高观点下的几个初等数学问题
谈谈“高观点下的初等数学”——以基础代数学为例
２１ ０ １年 ２月
大 学 数 学
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以 基 础 代 数 学 为 例
郭 聿 琦 ， 王 正 攀 ， 刘 国新
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４
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大 学 数 学
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构成 实数 域 上 一线性 空 间（
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不 等 于 １的正实 数都 构成愿 的一 个基底 ． 口 ｂ ｆ 令 ，，Ｅ
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（ ｉ ）
（ 所有 正实 数构 成 的集合 ） 关于 如下 定义 的加 法和数 乘 （ ＶⅡ，Ｅ ｂ－
《高观点下的初等数学》
《高观点下的初等数学》在数学教学中，吴正宪老师以其独特的视角和深入浅出的教学方式，引领学生从高观点审视周长的本质。
他在执教《认识周长》一课时，通过生动活泼的互动和引人入胜的实例，使学生不仅掌握了周长的基本概念，更重要的是理解了周长背后的数学思想和实际应用。
吴老师在课程开始时，以一个问题情境引导学生进入周长的学习：“大家有没有注意到，我们每天生活的环境中，有很多形状各异的物体，它们都有自己的边界？这个边界就是我们今天要学习的‘周长’。
”他通过展示日常生活中的实例，如树叶、奖牌、瓷砖等，使学生对周长有了直观的认识。
接着，吴老师引导学生进一步思考：“周长是什么？它与什么有关？如何计算？”他通过一系列精心设计的活动，如测量、计算、观察等，帮助学生理解周长的概念及其计算方法。
在这个过程中，吴老师不仅教授了数学知识，更重要的是引导学生主动思考，培养他们的数学思维和问题解决能力。
在课程的最后阶段，吴老师将周长的学习与实际生活相，通过解决实际问题如土地测量、树叶面积计算等，使学生了解到周长在实际生活中的应用。
他鼓励学生将所学的知识应用到实际中，培养他们的实践能力和创新思维。
通过吴正宪老师的这堂《认识周长》课程，学生们不仅掌握了周长的基本概念和计算方法，更重要的是理解了周长背后的数学思想和实际应用。
吴老师的“高观点”引领使得这堂课程充满了探究与发现的气氛，他以其丰富的教育经验和深厚的数学素养为学生们展现了一个生动有趣的数学世界。
在小学数学教学中，高观点视角下的课堂教学设计是提升教学质量和培养学生思维能力的关键。
尤其是在《平行四边形的面积》这一经典内容中，如何从高观点视角驱动课堂教学，培养学生的数学思维和实践能力，是每位数学教师需要深入思考的问题。
高观点视角下《平行四边形的面积》教学设计的意义从高观点视角出发，重新审视《平行四边形的面积》这一经典教学内容，不仅可以优化课堂教学结构，更能有效提升教学质量。
高观点视角下的教学设计，旨在引导学生通过观察、比较、分析、推理等数学思维过程，自主发现平行四边形面积的计算方法，培养他们的探究意识和解决问题的能力。
高等几何观点下的初等几何
φF'B'C'FDA CBA'D'E E'高等几何观点下的初等几何姜 羽高等几何知识与初等几何知识的沟通,为我们提供了解决初等几何的一些方法,对初等几何教学,对于教师思考和解决问题,有具体的指导意义.利用高等几何的观点和思想方法,将已知初等几何命题进行变换,获得相关的其他初等几何命题,具有重要的意义.本文通过初等几何和高等几何解决问题的方法进行对比,从仿射几何和射影几何的理论和方法出发,探讨它们在初等几何中的若干应用.1 仿射变换在初等几何中的应用1.1 仿影变换为初等几何的有关内容提供了理论依据仿射变换即平行投影变换,保持图形的结合性、平行性、单比、封闭图形面积比不变,直线仍变为直线,圆锥曲线仍变为圆锥曲线,而且圆锥曲线的中心、直径和共轭直径等,也保持不变.因此,对于不涉及线段、角和图形面积定量研究的几何问题中,可以对图形进行仿射变换,将其变到易于讨论的情况,发现其某些非度量性质,使问题获得解决或发现解题思路.通常所说的平移、旋转、对称和相似变换,都是仿射变换的特例. 1.2 仿射变换为初等几何的某些问题提供了简捷的解题方法我们知道,平面几何中的特殊图形：圆、正三角形、菱形经过仿射变换作用后,分别变成一般图形：椭圆、三角形、平行四边形.反之,仿射变换就可以将一般图形变成它们对应的特殊图形.由于特殊图形具有较多性质,所以原命题会变得容易证明. 例1 已知平行四边形ABCD （如图1-1左）的边AB ,CD 上各有一点E ,F 且EF AC //,试证明AED ∆与CDF ∆的面积相等.图1-1 证法1（初等几何方法）EF AC //,∴BE BFAE CF =. 即 B E C F A E B ⋅=⋅.而 CF CD CF AB ⋅=⋅CF AE CF EB =⋅+⋅CF AE AE BF =⋅+⋅AE BC =⋅ AE AD =⋅.∴ 1s i n 2AED S DAE AE AD ∆=∠⋅⋅ 1sin 2FCD CF CD =∠⋅⋅ CDF S ∆=.证法2（仿射变换方法）设已知的平行四边形ABCD 由一个正方形A B C D ''''（如图1-1右）经过仿射变换ϕ得到,且E '对应E ,F '对应F ,,E F ''点分别在边A B '',B C ''上, E F A B ''//''.由于在正方形ABCD 中,A E D C D F ∆'''≅∆''',即两三角形的面积之比为11:,则根据仿射理论“仿射变换保持两封闭图形面积之比不变”,可知上述图形的仿射对应图形AED ∆与CDF ∆的面积之比也为11:,从而得证AED ∆与CDF ∆的面积相等.在仿射几何中,图形在适当的仿射变换下都具有平行两线段长度之比、两封闭图形面积之比不变性质,抓住这一点,不但能使命题证明变得简捷,而且还能推断出这些性质在原图形中也成立,从而能构造出其他相关命题.例2 设P 是ABC ∆内任意一点,直线AP 、BP 、CP 交BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F （如图1-2）,则（1）++=1PD PE PF AD BE CF ；（2）++=2AP BP CPAD BE CF.图1-2证法1（初等几何方法）（1）如图1-2,分别过P 、A 作BC 的垂线,垂足分别为P '、A '.则有1212PBC BCBC PP S PP PDS AA AD BC AA ∆∆A ⋅''==='⋅'. 同理 P C A ABC PE S BE S ∆∆=;PABABCPF S CF S ∆∆=. 故G H P'A'ABCPD EF1PBC PCA PABABCPD PE PF S S S AD BE CF S ∆∆∆∆++++==. （2）因为==1PD AD AP APAD AD AD--,等等,所以由（1）式立即可得（2）式. 证法2（仿射变换方法）（1）如图1-2,分别沿AB 和AC 方向作平行投影P G →、P H →.由仿射变换保简单比不变得：==PD DG DHAD BD CD. ∴ =PD GHAD BC. 又=PE HC BE BC ;=PF GB CF BC, ∴++=++=1PD PE PF GH HC GB AD BE CF BC BC BC. （2）同证法1（2）.关于证法2,当然也可转化为初等几何方法,即作,PG AB PH AC ////.但这真正体现出了高等几何的仿射变换即平行投影变换的观点,只是运用高等几何观点更能透彻看出问题本质.例3 设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>,（如图1-3）求与斜率为K 的弦共轭的直径方程.图1-3证法1（初等几何方法）设弦AB 的直线方程为y kx m =+,点11A(x ,kx m)+,22B(x ,kx m)+,33C(x ,y ). 则有yxxyC'A'B'OABC O1232x x x +=,12123()22kx m kx m k x x y m ++++==+. 故所求直径方程为33122()y my x k x x x x ==++. 将椭圆方程与弦方程联立方程组,可求得1222222a kmx x k a b-+=+.代入上述直径方程得220b x a ky +=.证法2（仿射变换方法）设弦AB 的直线方程为y kx m =+,则经仿射变换有b x x a y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩,即a x x b y y ⎧='⎪⎨⎪='⎩,将椭圆方程变为222x y b '+'=,将弦方程变为ay kx m b'='+.