 2时原式有最小值4 x
高中数学人教版必修五：基本不等式(共23张PPT)
基本不等式：
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
ab
a
b 2
（第一课时）
2019/10/5
一、情境创设 导入课题
第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标
问题 ：你能在这个图中找出一些相等关系或不 等关系吗？
二、自主探究 推导公式
问题 1：在正方形 ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的
两条直角边长为a,b，正方形ABCD的面积为 S ，4个直角三角形的面积和
2
又称为基本不等式
4、从数列角度看：
把
ab 2
看做两个正数a，b 的等差中项，
ab 看做正数a，b的等比中项，
那么上面不等式可以叙述为：
两个正数的等差中项不小于它们的等比 中项。
还有没有其它的证明方法证明均值 不等式呢?
二、自主探究 推导公式 探究：如图，AB 是圆的直径，点 C 是 AB上一点，
显然，④是成立的.当且仅当 a b 时，④中的等号成立.
2019/10/5
析 ： a 0,b 0,
a b ab a b 2 ab ( a b)2 0
2
2
2
即 a b ab 2
当且仅当 a b即a b等号成立
上面所证结论通常称为均值不等式
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18， 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ x y
2
因此 xy ≤9
将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立，此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，它的 面积最大，最大值是81m2。
人教版高中数学必修五第三章3.4.1 基本不等式公开课教学课件 (共21张PPT)
如图，这是在北京 召开的第24届国际数学 大会的会标，会标根据 中国古代数学家赵爽的 弦图设计的，颜色的明 暗使它看上去像一个风 车，代表中国人民热情 好客.
问题探索
b a
a2 b2
问1：在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b, 则正方形的面积为a2S=b—2———
问2： Rt△AEB,Rt△BFC,Rt△CGD,Rt△AHD2是ab全 等三角形，它们的面积和是S’=——— 问3：S与S’有什么样的关系？ 从图形中易得，S > S’,即
5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
时,
取“=”号.
∴当
x
=
1 4
时,
函数 y=x(1-2x) 的最大值是
1 8
.
五、作业：
课本习题练习 1,2,3,
21
（1）a2 b2 2ab(a,b R) 当且仅当a b时取""号
（2） a b 2 ab (a当且0,b仅当0)a=b时，等号成立
注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数. 2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件.
问题探索
b a
a2 b2
问1：在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b, 则正方形的面积为a2S=b—2———
问2： Rt△AEB,Rt△BFC,Rt△CGD,Rt△AHD2是ab全 等三角形，它们的面积和是S’=——— 问3：S与S’有什么样的关系？ 从图形中易得，S > S’,即
5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
时,
取“=”号.
∴当
x
=
1 4
时,
函数 y=x(1-2x) 的最大值是
1 8
.
五、作业：
课本习题练习 1,2,3,
21
（1）a2 b2 2ab(a,b R) 当且仅当a b时取""号
（2） a b 2 ab (a当且0,b仅当0)a=b时，等号成立
注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数. 2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件.
3.4基本不等式 课件(人教A版必修5)
由容积为4800m3,可得:3xy=4800
因此
xy=1600
由基本不等式与不等式的性质,可得
240000 720(x y) 240000 720 2 xy
即 z 240000 720 2 1600
z 297当60x0=y,即x=y=40时,等号成立 所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方形 时总造价最低,最低总造价为297600元.
(1)a,b R,那么a2 b2≥2ab ,当且仅当a b时,等号成立
(2) ab≤ a b (a>0,b>0)，当且仅当a b时，等号成立。 2
2. 利用基本不等式求最值
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
(1) xy=P x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
3x y 6 0,
2.（2009山东理12T)设 x, y 满足约束条件 x y 2 0, 若目标函数
x 0, y 0,
a z ax by（
＞0， b
>0）的最大值为12，则
2 a
b3的最小值为（A）
A. 25 6
8
B.
3
11
C.
