功率谱估计及比较
第四章 功率谱估计
N ˆxx (m)] var[r ( N m )2
N m 1 k 1 m N
2 [rxx (k ) rxx (k m)rxx (k m)]
此式表明，只有当 N m, N 时，估计量的方差才趋 于0，此估计是渐近一致估计。但是当 m N 时，方差将很大， 因此，这种方法在一般情况下不是一种好的估计方法。虽然是 无偏的，但不能算是一致的。 9
1 N m 1 ˆxx (m) r x ( n) x ( n m) N m n0
0 m N 1 1 N m 0
7
ˆxx (m) r ˆxx (m) r
也可写成一个表达式
1 N m 1 ˆxx (m) r x(n) x(n m) N m n 0
因为 r ˆxBiblioteka (m) 是无偏估计，两边取均值，得
Nm Nm (m)] ˆxx ˆxx (m)] E[r E[r rxx (m) rxx (m) N N 有偏估计
10
偏移量为
m (m)] ˆxx B rxx (m) E[r rxx (m) N
由 可见，只有当 m 0 时，r (m) 才是 ˆxx 无偏的，其它 m 都是有偏的，但当 N 时， B 0 ，因此
2. 有偏自相关函数的估计
(m) 表示，估计器为 ˆxx 有偏自相关函数用 r
1 N m 1 ( m) ˆxx r x ( n ) x ( n m) N n 0
估计性能分析： 估计量的偏差：
1 N m N 1
Nm (m) ˆxx ˆxx (m) r r N
jm ˆ (e ) r ˆ P ( m ) e BT xx j m
功率谱估计方法的比较
功率谱估计方法的比较功率谱估计是信号处理中常用的一种方法，用于分析信号在频域上的能量分布情况。
不同的功率谱估计方法适用于不同的信号特性和应用场景。
本文将对几种常见的功率谱估计方法进行比较，并讨论其适用性和优缺点。
主要涉及的方法包括周期图法、Welch法、半周期图法、高分辨功率谱估计方法以及非参数方法。
周期图法是最基本也是最简单的功率谱估计方法之一、它通过计算信号的自相关函数来获得功率谱。
周期图法适用于信号周期性明显的情况，能够对周期性成分进行准确的估计。
然而，周期图法对非周期性成分的估计精度较低，容易受到噪声的影响。
此外，由于其需要计算自相关函数，计算复杂度较高。
Welch法是一种常用的非周期信号功率谱估计方法。
它将信号分成多个重叠的子段，并对每个子段进行信号窗和傅里叶变换，最后将各个子段的功率谱平均，得到最终的功率谱估计值。
Welch法通过增加样本数量来提高估计精度，对非周期信号有较好的适应性。
然而，Welch法存在频率分辨率较低的问题，特别是在功率谱曲线出现忽略不计的成分时，精度会受到影响。
半周期图法是一种结合了周期图法和Welch法的功率谱估计方法。
它将信号分成多个重叠的子段，并对每个子段进行信号窗和自相关函数的计算，最后将各个子段的功率谱平均。
半周期图法具有比Welch法更好的频率分辨率，对非周期信号有更好的适应性。
然而，半周期图法也存在计算复杂度较高的问题。
高分辨功率谱估计方法是一类通过对信号进行重构和增加相位信息来提高频率分辨率的方法。
例如，MUSIC（多重信号分类）算法通过将信号子空间与噪声子空间进行相关分析，得到更精确的功率谱估计。
高分辨功率谱估计方法适用于信号含有多个成分且互相之间相对较远的情况。
然而，高分辨功率谱估计方法常常对信号的要求较高，对信号中噪声和非线性成分比较敏感。
非参数方法是一种不依赖于信号模型的功率谱估计方法。
它通过直接对信号进行傅里叶变换，并对结果进行平方，得到信号的功率谱估计值。
多种功率谱估计的比较
多种功率谱估计的比较1．实验目的：a.了解功率谱估计在信号分析中的作用；b.掌握随机信号分析的基础理论，掌握参数模型描述形式下的随机信 号的功率谱的计算方法；c.掌握在计算机上产生随机信号的方法；d.了解不同的功率谱估计方法的优缺点。
2．实验准备：有三个信号源，分别代表三种随机信号（序列）。
