第五章 一阶电路的瞬态分析
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一阶电路的瞬态分析
（1）计算 t = 0+ 电路时，电容电压不变，因此
电容等效于一直流电压源，数值为 UC (0- ) 。
UC (0- )
UC (0- )
电路分析
（2）计算 t = 0+ 电路时，电感电流不变，因此
电感等效于一直流电流源，数值为 iL (0- ) 。
iL (0- )
iL (0- )
由原电路画出t=0时的等效电 路，得：
iL (0- ) =
US R1 + R3
= 1A,
uC (0- ) = iL (0- ) × R3 = 4V
当t=0 瞬间，闭合，由换路定则可知：
iL (0+ ) = iL (0- ) = 1 A， uC (0+ ) = uC (0- ) = 4V
t=0+时刻的等效电路如图b）所示，它是一个典型的直流电 阻电路，其中 uL (0+ ) = uC (0+ ) - R3iL (0+ ) = 0V
iC
(0+
)
=
-iL
(0-
)
=
-
US R1 + R2
,
UR2 (0+ )
= il (0- )R2
=US
R2 R1 + R2
U L (0+ ) = -U R2 + UC (0- ) = 0
电路分析
R1
R2
K
Us
C uc
iL L
等效电路如图
R1
uR2 R2
iC
uc(0 )
Us
uL iL(0 )
电路分析
+ uC
=
U
电工电子技术基础 第2版 第5章 一阶电路暂态分析
i(0 )
S +
U -
+
u0 (0 ) R2
-
uC (0 )＝uC (0－)＝0V
iC
(0
)＝Biblioteka U R26V 20k0.3 mA
u0 (0 )＝6V
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第5章 一阶电路暂态分析——暂态过程与换路定则
3.t 等效电路
i
S
U
C uC
R1
u0 R2
L短路 C开路
i() U 6V 0.2mA R1 R2 30kΩ
L短路
t 0 C开路
L短路
t
C开路
L电感
C电容
返回
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第5章 一阶电路暂态分析——暂态过程与换路定则
L恒流源如电流为0，则将恒流源断开处理
t 0＋ C恒压源如电压为0，则将恒压源短路处理
iL(0_)
＋
uC(0_)
－
iL(0+)
电感的等效变换
iL(0+)=0A时
＋
uC(0+)
分析瞬态过程产生条件和原因，引伸确定储能元
件的初始值换路定律，用经典分析方法导出RC一阶
电路的零输入响应、零状态响应及全响应。分析三要
素法组成，利用三要素法分析RL一阶电路的零输入响
应、零状态响应及全响应，强化三要素法具体应用。 理解瞬态过程中电压和电流随时间变化的规律和
物理意义以及时间常数对瞬态过程的影响，充分利用 瞬态过程的特性为人类服务，避免它造成危害和损失。
+ uC () –
i()
S
U
R1 +
u0 () R2
第十讲一阶电路的瞬态分析
=3mA
i(0+)=i1(0+)+i2(0+)=4.5mA
计算结果
电量 i
i1=iL
i2
uC
uL
t=0- 1.5mA 1.5mA 0
3V 0
t=0+ 4.5mA 1.5mA 3mA 3V 3V
返回
小结：换路初始值的确定
1. t=0- ：电感相当于短路;电容相当于开路. 2.换路后 t=0+ 瞬间： 电容 uC(0+) = uC(0 -)=US 相当于数值为US的理想电压源
S iR
t=0
+
+
RC
duＣ dt
+
uＣ=
UＳ
US –
C uC uＣ( t ) = u '+ uＣ'' –
设uＣ' =K（常量），则
dK RC dt + K= UＳ
所以 K=UＳ ， uＣ' = UＳ
即：稳态时电容两端的电压值，称之为稳态解。
uＣ(∞ ) =UＳ