D. 4
3
略解：
y
把点（4，6）代入z = ax + by得4a + 6b = 12,
0,求x
1
x 的最值;
x
(3)若x 3,函数y x
1
,当x为何值时，函数
x3
有最值，并求其最值。
解: x 1 2 x 1 2
x
x
当且仅当x 1即x 1时原式有最小值2. x
2、解: x 1 [(x) ( 1 )] 2 ( x) ( 1 ) 2
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知识回顾：
1、重要不等式： a2 b2 2ab
2.基本不等式：
3、常用不等式：当a 0, b 0 时
a b 2 ab
ab （ a+b ）2 , 2
自主探究：
下列函数中，最小值是2的是 ( )
A．y＝x2＋2x
B．y＝
x2＋2＋
1 x2＋2
C．y＝7x＋7－x
D．y＝x＋8x(x>0)
x(1 x)
4
4
思考：取到最值时x的值呢？ (2)x=1/2
变式：若 0<x<12 , 求函数 y=x(1-2x) 的最大值.
3.凑系数 ：使和成为定值
变式：若
0<x<
1 2
,
求函数
y=x(1-2x)
的最大值.
分析: 2x+(1-2x) 不=1是为 常数.
解:
∵0<x<
1 2
,
∴1-2x>0.
人教版高中数学必修五 基本不等式公开课教学
课件
2020/9/19
第三章 不等式
3.4 基本不等式： ab≤a＋ 2 b
（第 2 课时）
利用基本不等式求最值
课程 标准
会用基本不等式解决简单最大（小）值问题
学习目标：
1、进一步掌握基本不等式 ab≤a＋2 b ，
会应用此不等式及其变形求某些函数的 最值
探究利用基本不等式求最值问题的方法
探究1：
求f
(x)
4x
1 x
(x
0)的最大值
解：
1.提负号，化为正
探究利用基本不等式求最值问题的方法
探究2：已知x
1, 求y
x
1 的最小值 x 1
解析：(1) x 1 x 1 0 思考：取到最值时x的值呢？
y x 1 (x 1) 1 1
x 1
x 1
2、通过自主探究，进一步认识利用基本 不等式求最值的三个条件，能够对式子 适当变形，配凑出“一正”，“二定” 即和为定值，积为定值解题。
问题检测：
• 1．若a，b为正数，且ab＝25，则a＋b的最小值为
()
• A．2
B．5
C．10 D．25
• 2．已知正数x，y满足x＋y＝10，则xy的最大值为
()
解析：A中x可能为负值，B中等号不成
立，D中最小值不是2. 答案：C
总结归纳：
利用基本不等式求最值需要注意什么？
总结归纳：
应用基本不等式求最值时，要把握三个条件：
一、正数条件，即a、b都是正数；
二、定值条件，即和是定值或积是定值；
三、相等条件，即a＝b时取等号；
简称“一正，二定，三等” 忽略了任何一个条件，都会导致解题失败，若有 条件不满足时，应该怎样处理呢？
• A．15
B．10 C．25 D．不存在
问题检测：
• 1．若a，b为正数，且ab＝25，则a＋b的最小值为
()
• A．2
B．5
C．10 D．25
• 2．已知正数x，y满足x＋y＝10，则xy的最大值为
()
• A．15
B．10 C．25 D．不存在
1. 解析：a＋b≥2 ab＝2 25＝10.
当且仅当 a＝b＝5 时“＝”成立，所以 a＋b 的最小
∴y=x(1-2x)= 12∙2x∙(1-2x)
≤
1 2
∙[
2x+(1-2x) 2
]2=
1 8
.
当且仅当
2x=(1-2x),
即 x=
1 4
时,
取“=”号.
∴当
x
=
1 4
时,
函数 y=x(1-2x) 的最大值是
1 8
.
(1)x=2
2 (x 1) 1 1 3 x 1
2.凑项 ：使积成为定值
拓展延伸：
已知x 5 , 求函数y 4x 2 1 的最大值
4x 5
探究利用基本不等式求最值问题的方法
探究3：已知0 x 1, 求x(1 x)的最大值
解析： 0 x 11 x 0
(x 1 x)2 1
值为 10.
答案：C
问题检测：
• 1．若a，b为正数，且ab＝25，则a＋b的最小值为
()
• A．2
B．5
C．10 D．25
• 2．已知正数x，y满足x＋y＝10，则xy的最大值为
()
• A．15
B．10 C．25 D．不存在
2.
解析：xy≤x＋ 2 y2＝25，当且仅当
x＝y＝5
答案：C
时“＝”成立，所以 xy 的最大值为 25.