2017年秋季新版浙教版九年级上学期3.4、圆心角同步练习2
浙教版九年级数学上册《圆的基本性质》3.4圆心角
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教师课堂用语在学科专业方面重在进行“引”与“导”，通过点拨、搭桥等方式让学生豁然开朗，得出结论，而不是和盘托 出，灌输告知。一般可分为：启发类、赏识类、表扬类、提醒类、劝诫类、鼓励类、反思类。
一、启发类
1. 集体力量是强大的，你们小组合作了吗?你能将这个原理应用于生活吗?你的探究目标制定好了吗? 2. 自学结束，请带着疑问与同伴交流。 3. 学习要善于观察，你从这道题中获取了哪些信息? 4. 请把你的想法与同伴交流一下，好吗? 5. 你说的办法很好，还有其他办法吗?看谁想出的解法多? 二、赏识类
整合方法
︵ (2)若BF的度数为50°，求∠C的度数．
︵ 解：∵ BF的度数为50°， ∴∠BAF＝50°. ∴∠ABF＝∠AFB＝65°. 又∵AB∥CD，∴∠ABF＋∠C＝180°. ∴∠C＝180°－∠ABF＝115°.
探究培优
︵ 15．如图，在⊙O中，∠AOB＝90°，且C，D是AB的三
探究培优
∵B︵D＝C︵D，∴∠BOD＝∠COD＝180°－∠AOC＝120°.
又∵点
F
是
︵ CD
的中点，
∴∠COF＝∠FOD＝12∠COD＝60°.∴∠BOF＝180°.
∴BF 是⊙O 的直径．
探究培优
︵ 又∵点 G 是 BF 的中点，∴∠FOG＝90°. ∵⊙O 的半径为 1，∴GF＝ 2.
同学们下课啦
阶段核心归类专训
【点拨】连结 OA，OB，OB 交 AF 于 G，如图． ∵AB⊥CD，∴AE＝BE＝12AB＝3. 设⊙O 的半径为 r，则 OE＝r－1，OA＝r.
阶段核心归类专训
在 Rt△ OAE 中，32＋(r－1)2＝r2，解得 r＝5. ︵︵
浙教版数学九年级上册3.4 圆心角(二).docx
3.4 圆心角（二）1.已知下列命题：①若a ＞b ，则c －a ＜c －b ；②若a ＞0，则a 2＝a ；③对角线互相平分且相等的四边形是菱形；④如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等.其中原命题与逆命题均为真命题的有(D )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个(第2题)2.如图，点O 是两个同心圆的圆心，大圆的半径OA ，OB 分别交小圆于点C ，D.给出下列结论：①AB ︵＝CD ︵；②AB ＝CD ；③AB ︵的度数＝CD ︵的度数.其中正确的结论有(B )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个3.已知内接于⊙O 的等边三角形ABC 的边长是23，则⊙O 的半径为(B ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 44.如图，AB 是AB ︵所对的弦，AB 的中垂线CD 交AB ︵于点C ，交AB 于点D ，AD 的中垂线EF 交AB ︵于点E ，交AB 于点F ，DB 的中垂线GH 交AB ︵于点G ，交AB 于点H ，则下列结论中，不正确的是(C )A. AC ︵＝CB ︵B. EC ︵＝CG ︵C. AE ︵＝EC ︵D. EF ＝GH(第4题) (第5题)5.如图，已知AB ，CD 是⊙O 的两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥C D.若∠AOB ＝∠COD ，则AB ＝CD ，OE ＝OF ，AB ︵＝CD ︵ .6.如图，在⊙O 中，AB ︵＝2AC ︵，则线段AB < 2AC (填“>”“<”或“＝”).(第6题)7.如图，以▱ABCD 的顶点A 为圆心，AB 长为半径作⊙A ，分别交AD ，BC 于点E ，F ，延长BA 交⊙A 于点G .求证：GE ︵＝EF ︵.(第7题)【解】 连结AF . ∵AB ＝AF ， ∴∠ABF ＝∠AF B.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥B C. ∴∠DAF ＝∠AFB ，∠GAE ＝∠ABF . ∴∠GAE ＝∠EAF .∴GE ︵＝EF ︵.8.如图，AB ，CD 为⊙O 的直径，AC ︵＝CE ︵.求证：BD ＝CE .(第8题)【解】 连结A C. ∵AC ︵＝CE ︵，∴AC ＝CE . ∵∠AOC ＝∠BOD ， ∴AC ＝B D.∴BD ＝CE .9.如图，在⊙O 中，AB 为直径，弦CD 交AB 于点P ，且OP ＝PC ，则AD ︵与CB ︵之间的关系为AD ︵＝3CB ︵.(第9题)【解】 如解图，连结OC ，O D.(第9题解)∵OC ＝OD ，∴∠D ＝∠C. ∵OP ＝PC ，∴∠C ＝∠COP ， ∴∠D ＝∠C ＝∠COP .又∵∠AOD ＝∠DPO ＋∠D ，∠DPO ＝∠C ＋∠COP ， ∴∠AOD ＝∠C ＋∠COP ＋∠D ＝3∠COP ， ∴AD ︵＝3CB ︵.10.如图，已知AB 为⊙O 的弦，从圆上任取一点作弦CD ⊥AB ，作∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，连结PA ，P B.求证：PA ＝P B.(第10题)【解】 连结OP . ∵CO ＝OP ， ∴∠OCP ＝∠OP C. ∵CP 是∠DCO 的平分线，∴∠DCP ＝∠OCP .∴∠DCP ＝∠OP C.∴OP ∥C D. ∵CD ⊥AB ，∴OP ⊥AB ， ∴PA ︵＝PB ︵，∴PA ＝P B.11.如图，⊙O 的两条弦AB ，CD 交于点E ，OE 平分∠BE D. (1)求证：AB ＝C D.(2)若∠BED ＝60°，EO ＝2，求BE －AE 的值.(第11题)【解】 (1)过点O 作AB ，CD 的垂线，垂足分别为M ，N . ∵OE 平分∠BED ，且OM ⊥AB ，ON ⊥CD ， ∴OM ＝ON ，∴AB ＝C D. (2)∵OM ⊥AB ，∴AM ＝BM .∵∠BED ＝60°，∴∠BEO ＝12∠BED ＝30°.∴OM ＝12OE ＝1.∴EM ＝ 3.∴BE －AE ＝BM ＋EM －AE ＝AM ＋EM －AE ＝2EM ＝2 3.12.如图，半圆的直径AB 长为2，C ，D 是半圆上的两点，若AC ︵的度数为96°，BD ︵的度数为36°，动点P 在直径AB 上，求CP ＋PD 的最小值.(第12题)【解】 如解图，将半圆补成整圆，作点D 关于直径AB 的对称点D ′，连结CD ′，交AB 于点P ，则此时CP ＋PD 最小.连结PD ，OD ，OD ′，OC ，过点O 作ON ⊥CD ′于点N .(第12题解)∵AC ︵的度数为96°，BD ︵的度数为36°， ∴∠AOC ＝96°，∠DOB ＝36°， ∴∠COD ＝48°，∠BOD ′＝36°， ∴∠COD ′＝36°＋48°＋36°＝120°， ∴∠OCN ＝30°.∵半圆的直径AB 长为2， ∴ON ＝12OC ＝14AB ＝12，∴CN ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32，∴CD ′＝2CN ＝ 3.∵CD ′＝PC ＋PD ′＝PC ＋PD ，∴PC ＋PD ＝ 3.初中数学试卷。
浙教版九年级上第三章圆同步练习3.4圆心角(2)
3.4 圆心角（2）第2课时 圆心角定理的推论基础题知识点 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1．下列命题中，真命题是（ ）A ．相等的圆心角所对的弧相等B ．相等的弦所对的弧相等C ．度数相等的弧是等弧D ．在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等2．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD ＝34°，则∠AEO 的度数是（ ）A ．51°B ．56°C ．68°D ．78°3．如图，C ，D 为半圆上三等分点，则下列说法正确的有（ ）①AD ︵＝CD ︵＝BC ︵；②∠AOD ＝∠DOC ＝∠BOC ；③AD ＝CD ＝OC ；④△AOD 沿OD 翻折与△COD 重合．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个4．如图，⊙O 通过五边形OABCD 的四个顶点．若ABD ︵＝150°，∠A ＝65°，∠D ＝60°，则BC ︵的度数是（ ）A ．25°B ．40°C ．50°D ．55°5．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，且AD ＝BC ，则AB 与CD 的大小关系为 （ ）A ．AB ＞CD B ．AB ＝CDC ．AB ＜CD D ．不能确定6．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA ，则∠BCD 的度数为 （ ）A ．100°B ．110°C ．120°D ．135°7．如图所示，在⊙O 中，AC ，BC 是弦，根据条件填空：（1）若AC ＝BC ，则 ；（2）若AC ︵＝BC ︵，则 ；（3）若∠AOC ＝∠BOC ，则 ．