第3章 功率谱估计和信号频率估计方法

å
N- 1
ˆ (m ) e r
- j wm
2 1 = U N (w) N
ˆ (m) 而当 M = N - 1 时，这相当于对长度为 2 N - 1 的 r
做截断处理，也即施加了一个矩形窗，即
(R) ˆ ˆ (m) rM (m) = w2M + 1 (m)r
所以，BT法实际上是对周期图法的平滑。
12
3.1.3 经典功率谱估计性能讨论
1
2
步骤3
2 1 ˆ0 (m) m = 对 N U 2 N (k ) 进行IFFT，得r
0,1,L , 2 N - 1
ˆ (m) 的关系为 ˆ0 (m) 与 r r
ì ˆ0 (m) ï r ï ˆ (m) = í r ï ˆ0 (m + 2 N ) ï îr
0 ＃m
N- 1 -1
- N + 1 ＃m
{
}
当
N
增大时，会使互不相关的点增多，这就加剧了
估计的功率谱曲线的起伏。 若取 w1 = w2 = w ，功率谱估计的方差为
2 轾 骣 4 犏 ç sin N w ÷ ˆ var S (w) = s u 犏 1+ ç ÷ ÷ ç 桫 N sin w 犏 臌
{
}
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由上式可知，当 N 时，功率谱估计的方差不趋 近于零，而趋近于 s u4 ，因此，经典功率谱估计不是一 致估计。 ˆ (w) 的渐近无偏性， 由上面的讨论可知，为了保证 S ˆ (w) 起伏加剧，这 希望 N 要大，但是 N 增大时又使 S 是周期图所存在的固有矛盾。 2 M = N - 1时的估计性能 在这种情况下，两种方法不一致，BT法是对周 期图法的平滑。
约束下，它是渐近无偏估计。不过由于W (w) 的影响， 其偏差趋于零的速度要小于周期图法，因此对周
期图作平滑的结果是使偏差变大。
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⑵ 方差
Kr =
{ ˆ var {S
ˆ (w) var S BT
PER
}= 1 ò 2 p N w ( )}
M 1 2 轾 W w d w = w m) < 1 ( ) ( å 臌 - p N m= - M p 2
8
ˆ(m) 的方差 由于r (m) 是有限的，显然当 N 时， r ˆ (m) 是 r (m) 将趋近于零。所以，对于固定的延时 m ， r 的渐近一致估计。
ˆ (m) 另外，还有一种常用的 r (m) 的估计 r
1 ˆ (m ) = r N- m
å
N- 1 n= 0
* u N (n ) u N (n - m),
{
}
{
}
21
由以上讨论可知， Bartlett功率谱估计频率分辨率下降 为原来的 1 L ，方差也减小为周期图法的 1 L ，因此
Bartlett功率谱估计较周期图法的结果更为平滑。 2 Welch法 这种方法是Welch在1967年提出的，又称修正平均 周期图法，是应用较广的一种方法。它是对Bartlett法 的改进。
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Welch法也对 N 点的信号 u N (n)进行分段，只是分段 时允许每段的信号有所交叠，通常取相邻两段的信号 交叠一半，若每段的信号长度仍为M ，信号被分为 L
段，则
N - M /2 L= M /2
i u 将每段信号 N (n)和窗函数 w(n) 相乘，然后按式(5)得到
每段信号的功率谱估计
2 自相关函数的估计性能
(1) 均值 ˆ(m)的均值为 r
6
N- | m | ˆ(m)}= E {r r (m) N
(3)
从式（3）可以看出， ˆ(m) 是对 ˆ(m)}= r(m) 。即 r lim E {r 对于固定的延时 m ， N
r (m) 的渐近无偏估计；
对于固定的 N ，当 m 越接近于 N 时，估计的偏差 越大； ˆ(m) 的均值是真值 r (m)和三角窗函数 r 由式(3)可知，
•经典功率谱估计是基于传统傅里叶变换的思想，其
中的典型代表有Blackman和Tukey提出的自相关谱估
计（简称为BT法），和周期图法。
3.1.1 BT法
1.自相关函数的估计与傅里叶变换 设 u N (n) 为 u (n)的 N 个观测值，则 u (n) 的自相关函数 估计值
1 N- 1 * ˆ (m ) = r u n u ( ) å N N (n - m ), N n= 0 m? N 1 (1)
对式（1）求傅里叶变换，并整理得
4
m= - ( N - 1)
2
å
N- 1
ˆ (m ) e r
- j wm
2 1 = U N (w) N
U N (w) 是 u N (n) 的能量谱，除以 N 后即为功率 其中， ˆ (m) 和 u N (n) 的功率谱 谱。这说明，由式(1)估计出的 r
是一对傅立叶变换。
ˆ i (w) ，即 谱S PER
ˆ i (w) = 1 S PER M
å
M- 1 n= 0
2 i uN (n)ejwn
,
1 ＃i