信号源1：123()2cos(2)2cos(2)2cos(2)()x n f n f n f n z n πππ=+++其中，1230.08,=0.38,0.40f f f ==z(n)是一个一阶 AR 过程，满足方程： ()(1)(1)()z n a z n e n =--+ (1)0.823321a =-e(n)是一高斯分布的实白噪声序列，方差20.1σ=信号源2和信号源3：都是4阶的AR 过程，它们分别是一个宽带和一个窄带过程，满足方程： ()(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)()x n a x n a x n a x n a x n e n =--------+e(n)是一高斯分布的实白噪声序列，方差2σ，参数如下：a. 描绘出这三个实验信号的真实功率谱波形。
b. 在计算机上分别产生这个三个信号，令所得到的数据长度 256 = N 。
注意：产生信号的时候注意避开起始瞬态点。
例如，可以产生长度为512 的信号序列，然后取后面256 个点作为实验数据。
c. 分别用如下的谱估计方法，对三个信号序列进行谱估计。
1、经典谱估计 z 周期图法 z 自相关法z 平均周期图法（Bartlett 法）z Welch 法（可选每段64 点，重叠32 点，用Hamming 窗） 2、现代谱估计z Yule - Walker 方程（自相关法） z 最小二乘法注：阶次p 可在3－20之间，由自己给定。
4.实验结果及分析1 分析信号源1 1> 周期图法周期图法又称直接法，是直接建立在功率谱的定义式上的。
功率谱估计方法的比较
功率谱估计方法的比较1.周期图法周期图法是最简单直观的功率谱估计方法之一，通过将信号分成多个长为N的区间，计算每个区间内信号的一维傅里叶变换，然后将这些变换结果平方并取平均得到功率谱。
该方法简单快速，但由于其需要使用多个区间的数据进行平均，因此对信号长度有较高的要求，且在信号存在非平稳性时，该方法不适用。
2.自相关法自相关法是一种经典的功率谱估计方法，通过计算信号的自相关函数来估计功率谱。
具体步骤是将信号与其自身的延迟序列进行点乘，并取平均得到自相关函数。
然后对自相关函数进行傅里叶变换，得到功率谱估计值。
该方法计算简单，但精度一般，且在信号长度较长时计算复杂度较高。
3.傅里叶变换法傅里叶变换法是一种经典的功率谱估计方法，通过对信号直接进行傅里叶变换得到功率谱。
该方法计算简单，精确度高，但对信号的长度存在要求，较长的信号长度能提供更高的分辨率。
此外，傅里叶变换法只适用于周期性信号。
4.平均周期图法平均周期图法是一种对周期图法的改进。
它将信号分为多段，并对每一段进行周期图计算，然后将计算结果平均得到平均周期图。
与周期图法相比，平均周期图法可以降低误差，提高估计精度。
然而，该方法仍然对信号长度有一定要求，并且计算复杂度较高。
5.移动平均法移动平均法是一种基于滑动窗口的功率谱估计方法，其基本思想是通过对信号进行多次滑动窗口处理，将窗口内信号的傅里叶变换结果平方并取平均得到功率谱估计值。
该方法在计算复杂度上较低，适用于非平稳信号的功率谱估计。
但是，由于窗口大小的选择存在权衡，需要根据实际情况进行合理设置。
总结起来，各种功率谱估计方法各有优劣。
周期图法和自相关法计算简单，但方法的精度较低，受信号长度限制且无法处理非平稳信号。
傅里叶变换法具有较高的计算精度，但对信号的长度和周期性要求较高。
平均周期图法和移动平均法对周期图法进行了改进，在精度上有所提高，但计算复杂度较高。
因此，在实际应用中，需要根据具体的信号特点和处理要求选取合适的功率谱估计方法。
功率谱估计
功率谱估计引言：对信号和系统进行的分析研究、处理有两类方法：一类是在时域内进行，维纳滤波、卡尔曼滤波以及自适应滤波等都属于时域处理方法；另一类方法是频域研究方法。
对于确定性信号，傅里叶变换是在频率分析研究的理论基础，但是在实际生活中大多数信号是随机信号，而随机信号的傅里叶变换是不存在的，在实际应用中，通常通过采集和观测平稳随机过程的一个抽样序列的一段（有限个）数据，根据这有限个已知的数据来估计随机过程的功率谱问题来对随机信号进行分析，这即是频率谱估计。