返回
(2）通解uＣ''
是齐次微分方程
一般一阶电路 只含有一个储能 元件。
分析方法
经典法： 通过列出和求解电路的 微分方程，从而获得物 理量的时间函数式。
三要素法：在经典法的基础上总结 出来的一种快捷的方法， 只适用于一阶电路。
返回
1. 一阶RC 电路瞬态过程的微分方程
图示电路，当 t = 0 时， S i R
开关 S 闭合。列出回路电压
1 <2<3
0.368US
0 1 2
3
t
返回
(3) RC 电路的全响应
第 一阶动态电路分析PPT课件
t
t
－
uC uC (0 )e U0e RC
1S 2
R
iC +
C －uC
第24页/共34页
放电电流
iC
C
duC dt
U0 R
t
e RC
t
iC (0 )e RC
放电过程的快慢是由时间常数τ决定。 uC，iC
τ越大，在电容电压的初始值U0一定 的情况下，C越大，电容存储的电
式中，f(0+)为待求电流或电压的初始值，f(∞)为待求电流 或电压的稳态值，τ为电路的时间常数。 对于RC电路，时间常数为：
RC
对于RL电路，时间常数为：
L
R
第15页/共34页
例：图示电路，IS=10mA，R1=20kΩ，R2=5kΩ，C=100μF。 开关S闭合之前电路已处于稳态，在t=0时开关S闭合。试用 三要素法求开关闭合后的uC。
第17页/共34页
例：图示电路，US1=9V，US2=6V ，R1=6Ω，R2=3Ω，L=1H。 开关S闭合之前电路已处于稳态，在t=0时开关S闭合。试用
三要素法求开关闭合后的iL和u2。
解：（1）求初始值。因为开关S闭合之前电路已处于稳态，
故在瞬间电感L可看作短路，因此：
iL (0 ) iL (0 )
R3
R1 R2
+
U
－
iC
+
C －uC
R0
iC +
+
C －uC
US
－
iC
IS
R0
+ C －uC
因此，对一阶电路的分析， 实际上可归结为对简单的RC 电路和RL电路的求解。一阶 动态电路的分析方法有经典 法和三要素法两种。
电工电子技术课程课件一阶电路瞬态响应
学习一阶电路瞬态响应 的基本分析方法。
阶电路瞬态响应的数学模型
一阶电路的微分方程
通过微分方程描述一阶电路 的瞬态响应。
一阶电路的传递函数
了解一阶电路传递函数的定 义和应用。
瞬态响应的数学表达式
掌握瞬态响应的数学表达式 及其意义。
一阶电路瞬态响应的实际分析
1
电路初始状态的确定
确定电路的初始电流和电压状态。
未来发展方向和趋势
展望一阶电路瞬态响应领域的未来发展方向和趋势。
电工电子技术课程课件一 阶电路瞬态响应
欢迎学习电工电子技术课程中的一阶电路瞬态响应。本课件内容涵盖了基础 知识回顾、数学模型、实际分析和总结与展望等内容。让我们一起深入了解 吧！
基础知识回顾
电路一阶线性元件 的定义
了解一阶线性元件的概 念和特性。
RC电路的基本概念
掌握RC电路的组成和工 作原理。
一阶电路的瞬态分 析基本方法
瞬态响应的电流、电压关系
2
及其图像
分析瞬态响应过程中电流和电压的
关系以及图像。
3
实际应用中的瞬态响应分析
探索一阶电路瞬态响应在实际应用 中的分析方法和应用场景。
总结与展望
一阶电路瞬态响应的重要性
总结一阶电路瞬态响应对电路性能的重要影响。
瞬态响应分析的应用范围
探讨瞬态响应分析在工程领域中的广泛应用。
阶电路瞬态响应的数学模型
一阶电路的微分方程
通过微分方程描述一阶电路 的瞬态响应。
一阶电路的传递函数
了解一阶电路传递函数的定 义和应用。
瞬态响应的数学表达式
掌握瞬态响应的数学表达式 及其意义。
一阶电路瞬态响应的实际分析
1
电路初始状态的确定
确定电路的初始电流和电压状态。
未来发展方向和趋势
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电工电子技术课程课件一 阶电路瞬态响应
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基础知识回顾
