第八章 状态方程
化简，得
d eAtλ t eAt Bet
dt
两边取积分，并考虑起始条件，有
eAtλ tλ 0
t eA Be( ) d
0
对上式两边左乘 e A，t 并考虑到 eAteAt I ，可得
λ为t方 程eA的tλ 一0般解0t eAt Be d eAtλ 0 eAt B et
求输出方程r(t)
et b1
dk 1 dt k1
et
bk1
d dt
et bket
此系统为k 阶系统，输入信号的最高次导数也为
k 次系统函数为
H
s
b0sk b1sk1 bk1s bk sk a1sk1 ak1s ak
为便于选择状态变量，系统函数表示成
H
s
b0
b1s1
bk
s1k
1
bk sk
d λ t， 输出为 λ t。
dt
若 A,B,C矩, D阵是 的函t数，表明系统是线性时变
的，对于线性时不变系统，A,B,C的, D各元素都为常
数，不随 t改变。
状态变量的特性
每一状态变量的导数是所有状态变量和输 入激励信号的函数；
每一微分方程中只包含有一个状态变量对 时间的导数；
输出信号是状态变量和输入信号的函数；
1 a1s1
ak
s1k
1
ak sk
当用积分器来实现该系统时，其流图如下
et 1
b0
1 s k a1
b1 b2
1 sk1
a2
bk 2
bk 1
3 1 s 2 1 s 1 bk
r t
ak2 ak1
ak
取积分器的输出作为状态变量，如图中所标的
1t,2t, ,k t,
状态方程
12
2 3
(2)对包含有电容的回路列写回路电压方程，其中必然包
括 L d iL t ，对连接有电容的结点列结点电流方程，其
dt
中必然包含 C d vC t ，注意只能将此项放在方程左边。
dt
(3)把方程中非状态变量用状态变量表示。
(4)把状态方程和输出方程用矩阵形式表示。
状态变量的个数 k等于系统的阶数。
e1 t
r1 t
e2 t
. .
i t0
r2 t
.
em t
rr t
m个输入信号
r个输出信号
1t,2t, ,k t 为系统的k个状态变量。
状态方程
d dt
1t
f11t, 2 t,
, k t;e1t, e2 t,
, em t,t
d dt
2 t
f21t, 2 t,
, k t;e1t, e2 t,
三．状态变量分析法优点
(1)提供了系统的内部特性以供研究； (2)一阶微分（或差分）方程组便于计算机进行
数值计算；
(3)便于分析多输入－多输出系统；
(4)容易推广应用于时变系统或非线性系统；
(5)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。
四．名词定义
状态：表示动态系统的一组最少变量（被称为状态
变量），只要知道 t t0时这组变量和 t t0时的输 入，那么就能完全确定系统在任何时间 t t0的行为
（二）用流图的串联结构形式列状态方程
§8.2 连续时间系统状态方 程的求解
时域方法……借助计算机
变换域方法……简单
由状态方程求系统函数
一．用拉普拉斯变换法求解状态方程
10
方程
d dt
λ
t
Aλ
t
Bet
rt Cλ t Det
方程两边取拉氏变换
，起始条件 λ
0
2
0
k 0
整理得
sΛsλ 0 AΛs BEs Rs CΛs DEs
d dt
k
t
ak11 t
ak22 t bk1e1t bk
akkk t 2e2 t bkmem
t
r1t c111t c122 t c1kk t d11e1t
d12e2 t d1mem t
r2
t
c211t
d
c222 t c2kk 22e2 t d2mem t
2.主要性质
e Ate At I
e At e At 1
d e At Ae At e At A dt
(二)用时域方法求解状态方程
1. 求状态方程和输出方程
若已知 d λ t Aλ t Bet
(1)
dt
10
并给定起始状态矢量
λ
0
2
0
对式(1)两边左乘 eAt，移项有 k 0
eAt d λ t eAt Aλ t eAt Bet
, em t,t
d dt
k t
fk 1t, 2 t,
, k t;e1t, e2 t,
, em t,t
输出方程
r1t h11t, 2 t, , k t;e1t, e2t, , em t,t r2 t h21t, 2 t, , k t;e1t, e2 t, , em t,t rr t hr 1t, 2 t, , k t;e1t, e2 t, , em t,t
对于较简单的电路，用直观的方法容易列写 状态方程。当电路结构相对复杂时，往往要 借助计算机辅助设计（CAD）技术。
三．由系统的输入-输出方程或流图建立状态方程
假定某一物理系统可用如下微分方程表示
dk dt k
rt a1
dk 1 dt k1
r t
ak 1
d dt
rt akrt
b0
dk dt k
k1 k
k ak1 ak 1 2 a2k1 a1k e t
输出方程