功率谱估计是数字信号处理的主要内容之一，主要研究信号在频域中的各种特征，目的是根据有限数据在频域内通过用某种有效的方法来估计出其功率谱密度，从而得出信号、噪声及干扰的一些性质来，提取被淹没在噪声中的有用信号。
功率谱估计就是通过信号的相关性估计出接受到信号的功率随频率的变化关系，实际用途有滤波，信号识别（分析出信号的频率），信号分离，系统辨识等。
谱估计技术是现代信号处理的一个重要部分，还包括空间谱估计，高阶谱估计等。
按照Weiner —Khintchine 定理，随机信号的功率谱和其自相关函数服从傅里叶变换关系，可以得出功率谱的一个定义，如公式（1）所示：()jwm m xx jw xx e m re P -∞-∞=∑=)( 公式（1）对于平稳随机信号，服从各态历经性，集合平均可以用时间平均来代替，可以推出功率谱的另一定义。
如公式（2）所示：()])(121[2lim ∑-=-∞→+=N N n jwn N jw xx e n x N E e P 公式（2）频率谱估计主要分为经典谱估计和现代谱估计，经典谱估计是将数据工作区外的未知数据假设为零,相当于数据加窗,主要方法有相关法和周期图法;现代谱估计是通过观测数据估计参数模型再按照求参数模型输出功率的方法估计信号功率谱,主要是针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出的,应用最广的是AR 参数模型。
功率谱估计方法的比较
功率谱估计方法的比较摘要：本文归纳了信号处理中关键的一种分析方法, 即谱估计方法。
概述了频谱估计中的周期图法、修正的协方差法和伯格递推法的原理，并且对此三种方法通过仿真做出了对比。
关键词：功率谱估计；AR 模型；参数 引言：谱估计是指用已观测到的一定数量的样本数据估计一个平稳随机信号的谱。
由于谱中包含了信号的很多频率信息，所以分析谱、对谱进行估计是信号处理的重要内容。
谱估计技术发展 渊源很长，它的应用领域十分广泛，遍及雷达、声纳、通信、地质勘探、天文、生物医学工程等众多领域，其内容、方法都在不断更新，是一个具有强大生命力的研究领域。
谱估计的理论和方法是伴随着随机信号统计量及其谱的发展而发展起来的，最早的谱估计方法是建 立在基于二阶统计量, 即自相关函数的功率谱估计的方法上。
功率谱估计的方法经历了经典谱估计法和现代谱估计法两个研究历程，在过去及现在相当长一段时间里，功率谱估计一直占据着谱估计理论里的核心位置。
经典谱估计也成为线性谱估计，包括BT 法、周期图法。
现代谱估计法也称为非线性普估计，包括自相关法、修正的协方差法、伯格（Burg ）递推法、特征分解法等等。
原理：经典谱估计方法计算简单，其主要特点是谱估计与任何模型参数无关，是一类非参数化的方法。
它的主要问题是：由于假定信号的自相关函数在数据的观测区间以外等于零，因此估计出来的功率谱很难与信号的真实功率谱相匹配。
在一般情况下，经典法的渐进性能无法给出实际功率谱的一个满意的近似，因而是一种低分辨率的谱估计方法。
现代谱估计方法使用参数化的模型，他们统称为参数化功率谱估计，由于这类方法能够给出比经典法高得多的频率分辨率，故又称为高分辨率方法。
下面分别介绍周期图法、修正的协方差法和伯格递推法。
修正的协方差法和伯格递推法采用的模型均为AR 模型。
（1）周期图法周期图法是先估计自相关函数, 然后进行傅里叶变换得到功率谱。
假设随机信号x(n)只观测到一段样本数据，n=0, 1, 2, …, N -1。
功率谱估计及比较
1 实验目的
(1) 掌握Welch算法的概念、应用及特点； (2) 了解谱估计在信号分析中的作用； (3) 能够利用 Welch 法对信号作谱估计，对信号的特点加以分析。
2 实验内容
(1) 读入实验数据。 (2) 编写一利用Welch法作估计的算法程序。 (3) 将计算结果表示成图形的形式，给出信号谱的分布情况图。
该方法的计算步骤： a)
x(n) ，N 点 2 N 1点，得 R xx (m)
b) 按 2N-1 点对 R xx (m) 作 DFT， R xx (m) S BT (k ) (3) 加窗平滑法（BT 法） 加窗平滑法的原理是先做自相关估计， 在选择合适的窗函数相乘， 也即截断， 然后作 DFT。其原理步骤如下：