而弦的共轭直径在圆中是与此弦垂直的,其方程显然是by x ak '=-',此方程经上述仿射变换还原到椭圆中去即为所给弦的共轭直径方程b by x ak a=-⋅,即220b x a ky +=.变换思想是一类主要的数学思想.应用变换的方法去解题可使问题得到简化,从而在在解题中取得较好的效果.仿射变换就是几何变换中的一类重要变换.从上述讨论中可以得出应用仿射变换解题的步骤可概括如下：①判断求解的问题是否能利用仿射不变性质,仿射不变量求解,一般涉及到点共直线、直线共点、线段比、面积比等一类问题皆可应用仿射变换解题；②选择合适的仿射变换,找出所给图形的合适的仿射图形;③在仿射图形中求证,写出具体的仿射变换及解题过程.2 用射影观点研究初等几何问题2.1 笛沙格定理的应用 2.1.1 笛沙格定理简介定义1 平面内不共线的三点与每两点的连线所组成的图形叫做三点形.平面内不共点的三直线与其每两直线的交点所组成的图形叫做三线性.笛沙格定理：如果两个三点形对应顶点连线交于一点,则对应边的交点在同一直线上.笛沙格定理的逆定理：如果两个三点形对应边的交点在同一直线上,则对应顶点的连线交于一点.GOEDABCFP ∞Q ∞R ∞OEDABCF定义2 若两个三点形的对应顶点的连线共点,且对应边的交点共线,则两三点形构成透视关系.对应顶点连线的交点叫做透视中心,对应边交点所在的直线叫做透视轴.2.1.2 笛沙格定理应用举例例4 证明：三角形的三条中线共点.图2-1 图2-2证法1（初等几何方法）如图2-1,设ABC ∆三边的中线分别为AD 、BE 、CF ,且AD 、CF 相交于点O ,那么证明BE 为边AC 上的中线即可证明此结论. 延长OE 到点G ,使OG OB =.点O 是BG 的中点, 点D 是BC 的中点, OD ∴是BGC ∆的一条中位线. AD CG ∴//.又 点O 是BG 的中点,点F 是AB 的中点,∴0F 是BGA ∆的一条中位线. ∴CF AG //.AD CG //,CF AG //,∴四边形AOCG 是平行四边形. ∴AC 、OG 互相平分.∴AE CE =,即BE 为边AC 上的中线. 命题得证.证法2（笛沙格定理逆定理）如图2-2,设ABC ∆三边的中点分别为D 、E 、F ,则由三角形中位线定理可知,EF BC //、DE AB //、DF AC //,也就是说,EF 和BC 交于Q ∞,DE 和AB 交于R ∞,DF 和AC 交于P ∞.利用笛沙格定理的逆定理,考虑三点形ABC 和三点形DEF ,它们的对应边的交点Q ∞、R ∞、P ∞共无穷远直线,所以对应顶点的连线AD 、BE 、CF 共点O . 笛沙格定理是射影几何的理论基础,它的应用很广,许多定理以它为依据,对解决中学几何的共点线、共线点问题颇为简洁有效.D'LCDA MNBP ∞L CDA MNB2.2 交比的应用2.2.1 交比的有关概念和性质（1）共线四点的交比的初等表示：在欧式平面上,设1234,,,P P P P 是共线的相异四点,则132412342314(,)P P P P P P P P P P P P ⋅=⋅,其中i j P P 表示i P 到j P 得有向距离(,1,2,3,4)i j =.若1234(,)1P P P P =-,则称1234,,,P P P P 依此次序构成调和点组,并称此交比为调和比.推论 设12,,P P P 为共线的通常点,P ∞为此直线上的无穷远点,则112122(,)()P PP P PP P P P P P∞==, 即为共线三点的简单比.而且P 为线段12P P 的中点12(,)1P P PP ∞⇔=-.（2）共点四直线交比的初等表示：在欧式平面上,设1234,,,p p p p 是共点的相异四直线,则132412342314sin()sin()(,)sin()sin()p p p p p p p p p p p p =,其中()i j p p 表示由i p 到j p 的有向角(,1,2,3,4)i j =.2.2.2 在初等几何中的应用举例例5 四边形两组对边延长后分别相交,且交点的连线与四边形的一条对角线平行,求证：另一条对角线的延长线平分对边交点连线的线段.图2-3 图2-4证法1（初等几何方法）设四边形ABCD 中AB 与CD 交于M ,AD 与BC 交于N 且BD MN //（如图2-3）,求证：AC 平分MN .过B 作BD MD '//,连接DD ',下证四边形BCDD '是平行四边形. BD MD '//∴ AB AD AM AC'=3'32'21'1QPM OABCDEF1'435262'1QPF'M OAB C DEF又 BD MN //∴AB ADAM AN = ∴AD ADAC AN'= 故DD BN '//∴四边形BC DD ''是平行四边形,利用平行四边形的性质知AC 平分BD ,且BD MN //,故AC 的延长线交MN 于L 平分线段MN .证法2（利用调和比）如图2-4,四边形ABCD 中AB 与CD 交于M ,AD 与BC 交于N .若AC 与MN 交于L ,则由完全四点形的调和性质知(,)1MN LP ∞=-,再由上述推论知L 必为MN 的中点.交比是射影几何的基本不变量,而调和比是最重要的一种交比,在射影几何的研究中具有十分重要的作用.运用交比的有关概念和性质来解决初等几何中的一些问题,不仅降低了解决问题的难度,证明思路清晰,过程简洁,而且拓宽了我们的视野,有助于我们站在新的高度上深入地理解初等几何的知识.例6（蝴蝶定理）如图2-5所示,设AB 是O 的弦,M 是AB 的中点,过M 任作二弦CD ,EF ,记P ,Q 为AB 依次与CF ,ED 的交点.求证PM MQ =.图2-5 图2-6证法1 （用初等几何的方法）圆是以直径所在直线为对称轴的轴对称图形,那么如图2-5所示可作MF 关于OM 的对称线段MF ',连接F Q ',F D ',则FF OM '⊥,AB OM ⊥,由此可知AB FF //',所以1561∠=∠=∠=∠'.又45∠=∠（四边形DFF E '内接于圆）且511∠=∠=∠',故41∠=∠',则四点D ,F ',M 和Q 共圆.所以,23∠'=∠. 因 23∠=∠,则 22∠=∠'.又 MF MF =',11∠=∠',则PFM QF M ∆≅∆',故PM MQ =. 证法2（利用交比来证明）如图2-6,连接CA ,CB ,EA ,EB ,以C 为顶点的线束被直线AB 所截,则有(,)(,)CA CD CF CB AM PB =.同样,以E 为顶点的线束被直线AB 所截,有(,)(,)EA ED EF EB AQ MB =,由同弧所对的圆周角相等,从而有11∠=∠',22∠=∠',33∠=∠',而sin sin sin 1sin 3(,)sin sin sin (123)sin 2sin 1sin 3(,).sin (123)sin 2ACF BCD CA CD CF CB ACB DCF EA ED EF EB ∠∠∠'∠'==∠∠∠'+'+'∠'∠∠==∠++∠ 故(,)(,)AM PB AQ MB =. 即AP MB AM QBAB MP AB QM⋅⋅=⋅⋅. 又M 为AB 的中点,从而AM MB =,把,AP AM MP QB QM MB =+=+代入上式 得：11AM MBMP QM+=+, 故AM MB =,从而PM MQ =.在上述证法中,射影几何的方法简单,它只需计算一下交比,不但简捷,而且计算交比的方法适用于所有二阶曲线,这样就自热地将蝴蝶推广到椭圆,双曲线和抛物线上,不过这时二阶曲线中弦的中点却不能用垂足代替.不论是圆或一般的二阶曲线,倘若M 不是弦AB 的中点,可令,,,AM a MB b PM p MQ q ====,则有1111p q a b-=-. 此式,通常称它为坎迪定理.3 总结研究高等几何的思考方法及解题技巧,对于正确把握初等几何的解题实质和发展脉络都大有好处.作为合格的中学数学教师,要教好中学数学,不能只懂中学数学,而要“站得更高,看得更远” ,应拓宽视野,拓广思路,这样才能更好地把握中学数学的内容.而关于坎迪定理在圆锥曲线中的推广应用,限于篇幅,此处不赘述.参考文献[1]周兴和,高等几何.北京:科学出版社,2007[2]李恩凤.高等几何与初等几何的关系.青年师专学报(自然科学),2001.3.53-55[3]高巧琴,雒志江.高等几何在初等几何中的作用.雁北师范学院学报,2004.4.53-55[4]秦进.用高等几何方法变换初等几何命题.遵义师范学院学报,2005.2.66-68[5]廖小勇.高等几何在初等几何中的一些应用.黔南民族师范学院学报,2006.9.24-26[6]张莹.高等几何在初等几何中的应用.济南大学学报,1992.2.81-83[7]胡炳生,吴俊,王佩瑾,孙国权,现代数学观点下的中学数学.北京:高等教育出版社,2005。
100个经典初等数学问题