r t bk1 bk 1 2 b2k1 b1k
b0 ak1 ak 1 2 a2k1 a1k e t
bk akb0 1 bk1 ak1b0 2 b2 a2b0 k1 b1 a1b0 k b0et
状态变量：能够表示系统状态的那些变量成为状态
变量。例如上例中的 iL(t), vC (t)。
状态矢量：能够完全描述一个系统行为的k个状态变
量，可以看作矢量 (的t )各个分量的坐标。 称(为t )
状态矢量。
状态空间：状态矢量 (t )所在的空间。
状态轨迹：在状态空间中状态矢量端点随时间变化 而描出的路径称为状态轨迹。
表示成矢量矩阵的形式
状态方程
12
kk 1
0 0 0 ak
1
0
01
00
ak1 ak2
0 1 0
0 2
0
et
1
k
1
0
a1k 1
输出方程
1
2
r t
bk
ak b0
, bk1
ak 1b0
,
, b2
a2b0
, b1
a1b0
k
1
b0et
k
简化成
λt At Bet rt Ct Det
对应A,B,C,D的矩阵分别为
0 1
0
0
01
A
0
0
0
ak ak1 ak2
0 0 00 B 1 0 a11
C bk akb0 ,bk1 ak1b0 , ,b2 a2b0 ,b1 a1b0
D b0
四．将系统函数分解 建立状态方程
将系统函数的分母分解因式，可以对应构成并 联或串联形式的流图结构，即可列出不同形式 的状态方程。 （一）用流图的并联结构形式列状态方程
sI AΛs λ 0 BEs Λs sI A1λ 0 sI A 1BEs
将sI A 1记为Φs，称为特征矩阵或预解矩阵，则
Λs Φsλ 0 ΦsBEs
Rs
CΦs
λ
0
CΦs
B
DE
s
因而时域表示式为
λ
t
L1Φs
λ
0
L1Φs
B
L1E
s
r
t
C L1Φsλ 0
零输入解
CL1Φs
BD t
通常选择动态元件的输出作为状态变量， 在连续系统中是选积分器的输出。
建立给定系统的状态方程的方法分为 直接法和间接法两类：
直接法——主要应用于电路分析、电网络 （如滤波器）的计算机辅助设计；
间接法——常见于控制系统研究。
二．由电路图直接建立状态方程
(1)选取独立的电容上电压和电感中电流为状态变量， 有时也选电容电荷与电感磁链。
k t
d dt
1t
d dt
λ
t
d dt
2
t
d dt
k
t
a11 a12 a1k
A a21 a22
a2k
b11 b12 b1k
c11 c12 c1k
B b21 ba22
b2k
C c21 c22
c2
kLeabharlann ak1 ak 2 akk
bk1 bk 2 bkk
t
d
21e1
t
rr t cr11t cr22 t crkk t dr1e1t
dr2e2 t drmem t
表示为矢量矩阵形式
状态方程 输入方程
d d t
t k1
Akkλ
k1 t
Bkmem1 t
r t r1 Crkλ k1 t Drmem1 t
1 t λ t 2 t
rt Cλ t Det
CeAtλ 0
t eAt Be d Det
0
C eAtλ 0 [CeAtB Dδt]et
理想气体的状态方程课件PPT
A.TA＝2TB
B.TB＝4TA
C.TB＝6TA
D.TB＝8TA
第3讲 理想气体的状态方程
24
解析 从p-V图上可知TB>TA.为确定它们之间的定量关系，
可以从pV图上的标度值代替压强和体积的大小，代入理 想气体状态方程 pTAVAA＝pTBVBB，即2×TA1＝3×TB4，故TB＝6TA. 答案 C
第八章——
第3讲 理想气体的状态方程
目标定位 1.了解理想气体的概念，并知道实际气体在什么情况下 可以看成理想气体. 2.掌握理想气体状态方程的内容和表达式，并能应用方 程解决实际问题.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 对点练习
梳理·识记·点拨 理解·深化·探究 巩固·应用·反馈
预习导学
梳理·识记·点拨
的理想气体的两个状态，设气体在状态a时的体积为Va，密
度为ρa，在状态b时的体积为Vb，密度为ρb，则( )
A.Va>Vb，ρa>ρb
B.Va<Vb，ρa<ρb
C.Va>Vb，ρa<ρb
D.Va<Vb，ρa>ρb
图5
第3讲 理想气体的状态方程
31
1234
解析 过a、b两点分别作它们的等容线，由于斜率ka>kb， 所以Va<Vb，由于密度ρ＝mV，所以ρa>ρb，故D正确. 答案 D
第3讲 理想气体的状态方程
7
2.理想气体状态方程与气体实验定律
T1＝T2时，p1V1＝p2V2玻意耳定律 pT1V1 1＝pT2V2 2⇒V1＝V2时，Tp11＝Tp22查理定律
p1＝p2时，VT11＝VT22盖—吕萨克定律
第3讲 理想气体的状态方程
《信号与系统》第8章
) RC
(is
(t
)
iL
(t
))
经整理：
x1
(t
)
x2
(t
)
0
1 L
x1 (t )