0504030201归一化频率序号k001020304059080706050403020100不同窗函数下的welch谱估计函数叠合长度为50每段长度为100归一化功率谱信号sdb矩形窗三角窗布莱克曼窗汉明窗汉宁窗0504030201归一化频率序号k00102030405200180160140120100806040200周期图法和welch法谱估计对比每段长度100叠合50矩形窗函数归一化功率谱信号dbsperswelch0504030201归一化频率序号k00102030405200180160140120100806040200所有谱估计法所求解的功率谱加窗平滑窗函数长度为50welch法每段数据长度100平均周期图法均分为128段叠合50矩形窗归一化功率谱信号sdb周期图法自相关法加窗平滑法平均周期图法welch法5原程序清单clc
-10
归 一 化 功 率 谱 信 号 S /dB
-20
经典功率谱估计
雷达和声呐系统
目标检测
在雷达和声呐系统中，经典功率谱估计常被用于目标检测。通过对接收到的信号进行功率 谱分析，可以判断是否存在目标以及目标的位置和速度等信息。
距离和速度测量
在雷达和声呐系统中，经典功率谱估计还可以用于距离和速度测量。通过对接收到的信号 进行功率谱分析，可以估计出目标与系统之间的距离和相对速度。
信号分类
在雷达和声呐系统中，经典功率谱估计还可以用于信号分类。通过对接收到的信号进行功 率谱分析，可以判断目标的类型，例如区分飞机、船舶或车辆等不同类型目标。
05 经典功率谱估计的改进方 法
基于小波变换的功率谱估计
1
小波变换能够将信号分解成不同频率和时间尺度 的分量，从而更好地揭示信号的内在结构和特征。
然而，这些方法通常需要较长 的数据长度和较为复杂的计算 过程，对于短数据和实时处理 的应用场景具有一定的局限性 。
研究展望
01
随着信号处理技术的发展，经典功率谱估计方法仍有进一步优化的空 间。
02
针对短数据和实时处理的应用场景，研究更为快速、准确的功率谱估 计方法具有重要的实际意义。
03
结合机器学习和人工智能技术，探索基于数据驱动的功率谱估计方法 是一个值得关注的方向。
优点
能够提供较高的频率分辨率和较低的估计误差。
原理
格莱姆-梅尔谱估计利用了信号的模型参数，通过 构造一个模型函数来描述信号的频率响应特性， 并求解该函数的极值问题得到信号的功率谱。
缺点
需要预先设定模型函数的形式和参数，且计算复 杂度较高。
03 经典功率谱估计的优缺点
优点
01
02
03
算法成熟
经典功率谱估计方法经过 多年的研究和发展，已经 相当成熟，具有较高的稳 定性和可靠性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
归 一 化 功 率 谱 信 号 /dB
-30 -40 -50 -60 -70 -80 -90 -100 -0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1 0 0.1 归一化频率序号k
0.2
0.3
0.4
0.5
(2) 不同的数据重叠长度对 Welch 谱估计结果有何影响？
不 同 叠 合 长 度 的 Welch谱 估 计 函 数 ， 分 段 长 度 为 70 0 69 35 1
-60 -80 -100 -120 -140 -160 -180 -200 -0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1 0 0.1 归一化频率序号k
0.2
0.3
0.4
0.5
图 1 周期图法求功率谱（左：编程 右：函数）
可以看出两种方法的计算结果相同，也验证了编程的有效性。同时，对应于 周期图法所求得的功率谱振荡剧烈，信号方差较大，不利于对功率信号的分析。 (2) 自相关法 先根据实验所给数据求解出自相关函数， 然后对自相关函数进行傅里叶变换， 从而得到功率谱估计。自相关法是由维纳-辛钦公式出发的，本质上是对周期图 法的插值，因此而这本质上来说是一致的。从图 2 可以看出，自相关法得到的结 果与周期图法相似，同样是方差较大，信号振荡大。