100个经典初等数学问题第01题阿基米德分牛问题Archimedes' Problema Bovinum太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成. 在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛数，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7.在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数1/4+1/5；花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7.问这牛群是怎样组成的？第02题德•梅齐里亚克的法码问题The Weight Problem of Bachet de Meziriac一位商人有一个40磅的砝码，由于跌落在地而碎成4块.后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物.问这4块砝码碎片各重多少？第03题牛顿的草地与母牛问题Newton's Problem of the Fields and Cowsa头母牛将b块地上的牧草在c天内吃完了；a'头母牛将b'块地上的牧草在c'天内吃完了；a"头母牛将b"块地上的牧草在c"天内吃完了；求出从a到c"9个数量之间的关系？第04题贝韦克的七个7的问题Berwick's Problem of the Seven Sevens在下面除法例题中，被除数被除数除尽：* * 7 * * * * * * * ÷ * * * * 7 * = * * 7 * ** * * * * ** * * * * 7 ** * * * * * ** 7 * * * ** 7 * * * ** * * * * * ** * * * 7 * ** * * * * ** * * * * *用星号（*）标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了，那些不见了的是些什么数字呢？第05题柯克曼的女学生问题Kirkman's Schoolgirl Problem某寄宿学校有十五名女生，她们经常每天三人一行地散步，问要怎样安排才能使每个女生同其他每个女生同一行中散步，并恰好每周一次？第06题伯努利-欧拉关于装错信封的问题The Bernoulli-Euler Problem of the Misaddressed letters求n个元素的排列，要求在排列中没有一个元素处于它应当占有的位置.第07题欧拉关于多边形的剖分问题Euler's Problem of Polygon Division可以有多少种方法用对角线把一个n边多边形（平面凸多边形）剖分成三角形？第08题鲁卡斯的配偶夫妇问题Lucas' Problem of the Married Couplesn对夫妇围圆桌而坐，其座次是两个妇人之间坐一个男人，而没有一个男人和自己的妻子并坐，问有多少种坐法？第09题卡亚姆的二项展开式Omar Khayyam's Binomial Expansion当n是任意正整数时，求以a和b的幂表示的二项式a+b的n 次幂.第10题柯西的平均值定理Cauchy's Mean Theorem求证n个正数的几何平均值不大于这些数的算术平均值.第11题伯努利幂之和的问题Bernoulli's Power Sum Problem确定指数p为正整数时最初n个自然数的p次幂的和S=1p+2p+3p+…+np.第12题欧拉数The Euler Number求函数φ(x)=(1+1/x)x及Φ(x)=(1+1/x)x+1当x无限增大时的极限值第13题牛顿指数级数Newton's Exponential Series将指数函数ex变换成各项为x的幂的级数.第14题麦凯特尔对数级数Nicolaus Mercator's Logarithmic Series不用对数表，计算一个给定数的对数.第15题牛顿正弦及余弦级数Newton's Sine and Cosine Series不用查表计算已知角的正弦及余弦三角函数.第16题正割与正切级数的安德烈推导法Andre's Derivation of the Secant and Tangent Series在n个数1，2，3，…,n的一个排列c1，c2，…，cn中，如果没有一个元素ci的值介于两个邻近的值ci-1和ci+1之间，则称c1，c2，…，cn为1，2，3，…,n的一个屈折排列.试利用屈折排列推导正割与正切的级数.第17题格雷戈里的反正切级数Gregory's Arc Tangent Series已知三条边，不用查表求三角形的各角.第18题德布封的针问题Buffon's Needle Problem在台面上画出一组间距为d的平行线，把长度为l（小于d）的一根针任意投掷在台面上，问针触及两平行线之一的概率如何？第19题费马-欧拉素数定理The Fermat-Euler Prime Number Theorem每个可表示为4n+1形式的素数，只能用一种两数平方和的形式来表示.第20题费马方程The Fermat Equation求方程x2－dy2=1的整数解，其中d为非二次正整数.第21题费马-高斯不可能性定理The Fermat-Gauss Impossibility Theorem证明两个立方数的和不可能为一立方数.第22题二次互反律The Quadratic Reciprocity Law（欧拉-勒让德-高斯定理）奇素数p与q的勒让德互反符号取决于公式（p/q）•（q/p）=（－1）[(p-1)/2]•[(q-1)/2].第23题高斯的代数基本定理Gauss' Fundamental Theorem of Algebra每一个n次的方程zn+c1zn-1+c2zn-2+…+cn=0具有n个根.第24题斯图谟的根的个数问题Sturm's Problem of the Number of Roots求实系数代数方程在已知区间上的实根的个数.第25题阿贝尔不可能性定理Abel's Impossibility Theorem高于四次的方程一般不可能有代数解法.第26题赫米特-林德曼超越性定理The Hermite-Lindemann Transcedence Theorem系数A不等于零，指数α为互不相等的代数数的表达式A1eα1+A2eα2+A3eα3+…不可能等于零.第27题欧拉直线Euler's Straight Line在所有三角形中，外接圆的圆心，各中线的交点和各高的交点在一直线—欧拉线上，而且三点的分隔为：各高线的交点（垂心）至各中线的交点（重心）的距离两倍于外接圆的圆心至各中线的交点的距离.第28题费尔巴哈圆The Feuerbach Circle三角形中三边的三个中点、三个高的垂足和高的交点到各顶点的线段的三个中点在一个圆上.第29题卡斯蒂朗问题Castillon's Problem将各边通过三个已知点的一个三角形内接于一个已知圆.第30题马尔法蒂问题Malfatti's Problem在一个已知三角形内画三个圆，每个圆与其他两个圆以及三角形的两边相切.第31题蒙日问题Monge's Problem画一个圆，使其与三已知圆正交.第32题阿波洛尼斯相切问题The Tangency Problem of Apollonius.画一个与三个已知圆相切的圆.第33题马索若尼圆规问题Macheroni's Compass Problem.证明任何可用圆规和直尺所作的图均可只用圆规作出.第34题斯坦纳直尺问题Steiner's Straight-edge Problem证明任何一个可以用圆规和直尺作出的图，如果在平面内给出一个定圆，只用直尺便可作出.第35题德里安倍立方问题The Deliaii Cube-doubling Problem画出体积为一已知立方体两倍的立方体的一边.第36题三等分一个角Trisection of an Angle把一个角分成三个相等的角.第37题正十七边形The Regular Heptadecagon画一正十七边形.第38题阿基米德π值确定法Archimedes' Determination of the Number Pi设圆的外切和内接正2vn边形的周长分别为av和bv，便依次得到多边形周长的阿基米德数列：a0，b0，a1，b1，a2，b2，…其中av+1是av、bv的调和中项，bv+1是bv、av+1的等比中项. 假如已知初始两项，利用这个规则便能计算出数列的所有项. 这个方法叫作阿基米德算法.第39题富斯弦切四边形问题Fuss' Problem of the Chord-Tangent Quadrilateral找出半径与双心四边形的外接圆和内切圆连心线之间的关系.（注：一个双心或弦切四边形的定义是既内接于一个圆而同时又外切于另一个圆的四边形）第40题测量附题Annex to a Survey利用已知点的方位来确定地球表面未知但可到达的点的位置.