8．如图，等边三角形ABC 内接于⊙O ，连结OA ，OB ，OC ．（1）∠AOB ，∠BOC ，∠AOC 分别为多少度？（2）若等边三角形ABC 的边长为r ，求⊙O 的半径．9．如图，在⊙O 中，点C 为AB ︵的中点，AD ＝BE ，求证：CD ＝CE ．中档题10．⊙O 中，M 为AB ︵的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．AB ＞2AMB ．AB ＝2AMC ．AB ＜2AMD ．AB 与2AM 的大小不能确定11．如图，在△ABC 中，∠A ＝70°，⊙O 截△ABC 的三边所得的弦长相等，则∠BOC ＝（ ）A ．140°B ．135°C ．130°D ．125°12．如图所示，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，过上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆(不包括A ，B 两点)上移动时，则点P （ ）A ．到CD 的距离保持不变B ．位置不变C ．等分DB ︵D ．随C 点的移动而移动13．如图，在⊙O 中，直径AB ∥弦CD ，若∠COD ＝110°，则AC ︵的度数为 ．14．已知：如图，在⊙O 中，AB ︵＝BC ︵＝CD ︵，OB ，OC 分别交AC 、BD 于E 、F ，则下列结论：①OE ＝BE ；②OC ⊥BD ；③AE ＝DF ；④OE ＝OF 中正确的有 (填序号)．15．如图，已知AB ，CD 是⊙O 的直径，DF ∥AB 交⊙O 于点F ，BE ∥DC 交⊙O 于点E ．（1）求证：BE ＝DF ；（2）写出图中4组不同的且相等的劣弧(不要求证明)．综合题16．如图，∠AOB ＝90°，C ，D 是AB ︵的三等分点，连结AB 分别交OC ，OD 于点E ，F ．求证：AE ＝BF ＝CD ．。
九年级数学上：3.4圆周角同步练习(浙教版)
第1题.如图，在O 中，已知60ACB CDB ∠=∠=，3AC =，求△ABC 的周长．答案：9第2题. 如图，已知在O 中，直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm ，ACB ∠的平分线交O 于D ．求BC ，AD 和BD 的长．答案：8BC =cm，AD =，BD =第3题. 如图，BD 是O 的直径，弦AC 与BD 相交于点E ，则下列结论一定成立的是（）Ａ．ABD ACD ∠=∠Ｂ．ABD AOD ∠=∠ Ｃ．AOD AED ∠=∠Ｄ．ABD BDC ∠=∠ 答案：Ａ第4题. 如图，四边形ABCD 内接于O ，若它的一个外角70DCE ∠=，则BOD ∠=（）Ａ．35Ｂ．70Ｃ．110Ｄ．140Ａ答案：Ｄ第5题.如图，AB 是O 的直径，BC BD =，若50BOD ∠=，则A ∠的度数为．答案：25第6题.如图，A ，B ，C 为O 上三点，若50OAB ∠=，则ACB ∠=度．答案：40 第7题. 如图，O 的直径8cm AB =，45CBD ∠=，求弦CD 的长．答案：连接OC ，OD ，则290COD CBD ∠=∠=，由已知得4cm OC OD ==，ＥＡＣＡ故CD ==．第8题. 如图，AB 为半圆O 的直径，弦AD ，BC 相交于点P ，若3CD =，4AB =，求sin APC ∠的值．答案：连结AC ，BCD BAD ∠=∠，CDA ABC ∠=∠，∴△CPD ∽△APB ．34PC CD PA AB ∴==，由AB 是直径得90ACB ∠=．设3PC x =， 则4PA x =，AC ∴==，sin AC APC PA ∴∠===． 第9题. 如图，A C B 、、是O 圆上三点，若40AOC ∠=，则ABC ∠的度数是（ ） Ａ．10Ｂ．20Ｃ．40Ｄ．80 答案：B第10题.如图，O 圆中弧AB 的度数为60，AC 是O 圆的直径，那么BOC ∠等于（ ） A ．150B ．130C ．120D ．60 答案：C第11题. 如图，已知半圆O 的直径4AB =，将一个三角板的直角顶点固定在圆心O 上，当三角板绕着点O 转动时，三角板的两条直角边与半圆圆周分别交于C 、D 两点，连结AD 、BC 交于点E ．（１） 求证：ACE BDE △∽△； （２） 求证：BD DE =恒成立；（３） 设BD x =，求AEC △的面积y 与x的函数关系式，并写出自变量x 的取值X 围．A答案：．解：（１）ACD ∠与ADB ∠都是半圆所对的圆周角，90,ACD ADB AEC DEB ∴∠=∠=∠=∠又（对顶角相等）．所以.ACE BDE △∽△ （２）9090DOC AOC BOD ∠=∴∠+∠=，45BAD ABC ∴∠+∠=45BED BAD ABC ∴∠=∠+∠=．又90BDE ∠=，BED ∴△是等腰直角三角形，BD DE ∴=．（３）BD x BD DE ==，,DE x AD AE AD DE x ∴=∴=-=．,ACE BDE △∽△AEC ∴△也是等腰直角三角形，)22AC AE x ∴==．ACE BDE AC EC ∴=△∽△，．)22111224y AC EC AC x ∴=⨯==144)2x =-<<．（本题解答中，若用1452DBE DOC ∠=∠=来解答）第12题.如图，PA 、PB 是O 圆的切线，点A 、B 为切点，AC 是O 圆的直径，20BAC ∠=，则P ∠的大小是度．AOBEDCword答案：40第13题. 已知O 圆的内接四边形ABCD 中，AD BC ∥．试判断四边形ABCD 的形状，并加以证明． 答案：（１）如图①，当AD BC =时，四边形ABCD 为矩形．AD BC AD BC =∴∥，，四边形ABCD 为平行四边形．四边形ABCD 内接于.180.O B D ∴∠+∠=90B D ∴∠=∠=．∴四边形ABCD 为矩形．（２）如图②，当AD BC ≠时，四边形ABCD 为等腰梯形，.AD BC AB CD AB CD ∴∴=∥，=，AD BC ≠．∴四边形ABCD 为等腰梯形．第14题.如图，圆心角∠AOB =120︒，P 是AB 上任一点（不与A ，B 重合），点C 在AP 的延长线上，则∠BPC 等于（ ）A.45︒B.60︒C.75︒D.85︒ 答案：B第15题. 如图，在O 中，50BOC OC AB ∠=，∥．则BDC ∠的度数为．答案：75第16题.如图，ABC △内接于O ，30B ∠=，2cm AC =，则O 半径的长为图①图②ＡB答案：2第17题. 如图，AB 为O 圆的直径，点P 为其半圆上任意一点（不含A 、B ），点Q 为另一半圆上一定点，若POA ∠为x 度，PQB ∠为y 度．则y 与x 的函数关系是．答案：1902y x =-+ 第18题.如图，在100O AOB C AB ∠=中，，为优弧的中点，则CAB ∠=答案：65第19题. 如图，已知在半圆AOB 中，30AD DC CAB =∠=，，AC =AD 的长度． 解：答案：解：AB 为直径，90ACB ∴∠=，13060..2CAB ABC BC AC ∠=∴∠=∴=， 1.2AD DC AD DC AC BC AD =∴==∴=，．BC AD ∴=．在ABC Rt △中30CAB AC ∠==，且tan BC AC CAB =∠． tan 302BC ∴==．yxＯＡＣＯＢＡ302AD ∴=．第20题. 如图，AB 是O 圆的弦，PA 是O 圆的切线，A 是切点，如果30PAB ∠=，那么AOB ∠＝ ． 答案：60P。
新浙教版九年级(上)3.4_圆心角(2)
Ａ
Ｏ Ｐ
Ｃ
Ｄ
已知等边三角形ABC的边长为 2 求它的外接圆的半径。
3 cm,
驶向胜利 的彼岸
例3：如图, AB、CD是⊙O的两条直径。 (1)顺次连结点A、C、B、D，所得的四边形是什 么特殊四边形？为什么？ (2)若直径为10cm， ∠AOD=1200，求四边形 ACBD的周长和面积。 Ｃ Ｄ
OA,OB,OC。
(1)∠AOB、∠COB、∠AOC Ａ
的度数分别为__________ 1200 ,1200 ,1200
(2)若⊙O的半径为r,则等边 ABC三角形的边长为_______ 3r Ｂ
Ｏ Ｃ
例2：如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结
OA,OB,OC。
(3)延长AO，分别交BC于点P， ⌒ BC于点D,连结BD,CD。试判 断四边形BDCO是哪一种特殊 四边形，并说明理由。 Ｂ
Ａ
Ｏ
Ｂ
例3：如图, AB、CD是⊙O的两条直径。
(3)四边形ACBD有可能为正方形吗？若有可能,
当AB、CD有何位置关系时，四边形ACBD为正方 形？为什么？ Ｄ
Ａ
Ｃ
Ｏ
Ｂ
如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根 横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地 大，应怎样锯？如果这根原木长15m，问锯 出的木材体积为多少立方米？
圆心角定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对
的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.