Welch法 （ 编 程 ） 求 功 率 谱 密 度 函 数 0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -0.5
归 一 化 功 率 谱 信 号 S-wel /dB
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1 0 0.1 归一化频率序号k
0.2
0.3
0.4
0.5
Welch法 （ 函 数 ） 求 功 率 谱 密 度 函 数 0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -0.5
4 实验结果分析
4.1 实验仿真结果 在实验仿真求取结果中， 可以采取两种方式， 一是采用第 3 部分的算法步骤， 进行编程求解；二是在 Matlab 软件中调用 periodogram.m、pwelch.m 等已有的函 数进行计算求解。 (1) 周期图法 函数介绍：[Sxx,f]=periodogram(x,window,nfft,fs,'range') x 为进行功率谱估计的输入有限长序列，window 用于指定采用的窗函数， nfft 设定 fft 算法的长度，fs 为采样频率，Sxx 为输出的功率谱密度值，f 为得到 的频率点。 分别采用编程和函数两种方法求解所有数据的功率谱， 并且进行归一化后的 结果如下图所示：
c) 窗函数 (n) 的长度 L M
X i ( ) DFT [ xi (n) w(n)] xi (n) w(n)e jn
n 0
M 1
S xi ( )
1 | X i ( ) |2 M
1 1 K 从而： S xx ( ) S xi ( ) ，计算流程图可表示如下： U K i 1
N 1 j X ( e ) x(n)e jn n 0 2 N 1 X (k ) x(n)e j N kn n 0
S PER ( ) S PER (k )
1 | X (e j ) |2 N 1 | X (k ) |2 N k 0,..., N 1
加窗平滑法求功率谱 0 -20 -40 M=50 M=100 M=1000
归 一 化 功 率 谱 信 号 S /dB
-60 -80 -100 -120 -140 -160 -0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1 0 0.1 归一化频率序号k
0.2
0.3
0.4
0.5
图 3 加窗平滑法求功率谱函数
(4) 平均周期图法（Bartlett） 将数据平均分为 K 段
功率谱估计分析及比较
1 实验目的
(1) 掌握Welch算法的概念、应用及特点； (2) 了解谱估计在信号分析中的作用； (3) 能够利用 Welch 法对信号作谱估计，对信号的特点加以分析。
2 实验内容
(1) 读入实验数据。 (2) 编写一利用Welch法作估计的算法程序。 (3) 将计算结果表示成图形的形式，给出信号谱的分布情况图。
3 算法讨论与分析
随机信号的功率密度函数的定义如下：
S xx ( j) lim E[| X T ( j) |2 ]
T
其物理意义表示为信号在单位频带内的平均功率。 经典的谱估计主要包括以 下几种方式： (1) 周期图法 周期图法是直接建立在功率谱的定义式上的，也称之为直接法。原理计算如 下：
对于直接法的功率谱估计，当数据长度 N 太大时，谱曲线起伏加剧，若 N 太小，谱的分辨率又不好，Welch 谱估计法从两个方面对直接法进行改进： 一是分段，且各段之间可以存在区间重叠，这样会使方差减小； 二是加窗， 选择适当的窗函数加在 x(n) 的分段数据上， 这样可使谱估计变得 更加平滑，但分辨率减小。 从理论分析上来说， Welch 谱估计法是渐进无偏估计， 并且是渐进一致估计。
(3) 不同的窗函数对 Welch 谱估计结果有何影响？
归 一 化 功 率 谱 信 号 S /dB
不 同 窗 函 数 下 的 Welch谱 估 计 函 数 ， 叠 合 长 度 为 50% ， 每 段 长 度 为 100 0 矩形窗 -10 三角窗 布莱克曼窗 汉明窗 -20 汉宁窗 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90 -0.5
