现代信号处理功率谱估计
数字信号处理讲义-4现代功率谱估计
a3 (2302)1,/3/128。则可由AR模型参数获得功率谱Py(W)的估计值10 。
Y-W方程的L-D递推算法
➢ 一阶Y-W方程的解
Ry[0] Ry[1]
R Ryy[[1 0]]a11(1)012
解此方程得
a1 (1) Ry [1] Ry [0]
12Ry[0]Ry[1]a1(1)Ry[0]1(a1(1)2)
2 1
a2(1)Ry[0]R Ry2y[[1 0]] R Ryy2[[11]]Ry[2]a1(1)a2(2)a1(1)
2 2 202 1/3R /18y[0 ] R y[1 ]a 2 (1 ) R y[2 ]a 2 (2 )[1a2(2)2]1212
Y-W方程的L-D递推算法
➢ p阶Y-W方程的递推解
2021/3/18
11
Y-W方程的L-D递推算法
➢ 二阶Y-W方程的解
R Ryy[[10]]
Ry[1] Ry[0]
R Ryy[[12]]a21(1)022
Ry[2] Ry[1] Ry[0]a2(2) 0
a2(2)Ry[R0y2][R0y][2]Ry2[R1y]2[1]
Ry[2]a1(1)Ry[1]
4
参数模型法的基本思想
根据所研究信号的先验知识，对观测数据以外 的数据作出某种比较合理的假设。
假设信号是白噪声通过LTI系统产生的。由观测数 据估计LTI系统模型的参数。最后由LTI系统模型的参数得出 功率谱。
h[k]
h
y[k]
输入白噪声的自相关函数 Rh[n]2[n]
Py(W)H(ejW)22
2021/3/18
对于因果系统, p阶AR模型的自相关函数与R y[m n ]2[m ]m 0 ,1 , ,p
功率谱计算[解说]
![功率谱计算[解说]](https://img.taocdn.com/s3/m/3cec2a18f02d2af90242a8956bec0975f465a478.png)
功率谱计算功率谱估计在现代信号处理中是一个很重要的课题，涉及的问题很多。
在这里，结合matlab，我做一个粗略介绍。
功率谱估计可以分为经典谱估计方法与现代谱估计方法。
经典谱估计中最简单的就是周期图法，又分为直接法与间接法。
直接法先取N点数据的傅里叶变换（即频谱），然后取频谱与其共轭的乘积，就得到功率谱的估计；间接法先计算N点样本数据的自相关函数，然后取自相关函数的傅里叶变换，即得到功率谱的估计.都可以编程实现，很简单。
在matlab中，周期图法可以用函数periodogram实现。
但是周期图法估计出的功率谱不够精细，分辨率比较低。
因此需要对周期图法进行修正，可以将信号序列x(n)分为n个不相重叠的小段，分别用周期图法进行谱估计，然后将这n段数据估计的结果的平均值作为整段数据功率谱估计的结果。
还可以将信号序列x(n)重叠分段，分别计算功率谱，再计算平均值作为整段数据的功率谱估计。
这2种称为分段平均周期图法，一般后者比前者效果好。
加窗平均周期图法是对分段平均周期图法的改进，即在数据分段后，对每段数据加一个非矩形窗进行预处理，然后在按分段平均周期图法估计功率谱。
相对于分段平均周期图法，加窗平均周期图法可以减小频率泄漏，增加频峰的宽度。
welch法就是利用改进的平均周期图法估计估计随机信号的功率谱，它采用信号分段重叠，加窗，FFT等技术来计算功率谱。
与周期图法比较，welch法可以改善估计谱曲线的光滑性，大大提高谱估计的分辨率。
matlab中，welch法用函数psd实现。
调用格式如下：[Pxx,F] = PSD(X,NFFT,Fs,WINDOW,NOVERLAP)X：输入样本数据NFFT：FFT点数Fs:采样率WINDOW：窗类型NOVERLAP，重叠长度现代谱估计主要针对经典谱估计分辨率低和方差性不好提出的，可以极大的提高估计的分辨率和平滑性。
可以分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计。
参数模型谱估计有AR模型，MA模型，ARMA模型等；非参数模型谱估计有最小方差法和MUSIC法等。
谱估计在现代信号处理中是一个很重要的课题
谱估计在现代信号处理中是一个很重要的课题。
功率谱估计课分为经典谱估计方法和现代谱估计方法。
