第八章 状态方程
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理想气体的状态方程课件PPT
A.TA＝2TB
B.TB＝4TA
C.TB＝6TA
D.TB＝8TA
第3讲 理想气体的状态方程
24
解析 从p-V图上可知TB>TA.为确定它们之间的定量关系，
可以从pV图上的标度值代替压强和体积的大小，代入理 想气体状态方程 pTAVAA＝pTBVBB，即2×TA1＝3×TB4，故TB＝6TA. 答案 C
第八章——
第3讲 理想气体的状态方程
目标定位 1.了解理想气体的概念，并知道实际气体在什么情况下 可以看成理想气体. 2.掌握理想气体状态方程的内容和表达式，并能应用方 程解决实际问题.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 对点练习
梳理·识记·点拨 理解·深化·探究 巩固·应用·反馈
预习导学
梳理·识记·点拨
的理想气体的两个状态，设气体在状态a时的体积为Va，密
度为ρa，在状态b时的体积为Vb，密度为ρb，则( )
A.Va>Vb，ρa>ρb
B.Va<Vb，ρa<ρb
C.Va>Vb，ρa<ρb
D.Va<Vb，ρa>ρb
图5
第3讲 理想气体的状态方程
31
1234
解析 过a、b两点分别作它们的等容线，由于斜率ka>kb， 所以Va<Vb，由于密度ρ＝mV，所以ρa>ρb，故D正确. 答案 D
第3讲 理想气体的状态方程
7
2.理想气体状态方程与气体实验定律
T1＝T2时，p1V1＝p2V2玻意耳定律 pT1V1 1＝pT2V2 2⇒V1＝V2时，Tp11＝Tp22查理定律
p1＝p2时，VT11＝VT22盖—吕萨克定律
第3讲 理想气体的状态方程
《信号与系统》第8章
) RC
(is
(t
)
iL
(t
))
经整理：
x1
(t
)
x2
(t
)
0
1 L
x1 (t )
1 C
RC L
x2 (t) RL x2 (t)
1 C
RC L
f1 (t )
f1(t)
1 L
f2 (t)
（3）建立输出方程
iuC((tt))uC
(t) iS
(t
RCiL (t) ) iL (t)
RC
iS
RC
iS
(t)
RC
iL (t)......... ...(3)
状态变量与系统输入变量的关系（状态方程）：
duC (t
dt diL (t)
)
1
dt L
uC
(t)
1 L
1 C (RL
RCiL (t) )iL 源自t)1C RC L
iS (t)(4) iS (t).........(5)
1H
x1
1F
+ -
x2
1F
i2
+
+-x3
2
u(t)
-
把该式代入上式，得：
x2
f
x1 x2 x3 (t) x2 x2
x3
x1
x3
x1
1 2
x3
x2
x3
x1 0 x2 x3 0
x2
1 3
x1
2 3
x2
1 6
x3
2 3
f (t)
x3
1 3
x1
1 3
x2
1 3
8.3 理想气体的状态方程
(1) p0 (V nV ' ) 4 p0V n 15 (2) 4 p0V p0V ' ' V ' ' 6L 即： V药 1.5L
！巧妙选对象，化变为不变！
拓展三：气缸类问题的处理方法
如图所示,气缸长为L =1m，固定在水平面上,气缸中有横截面积为S=100cm2的光滑活 塞,活塞封闭了一定质量的理想气体,当气温为t=27℃,大气压强为p0=105Pa时,气柱长度 为l =90cm,气缸和活塞的厚度均可忽略不计. (1)若温度保持不变，将活塞缓慢拉至气缸右端口，此时水平拉力F的大小是多少? (2)若气缸内气体温度缓慢升高，使活塞移至气缸右端口时，气体温度为多少摄氏度？
只有在温度不太低、压强不太大的条件下才可当成理想气体
思考与讨论
如图所示,一定质量的某种理想气体从A到B经历了一个等温过程,从B到C经
历了一个等容过程.分别用pA、VA、TA和pB、VB、TB以及pC、VC、TC表示气体
在A、B、C三个状态的状态参量, 那么A、C状态的状态参量间有何关系呢?