归 一 化 功 率 谱 信 号 S /dB
-80 -100 -120 -140 -160 -180 -200 -0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1 0 0.1 归一化频率序号k
0.2
0.3
0.4
0.5
5 原程序清单
clc; clear; Qjt=load('Qjt.dat'); %读取数据 n=length(Qjt); nfft=2^(nextpow2(n)-1); fs=50; data(:,1)=Qjt(1:nfft,1); %---------------周期图法（编程求解）------------y=fft(data); Sxx=abs(y).^2/n; Sxx=Sxx/max(Sxx); S_per2=fftshift(20*log10(Sxx)); f=-0.5:1/nfft:0.5-1/nfft; figure(12) plot(f,S_per2,'b'); title('直接法（编程）求功率谱密度函数') xlabel('归一化频率序号 k'); ylabel('归一化功率谱信号 S-per /dB') grid; %----------周期图法（函数：periodogram）--------[Sxx]=periodogram(data,[],nfft,1,'twosided'); %给定参数下对数据进行双边周期图法功率谱估计 Sxx=Sxx/max(Sxx); S_per1=fftshift(20*log10(Sxx)); f=-0.5:1/nfft:0.5-1/nfft; figure(11) plot(f,S_per1,'b') title('直接法（函数）求功率谱密度函数') xlabel('归一化频率序号 k'); ylabel('归一化功率谱信号 S-per /dB') grid; %------------------自相关法--------------------rxx=xcorr(data,'biased'); Sxx=fft(rxx); Sxx=Sxx/max(Sxx); S_bt=fftshift(20*log10(Sxx)); f=-0.5:1/2/nfft:0.5-1/nfft; figure(2) plot(f,S_bt,'b') title('自相关法求功率谱密度函数'); %求解自相关函数 % 做 FFT，求解功率谱 % 将功率谱进行归一化 %数据化为分贝值，并进行频移 %归一化频率 % 将功率谱进行归一化 %数据化为分贝值，并进行频移 %归一化频率 % 作图 % 对原始数据做 FFT % 求模平方并除以 N，即为功率谱 %将功率谱进行归一化 %数据化为分贝值，并进行频移 %归一化频率 % 作图 % 给定数据的长度 %截取最大的 2 的整次幂数据长度 % 信号数据采样频率 %为加快计算，选用数据长度为 2 的整次幂
该方法的计算步骤： a) 取 N 点数据的 DTFT（DFT） b) 求模之平方并除以 N (2) 自相关法 自相关法的原理是由维纳-辛钦公式，经自相关函数间接获得的。原理计算 如下：
1 N |m|1 R ( m ) xx x ( n ) x ( n m) N n 0 2 N 1 j km S BT (k ) N R ( m ) e xx m ( N 1)
自相关法求功率谱密度函数 0 -20 -40
归 一 化 功 率 谱 信 号 S-bt /dB
-60 -80 -100 -120 -140 -160 -180 -200 -0.5
-0.4
-0.3
பைடு நூலகம்
-0.2
-0.1 0 0.1 归一化频率序号k
0.2
0.3
0.4
0.5
图 2 自相关法求功率谱函数
(3) 加窗平滑法（BT） 根据加窗平滑法的求解步骤进行编程，取窗函数为矩形窗，其长度为 M。对 应于不同的 M 值可以得到不同的结果，如图三所示。
直接法（编程）求功率谱密度函数 0 -20 -40 0 -20 -40 直接法（函数）求功率谱密度函数