D
A
●
D O
A
●
B
B
O
●
O′
┏ A′ D′ B′ 由条件: ①∠AOB=∠A′O′B′
可推出
⌒ ②⌒ AB=A′B′
九年级数学上册 第三章 3.4 圆心角(第2课时)同步测试 (新版)浙教版
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题3.4 圆心角(第2课时)1．圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个________中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．2．应用圆心角、弦、弧、弦心距的关系时，前提条件是“在同圆或等圆中”，它提供了圆心角、弧、弦、弦心距之间的转化方法．A 组 基础训练1．下列说法中正确的是( ) A ．等弦所对的弧相等 B ．等弧所对的弦相等 C ．圆心角相等，所对的弦相等 D ．弦相等，所对的圆心角相等2．观察下列4个图形及相应推理，其中正确的是( )第2题图A ．如图1，∵∠AOB ＝∠A′OB′，∴AB ︵＝A ′B ′︵B ．如图2，∵AD ︵＝BC ︵，∴AB ＝CD C ．如图3，∵AB ︵＝40°，∴∠AOB ＝80° D ．如图4，∵MN 垂直平分AD ，∴AM ︵＝ME ︵3．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠A ＝30°，则∠B ＝( )A ．150°B ．75°C ．60°D ．15°第3题图3．如图，AB 是AB ︵所对的弦，AB 的垂直平分线CD 交AB ︵于点C ，交AB 于点D ，EF 垂直平分AD ，GH 垂直平分BD.下列结论中，不正确的是(C )第4题图A.AC ︵＝CB ︵B.EC ︵＝CG ︵C.AE ︵＝EC ︵D ．EF ＝GH5．如图，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，OM ，ON 是弦AB ，CD 的弦心距，根据圆心角定理填空： (1)如果AB ＝CD ，那么____________，____________，____________； (2)如果AB ︵＝CD ︵，那么____________，____________，____________； (3)如果OM ＝ON ，那么____________，____________，____________．第5题图4．如图，AD ︵＝BC ︵，若AB ＝3cm ，则CD ＝________．第6题图7．如图，已知AB ︵＝m120°(指AB ︵所对圆心角的度数为120°)，则∠OAB ＝________．第7题图5．如图，在菱形ABCD 中，AC ＝AB ，以顶点B 为圆心，AB 长为半径画圆，延长DC 交⊙B 于点E ，则CE ︵的度数为________．第8题图9．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，∠1＝∠2，AC ＝3cm. (1)求证：AC ︵＝BD ︵； (2)求BD 的长．第9题图10．如图，P 为⊙O 的直径EF 延长线上一点，PA 交⊙O 于点A ，B ，PC 交⊙O 于点C ，D ，且∠1＝∠2，求证：AB ＝CD.第10题图B 组 自主提高11．如图，在△ABC 中，∠A ＝48°，⊙O 截△ABC 的三边所得的弦长相等，则∠BOC 等于( )第11题图A ．96°B ．114°C ．132°D ．138°12．如图，半圆的直径AB 为2，C ，D 是半圆上的两点．若AC ︵的度数为96°，BD ︵的度数为36°，动点P 在直径AB 上，求CP ＋PD 的最小值第12题图13．如图，MN 为半圆O 的直径，半径OA⊥MN ，D 为OA 的中点，过点D 作BC∥MN.求证： (1)四边形ABOC 为菱形； (2)∠MNB ＝18∠BAC.第13题图C 组 综合运用14．如图所示，在⊙O 中，AD ，BC 相交于点E ，OE 平分∠AEC. (1)求证：AB ＝CD ；(2)如果⊙O 的半径为5，AD ⊥CB ，DE ＝1，求AD 的长.第14题图3．4 圆心角(第2课时)【课堂笔记】 1．弦心距 【课时训练】 1－4.BBBC5.(1)∠AOB＝∠CO D AB ︵＝CD ︵OM ＝ON (2)AB ＝CD ∠AOB＝∠COD OM ＝ON (3)∠AOB ＝∠COD AB ＝CD AB ︵＝CD ︵6.3cm 7．30° 8.60°9. (1)证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠BOC＝∠2＋∠BOC，∴∠AOC ＝∠BOD，∴AC ︵＝BD ︵； (2)∵AC ︵＝BD ︵，∴AC ＝BD ＝3cm .10. 作OG⊥AB 于G ，OH ⊥CD 于H ，∵∠1＝∠2，∴OG ＝OH ，∴AB ＝CD. 11.B第12题图12．如图，将半圆补成整圆，作点D 关于直径AB 的对称点D′，连结OC ，OD ，OD ′，CD ′，CD ′交AB 于点P ，此时CP ＋PD 最小，即为CD′的长．作ON⊥CD′于点N.∵AC ︵的度数为96°，BD ︵的度数为36°，∴∠DOB ＝36°，∠AOC ＝96°，∴∠COD ＝48°，∠BOD ′＝36°，∴∠COD ′＝36°＋36°＋48°＝120°，∴∠OCN ＝∠OD′N＝30°.∵半圆的直径AB 为2，∴ON ＝12OC ＝14AB ＝12.∴CN ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32，∴CD ′＝ 3.∴CP ＋PD 的最小值为 3.13.(1)∵BC∥MN，OA ⊥MN ，∴OA ⊥BC ，∴BD ＝CD ，∵D 为AO 中点，∴四边形ABOC 为平行四边形，∵AO ⊥BC ，∴▱ABOC 为菱形； (2)∵OB＝ON ，∴∠MNB ＝∠OBN，∴∠MOB ＝∠MNB＋∠OBN＝2∠MNB，∵OD ＝12AO ＝12BO ，∴∠OBD ＝30°.∴∠BOD ＝60°，∴∠MOB ＝30°，∠BOC＝120°，∴∠MNB ＝15°，∠BAC ＝120°，∴∠MNB ＝18∠BAC.第14题图14．(1)证明：作OM⊥AD 于M ，ON ⊥BC 于N ，连结OA 、OC ，如图，则AM ＝DM ，BN ＝CN ，在Rt △OAM 中，AM ＝OA 2－OM 2，在Rt △OCN 中，CN ＝OC 2－ON 2，∵OE 平分∠AEC，∴OM ＝ON ，而OA ＝OC ，∴AM ＝CN ，∴AD ＝BC ，∴AD ︵＝BC ︵，即AB ︵＋BD ︵＝BD ︵＋CD ︵，∴AB ︵＝CD ︵，∴AB ＝CD ； (2)∵AD⊥CB，∴∠MEN ＝90°，∵OE 平分∠MEN，∴∠MEO ＝45°，∴△MEO 为等腰直角三角形，∴OM ＝EM ，设ME ＝x ，则OM ＝x ，DM ＝ME ＋DE ＝x ＋1，∴AM ＝DM ＝x ＋1，在Rt △AOM 中，∵OM 2＋AM 2＝OA 2，∴x 2＋(x ＋1)2＝52，解得x 1＝3，x 2＝－4(舍去)，故AD ＝2AM ＝8.。
浙教版数学九年级上册(同步练习)《3.4圆心角》
《3.4圆心角》同步练习1．下列结论中正确的是( )A ．长度相等的两条弧是等弧B ．半圆是弧C ．相等的圆心角所对的弧相等D ．弧是半圆2．如图，点O 是两个同心圆的圆心，大圆半径OA ，OB 交小圆于点C ，D ，有下列结论：①AB ︵＝CD ︵；②AB ＝CD ；③∠OCD ＝∠OAB .其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3,3．如图，在△ABC 中，∠C 是直角，∠A ＝30°，以点C 为圆心，BC 长为半径画圆，交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么DE ︵的度数是( )A ．30° B．40° C．50° D．60°4．如图，在半径为2cm 的⊙O 中有长为2 3 cm 的弦AB ，则弦AB 所对的圆心角是( )A ．60° B．90° C．120° D．150°5. 如图，若∠AOB＝100°，则ACB ︵的度数为 ．6．⊙O 的一条弦长与半径之比为 2∶1，这条弦将圆周分成的两部分中，劣弧的度数为__ __．7．如图，已知AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是AO ，BO 的中点，CM ⊥AB 于点M ，DN ⊥AB于点N.求证：AC ︵＝CD ︵＝BD ︵.8. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，OD 为半径，且OD∥AC.求证：CD ︵＝BD ︵.9．如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10.若以点C 为圆心，CB 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长等于( )A ．5B ．6C ．5 2D ．5 310．如图，在⊙O 中，半径OC ，OD 分别交弦AB 于点E ，F ，且AF ＝BE .(1)求证：OE ＝OF ；(2)求证：AC ︵＝BD ︵.11．如图，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ，CD 的延长线交于点E ，且AB ＝2DE ，∠E ＝18°，求∠AOC 的度数．。
浙教版九年级数学上册同步练习(PDF)版)：3.4 圆心角
A. 100∘
B. 110∘
C. 120∘
D. 135∘ )
7. 如图，������������ 是 ⊙ ������ 的直径，������������ = ������������ = ������������，∠������������������ = 34∘，则 ∠������������������ 的度数是 (
A. 4 5cm
B. 3 5cm
C. 5 5cm )
D. 4cm
10. 如图所示，⊙ ������ 与 ⊙ ������ʹ 为等圆，������������∥������������ʹ，下列结论中正确的是 (