1 C
RC L
x2 (t) RL x2 (t)
1 C
RC L
f1 (t )
f1(t)
1 L
f2 (t)
（3）建立输出方程
iuC((tt))uC
(t) iS
(t
RCiL (t) ) iL (t)
RC
iS
RC
iS
(t)
RC
iL (t)......... ...(3)
状态变量与系统输入变量的关系（状态方程）：
duC (t
dt diL (t)
)
1
dt L
uC
(t)
1 L
1 C (RL
RCiL (t) )iL 源自t)1C RC L
iS (t)(4) iS (t).........(5)
1H
x1
1F
+ -
x2
1F
i2
+
+-x3
2
u(t)
-
把该式代入上式，得：
x2
f
x1 x2 x3 (t) x2 x2
x3
x1
x3
x1
1 2
x3
x2
x3
x1 0 x2 x3 0
x2
1 3
x1
2 3
x2
1 6
x3
2 3
f (t)
x3
1 3
x1
1 3
x2
1 3
8.3 理想气体的状态方程
(1) p0 (V nV ' ) 4 p0V n 15 (2) 4 p0V p0V ' ' V ' ' 6L 即： V药 1.5L
！巧妙选对象，化变为不变！
拓展三：气缸类问题的处理方法
如图所示,气缸长为L =1m，固定在水平面上,气缸中有横截面积为S=100cm2的光滑活 塞,活塞封闭了一定质量的理想气体,当气温为t=27℃,大气压强为p0=105Pa时,气柱长度 为l =90cm,气缸和活塞的厚度均可忽略不计. (1)若温度保持不变，将活塞缓慢拉至气缸右端口，此时水平拉力F的大小是多少? (2)若气缸内气体温度缓慢升高，使活塞移至气缸右端口时，气体温度为多少摄氏度？
只有在温度不太低、压强不太大的条件下才可当成理想气体
思考与讨论
如图所示,一定质量的某种理想气体从A到B经历了一个等温过程,从B到C经
历了一个等容过程.分别用pA、VA、TA和pB、VB、TB以及pC、VC、TC表示气体
在A、B、C三个状态的状态参量, 那么A、C状态的状态参量间有何关系呢?
A→B 为等温变化,由玻意耳定律： pAVA=pBVB
一定质量理想气体的等压变化图像：
典例练习
一定质量的理想气体，由状态A变为状态D，其有关数据如图甲所示，若 状态D 的压强是2×104 Pa.请在图乙中画出该状态变化过程的p－T 图象, 并分别标出A、B、C、D 各个状态，不要求写出计算过程．
小结
一、理想气体：
在任何温度和任何压强下都能严格地遵从气体实验定律 的气体 二、理想气体的状态方程
p A
TA=TB
pB pC B →C 为等容变化,由查理定律： TB TC
又: TA=TB VB=VC
2024-2025学年高中物理第8章气体3理想气体的状态方程教案新人教版选修3-3
-教师可提供必要的指导和帮助，如解答疑问、推荐阅读材料等。
3.拓展活动：
-设计一个实验，验证理想气体状态方程。记录实验数据，分析实验结果，撰写实验报告。
-思考理想气体状态方程在生活中的应用，如吹气球、烧水等，尝试解释这些现象背后的原理。
-讨论理想气体状态方程在现代科技领域中的应用，如航空航天、制冷技术等，分享自己的见解和想法。
针对教学中存在的问题和不足，我将在今后的教学中采取以下改进措施：
1.针对学生理解困难的问题，我将采取更加直观的教学方式，如通过图示或实验，帮助学生更好地理解理想气体的状态方程及其推导过程。
2.对于学生在问题解决策略上的不足，我将引导学生运用数学知识和科学方法，培养他们的逻辑思维和问题解决能力。
3.为了提高学生的课堂参与度，我将更多地设计一些互动性强的教学活动，如小组讨论、实验操作等，激发学生的学习兴趣和主动性。
教学内容与学生已有知识的联系：
1.学生已经学习了初中物理中的基本概念，如压强、体积、温度等，对本节课的内容有了一定的理解基础。
2.学生已经学习了初中化学中的物质的量概念，对n的定义和计算方法有一定的了解。
3.学生已经学习了数学中的代数知识，能够进行方程的求解和分析。
核心素养目标
本节课的核心素养目标包括：
请学生阅读以上拓展阅读材料，进一步加深对理想气体状态方程的理解和应用。
2.课后自主学习和探究：
-请学生利用网络资源，查找理想气体状态方程在现代科技领域中的应用实例，如航空航天、制冷技术等，并在下节课分享自己的研究成果。
-设计一个实验，验证理想气体的状态方程。可以在家中利用简单的器材进行实验，记录实验数据，分析实验结果。
高中物理选修3---3第八章第三节《理想气体的状态方程》新课教学课件
标准大气压强为1 atm,全过程温度不变。)
解析: 设标准大气压为p0，药桶中空气的体积为V，打 气N次后，喷雾器中的空气压强达到4个标准大气压，打 入的气体在1 atm下的体积为V ′
解得： p=762.2 mmHTg1
T2
