现代信号处理功率谱估计

它自相关函数值，而不必假设它们为零， 这就是最大熵谱估计
的基本思想。
现代信号处理功率谱估计
2. 最大熵谱估计与AR模型谱估计的等价性
我 们 已 经 知 道 AR
Yule-Walker方程，即
rxx(m)
N
k1 N
ak
rxx(m
k)
m>0
k1 akrxx(mk) w2 m=0
将m≥1的情况写成矩阵形式：
一、 最大熵谱估计
1. 利用最大熵的原则外推自相关函数
按照Shannon对熵的定义， 当随机变量X取离散值时，熵的
定义为
H pi lnpi (4.6.1)
i
式中pi是出现状态i的概率。当X取连续值时，熵的定义为
H p (x )lp n (x )d x E [lp (x n )]
(4.6.2)
为rxx(N+1)的函数，凹口向下，那么只有一个最大值。为选择
rxx(N+1)使det(Rxx(N+1)最大， 解下列方程：
d drxx(N1)deRtx[x(N1)]0
(4.6.6)
现代信号处理功率谱估计
用数学归纳法，得到
rxx(1)
rxx(0)
rxx(2) rxx(1)
rxx(N
1)
rxx(N 2)
功率谱估计
七、最大熵谱估计
1、利用最大熵的原则外推自相关函数 2、 最大熵谱估计与AR模型谱估计的等价性
八、最大似然谱估计
1、最小方差谱估计 2、最大熵谱与最大似然谱估计的关系
九、特征分解法谱估计
1、正弦波用退化AR模型表示 2、白噪声中正弦波组合用一特殊的ARMA模型表示 3 、特征分解法谱估计
现代信号处理功率谱估计
现代信号处理功率谱估计
式中, p(x)是X的概率密度函数，对于离散随机序列, 概率密度函 数用联合概率密度函数代替。显然,熵代表一种不确定性， 最大 熵代表最大的不确定性， 或者说最大的随机性。下面我们研究 对于有限的自相关函数值不作任何改变，对于未知自相关函数 用最大熵原则外推，即不作任何附加条件的外推方法。 假设x(n) 是零均值正态分布的平稳随机序列，它的N维高斯概率密度函数 为 p ( x 1 ,x 2 , ,x N ) ( 2 π ) N /2 (d R x( N x e )1 /2 ) e t x 1 2 X H p ( R x( N x) 1 X )
式中det(Rxx(N))表示矩阵Rxx(N)的行列式，由上式表明为使熵最 大，要求det(Rxx(N)最大。
现代信号处理功率谱估计
若已知N+1个自相关函数值rxx(0),rxx(1),…,rxx(N)，下面用最 大熵方法外推rxx(N+1)。设rxx(N+1)确实是信号自相关函数的第 N+2个值，根据自相关函数的性质，由N+2个自相关函数组成 的矩阵为
rxx(0)
rxx(1) rxx(N) rxx(N1)
Rxx(N1)
rxx(1)
rxx(0)
rxx(N1)
rxx(N)
rxx(N1) rxx(N) rxx(1)
rxx(0)
（4.6.4）
现代信号处理功率谱估计
它必须是非负定的矩阵， 即
deRxt(x[N1)]0
（4.6.5）
dR x e ( 0 x )d t,[ R x e ( 1 x ) t,d [R x e ( N x ) t ] 0 [
将行列式展开，det(Rxx(N+1))是rxx(N+1)的二次函数，该二次函 数 系 数 的 符 号 是 ： (-1)1+N+2(-1)1+N+1=-1 ， 且 det(Rxx(N+1)) 对 rxx(N+1)的二次导数是-2det［Rxx(N-1)］，它是负值，负值表示
det (Rxx(N+1))对rxx(N+1)的一次导数是减函数，det(Rxx·(N+1))作
rxx(1)
rxx(2)
rxx(0) rxx(1)
rxx(N
1)
rxx(N
2)
0
rxx(N1) rxx(N)
rxx(1)
可以看出AR模型得到的结果与按最大熵外推rxx(N+1)得到的结果 一致，这就证明了当x(n)为高斯分布时的最大熵谱估计与AR模型
法是等价的。
上式（4.6.8)是rxx(N+1)的一次函数，由此可解得rxx(N+1)。再 用类似的方法求得rxx(N+2)， rxx(N+3)，┄，然后确定功率谱估计。
0
（4.6.7）
rxx(N1) rxx(N)
rxx(1)
上 式 是 rxx(N+1) 的 一 次 函 数 ， 可 以 解 出 rxx(N+1) 。 继 续 再 将
rxx(N+1) 代 入 Rxx(N+2) 和 det(Rxx(N+2)) 中 ， 求 det(Rxx(N+2)) 对
rxx(N+2)的最大值，得到rxx(N+2); 以此类推，可推出任意多个其
rxx(2)a1rxx(1)aNrxx(N2)
0
rxx(N)a1rxx(N1)aNrxx(0) 0
及
r x(N x 1 ) a 1 r x(N x) a N r x(1 x ) 0 （4.6.8）
现代信号处理功率谱估计
利用N个参数,由齐次方程组即可解得a1,a2,…,aN值,再将得到的参数 值代入(4.6.8)式,并将它整理成行列式:
功率谱估计
十、 Prony谱分析法
1、利用最大熵的原则外推自相关函数 2、 最大熵谱估计与AR模型谱估计的等价性
十一、多重信号分类MUSIC
1、最小方差谱估计 2、最大熵谱与最大似然谱估计的关系
十二、特征分解法谱估计
1、波束形成器 2、特征子空间分析 3 、MUSIC算法及其改进
现代信号处理功率谱估计
式中
X[x1,x2, ,xN]H
现代信号处理功率谱估计
rxx(0) Rxx(N) rxx(1)
rxx(1) rxx(0)
rxx(N)
rxx(N1)
rxx(N) rxx(N1) rxx(0)
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按照（4.6.2）式，x(n)信号的熵为
H lo2 π g )N / e [ 2 ((d R xe (x N )t1 ) /( 2 （]) 4.6.3）
rxx(0)
rxx(1)
rxx(1) rxx(N)
rxx(0) rxx(N1)
rxx(N) rxx(N1) rxx(0)
a1102
aN
0
现代信号处理功率谱估计
式中ai是AR模型系数,i=1, 2, 3, …, N, 。在AR模型中,列写齐次方
程式,可得
rxx(1)a1rxx(0)aNrxx(N1) 0