A. ������������ = ������������ ，但 ������������ ≠ ������������ C. ������������ = ������������ ， 且 ������������ = ������������ 二、填空题（共 10 小题；共 50 分） 11. 13. 有 4 个命题： （1）直径相等的两个圆是等圆； （2）长度相等的两条弧是等弧； （3）圆中最大的弦是通过圆心的弦； 的 叫做圆心角．
5. 如图，������������ = ������������ ，且 ∠������ = 60∘ ，半径 ������������ = 2，则下列结论不正确的是
A. ∠������ = 60∘ C. ������������������ 的度数为 240∘
B. ∠������������������ = 120∘ D. 弦 ������������ = 3
C. ������������ < 2������������
D. 无法确定 )
9. 如图，半圆 ������ 的直径 ������������ = 10cm，弦 ������������ = 6cm，������������ 平分 ∠������������������，则 ������������ 的长为 (
浙教版初中数学九年级上册《3.4 圆心角》同步练习卷
浙教新版九年级上学期《3.4 圆心角》同步练习卷一．选择题（共20小题）1．点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（）A．或2B．或2C．或2D．或22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝56°．以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且＝，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（）A．92°B．108°C．112°D．124°3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A．AB＝AD B．BC＝CD C．D．∠BCA＝∠DCA4．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（）A．120°B．135°C．150°D．165°5．如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若＝150°，∠A＝65°，∠D＝60°，则的度数为何？（）A．25B．40C．50D．556．如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．15°7．如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝（）A．40°B．45°C．50°D．60°8．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是（）A．51°B．56°C．68°D．78°9．如图所示，在⊙O中，，∠A＝30°，则∠B＝（）A．150°B．75°C．60°D．15°10．如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A．cm B．cm C．cm D．4cm11．如图，是半圆，O为AB中点，C、D两点在上，且AD∥OC，连接BC、BD．若＝62°，则的度数为何？（）A．56B．58C．60D．6212．如图，△ABC的外接圆上，AB，BC，CA三弧的度数比为12：13：11．自劣弧BC上取一点D，过D分别作直线AC，直线AB的平行线，且交于E，F两点，则∠EDF的度数为（）A．55°B．60°C．65°D．70°13．如图，是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为上任意一点，若AC＝5，则四边形ACBP周长的最大值是（）A．15B．20C．15+D．15+14．如图，圆上有A，B，C，D四点，圆内有E，F两点且E，F在BC上．若四边形AEFD为正方形，则下列弧长关系，何者正确（）A．＜B．＝C．＜D．＝15．如图，MN为⊙O的弦，∠M＝50°，则∠MON等于（）A．50°B．55°C．65°D．80°16．如图，已知AB是⊙O的直径，＝＝．∠BOC＝40°，那么∠AOE ＝（）A．40°B．60°C．80°D．120°17．如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD＝（）A．105°B．120°C．135°D．150°18．如图，弧BE是半径为6的圆D的圆周，C点是上的任意一点，△ABD 是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（）A．12＜P≤18B．18＜P≤24C．18＜P≤18+6D．12＜P≤12+619．如图，在⊙O中，∠B＝37°，则劣弧的度数为（）A．106°B．126°C．74°D．53°20．半径为6的圆中，圆心角α的余弦值为，则角α所对的弦长等于（）A．B．10C．8D．6二．填空题（共9小题）21．如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE 的度数为．22．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40度，∠C＝20度，则∠B＝度．23．如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为10cm，则圆柱上M，N两点间的距离是cm．24．一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为cm．25．如图，⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为cm，1cm，则弦AC、BD所夹的锐角α＝度．26．如图，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠BOC＝70°，AD∥OC，则∠AOD＝度．27．如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于度．28．如图，在⊙O中，，∠A＝40°，则∠B＝度．29．如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°，给出下列五个结论：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE ＝2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE＝BC．其中正确结论的序号是．三．解答题（共14小题）30．如图，在⊙O中，＝2，AD⊥OC于D．求证：AB＝2AD．31．如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD＝BE．32．如图，A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分点．（1）连接AB、AD、AF，求证：AB+AF＝AD；（2）若P是圆周上异于已知六等分点的动点，连接PB、PD、PF，写出这三条线段长度的数量关系（不必说明理由）．33．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接P A、PB、PC、PD．（1）当BD的长度为多少时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；（2）在（1）的条件下，若cos∠PCB＝，求P A的长．34．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且AC＝CD．（1）求证：OC∥BD；（2）若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，试确定四边形OBDC 的形状．35．如图，AD是⊙O的直径．（1）如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是°，∠B2的度数是°；（2）如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；（3）如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，B n∁n把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠B n的度数（只需直接写出答案）．36．如图，在⊙O中，D、E分别为半径OA、OB上的点，且AD＝BE．点C为弧AB上一点，连接CD、CE、CO，∠AOC＝∠BOC．求证：CD＝CE．37．如图，已知⊙O的半径为2，以⊙O的弦AB为直径作⊙M，点C是⊙O优弧上的一个动点（不与点A、点B重合）．连接AC、BC，分别与⊙M相交于点D、点E，连接DE．若AB＝2．（1）求∠C的度数；（2）求DE的长；（3）如果记tan∠ABC＝y，＝x（0＜x＜3），那么在点C的运动过程中，试用含x的代数式表示y．38．如图，射线AM交一圆于点B、C，射线AN交该圆于点D、E，且．（1）求证：AC＝AE；（2）利用尺规作图，分别作线段CE的垂直平分线与∠MCE的平分线，两线交于点F（保留作图痕迹，不写作法），求证：EF平分∠CEN．39．如图，，D、E分别是半径OA和OB的中点，CD与CE的大小有什么关系？为什么？40．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．（Ⅰ）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图1，求证：MN2＝AM2+BN2；（思路点拨：考虑MN2＝AM2+BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN＝BN，∠MDN＝90°就可以了．请你完成证明过程．）（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式MN2＝AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．41．