A→B 为等温变化,由玻意耳定律： pAVA=pBVB
一定质量理想气体的等压变化图像：
典例练习
一定质量的理想气体，由状态A变为状态D，其有关数据如图甲所示，若 状态D 的压强是2×104 Pa.请在图乙中画出该状态变化过程的p－T 图象, 并分别标出A、B、C、D 各个状态，不要求写出计算过程．
小结
一、理想气体：
在任何温度和任何压强下都能严格地遵从气体实验定律 的气体 二、理想气体的状态方程
p A
TA=TB
pB pC B →C 为等容变化,由查理定律： TB TC
又: TA=TB VB=VC
2024-2025学年高中物理第8章气体3理想气体的状态方程教案新人教版选修3-3
-鼓励学生提出疑问，并在下节课与同学和老师进行交流和讨论。
-教师可提供必要的指导和帮助，如解答疑问、推荐阅读材料等。
3.拓展活动：
-设计一个实验，验证理想气体状态方程。记录实验数据，分析实验结果，撰写实验报告。
-思考理想气体状态方程在生活中的应用，如吹气球、烧水等，尝试解释这些现象背后的原理。
-讨论理想气体状态方程在现代科技领域中的应用，如航空航天、制冷技术等，分享自己的见解和想法。
针对教学中存在的问题和不足，我将在今后的教学中采取以下改进措施：
1.针对学生理解困难的问题，我将采取更加直观的教学方式，如通过图示或实验，帮助学生更好地理解理想气体的状态方程及其推导过程。
2.对于学生在问题解决策略上的不足，我将引导学生运用数学知识和科学方法，培养他们的逻辑思维和问题解决能力。
3.为了提高学生的课堂参与度，我将更多地设计一些互动性强的教学活动，如小组讨论、实验操作等，激发学生的学习兴趣和主动性。
教学内容与学生已有知识的联系：
1.学生已经学习了初中物理中的基本概念，如压强、体积、温度等，对本节课的内容有了一定的理解基础。
2.学生已经学习了初中化学中的物质的量概念，对n的定义和计算方法有一定的了解。
3.学生已经学习了数学中的代数知识，能够进行方程的求解和分析。
核心素养目标
本节课的核心素养目标包括：
请学生阅读以上拓展阅读材料，进一步加深对理想气体状态方程的理解和应用。
2.课后自主学习和探究：
-请学生利用网络资源，查找理想气体状态方程在现代科技领域中的应用实例，如航空航天、制冷技术等，并在下节课分享自己的研究成果。
-设计一个实验，验证理想气体的状态方程。可以在家中利用简单的器材进行实验，记录实验数据，分析实验结果。
-教师可提供必要的指导和帮助，如解答疑问、推荐阅读材料等。
3.拓展活动：
-设计一个实验，验证理想气体状态方程。记录实验数据，分析实验结果，撰写实验报告。
-思考理想气体状态方程在生活中的应用，如吹气球、烧水等，尝试解释这些现象背后的原理。
-讨论理想气体状态方程在现代科技领域中的应用，如航空航天、制冷技术等，分享自己的见解和想法。
针对教学中存在的问题和不足，我将在今后的教学中采取以下改进措施：
1.针对学生理解困难的问题，我将采取更加直观的教学方式，如通过图示或实验，帮助学生更好地理解理想气体的状态方程及其推导过程。
2.对于学生在问题解决策略上的不足，我将引导学生运用数学知识和科学方法，培养他们的逻辑思维和问题解决能力。
3.为了提高学生的课堂参与度，我将更多地设计一些互动性强的教学活动，如小组讨论、实验操作等，激发学生的学习兴趣和主动性。
教学内容与学生已有知识的联系：
1.学生已经学习了初中物理中的基本概念，如压强、体积、温度等，对本节课的内容有了一定的理解基础。
2.学生已经学习了初中化学中的物质的量概念，对n的定义和计算方法有一定的了解。
3.学生已经学习了数学中的代数知识，能够进行方程的求解和分析。
核心素养目标
本节课的核心素养目标包括：