电路一阶线性元件 的定义
了解一阶线性元件的概 念和特性。
RC电路的基本概念
掌握RC电路的组成和工 作原理。
一阶电路的瞬态分 析基本方法
瞬态响应的电流、电压关系
2
及其图像
分析瞬态响应过程中电流和电压的
关系以及图像。
3
实际应用中的瞬态响应分析
探索一阶电路瞬态响应在实际应用 中的分析方法和应用场景。
总结与展望
一阶电路瞬态响应的重要性
总结一阶电路瞬态响应对电路性能的重要影响。
瞬态响应分析的应用范围
探讨瞬态响应分析在工程领域中的广泛应用。
电工电子技术基础知识点详解第5单元 一阶电路暂态分析(自学版)
L iL
＋ uL －
＋
＋
iC
US
uC C
S
－
－
＋ －
uR
R iR
uR ( 0 ) = RiR ( 0 ) = ( 5 1) V = 5 V
iC ( 0 ) = IS + iL ( 0 ) = ( 5 + 1) A = 6 A
uL ( 0 ) = US－uR ( 0 ) －uC ( 0 ) = ( 5 －5 －0 ) V = 0 V
C2 u C1＋C2
u2 =
C1 u C1＋C2
＋＋
u1 －
C1
u＋
u2 －－
C2
电容并联时
C＝ C1＋C2
＋
u
C1 C2
－
14
电容图片
复合介质电容
钽电解电容
铝电解电容
真空电容
陶瓷电容
薄膜电容
云母电容
15
二、电感
电感是用来表征 电路中磁场能量
i
＋
i ＋
储存这一物理性
ue
Nu eL
质的理想元件。
－
换路前，开关 S 断开
且电路已稳定。
I0
iL ( 0 ) = I0
iL
＋ R uL L
－
换路后，开关 S 闭合。
iL ( ) = 0
零输入响应
换路后外部激励为零，在内部储能作用下，电感电流将从初始
值 I0 逐渐衰减到零。
42
根据 KVL ，由换路后 的电路列出回路方程式
RiL＋uL = 0
I0
而
uL
RiC＋uC = 0
＋
而
iC
=
电工电子技术第5章一阶电路的暂态分析
∴
dW ≠∞ dt
→W(t) 是连续函数（不能跃变）。
结论 ①具有储能的电路在换路时产生暂态是一种自然现象。 ②无论是直流电路还是交流电路均有暂态。
三、名词术语
激励：电路从电源（包括信号源）输入的信号 统称为激励。 响应：电路在外部激励的作用下，或者在内部 储能的作用下产生的电压和电流统称为响应。 阶跃激励
例5.3 已知 U0 = 18 V， S 合上前电路为稳 态，当 t = 0 时将 S 合上。求 uC (t) 和 i (t) 。
解：(1) 求 uC (t) ∵ S 合上前电路为稳态，
∴ uC (0－) = 0 则 uC (0＋) = uC (0－) = 0 原电路等效为右下图，
磁场能量:
WL =∫p dt
=∫u i dt
=
1 2L
i
2
结论
① 当 i = 0 时，WL = 0；当 u = 0 时，WL ≠ 0 。 ② 电感电流是电感的状态变量。
i ＋－ ue L －＋
2. 电容（线性电容） q=Cu
dq
du
i = dt = C dt
瞬时功率: du
p = u i = C u dt
iS i2 R2 6
例5.2 图示电路，已知 S 合上前电路为稳
态，当 t = 0 时将 S 合上。求 iL 和 uL 的初始值 和稳态值。
解：(1) 求初始值 对于稳态直流电路
uL (0－) = 0
R1
iL
10 k ＋
IS
L uL －
S 30 mA
iL (0－) =
RR1＋2=IR1S02 mA
p=－
1 RC
时间常数 = RC (s)
一阶电路瞬态过程的分析方法探究
ｉ ＝ （ １ 一 ｅ 。 ＿ ） ＝ （ １ 一 ｅ
Ｌ２ｔ ￣
十ｌ 以 Ｊ ｌ Ｌ１ ｎ
之 间 的关 系 ｉ ＿ ｃ
ｄｔ
来分析研究瞬态过程 的一种
）
方法． 下面通过具体 的实例加 以介绍 ： 在右 图的电路 中，两线圈的 自感分别为 Ｌ 。 和