第41题阿尔哈森弹子问题Alhazen's Billiard Problem在一个已知圆内，作出一个其两腰通过圆内两个已知点的等腰三角形.第42题由共轭半径作椭圆An Ellipse from Conjugate Radii已知两个共轭半径的大小和位置，作椭圆.第43题在平行四边形内作椭圆An Ellipse in a Parallelogram,在规定的平行四边形内作一内切椭圆，它与该平行四边形切于一边界点.第44题由四条切线作抛物线A Parabola from Four Tangents已知抛物线的四条切线，作抛物线.第45题由四点作抛物线A Parabola from Four Points.过四个已知点作抛物线.第46题由四点作双曲线A Hyperbola from Four Points.已知直角（等轴）双曲线上四点，作出这条双曲线.第47题范•施古登轨迹题Van Schooten's Locus Problem平面上的固定三角形的两个顶点沿平面上一个角的两个边滑动，第三个顶点的轨迹是什么？第48题卡丹旋轮问题Cardan's Spur Wheel Problem.一个圆盘沿着半径为其两倍的另一个圆盘的内缘滚动时，这个圆盘上标定的一点所描出的轨迹是什么？第49题牛顿椭圆问题Newton's Ellipse Problem.确定内切于一个已知（凸）四边形的所有椭圆的中心的轨迹.第50题彭赛列-布里昂匈双曲线问题The Poncelet-Brianchon Hyperbola Problem确定内接于直角（等边）双曲线的所有三角形的顶垂线交点的轨迹.第51题作为包络的抛物线A Parabola as Envelope从角的顶点，在角的一条边上连续n次截取任意线段e，在另一条边上连续n次截取线段f，并将线段的端点注以数字，从顶点开始，分别为0，1，2，…，n和n，n－1，…，2，1，0.求证具有相同数字的点的连线的包络为一条抛物线.第52题星形线The Astroid直线上两个标定的点沿着两条固定的互相垂直的轴滑动，求这条直线的包络.第53题斯坦纳的三点内摆线Steiner's Three-pointed Hypocycloid确定一个三角形的华莱士（Wallace）线的包络.第54题一个四边形的最接近圆的外接椭圆The Most Nearly Circular Ellipse Circumscribing a Quadrilateral一个已知四边形的所有外接椭圆中，哪一个与圆的偏差最小？第55题圆锥曲线的曲率The Curvature of Conic Sections确定一个圆锥曲线的曲率.第56题阿基米德对抛物线面积的推算Archimedes' Squaring of a Parabola确定包含在抛物线内的面积.第57题推算双曲线的面积Squaring a Hyperbola确定双曲线被截得的部分所含的面积.第58题求抛物线的长Rectification of a Parabola确定抛物线弧的长度.第59题笛沙格同调定理（同调三角形定理）Desargues' Homology Theorem (Theoremof Homologous Triangles)如果两个三角形的对应顶点连线通过一点，则这两个三角形的对应边交点位于一条直线上.反之，如果两个三角形的对应边交点位于一条直线上，则这两个三角形的对应顶点连线通过一点.第60题斯坦纳的二重元素作图法Steiner's Double Element Construction由三对对应元素所给定的重迭射影形，作出它的二重元素.第61题帕斯卡六边形定理Pascal's Hexagon Theorem求证内接于圆锥曲线的六边形中，三双对边的交点在一直线上.第62题布里昂匈六线形定理Brianchon's Hexagram Theorem求证外切于圆锥曲线的六线形中，三条对顶线通过一点.第63题笛沙格对合定理Desargues' Involution Theorem一条直线与一个完全四点形*的三双对边的交点与外接于该四点形的圆锥曲线构成一个对合的四个点偶. 一个点与一个完全四线形*的三双对顶点的连线和从该点向内切于该四线形的圆锥曲线所引的切线构成一个对合的四个射线偶. *一个完全四点形（四线形）实际上含有四点（线）1，2，3，4和它们的六条连线交点23，14，31，24，12，34；其中23与14、31与24、12与34称为对边（对顶点）.第64题由五个元素得到的圆锥曲线A Conic Section from Five Elements求作一个圆锥曲线，它的五个元素——点和切线——是已知的.第65题一条圆锥曲线和一条直线A Conic Section and a Straight Line一条已知直线与一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线相交，求作它们的交点.第66题一条圆锥曲线和一定点A Conic Section and a Point已知一点及一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线，作出从该点列到该曲线的切线.第67题斯坦纳的用平面分割空间Steiner's Division of Space by Planesn个平面最多可将整个空间分割成多少份？第68题欧拉四面体问题Euler's Tetrahedron Problem以六条棱表示四面体的体积.第69题偏斜直线之间的最短距离The Shortest Distance Between Skew Lines计算两条已知偏斜直线之间的角和距离.第70题四面体的外接球The Sphere Circumscribing a Tetrahedron确定一个已知所有六条棱的四面体的外接球的半径.第71题五种正则体The Five Regular Solids将一个球面分成全等的球面正多边形.第72题正方形作为四边形的一个映象The Square as an Image of a Quadrilateral证明每个四边形都可以看作是一个正方形的透视映象.第73题波尔凯-许瓦尔兹定理The Pohlke-Schwartz Theorem一个平面上不全在同一条直线上的四个任意点，可认为是与一个已知四面体相似的四面体的各隅角的斜映射.第74题高斯轴测法基本定理Gauss' Fundamental Theorem of Axonometry正轴测法的高斯基本定理：如果在一个三面角的正投影中，把映象平面作为复平面，三面角顶点的投影作为零点，边的各端点的投影作为平面的复数，那么这些数的平方和等于零.第75题希帕查斯球极平面射影Hipparchus' Stereographic Projection试举出一种把地球上的圆转换为地图上圆的保形地图射影法.第76题麦卡托投影The Mercator Projection画一个保形地理地图，其坐标方格是由直角方格组成的.第77题航海斜驶线问题The Problem of the Loxodrome确定地球表面两点间斜驶线的经度.第78题海上船位置的确定Determining the Position of a Ship at Sea利用天文经线推算法确定船在海上的位置.第79题高斯双高度问题Gauss' Two-Altitude Problem根据已知两星球的高度以确定时间及位置.第80题高斯三高度问题Gauss' Three-Altitude Problem从在已知三星球获得同高度瞬间的时间间隔，确定观察瞬间，观察点的纬度及星球的高度.第81题刻卜勒方程The Kepler Equation根据行星的平均近点角，计算偏心及真近点角.第82题星落Star Setting对给定地点和日期，计算一已知星落的时间和方位角.第83题日晷问题The Problem of the Sundial制作一个日晷.第84题日影曲线The Shadow Curve当直杆置于纬度φ的地点及该日太阳的赤纬有δ值时，确定在一天过程中由杆的一点投影所描绘的曲线.第85题日食和月食Solar and Lunar Eclipses如果对于充分接近日食时间的两个瞬间太阳和月亮的赤经、赤纬以及其半径均为已知，确定日食的开始和结束，以及太阳表面被隐蔽部分的最大值.第86题恒星及会合运转周期Sidereal and Synodic Revolution Periods确定已知恒星运转周期的两共面旋转射线的会合运转周期.第87题行星的顺向和逆向运动Progressive and Retrograde Motion of Planets行星什么时候从顺向转为逆向运动（或反过来，从逆向转为顺向运动）？第88题兰伯特慧星问题Lambert's Comet Prolem借助焦半径及连接弧端点的弦，来表示慧星描绘抛物线轨道的一段弧所需的时间.第89题与欧拉数有关的斯坦纳问题Steiner's Problem Concerning the Euler Number如果x为正变数，x取何值时，x的x次方根为最大？