经典功率谱和Burg法的功率谱估计
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现代信号处理作业
实验题目:
设信号)()8.0cos(25.0)47.0cos()35.0cos()(321n v n n n n x ++++++=θπθπθπ,其中321,,θθθ是[]ππ,-内的独立随机变量,v(n)是单位高斯白噪声。
1.利用周期图法对序列进行功率谱估计。数据窗采用汉明窗。
2.利用BT 法对序列进行功率谱估计,自相关函数的最大相关长度为M=64,128,256,512采用BARTLETT 窗。
3.利用Welch 法对序列进行功率谱估计,50%重叠,采用汉明窗,L=256,128,64。
4.利用Burg 法对序列进行AR 模型功率谱估计,阶数分别为10,13.
要求每个实验都取1024个点,fft 作为谱估计,取50个样本序列的算术平均,画出平均的功率谱图。 实验原理:
1)。周期图法:
又称间接法,它把随机信号的N 个观察值x N (n)直接进行傅里叶变换,得到X N (e jw ),然后取其幅值的平方,再除以N ,作为对x (n )真实功率谱的估计。
2^
)(1)(jw e X N
w P N per =
, 其中∑-=-=1
)()(N n jwn N jw
N e n x e X 2)。BT 法:
对于N 个观察值x(0),x(1),。。。,x(N-1),令x N (n)=a(n)x(n)。计算r x (m )为
∑--=-≤+=
m
N n N N
x N m m n x n x
N m r 10
1),()(1
)(,计算其傅里叶变换
∑-=--≤=
M
M
m jwm x
BT N M e m r
m v w P 1 ,)()()(^
^
,作为观察值的功率谱的估计。
其中v(m)是平滑窗。 3)。Welch 法:
假定观察数据是x(n),n=0,1,2...,N-1,现将其分段,每段长度为M,段与段之间的重叠为M-K,第i 个数据段经加窗后可表示为 1,...,1,0 )()()(-=+=M i iK n x n a n x i M
其中K 为一整数,L 为分段数,该数据段的周期图为
2)(1)(^w X MU w P i M i
per =,其中∑-=-=1
0)()(M n j w n i
M i M e n x w X 。由此得到平均周期图为
∑-==10
^_
)(1)(L i i
per w P L w P 。其中归一化U 取∑-==
10
2
)(1M n n a
M U 。
4)。Burg 法:
在约束条件下,使得)(2
1^^^
b
f ρρρ+=极小化,其中,约束条件是它所得到的
各阶模型解要求满足Levison 递归关系。 仿真结果:
1.周期图法
2.1)BT 法,平滑窗采用BARTLETT窗,长度为64;
2.3)BT 法,平滑窗采用BARTLETT窗,长度为256;
3.1 L=256
3.2 L=128
3.1 L=64
4.1。Burg 法,阶数为10;
4.1。Burg 法,阶数为13;
仿真分析:
1. 周期图法得到的功率谱,特点是离散性大,曲线粗糙,方差较大,但是分辨率较高;
2. 从图中可以看出间接法估计的偏差大于周期图法。这是因为BT 法在)(^
m r x 上施加了一个较短的平滑窗v(m)。但是BT 法得到的功率谱的方差,从图中可以看出,要小于周期图法得到的方差,所以
其分辨率要比周期图法差。
从理论上,BT 法和周期图法的方差之比为∑-==
ΛM
M
n n v
N
)(1
2
,一般
来说,v(m)是以m=0对称递减的,又M< BT 法中对于延迟窗取不同的长度,从图中可以看出,长度越长,方差越大,分辨率越高。因为BT 法的方差和∑-=M M n n v )(2 成正比关系,当 长度越长时, ∑-=M M n n v )(2 越大,所以得到的功率谱的方差越大。 (BT 法中要求平滑窗的长度为2M+1,即为奇数,关于m=0处对称。本实验中,给出的平滑窗为偶数,与自相关函数关于m=0对称,且r (0)最大这一特性是否十分吻合,值得商榷)。 3. Welch 法是将N 点观察值分为L 个数据段,用以改善功率谱图的方差特性。从图中看出,对比周期图法,Welch 法作出的功率谱图的方差特性的确得到大大的改善。但是在给每段序列用适当的窗口函数加权后,在得到平滑的估计结果同时,使得功率谱额主瓣变宽,因此分辨率有所下降。 从图中可以看出,Welch 法中,随着分的段数增加,得到的功率谱的方差变得更好,这是因为Welch 法中方差与分的段数大约成反比关系。而分辨率则随着段数增加而下降。 4. burg 法从图中可以看出,随着阶数的增高,分辨率提升。本实验中,由于阶数比较小,得到的功率谱图并不理想。现代谱估计的一些隐含着数据和自相关函数的外推, 使其可能的长度超过给定的 长度, 不象经典谱估计那样受窗函数的影响。因而现代谱的分别率比较高, 而且现代谱线要平滑得多。