Ｌ ２ ， 电阻 为零 ， 两 者之 间无 互 感耦 合 ， 电源 的 内阻 已 计入 Ｒ中 ， 设 开 关 闭合 前各 支 路无 电流 ， 设ｔ ＝ Ｏ ， 开 关 闭合 ， 各 支路 电流 如 图所 示 ， 则 根 据 基尔 霍 夫 定 律有 ：
１ 基尔 霍夫 定律 分析 法
￡
对 以上 各式 整理 ， 有：
￡一
酱 ＝ Ｒ ｉ 若 令 搓则
ｉ Ｒ 很显 然这 是一 阶微分 方 程 ，故该 电
利用 基 尔霍 夫 电流 定律 ： 对 于任 一 节 点 ， 所 有 与之 相 边 的 支路 电 流 的 代 数 和 恒 等 于 零 ，即 ： ∑ ｉ ＝ ０ ； 电 压定 律 ： 对 于 任一 回路 ， 所 有支 路 电压 的代
数 和 恒 等 于零 ， 即： ∑ｕ ＝ Ｏ ； 以及 电感感 应 电动 势 与
８ 一 Ｌ
路为一阶电路． 该微分方程经计算整理后得出各支
路 电流为 ：
电流的关系： ｅ ＝ 一 Ｌ ； 电容 的电压 与 电容 电流
ｄｔ
１
ｆ ：ｆ ３ ８ 一 ｉ Ｒ ３ Ｌ
电路的结构与参数决定的常数 由数 学 知识 可知 微分 方程 （ １ ） 的解 为 ：
ａ一
电流 ｉ 和ｉ 随时间变化的规律 ：
ｙ （ ｔ ） ＝ ｅ ｆ ｅ ｔ ） ｄ ｔ ＋ ｃ ｅ ＝ ｙ （ ｔ ） ＋ ｙ ｈ （ ｆ ）
Ｌ２ｔ ￣
十ｌ 以 Ｊ ｌ Ｌ１ ｎ
之 间 的关 系 ｉ ＿ ｃ
ｄｔ
来分析研究瞬态过程 的一种
）
方法． 下面通过具体 的实例加 以介绍 ： 在右 图的电路 中，两线圈的 自感分别为 Ｌ 。 和
Ｌ ２ ， 电阻 为零 ， 两 者之 间无 互 感耦 合 ， 电源 的 内阻 已 计入 Ｒ中 ， 设 开 关 闭合 前各 支 路无 电流 ， 设ｔ ＝ Ｏ ， 开 关 闭合 ， 各 支路 电流 如 图所 示 ， 则 根 据 基尔 霍 夫 定 律有 ：
１ 基尔 霍夫 定律 分析 法
￡
对 以上 各式 整理 ， 有：
￡一
酱 ＝ Ｒ ｉ 若 令 搓则
ｉ Ｒ 很显 然这 是一 阶微分 方 程 ，故该 电
利用 基 尔霍 夫 电流 定律 ： 对 于任 一 节 点 ， 所 有 与之 相 边 的 支路 电 流 的 代 数 和 恒 等 于 零 ，即 ： ∑ ｉ ＝ ０ ； 电 压定 律 ： 对 于 任一 回路 ， 所 有支 路 电压 的代
数 和 恒 等 于零 ， 即： ∑ｕ ＝ Ｏ ； 以及 电感感 应 电动 势 与
８ 一 Ｌ
路为一阶电路． 该微分方程经计算整理后得出各支
路 电流为 ：
电流的关系： ｅ ＝ 一 Ｌ ； 电容 的电压 与 电容 电流
ｄｔ
１
ｆ ：ｆ ３ ８ 一 ｉ Ｒ ３ Ｌ
电路的结构与参数决定的常数 由数 学 知识 可知 微分 方程 （ １ ） 的解 为 ：
ａ一
电流 ｉ 和ｉ 随时间变化的规律 ：
ｙ （ ｔ ） ＝ ｅ ｆ ｅ ｔ ） ｄ ｔ ＋ ｃ ｅ ＝ ｙ （ ｔ ） ＋ ｙ ｈ （ ｆ ）
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t 0
t
当 t 0 ，而 iC 为有限值，则有 UC (0 ) UC (0 )
（2）电感电流在换路前后的值不变
R
iL (0 ) iL (0 )
Us
K(t=0)
L
iL
由
UL
L diL dt
lim L iL t0 t
lim L iL (0 ) iL (0 )
t 0
t
当 t 0 而 U L 为有限值时，则有 iL (0 ) iL (0 ) 。
t RC
R
y(t) y(0 )et t 0
t0
零输入响应是初始值的线性函数，满足
齐次性，可加性
U0：
uC
U0e
t
t0
KU0 ： uC KuC KU0et
t0
U01+U02：
uC
(U01
U02
)e
t
U01et
U02e t
（b) 能量传输
t=0
电容能量：
wC
(0
)
1 2
例：如果电容原来不带电，在开关闭合时，电容
电压从0变为U s 。电容电流
RK
iC
C
dUc dt
lim C t 0
U t
lim C Us 0 .