研究二阶平稳随机过程特征－功率谱密度－揭示随机过程中所隐含的周期及相邻的谱峰等有用信息。
则要用有限长的N 个样本数据去估计该平稳随机过程的功率谱密度－谱估计的方法。
此种估计是建立在时间平均的方法之上，并假定具有遍历性。
经典谱估计－线性、非参数化方法：周期图法，相关图法等。
采用经典的傅里叶变换及窗口截断。
对长序列有良好估计。
现代谱估计－非线性、参数化方法：最大似然估计，最大熵法，AR 模型法，预测滤波器法，ARMA 模型等。
对短序列的估计精度高，与经典法相互补充。
是融合经典变换理论、统计估计理论、系统辨识、信息论、时间序列分析及计算方法等理论与技术－新学科。
应用广泛，发展迅速。
1、谱密度意义 一、 能谱密度设x(t)是确定性的复连续信号，若其绝对可积或其能量有限，即：则x(t)的连续傅氏变换存在，由下式给出：错误！未找到引用源。
根据Parseval 能量定理，有：错误！未找到引用源。
由上式可见，信号能量E 等于信号频谱模值平方错误！未找到引用源。
在整个频域上的积分，故称错误！未找到引用源。
为信号的能谱密度。
当x(t)为广义平稳过程时，其能量通常是无限的，则需研究其功率的频域上的分布，即功率密度。
对于平稳随机过程，谱分析是采用自相关函数：错误！未找到引用源。
) 1 1 ( ) ( 2- - - ∞ < =⎰ ∞∞- dt t x E )2 1 ( ) 2 exp( ) ( ) ( - - - - =⎰ ∞∞- dt ft j t x f X π)3 1 ( ) ( ) ( 22- - - ==⎰ ⎰ ∞∞- ∞∞- df f X dt t x E )4 1 ( ) ( ) ( 2 - - = f X f ε [ ] )5 1 () ( * ) ( ) ( - - + = Γ τ τ τ x t x E xWiener-Kinchine 定理将自相关函数与功率谱密度联系起来：错误！未找到引用源。
第6讲功率谱估计的现代方法
第6讲：功率谱估计的现代方法§6.1 AR 模型法谱估计假设一个随机过程可以由AR(p)刻画-=)(n x ∑=+-⋅pk n v k n x k a 1)()()(它的功率谱为2222)()1(1)(fpj fj AR ep a ea f P ππσ--+++=这里]|)([|22n v E =σ给出一组观测数据)}1(),1(),0({-N x x x 得到估计的参数集}ˆ),(ˆ),2(ˆ),1(ˆ{2σp a a a，得到一个估计的功率谱密度PSD 。
2122)(ˆ1ˆ)(ˆ∑=-+=pk fkj ARe k af P πσ§6.1.1最大熵谱估计（MESE ）假设已知)}(),1(),0({p r r r ，为了确定PSD ，外推 )2(),1(++p r p r ，有无穷多外推方法，一种原则是使信号熵最大，即有最大随机性。
对于高斯过程，熵可以表示成：⎰-⋅2121)(lndf f P C xx（1）（1）是熵表达式，C 是常数，由已知p+1个自相关值构成如下约束方程：p k k r df ef P fkj xx ,1,0)()(21212==⎰-π且知：∑+∞-∞=-⋅=k fkj xx ek r f P π2)()(用Lagrangian 乘积法构成目标函数。
⎰⎰∑--=+=2121212120)()(ln df ef P df f P S fkj xx pk ixx πλ并且求：0)(=∂∂k r S ,2,1||++=p p k经计算的得：1||0)(2+≥=⎰--p k df f P exx fmj πππ这隐含着：∑-=-=ppk fkj k xx ef P πλ2)(1和k k -=λλ*以确保)(f p xx 是实的。
即求得：∑-=-=ppk fkj k xx ef P πλ21)(上式带回p+1个约束方程，经过整理, 最后求得：2122)(1)(∑=-⋅+=pk fkj xx ek a f P πσ这里2σ和)(k a 必须满足：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅)(*)2(*)1(*)()2()1(p r r r p a a a R和：∑=+⋅+=pk k r k a r 12)()()0(σ这正是Yule-Walker 方程，由此得到结论：在Gaussian 随机过程情况下，最大熵估计和AR谱估计是一致的，在非Gaussian 情况下，这一结论并不成立。