请学生阅读以上拓展阅读材料，进一步加深对理想气体状态方程的理解和应用。
2.课后自主学习和探究：
-请学生利用网络资源，查找理想气体状态方程在现代科技领域中的应用实例，如航空航天、制冷技术等，并在下节课分享自己的研究成果。
-设计一个实验，验证理想气体的状态方程。可以在家中利用简单的器材进行实验，记录实验数据，分析实验结果。
高中物理选修3---3第八章第三节《理想气体的状态方程》新课教学课件
达到4 atm，应打气几次？这个压强能否使喷雾器内的药液全部喷完？(设
标准大气压强为1 atm,全过程温度不变。)
解析: 设标准大气压为p0，药桶中空气的体积为V，打 气N次后，喷雾器中的空气压强达到4个标准大气压，打 入的气体在1 atm下的体积为V ′
解得： p=762.2 mmHTg1
T2
【例题】容积V=20L的钢瓶充满氧气后，压强为p=30P0(P0 为 1个大气压强)，打开钢瓶阀门，让氧气分装到容积为 V‘=5L的小瓶子中去。若小瓶子已抽成真空，分装到小瓶中 的氧气压强均为P’=2P0 。在分装过程中无漏气现象，且温 度保持不变，那么最多可能装的瓶数是多少？ 解题思维：以氧气的总量为研究对象，其物质的量 为一个定值，每一小部分都满足PV=nRT
P跟体积V的乘积与热力学温度T的比值保持不变，这种关系称
为理想气体的状态方程。
2、公式： p1V1 p2V2 或 pV C
T1
T2
T
①恒量C由理想气体的质量和种类决定，即由理想气体的物
质的量决定，一般写成比值形式叫理想气体状态方程，描述
两个状态之间的关系。写成乘积形式PV=nRT，（其中的n
指物质的量）时，叫克拉珀龙方程，描述一个状态的三个状
个状态的状态参量，那么A、C状态的状态参量间有何关系
呢？
解析： 从A→B为等温变化：
p A
pAVA=pBVB 从B→C为等容变化：
pB pC TB TC
C
TA=TBBຫໍສະໝຸດ 又：TA=TB VB=VC
0
V
解得： pAVA pCVC
TA
TC
二、理想气体的状态方程
1、内容：一定质量的理想气体的状态发生变化时，它的压强
标准大气压强为1 atm,全过程温度不变。)
解析: 设标准大气压为p0，药桶中空气的体积为V，打 气N次后，喷雾器中的空气压强达到4个标准大气压，打 入的气体在1 atm下的体积为V ′
解得： p=762.2 mmHTg1
T2
【例题】容积V=20L的钢瓶充满氧气后，压强为p=30P0(P0 为 1个大气压强)，打开钢瓶阀门，让氧气分装到容积为 V‘=5L的小瓶子中去。若小瓶子已抽成真空，分装到小瓶中 的氧气压强均为P’=2P0 。在分装过程中无漏气现象，且温 度保持不变，那么最多可能装的瓶数是多少？ 解题思维：以氧气的总量为研究对象，其物质的量 为一个定值，每一小部分都满足PV=nRT
P跟体积V的乘积与热力学温度T的比值保持不变，这种关系称
为理想气体的状态方程。
2、公式： p1V1 p2V2 或 pV C
T1
T2
T
①恒量C由理想气体的质量和种类决定，即由理想气体的物
质的量决定，一般写成比值形式叫理想气体状态方程，描述
两个状态之间的关系。写成乘积形式PV=nRT，（其中的n
指物质的量）时，叫克拉珀龙方程，描述一个状态的三个状
个状态的状态参量，那么A、C状态的状态参量间有何关系
呢？
解析： 从A→B为等温变化：
p A
pAVA=pBVB 从B→C为等容变化：
pB pC TB TC
C
TA=TBBຫໍສະໝຸດ 又：TA=TB VB=VC
0
V
解得： pAVA pCVC
TA
TC
二、理想气体的状态方程
1、内容：一定质量的理想气体的状态发生变化时，它的压强
第八章气体第3节理想气体的状态方程
