控制系统的数学模型

第二章控制系统的数学模型

对于一个控制系统，建立数学模型的目的有二个：第一，模型可以用在现存的控制系统特性的研究中，模型代表了我们对系统特性的认识，并且在我们对系统知道得更多时还可以修改和扩展模型。第二，在实际系统尚不存在时，例如在建设工程刚刚开始时，可以借助模型来预测设计思想和不同控制策略的效果，而不招致建造和试验系统所带来的费用浪费，也避免了冒危险的可能。

2－1 物理系统的动态描述—数学模型

每一个自动控制系统都是由若干个元件组成的。每个元件在系统中都具有各自的功能，它们相互配合起来就构成一个完整的控制系统，共同实现对某个物理量（被控制量）的控制，而满足所要求的特定规律。

如果把控制系统中各物理量（变量）之间的关系用数学表达式描述出来，就得到了此控制系统的数学模型。在静态条件下（即变量的各阶导数为零），描述各变量之间关系的数学方程，称为静态模型，而各变量在动态过程中的数学方程，称为动态模型。在自动控制系统的分析中，主要是研究动态模型。

微分方程中，各变量的导数表示了它们随时间变化的特性。因此，微分方程完全可以描绘系统的动态特性，微分方程是物理系统数学模型中最基本的一种。

系统的数学模型可以用实验法和分析法建立。

应当指出：同一个控制系统的数学模型可以有许多不同的形式，另外，对于一个具体系统而言，为了在系统分析中，既不包罗万象，把系统数学模型搞得很复杂，又不要忽略主要因素，而失去系统的准确性，必须对系统有全面的、透彻的了解。得到控制系统的一个既简化又准确的数学模型，这是我们的根本出发点。

2－2 建立系统数学模型的一般步骤

由于控制系统是由各种功能不同的元件组成的，因此，要正确建立系统的运动方程式，首先必须研究系统中各个元件的运动方程式，以及这些元件在控制系统中相互联系时的彼此影响等问题。

应当指出，在列写系统和各元件的运动方程式时，往往将系统分成若干个环节，能使问题简化。所谓环节，就是指可以组成独立的运动方程式的那一部分。环节可以是一个元件，

控制工程基础（第二版）

也可能是一个元件的一部分或者由几个元件组成。

一般说来，建立系统数学模型的步骤是：

1．分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确定出待研究系统的输入量和输出量，以及各环节的输入量和输出量。（画出系统的方框图，会使问题简化）2．根据支配系统动态特性的定律，从系统的输入端开始，依次列写组成系统各环节的运动方程式，得到联立方程组。

3．由组成系统的各个环节的运动方程式构成的方程组中，消去中间变量，最后得到只包含系统输入量和系统输出量的方程式，即得到了系统的数学模型。再将该方程式化为标准形式，即将与输入量有关各项放在方程式的右边，而与输出量有关各项放在方程式左边，各导数项要按降幂排列。

这里，我们要加以说明，我们所建立的数学模型，通常是一个线性微分方程式。我们称具有线性微分方程式的控制系统为线性系统。且我们一般研究的系统，其微分方程式的系数是常数，我们称之为线性定常（或线性时不变）系统。

线性系统的主要特点是可以运用叠加原理。叠加原理说明，几个外作用加于系统所产生的总响应，等于各个外作用单独作用时产生的响应之和。

线性系统的另一重要性是均匀性。就是说，当加于同一线性系统的外作用，其数值增大几倍时，则系统的响应亦相应地增大几倍。在线性系统分析中，线性系统的叠加性和均匀性是很重要的。

但严格地说，实际控制系统中采用的元件，其输出信号与输入信号之间的关系都具有不同程度的非线性。如果系统中存在非线性特性，则需用非线性微分方程来描述，这种系统称为非线性系统。

2－3 传递函数

控制系统的微分方程，是在时间域里描述系统动态性能的数学模型。在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以得到系统的输出特性，这种方法比较直观，特别是借助于电子计算机，可迅速而准确地求得结果。然而不用计算机，则求解微分方程，特别是高阶微分方程的计算工作将相当复杂。而且在时间域里直接求解微分方程，难于找出微分方程的系数（由组成系统的元件的参数决定）对方程的解（一般为系统的被控制量）的影响的一般规律，一旦求得的结果不满足要求，便无法从解中找出改进方案。因此，这种方法不便于对系统进行分析和设计。

在拉氏变换的基础上，引入描述线性定常系统（或元件）在复数域中的数学模型——传递函数，不仅可以表征系统的动态性能，而且可以借以研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。

一、传递函数的定义

对一个线性定常系统（或元件），在零初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入信号的

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第二章 控制系统的数学模型

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拉氏变换的比值，叫做该系统（或该元件）的传递函数。

二、传递函数的性质

从上面的举例和讨论不难看出，传递函数具有下列性质：

1．系统（或元件）的传递函数，也是描述其动态特性的数学模型的一种，它和系统（或元件）的运动方程式是相互一一对应的。若给定了系统（或元件）的运动方程式，则与之对应的传递函数便可唯一的确定。

传递函数与微分方程一样，是从实际物理系统中抽象出来的，它只反映系统（元件）中输出信号与输入信号之间的变化规律，而不反映原来物理系统（元件）的实际结构。对于许多物理性质截然不同的系统（元件），可以具有相同形式的传递函数。

2．传递函数是复变量s 的有理真分式函数，分子的次数m 低于分母的次数n ，且所有

系数均为实数。n m ≤，

这是由系统的物理性质决定的。且各系数都是系统元件参数的函数，而元件参数只能是实数。

3．传递函数也可以写成如下形式：

12112()()()()()()()()()m n s z s z s z M s G s K N s s p s p s p −−⋅⋅⋅−==−−⋅⋅⋅− )(m n ≥ )1()1)(1()1()1)(1()()()(2121+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++==s T s T s T s s s K s N s M s G n m τττ )(m n ≥ 式中(1,2,...,)i s z i m ==是0)(=s M 的根，称为传递函数的零点；(1,2,...,)i s p i n ==是0)(=s N 的根，称为传递函数的极点。由于)(s M 、)(s N 的各项系数均为实数，所以传递函数若有复数零、极点，则必以共轭复数对出现。式中K 为系统（元件）的放大倍数，m τττ,...,,21及n T T T ,...,,21分别为各环节的时间常数。

4．传递函数只与系统（元件）本身内部结构参数有关，而与输入信号无关。因此，传递函数只表征系统（元件）本身的特性。

5．传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应。所谓脉冲响应（或称脉冲过渡函数）()g t 是系统在单位脉冲()t δ输入时的响应。因为单位脉冲输入时，()[()]1R s L t δ==，因此，系统的输出)()()()(s G s R s G s C =⋅=。而)(s C 的拉氏反变换即为脉冲响应)(t g ，它也正好等于传递函数的拉氏反变换，即

)()]([)]([1

1t g s G L s C L ==−−

因此，系统的脉冲响应)(t g 与系统的传递函数)(s G 有单值对应关系，都可以用于表征系统的动态特性。 三、典型环节的传递函数

自动控制系统种类很多，构成环节的类型就其物理本质可能差别很大。但从数学分析的