t 0
t
Us
C Uc
若电容电压能“瞬间”从0升到 U s ，则必需有:
ic
C
US t
0
电容电压上升需要时间！
例：原来电感 iL 0，
K闭合稳态时
iL
iC 和 uL 不连续。
duC iC , diL vL dt C dt L
因此：uC 的导数和 iL 的导数
在换路前后都是不连续的
第三节 一阶电路的零输入响应
零输入响应：当换路后的电路无外加激 励源，仅由储能元件的初始储能引起的 响应
利用一阶微分方程描述的电路称为一阶 电路
一、RC电路零输入响应
4 V R2
0V 2A
uC1(0 ) uC1(0 ) 4 V uC2 (0 ) uC2 (0 ) 0 V iL (0 ) iL (0 ) 2 A
R1
IS
iR1
iR1(0 )
iR2 (0 )
1 2[IS
iL (0
)]
1
A
4 V R2
0V 2A
可以看到：换路前后瞬间 uC 和 iL 连续；
UC (0 ) US
R2 R1 R2
,
iL (0 )
US RБайду номын сангаас R2
由换路定则， UC (0 ) UC (0 ), iL (0 ) iL (0 )
因此计算 t 0 电路时，电容等效于一电压源 UC (0 )
电感等效于一电流源 iL (0 )
，
等效电路如图，得：
iC
(0
)
iL
(0
)
US R1 R2
第五章 一阶电路的瞬态分析
第一节 概述
电路结构，参数或电源的改变，称为换路。 电路从一种稳定状态转为另一种稳定状态，称为 过渡过程。
（1）对于纯电阻电路，电路中电压和电流的变
化是“立即”完成的。
K闭合
I1
Us R1
，K打开 I1 0
K
R2
Us R1
R3
I1
（2）对于存在电容和电感的电路，电容元件的 电压（电荷）和电感元件的电流（磁链）变化一 般需要时间。（过渡过程时间）。
iL (0 )
1 2
IS
2 A,
IS
Uc2 (0 )
0,UC1(0 )
1 2
IS R2
4V
C1
R1
iR1
R2 K
L C2
由换路定可知：
uC1(0 ) uC1(0 ) 4 V uC2 (0 ) uC2 (0 ) 0 V iL (0 ) iL (0 ) 2 A
开关打开后等效电路如图
R1
IS
iR1
i(t) C duC
U0
t
e RC
dt
R
R iC
C uC(t )
负号表示实际的电容放电电流方向与假设的参考 方向相反
响应与电源（激励）无关 ， 又叫自由响应（natural response) 暂态响应（transient response）
零输入响应特点：
（a）
uC
U0e
t RC
,
i
U0
e
利用换路定则计算换路后瞬间电路状态
例 ：图示电路，开关闭合已久。求开
关打开瞬间电容电压电流 UC (0 ), ic (0 )
电感电压电流 iL (0 ),U L (0 ) ， 电阻电压U R2 (0 ) 。
R1 K
Us
R2
C uc
解：开关闭合时的电容电压 UC (0_ )
iL L
与电感电流 iL (0 )为
,
UR2 (0 )
il (0 )R2
US
R2 R1 R2
Us
UL (0 ) UR2 UC (0 ) 0
R1
u uR2 R2 iC c
uL iL
例 ： 图示电路 Is 4 A, R1 R2 2 ，开关闭合已久，
求开关打开瞬间电阻R1上的电流 iR1(0 ) iR2 (0 )
解：开关闭合时有
Us R
.
若电感电流
iL
能“瞬时”从0升到 Us
R
UL
L diL dt
lim L iL t 0
0 t
R
Us
则需一个无穷大端电压。
K L iL
电感电流上升需要时间！
过渡过程分析方法：
1. 经典法 2. 拉普拉斯变换法 3. 状态变量法 4. 积分法
例： 经典法解过渡过程
由KCL、KVL及元件电压电流关系
R iC
开关合向右边后，电路方
Us
程建立：（KVL）
Ric UC (t) 0
C uC(t
iC
C
dUC dt
得：
RC
dUC dt
UC
0
一阶线性常系数齐次微分方程
特征方程： RCS+1=0
S 1 RC
uC
keSt
ke
t RC
电路为一阶微分方程，故又称为一阶电路，初始条件：
UC (0 ) UC (0 ) U0
从方程解出电容电压 UC (t) 的一般解(一阶微分方程解) 再由初始条件确定各系数。
第二节 换路定则与初始条件
1. 换路法则：（一般情况）
R
（1）电容电压在换路前后的值不变
Us
UC (0 ) UC (0 )
K(t=0) C Uc
由
iC
C dUC dt
lim C UC t0 t
lim C UC (0 ) UC (0 )
电路方程解：
t
t
UC ke RC ke
式中：
RC 为电路时间常数，单位为秒。
R iC
C uC(t )
由初始条件UC (0 ) U0 得 k U0
电容电压响应（变化规律）： UC (t) U0et
电压波形为
uC
U0
(t 0)
0.368U0
0.135U0
t
0
2
t
uC (t) U0e RC
（
u
iR, ic
C
dUC dt
,
uL
L
diL dt
）列出电路方程，
然后解出微分方程。
RiC UC us (t)
RC
dUC dt
UC
US (t)
R iC
uS (t) C
Uc
一阶微分方程
若Us(t)=Us
uC
US
Ae
t RC
t0
RC
dUC dt
UC
US (t)
UC (t) t0 UC (0 )