如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD、AD．（1）求证：DB平分∠ADC；（2）若BE＝3，ED＝6，求AB的长．42．如图，AB是⊙O的弦，矩形ABCD的边CD与⊙O交于点E，F，AF和BE 相交于点G，连接AE，BF．（1）写出图中每一对全等的三角形（不再添加辅助线）；（2）选择你在（1）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明．43．如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点M，AD＝BC，连接AC．（1）求证：△MAC是等腰三角形；（2）若AC为⊙O直径，求证：AC2＝2AM•AB．浙教新版九年级上学期《3.4 圆心角》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为（）A．或2B．或2C．或2D．或2【分析】过B作直径，连接AC交AO于E，如图①，根据已知条件得到BD＝×2×3＝2，如图②，BD＝×2×3＝4，求得OD＝1，OE＝2，DE＝1，连接OD，根据勾股定理得到结论，【解答】解：过B作直径，连接AC交AO于E，∵点B为的中点，∴BD⊥AC，如图①，∵点D恰在该圆直径的三等分点上，∴BD＝×2×3＝2，∴OD＝OB﹣BD＝1，∵四边形ABCD是菱形，∴DE＝BD＝1，∴OE＝2，连接OC，∵CE＝＝，∴边CD＝＝；如图②，BD＝×2×3＝4，同理可得，OD＝1，OE＝1，DE＝2，连接OC，∵CE＝＝＝2，∴边CD＝＝＝2，故选：D．【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，勾股定理，菱形的性质，正确的作出图形是解题的关键．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝56°．以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且＝，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F的度数为（）A．92°B．108°C．112°D．124°【分析】直接利用互余的性质再结合圆周角定理得出∠COE的度数，再利用四边形内角和定理得出答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝56°，∴∠ABC＝34°，∵＝，∴2∠ABC＝∠COE＝68°，又∵∠OCF＝∠OEF＝90°，∴∠F＝360°﹣90°﹣90°﹣68°＝112°．故选：C．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及四边形内角和定理，正确得出∠OCE 的度数是解题关键．3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A．AB＝AD B．BC＝CD C．D．∠BCA＝∠DCA【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴BC＝CD，故本选项正确；C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本选项错误；D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．4．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（）A．120°B．135°C．150°D．165°【分析】直接利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出∠BOD＝30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．【解答】解：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，由题意可得：EO＝BO，AB∥DC，可得∠EBO＝30°，故∠BOD＝30°，则∠BOC＝150°，故的度数是150°．故选：C．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及弧度与圆心角的关系，正确得出∠BOD的度数是解题关键．5．如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若＝150°，∠A＝65°，∠D＝60°，则的度数为何？（）A．25B．40C．50D．55【分析】连接OB，OC，由半径相等得到三角形OAB，三角形OBC，三角形OCD都为等腰三角形，根据∠A＝65°，∠D＝60°，求出∠1与∠2的度数，根据的度数确定出∠AOD度数，进而求出∠3的度数，即可确定出的度数．【解答】解：连接OB、OC，∵OA＝OB＝OC＝OD，∴△OAB、△OBC、△OCD，皆为等腰三角形，∵∠A＝65°，∠D＝60°，∴∠1＝180°﹣2∠A＝180°﹣2×65°＝50°，∠2＝180°﹣2∠D＝180°﹣2×60°＝60°，∵＝150°，∴∠AOD＝150°，∴∠3＝∠AOD﹣∠1﹣∠2＝150°﹣50°﹣60°＝40°，则的度数为40°．故选：B．【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，弄清圆心角、弧、弦的关系是解本题的关键．6．如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝40°，则∠ADC的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．15°【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC＝∠AOB＝40°，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：连接CO，如图：∵在⊙O中，＝，∴∠AOC＝∠AOB，∵∠AOB＝40°，∴∠AOC＝40°，∴∠ADC＝∠AOC＝20°，故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理；熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．7．如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝（）A．40°B．45°C．50°D．60°【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠AOB，根据垂径定理求出AD＝BD，根据等腰三角形性质得出∠BOC＝∠AOB，代入求出即可．【解答】解：∵∠A＝50°，OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝50°，∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∵点C是的中点，∴∠BOC＝∠AOB＝40°，故选：A．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，等腰三角形的性质的应用，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么其余两对也相等．8．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是（）A．51°B．56°C．68°D．78°【分析】由＝＝，可求得∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．【解答】解：如图，∵＝＝，∠COD＝34°，∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝78°．又∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE，∴∠AEO＝×（180°﹣78°）＝51°．故选：A．【点评】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．9．如图所示，在⊙O中，，∠A＝30°，则∠B＝（）A．150°B．75°C．60°D．15°【分析】先根据等弧所对的弦相等求得AB＝AC，从而判定△ABC是等腰三角形；然后根据等腰三角形的两个底角相等得出∠B＝∠C；最后由三角形的内角和定理求角B的度数即可．【解答】解：∵在⊙O中，，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∴∠B＝∠C；又∠A＝30°，∴∠B＝＝75°（三角形内角和定理）．故选：B．【点评】本题综合考查了圆心角、弧、弦的关系，以及等腰三角形的性质．解题的关键是根据等弧对等弦推知△ABC是等腰三角形．10．如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A．cm B．cm C．cm D．4cm【分析】连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，运用圆周角定理，可证得∠DOB＝∠OAC，即证△AOF≌△OED，所以OE＝AF＝3cm，根据勾股定理，得DE＝4cm，在直角三角形ADE中，根据勾股定理，可求AD的长．【解答】解：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠CAD＝∠BAD（角平分线的性质），∴＝，∴∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD，∴△AOF≌△ODE，∴OE＝AF＝AC＝3（cm），在Rt△DOE中，DE＝＝4（cm），在Rt△ADE中，AD＝＝4（cm）．故选：A．【点评】本题考查了翻折变换及圆的有关计算，涉及圆的题目作弦的弦心距是常见的辅助线之一，注意熟练运用垂径定理、圆周角定理和勾股定理．11．如图，是半圆，O为AB中点，C、D两点在上，且AD∥OC，连接BC、BD．若＝62°，则的度数为何？（）A．56B．58C．60D．