【例题】容积V=20L的钢瓶充满氧气后，压强为p=30P0(P0 为 1个大气压强)，打开钢瓶阀门，让氧气分装到容积为 V‘=5L的小瓶子中去。若小瓶子已抽成真空，分装到小瓶中 的氧气压强均为P’=2P0 。在分装过程中无漏气现象，且温 度保持不变，那么最多可能装的瓶数是多少？ 解题思维：以氧气的总量为研究对象，其物质的量 为一个定值，每一小部分都满足PV=nRT
P跟体积V的乘积与热力学温度T的比值保持不变，这种关系称
为理想气体的状态方程。
2、公式： p1V1 p2V2 或 pV C
T1
T2
T
①恒量C由理想气体的质量和种类决定，即由理想气体的物
质的量决定，一般写成比值形式叫理想气体状态方程，描述
两个状态之间的关系。写成乘积形式PV=nRT，（其中的n
指物质的量）时，叫克拉珀龙方程，描述一个状态的三个状
个状态的状态参量，那么A、C状态的状态参量间有何关系
呢？
解析： 从A→B为等温变化：
p A
pAVA=pBVB 从B→C为等容变化：
pB pC TB TC
C
TA=TBBຫໍສະໝຸດ 又：TA=TB VB=VC
0
V
解得： pAVA pCVC
TA
TC
二、理想气体的状态方程
1、内容：一定质量的理想气体的状态发生变化时，它的压强
第八章气体第3节理想气体的状态方程
三个气体实验定律是理想气体状态方程的特例
做一做
试根据一定质量理想气体的状态方程推导出 含有密度的表达式！
p1V1 p2V2 由理想气体的状态方程： T1 T2
两边同时除以被研究的气体质量m, 有： p1 p2 .................. 1T1 2T2
新课展开
5.理想气体状态方程的应用要点： (1)选对象:根据题意,选出所研究的某一部分 气体,这部分气体在状态变化过程中,其质量必须保 持一定。 (2)找参量:找出作为研究对象的这部分气体发 生状态变化前后的一组p、V、T数值或表达式,压 强的确定往往是个关键,常需结合力学知识(如力的 平衡条件或牛顿运动定律)才能写出表达式。
新课展开
（2）从宏观上讲,实际气体在压强不太大、 温度不太低的条件下,可视为理想气体。而在微观 意义上,理想气体是指分子本身大小与分子间的距 离相比可以忽略不计且分子间不存在相互作用的 引力和斥力的气体。 5.理想气体的内能: （1）对于一切物体而言,物体的内能包括分 子动能和分子势能。 （2）对于理想气体而言,其微观本质是忽略 了分子力,即不存在分子势能,只有分子动能,故一定 质量的理想气体的内能完全由温度决定。
课堂练习
【例题3】一定质量的某种理想气体，由状态A变 为状态D，其有关数据如图所示，若状态D 的压强 是2×104 Pa.求状态A的压强。
思考与讨论
如图所示，一定质量的某种理想气体从 A到B经历了一个等温过程，从B到C经历了 一个等容过程。分别用pA、VA、TA和pB、VB、 TB以及pC、VC、TC表示气体在A、B、C三个状 态的状态参量，那么A、C状态的状态参量间 p 有何关系呢？ A
TA=TB 0
C VC=VB B V
第八章 第3节 理想气体的状态方程
创新方案系列丛书
1. 如图所示，一个密闭的汽缸，被活塞分成体积相等的左、右两室， 汽缸壁与活塞是不导热的，它们之间没有摩擦，两室中气体的温度相等。 现利用右室中的电热丝对右室加热一段时间， 达到平衡后，左室的体积变 3 为原来的 ，气体的温度 T1＝300 K，求右室气体的温度。 4
高中同步新课标·物理
高中同步新课标·物理
其他图象
等 容 线
pt
VT 等 压 线
创新方案系列丛书
使一定质量的理想气体 按图甲中箭头所示的顺序变化，图中 BC 段是以纵轴和横轴为渐近线的双曲线。 (1)已知气体在状态 A 的温度 TA＝300 K，求气体在状态 B、C 和 D 的温度各是 多少； (2)将上述状态变化过程在图乙中画成用体积 V 和温度 T 表示的图线 (图中要标明 A、B、C、D 四点，并且要画箭头表示变化的方向)，且说明 每段图线各表示什么过程。
高中同步新课标·物理
创新方案系列丛书
1．[多选]关于理想气体，下列说法正确的是( B．理想气体的分子没有体积 C．理想气体是一种理想模型，没有实际意义
)
A．理想气体是严格遵守气体实验定律的气体模型
D．实际气体在温度不太低、压强不太大的情况下，可当成理想气体
解析：选 AD 理想气体是指严格遵守气体三定律的气体，实际的气 体在压强不太大、温度不太低时可以认为是理想气体，A、D 正确；理想 气体分子间没有分子力，但分子有大小，B 错误。
高中同步新课标·物理
创新方案系列丛书
3．一定质量的理想气体，经历一膨胀过程，这过程可以用如图所示 的直线 ABC 来表示，在 A、B、C 三个状态上，气体的温度 TA、TB、TC 相比较，大小关系为( )
A．TB＝TA＝TC C．TB>TA＝TC
第八章(3) 离散系统状态方程的求解
在用状态分析系统时, 在用状态分析系统时,求状态转移矩阵(k) 是关键步骤. 是关键步骤. 例 8.4-1 已知矩阵 求其矩阵函数A 求其矩阵函数 k.