三个气体实验定律是理想气体状态方程的特例
做一做
试根据一定质量理想气体的状态方程推导出 含有密度的表达式！
p1V1 p2V2 由理想气体的状态方程： T1 T2
两边同时除以被研究的气体质量m, 有： p1 p2 .................. 1T1 2T2
新课展开
5.理想气体状态方程的应用要点： (1)选对象:根据题意,选出所研究的某一部分 气体,这部分气体在状态变化过程中,其质量必须保 持一定。 (2)找参量:找出作为研究对象的这部分气体发 生状态变化前后的一组p、V、T数值或表达式,压 强的确定往往是个关键,常需结合力学知识(如力的 平衡条件或牛顿运动定律)才能写出表达式。
新课展开
（2）从宏观上讲,实际气体在压强不太大、 温度不太低的条件下,可视为理想气体。而在微观 意义上,理想气体是指分子本身大小与分子间的距 离相比可以忽略不计且分子间不存在相互作用的 引力和斥力的气体。 5.理想气体的内能: （1）对于一切物体而言,物体的内能包括分 子动能和分子势能。 （2）对于理想气体而言,其微观本质是忽略 了分子力,即不存在分子势能,只有分子动能,故一定 质量的理想气体的内能完全由温度决定。
课堂练习
【例题3】一定质量的某种理想气体，由状态A变 为状态D，其有关数据如图所示，若状态D 的压强 是2×104 Pa.求状态A的压强。
思考与讨论
如图所示，一定质量的某种理想气体从 A到B经历了一个等温过程，从B到C经历了 一个等容过程。分别用pA、VA、TA和pB、VB、 TB以及pC、VC、TC表示气体在A、B、C三个状 态的状态参量，那么A、C状态的状态参量间 p 有何关系呢？ A
TA=TB 0
C VC=VB B V
第八章 第3节 理想气体的状态方程
创新方案系列丛书
1. 如图所示，一个密闭的汽缸，被活塞分成体积相等的左、右两室， 汽缸壁与活塞是不导热的，它们之间没有摩擦，两室中气体的温度相等。 现利用右室中的电热丝对右室加热一段时间， 达到平衡后，左室的体积变 3 为原来的 ，气体的温度 T1＝300 K，求右室气体的温度。 4
高中同步新课标·物理
高中同步新课标·物理
其他图象
等 容 线
pt
VT 等 压 线
创新方案系列丛书
使一定质量的理想气体 按图甲中箭头所示的顺序变化，图中 BC 段是以纵轴和横轴为渐近线的双曲线。 (1)已知气体在状态 A 的温度 TA＝300 K，求气体在状态 B、C 和 D 的温度各是 多少； (2)将上述状态变化过程在图乙中画成用体积 V 和温度 T 表示的图线 (图中要标明 A、B、C、D 四点，并且要画箭头表示变化的方向)，且说明 每段图线各表示什么过程。
高中同步新课标·物理
创新方案系列丛书
1．[多选]关于理想气体，下列说法正确的是( B．理想气体的分子没有体积 C．理想气体是一种理想模型，没有实际意义
)
A．理想气体是严格遵守气体实验定律的气体模型
D．实际气体在温度不太低、压强不太大的情况下，可当成理想气体
解析：选 AD 理想气体是指严格遵守气体三定律的气体，实际的气 体在压强不太大、温度不太低时可以认为是理想气体，A、D 正确；理想 气体分子间没有分子力，但分子有大小，B 错误。
高中同步新课标·物理
创新方案系列丛书
3．一定质量的理想气体，经历一膨胀过程，这过程可以用如图所示 的直线 ABC 来表示，在 A、B、C 三个状态上，气体的温度 TA、TB、TC 相比较，大小关系为( )
A．TB＝TA＝TC C．TB>TA＝TC
第八章(3) 离散系统状态方程的求解
在用状态分析系统时, 在用状态分析系统时,求状态转移矩阵(k) 是关键步骤. 是关键步骤. 例 8.4-1 已知矩阵 求其矩阵函数A 求其矩阵函数 k.