62【分析】以AB为直径作圆，如图，作直径CM，连接AC，根据平行线求出∠1＝∠2，推出弧DC＝弧AM＝62°，即可求出答案．【解答】解：以AB为直径作圆，如图，作直径CM，连接AC，∵AD∥OC，∴∠1＝∠2，∴弧AM＝弧DC＝62°，∴弧AD的度数是180°﹣62°﹣62°＝56°，故选：A．【点评】本题考查了平行线性质，圆周角定理的应用，关键是求出弧AM的度数．12．如图，△ABC的外接圆上，AB，BC，CA三弧的度数比为12：13：11．自劣弧BC上取一点D，过D分别作直线AC，直线AB的平行线，且交于E，F两点，则∠EDF的度数为（）A．55°B．60°C．65°D．70°【分析】先根据AB，BC，CA三弧的度数比为12：13：11求出、的度数，再根据其度数即可求出∠ACB及∠ABC的度数，由平行线的性质即可求出∠FED及∠EFD的度数，由三角形内角和定理即可求出∠EDF的度数．【解答】解：∵AB，BC，CA三弧的度数比为12：13：11，∴＝×360°＝120°，＝×360°＝110°，∴∠ACB＝×120°＝60°，∠ABC＝×110°＝55°，∵AC∥ED，AB∥DF，∴∠FED＝∠ACB＝60°，∠EFD＝∠ABC＝55°，∴∠EDF＝180°﹣60°﹣55°＝65°．故选：C．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及平行线的性质，能根据AB，BC，CA三弧的度数比为12：13：11求出∠ABC及∠ACB的度数是解答此题的关键．13．如图，是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为上任意一点，若AC＝5，则四边形ACBP周长的最大值是（）A．15B．20C．15+D．15+【分析】因为P在半径为5的圆周上，若使四边形周长最大，只要AP最长即可（因为其余三边长为定值5）．【解答】解：由于AC和BC值固定，点P在弧AD上，而B是圆心，所以PB 的长也是定值，因此，只要AP的长为最大值，∴当P的运动到D点时，AP最长为5，所以周长为5×3+5＝15+5．故选：C．【点评】本题考查的是勾股定理和最值．本题容易出现错误的地方是对点P的运动状态不清楚，无法判断什么时候会使周长成为最大值．14．如图，圆上有A，B，C，D四点，圆内有E，F两点且E，F在BC上．若四边形AEFD为正方形，则下列弧长关系，何者正确（）A．＜B．＝C．＜D．＝【分析】由图知，BC＞AD，根据大弦对大弧知，＜．【解答】解：A、因为四边形AEFD为正方形，所以AD＝AE，则其所对的弧相等，因为AB＞AE，所以AB＞AD，故不正确；B、因为四边形AEFD为正方形，所以AD＝AE，因为AB＞AE，所以AB＞AD，则可得＞，故不正确；C、弦AB＜AE+BE（三角形两边之和大于第三边），弦BC＝EF+BE+FC＞EF+BE＝AE+BE＞弦AB，所以＞，故正确；D、由图可看出其不相等，故错误．故选：C．【点评】本题利用了在同圆或等中大弦对大弧求解．15．如图，MN为⊙O的弦，∠M＝50°，则∠MON等于（）A．50°B．55°C．65°D．80°【分析】先运用了等腰三角形的性质求出∠N，再根据三角形的内角和是180°即可得．【解答】解：∵OM＝ON，∴∠N＝∠M＝50°．再根据三角形的内角和是180°，得：∠MON＝180°﹣50°×2＝80°．故选：D．【点评】运用了等腰三角形的性质：等边对等角；考查了三角形的内角和定理．16．如图，已知AB是⊙O的直径，＝＝．∠BOC＝40°，那么∠AOE ＝（）A．40°B．60°C．80°D．120°【分析】根据圆心角与弦的关系可求得∠BOE的度数，从而即可求解．【解答】解：∵＝＝，∠BOC＝40°∴∠BOE＝3∠BOC＝120°∴∠AOE＝180﹣∠BOE＝60°故选：B．【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系的掌握情况．17．如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD＝（）A．105°B．120°C．135°D．150°【分析】由已知可得，弦BC、CD、DA三等分半圆，从而不难求得∠BCD的度数．【解答】解：由题意知，弦BC、CD、DA三等分半圆，∴弦BC和CD和DA对的圆心角均为60°，∴∠BCD＝120°．故选：B．【点评】本题利用了弧、弦与圆心角的关系求解，注意半圆对的圆心角为180°．18．如图，弧BE是半径为6的圆D的圆周，C点是上的任意一点，△ABD 是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（）A．12＜P≤18B．18＜P≤24C．18＜P≤18+6D．12＜P≤12+6【分析】四边形ABCD的周长P就是四边形的四边的和，四边中AB，AD，CD 的长是BD长度确定，因而本题就是确定BC的范围，BC一定大于0，且小于或等于BE，只要求出BE的长就可以．【解答】解：∵△ABD是等边三角形∴AB+AD+CD＝18，得P＞18∵BC的最大值为当点C与E重合的时刻，BE＝∴P≤18+6∴p的取值范围是18＜P≤18+6．故选：C．【点评】本题解题的关键是找到临界点，将动态问题转化为普通的几何计算问题．19．如图，在⊙O中，∠B＝37°，则劣弧的度数为（）A．106°B．126°C．74°D．53°【分析】注意圆的半径相等，再运用“等腰三角形两底角相等”即可解．【解答】解：连接OA，∵OA＝OB，∠B＝37°∴∠A＝∠B＝37°，∠O＝180°﹣2∠B＝106°．故选：A．【点评】本题利用了等边对等角，三角形的内角和定理求解．20．半径为6的圆中，圆心角α的余弦值为，则角α所对的弦长等于（）A．B．10C．8D．6【分析】先根据特殊角的三角函数值1求出α的度数，再根据等边三角形的判定定理及性质解答即可．【解答】解：∵cosα＝，∴α＝60°．又∵圆心角的两边为半径，一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，∴∠α所对的弦长等于6．故选：D．【点评】熟记特殊角的三角函数值和掌握等边三角形的判定是解题的关键．二．填空题（共9小题）21．如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE 的度数为30°．【分析】想办法证明△AOC是等边三角形即可解决问题．【解答】解：如图，连接OC．∵AB是直径，＝＝，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠A＝60°，∵CE⊥OA，∴∠AEC＝90°，∴∠ACE＝90°﹣60°＝30°．故答案为30°【点评】本题考查等弧所对的圆心角相等的性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40度，∠C＝20度，则∠B＝60度．【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAC＝∠C＝20°，根据等腰三角形的性质解答即可．【解答】解：如图，连接OA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C＝20°，∴∠OAB＝60°，∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝60°，故答案为：60．【点评】本题考查的等腰三角形的性质的运用，掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的关键．23．如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为10cm，则圆柱上M，N两点间的距离是5cm．【分析】根据题意得到MN＝BC，当正方形纸片卷成一个圆柱时，EF卷成一个圆，线段卷成圆上一段弧，该段弧所对的圆心角为×360°，要求圆柱上M，N两点间的距离即求弦MN的长．【解答】解：根据题意得：EF＝AD＝BC，MN＝2EM＝EF，把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，则线段EF形成一直径为10cm的圆，线段EF为圆上的一段弧．所对的圆心角为：×360°＝120°，所以圆柱上M，N两点间的距离为：2×5×sin60°＝5cm．故答案为：5．【点评】此题实质考查了圆上弦的计算，需要先找出圆心角再根据弦长公式计算，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．24．一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为40cm．【分析】设出弧所在圆的半径，由于弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，所以根据原题所给出的等量关系，列出方程，解方程即可．【解答】解：设弧所在圆的半径为r，由题意得，，解得，r＝40cm．故应填40．【点评】解决本题的关键是熟记圆周长的计算公式和弧长的计算公式，根据题意列出方程．25．如图，⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为cm，1cm，则弦AC、BD所夹的锐角α＝75度．【分析】根据勾股定理的逆定理可证△AOB是等腰直角三角形，故可求∠OAB ＝∠OBA＝45°，又由已知可证△COD是等边三角形，所以∠ODC＝∠OCD ＝60°，根据圆周角的性质可证∠CDB＝∠CAB，而∠ODB＝∠OBD，所以∠CAB+∠OBD＝∠CDB+∠ODB＝∠ODC＝60°，再根据三角形的内角和定理可求α．【解答】解：连接OA、OB、OC、OD，∵OA＝OB＝OC＝OD＝1，AB＝，CD＝1，∴OA2+OB2＝AB2，∴△AOB是等腰直角三角形，△COD是等边三角形，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∠ODC＝∠OCD＝60°，∵∠CDB＝∠CAB，∠ODB＝∠OBD，∴α＝180°﹣∠CAB﹣∠OBA﹣∠OBD＝180°﹣∠OBA﹣（∠CDB+∠ODB）＝180°﹣45°﹣60°＝75°．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，圆周角的性质，等边三角形的性质以及三角形的内角和定理．26．如图，AB为⊙O直径，点C、D在⊙O上，已知∠BOC＝70°，AD∥OC，则∠AOD＝40度．