0 1 A= 2 1
矩阵A的特征方程为 解 矩阵 的特征方程为
λ 1 = λ2 λ 2 = 0 q( λ ) = det( λI A) = det 2 1 λ 方程有两个相异的特征根
其全解 x(k) = xx (k) + x f (k)
(3)求系统的输出
y(k) = Cx(k) + Df (k) = C(k)x(0) + C(k 1)B* f (k) + Df (k)
代入, 将 (k)代入,得零输入响应
1 k 1k ( 2) 1 0 ( 2) yx (k) = C(k)x(0) = = 1 , k ≥ 0 1 1 1 ( )k + ( 1)k ( )k 4 4 2
零输入解的象函数 零状态解的象函数
1
1
x(k) = (k)x(0) +(k 1)B* f (k)
于是, 于是,得状态转移矩阵 (k) = Ak = Z1{[zI A]1 z} 为了方便, 为了方便,定义
将它们代入, 将它们代入,得状态转移矩阵
1 1 k 1 0 1 k 1 k 2 1 k k (k) = A = ( ) + 2( ) + 4( 2) 4( 4) 1 4 0 1 2 4 1k 0 ( 2) = 1k 1k 1 k ( ) ( ) ( ) 4 4 2 0 1 4
i =0
k1
x(k) = (k)x(0) +(k 1)B* f (k)
x(k) = (k)x(0) + ∑(k 1 i )Bf (i)
高中物理第八章气体3理想气体的状态方程课件新人教版选修
解析:(1)在活塞上方倒沙的全过程中温度保持不变,即p0V0=p1V1, 解得p1=2.0×105 Pa。
在缓慢加热到127 ℃的过程中压强保持不变,
则������1
������1
=
������������22,所以
V2≈1.47×10-3
m3。
(2)如图所示
答案:(1)1.47×10-3 m3 (2)见解析
探究一
探究二
【思考问题】 (1)气体发生了哪些状态变化? 提示在活塞上方缓缓倒沙子的过程是一个等温变化过程,缓慢加 热的过程是一个等压变化过程。
(2)如何在p-V图象上表示等压过程、等容过程和等温过程?
提示等压过程的图线为平行于V轴的直线,等容过程的图线为平
行于p轴的直线,等温过程的图线为双曲线的一支。
探究一
探究二
变式训练1为了控制温室效应,各国科学家提出了不少方法和设 想。有人根据液态CO2密度大于海水密度的事实,设想将CO2液化 后,送入深海海底,以减小大气中的CO2的浓度。为使CO2液化,最有 效的措施是( )
A.减压、升温 B.增压、升温 C.减压、降温 D.增压、降温 解析:要将CO2液化需减小体积,根据 ������������������=C,知D选项正确。 答案:D
������1
=
������2时,
������1 ������1
=
������2 ������2
(查理定律)
������1
=
������2时,
������1 ������1
=
������2 ������2
(盖—吕萨克定律)
由此可见,三个气体实验定律是理想气体状态方程的特例。
探究一
最新人教版高中物理选修3-3第八章《理想气体的状态方程》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、理想气体1.严格遵守气体实验定律的气体叫做理想气体.2.微观模型：①与分子间的距离相比，分子本身的大小可以忽略不计；②除碰撞的瞬间外，分子之间没有相互作用；③具有分子动能而无分子势能，内能由温度和气体物质的量决定，只是温度的函数，内能的变化与温度的变化成正比.3.理想气体是一种经科学的抽象而建立的理想化模型，实际上是不存在的，实际气体，特别是那些不易液化的气体，在压强不太大（和大气压强比较）、温度不太低（和室温比较）的条件下，都可视为理想气体，例如氢气、氧气、氮气、空气等在常温、常压的条件下，都可看作理想气体.深化升华 （1）宏观上讲，理想气体是指在任何条件下始终遵守气体实验定律的气体，实际气体在压强不太大、温度不太低的条件下，可视为理想气体.（2）微观上讲，理想气体应有如下性质：分子间除碰撞外无其他作用力；分子本身没有体积，即它所占据的空间认为都是可以被压缩的空间.显然这样的气体是不存在的，只是实际气体在一定程度上近似.（3）从能量上看，理想气体的微观本质是忽略了分子力，所以其状态无论怎么变化都没有分子力做功，即没有分子势能的变化，于是理想气体的内能只有分子动能，即一定质量的理想气体的内能完全由温度决定.