L
(5)
然后对每段功率谱估计结果作平均，得到平均周期图
20
1 1 i ˆ SPER (w) = 邋SPER (w) = L i= 1 LM
SPER (w) 的均值为
L
L
ˆ (w) 的方差小于 S ˆ (w) 的方差，这正是W (w) S 这说明， BT PER ˆ (w) 平滑的结果。 对S PER ˆ (w) 谱的平滑（即方差减小） •由以上讨论可知，S BT 是以牺牲分辨率为代价的。由于 W (w)主瓣比三角窗 的主瓣宽，因而使其分辨率下降。谱的平滑同时也
导致估计的偏差变大。由此可以看出，在方差，偏
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⑴ 均值
ˆ (w) = S (w) * W (T) (w) * W (w) E S BT 2N- 1
{
}
BT法也是一种有偏估计，当 N 很大，且在下面两式
1 p ˆ E SBT (w) = S (w) ò W (w)d w 2p - p
{
}
1 p W (w)d w = w(0) = 1 ò p 2p
2 1 ˆ SPER (w) = U N (w) N
(4)
其中， U N (w) =
å
N- 1 n= 0
u N (n)e-
j wn
因为这种功率谱估计方法是直接通过观察数据的
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傅里叶变换求得的，所以人们习惯上称之为直接法。
当 M = N - 1 时，周期图法和BT法是相同的，即
m= - ( N - 1)
ˆ (m) 为无偏估计， 由以上两式得， r 当 m 接近于 N 时，
ˆ (m) 的方差很大，但当 N ? m 时， ˆ (m) 是 r (m) 估计 r r
的渐近一致估计。பைடு நூலகம்
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3.1.2 周期图法
ˆ (w) 周期图（Periodogram）法又称直接法。以 S PER
表示周期图法估计出的功率谱，则
ì 1- | m | N , ï ï w2 N - 1 (m) = í ï ï î 0,
(T)
| m |? N 其它
1
7
(T) w2 的乘积， N - 1 (m) 的长度为 2 N - 1。
(2) 方差 ˆ(m) 的方差为 r
ˆ (m)} = E r ˆ(m) - E {r ˆ ( m )} var {r
1 M = N - 1时的估计性能
在这种情况下，周期图法和BT法的性能是一致的。
⑴ 均值 BT法的均值为
1 T ˆ E SBT (w) = S (w) * W2(N)- 1 (w) 2p
{
}
由上式可知，功率谱估计的均值可以表示为信号的
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T) 真实功率谱 S (w)和窗函数 W2(N - 1 (w)的卷积，因此，经
ˆ i (w) = S PER 1 MU
å
M- 1 n= 0
2 i uN (n) w(n)ejwn
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修正的周期图为
% (w) = S PER 1 i u ( n ) w ( n ) e 邋 N LMU i= 1 n= 0
L M- 1 2 jwn
Welch方法允许分段数据样本的重叠，于是可以得到 更多的周期图估计，从而进一步减小估计的功率谱 密度的方差。通过窗函数加权，可以减小了相邻样 本段之间的相关性。所以，Welch方法可以更好地控 制功率谱密度估计的方差特性。
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N L= M
第 i (1 ＃i
L) 段数据加矩形窗后，变为
M - 1,1 ＃i L
(R) i uN (n) = u 轾 n + i 1 M w 0 ＃n ( ) M (n), 臌 (R ) w 其中， M (n)是长度为 M 的矩形窗。
i u 对于每段数据 N (n)，先利用周期图法求得其功率
{
}
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若取 w1 =
2k p N
和 w2 =
2lp N
，则上式变为
轾 sin (k - l )p 犏 犏 N sin ((k - l )p N ) 犏 臌
2
2 禳 镲 轾 镲 sin (k + l )p 4镲 犏 ˆ ˆ cov S (w1 ), S (w2 ) = s u 睚 + 犏 镲 N sin ((k + l )p N ) 犏 镲 臌 镲 铪
典的功率谱估计应该是有偏的。但是，当 N
T
，
W2(N) 因此该估计又是渐近无偏的。 - 1 (w)趋向于冲激函数，
⑵ 方差
2 s 假定 u (n) 是零均值的实高斯白噪声，方差为 u ，
ˆ (w ) 和 S ˆ (w ) 的协方差为 S 1 2