第90题法格乃诺关于高的基点的问题Fagnano's Altitude Base Point Problem在已知锐角三角形中，作周长最小的内接三角形.第91题费马对托里拆利提出的问题Fermat's Problem for Torricelli试求一点，使它到已知三角形的三个顶点距离之和为最小.第92题逆风变换航向Tacking Under a Headwind帆船如何能顶着北风以最快的速度向正北航行？第93题蜂巢（雷阿乌姆尔问题）The Honeybee Cell (Problem by Reaumur)试采用由三个全等的菱形作成的顶盖来封闭一个正六棱柱，使所得的这一个立体有预定的容积，而其表面积为最小.第94题雷奇奥莫塔努斯的极大值问题Regiomontanus' Maximum Problem在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？（即在什么部位，可见角为最大？）第95题金星的最大亮度The Maximum Brightness of Venus在什么位置金星有最大亮度？第96题地球轨道内的慧星A Comet Inside the Earth's Orbit慧星在地球的轨道内最多能停留多少天？第97题最短晨昏蒙影问题The Problem of the Shortest Twilight在已知纬度的地方，一年之中的哪一天晨昏蒙影最短？第98题斯坦纳的椭圆问题Steiner's Ellipse Problem在所有能外接（内切）于一个已知三角形的椭圆中，哪一个椭圆有最小（最大）的面积？第99题斯坦纳的圆问题Steiner's Circle Problem在所有等周的（即有相等周长的）平面图形中，圆有最大的面积.反之：在有相等面积的所有平面图形中，圆有最小的周长.第100题斯坦纳的球问题Steiner's Sphere Problem在表面积相等的所有立体中，球具有最大体积.在体积相等的所有立体中，球具有最小的表面.。
100个著名初等数学问题
100个著名初等数学问题第01题阿基米德分牛问题'太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成。
在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7。
在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数1/4+1/5；花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7。
问这牛群是怎样组成的？第02题德?梅齐里亚克的法码问题一位商人有一个40磅的砝码，由于跌落在地而碎成4块.后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物。
问这4块砝码碎片各重多少？第03题牛顿的草地与母牛问题'a头母牛将b块地上的牧草在c天内吃完了；a'头母牛将b'块地上的牧草在c'天内吃完了；a"头母牛将b"块地上的牧草在c"天内吃完了；求出从a到c"9个数量之间的关系？第04题贝韦克的七个7的问题'在下面除法例题中，被除数被除数除尽：* * 7 * ** * * * 7 * ┃* * 7 * * * * * * ** * * * * 7 ** 7 * * * ** 7 * * * ** * * * 7 * *用星号（*）标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了，那些不见了的是些什么数字呢？第05题柯克曼的女学生问题'某寄宿学校有十五名女生，她们经常每天三人一行地散步，问要怎样安排才能使每个女生同其他每个女生同一行中散步，并恰好每周一次？第06题伯努利-欧拉关于装错信封的问题求n个元素的排列，要求在排列中没有一个元素处于它应当占有的位置。
第07题欧拉关于多边形的剖分问题'可以有多少种方法用对角线把一个n边多边形（平面凸多边形）剖分成三角形？第08题鲁卡斯的配偶夫妇问题'n对夫妇围圆桌而坐，其座次是两个妇人之间坐一个男人，而没有一个男人和自己的妻子并坐，问有多少种坐法？第09题卡亚姆的二项展开式'当n是任意正整数时，求以a和b的幂表示的二项式的n次幂。
中学数学中与初等数论有关的几个问答
目录1.前言 (1)2.利用整除性判别法解决整除问题 (1)2.1能被2k或5k整除的判别法 (1)2.2割尾判别法 (2)3.利用整除的基本性质解题 (5)4.最大公因数 (7)5.抽屉原理在数论中的应用 (9)6.致谢 (12)7.参考文献 (14)中学数学中与初等数论相关的几个问题陈琴 (指导老师: 左可正)(湖北师范学院 数学系 湖北 黄石 435002)1.前言在中学数学中，整数是特殊常用的一类数.而初等数论是研究整数的性质的、与算术有密切关系的一门学科，可以说初等数论是算术的延续.初等数论问题更是数学竞赛试题多发区.而对于整除性质和抽屉原理的考察一直是中学数学竞赛中应用范围最广的核心内容,作为高中教师,有必要对这些知识进行系统的考查.2.利用整除性判别法解决整除问题一个数能不能被另一个数整除，虽然可以用长除法去判别，但当被除数位数较多时，那是很麻烦的。
要判别一个正整数a 能否被另一个正整数d 整除，往往可变为只要找出另一（绝对值）较小的整数b ，而去判别b 能否被d 整除。
这个新的整数b 也就称为判别数。
要看一种整除判别法是否优越，就在于能否用较快的速度而得出很小的判别数。
因为判别数b 越小，就越容易判别能否被d 整除。
下面我将阐述两种判别法。
2.1能被2k 或5k 整除的判别法令整数01n a a a a =⋯(0<0a ≤9,0≤i a ≤9, i =1,2, ⋯,n). i a ∈N.因为210k k |,但k 2不整除110k -,故要判别a 是否能被k 2整除,就是要而且只要判别122n k n k n n a a a a -+-+-⋯能否被k 2整除.我们可以用一个例子来证实这个判别法.例1:试判别51024能否被16整除?解:显然16=42,故相当于来判别a 是否能被42整除.但1024=1000+24而321000∣,42不整除1000,故知以42除1000的余数为8,而8+24=32可被16整除,故知1651024∣.与能被2k 整除的道理一样,判别a 是否能被5k 整除,只需要看122n k n k n na a a a -+-+-⋯能否被5k 整除就行了.对不同的k 如何判别,现分述如下:(1) 当k =1时,即要判别a 是不是5的倍数,这时的充分必要条件是n a =0或5.(2) 当k =2时,即要判别a 是否能被25整除,这时只要看1n n a a -.而25∣1n n a a -的充分必要条件是1n n a a -=25,70,75或1n a -=n a =0.(3) 当k =3时, 即要判别a 是否能被125整除, 这时只要看a 的最右边三位数21n n n a a a --,而21n n n a a a --125∣的充分必要条件是21n n n a a a --=125,250,375,500,625,750,875或2n a -=1n a -=n a =0.(4) 当4k ≥时,要判别a 是否能被5k 整除,则可用“逐步约商”判别法.例2:试判别21401375能否被45整除.解:我们只需要判别1375能否被45整除就行了.75显然可以被25整除.现用“逐步约商”判别法.因为1375=25•55,即25除1375的商为55.而55不能被25整除.可见1375不整除45,从而21401375不整除45.2.2割尾判别法先给出一个定理:假定自然数011n k n k n a a a a a a ⋯--+=⋯,如果a 能被奇质数p 整除,则将a 的右端任意割去k 位(不妨设割去的k 位数不是p 的倍数,否则无讨论之必要),必存在唯一的正整数1m p <(只与p 和k 有关),使得a 的判别数10111()n k n k n b a a a m a a --+=⋯-⋯ (1)仍是p 的倍数.同时也存在唯一的正整数2m p <,使得a 的判别数20121()n k n k n b a a a m a a --+=⋯+⋯ (2)也是p 的倍数.下面我将对此定理作出证明.证明:我们只要就该定理中之(1)式证明就行了(因(2)式完全同理可证).事实上,由于从a 的尾部割去的k 位数1n k n a a -+⋯和p 互质,则可知同余方程1()n k n a a -+⋯x ≡01n k a a a -⋯(mod )p有唯一解.令它为1(mod )x m p ≡.于是该定理得到证明.对于p 的倍数a 割去k 位并按(1)式的要求而定出1m 后,由于1m 的唯一性,若a 不是p 的倍数,则按(1)式的要求作出的判别数1b 也一定不是p 的倍数.