联想发散 理想气体实际上是不存在的，它只是为了研究问题的方便，突出事物的主要因素，忽略次要因素而引入的一种理想化模型，就像力学中引入质点、静电学中的点电荷模型一样，这些理想化模型的引入使我们对物体运动规律的研究大大简化.二、理想气体的状态方程1.状态方程的推导方法一：（1）条件：一定质量的理想气体（2）推导过程：设想气体状态变化过程，即气体由状态Ⅰ先经等温变化使气体体积由V 1变到V 2，然后再经过等容变化到状态Ⅱ，如图8-3-1所示.图8-3-1等温变化过程：p 1V 2=p c V 2p c =211V V p 等容变化过程：1T p C =22T p p C =212T T p 得111T V p =222T V p ，这就是理想的气体状态方程，即T pV =恒量. 方法二：推导推导过程：p A 、V A 、T A 、p C 、V C 、T C 的关系首先画出p-V 图象，如图8-3-2所示.图8-3-2由图8-3-2可知，A→B 为等温过程，根据玻意耳定律可得p A V A =p B V B ①从B→C 为等容过程，根据查理定律可得：B B T p =CC T p ② 又T B =T A ，V B =V C联立①②可得1A A A T V p =C C C T V p 上式表明，一定质量的某种理想气体在从一个状态1变化到另一个状态2时，尽管其p 、V 、T 都可能变化，但是压强跟体积与热力温度的比值保持不变，也就是说111T V p =222T V p 或T pV =C （C 为恒量）. 学法一得 选定状态变化法设一定质量的气体由状态1（p 1、V 1、T 1）变化到状态2（p 2、V 2、T 2），我们给它选定一个中间过渡状态C ，遵守玻意耳定律，从状态C 至2遵守查理定律，所以p 1V 1=p C V 2，1T p C =22T p ，从两式消去p C 得111T V p =222T V p . 深化升华 中间状态的选定应使这一状态前后的状态变化各自遵守某一实验定律，并注意一定质量气体状态变化时，只有一个状态量变化是不可能的.2.理想气体状态方程（1）内容：一定质量的某种理想气体，从一个状态变化到另一个状态，压强和体积的乘积与热力学温度的比值保持不变.它是一定质量的某种理想气体处于某一状态时，三个状态参量必须满足的关系，即为理想气体的状态方程.（2）表达式一定质量的理想气体的状态方程为T pV =C （恒量）或111T V p =222T V p ① 深化升华 （1）把①式两边分别除以被研究气体的质量m ，可以得到方程111T p ρ=222T p ρ②即某种气体的压强除以这种气体的密度与绝对温度的乘积所得的商是一个常量.②式适用于密度变化的问题，如漏去气体或补充气体的情况，但等式两边所讨论的气体属于同种气体.（2）若理想气体在状态变化过程中，质量为m 的气体分成两个不同状态的部分m 1、m 2，或者由同种气体的若干个不同状态的部分m 1、m 2、…,m n 混合而成，有T pV =111T V p +222T V p +…+nn n T V p ③ ③式表示在总质量不变的前提下，同种气体进行分、合变态过程中各参量之间的关系，很多问题 可用这个来处理，显得较为简便.典题·热题知识点一 理想气体例1 关于理想气体，下列说法正确的是（ ）A.理想气体能严格遵守气体实验定律B.实际气体在温度不太高，压强不太大的情况下，可看成理想气体C.实际气体在温度不太低，压强不太大的情况下，可看成理想气体D.所有的实际气体在任何情况下，都可以看成理想气体解析:理想气体是在任何温度，任何压强下都能遵守气体实验定律的气体，A 选项正确.理想气体是实际气体在温度不太低，压强不太大情况下的抽象，故C 正确.答案：AC巧妙变式 能遵守气体实验定律的气体就是理想气体吗？不是.知识点二 理想气体的状态方程例2 一个半径为0.1 cm 的气泡，从18 m 深的湖底上升，如果湖底水的温度是8 ℃，湖面的温度是24 ℃，湖面的大气压强是76 cmHg ，那么气泡升至湖面时体积是多少？解析: 气泡从湖底上升过程中气泡的温度随上升而升高，可认为是水的温度.另外，气泡的压强和体积也发生变化.先确定初、末状态，再应用理想气体状态方程进行计算.此题的关键是确定气泡内气体的压强.由题意可知V 1=34πr 3=4.19×10-3 cm 3 p 1=p 0+汞水水p h p =76+6.1310182⨯ cmHg=208 cmHg T 1=273+8 K=281 Kp 2=76 cmHgT 2=273+24 K=297 K根据理想气体的状态方程111T V p =222V V p 得 V 2=12211T p T V p =28176297104.19208-3⨯⨯⨯⨯ cm 3=0.012 cm 3. 