功率谱估计
功率谱估计功率谱估计就是通过信号的相关性估计出接受到信号的功率随频率的变化关系，实际用途有滤波，信号识别（分析出信号的频率），信号分离，系统辨识等。
谱估计技术是现代信号处理的一个重要部分，还包括空间谱估计，高阶谱估计等。
维纳滤波、卡尔曼滤波，可用于自适应滤波，信号波形预测等（火控系统中的飞机航迹预判）。
如果我在噪声中加入一个信号波形。
要完全滤波出我加入的信号波形，能够做到吗？如果知道一些信息，利用一个参考信号波形，可利用自适应滤波做到（信号的初始部分稍有失真）。
功率谱估计是数字信号处理的主要内容之一，主要研究信号在频域中的各种特征，目的是根据有限数据在频域内提取被淹没在噪声中的有用信号。
下面对谱估计的发展过程做简要回顾:英国科学家牛顿最早给出了“谱”的概念。
后来，1822年，法国工程师傅立叶提出了著名的傅立叶谐波分析理论。
该理论至今依然是进行信号分析和信号处理的理论基础。
傅立叶级数提出后，首先在人们观测自然界中的周期现象时得到应用。
19世纪末，Schuster提出用傅立叶级数的幅度平方作为函数中功率的度量，并将其命名为“周期图”（periodogram）。
这是经典谱估计的最早提法，这种提法至今仍然被沿用，只不过现在是用快速傅立叶变换（FFT）来计算离散傅立叶变换（DFT），用DFT的幅度平方作为信号中功率的度量。
周期图较差的方差性能促使人们研究另外的分析方法。
1927年，Yule提出用线性回归方程来模拟一个时间序列。
Yule的工作实际上成了现代谱估计中最重要的方法——参数模型法谱估计的基础。
Walker利用Yule的分析方法研究了衰减正弦时间序列，得出Yule-Walker方程，可以说，Yule和Walker都是开拓自回归模型的先锋。
1930年，著名控制理论专家Wiener在他的著作中首次精确定义了一个随机过程的自相关函数及功率谱密度，并把谱分析建立在随机过程统计特征的基础上，即，“功率谱密度是随机过程二阶统计量自相关函数的傅立叶变换”，这就是Wiener—Khintchine定理。
现代功率谱估计
现代功率谱估计
现代功率谱估计是一种使用现代信号处理技术来计算信号功率谱的方法。
功率谱表示信号在频率域上的能量分布情况，描述了信号在不同频率上的能量或功率的分布。
在现代信号处理中，有几种方法可以用于功率谱估计：
周期图法（Periodogram Method）：这是最简单的功率谱估计方法之一。
通过对信号进行傅里叶变换，然后取幅度的平方得到功率谱估计。
但是在实际应用中，可能需要对信号进行分段并对每个段进行周期图法计算，最后取平均值来获得更准确的估计结果。
Welch方法：这是一种常用的功率谱估计方法，它通过将信号分成多个段并对每个段进行周期图法计算，最后对所有段的结果进行平均来减小估计的方差，提高估计的准确性。
改进的周期图法：包括Bartlett、Hanning、Hamming等窗口函数来改进周期图法，减小泄漏效应leakage effect，提高频谱估计的分辨率和准确性。
自回归AR模型：利用信号的自相关性建立AR模型，然后通过这个模型来计算功率谱。
这种方法在非平稳信号和具有明显谱峰或特定频率成分的信号表现上较好。
这些现代功率谱估计方法可以根据不同的信号特点和应用需求选择合适的方法，并在工程、信号处理和科学领域有着广泛的应用。
功率谱估计的方法
功率谱估计的方法
功率谱估计是信号处理中常用的一种方法，用于分析信号在频域内的特点，通常可以分为以下几种方法：
一、经典方法
1.傅里叶变换法：将时域信号通过傅里叶变换变换到频域，然后计算功率谱密度。
2.自相关法：通过自相关函数反映信号的统计平稳性，然后通过傅里叶变换计算功率谱密度。
3.周期图法：将信号分解为若干个周期波形，然后对每个周期波形进行傅里叶变换计算周期功率谱，最后汇总得到整个信号的功率谱。
二、非经典方法
1. 时-频分析法：如短时傅里叶变换（STFT）、小波变换等，将信号分解为时域和频域两个维度的分量，从而可以分析信号在时间和频率上的变化。
2. 基于协方差矩阵的特征值分解法：通过建立协方差矩阵，在张成空
间中求解特征向量，从而达到计算信号功率谱的目的。