0 1 A= 2 1
矩阵A的特征方程为 解 矩阵 的特征方程为
λ 1 = λ2 λ 2 = 0 q( λ ) = det( λI A) = det 2 1 λ 方程有两个相异的特征根
其全解 x(k) = xx (k) + x f (k)
(3)求系统的输出
y(k) = Cx(k) + Df (k) = C(k)x(0) + C(k 1)B* f (k) + Df (k)
代入, 将 (k)代入,得零输入响应
1 k 1k ( 2) 1 0 ( 2) yx (k) = C(k)x(0) = = 1 , k ≥ 0 1 1 1 ( )k + ( 1)k ( )k 4 4 2
零输入解的象函数 零状态解的象函数
1
1
x(k) = (k)x(0) +(k 1)B* f (k)
于是, 于是,得状态转移矩阵 (k) = Ak = Z1{[zI A]1 z} 为了方便, 为了方便,定义
将它们代入, 将它们代入,得状态转移矩阵
1 1 k 1 0 1 k 1 k 2 1 k k (k) = A = ( ) + 2( ) + 4( 2) 4( 4) 1 4 0 1 2 4 1k 0 ( 2) = 1k 1k 1 k ( ) ( ) ( ) 4 4 2 0 1 4
i =0
k1
x(k) = (k)x(0) +(k 1)B* f (k)
x(k) = (k)x(0) + ∑(k 1 i )Bf (i)
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dt
化简，得
d eAtλ t eAt Bet
dt
两边取积分，并考虑起始条件，有
eAtλ tλ 0
t eA Be( ) d
0
对上式两边左乘 e A，t 并考虑到 eAteAt I ，可得
λ为t方 程eA的tλ 一0般解0t eAt Be d eAtλ 0 eAt B et
求输出方程r(t)
et b1
dk 1 dt k1
et
bk1
d dt
et bket
此系统为k 阶系统，输入信号的最高次导数也为
k 次系统函数为
H
s
b0sk b1sk1 bk1s bk sk a1sk1 ak1s ak
为便于选择状态变量，系统函数表示成
H
s
b0
b1s1
bk
s1k
1
bk sk
d λ t， 输出为 λ t。
dt
若 A,B,C矩, D阵是 的函t数，表明系统是线性时变
的，对于线性时不变系统，A,B,C的, D各元素都为常
数，不随 t改变。
状态变量的特性
每一状态变量的导数是所有状态变量和输 入激励信号的函数；
每一微分方程中只包含有一个状态变量对 时间的导数；
输出信号是状态变量和输入信号的函数；
1 a1s1
ak
s1k
1
ak sk
当用积分器来实现该系统时，其流图如下
et 1
b0
1 s k a1
b1 b2
1 sk1
a2
bk 2
bk 1
3 1 s 2 1 s 1 bk
r t
ak2 ak1
ak
取积分器的输出作为状态变量，如图中所标的
1t,2t, ,k t,
状态方程
12
2 3
(2)对包含有电容的回路列写回路电压方程，其中必然包
括 L d iL t ，对连接有电容的结点列结点电流方程，其
dt
中必然包含 C d vC t ，注意只能将此项放在方程左边。
dt
(3)把方程中非状态变量用状态变量表示。
(4)把状态方程和输出方程用矩阵形式表示。
状态变量的个数 k等于系统的阶数。
e1 t
r1 t
e2 t
. .
i t0
r2 t
.