【分析】首先由AD∥OC可以得到∠BOC＝∠DAO，又由OD＝OA得到∠ADO ＝∠DAO，由此即可求出∠AOD的度数．【解答】解：∵AD∥OC，∴∠BOC＝∠DAO＝70°，又∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠DAO＝70°，∴∠AOD＝180﹣70°﹣70°＝40°．【点评】此题比较简单，主要考查了平行线的性质、等腰三角形的性质，综合利用它们即可解决问题．27．如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于40度．【分析】由于点C是弧AB的中点，根据等弧对等角可知：∠BOC是∠BOA的一半；在等腰△AOB中，根据三角形内角和定理即可求出∠BOA的度数，由此得解．【解答】解：△OAB中，OA＝OB，∴∠BOA＝180°﹣2∠A＝80°；∵点C是弧AB的中点，即＝，∴∠BOC＝∠BOA＝40°．故答案为：40．【点评】此题主要考查了圆心角、弧的关系：在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等．28．如图，在⊙O中，，∠A＝40°，则∠B＝70度．【分析】先利用“在同圆中等弧所对的弦也相等”得到AB＝AC即△ABC是等腰三角形，则∠B可得．【解答】解：∵，∴AB＝AC，∵∠A＝40°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠A）÷2＝70°．【点评】本题利用了三角形的内角和定理和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．29．如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°，给出下列五个结论：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③AE ＝2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE＝BC．其中正确结论的序号是①②④．【分析】先利用等腰三角形的性质求出∠ABE、∠ABC的度数，即可求∠EBC 的度数，再运用弧、弦、圆心角的关系即可求出②、④．【解答】解：连接AD，AB是⊙O的直径，则∠AEB＝∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝45°，∴∠ABE＝45°，∠C＝∠ABC＝＝67.5°，AD平分∠BAC，∴AE＝BE，∠EBC＝90°﹣67.5°＝22.5°，DB＝CD，故②正确，∵∠ABE＝45°，∠EBC＝22.5°，故①正确，∵AE＝BE，∴＝，又AD平分∠BAC，所以，即劣弧AE是劣弧DE的2倍，④正确．∵∠EBC＝22.5°，BE⊥CE，∴BE＞2EC，∴AE＞2EC，故③错误．∵∠BEC＝90°，∴BC＞BE，又∵AE＝BE，∴BC＞AE故⑤错误．故答案为：①②④．【点评】本题利用了：①等腰三角形的性质；②圆周角定理；③三角形内角和定理．三．解答题（共14小题）30．如图，在⊙O中，＝2，AD⊥OC于D．求证：AB＝2AD．【分析】延长AD交⊙O于E，利用圆心角、弧、弦的关系证明即可．【解答】证明：延长AD交⊙O于E，∵OC⊥AD，∴，AE＝2AD，∵，∴，∴AB＝AE，∴AB＝2AD．【点评】此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据圆心角、弧、弦的关系解答．31．如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD＝BE．【分析】连接OC，先根据＝得出∠AOC＝∠BOC，再由已知条件根据AAS 定理得出△COD≌△COE，由此可得出结论．【解答】证明：连接OC，∵＝，∴∠AOC＝∠BOC．∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，∴∠CDO＝∠CEO＝90°在△COD与△COE中，∵，∴△COD≌△COE（AAS），∴OD＝OE，∵AO＝BO，∴AD＝BE．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．32．如图，A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分点．（1）连接AB、AD、AF，求证：AB+AF＝AD；（2）若P是圆周上异于已知六等分点的动点，连接PB、PD、PF，写出这三条线段长度的数量关系（不必说明理由）．【分析】（1）连接OB、OF，得到等边△AOB、△AOF，据此并结合弦的性质，即可推理出AB＝AF＝AO＝OD，从而得到AB+AF＝AD；（2）由于AD是⊙O的直径，A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分点，故点B与点F，点C与点E均关于AD对称，故分点P在不同的位置﹣﹣﹣在上、在上、在上三种情况讨论．【解答】解：（1）连接OB、OF．∵A、B、C、D、E、F是⊙O的六等分点，∴AD是⊙O的直径，且∠AOB＝∠AOF＝60°，∴△AOB、△AOF是等边三角形．∴AB＝AF＝AO＝OD，∴AB+AF＝AD．（2）当P在上时，PB+PF＝PD；当P在上时，PB+PD＝PF；当P在上时，PD+PF＝PB．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系及等边三角形的判定与性质，要注意题目中的隐含条件﹣﹣﹣半径相等及分类讨论思想的应用．33．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接P A、PB、PC、PD．（1）当BD的长度为多少时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；（2）在（1）的条件下，若cos∠PCB＝，求P A的长．【分析】（1）根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解；（2）过点P作PE⊥AD于E．根据锐角三角函数的知识和垂径定理进行求解．【解答】解：（1）当BD＝AC＝4时，△P AD是以AD为底边的等腰三角形．∵P是优弧BAC的中点，∴＝．∴PB＝PC．又∵∠PBD＝∠PCA（圆周角定理），∴当BD＝AC＝4，△PBD≌△PCA．∴P A＝PD，即△P AD是以AD为底边的等腰三角形．（2）过点P作PE⊥AD于E，由（1）可知，当BD＝4时，PD＝P A，AD＝AB﹣BD＝6﹣4＝2，则AE＝AD＝1．∵∠PCB＝∠P AD（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∴cos∠P AD＝cos∠PCB＝，∴P A＝．【点评】综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以及垂径定理．34．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且AC＝CD．（1）求证：OC∥BD；（2）若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，试确定四边形OBDC 的形状．【分析】（1）首先由AC＝CD得到弧AC与弧CD相等，然后得到∠ABC＝∠CBD，而OC＝OB，所以得到∠OCB＝∠OBC，接着得到∠OCB＝∠CBD，由此即可证明结论；（2）首先由BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形根据三角形的面积公式可以推出OC＝BD，而后利用（1）的结论可以证明四边形OBDC为平行四边形，再利用OC＝OB即可证明四边形OBDC为菱形．【解答】（1）证明：∵AC＝CD，∴弧AC与弧CD相等，∴∠ABC＝∠CBD，又∵OC＝OB（⊙O的半径），∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OCB＝∠CBD，∴OC∥BD；（2）解：∵OC∥BD，设平行线OC与BD间的距离为h，又S△OBC ＝OC×h，S△DBC＝BD×h，因为BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，即S△OBC＝S△DBC，∴OC＝BD，∴四边形OBDC为平行四边形，又∵OC＝OB，∴四边形OBDC为菱形．【点评】此题综合运用了等腰三角形的性质、三角形的面积公式、圆周角定理和等弧对等弦等知识，有一定的难度．35．如图，AD是⊙O的直径．（1）如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是22.5°，∠B2的度数是67.5°；（2）如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；（3）如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，B n∁n把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠B n的度数（只需直接写出答案）．【分析】根据条件可以先求出圆的各段弧的度数，根据圆周角等于所对弧的度数的一半，就可以求出圆周角的度数．【解答】解：（1）垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则是圆的，因而度数是45°，因而∠B1的度数是22.5°，同理的度数是135度，因而，∠B2的度数是67.5°；（2）∵圆周被6等分∴＝＝＝360°÷6＝60°∵直径AD⊥B1C1∴＝＝30°，∴∠B1＝＝15°∠B2＝＝×（30°+60°）＝45°∠B3＝＝×（30°+60°+60°）＝75°；（3）B n∁n把圆周2n等分，则弧BnD的度数是：，则∠B n AD＝，在直角△AB n D中，．【点评】本题是把求圆周角的度数的问题转化为求弧的度数的问题，依据是圆周角等于所对弧的度数的一半．36．如图，在⊙O中，D、E分别为半径OA、OB上的点，且AD＝BE．点C为弧AB上一点，连接CD、CE、CO，∠AOC＝∠BOC．求证：CD＝CE．【分析】证CD和CE所在的三角形全等即可．