方法归纳 ①应用理想气体状态方程解题，关键是确定气体初、末状态的参量；②注意单位的换算关系；③用公式111T V p =222T V p 解题时，要求公式两边p 、V 、T 的单位分别一致即可，不一定采用国际单位.例3 用销钉固定的活塞把水平放置的容器分隔成A 、B 两部分，其体积之比为V A ∶V B =2∶1，如图8-3-3所示.起初A 中有温度为27 ℃、压强为1.8×105Pa 的空气，B 中有温度为127 ℃、压强为2×105 Pa 的空气.现拔出销钉，使活塞可以无摩擦地移动（无漏气），由于容器壁缓慢导热，最后气体都变到室温27 ℃,活塞也停止移动，求最后A 中气体的压强.图8-3-3解析:分别对A 、B 两部分气体列气态方程，再由A 、B 体积关系及变化前后体积之和不变、压强相等列方程，联立求解.（1）以A 中气体为研究对象：初态下：p A =1.8×105 Pa ，V A ，T A =300 K.末态下：p A ′=? V A ′=? T A ′=300 K.根据理想气体状态方程：p A V A =p A ′V A ′.(2)以B 中气体为研究对象：初态下：p B =2×105 Pa ，V B ，T B =400 K.末态下：p B ′=? V B ′=？ T B ′=300 K.根据理想气体状态方程：B B B T V p ='''BB B T V p . （3）相关条件：V A ∶V B =2∶1，V A ′+V B ′=V A +V B ，p A ′=P B ′联立可解得：p A ′=1.7×105 Pa.方法归纳 本题涉及的两部分气体，虽然它们之间没有气体交换，但它们的压强或体积之间存在着联系，在解题时首先要用隔离法对各部分气体分别列式，再找出它们的压强和体积间的相关条件联立求解.知识点三 关于理想气体和力学知识的综合问题例4 如图8-3-4所示，一根一端封闭、一端开口向上的均匀玻璃管，长l=96 cm ，用一段长h=20 cm 的水银柱封住长h 1=60 cm 的空气柱，温度为27 ℃，大气压强p 0=76 cmHg ，问温度至少要升高到多少度，水银柱才能全部从管中溢出？图8-3-4解析:实际上，整个过程可分为两个阶段.第一阶段，水银柱尚未溢出阶段，加热气体，气体作等压变化，体积增大，温度升高；第二阶段，水银溢出，气体体积增大，但压强却减小，由TpV =C 可知，当p 、V 乘积最大时，温度应为最高. 由于第二个过程中，体积增大，压强减小，则可能出现温度的极值.以封闭气体为研究对象则初始状态下p 1=p 0+h=96 cmHgV 1=h 1S=60S T 1=300 K设管中剩余水银柱长为x cm 时，温度为T 2p 2=(p 0+x) cmHg=(76+x) cmHgV 2=(96-x)S根据理想气体状态方程111T V p =222T V p 有3006096⨯=2x)-x)(96(76T + 显然，要使T 2最大，则（76+x ）（96-x ）应最大，即x=10 cm 时，T 2有极大值是385.2 K. 温度至少要升至385.2 K ，水银柱才能全部排出.误区警示 当温度升高到T 2时管内水银柱全部排出,则1110)(T h h p +=20T l p T 2=100)(h h p L p +T=6020)(769676⨯+⨯×300 K=380 K 错误地认为温度升高后，水银逐步被排出管外，水银全部被排出时，对应温度最高，起初一看，似乎是合理的，但如果将末状态的压强和体积数值交换，即p 2=96 cmHg,h 2=76 cm ，这时温度仍为380 K ，但水银柱与气体的总和度却是（96-76+76） cm=96 cm ，恰好与管等长，也就是水银柱尚未溢出玻璃管.例5 如图8-3-5所示，粗细均匀的U 形玻璃管如图放置，管的竖直部分长为20 cm ，一端封闭，水平部分长40 cm ，水平段管内长为20 cm 的水银柱封住长35 cm 的气柱.已知所封闭的气体温度为7 ℃，大气压强为75 cmHg ，当管内温度升到351 ℃时管内空气柱的总长度是多少？（弯管部分体积忽略不计）图8-3-5解析:温度升高时，气体体积增加，水银柱可能进入直管也可能溢出，所以要首先分析各临界状态的条件，然后针对具体情况计算.设水银柱刚好与竖直管口平齐而正好不溢出，此时气柱高度为60 cm ，设温度为T 2. 以封闭气体为研究对象：初状态：p 1=p 0=75 cmHg,l 1=35 cm,T 1=280 K末状态：p 2′=95 cmHg,l 2=60 cm,T 2=?