反过来,由1b 是否为p 的倍数也可判定a 是否为p 的倍数.而且对(2)式也可同理应用.为了进一步阐述割尾判别法,我们可以看一个例子:例3:试判别816751136124能否被7整除?解:我们用(1)式,割去3位或6位.割去3位时, 1m =1.割去6位时1m =6我们用长除法的形式来解出判别数由上述过程我们可以看出:割三位的方法经过三步得出的判别数为77,故可断定816751136124能被7整除;而割六位的方法只要一步就得出判别数7,故也能断定816751136124能被7整除.通过上面的例子我们应作几点说明:(1) 当将要判别的数割去1位,2位,3位,…时, 1m 是为多少是怎样知道的?确定方法是:当割去一位时,则可在7的倍数中取一简单的两位数(最好个位数为1).比如21.将21的个位数1割去,此时剩下一个2,而2减去1的2倍就等于零.而零显然可以被7整除.故此法可确定1m =2.当割去两位时,则可在7的倍数中取一简单的三位数.比如301.将301的右端两位数割去,此时剩下一个3,而3减去01的3倍就等于零.故此时可确定1m =3.同理可确定其它位数的1m ,这个1m 就叫做割尾判别法的“乘数”.它随割去的位数不同而异.(2) 在例3中很碰巧,经三步割三位后的判别法只有两位,经一步割6位数后得判别数只有一位.若有3位或3位以上,则应再割去1位或2位,就是说,有时判别一个数需要几种割尾法交错使用,直到得出最后的判别数是一位或两位为止.将例3加以推广,割尾法同样可以判定a被13,17,19整除.3.利用整除的基本性质解题整除是初等数论中最基本的内容之一，b︱a的意思是存在一个整数q，使得等式a=bq成立.因此这一标准作为我们讨论整除性质的基础.也为我们提供了解决整除问题的方法.即当我们无法用整除语言来叙述或讨论整除问题时，可以将其转化为我们很熟悉的等号问题.例4：证明3∣n（n+1）（2n+1），这里n是任意整数.证法一：根据题意，n可以写成n=3q+r，这里r=0，1，2，q为整数.对r取不同值进行讨论，得出结论.证法二：根据整除定义，任何连续三个整数的乘积必是3的倍数.证法三: 根据n（n+1）（2n+1）,利用222112(1)(21),6n n n n++⋯+=++来证明.证法四：利用数学归纳法也可以证明.竞赛中关于数论的论证题主要是讨论整除的整除性和整数解，证明方法通常有：直接证明法，间接证明法（反证法）.例5：已知24∣62742ab,求a,b.由于24=3×8，而(3,8)=1,3和8都是特殊数，故本题往往习惯于利用整除特征加以解决.但利用整除特征解答有两个弊端,即(1)解题过程一般较烦琐;(2)若非特殊数无法解.可利用整除的因式分解法得出一般的解法.对于特殊数的整除规律要求能掌握其一般定理的证明，并熟记一些特殊数的整除规律，这对解题大有帮助.例如：1、一个整数被2整除的充要条件是它的末位为偶数.2、一个整数被3整除的充要条件是它的各位数字之和能被3整除.3、一个整数被9整除的充要条件是它的各位数字之和能被9整除.4、一个整数被5整除的充要条件是它的末位数字为0或5.5、一个整数被4，25整除的充要条件是它的末二位能被4，25整除.6、一个整数被8，125整除的充要条件是它的末三位能被8，125整除. 例6:证明:对于整数x 与y , 23x y +与95x +能同时被17整除或不可整除. 证:记23u x y =+, 95v x =+,则有3517v u x -=即3517v u x =+ (1)5317u v x =- (2)若对0,0x y z ∈, 017u |.其中00023u x y =+,由(1)知0173v |,其中00095v x y =+.又(17,3)=1,所以017v |.同理可证,对11,x y z ∈,117v |,其中11195v x y =+,则 117u |,其中11123u x y =+.证毕.【分析】将本题加以推广:用,ax by cx dy ++代替23x y +与95x y +.令,u ax by v cx dy =+=+.设0ad bc -≠消去y ,()a bdu bv ad bc x c d -=-=x .记a bs c d =.du bv sx =+,bv du sx =-若(,)(,)1d s b s ==,则对同样的,x y ,u 与v 同时被s 整除(或同时不被s 整除)若(,)(,)1,a s c s ==结论成立.例6中231795=-,而(3,17)(5,17)1-=-=,(2,17)(9,17)1-=-=.所以例4成立.例7: 1000!的末尾有几个零?解:考虑1000!的标准分解式中2与5这两个素数的指数,若1000!1225r r A =,A N ∈,A 不能被2与5整除,则1000!中末尾有r 个零, r 是1r 和2r 中较小者.在1,2,3, ⋯,1000中,有200个数能被5整除,在这200个数中,有40个能被25整除,在这40个数中,有8个能被35整除,在这8个数中,有1个能被45整除.不大于1000的自然数中没有能被5的5次幂或更高次幂整除的数.可见在1000!的标准分解式中,5的指数22004081249r =+++=.显然12r r >,所以249r =,即1000!的末尾有249个零.4.最大公因数和整除性一样，二个数的最大公约数实质上也是用等号来定义的，因此在解决此类问题是如果有必要的话可化为等式问题.最大公约数的性质中最重要的性质之一为：若a=bq+c ，则一定有（a ，b ）=（b ，c ），这就是求二个整数的最大公约数的理论根据.最小公倍数实际上与最大公因数为对偶命题.特别要指出的是a 和b 的公倍数是有无穷多个.所以一般地在无穷多个数中寻找一个最小数是很困难的，为此在定义中所有公倍数的最小的正整数.这一点实际上是应用自然数的最小自然数原理.即自然数的任何一个非空子集一定有一个最小自然数存在.最小公倍数的问题一般都可以通过以下式子转化为最大公因数的问题.两者的关系为,,a b N ∈ [,](,)ab a b a b = 例8：对于任意的非负整数n ，求形式为 228577n n +++=的一切数的最大公因子.在解答初等数论的习题中，如果我们把题目有关的概念，例如整除，最大公因子，互素等用等式表示出来，再经过这些等式的恒等变形，常常能够找到解题的方法.解:当0n =时, (1)22(1)17857k k +++++=;假设n k =时, 2215778k k +++|;当1n k =+时,(1)22(1)1221787788k k k k +++++++=+221221221227(78)8(87)7887k k k k k k ++++++=+++--21257(78647)k k q ++=-+212257(7877577)k k k q +++=-++221257[7(78)577]k k k q +++=-++57p = (,)p q N ∈故形为22278n n +++的一切数的最大公因子为57.例9:证明:若,a b N ∈,那么等差数列,2,3,a a a ⋯ba 中能被b 整除的项数等于a 与b 的最大公约数.证明:设(,)a b d=,于是,,,.(,)1a drb ds r s N r s==∈=.,2,3,a a a⋯ba被b整除之后为r s ,2rs,⋯()ds rs由于(,)1r s=.上式中各项为整数者的项数,仅为1s ,2s,⋯,dss中为整数的项数,所以共计d项,证毕.5.抽屉原理在数论中的应用抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狄利克雷明确地提出来的，因此，也称为狄利克雷原理。
高观点下初等数学的内涵及实现途径探析
高观点下初等数学的内涵及实现途径探析初等数学是从小学到高中阶段的数学教育内容，它包含了数的概念、四则运算、代数、几何等基础知识。
在高观点下，初等数学的内涵不再仅仅是一系列概念、定理和计算方法，而是从整体上考虑数学教育的目的、方法和价值。
初等数学的内涵首先，初等数学的内涵应该包括数学的本质和价值。
数学是一种科学思维方式，它强调精确性、抽象性和逻辑性，不仅在自然科学和工程技术中有重要应用，而且还是一种文化和哲学上的追求。
因此，初等数学应该培养学生的逻辑思维和解决问题的能力，同时也应该让学生了解数学在实际生活中的应用，并感受到数学对人类文明的作用。
其次，初等数学的内涵还应该包括个体化教育和多元化方法。
学生在数学学习中的兴趣、能力和学习风格都是不同的，因此教师应该采用不同的教学方法和策略来满足不同学生的需求。
比如，通过班级合作、小组活动、个别辅导等方式，让学生在自主学习和交互学习中发挥优势，提高学习积极性和学习效果。
最后，初等数学的内涵还应该强调培养学生的思想品质和创新思维。
数学是一种探索未知的过程，它需要学生具备求知欲、审美情趣和自主思考能力，同时也需要学生具备勇于挑战和创新的精神。
因此，初等数学教育应该通过具体的教学案例和课程设计，去激发学生的求知兴趣和创新能力。