em t
rr t
m个输入信号
r个输出信号
1t,2t, ,k t 为系统的k个状态变量。
状态方程
d dt
1t
f11t, 2 t,
, k t;e1t, e2 t,
, em t,t
d dt
2 t
f21t, 2 t,
, k t;e1t, e2 t,
三．状态变量分析法优点
(1)提供了系统的内部特性以供研究； (2)一阶微分（或差分）方程组便于计算机进行
数值计算；
(3)便于分析多输入－多输出系统；
(4)容易推广应用于时变系统或非线性系统；
(5)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。
四．名词定义
状态：表示动态系统的一组最少变量（被称为状态
变量），只要知道 t t0时这组变量和 t t0时的输 入，那么就能完全确定系统在任何时间 t t0的行为
（二）用流图的串联结构形式列状态方程
§8.2 连续时间系统状态方 程的求解
时域方法……借助计算机
变换域方法……简单
由状态方程求系统函数
一．用拉普拉斯变换法求解状态方程
10
方程
d dt
λ
t
Aλ
t
Bet
rt Cλ t Det
方程两边取拉氏变换
，起始条件 λ
0
2
0
k 0
整理得
sΛsλ 0 AΛs BEs Rs CΛs DEs
d dt
k
t
ak11 t
ak22 t bk1e1t bk
akkk t 2e2 t bkmem
t
r1t c111t c122 t c1kk t d11e1t
d12e2 t d1mem t
r2
t
c211t
d
c222 t c2kk 22e2 t d2mem t
2.主要性质
e Ate At I
e At e At 1
d e At Ae At e At A dt
(二)用时域方法求解状态方程
1. 求状态方程和输出方程
若已知 d λ t Aλ t Bet
(1)
dt
10
并给定起始状态矢量
λ
0
2
0
对式(1)两边左乘 eAt，移项有 k 0
eAt d λ t eAt Aλ t eAt Bet
, em t,t
d dt
k t
fk 1t, 2 t,
, k t;e1t, e2 t,
, em t,t
输出方程
r1t h11t, 2 t, , k t;e1t, e2t, , em t,t r2 t h21t, 2 t, , k t;e1t, e2 t, , em t,t rr t hr 1t, 2 t, , k t;e1t, e2 t, , em t,t
对于较简单的电路，用直观的方法容易列写 状态方程。当电路结构相对复杂时，往往要 借助计算机辅助设计（CAD）技术。
三．由系统的输入-输出方程或流图建立状态方程
假定某一物理系统可用如下微分方程表示
dk dt k
rt a1
dk 1 dt k1
r t
ak 1
d dt
rt akrt
b0
dk dt k
k1 k
k ak1 ak 1 2 a2k1 a1k e t
输出方程
r t bk1 bk 1 2 b2k1 b1k
b0 ak1 ak 1 2 a2k1 a1k e t
bk akb0 1 bk1 ak1b0 2 b2 a2b0 k1 b1 a1b0 k b0et
状态变量：能够表示系统状态的那些变量成为状态
变量。例如上例中的 iL(t), vC (t)。
状态矢量：能够完全描述一个系统行为的k个状态变
量，可以看作矢量 (的t )各个分量的坐标。 称(为t )
状态矢量。
状态空间：状态矢量 (t )所在的空间。
状态轨迹：在状态空间中状态矢量端点随时间变化 而描出的路径称为状态轨迹。
表示成矢量矩阵的形式
状态方程
12
kk 1
0 0 0 ak
1
0
01
00
ak1 ak2
0 1 0
0 2
0
et
1
k
1
0
a1k 1
输出方程
1
2
r t
bk
ak b0
, bk1
ak 1b0
,
, b2
a2b0
, b1
a1b0
k
1
b0et
k
简化成
λt At Bet rt Ct Det
对应A,B,C,D的矩阵分别为
0 1
0
0
01
A
0
0
0
ak ak1 ak2
0 0 00 B 1 0 a11
C bk akb0 ,bk1 ak1b0 , ,b2 a2b0 ,b1 a1b0
D b0
四．将系统函数分解 建立状态方程
将系统函数的分母分解因式，可以对应构成并 联或串联形式的流图结构，即可列出不同形式 的状态方程。 （一）用流图的并联结构形式列状态方程
sI AΛs λ 0 BEs Λs sI A1λ 0 sI A 1BEs
将sI A 1记为Φs，称为特征矩阵或预解矩阵，则
Λs Φsλ 0 ΦsBEs
Rs
CΦs
λ
0
CΦs
B
DE
s
因而时域表示式为
