第十三章_经典功率谱估计

1. 周期图法（直接法）
比较以下两种计算方法：
ˆ (e j ) 1 X (e j ) 2 P PER N N
N 1 j Px (e ) lim E x(n)e jn N 2 N 1 n N 2
X (e j ) 2 lim E N 2 N 1
其中 X2N(ejω) 为有限长信号 x2N(n) 的能量谱，除以 N 以后即为
ˆ(m) 和 x2N(n) 的功率谱是 功率谱。这说明自相关函数的估计值 r
一对傅里叶变换。
2. 间接法
利用FFT计算自相关函数的步骤： ①对 xN(n) 补 N 个零，得 x2N(n) ，对 x2N(n) 做 DFT 得 X2N(k) ， k=0,1,…,2N-1；
1 2 X ( k ) ②求 X2N(k) 的幅平方，然后除以N，得 N 2 N ； 1 2 ˆ0 (m) 。 ③对 X 2 N (k ) 做逆变换，得 r N ˆ(m) 中 ( N 1) m 0 的部分向右平移 2N点后形成的序列即 将r
ˆ0 (m)。 为r
3. 直接法和间接法的关系
2. 间接法
利用的数据只有 N-1-|m| 个，且在 0~N-1 的范围内，xN(n)= x(n)， 所以实际计算时，上式变为：
1 ˆ(m) r N
N 1|m|

n 0
x(n)x(n m)
ˆ(m) 的长度为 2N-1，它是以 m=0 为偶对称的。 r
由偏差的定义可知：
ˆ(m)] E[r ˆ(m)] r (m) bia[r 1 N 1|m| E x(n)x(n m) r (m) N n 0 1 N 1|m| 1 E x ( n ) x ( n m ) r ( m ) N n 0 N N | m | |m| r ( m) r ( m ) r ( m) N N
j m
r (m)e
x

j m
2. 间接法
如果 X(n) 是各态遍历随机信号，x(n) 是其一个样本函数，则自 相关函数可定义如下：
N 1 rx (m) lim x(n)x(n m) N 2 N 1 n N
实际中的信号大多是因果信号，所以上式可以表示为：
电气信息工程学院 蔡超峰
引言
对各态遍历随机信号 X(n)，自相关函数和功率谱密度均可用时 间平均来定义：
N 1 rX (m) E[ X (n) X (n m)] lim x(n)x(n m) rx (m) M 2 N 1 n N
N 1 j Px (e ) lim E x(n)e jn N 2 N 1 n N 2
ˆM (m) r ˆ(m)v(m) r
3. 直接法和间接法的关系
ˆ(m) 的均值等于真实的自相关函数 r(m) 乘以三角窗 w(m) ，这 r
是第一次加窗。该三角窗是由数据截短而产生的，其宽度为 2N-1。v(m) 是对自相关函数 r(m) 的第二次加窗，宽度为 2M-1， M<<N-1。因为 v(m) 的宽度远小于 w(m) ，所以 v(m) 的频谱 V(ejω) 主瓣的宽度远大于 w(m) 的频谱 W(ejω) 主瓣的宽度。这时，
直接法：
X N (k ) DFT xN (k )
ˆ (k ) 1 X (k ) 2 P PER N N
X 2 N (k ) DFT x2 N (k )
ˆ 2 N (k ) 1 X (k ) 2 P PER 2N N
间接法：
ˆ (e ) P BT
j m M

M
令M=N-1
ˆ(m)] 0 ，所以，对固 lim bia[r ˆ(m)] 0，又因为 N 当 N→∞ 时， var[r
ˆ(m) 是 r(m) 的渐进一致估计。 r 定的延迟 |m| ，
ˆ] E ˆ ˆ ˆ mse[ E ( ) E ( ) ˆ] bia[ ˆ]2 var[
ˆ (e j ) P BT
m M
rˆ(m)e
M
j m
,
M N 1
因为这种方法求出的功率谱是通过自相关函数间接得到的，所
以称为间接法，又称自相关法或BT法。当 M 较小时，上式计
算量不是很大，因此该方法是 FFT 问世之前常用的谱估计方法。 与维纳-辛钦定理相比较：
Px (e )