在实现初等数学高观点的过程中，我们可以采取以下几个途径：第一，建立合适的数学课程和教学模式。
数学课程应该根据学生的发展需求和兴趣爱好来设计，使得学生在学习数学的过程中能够拓宽自己的思维领域和增强数学意识。
教师应该采用多种教学方法和策略，如讲解、引导、探究、演练等，让学生在探索中感受数学的魅力和美好。
第二，积极推进教育信息化和网络技术的应用。
随着信息技术的不断普及和发展，我们可以利用网络工具和数字资源来构建数学的虚拟学习环境，帮助学生在一个更宽广的空间中参与数学学习，并能够个性化定制、多元化参与和实时互动交流。
第三，加强教师的专业化研究和素养提升。
高观点下初等数学的内涵及实现途径探析
高观点下初等数学的内涵及实现途径探析【摘要】初等数学作为基础学科，承载着培养学生基本数学素养的重要使命。
从高观点出发，初等数学不仅是对学生进行数学思维培养的重要途径，更是培养学生逻辑思维和解决问题能力的有效手段。
本文从初等数学的内涵、学科特点、教学方法到实现途径的探讨，以及初等数学在跨学科应用上的探索，揭示了高观点下初等数学在学生全面发展中的重要地位。
进一步探讨了高观点下初等数学如何全面实现，展望了未来发展趋势，并呼吁更多关注和支持初等数学教育。
通过本文的探析，可以更好地认识和理解初等数学的意义，推动初等数学教育的不断发展与完善。
【关键词】初等数学、高观点、内涵、现实意义、学科特点、教学方法、实现途径、跨学科应用、全面实现、未来发展、结语1. 引言1.1 初等数学的重要性初等数学作为我们学习数学的第一门学科，具有极其重要的意义。
它不仅是我们学习数学知识的基础，更是培养我们逻辑思维能力、分析解决问题能力的重要途径。
在我们日常生活中，初等数学无处不在，无论是在购物计算价格、测量距离面积，还是在理财、时间管理等方面，都需要数学知识的支持。
初等数学不仅仅是一门学科，更是一种思维方式，一种解决问题的工具。
通过学习初等数学，我们能够培养自己的逻辑思维能力，提高自己的解决问题的能力。
初等数学教育不仅能够帮助我们掌握基本的数学知识，更能够培养我们的分析问题、解决问题的能力，培养我们的创新思维。
初等数学的重要性不言而喻，它是我们学习其他学科的基础，也是我们走向成功的必经之道。
在当今科技发展迅速的时代，初等数学的重要性更加凸显，它能帮助我们更好地理解和应用科技，提高我们的综合素质和竞争力。
初等数学的重要性是不可忽视的，我们需要认真对待初等数学的学习，不断提高自己的数学素养，为未来的发展打下坚实的基础。
1.2 高观点下初等数学的现实意义高观点下的初等数学对于培养学生的创新意识和问题解决能力起着至关重要的作用。
通过数学学习，学生可以培养对于问题的分析、归纳和解决能力，培养学生的逻辑思维和创新思维，使他们能够在未来的工作和生活中更好地应对各种挑战。
高中数学中的初等数学问题综合分析
高中数学中的初等数学问题综合分析数学作为一门抽象的科学，是人类理解和掌握自然界规律的重要工具。
在高中阶段，初等数学作为数学学科的基石，承担着培养学生逻辑思维和分析问题的能力的任务。
本文将综合分析高中数学中的初等数学问题，探讨其重要性和应用。
一、代数问题代数是高中数学的一大重要内容，它包括各种代数运算、方程和不等式等。
在代数问题中，学生需要运用代数的知识进行变量的表示和求解。
通过代数问题的练习，学生可以培养逻辑思维和解决实际问题的能力。
例如，解方程问题能够提高学生的解决实际问题的能力。
当学生从实际问题中抽象出方程式后，通过解方程可以得到问题的解。
这样的训练使学生有能力用数学分析解决实际问题。
二、几何问题几何是高中数学的另一门重要内容，它包括平面几何和空间几何两个方面。
几何问题注重图形的性质和空间的关系，通过几何问题的练习，学生可以培养观察和推理的能力。
例如，证明几何问题能够培养学生的逻辑思维和严密推理的能力。
学生需要根据已知条件运用几何知识进行推导，通过合理的推理得到结论。
这样的训练对于培养学生的思维能力和解决问题的能力非常有帮助。
三、概率与统计问题概率与统计是高中数学中的一门重要内容，它包括概率和统计两个方面。
概率问题注重事件发生的可能性，统计问题注重数据的收集和分析。
通过概率与统计问题的练习，学生可以培养分析数据和判断事件发生可能性的能力。
例如，概率问题能够培养学生的判断和估计的能力。
通过对事件发生可能性的分析，学生可以估计事件的结果，并作出相应的决策。
这样的训练对于培养学生的数据分析能力和决策能力非常重要。
综上所述，高中数学中的初等数学问题在培养学生的逻辑思维、解决问题和应用数学的能力方面起着重要作用。
代数问题、几何问题以及概率与统计问题等都能够提高学生的数学素养和解决实际问题的能力。
因此，在高中数学教学中，我们应该重视初等数学问题的综合分析和理解，为学生提供更好的数学学习环境和培养学生综合素质的机会。
高观点下几类初等数学问题的解题策略
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的变化， 有利于墙壁文化育人功能更好地发挥。 （三 ） 让创新、 向上成为教室墙壁文化创生的主要精神 在小学阶段，教育教学的主要目标之一是培养儿童的创 新意识和创新能力。教室墙壁文化创生应当落实体现此精神。 这就要求在墙壁文化的创生过程中，学校与教师不能给学生 的创生活动制定太过繁多冗杂的条条框框，以免束缚学生的 思维和行动。另外， 小学阶段是学生性情和观念奠基的关键阶 段，这就特别要求教室墙壁文化要向学生传递积极向上的理 念， 使学生汲取积极的正能量， 消除消极的负面情绪。为此， 教 师要关注学生创生出的墙壁文化所蕴含的深意， 注重细节。在 过去的墙壁文化中， 常出现一些看似积极、 实则有待商榷的标 语和看似合理、 实则有失偏颇的布置， 如标语 “十年寒窗无人 问， 一朝成名天下知” ， 本身就给予学生一种消极的暗示： 学习 是艰苦的， 要想在学业上取得成功就必须忍受艰难的过程。事 实上， 学习也可以是快乐的。对于这些文化对学生可能产生的 微妙影响， 教师要足够敏感， 合理做出调整。 （四 ） 让特色与个性培养成为教室墙壁文化创生的主要功能 教室墙壁文化是班级的文化， 需要体现出班级特色。苏霍 姆林斯基曾经说过， 教室的布置应该别具匠心， 去掉一切成规 旧套、 平庸乏味的东西， 各个班级都应提倡特色、 彰显个性。教 室墙壁文化要依据教师教育理念和教育模式的特点，结合学 生的特长喜好， 融入班级风格， 创生不同于其他班级的特色文 化。倘若囿于固定的墙壁文化创生模式， 墙壁文化则会失去其 应有的生机， 使得其部分教育功能大大削弱。因此， 需要将 “格 式化” 的教室墙壁文化格式化[2]。 教室墙壁文化是学生的文化， 要服务于学生的个性培养。班级的出现是为了使更多的学生 享受教育， 但是， 这并不能影响学生成为一个有个性的人。教 育不应该使群体中的儿童失去个性， 而是要让群体中的孩子 富有个性。墙壁文化创生， 要求每个孩子都积极参与， 每个孩 子都应结合自身特长喜好参与， 让每个孩子都能在积极参与 中培养独属于自己的个性， 成为健全的独特的人。 教室墙壁文化作为一种隐性教育资源， 其软教育功能不 可小觑 。它通过多种功能改变着学生的情感状态和行为方 式。教师要注重用正确的理念引导学生， 允许学生作为主体， 完成墙壁文化的创生。学生只有充分地理解了班级墙壁布置 所蕴含的文化内涵、 情感因素， 才能真正做到 “以文化人” 。 参考文献：
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高观点下的几个初等数学问题作者叶小英摘要:初等数学与高等数学是密不可分的，若站在更高的视角(高等数学)来审视、理解初等数学显得明了简单了。
本文运用高等数学的观点分析初等数学，着重用例子把初等数学问题用高等数学解法来解答，从中找到两者的联系。
关键词：高等数学；初等数学；分解因式；数列；不等式1 引言高等数学与初等数学的研究对象、研究方法有本质上的不同，但两者之间存在着紧密的联系,高观点下的初等数学(参见文献[1])，是从高等数学的观点和角度来审视，理解初等数学问题，对中学数学的理论理解及解题思路都有很大的指导作用。
1.1 从高观点的角度看初等数学问题的必要性在中学学数学时，对有些概念和方法没有加以解释与说明就直接应用，虽然使用时能解决问题，但要深入地理解是不可能的。
如果只局限于用初等数学的眼光来看初等数学问题，很多问题是无法看清的. 正如德国著名数学家克莱因曾经告诫我们的一样，只有在完全不是初等数学的理论体系中，才能深刻地理解初等数学。
例如，“形如bia (a,b都是实数)的数”叫做复数。
这是中学学习的复数，当时对这里的“+”很疑惑。
a与bi是两个不同单位的元素，怎么可以相加？因此，这里的“+”只能看作是将a与bi连结成一个整体的符号。
那么，能不能把这个符号理解为普通的加法符号呢？仅用初等数学眼光来看都是模糊的。
这是初等数学的局限性。