λ
t
L1Φs
λ
0
L1Φs
B
L1E
s
r
t
C L1Φsλ 0
零输入解
CL1Φs
BD t
通常选择动态元件的输出作为状态变量， 在连续系统中是选积分器的输出。
建立给定系统的状态方程的方法分为 直接法和间接法两类：
直接法——主要应用于电路分析、电网络 （如滤波器）的计算机辅助设计；
间接法——常见于控制系统研究。
二．由电路图直接建立状态方程
(1)选取独立的电容上电压和电感中电流为状态变量， 有时也选电容电荷与电感磁链。
k t
d dt
1t
d dt
λ
t
d dt
2
t
d dt
k
t
a11 a12 a1k
A a21 a22
a2k
b11 b12 b1k
c11 c12 c1k
B b21 ba22
b2k
C c21 c22
c2
kLeabharlann ak1 ak 2 akk
bk1 bk 2 bkk
t
d
21e1
t
rr t cr11t cr22 t crkk t dr1e1t
dr2e2 t drmem t
表示为矢量矩阵形式
状态方程 输入方程
d d t
t k1
Akkλ
k1 t
Bkmem1 t
r t r1 Crkλ k1 t Drmem1 t
1 t λ t 2 t
rt Cλ t Det
CeAtλ 0
t eAt Be d Det
0
C eAtλ 0 [CeAtB Dδt]et
化简，得
d eAtλ t eAt Bet
dt
两边取积分，并考虑起始条件，有
eAtλ tλ 0
t eA Be( ) d
0
对上式两边左乘 e A，t 并考虑到 eAteAt I ，可得
λ为t方 程eA的tλ 一0般解0t eAt Be d eAtλ 0 eAt B et
求输出方程r(t)
et b1
dk 1 dt k1
et
bk1
d dt
et bket
此系统为k 阶系统，输入信号的最高次导数也为
k 次系统函数为
H
s
b0sk b1sk1 bk1s bk sk a1sk1 ak1s ak
为便于选择状态变量，系统函数表示成
H
s
b0
b1s1
bk
s1k
1
bk sk
d λ t， 输出为 λ t。
dt
若 A,B,C矩, D阵是 的函t数，表明系统是线性时变
的，对于线性时不变系统，A,B,C的, D各元素都为常
数，不随 t改变。
状态变量的特性
每一状态变量的导数是所有状态变量和输 入激励信号的函数；
每一微分方程中只包含有一个状态变量对 时间的导数；
输出信号是状态变量和输入信号的函数；
1 a1s1
ak
s1k
1
ak sk
当用积分器来实现该系统时，其流图如下
et 1
b0
1 s k a1
b1 b2
1 sk1
a2
bk 2
bk 1
3 1 s 2 1 s 1 bk
r t
ak2 ak1
ak
取积分器的输出作为状态变量，如图中所标的
1t,2t, ,k t,
状态方程
12
2 3
(2)对包含有电容的回路列写回路电压方程，其中必然包
括 L d iL t ，对连接有电容的结点列结点电流方程，其
dt
中必然包含 C d vC t ，注意只能将此项放在方程左边。
dt
(3)把方程中非状态变量用状态变量表示。
(4)把状态方程和输出方程用矩阵形式表示。
状态变量的个数 k等于系统的阶数。
e1 t
r1 t
e2 t
. .
i t0
r2 t
.
em t
rr t
m个输入信号
r个输出信号
1t,2t, ,k t 为系统的k个状态变量。
状态方程
d dt
1t
f11t, 2 t,
, k t;e1t, e2 t,
, em t,t
d dt
2 t
f21t, 2 t,
, k t;e1t, e2 t,
三．状态变量分析法优点
(1)提供了系统的内部特性以供研究； (2)一阶微分（或差分）方程组便于计算机进行
数值计算；
(3)便于分析多输入－多输出系统；
(4)容易推广应用于时变系统或非线性系统；
(5)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。
四．名词定义
状态：表示动态系统的一组最少变量（被称为状态
变量），只要知道 t t0时这组变量和 t t0时的输 入，那么就能完全确定系统在任何时间 t t0的行为
（二）用流图的串联结构形式列状态方程
§8.2 连续时间系统状态方 程的求解
时域方法……借助计算机
变换域方法……简单
由状态方程求系统函数
一．用拉普拉斯变换法求解状态方程
10
方程
d dt
λ
t
Aλ
t
Bet
rt Cλ t Det
方程两边取拉氏变换
，起始条件 λ
0
2
0
k 0
整理得
sΛsλ 0 AΛs BEs Rs CΛs DEs
d dt
k
t
ak11 t
ak22 t bk1e1t bk