3. 基于频率锁定法：如MUSIC法、ESPRIT法等，是一种利用特定信号空间中的特定模式进行处理的方法。
以上方法各有特点，根据实际需求选择不同的方法可以得到相应的功率谱估计结果。
第3章功率谱估计和信号频率估计方法
第3章功率谱估计和信号频率估计方法在信号处理和通信系统设计中，功率谱估计和信号频率估计是非常重要的技术。
功率谱估计可以用来研究信号的频域特性和频率分量的强度分布，信号频率估计可以用来确定信号的频率成分。
本章将介绍功率谱估计和信号频率估计的常用方法。
3.1功率谱估计功率谱是描述信号功率随频率变化的函数。
常用的功率谱估计方法有非参数法和参数法。
非参数法是一类基于信号的样本序列进行计算的方法，不依赖于对信号的概率模型的先验假设。
常见的非参数法有周期图法、半周期图法等。
周期图法是一种基于时域序列的离散傅里叶变换的方法。
它将信号分成多个时段，对每个时段进行傅里叶变换，然后求得功率谱密度。
周期图法具有快速计算和较好的频率分辨能力的特点，适用于信号周期性较强的情况。
半周期图法是周期图法的一种改进方法。
它首先将信号分成两个连续的时段，计算各自的功率谱密度，然后取两个时段的平均值作为最终的功率谱估计。
半周期图法减少了周期图法中窗函数的影响，提高了估计的准确性。
参数法是一种基于对信号进行参数建模的方法。
常见的参数法有自回归(AR)模型、线性预测(ARMA)模型等。
自回归模型是一种用于描述信号随机过程的自回归线性滤波模型。
它通过自回归系数描述信号当前样本值与过去样本值的线性关系。
自回归模型估计功率谱的方法主要有Burg方法、 Yule-Walker方法等。
自回归模型具有较好的频率分辨能力和较高的准确性，适用于信号具有较长时间相关性的情况。
线性预测模型是将信号分解成预测误差和线性组合的方式。
它通过选择适当的线性预测滤波器系数来最小化预测误差的均方差，从而得到功率谱的估计。
线性预测模型估计功率谱的方法主要有Levinson-Durbin算法和Burg算法等。
线性预测模型具有较好的频率分辨能力和较高的估计准确性，适用于信号具有较强的谱峰特性的情况。
3.2信号频率估计信号频率估计是通过对信号进行时域分析来确定信号的频率成分。
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现代信号处理功率谱估计
式中, p(x)是X的概率密度函数，对于离散随机序列, 概率密度函 数用联合概率密度函数代替。显然,熵代表一种不确定性， 最大 熵代表最大的不确定性， 或者说最大的随机性。下面我们研究 对于有限的自相关函数值不作任何改变，对于未知自相关函数 用最大熵原则外推，即不作任何附加条件的外推方法。 假设x(n) 是零均值正态分布的平稳随机序列，它的N维高斯概率密度函数 为 p ( x 1 ,x 2 , ,x N ) ( 2 π ) N /2 (d R x( N x e )1 /2 ) e t x 1 2 X H p ( R x( N x) 1 X )
rxx(1)
rxx(2)
rxx(0) rxx(1)
rxx(N
1)
rxx(N
2)
0
rxx(N1) rxx(N)
rxx(1)
可以看出AR模型得到的结果与按最大熵外推rxx(N+1)得到的结果 一致，这就证明了当x(n)为高斯分布时的最大熵谱估计与AR模型
法是等价的。
上式（4.6.8)是rxx(N+1)的一次函数，由此可解得rxx(N+1)。再 用类似的方法求得rxx(N+2)， rxx(N+3)，┄，然后确定功率谱估计。
式中det(Rxx(N))表示矩阵Rxx(N)的行列式，由上式表明为使熵最 大，要求det(Rxx(N)最大。
现代信号处理功率谱估计
若已知N+1个自相关函数值rxx(0),rxx(1),…,rxx(N)，下面用最 大熵方法外推rxx(N+1)。设rxx(N+1)确实是信号自相关函数的第 N+2个值，根据自相关函数的性质，由N+2个自相关函数组成 的矩阵为
rxx(2)a1rxx(1)aNrxx(N2)
0
rxx(N)a1rxx(N1)aNrxx(0) 0
及
r x(N x 1 ) a 1 r x(N x) a N r x(1 x ) 0 （4.6.8）
现代信号处理功率谱估计