1.2 用高等数学思想思想剖析初等数学问题更明了另一方面，初等数学是高等数学的基础，许多初等数学的内容都是高等数学中的模型。
如初等代数中的代数式、方程、数系、函数等，都是数学模型，在高等数学中进一步抽象为集合与映射空间、群等现代数学概念。
数学的本质, 数学的作用，也就是抽象与概括。
从大量不同的对象之间，找出其相同之处，从而得到它们之间的逻辑联系和数量关系，组成一个统一的结构体。
高等数学正是在初等数学的基础上发展起来的。
高等数学与初等数学之间有着必然的联系，许多初等数学无法解答的问题在高等数学中得以解决。
例如，前面提到的“形如bi a +(a,b 都是实数)的数”叫做复数。
这是中学学习的复数，当时对这里的“+”很疑惑，a 与bi 是两个不同单位的元素，怎么可以相加？因此，这里的“+”只能看作是将a 与bi 连结成一个整体的符号。
那么，能不能把这个符号理解为普通的加法符号呢？为此，在大学时学习近代数中复数的构造性理论后才能作出正确圆满的解答。
C 是复数集，+，·分别是复数的加法与乘法，则（C ；+，·）是一个域，叫复数域。
对应关系：a a ↔)0,(之下可证集合(){}R a a ∈0,与实数同构，故可把)0,(a 看成实数a ,即)0,(a =a ，从而复数域的一个扩域。
由复数乘法的定义得（0，1）·（0，1）=（－1，0）=－１。
因此复数（0，1）和1-的性质相同。
它是是012=+x 的一个根， 令i =)1.0(，i 为虚数单位。
因为，（0，1）·（b ，0）=（0，b ）， 所以，（0，b ）=bi .故任一复数（a ，b ）就可以写成（a ，b ）=（a ，0）+（0，b ）=a +bi .于是可知bi a +中的“+”不仅是形式上的符号，它与算术运算中的“+”完全一致。
2 高等数学许多方法和技巧用于解初等数学题并使问题得以深化和拓广因此有必要阐明高等数学与初等数学之间的联系, 突出高等数学对初等数学的指导作用，学会用高等数学的思想、方法为工具，从不同的角度去研究初等数学的问题。
这些问题可以是与中学教学内容密切相关但又未能完全解决，而应用所学高等数学知识可以解决的理论、方法问题，也可以是初等数学中已经解决， 而运用高等数学的知识，从另一更高的角度重新认识初等数学中重要的概念、理论实质及其背景, 还可以借助于高等数学的方法来统一处理和解决初等数学中一些或一类问题（尽管这些问题可以用初等的方法来解决） 等等。
总之应用高等数学的方法、思想、工具使学生对初等数学的本质，以及与高等数学之间的内在联系，有了更深刻的认识。
以下着重用例子在高观点下分析几个初等数学问题。
2.1因式分解问题因式分解是一种重要的恒等变形，它的方法很多，技巧性很强，不易掌握，如用高观点来解决这类问题则可达到化难为易的效果。
例1 把271081446423-+-x x x 分解因式。
用初等数学方法，需要对上式拆项。
即：32222323)34()92416)(34()34(9)34(24)34(162736729648642710814464-=+--=-+---=-++--=-+-x x x x x x x x x x x x x x x x x 显然上式分解有一定难度，介利用微分法有助于找重因式;先对x 求导得22)34(12108288192-=+-x x x ，因此可知原式必有三重因式即：323)34(2710814464-=-+-x x x x 。
除了利用微分法可以帮助分解因式，还可以利用行列式的方法。
引理1（一元多项式）设n n n n a x a x a x a x p ++++=--1110)( 是数域F 上的一元多项式则)(x p = 10221100000100001a x a a a a a xx xn n n+-----证明（参见文献[7]）。
引理2利用三阶行列式的平行线法，可很快算出循环行列式的值；设A=a cb b a ccba ，则abc cb a A 3333-++= 证明（参见文献[4]）。
例2 分解多项式 2411815245234+--+x x x x 。
用初等数学方法，及之前的微分法都不易分解，但利用引理1，用行列式的方法会较易求得。
解：由引理1可得，原式=0152451182410001000124515118241000100012-+----=+-----x x x x x x x x x = 5245224150)15(51515245118241022-+---=-+--x x x x x x xx x x x=552241051)15(522410515)15(2÷----=+--x x x x xx x x x xx = )4)(3)(2)(15(52241)15(2++--=-----x x x x x x x x （行列式的计算原理参见文献[9]）例3 因式分解 abc c b a 3333-++。
解：由引理2知a cb b a ccba abc cb a 3333-++=,则 ))((111)(3222333bc ac ab c b a c b a ac b ba c cb a ac b ba c cb ac b a c b a ac b b a c c b a abc c b a ---++++=++=++++++==-++由上两例可知,利用行列式也可使某些因式分解问题简化。
2.2数列问题引理3 如果行列式中有两两行(列)的对应元素成比例,则此行列式等于零. 证明(参见文献[4])由引理3，可知若不相等的三数321,,x x x 成等差数列，且,0111332211=y x y x y x 则,,,321y y y 也成等差数列。
推论1，设k n m a a a ,,分别是一等差数列的第m 项，第n 项，第k 项的充要条件是0111=kn m a ka n a m 。
证：充分性，由0111=kn m a ka n a m ， 知 ),(),,(),,(k n m a k a n a m 三点共线，不妨设该直线的方程为了b ax y +=，得k n m a a a ,,三数所在数列的通项公式为b an a n +=，可知k n m a a a ,,是以b an a n +=为通项的等差数列的第m 项，第n 项，第k 项。
必要性，已知k n m a a a ,,，分别是一等差数列的第m 项，第n 项，第k 项， 设它们所在的数列首项为1a ，公差为d ，所以，0)()(0)1(0)(0)(1)1(1)1(1)1(1111111=----=-+----=-+-+-+=dk n kn dk m km dk a k d k n kn d k m k m d k a k d n a n d m a m a k a n a m k n m例4 已知等差数列 n x x x lg ,lg ,lg 21的第r 项为s ，第s 项为r （0＜r ＜s ）， 求n x x x +++ 21。
解：设等差数列的第n 项为n a ，由推论1得0111=n a n r s sr得 022=---++s ra nr ns sa r n n ∴n r s a n -+=∴n r s x n -+=lg 即nrs n r s n x 101010+-+== ∴)110(1091)101101101(10221-=+++=+++++n r s n r s n x x x推论2，若k n m a a a ,,分别为一公差d ≠0的等差数列的第m 项，第n 项，第k 项，则''',,kn m a a a 分别是另一等差数列的第m 项，第n 项，第k 项的充要条件是 0111'''=k kn nm ma a a a a a证明（参见文献[7]）。
例5:已知某一三角形三边c b a ,,成等差数列，三边长倒数cb a 1,1,1，也成等差数列，问此三角形的形状。
解，c b a ,,成等差数列，cb a 1,1,1也成等差数列∴0111111=c c b b a a 从而0))()((=⋅⋅---cb a bc b a c a得b a =或c b =或c a =，又因为c b a ,,成等差数列故c b a ==，所以此三角形为等边三角形。
2.3一元函数微积分学在中学数学中的应用导数是一元微分学的基础，可以说微分学的所有问题都与导数分不开；微分是函数在某点处切线上对应于横坐标增量之间的纵坐标增量，正是微积分中“以直代曲”的根本依据；中值定理是利用导数研究函数在区间上整体性态的有利工具, 这些对于研究初等数学的函数、平面曲线等问题提供了帮助。
2.3.1 利用导数几何意义，求初等数学问题利用导数几何意义，容易求出曲线上点的切线和法线方程及两平面曲线的交角等初等数学问题。
例6 求圆822=+y x 与抛物线x y 22=的交角。
分析：所谓两曲线的交角, 指的是它们在交点处的切线的夹角θ。
故需先求出两曲线的交点, 然后求出该点处的两条切线, 再求直线夹角即可。
易求出圆822=+y x 与抛物线x y 22=有两个交点(2,2)与(2,-2), 由于图形关于X 轴对称，故在两个交点处的交角相等。