akkk t 2e2 t bkmem
t
r1t c111t c122 t c1kk t d11e1t
d12e2 t d1mem t
r2
t
c211t
d
c222 t c2kk 22e2 t d2mem t
2.主要性质
e Ate At I
e At e At 1
d e At Ae At e At A dt
(二)用时域方法求解状态方程
1. 求状态方程和输出方程
若已知 d λ t Aλ t Bet
(1)
dt
10
并给定起始状态矢量
λ
0
2
0
对式(1)两边左乘 eAt，移项有 k 0
eAt d λ t eAt Aλ t eAt Bet
, em t,t
d dt
k t
fk 1t, 2 t,
, k t;e1t, e2 t,
, em t,t
输出方程
r1t h11t, 2 t, , k t;e1t, e2t, , em t,t r2 t h21t, 2 t, , k t;e1t, e2 t, , em t,t rr t hr 1t, 2 t, , k t;e1t, e2 t, , em t,t
对于较简单的电路，用直观的方法容易列写 状态方程。当电路结构相对复杂时，往往要 借助计算机辅助设计（CAD）技术。
三．由系统的输入-输出方程或流图建立状态方程
假定某一物理系统可用如下微分方程表示
dk dt k
rt a1
dk 1 dt k1
r t
ak 1
d dt
rt akrt
b0
dk dt k
k1 k
k ak1 ak 1 2 a2k1 a1k e t
输出方程
r t bk1 bk 1 2 b2k1 b1k
b0 ak1 ak 1 2 a2k1 a1k e t
bk akb0 1 bk1 ak1b0 2 b2 a2b0 k1 b1 a1b0 k b0et
状态变量：能够表示系统状态的那些变量成为状态
变量。例如上例中的 iL(t), vC (t)。
状态矢量：能够完全描述一个系统行为的k个状态变
量，可以看作矢量 (的t )各个分量的坐标。 称(为t )
状态矢量。
状态空间：状态矢量 (t )所在的空间。
状态轨迹：在状态空间中状态矢量端点随时间变化 而描出的路径称为状态轨迹。
表示成矢量矩阵的形式
状态方程
12
kk 1
0 0 0 ak
1
0
01
00
ak1 ak2
0 1 0
0 2
0
et
1
k
1
0
a1k 1
输出方程
1
2
r t
bk
ak b0
, bk1
ak 1b0
,
, b2
a2b0
, b1
a1b0
k
1
b0et
k
简化成
λt At Bet rt Ct Det
对应A,B,C,D的矩阵分别为
0 1
0
0
01
A
0
0
0
ak ak1 ak2
0 0 00 B 1 0 a11
C bk akb0 ,bk1 ak1b0 , ,b2 a2b0 ,b1 a1b0
D b0
四．将系统函数分解 建立状态方程
将系统函数的分母分解因式，可以对应构成并 联或串联形式的流图结构，即可列出不同形式 的状态方程。 （一）用流图的并联结构形式列状态方程
sI AΛs λ 0 BEs Λs sI A1λ 0 sI A 1BEs
将sI A 1记为Φs，称为特征矩阵或预解矩阵，则
Λs Φsλ 0 ΦsBEs
Rs
CΦs
λ
0
CΦs
B
DE
s
因而时域表示式为
λ
t
L1Φs
λ
0
L1Φs
B
L1E
s
r
t
C L1Φsλ 0
零输入解
CL1Φs
BD t
通常选择动态元件的输出作为状态变量， 在连续系统中是选积分器的输出。
建立给定系统的状态方程的方法分为 直接法和间接法两类：
直接法——主要应用于电路分析、电网络 （如滤波器）的计算机辅助设计；
间接法——常见于控制系统研究。
二．由电路图直接建立状态方程
(1)选取独立的电容上电压和电感中电流为状态变量， 有时也选电容电荷与电感磁链。
k t
d dt
1t
d dt
λ
t
d dt
2
t
d dt
k
t
a11 a12 a1k
A a21 a22
a2k
b11 b12 b1k
c11 c12 c1k
B b21 ba22
b2k
C c21 c22
c2
kLeabharlann ak1 ak 2 akk
bk1 bk 2 bkk
t
d
21e1
t
rr t cr11t cr22 t crkk t dr1e1t
dr2e2 t drmem t
表示为矢量矩阵形式
状态方程 输入方程
d d t
t k1
Akkλ
k1 t
Bkmem1 t
r t r1 Crkλ k1 t Drmem1 t
1 t λ t 2 t
rt Cλ t Det
CeAtλ 0
t eAt Be d Det
0
C eAtλ 0 [CeAtB Dδt]et