2

2
2. 间接法
ˆ(m) 时，如果 N 和 m 都比较大，则需要的乘法次数很多。 计算 r
1 ˆ(m) r N
N 1|m|

n 0
x(n)x(n m)
ˆ(m) 的快速计算。 可以利用FFT实现对 r
上式也可以写为：
1 N 1 ˆ(m) xN (n)xN (n m) r N n 0
易知，直接法包含了下述假设及步骤： ①把平稳随机信号 X(n) 视为各态遍历的，用其一个样本 x(n)来
代替 X(n)，并且仅利用 x(n) 的 N 个观察值 xN(n)来估计功率谱
P(ejω) 。
ˆ (k ) ，还包括了对 x(t) ②从记录到一个连续信号 x(t) 到估计出 P PER
的离散化、必要的预处理（如除去均值和趋势项、滤波等）。
因此有
ˆ (k ) | ˆ 2 N (k ) P ˆ 2 N (k ) P BT M N 1 P BT PER
3. 直接法和间接法的关系
由此可知，直接法可以看作是间接法的一个特例，即当间接法 中使用的自相关函数的最大延迟 M=N-1 时，二者是相等的。前 面已经指出：
ˆ(m)] bia[r |m| r ( m) N
1. 周期图法（直接法）
周期图法是把随机信号 X(n) 的 N 点观察数据 xN(n) 视为一能量 有限信号，直接取 xN(n) 的 DTFT 得到 XN(ejω)，然后再取其幅 值的平方，并除以 N，作为对真实功率谱 P(ejω) 的估计：
1 j j 2 ˆ PPER (e ) X N (e ) N
ˆ] E( ˆ ) E( ˆ) bia[
N 1|m|

n 0
r ( m) r ( m )
2. 间接法
ˆ(m)] bia[r
可以看出：
ˆ(m) 是对 r(m) 的渐进无偏估计； r
|m| r ( m) N
ˆ(m)] 0 ，因此 ① 对于一个固定的延迟 |m| ，当 N→∞时， bia[r
N | m| r ( m) N
ˆ ( m) 的乘积， w(m) 的长度是 2N-1。该窗函数对r(m)加权，致使 r
产生了偏差。
2. 间接法
三角窗w(m) ：
当我们对一个信号做自然截短时，就不可避免地对该数据施加 了一个矩形窗，由此矩形窗就产生了加在自相关函数上的三角
窗，该三角窗影响自相关函数的估计质量。
1. 周期图法（直接法）
一个实际的例子（fs = 250Hz）：
2. 间接法
间接法的理论基础是维纳-辛钦定理。1958年Blackman和Tukey 给出了这一方法的具体实现，即先由 xN(n) 估计出自相关函数，
ˆ (e j )， 然后求自相关函数的傅里叶变换得到的功率谱，记之为 P BT
并以此作为对 P(ejω) 的估计，即
1 N 1 r (m) lim x(n)x(n m) N N n 0
本章所涉及的都是自相关函数，因此将 rx(m) 简写为 r(m) 。如
果观察值的个数为有限值，则求 r(m) 的一种方法为：
1 N 1 ˆ(m) xN (n)xN (n m) r N n 0
由于x(n)只有N个观察值，因此对于每一个固定的延迟 m，可以
ˆ(m)e r
j m
, M N 1
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ˆ (k ) P
2N BT
m ( N 1)
rˆ(m)e
N 1
jn
ˆ(m) 与 x2N(n) 的功率谱是一对傅里叶变换： 其中自相关函数 r
m ( N 1)

N 1
ˆ(m)e jm r
1 2 X 2 N (k ) N
ˆ(m) 的均值才接近于 r ② 对于一个固定的 N ，只有当 |m| << N时，
真值r(m) ，即当 |m| 越接近于 N 时，估计的偏差越大；
ˆ(m)的均值是真值 r(m) 和一三角窗函数 ③r
N | m | , 0 m N 1 w(m) N 0, m N
ˆ(m)] E[r
ˆ(m) 的离散时间傅里叶变换，得： 求r
m ( N 1)

N 1
ˆ ( m) e r
j m
1 N 1 N
m ( N 1) n 0
x
N
N 1
N 1
N
(n)xN (n m)e jm xN (n m)e jm
x
n 0
N 1
( n)
m ( N 1)
ˆM (m) ； ˆ(m) 加窗函数 v(m)，这时|m|≤M<<N-1，得 r ③对 r
ˆ (e j )和V(ejω)的卷积， 对 r(m) 施加 v(m) 的作用等效于在频域做 P PER
这样就起到了对周期图平滑的作用。
直接法和间接法往往结合起来使用，步骤如下：
ˆ 2 N (k ) ； ①对 xN(n) 补N 个零，求 P PER ˆ 2 N (k )的傅里叶逆变换得 r ˆ(m) ，这时|m|≤M=N-1； ②做 P PER
2. 间接法
由方差的定义可知：
ˆ(m)] E r ˆ(m) E (r ˆ(m)) var[r