利用N个参数,由齐次方程组即可解得a1,a2,…,aN值,再将得到的参数 值代入(4.6.8)式,并将它整理成行列式:
式中
X[x1,x2, ,xN]H
现代信号处理功率谱估计
rxx(0) Rxx(N) rxx(1)
rxx(1) rxx(0)
rxx(N)
rxx(N1)
rxx(N) rxx(N1) rxx(0)
按照（4.6.2）式，x(n)信号的熵为
H lo2 π g )N / e [ 2 ((d R xe (x N )t1 ) /( 2 （]) 4.6.3）
它自相关函数值，而不必假设它们为零， 这就是最大熵谱估计
的基本思想。
现代信号处理功率谱估计
2. 最大熵谱估计与AR模型谱估计的等价性
我 们 已 经 知 道 AR
Yule-Walker方程，即
rxx(m)
N
k1 N
Байду номын сангаас
ak
rxx(m
k)
m>0
k1 akrxx(mk) w2 m=0
将m≥1的情况写成矩阵形式：
0
（4.6.7）
rxx(N1) rxx(N)
rxx(1)
上 式 是 rxx(N+1) 的 一 次 函 数 ， 可 以 解 出 rxx(N+1) 。 继 续 再 将
rxx(N+1) 代 入 Rxx(N+2) 和 det(Rxx(N+2)) 中 ， 求 det(Rxx(N+2)) 对
rxx(N+2)的最大值，得到rxx(N+2); 以此类推，可推出任意多个其
功率谱估计
七、最大熵谱估计
1、利用最大熵的原则外推自相关函数 2、 最大熵谱估计与AR模型谱估计的等价性
八、最大似然谱估计
1、最小方差谱估计 2、最大熵谱与最大似然谱估计的关系
九、特征分解法谱估计
1、正弦波用退化AR模型表示 2、白噪声中正弦波组合用一特殊的ARMA模型表示 3 、特征分解法谱估计
现代信号处理功率谱估计
一、 最大熵谱估计
1. 利用最大熵的原则外推自相关函数
按照Shannon对熵的定义， 当随机变量X取离散值时，熵的
定义为
H pi lnpi (4.6.1)
i
式中pi是出现状态i的概率。当X取连续值时，熵的定义为
H p (x )lp n (x )d x E [lp (x n )]
(4.6.2)
将行列式展开，det(Rxx(N+1))是rxx(N+1)的二次函数，该二次函 数 系 数 的 符 号 是 ： (-1)1+N+2(-1)1+N+1=-1 ， 且 det(Rxx(N+1)) 对 rxx(N+1)的二次导数是-2det［Rxx(N-1)］，它是负值，负值表示
det (Rxx(N+1))对rxx(N+1)的一次导数是减函数，det(Rxx·(N+1))作
rxx(0)
rxx(1) rxx(N) rxx(N1)
Rxx(N1)
rxx(1)
rxx(0)
rxx(N1)
rxx(N)
rxx(N1) rxx(N) rxx(1)
rxx(0)
（4.6.4）
现代信号处理功率谱估计
它必须是非负定的矩阵， 即
deRxt(x[N1)]0
（4.6.5）
dR x e ( 0 x )d t,[ R x e ( 1 x ) t,d [R x e ( N x ) t ] 0 [
rxx(0)
rxx(1)
rxx(1) rxx(N)
rxx(0) rxx(N1)
rxx(N) rxx(N1) rxx(0)
a1102
aN
0
现代信号处理功率谱估计
式中ai是AR模型系数,i=1, 2, 3, …, N, 。在AR模型中,列写齐次方
程式,可得
rxx(1)a1rxx(0)aNrxx(N1) 0
功率谱估计
十、 Prony谱分析法
1、利用最大熵的原则外推自相关函数 2、 最大熵谱估计与AR模型谱估计的等价性
十一、多重信号分类MUSIC
1、最小方差谱估计 2、最大熵谱与最大似然谱估计的关系
十二、特征分解法谱估计
1、波束形成器 2、特征子空间分析 3 、MUSIC算法及其改进
现代信号处理功率谱估计
为rxx(N+1)的函数，凹口向下，那么只有一个最大值。为选择
rxx(N+1)使det(Rxx(N+1)最大， 解下列方程：
d drxx(N1)deRtx[x(N1)]0
(4.6.6)
现代信号处理功率谱估计
用数学归纳法，得到
rxx(1)
rxx(0)
rxx(2) rxx(1)
rxx(N
1)
rxx(N 2)