【解答】证明：∵OA＝OB AD＝BE，∴OA﹣AD＝OB﹣BE，即OD＝OE．在△ODC和△OEC中，，∴△ODC≌△OEC（SAS）．∴CD＝CE．【点评】两条线段在不同的三角形中要证明相等时，通常是利用全等来进行证明．37．如图，已知⊙O的半径为2，以⊙O的弦AB为直径作⊙M，点C是⊙O优弧上的一个动点（不与点A、点B重合）．连接AC、BC，分别与⊙M相交于点D、点E，连接DE．若AB＝2．（1）求∠C的度数；（2）求DE的长；（3）如果记tan∠ABC＝y，＝x（0＜x＜3），那么在点C的运动过程中，试用含x的代数式表示y．【分析】（1）根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，连OM，OB，可求出∠BOM的度数，∠C＝∠BOM．（2）根据圆内接四边形一外角等于它的内对角，可证明△CDE∽△CBA，两三角形相似对应线段成比例，同时运用（1）中∠C＝60°可得的值，能计算出DE的长．（3）根据直径所对的圆周角是直角，连接AE，在直角三角形中用三角函数可求出y与x之间的关系．【解答】解：（1）如图：连接OB、OM．则在Rt△OMB中，∵OB＝2，MB＝，∴OM＝1．∵OM＝，∴∠OBM＝30°．∴∠MOB＝60°．连接OA．则∠AOB＝120°．∴∠C＝∠AOB＝60°．（2）∵四边形ABED内接于⊙M，∴∠CBA+∠ADE＝180°，∵∠CDE+∠ADE＝180°，∴∠CDE＝∠CBA，在△CDE和△CBA中，∵∠CDE＝∠CBA，∠ECD＝∠ACB，∴△CDE∽△CBA，∴．连接BD，则∠BDC＝∠ADB＝90°．在Rt△BCD中，∵∠BCD＝60°，∴∠CBD＝30°．∴BC＝2DC．。
九年级数学上册 第三章 3.4 圆心角(第1课时)同步测试 (新版)浙教版
3.4 圆心角(第1课时)1．圆心角的定义：顶点是圆心的角；2．圆心角定理：在同圆或等圆．．．．．中，相等的圆心角所对的________相等，所对的________相等．3．弧与圆心角的度数关系：1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧，n °的圆心角所对的弧就是n °的弧．A 组 基础训练1．下列命题，正确的是( )A ．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等B ．平分弦的直径垂直于弦C ．长度相等的两条弧相等D ．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 2．⊙O 中的一段劣弧AB ︵的度数为100°，则∠AOB ＝( )A ．360°B ．180°C ．50°D ．100°3．如图，在半径为2cm 的⊙O 内有长为23cm 的弦AB ，则此弦所对的圆心角∠AOB 为( )第3题图A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°4．(舟山中考)把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则BC ︵的度数是( )第4题图A ．120°B ．135°C ．150°D ．165°5．已知⊙O 的半径为R ，弦AB 的长也是R ，则∠AOB 的度数是________．6．如图，已知AB ，CD 是⊙O 的两条直径，且∠AOC ＝50°，作AE∥CD ，交⊙O 于E ，则弧AE 的度数是________．第6题图7．(菏泽中考)如图，在△ABC 中∠A ＝25°，以点C 为圆心，BC 为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BD ︵的度数为________．第7题图8．如图，在⊙O 中，已知AB ＝BC ，且AB ︵∶AC ︵＝7∶6，则∠AOC ＝________．第8题图9．如图，AC ，BD 是⊙O 的两条直径． (1)图中有哪些弧(劣弧)相等？(2)当点A 在圆周上运动时，是否存在一点A ，使AB ＝BC ＝CD ＝DA.第9题图10．如图所示，已知AB ，CD 是⊙O 的两条直径，AP 是⊙O 的弦，且AP∥CD ，∠A ＝68°，那么BD ︵等于PD ︵吗？说明你的理由．如果∠A ＝α，该结论仍成立吗？第10题B 组 自主提高11.如图，在⊙O 中，弦AB 垂直平分半径OC ，垂足为D ，则弦AB 所对弧的度数为( )第11题图A ．60°B ．120°C ．60°或120°D ．120°或240°12.如图，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ，CD 的延长线交于点E ，且AB ＝2DE ，∠E ＝18°，则∠AOC ＝________．第12题图13．如图，在⊙O 中，半径OC ，OD 分别交弦AB 于点E ，F ，且AF ＝BE.第13题图(1)求证：OE ＝OF ； (2)求证：AC ︵＝BD ︵.C 组 综合运用14．如图，AB 为⊙O 的直径，∠DOC ＝90°，∠DOC 绕点O 旋转，D ，C 两点不与A ，B 重合．(1)求证：AD ︵＋BC ︵＝CD ︵；(2)AD ＋BC ＝CD 成立吗？为什么？第14题图参考答案3．4 圆心角(第1课时)【课堂笔记】 2．弧 弦 【课时训练】 1－4.ADCC 5.60° 6.80° 7.50° 8.108°9．(1)AB ︵＝CD ︵，AD ︵＝BC ︵； (2)存在，当AC⊥BD 时即可，∵AC ⊥BD ，∴∠AOB ＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°.∴AB ＝BC ＝CD ＝DA.第10题图10．连结OP ，则∠POB＝2∠A＝136°，∵AP ∥CD ，∴∠BOD ＝∠A＝68°，∴∠POD ＝136°－68°＝68°＝∠BOD，∴BD ︵＝PD ︵，如果∠A＝α，则同理可得：∠POB＝2∠A＝2α，∠POD＝2α－α＝α＝∠BOD，∴BD ︵＝PD ︵仍然成立．另证：连结BP ，则BP⊥CD，可由垂径定理得证．11．D 12．54°第13题图13．(1)连结OA ，OB.∵OA ＝OB ，∴∠A ＝∠B.又∵AF＝BE ，∴△AOF ≌△BOE ，∴OE ＝OF ； (2)∵△AOF≌△BOE，∴∠AOF ＝∠BOE，∴∠AOF －∠EOF＝∠BOE－∠EOF，即∠AOE＝∠BOF，∴AC ︵＝BD ︵.第14题图14．(1)∵AB 为⊙O 直径，∠DOC ＝90°，∴∠AOD ＋∠BOC＝∠DOC＝90°，∴AD ︵＋BC ︵＝CD ︵；(2)不成立，理由：在CD ︵上截取DE ︵＝AD ︵，故EC ︵＝BC ︵，则DE ＝AD ，BC ＝EC ，在△DEC 中，DE ＋EC ＞DC ，故AD ＋BC ＞CD.。
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圆心角
1. 如图，BD 是⊙O 的直径，弦AC 与BD 相交于点E ，下列结论一定成立的是……（ ）
A. ∠=∠ABD ACD
B. ∠=∠ABD AOD
C. ∠=∠AOD AED
D. ∠=∠ABD BDC
2.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有（ ）
A. 2对
B. 4对
C. 6对
D. 8对
3. 下列命题：①顶点在圆周上的角是圆周角； ②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④直径所对的角是直角；⑤圆周角相等，则它们所对的弧也相等；⑥同弧或等弧所对的圆周角相等．其中真命题个（ ）
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
4.如图，直径CD 过弦EF 的中点G ，∠EOD =40°，则∠DCF = ．
5.如图，AB 是直径，点C ，D ，E 都在⊙O 上，若∠C =∠D =∠E ，
则∠A +∠B = 度.
6. 已知3cm 长的一条弦所对的圆周角是135° ，直径是 .
7.如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 是⊙O 的直径，∠ABC =30°，则∠CAD 度． 8. 如果圆中一条弦长与半径相等，那么此弦所对的圆周角的度数为 . 9. 如图， A ，B ，C ，D 四点都在⊙O 上，
AD 是⊙O 的直径，且AD =6cm ，若∠ABC =∠CAD ．求弦AC 的长．
AB AF =，A C 与BF 交于点M . 10. 如图，已知：BC 为半圆O 的直径，
(1) 若∠FBC =α，求∠ACB （用α表示）
(2) 过A 作AD ⊥BC 于D ，交BF 于E ，
求证：BE =EM .
11.已知，如图 BC 与 AD 的度数之差为20°，弦AB 与CD 交于点E ，∠CEB = 60°，则∠CAB 等于（ ）
A. 50°
B. 45°
C. 40
D. 35°
12.如图，MN 是⊙O 的直径，MN =2，点A 在⊙O 上，∠AMN =30°，B 为
AN 的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值
A.
A
E 第13题 第14题
第11第12题
13.如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O 交于点P，点B与点O重合；将三角形ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF=x°，则x的取值范围是……………（）
A. 60≤x≤120
B. 30≤x≤60
C. 30≤x≤90
D. 30≤x≤120
14.如图，△ABC内接于⊙O，∠BCA=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则BC等于．
15. 如图，OC经过原点且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为(0，4)，M是圆上一点，∠BMO=120°．求⊙C的半径和圆心C的坐标.
16. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是
AB上的点，且AC=BD，P，Q是⊙O上在
AB同侧的两点，且
=，延长PC，
AP BQ
QD分别交⊙O于点M，N．求证：
=.
AM BN。