根据理想气体状态方程：111T S l p =222T S l p 所以T 2=1122l p l p T 1=35756095⨯⨯×280 K=608 K 即t 2=(608-273) ℃=335 ℃<351 ℃，所以水银柱会溢出.设溢出后，竖直管内仍剩余水银柱长为h cm ，则初状态：p 1=75 cmHg,l 1=35 cm,T 1=280 K末状态：p′2=(75+h) cmHg,l′2=(80-h) cm,T′2=(351+273) K=624 K根据理想气体状态方程得：111T S l p =222T S l p 即28035S 75⨯=624h)S h)(80(75++ h=15 cm故管内空气柱的长度为l 2′=(80-15) cm=65cm.方法归纳 理想气体状态方程的应用要点：（1）选对象：根据题意，选出所研究的某一部分气体，这部分气体在状态变化过程中，其质量必须保持一定.（2）找参量：找出作为研究对象的这部分气体发生状态变化前后的一组p 、V 、T 数值或表达式，压强的确定往往是个关键，常需结合力学知识（如力的平衡条件或牛顿运动定律）才能写出表达式.（3）认过程：过程表示两个状态之间的一种变化方式，除题中条件已直接指明外，在许多情况下，往往需要通过对研究对象跟周围环境的相互关系的分析中才能确定，认清变化过程是正确选用物理规律的前提.（4）列方程：根据研究对象状态变化的具体方式，选用气态方程或某一实验定律，代入具体数值，T 必须用热力学温度，p 、V 的单位统一，最后分析讨论所得结果的合理性及其物理意义.问题 ·探究交流讨论探究问题 为什么实际气体不能严格遵守气体实验定律？探究过程：郝明：分子本身占有一定的体积分子半径的数量级为10-10 m ，把它看成小球，每个分子的固有体积约为4×10-30 m 3，在标准状态下，1 m 3气体中的分子数n 0约为3×1025，分子本身总的体积为n 0V 约为1.2×10-4 m 3，跟气体的体积比较，约为它的万分之一，可以忽略不计.当压强较小时，由于分子本身的体积可以忽略不计，因此实际气体的性质近似于理想气体，能遵守玻意耳定律，当压强很大时，例如p=1 000×105 Pa ，假定玻意耳定律仍能适用，气体的体积将缩小为原来的千分之一，分子本身的总体积约占气体体积的1/10.在这种情况下，分子本身的体积就不能忽略不计了.由于气体能压缩的体积只是分子和分子之间的空隙，分子本身的体积是不能压缩的，就是说气体的可以压缩的体积比它的实际体积小.由于这个原因，实际气体当压强很大时，实测的p-V 值比由玻意耳定律计算出来的理论值偏大. 胡雷：分子间有相互作用力实际气体的分子间都有相互作用，除了分子相距很近表现为斥力外，相距稍远时则表现为引力，距离再大，超过几十纳米（纳米的符号是nm ，1 nm=10-9 m ）时，则相互作用力趋于零.当压强较小时，气体分子间距离较大，分子间相互作用力可以不计，因此实际气体的性质近似于理想气体.但当压强很大时，分子间的距离变小，分子间的相互吸引力增大.于是，靠近器壁的气体分子受到指向气体内部的引力，使分子对器壁的压力减小，因而气体对器壁的压强比不存在分子引力时的压强要小，因此，当压强很大时，实际气体的实测p-V 值比由玻意耳定律计算出来的理论值偏小.探究结论：实际气体在压强很大时不能遵守玻意耳定律的原因，从分子运动论的观点来分析，有下述两个方面.（1）分子本身占有一定的体积；（2）分子间有相互作用力.上述两个原因中，一个是使气体的p-V 实验值偏大，一个是使气体的p-V 实验值偏小.在这两个原因中，哪一个原因占优势，就向哪一方面发生偏离.这就是实际气体在压强很大时不能严格遵守玻意耳定律的原因.同样，盖·吕萨克定律和查理定律用于实际气体也有偏差.思想方法探究问题 理想气体状态方程的推导可以有哪些种情况？探究过程：一定质量理想气体初态（p 1、V 1、T 1）变化到末态（p 2、V 2、T 2），因气体遵从三个实验定律，我们可以从三个定律中任意选取其中两个，通过一个中间状态，建立两个方程，解方程消去中间状态参量便可得到气态方程，组成方式有6种，如图8-3-6所示.图8-3-6我们选（1）先等温、后等压来证明从初态→中间态，由玻意耳定律得p 1V 1=p 2V′①从中间态→末态，由盖·吕萨克定律得2'V V =21T T ② 由①②得 111T V p =222T V p 其余5组大家可试证明一下.探究结论：先等温后等压；先等压后等温；先等容后等温；先等温后等容；先等压后等容；先等容后等压.。